Termodinamica
La Termodinamica nasce dallʼosservazione che lʼenergia meccanica
spesso si trasforma in calore. Esempio: frenando, i dischi dei freni si
scaldano. "
Accade però anche che una parte del calore possa trasformarsi in
energia meccanica. Esempio: il motore a vapore. "
La termodinamica si occupa di quelle leggi che spiegano in che
maniera lʼenegia meccanica si trasforma in calore e vice versa. "
Le grandezze principali coinvolte saranno la temperatura ed il calore."
Fisica x Biologi 2017 Fabio Bernardini
1
€
Temperatura
La temperatura fa parte della nostra esperienza quotidiana con la
sensazione di caldo e di freddo."
La temperatura è una grandezza intensiva. Il problema della
temperatura è la sua misura. Essa avviene indirettamente attraverso il
suo effetto su dei corpi. "
Si osseva infatti che allʼaumentare della temperatura i corpi si dilatano.
Questo è facilmente misurabile nei liquidi per cui sono nati i termometri
che noi utilizziamo. La legge che lega la temperatura al volume è: "
V (T) = V0 (1+ αT )
Dove V0 è il volume del liquido/solido quando T=0."
Il volume dei liquidi e dei solidi non si annulla mai."
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2
€
Scale termometriche
Storicamante sono state create tante definizioni di temperatura dette
scale termometriche, tutte basate sulla formula della pagina
precedente."
Nel caso dei gradi Celsius (°C) si usano come riferimento lʼacqua
bollente e lʼacqua al punto di congelamento tramite la formula:"
T = 100
V (T) − V0
V100 − V0
Per poter misurare la temperatura si suppone che valga il principio
dellʼequilibrio termico e cioè che due corpi messi a contatto
raggiungano progressivamente una temperatura comune se isolati dal
resto del mondo."
Fisica x Biologi 2017 Fabio Bernardini
3
€
Zero assoluto e gradi Kelvin
Sono sopravvissute tre scale termomentriche. Quella Fahrenheit (°F) è
utilizzata nei paesi anglosassoni. Quella Celsius negli altri paesi. Esiste
poi una scala termometrica scientifica, scala dei gradi Kelvin (°K),
basata sul comportamento dei gas. "
Quando si è iniziato a studiare i gas abbastanza rareffatti si è notato
che il loro volume soddisfa la legge: "
V (T2 ) T2 − T0
=
V (T1 ) T1 − T0
Questo vuol dire che il volume di un gas si annulla per T=T0. Siccome il
volume non può essere una quantità negativa si è capito che esiste un
valore minimo alla tempertura detto zero assoluto. Lord Kelvin allora ha
modificato la scala Celsius in modo da far partire la scala di temperatura
dallo zero assoluto mantenendo la divisione fra acqua bollente acqua
fondente di 100 gradi come nella scala Celsius."
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Scale termometriche
Qui sotto sono messe a confronto le tre scale termometriche. Si vede
che nella scala Celsius lo zero assoluto corrisponde a -273.15 °C.
Mentre nella scala Kelvin la fusione dellʼacqua avviene a 273.15 K e
lʼebbollizione a 373.15 K. "
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Il calore
Il calore è una forma di energia. È una grandezza estensiva e non va
assolutamente confusa con la temperatura che è invece una
grandezza intensiva."
Se noi abbiamo una fiamma di dimensioni costanti che scalda una
pentola piena di acqua bollente, stiamo fornendo ogni secondo una
quantità costante di calore allʼacqua. Ma sappiamo che lʼacqua bolle a
100 °C e la sua temperatura rimarra costante. Quindi il calore fornito
non necessariamente cambia la temperatura. Le due grandezze sono
completamente differenti. "
Essendo una forma di enegia il calore si misura in Joule."
Esiste però anche una unità di misura pratica che è rappresentata
dalla caloria. Si osserva infatti che se lʼacqua non bolle la sua
temperatura aumenta fornendo calore. Si è quindi chiamata caloria la
quantità di calore necessaria per scaldare di 1°C un grammo di acqua
a 14.5 °C"
Si è poi trovato che la caloria corrisponde a circa 4.18 Joule. "
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6
€
Capacità termica e calore specifico
La relazione fra calore fornito e temperatura nel caso di un corpo
solido (o liquido che non bolle) è particolarmente semplice. Infatti la
variazione di temperatura è proporzionale al calore fornito:"
Q = cmΔT
La costante c si chiama calore specifico e rappresenta il calore
necessario per aumentare di un grado K la temperatura di un Kg del
materiale considerato. Lʼunità di misura è il: J/kgK."
Il prodotto fra calore specifico e massa è la capacità termica cm.
Lʼunità di misura è il: J/K."
A volte al posto del Joule si usa come unità di misura del calore la
caloria, ma questo non fa parte del SI."
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Energia interna
La relazione fra calore fornito e temperatura nel caso di un corpo
gassoso è invece più complicata perchè il gas si dilata, compiendo un
lavoro non nullo."
Si osserva sperimentalmente che se si mette il gas in un contenitore
che gli impedisce dilatarsi allora il gas si scaldera di più rispetto al
caso del gas in un palloncino dove la dilatazione può avvenire."
Per potere trattare tutti questi casi bisogna aggiungere una grandezza
in più detta energia interna. Come tutte le energie è una grandezza
scalare estensiva e si misura in Joule."
Diremo quindi che un corpo possiede una enegia cinetica + una
energia potenziale + una energia interna. "
Solo così possiamo trattare lʼeffetto del calore."
Lʼaumento della temperatura è dovuto allʼaumento di energia interna. "
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Trasformazioni di energia
Un esempio facile è quello di due corpi isolati che ruotano in direzioni
opposte."
Allʼinizio i due corpi avranno una certa energia cinetica. Se metto a
contatto i due coprpi e li faccio strisciare le forze di attrito dissipative
azzereranno lʼenergia cinetica senza cambiare però lʼenergia
potenziale. Tutta lʼenergia cinetica diventerà energia interna.
Aumentando lʼenergia interna aumenterà la temperatura dei corpi. "
Unʼaltro esempio è quello di un gas in un pallone che viene riscaldato."
Se il pallone è fermo la sua energia cinetica macroscopica sarà nulla.
Lʼenergia potenziale sarà diversa da zero perchè per gonfiare il
pallone debbo fare un lavoro pari alla pressione atmosferica per il
volume del pallone pV. "
Se fornisco energia sotto forma di calore il pallone si dilata, quindi una
parte dellʼenergia sarà convertita in enegia interna ed una parte sarà
utilizzata come lavoro per variare lʼenergia potenziale data da pV."
Se al posto del pallone abbiamo una sfera rigida di vetro tutto il calore
andrà in energia interna. "
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Primo principio della termodinamica
Per render conto del trasferimenti di energia in termodinamica è
enunciato il Primo Principio della Termodinamica: "
ΔU = Q − L
La formula significa che la variazione di energia interna è data dal
calore fornito dallʼesterno meno il lavoro compiuto dal sistema rispetto
ai campi di forze esterni."
È importantissimo non sbagliare i segni. Q è definito in modo tale che
se il corpo riceve calore (contatto con corpo più caldo) Q > 0."
L è definito in modo tale da essere il lavoro che il sistema compie sul
mondo esterno, quindi una dilatazione da un L > 0."
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10
€
Calore specifico a volume costante
Per utilizzare il 1mo principio in modo concreto basta conoscere il
calore specifico a volume costante di un gas, ovvero la quantità di
energia necessaria per innalzare di un grado la tempertura di un Kg di
gas in un recipiente rigido (sfera di vetro). Siccome non cʼe
cambiamento di volume L=0."
ΔU = Q = cV m(T2 − T1 )
Quindi stabilisco che il calore specifico a volume costante mi fornisce
una relazione fra variazione di energia interna e temperatura. "
Se anzichè avere un recipiente rigido ho un palloncino allora scrivo: "
ΔU = Q − L = Q − pΔV = cV m(T3 − T1 )
Se lʼeffetto del calore è quello di dilatare il palloncino allora fra le
temperature T2 e T3 ci sarà una differenza:"
pΔV = cV m(T2 − T3 )
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Calore latente
Uno dei fenomeni dove il calore viene tutto trasformato in lavoro è dato
dalla fusione dalla evaporazione e dai loro processi inversi."
Quando si scioglie un cubetto di ghiaccio lʼacqua intorno rimane a zero
gradi finchè il ghiaccio non è interamente sciolto. La stessa cosa
accade quando facciamo bollire lʼacqua. La temperatura rimane 100
°C finchè cʼè liquido. "
Dove va il calore? Nel caso dellʼevaporazione è evidente che lʼenergia
è usata per staccare fra loro le molecole di H2O. Lʼenegia interna
associata ad un Kg di acqua a 100 °C non è uguale a quella del
vapore alla stessa temperatura. La stessa cosa si può dire per acqua
e ghiaccio a 0 °C. La differenza di energia interna per unità di massa
fra liquido e gas, o fra liquido e vapore è detta calore latente.
"
Il calore latente di fusione è pari a 80 calorie/grammo. Quello di
evaporazione a 540 calorie/grammo. "
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12
€
Gas perfetti, leggi di Boyle e Gay-Lussac
Lo studio scientifico dei gas nasce quando nel 1662 Robert Boyle
scoprì che se si fa variare il volume di una quantità fissata di gas il
prodotto della pressione del gas per il suo volume rimane costante.
Questa scoperta (legge di Boyle) può essere espressa come:"
p1V1 = p2V2 oppure
p1 V2
=
p2 V1
Successivamente Gay-Lussac scopri che al variare della temperatura
espressa in gradi K i gas si comportavano in modo semplice. "
A pressione costante il volume soddisfaceva la prima legge di GayLussac: "
V (T2 ) T2
=
V (T1 ) T1
A volume costante la pressione soddisfa
la seconda legge di Gay-Lussac: "
P(T2 ) T2
=
P(T1 ) T1
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€
13
Legge di Avogadro
Le leggi di Boyle e Gay-Lussac possono essere riassunte in una legge
unica quella di Avogadro. Avogadro osservò che il prodotto fra volume
e pressione è proporzionale alla temperatura del gas in gradi K ed al
numero di atomi o molecole contenute nel gas. Espressa in termini
matematici scrisse:"
pV = nRT
P è la pressione in Pascal, V il volume in m3, T la temperatura in gradi
K, n è il numero di moli. La mole è la quinta grandezza fondamentale
del SI. È la quantità di sostanza. Nel caso di una gas monoatomico
come lʼelio è la quantità di gas formata da NA atomi di elio dove NA è il
numero di Avogadro. Nel caso di un gas molecolare come lʼidrogeno
(H2) la mole è formata da NA molecole biatomiche di idrogeno. "
La legge di Avogadro è importante perchè stabilisce che pV dipende
solo dal numero di moli e non dal tipo di atomi. Quindi una mole di H2
occuperà lo stesso volume di una mole di O2, alla stessa T."
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Legge di Dalton
Abbiamo quindi che il prodotto pV è uguale a nRT, dove R è la
costante universale dei gas. "
pV = nRT
Cosa succede se ho un miscuglio di gas diversi ? In questo caso vale
la legge di Dalton. Questa legge stabilisce che ad ogni gas posso
associare una grandezza detta pressione parziale. La pressione
parziale è la pressione che in singolo gas eserciterebbe sulle pareti del
recipiente se occupasse da solo tutto il volume. La pressione parziale
obbedisce alla legge di Avogadro. Quindi: "
p1V = n1RT
p2V = n 2 RT
piV = n i RT
La legge di Dalton stabilisce che la pressione di una miscela di gas è
la somma delle pressioni parziali:"
RT
p = p1 + p2 + p3 + p4 + ... = ( n1 + n 2 + n 3 + n 4 + ...)
V 15
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Trasformazioni isoterme dei gas
Iniziamo ora a studiare le possibili trasformazioni di un gas perfetto
cio`e di un gas che obbedisce alla legge di Avogadro."
Chiamiamo trasformazione isoterma una trasformazione dove il gas
mantiene la sua temperatura ma varia il suo volume e la sua
pressione. Siccome la temperatura non varia, lʼenergia interna non
varierà: "
ΔU = 0 = Q − L
Se il sistema si espande compierà un lavoro che abbasserebbe
lʼenergia U e quindi ridurrebbe la T. Quindi per avere una T costante
devo fornire una quantità di calore uguale al lavoro fatto
dallʼespansione. Questo calore deve venire da un oggetto esterno
abbastanza grande da far si che mentre cede calore la sua
temperatura non varia. Questo oggetto esterno è chiamato termostato."
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16
Trasformazioni isoterme dei gas
Per calcolare il calore fornito dal termostato dobbiamo calcolare il
lavoro di espansione (o riduzione) fatto dal gas."
Nel caso isotermo per un gas perfetto abbiamo che il lavoro fatto da n
moli di gas per passare da un volume VA ad un volume VB è dato da: "
⎛ VB ⎞
L = nRT ln⎜ ⎟
⎝ VA ⎠
Il lavoro sarà positivo se VB > VA. Siccome per le trasformazioni
isoterme Q-L=0 allora anche Q sarà positivo (calore ricevuto dal
termostato) e il suo valore saà uguale."
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Trasformazioni isocora dei gas
Chiamiamo trasformazione isocora una trasformazione dove il gas
mantiene il suo volume ma varia la sua pressione e la sua
temperatura. Il lavoro compiuto durante la trasformazione sara nullo
quindi tutta la variazione di T sarà dovuta alla trasformazione di Q in
energia interna U: "
ΔU = Q = cV n(T2 − T1 )
Nel caso dei gas il calore specifico CV viene riferito alla mole e non alla
massa, quindi si tratta si calore specifico molare."
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Trasformazioni isobare dei gas
Chiamiamo trasformazione isobara una trasformazione dove il gas
mantiene la sua pressione ma varia il suo volume e la sua
temperatura. Il lavoro compiuto durante la trasformazione sara: "
L = p(V2 − V1 ) = nR(T2 − T1 )
Siccome la T varia cambierà anche la U. Quindi scriviamo:"
ΔU = cV n(T2 − T1 )
Q = ΔU + L = cV n(T2 − T1 ) + nR(T2 − T1 )
A questo punto si può introdurre una nuova grandezza che
rappresenta il calore necessario per innalzare di un grado K una mole
di gas a pressione costante. Questa grandezza CP è il calore specifico
molare a pressione costante. Esso può essere ottenuto da CV come:"
Q = cV n(T2 − T1 ) + nR(T2 − T1 ) = c P n(T2 − T1 )
c P = cV + R
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Trasformazioni adiabatiche dei gas
Chiamiamo trasformazione adiabatica una trasformazione dove il gas
non scambia calore con lʼesterno ma varia il suo volume, la sua
pressione e la sua temperatura. In questo caso il lavoro compiuto
durante la trasformazione sara sottratto allʼenegia interna: "
ΔU = −L
Questo vuol dire che, un gas isolato termicamente, si raffredderà in
espansione e si riscalderà in compressione. Questo perchè il lavoro
andrà a diminure o aumentare lʼenergia interna del gas e quindi la sua
temperatura. "
La matematica necessaria per risolvere il problema è complessa, qui
ricordiamo solo il risultato. In una trasformazione adiabatica da A a B
la pressione, volume e temperatura soddisfano le relazioni:"
γ
A
γ
B
pAV = pBV
γ −1
A
TAV
γ −1
B
= TBV
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€
cP
γ=
cV
20
Teoria cinetica dei gas
Chiamiamo gas perfetti i gas che obbediscono rigorosamente alla
legge di Avogadro. Nella realtà si vede che un gas è tanto più perfetto
quanto più la sua densità è bassa. Questo significa che un gas diventa
perfetto quando le sue molecole/atomi sono lontane e quindi non
interagiscono. Questa osservazione ha fatto nascere la Teoria cinetica
dei gas, una teoria che spiega il comportamento dei gas perfetti
usando lʼidea che questi gas sono formati da particelle puntiformi la cui
energia meccanica è tutta cinetica. "
È per esempio possibile dimostrare che esiste una relazione fra
energia cinetica delle molecole/atomi e pressione del gas."
Una dimostrazione rigorosa è un pò complessa ma una versione
semplificata può dare una idea."
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€
21
€
Pressione, temperatura ed energia cinetica
Immaginiamo un cubo di lato L riempito di molecole/atomi con energia
cinetica traslazionale ½ mv2. Il flusso di atomi sulle pareti sarà dato
da:"
1
1 SdΔx 1 ΔVd 1 Δm
φ = Sdv x =
=
=
2
2 Δt
2 Δt
2 Δt
Questa è la quantità di massa che ogni secondo rimbalza
elasticamente sulla superficie del recipiente. Il fattore ½ è dovuto al
fatto che metà degli atomi si muovono con un verso e lʼatra metà con
lʼaltro. Quando ho un rimbalzo sulla parete la quantità di moto
scambiata è pari al doppio della quantità di moto incidente. Poi
utilizzando il teorema dellʼimpulso che lega forza e quantità di moto
posso scrivere:"
Fx Δt = Δqx = 2v x Δm
Δm
Fx = 2v x
= Sdv x2
Δt
F
p = = dv x2
S
€
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22
Pressione, temperatura ed energia cinetica
A questo punto uso lʼisotropia dei gas dicendo che:"
vx = vy = vz
1 2
1
v x + v y2 + v z2 = d v x2 + v y2 + v z2
3
3
1
1 2
2
2
2
p = d v x + v y + v z = dv
3
3
La pressione è quindi proporzionale al quadrato della velocità delle
molecole/atomi di cui è composto un gas perfetto. "
p = dv x2 = d
(
)
(
(
)
)
Usando la legge di Avogadro possiamo scrivere: "
1
Mv 2 = RT
3
1
3
2
Mv = RT
2
2
1 2 3 R
3
mv =
T = kB T
2
2 NA
2
pV =
€
Lʼultima relazione lega il concetto di
temperatura allʼenergia cinetica."
In un gas la temperatura non è altro che una
grandezza proporzionale allʼenergia cinetica
traslazionale delle molecole/atomi che lo
compongono. "
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23
Energia interna e gradi di libertà
Abbiamo così scoperto che nel caso di un gas perfetto la famosa
energia interna è in realtà lʼenergia cinetica microscopica delle sue
particelle. "
Sappiamo che nel caso degli atomi che sono considerabili come
puntiformi lʼenergia cinetica è solo traslazionale. "
Nel caso delle molecole abbiamo sia energia traslazionale che
rotazionale. Come si distribuisce lʼenergia interna fra le due componenti
dellʼenergia cinetica ?"
Qui vale il Principio di equipartizione dellʼenergia, il quale stabilisce che
lʼenergia si distribuisce in parti uguali fra i gradi di libertà di un sistema
in equilibrio termico. Ad ogni grado di libertà compete una energia pari
a ½ kT. "
Cosa è un grado di libertà ? Esso è definito come una variabile tale che
lʼenergia dipende dal quadrato del suo valore. "
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€
24
Energia interna e gradi di libertà
Per un atomo tutto è semplice:"
1
3
2
2
2
E = m v x + v y + v z = kB T
2
2
(
)
Per una molecola biatomica abbiamo la seguente energia cinetica:"
1
1
1
5
E = m v x2 + v y2 + v z2 + I1ω12 + I2ω 22 = k B T
2
2
2
2
(
)
Abbiamo infatti due contributi dalla rotazione
intorno ai due assi ortogonali alla
congiungente degli atomi. È nullo invece il
contributo di rotazione lungo la congiungente ."
Per una molecola triatomica invece:"
1
1
1
1
6
E = m v x2 + v y2 + v z2 + I1ω12 + I2ω 22 + I3ω 32 = k B T
2
2
2
2
2
(
)
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€
25
Calore specifico e gradi di libertà
A questo punto è facile calcolare il calore specifico molare di un gas."
Per un gas atomico avremo: "
ΔE 3
3
cV =
= kB N A = R
ΔT 2
2
5
c P = cV + R = R
2
cP 5
γ=
=
cV 3
Per una gas molecolare biatomico avremo:"
5
5
cV = k B N A = R
2
2
c P = cV + R =
7
R
2
γ=
cP 7
=
cV 5
Per una gas molecolare triatomico avremo:"
6
cV = kB N A = 3R
2
c P = cV + R = 4R
cP 4
γ=
=
cV 3
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€
26
Secondo principio della termodinamica
Il Secondo Principio della Termodinamica stabilisce le leggi che
governano la trasformazione di calore in lavoro e il trasferimento di
calore da un corpo più freddo ad un corpo più caldo. "
Il trasferimento di calore da un corpo caldo ad un corpo freddo è un
fenomeno automatico ed ovvio. Nelle nostre case però abbiamo
frigoriferi e pompe di calore dove grazie al lavoro effettuato da motori
elettrici si può sottrarre calore ad un corpo raffreddandolo. "
Osservando gli split della pompa di calore si nota che in inverno uno
split cede calore riscaldando la casa mentre raffredda lʼambiente
esterno. Questo processo si oppone allʼequilibrio termodinamico che
tende ad uniformare le temperature. "
A parte i dettagli tecnici di ogni apparecchio, il funzionamento di
frigoriferi e pompe di calore è spiegabile utilizzando il ciclo di Carnot. "
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€
27
Ciclo di Carnot
Il Ciclo di Carnot è utilizzato (1) nelle macchine termiche per trasformare il
calore in lavoro; (2) nelle pompe di calore per trasferire calore da corpi
freddi a corpi caldi. Il ciclo è sempre formato di quattro trasformazioni: due
isoterme e due adiabatiche. Ad ogni isoterma segue una adiabatica e vice
versa. Quello che cambia fra (1) e (2) è il verso di percorenza del ciclo. "
D
Pressione
Compressione isoterma
Espansione
adiabatica
C
Compressione adiabatica
A
Espansione isoterma
Volume
B
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€
28
Ciclo di Carnot inverso: la pompa di calore
Esaminiamo per primo il caso della pompa di calore in cui trasferiamo
calore da un corpo freddo ad una caldo. Per questo scopo si utilizza il Ciclo
di Carnot inverso (verso antiorario). Si inizia nel punto A con una
espansione isoterma fino a B a contatto con quella che si chiama sorgente
fredda. "
ΔU = Q1 − LAB = 0
⎛ VB ⎞
Q1 = LAB = nRT1 ln⎜ ⎟ > 0
⎝ VA ⎠
Pressione
D
C
€
A
Q1 T1
Espansione isoterma
Volume
Per mantene la T costante il
sistema deve assorbire calore
Q1 a tempertura T1 sorgente
fredda. "
B
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€
29
Ciclo di Carnot inverso
Segue poi una compressione adiabatica che serve per riscaldare il gas
fino alla temperatura T2. "
3
ΔU = LCB = − R(T2 − T1 )
2
D
Pressione
€
C
Compressione adiabatica
A
B
Volume
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€
30
Ciclo di Carnot inverso
A questo punto con una compressione isoterma cedo calore alla
sorgente calda. Il calore ceduto è pari a Q2. "
ΔU = Q2 − LCD = 0
Q2 = LCD
D
⎛ VD ⎞
= −nRT2 ln⎜ ⎟ < 0
⎝ VC ⎠
Pressione
Compressione isoterma
€
Q2 T2
C
A
B
Volume
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€
31
Ciclo di Carnot inverso
Chiudo il ciclo con una espansione adiabatica che raffredda il gas fino
a riportarlo a temparatura T1 al volume VA. Posso poi ripetere il ciclo
allʼinfinito. "
3
ΔU = LDA = + R(T2 − T1 )
2
Pressione
D
€
Espansione
adiabatica
C
A
B
Volume
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€
32
Ciclo di Carnot inverso
Si nota dalle formule che le due espansioni adiabatiche hanno lavori
uguali ed opposti. Invece la compressione isoterma avviene ad una
pressione più elevata della espansione isoterma. Quindi il bilancio
energetico è quello di un lavoro necessario per fare compiere un ciclo
di Carnot. Siccome il ciclo e chiuso lʼenergia interna non varia, quindi:"
ΔU = Q − L
D
Q2 − Q1 = −L
Pressione
Compressione isoterma
Q2 T2
Espansione
adiabatica
C
A
Il calore trasferito alla
sorgente calda Q2 è pari
€al lavoro compiuto + il
Compressione
calore sottratto alla
adiabatica
sorgente fredda Q1."
Q1 T1
Espansione isoterma
Volume
B
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€
33
Teorema di Carnot
Facendo i calcoli Carnot riusci a trovare una relazione fra i due calori
che è nota come Teorema di Carnot:"
Q1 Q2
+
=0
T1 T2
⎛ T2 ⎞
⎛ T1 ⎞
L = −Q1 − Q2 = −Q1⎜1 − ⎟ = Q2 ⎜1 − ⎟
⎝ T1 ⎠
⎝ T2 ⎠
D
Pressione
Compressione isoterma
Q€
2 T2
Espansione
adiabatica
C
Compressione
adiabatica
A
Q1 T1
Espansione isoterma
Volume
B
Il risultato è che per
riscaldare un oggetto si
spende meno energia
usando una macchina di
Carnot che convertendo
direttamente il calore in
lavoro."
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€
34
Rendimento della pompa di calore
A questo punto utilizzando il Teorema di Carnot, stimiamo il
rendimendo ideale (massimo) di una pompa di calore. "
Se riscaldiamo la casa siamo interessati al rapporto fra Q2 ed L:"
Q2
T2
=
L
T2 − T1
Siccome la T deve essere data in gradi K, succede che a 300 K una
differenza di 20 gradi implica un rendimento 15. Quindi in teoria con un
a pompa da 1000 Watt possiamo scaldare a 27 °C una casa quando
fuori fa 7 °C con la stessa efficienza di 15 stufette da 1000 Watt. "
Se raffreddiamo la casa siamo interessati al rapporto fra Q1 ed L:"
Q1
T1
=
L T2 − T1
Notiamo che qui il rendimento è più basso di un fattore
T1/T2. Le pompe di calore sono un pò meno efficienti se
usate come condizionatori. Notiamo ancora che se T1
tende a zero lʼefficienza diviene nulla: Terzo principio
della Temodinamica, lo zero assoluto è irraggiungibile."
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€
35
Ciclo di Carnot: macchine termiche
Il Ciclo di Carnot è utilizzato anche per trasformare il calore in lavoro.
Questo è quello che avviene con la macchina a vapore. La cosa
interessante è che la trasformazione del calore in lavoro non può
essere totale. "
In pratica solo una parte del calore si trasforma in lavoro ed il resto del
calore viene perso. "
Il calore perso è reso al sistema ad una temperatura più bassa il che
non lo rende più disponibile per un ulteriore utilizzo nella stessa
macchina termica."
Anche in questo caso per spiegare quantitativamente questi fenomeni
si ricorre al Ciclo di Carnot."
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€
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Ciclo di Carnot: macchine termiche
Nel funzionamento della pompa di calore il Ciclo di Carnot nel diagramma
pressione-volume viene percorso in senso antiorario, con lʼeffetto di trasferire
calore da una sorgente fredda ad una calda a spesa di un certo lavoro. Nella
macchina termica il verso di percorrenza è opposto (orario) ma il ciclo è lo
stesso. Il calore viene trasferito dalla sorgente calda a quella fredda e viene
inoltre generato lavoro che può essere utilizzato. Vediamo come: "
D
Pressione
Espansione isoterma
Q2 T2
Compressione
adiabatica
C
A
Espansione adiabatica
Q1 T1
Compressione isoterma
B
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Ciclo di Carnot: macchine termiche
Come nel caso del ciclo inverso il lavoro compiuto dalle due trasformazioni
adiabatiche è opposto e quindi in totale nullo. Lʼespansione isoterma produrrà
un lavoro positivo ed un contemporaneo assorbimento di calore Q2 a
temperatura T2. Lʼespansione adiabatica cambia la temperatura del gas. Poi la
compressione isoterma cede una quantità di calore Q1 a temperatura T1 alla
sorgente fredda. La differenza Q2 - Q1 è convertita in lavoro. "
D
Pressione
Espansione isoterma
Q2 T2
Compressione
adiabatica
C
Espansione adiabatica
A
Q1 T1
Compressione isoterma
B
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Ciclo di Carnot: macchine termiche
Alcune osservazioni sono dʼobbligo. Anche qui varrà il Teorema di Carnot che
lega il lavoro a Q2 ,Q1, T2 e T1. La quantità di calore che può essere
trasformata in lavoro dipende dalla differenza fra le temperature T2 e T1. È
ovvio quindi che per produrre lavoro è importante disporre di calore ad alta T.
Il lavoro non viene prodotto direttamente dal calore ma dal suo flusso da
regioni calde a regioni fredde. In un mondo a T uniforme non si può generare
lavoro !! "
D
Pressione
Espansione isoterma
L Q2 − Q1 T2 − T1
η=
=
=
Q2
Q2
T2
Q2 T2
Compressione
adiabatica
Il rendimento η della macchina
termica sarà:"
C
Espansione adiabatica
€
A
Q1 T1
Compressione isoterma
B
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Entropia
Per gestire matematicamnte i cicli termodinamici si usa il concetto di entropia."
Se ho un ciclo termodinamico chiuso, fatto di trasformazioni adiabatiche e
isoterme avrò una forma generalizzata del Teorema di Carnot: "
Q1 Q2 Q3
+
+
+ ... = 0
T1 T2 T3
Dove Qn è il calore scambiato a temperatura Tn, con la convenzione che per
calore assorbito abbiamo Q>0 e per quello ceduto Q<0. "
Ci rendiamo conto che se definiamo entropia la quantità Q/T, questa si
conserva in un ciclo chiuso come quello di Carnot. "
Abbiamo quindi un analogo per la termodinamica del caso dei campi
conservativi in meccanica. "
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Entropia e reversibilità
In meccanica avevamo visto che se il campo di forze è conservativo allora
posso defininire in ogni punto una energia potenziale. "
In termodinamica lʼanalogo funziona dicendo che se posso andare da uno
stato A ad uno stato B tramite una trasformazione continua reversibile allora
posso definire in modo univoco una funzione S detta entropia per tutto il
cammino fra A e B. Se il cammino è chiuso lʼentropia si conserva."
Cosa vuol dire una trasformazione reversibile? Una trasformazione è
reversibile se può essere percorsa in senso opposto nelle stesse condizioni. "
La reversibiltà non è un fatto ovvio. Se io metto a contatto due solidi con
temperature diverse essi alla fine avranno la stessa temperatura. Non è però
possibile fare lʼinverso cioè partire da due corpi alla stessa T ed ottenere alla
fine due corpi a T diversa, mediante lo stesso processo cioè la conduzione di
calore. "
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Entropia e reversibilità
Abbiamo visto che il ciclo di Carnot può essere percorso in entrambi i sensi.
Possiamo immaginare di utilizzare prima il ciclo diretto per trasferire calore
dalla sorgente calda a quella fredda e produrre energia meccanica. Poi posso
immaginare di utilizzare la stessa quantità di energia meccanica per azionare
una pompa di calore che riporta il calore dalla sorgente fredda a quella calda
nella situazione originale. Quindi il ciclo di Carnot è un processo reversibile. "
Notiamo che proprio il teorema di Carnot ci garantisce che la variazione di
entropia in un ciclo è nulla:"
Q1 Q2
+
= ΔS1 + ΔS2 = 0
T1 T2
Consideriamo ora il passaggio di calore Q fra un corpo caldo (T2) ed un corpo
freddo (T1). Se il calore esce Q<0 se entra Q>0: "
Q
T2
= ΔS2 < 0
Q
T1
= ΔS1 > 0
ΔS1 + ΔS2 = ΔS > 0
La somma delle entropie aumenta in questo caso perchè la trasformazione è
irreversibile. "
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Entropia e reversibilità
Lʼentropia è molto importante in termodinamica perchè ci dice in che
direzione avviene una trasformazione termodinamica.
"
Una ipotetica conduzione di calore da corpi freddi a corpi caldi non viola il
Primo principio della Termodinamica. Esso però implicherebbe una
trasformazione in cui lʼentropia totale dei due corpi diminuisce. "
In generale diremo che se una trasformazione coinvolge N corpi essa non
avverrà se essa implica che la somma totale dellʼentropia diminuisce. "
Se la somma totale dellʼentropia aumenta la trasformazione avverrà in modo
irreversibile e cioè solo in un senso. "
Se la somma totale dellʼentropia si conserva la trasformazione avverrà in
modo reversibile e cioè potrò percorrerla indifferentemente nei due sensi,
come nel caso del ciclo di Carnot. "
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€
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Entropia nei gas perfetti
Lʼentropia come lʼenergia potenziale è definita per differenze. Ovvero non ha
un valore assoluto ma posso definire la varuazione di entropia associata ad
una trasformazione termodinamica. "
Siccome i gas perfetti sono lʼargomento più importante in una trattazione
elementare della termodinamica daremo qui alcune formula per la variazione
di entropia nelle trasformazioni più semplici dei gas perfetti. "
Trasformazione isocora di n moli da T1 a T2 :"
⎛ T2 ⎞
ΔS = ncV ln⎜ ⎟
⎝ T1 ⎠
Trasformazione isoterma di n moli da V1 a V2 :"
⎛ V2 ⎞
ΔS = ncV ln⎜ ⎟
⎝ V1 ⎠
€
Trasformazione isobara di n moli da V1 a V2 :"
€
⎛ V2 ⎞
ΔS = nc P ln⎜ ⎟
⎝ V1 ⎠
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€
€
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Entropia nei gas perfetti
Siccome a partire da uno stato con pressione P0 volume V0 e tempertura T0
posso andare in una stato qualunque grazie ad una combinazione delle tre
trasformazioni appena viste, posso definire S0 lʼentropia associata alla terna
P0 ,V0 e T0. A questo punto S per un qualunque stato di un gas perfetto potrà
essere calcolato esattamente. Il risultato può essere scritto in tante maniere
tutte equivalenti:"
⎛ P1 ⎞
⎛ V1 ⎞
S(P1,V1 ) = ncV ln⎜ ⎟ + nc P ln⎜ ⎟ + S(T0 ,V0 )
⎝ P0 ⎠
⎝ V0 ⎠
⎛ T1 ⎞
⎛ V1 ⎞
S(T1,V1 ) = ncV ln⎜ ⎟ + nRln⎜ ⎟ + S(T0 ,V0 )
⎝ T0 ⎠
⎝ V0 ⎠
⎛ T1 ⎞
⎛ P1 ⎞
S(T1,P1 ) = nc P ln⎜ ⎟ − nRln⎜ ⎟ + S(T0 ,P0 )
⎝ T0 ⎠
⎝ P0 ⎠
l
cV = R
2
c P = cV + R =
l+2
R
2
l = 3,5,6
Notate che la scelta più ovvia per P0 ,V0 e T0 sarebbe lo zero assoluto dove
€ non è fattibile perchè non si possono
tutti e tre sono nulli. Purtroppo la cosa
mettere degli zeri al denominatore. Infatti risulta che S(T=0)= - ∞ !!!!!"
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€
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Potenziali termodinamici: l’entalpia
I potenziali termodinamici sono funzioni dipendenti dallo stato del sistema che
permettono di calcolare in modo rapido il lavoro o il calore associato ad una
certa trasformazione. "
Un esempio semplice di potenziale termodinamico è lʼentalpia, definita
come : "
H = U + pV
Se considero una trasformazione isobara la variazione di entalpia è pari al
calore assorbito dal mondo esterno: "
ΔH = ΔU + pΔV = ΔU + L = Q
Lʼentalpia è il potenziale termodinamico usato nelle reazioni chimiche che
normalmente avvengono a pressione atmosferica e quindi sono isobare. "
-ΔH è il calore ceduto isotermamente dalla reazione chimica."
Se ΔH< 0 la reazione produce calore ed è quindi esotermica."
Se ΔH> 0 la reazione sottrae calore ed è quindi endotermica."
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Energia libera – potenziale di Helmholtz
Unʼaltro esempio di potenziale termodinamico è lʼenergia libera, detta anche
potenziale o energia di Helmohltz, definita come : "
F = U − TS
Se considero una trasformazione isoterma la variazione di energia libera
-ΔF è pari al lavoro compiuto dal sistema nelle trasformazioni reversibili. "
Q
ΔF = ΔU − TΔS = ΔU − T = ΔU − Q = −L
T
Lʼenergia libera di un gas perfetto è facilmente calcolabile:"
⎛ T1 ⎞
⎛ V1 ⎞
F(T1,V1 ) = U − TS = ncV T1 − ncV T1 ln⎜ ⎟ − nRT1 ln⎜ ⎟ − T1S(T0 ,V0 )
⎝ T0 ⎠
⎝ V0 ⎠
⎧⎪
⎫⎪
⎡
⎛ T1 ⎞⎤
⎛ V1 ⎞
F(T1,V1 ) = T1⎨ ncV ⎢1 − ln⎜ ⎟⎥ − nRln⎜ ⎟ − S(T0 ,V0 ) ⎬
⎪⎩
⎪⎭
⎝ T0 ⎠⎦
⎝ V0 ⎠
⎣
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€
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Entalpia libera – potenziale di Gibbs
Infine, se considero una trasformazione isoterma e isobara mi sarà utile
definire il potenziale termodinamico di Gibbs detto anche entalpia libera."
Per un sistema che conserva il volume e non scambia calore G rimane
costante se le trasformazioni sono reversibili. Siccome esistono sempre
trasformazioni irreversibili, alla fine S sarà massimizzato e quindi G non può
che diminuire."
G = U + pV − TS
Q
ΔG = ΔU − TΔS + pΔV = ΔU − T + L = ΔU − Q + L
T
Il valore massimo di S si avrà quando G raggiunge il suo valore minimo,
quindi G è il potenziale che viene minimizzato nelle trasformazioni dove il
sistema è isolato."
Per un gas pertetto avremo:"
⎧⎪
⎫⎪
⎡
⎛ T1 ⎞⎤
⎛ V1 ⎞
G(T1,V1 ) = F + P1V1 = P1V1 + T1⎨ ncV ⎢1 − ln⎜ ⎟⎥ − nRln⎜ ⎟ − S(T0 ,V0 ) ⎬
⎪⎩
⎪⎭
⎝ T0 ⎠⎦
⎝ V0 ⎠
⎣
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€
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Conduzione di calore e legge di Fourier
Nei gas e nei liquidi il calore può essere trasportato tramite mescolamento di
parti calde e fredde e quindi la dinamica è estremamente complessa."
Nei solidi invece gli atomi rimangono al loro posto vibrando intorno alla loro
posizione di equlibrio. In questo caso il fenomeno del trasporto di calore è più
semplice ed è dato dalla legge di Fourier:"
Q
S
= K ΔT
Δt
d
In pratica la quatità di calore che passa fra due parti di un corpo solido
omogeneo nellʼunità di tempo è proporzionale alla differenza di temperatura,
proporzionale allʼarea della sezione perpendcolare al flusso di calore,
inversamente€proporzionale alla distanza fra gli estremi del corpo. "
Il coefficiente K è il coefficiente di conducibilità termica."
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Fine capitolo
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