TEMA A
Esame di Statistica del 9 luglio 2014
Corso di Laurea in Economia –– Docente: S. Giordano
Cognome ______________________ Nome _______________________ Matr. ________
Esercizio 1
Dall’indagine Multiscopo sulle famiglie: indagine sui viaggi, vacanze e vita quotidiana dell’Istat ricaviamo le informazioni
circa il numero di residenti in Italia che hanno effettuato almeno un viaggio di vacanza lunga (di 4 o più notti) in
5 anni consecutivi
Anni
2008
2009
2010
2011
2012
residenti
42863
40138
40033
34750
32154
1. Calcolare le variazioni annue percentuali (e commentarne una) e la variazione percentuale media (e
commentarla). [3 punti]
Dalla stessa indagine rileviamo il numero (in migliaia) di viaggi effettuati dai residenti in Italia nel 2012 distinti
secondo il motivo del viaggio
vacanza breve (1-3 notti)
32337
vacanza lunga (4 o più notti)
36362
lavoro
10004
2. Misurare il grado di concentrazione e disegnare la spezzata di concentrazione. [3 punti]
Esercizio 2
Una sezione dell’indagine Multiscopo sulle famiglie: aspetti della vita quotidiana dell’Istat è dedicata a comprendere la
frequenza nell’utilizzo del computer da parte degli italiani. Un collettivo di intervistati in questa indagine è
classificato secondo l’età (X) e la frequenza d’uso del pc (Y) nella seguente tabella
Y
Utilizzo PC
X Età tutti i giorni
una o più volte a settimana
qualche volta al mese
6 --| 17
115
82
14
17 --| 24
199
60
5
24 --| 44
100
46
6
44 --| 75
94
59
9
1. Individuare l’unità statistica e la natura dei caratteri in esame [1 punto]
2. Rappresentare graficamente il carattere utilizzo del computer [2 punti]
3. Qual è la percentuale di intervistati con al massimo 20 anni di età?[1 punto]
4. Commentare una frequenza marginale del carattere età [1 punto]
5. Calcolare l’età mediana e commentarne il significato [2 punti]
6. Esiste dipendenza in media? Giustificare la risposta [2 punti]
7. Stabilire se tra i due caratteri in esame esiste dipendenza. Giustificare la risposta. In caso positivo,
valutare e commentare il grado di tale dipendenza. [3 punti]
Esercizio 3
Di seguito sono riportate le informazioni relative al voto conseguito alla prova di statistica (W) ed a quella di
matematica (Z) da un collettivo di studenti iscritti al primo anno del corso di laurea in ingegneria
10
∑
i =1
1.
2.
3.
4.
5.
10
z i = 260,
∑
i =1
10
w i = 233,
∑
10
z i w i = 6136,
i =1
∑
i =1
10
z i2 = 6824,
∑w
2
i
= 5559
i =1
Stabilire se il voto è maggiormente variabile nella prova di matematica o di statistica [3 punti]
Valutare il grado di correlazione esistente tra i due caratteri [3 punti]
Assumendo come variabile dipendente il voto conseguito alla prova di matematica, determinare i parametri
della retta di regressione e fornire il commento del loro significato [2 punti]
Quale voto dovrebbe conseguire all’esame di matematica uno studente che ha 24 in statistica? [1 punto]
Valutare e commentare la bontà di adattamento della retta ai dati. [1 punto]
Teoria: Descrivere il significato dei quartili. [2 punti]
TEMA A
Esercizio 1
1.
Anni
residenti
2008
42863
2009
40138
2010
40033
2011
34750
2012
32154
Mg = 4 0,936 ⋅ 0,997 ⋅ 0,868 ⋅ 0,925 = 0,9307
NI
var
var % annue
0,936
0,997
0,868
0,925
-0,064
-0,003
-0,132
-0,075
-6,36%
-0,26%
-13,20%
-7,47%
Var media = 0,9307 − 1 = −0,0693
Var %media = −6,93%
2.
Valori ordinati Pi Qi pi Qi pi‐qi 10004
1 10004 0,33 0,1271 0,2062 32337
2 42341 0,67 0,5380 0,1287 36362
3 78703 1,00 1,0000 0,0000 ∑ p =1
∑ ( p − q ) = 0,3349
i
i
i
R = 0,3349
Esercizio 2
1.
L’unità statistica è rappresentata dagli intervistati. I caratteri sono l’ “età” e la “frequenza di uso del pc”, il primo
di tipo quantitativo continuo e il secondo di tipo qualitativo ordinale.
2.
Y
n.j f.j tutti i giorni uno o + volte a
settimana
508 0,644 247 0,313 34 0,043 qualche volta al
mese
TEMA A
3.
fi.
ni. X
hi
6 --| 17
211
0,2674
0,0243 17 --| 24
264
0,3346
0,0478 24 --| 44
152
0,1926
0,0096 44 --| 75
162
0,2053
0,0066 789
1,0000
f ( X ≤ 20) = [0,2674 + (0,0478 ⋅ 3)] ⋅ 100 = 41,08%
5.
X
Me = 17 + (0,5 − 0,2674)
Fi.
6 --| 17
0,2674
17 --| 24
0,6020
24 --| 44
0,7947
44 --| 75
1,0000
24 − 17
= 21,865
0,6020 − 0,2674
7.
Tabella
nij2
ni⋅ n⋅ j
X Età tutti i giorni
6 --| 17
0,123381 17 --| 24 0,295283 24 --| 44 0,129507 44 --| 75 0,107369 Y
Utilizzo PC
una o più volte a settimana
0,129017 0,055208 0,056361 0,086995 qualche volta al mese
0,027321 0,002785 0,006966 0,014706 TEMA A
nij2
4
3
i =1
j =1
∑ ∑n n
⎡ 4
χ = ⎢∑
⎣⎢ i =1
3
χ
nij2
∑n n
2
C2 =
= 1,0349
i⋅ ⋅ j
j =1
2
max χ 2
i⋅ ⋅ j
⎤
− 1⎥ ⋅ N = 27,53
⎦⎥
= 0,02 Basso grado di dipendenza.
Esercizio 3
1.
233
= 23,3
10
5559
VarW =
− 23,3 2 = 13,01
10
260
MZ =
= 26
10
6824
VarZ =
− 26 2 = 6,4
10
13,01
CVW =
= 0,1548
23,3
MW =
CVZ =
6,4
= 0,097
26
2.
6136
− 23,3 ⋅ 26 = 7,8
10
Cov( Z ,W )
r=
= 0,85
sqm( Z ) sqm(W )
Cov( Z , W ) =
3.
Vogliamo stimare i parametri della retta
Z=a+bW
Cov( Z ,W )
7,8
bˆ =
=
= 0,60
Var (W )
13,01
aˆ = M Z − bˆM W = 26 − 0,6 ⋅ 23,3 = 12,03
4.
Z = 12,03 + 0,60 ⋅ 24
Z = 26,42
5.
R 2 = r 2 = 0,7225
