Matematica e Statistica per Scienze Ambientali
Il numero di Nepero - Appunti
E NRICO R OGORA1
1
Dipartimento di Matematica
”Sapienza”, Università di Roma
Roma, Novembre 2013
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Il numero di Nepero
Il numero di Nepero, e, può essere definito in diversi modi equivalenti.
con una successione e = limn→∞ 1 +
P∞
con una serie e = i=0 i!1
1 n
n
implicitamente da una condizione geometrica
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Re
1
1 x
=1
“
”n
ammette limite basta dimostrare che è
Per dimostrare che la successione 1 + n1
crescente e limitata. Dalla formula di Newton per la potenza del binomio, abbiamo
“n” „ 1 «1 “n” „ 1 «2 “n” „ 1 «3
+
+
+ ...
0
n
1
n
2
n
3
n
“n” „ 1 «n
“n ” „ 1 «k
+ ··· +
=
+
n
n
n
k
n(n − 1) 1
n(n − 1)(n − 2) 1
1+1+
+
+ ...
2
n2
3!
n3
n! 1
n(n − 1)(n − 2) · · · + (n − k + 1) 1
+ ··· +
=
+
k!
nk
n! nn
„
«
„
«„
«
„
«„
«
„
«
1 1
1
2 1
1
2
n−1 1
2+ 1 −
+ 1−
1−
+· · ·+ 1 −
1−
··· 1 −
n 2!
n
n 3!
n
n
n
n!
”n
“
1
a
Da quest’ultima scrittura si vede come passando da s(n) = 1 + n
“
”n+1
1
s(n + 1) = 1 + n+1
si aggiunge un addendo e come il k esimo addendo di s(n)
„
1+
1
n
«n
=
“n ” „ 1 « 0
+
(k da 0 a n) sia non maggiore del k-esimo addendo di s(n + 1) e quindi
1
, che a sua
s(n) ≤ s(n + 1). Inoltre, essendo il k esimo addendo di s(n) minore di k!
1
volta è minore di 2k abbiamo che
lim s(n) ≤ 1 +
n→∞
∞
X
1
=3
2k
k=0
e quindi s(n) è crescente e limitata e quindi ammette limite.
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Calcolo approssimato di e
Posto s(n) = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + · · · + 1/n! abbiamo che
e = limn→∞ s(n) e
e − s(n) = 1/(n + 1)! + 1/(n + 2)! + · · · =
1/(n + 1)!(1 + 1/(n + 2) + 1/(n + 2)(n + 3) + · · · ≤
1/(n + 1)!(1 + 1/(n + 2) + 1/(n + 2)2 + · · · = (n + 2)/(n + 1)(n + 1)!
Abbiamo quindi una formula per controllare l’errore che commettiamo
utilizzando s(n) per approssimare e. Per esempio, per n = 5 abbiamo
che l’errore commesso sostituendo a e il valore
1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 = 2.716667...
è inferiore a 0.0016204.
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
