Fenomeni ondulatori
Le onde fanno parte della nostra vita quotidiana. La luce e il suono
sono due esempi di onde che interagiscono con il nostro corpo. !
Anche le onde del mare sono un fenomeno ondulatorio importante e
utile per la comprensione di questo argomento.!
Le onde del mare sono un esempio molto utile per capire il fenomeno
della propagazione delle onde. Quando una onda viaggia nel mare le
molecole di acqua non seguono lʼonda ma semplicemente oscillano
intorno ad una posizione centrale. !
Questo è un fatto generale. Nelle onde quello che si propaga è
lʼoscillazione (la perturbazione) non la materia di cui è fatta lʼonda. !
Lʼonda è tipicamente un fenomeno periodico. La materia di cui è
costituita lʼonda torna a punto di partenza dopo un tempo T. !
Fisica x Biologi 2017 Fabio Bernardini
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Periodo e lunghezza d’onda
Una tipica onda sarà caratterizzata da una grandezza scalate
intensiva detta periodo: T. Il periodo non è altro che il tempo
necessario perche lʼoscillazione del mezzo in cui viaggia lʼonda torni al
punto di partenza. !
Le onde come sappiamo si propagano. Punti adiacenti di una onda del
mare oscillano assieme, ma l’oscillazione presenta un ritardo via via
che osservo punti più distanti. !
Notiamo però che in unʼonda del mare
esistono punti ad una certa distanza
che si muovono allʼunisono. La
distanza fra questi punti è un multiplo
di una lunghezza detta: lunghezza
dʼonda. Essa è genericamente indicata
con la lettera λ, è un grandezza
scalare intensiva.!
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Onde trasversali e longitudinali
Una divisione importante è quella fra onde longitudinali ed onde
trasversali. !
Come si vede nella animazione le due onde si propagano
orizzontalmente. Diciamo quindi che la direzione di propagazione è
parallela allʼsasse delle x. !
Le due onde però sono diverse. A sinistra lʼoscillazione avviene
parallelamente (longitudinalmente) alla propagazione. A destra
avviene perpendicolarmente (trasversalmente) alla propagazione. !
Onda longitudinale.!
Onda trasversale. !
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Onde monocromatiche piane
Il tipo più semplice di onda è quella monocromatica.!
È una onda descritta da una funzione sinusoidale di questo tipo:!
⎡ ⎛ t x ⎞ ⎤
s(x,t) = nˆ ⋅ Asin ⎢2π⎜ − ⎟ ⎥
⎣ ⎝ T λ ⎠ ⎦
La funzione descrive lo spostamento s(x,t) dalla posizione media di
una particella del mezzo nel punto x allʼistante t. !
Il vettore n indica la direzione dellʼoscillazione. La costante A è
lʼampiezza massima dellʼoscillazione. T è il periodo e λ la lunghezza
dʼonda. !
Siccome nella formula appare solo la coordinata x la direzione di
propagazione è parallela allʼasse x. !
Se la direzione di propagazione è costante, lʼonda è della piana. !
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Onda monocromatica piana longitidinale
Qui sotto abbiamo un caso di onda monocromatica, longitudinale e
piana. !
È lʼonda descritta dalla funzione sotto dove n è parallelo allʼasse x:!
⎡ ⎛ t x ⎞ ⎤
s(x,t) = nˆ ⋅ Asin ⎢2π⎜ − ⎟ ⎥
⎣ ⎝ T λ ⎠ ⎦
nˆ = (1,0,0)
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Onda monocromatica piana trasversale
Qui sotto abbiamo un caso di onda monocromatica, trasversale e
piana. !
È lʼonda descritta dalla funzione sotto dove n è parallelo allʼasse y:!
⎡ ⎛ t x ⎞ ⎤
s(x,t) = nˆ ⋅ Asin ⎢2π⎜ − ⎟ ⎥
⎣ ⎝ T λ ⎠ ⎦
nˆ = (0,1,0)
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€
€
Onde piane e onde sferiche
Abbiamo visto che unʼonda piana che si propaga lungo lʼasse delle x è
descritta dalla formula: !
⎡ ⎛ t x ⎞ ⎤
s(x,t) = nˆ ⋅ Asin ⎢2π⎜ − ⎟ ⎥
⎣ ⎝ T λ ⎠ ⎦
(onda piana)
Esiste unʼaltro tipo importante di onda chiamata onda sferica. Essa si
ottiene sostituendo nella formula precedente la coordinata x con la
distanza r da un punto centrale.!
A ⎡ ⎛ t r ⎞ ⎤
s(r,t) = nˆ ⋅ sin ⎢2π⎜ − ⎟ ⎥
r
⎣ ⎝ T λ ⎠ ⎦
(onda sferica) r = x 2 + y 2 + z 2
Notiamo che al posto dellʼampiezza A adesso abbiamo A/r. Questo
vuol dire che nel caso di una onda sferica lʼampiezza dellʼonda
decresce con la distanza come 1/r. Questo non ci sorprende poichè
quando lanciamo un sasso un uno stagno osserviamo la stessa cosa !!!
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Onde piane e onde sferiche
Questo filmato ci fa vedere che nel caso di unʼonda sferica lʼampiezza
non è costante ma vale A/r. !
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Diffrazione e principio di Huygens
È possibile trasformare una onda piana in onda sferica. Basta farla
passare per una apertura che sia più piccola della lunghezza dʼonda λ.!
Se non esistesse questo fenomeno non potremmo ascoltare la voce di
una persona che è dietro un ostacolo!! !
Una piccola apertura circolare si comporta come una sorgente di onde
sferiche: principio di Huygens. !
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Diffrazione e principio di Huygens
È possibile trasformare una onda piana in onda sferica. Basta farla
passare per una apertura che sia più piccola della lunghezza dʼonda λ.!
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Velocità di propagazione dell’onda
Ci possiamo chiedere a che velocità di propaga unʼonda descritta dalla
formula qui sotto:!
⎡ ⎛ t x ⎞ ⎤
s(x,t) = nˆ ⋅ Asin ⎢2π⎜ − ⎟ ⎥
⎣ ⎝ T λ ⎠ ⎦
(onda piana)
La velocità di propagazione di unʼonda è banalmente il rapporto fra la
lunghezza dʼonda ed il periodo:!
€
€
v=
λ
T
Tipici esempi di velocità di propagazione di unʼonda sono dati dal
suono (340 m/s) e della luce (300 000 Km/s).!
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€
Onde stazionarie
Le onde dicui ci siamo occupati finora erano onde piane o sferiche
libere di propagarsi fino allʼinifinito.!
Esistono poi onde dette onde stazionarie. Queste sono onde che si
formano in ambienti dove lʼonda è costretta allʼinterno di un certo
volume. Questi volumi sono detti cavità. Lʼonda viene riflessa alla
superficie interna della cavità. !
Il caso più semplice di cavità è quello rappresentato per la luce da due
specchi paralleli. Per il suono da due pareti parallele.!
Si simostra che in corrispondenza delle sudette superfici lʼampiezza
dellʼonda si annulla. Questo fa si che per unʼonda stazionaria la sua
formula sia:!
⎡ ⎛ t ⎞ ⎤
⎡ ⎛ x ⎞ ⎤
s(x,t) = nˆ ⋅ Asin ⎢2π⎜ ⎟ ⎥ sin ⎢2π⎜ ⎟ ⎥
⎣ ⎝ T ⎠ ⎦
⎣ ⎝ λ ⎠ ⎦
(onda stazionaria)
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Onde stazionarie
Nellʼonda stazionaria non cʼe propagazione nel senso ordinario del
termine.!
Inoltre si può notare che la lunghezza dʼonda λ deve essere legata alla
lunghezza della cavità dalla legge: !
L
λ =2
n
n = 1,2,3,...
€
⎡ ⎛ t ⎞ ⎤
⎡ ⎛ x ⎞ ⎤
s(x,t) = nˆ ⋅ Asin ⎢2π⎜ ⎟ ⎥ sin ⎢2π⎜ ⎟ ⎥
⎣ ⎝ T ⎠ ⎦
⎣ ⎝ λ ⎠ ⎦
(onda stazionaria)
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€
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€
Onde stazionarie
Siccome la velocità di unʼonda è fissata dal tipo di onda e dal mezzo
quello che succede è che per una onda stazionaria : !
λ =2
L
n
n = 1,2,3,...
λ
L
v = =2
T
nT
L
T =2
nv
1
v
=n
T
2L
Le frequenze di oscillazione sono tutte multipli interi di v/2L. !
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Interferenza
Lʼinterferenza è un fenomeno che accade quando due onde con
caratteristiche simili si sovrappongono. !
Lʼesempio più semplice è quello di unʼonda piana che passa per due
fenditure vicine: !
Vengono generate due onde sferiche
centrate in due punti differenti. !
A ⎡ ⎛ t r1 ⎞ ⎤
s1 (r,t) = nˆ ⋅ sin ⎢2π⎜ − ⎟ ⎥
r
⎣ ⎝ T λ ⎠ ⎦
A ⎡ ⎛ t r2 ⎞ ⎤
s2 (r,t) = nˆ ⋅ sin ⎢2π⎜ − ⎟ ⎥
r
⎣ ⎝ T λ ⎠ ⎦
€ x Biologi 2017 Fabio Bernardini
Fisica
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Interferenza
Quel che succede è che la distribuzione di intensità dellʼonda non è
uniforme anche se le due onde singole sono sferiche. !
Lʼ intensità dellʼonda dipende dalla direzione di propagazione. !
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Interferenza
Quando due onde interferiscono si crea una onda singola somma delle
ampiezze delle due onde sovrapposte: !
r1 − r2 = d sin(θ )
A ⎡ ⎛ t r1 ⎞ ⎤
A ⎡ ⎛ t r2 ⎞⎤
s(r,t) = s1 (r,t) + s2 (r,t) = nˆ ⋅ sin ⎢2π⎜ − ⎟ ⎥ + nˆ ⋅ sin ⎢2π ⎜ − ⎟⎥
r
r
⎣ ⎝ T λ ⎠ ⎦
⎣ ⎝ T λ ⎠⎦
€
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Interferenza
La somma delle due onde può essere risolta e si ottiene un formula
che presenta un risultrato notevole: !
A ⎡ ⎛ t r1 ⎞ ⎤
A ⎡ ⎛ t r ⎞⎤
sin ⎢2π⎜ − ⎟ ⎥ + nˆ ⋅ sin ⎢2π ⎜ − 2 ⎟⎥
r
r
⎣ ⎝ T λ ⎠ ⎦
⎣ ⎝ T λ ⎠⎦
⎡ ⎛ t r2 ⎞ ⎤⎫
A ⎧ ⎡ ⎛ t r1 ⎞⎤
s(r,t) = nˆ ⋅ ⎨sin ⎢2π ⎜ − ⎟⎥ + sin ⎢2π⎜ − ⎟ ⎥⎬
r ⎩ ⎣ ⎝ T λ ⎠⎦
⎣ ⎝ T λ ⎠ ⎦⎭
r1 − r2 = d sin(θ )
A ⎛ πd sin(θ ) ⎞⎪⎧ ⎡ ⎛ t r ⎞⎤ ⎪⎫
ˆ
s(r,t) = n⋅ cos⎜
⎟⎨sin ⎢2π ⎜ − ⎟⎥ ⎬
⎝
⎠⎪⎩ ⎣ ⎝ T λ ⎠⎦ ⎪⎭
r
λ
s(r,t) = s1 (r,t) + s2 (r,t) = nˆ ⋅
€
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Interferenza
Quando lʼangolo θ soddisfa lʼultima equazione non si ha nessuna
oscillazione del mezzo. Questa è detta interferenza distruttiva. !
⎛ πd sin(θ ) ⎞
s(r,t) = 0 = cos⎜
⎟
⎝
⎠
λ
πd sin(θ )
π
= (2n +1)
λ
2
2d sin(θ )
= (2n +1)
λ
d
sin(θ ) = ( n +1/2)
λ
€
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Diffrazione da una fenditura
Abbiamo visto che se la lunghezza dʼonda di una onda è pari o più
grande della larghezza di una fenditura, una onda piana passando si
trasforma in onda sferica. !
Fenditura piccola, λ grande =
onda sferica!
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Diffrazione da una fenditura
Se invece la lunghezza dʼonda è piccola rispetto alla larghezza di una
fenditura, una onda piana passando rimane quasi invariata. !
Fenditura grande, λ piccola =
onda piana.!
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Diffrazione da una fenditura
Esiste un caso intermedio in cui la fenditura ha una larghezza un pò
più grande della lunghezza dʼonda. In questo caso il fenomeno della
diffrazione trasforma lʼonda in un onda sferica particolare con una
intensità che dipende fortemente dalla direzione. !
C
B
Nel punto indicato con A
lʼonda arriva. In B no !!!
In C si ma un po più debole. !
A
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Diffrazione da una fenditura
Esiste un caso intermedio in cui la fenditura ha una larghezza un pò
più grande della lunghezza dʼonda. In questo caso il fenomeno della
diffrazione trasforma lʼonda in un onda sferica particolare con una
intensità che dipende fortemente dalla direzione. !
C
B
Nel punto indicato con A
lʼonda arriva. In B no !!!
In C si ma un po più debole. !
A
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Diffrazione da una fenditura
Lʼintensità dellʼonda diffratta dalla fenditura ha un andamento
oscillante che decresce con lʼangolo θ. !
C
B
A
Intensità si annulla per valori
dellʼangolo θ, che soddisfano
questa lʼequazione:!
a
sin(θ ) = n
λ
€
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n = 1,2,3,...
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Onde elettromagnetiche
Le onde elettromagnetiche sono oscillazioni del campo elettrico e
magnetico che avvengono anche nel vuoto in assenza di materia. !
C
B
A
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Onde elettromagnetiche
La principale differenza i vari tipi di onde sta nella lunghezza dʼonda λ.!
Per valori di λ tra 400 nm e 700 nm abbiamo la luce che il nostro
occhio vede. !
C
B
A
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Onde elettromagnetiche
Le onde elettromagnetiche sono onde trasversali perchè il campo
elettrico E ed il campo magnetico B che oscillano sono tutti e due
pependicolari alla direzione di prpagazione dellʼonda. !
C
B
A
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Fine capitolo
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