Lezione XV
Lavoro e Energia
1
Energia meccanica in presenza di forze dissipative
Abbiamo visto che se le forze agenti su un punto materiale sono conservative,
l’energia meccanica E = 12 mv 2 + U (~r) si conserva, cioè rimane costante nel
tempo.
Che cosa accade se oltre alle forze conservative sono presenti forze dissipative
(gli attriti), che compiono cioè lavoro sempre negativo?
La variazione di energia cinetica è sempre uguale al lavoro della forza totale:
Z B
Z B
Z B
F~diss ·d~r = U (A)−U (B)+Wdiss
F~cons ·d~r+
F~tot ·d~r =
K(B)−K(A) =
A
A
A
Poiché Wdiss < 0 se ne deduce che
K(B) − K(A) < U (A) − U (B) → K(B) + U (B) < K(A) + U (A)
L’energia meccanica totale, legata alla“capacità di mettere in moto i corpi”,
non può che diminuire in presenza di forze dissipative (che esistono sempre, in
misura più o meno grande, nel mondo macroscopico).
2
Conservazione dell’energia: moto unidimensionale
Consideriamo il caso di un punto materiale soggetto a una forza unidimensionale generica dipendente solo dalla posizione, F (x). Come vedremo, il caso è
formalmente identico a sistemi apparentemente più complessi, ma in realtà descritti da una sola coordinata (per esempio, un corpo solido di forma complicata
vincolato a ruotare attorno a un asse fisso).
Se la forza dipende solo dalla posizione, come abbiamo ipotizzato, allora è
conservativa e ammette un’energia potenziale
Z xB
WAB =
F (x)dx = U (xA ) − U (xB )
xA
dove U (x) è una primitiva di F cambiata di segno, ossia una funzione tale
che F = − dU
dx .
L’energia totale E = 12 mv 2 + U (x) è una costante del moto determinata
dalle condizioni iniziali x(0) e v(0)
1
U(x) E x2 x1 x Figura 1: Moto unidimensionale in presenza di un’energia potenziale U (x). La
regione permessa è quella in cui U < E, ed è in questo caso compresa tra i due
punti di inversione x1 e x2
Poiché l’energia cinetica K = 21 mv 2 è sempre maggiore o uguale a zero,
si ha che durante tutto il moto deve rimanere verificato che U (x) ≤ E. La
condizione individua l’intervallo1 di valori delle x per cui il moto è permesso
(date le condizioni iniziali), come illustra la figura 2. I punti x1 e x2 (che possono
anche trovarsi all’infinito), sono detti punti di inversione e sono quelli in cui
U (x) = E, e dunque K = 0. In ognuna delle posizioni intermedie x1 < x < x2 il
punto materiale avrà energia cinetica positiva K = E − U e una velocità fissata
2
(a parte il segno), data da v 2 = m
(E − U ).
In corrispondenza di ciascun punto di inversione la velocità cambia segno.
Consideriamo per esempio il moto in prossimità del punto x1 . Supponiamo che
il punto si trovi in x1 + ∆x con ∆x sufficientemente piccolo da permetterci
di da approssimare la funzione U (x) come una retta che ha come coefficiente
angolare il valore della derivata nel punto x1 (sviluppo di Taylor al primo ordine
– in realtà è semplicemente la definizione di derivata come limite del rapporto
incrementale):
dU
U (x1 + ∆x) ≈ U (x1 ) +
∆x
dx
Non consideriamo il caso (particolare) di dU
dx (x1 ) = 0. Negli altri casi il valore
della derivata in x1 sarà negativo se il punto rappresenta l’estremo inferiore
della regione permessa, giacché la in quel punto la funzione U (x) passa da valori
“proibiti” maggiori di E a valori “permessi” minori di E ed è quindi decrescente.
1 In realtà gli intervalli che soddisfano la condizione U (x) < E possono essere più di uno,
tutti disgiunti tra loro. Uno solo di questi sarà però quello in cui si trova il punto materiale
date le condizioni iniziali: quello sarà l’unico possibile per il moto, giacché per raggiungere
un intervallo disgiunto il punto dovrebbe attraversare una regione “proibita” per cui non può
passare.
2
Il moto in prossimità del punto di inversione x1 è approssimabile con un
1 dU
F
= −m
moto uniformemente accelerato con accelerazione a = m
dx > 0. Se il
punto m si stava dirigendo verso il punto x1 con velocità v < 0, in prossimità
del punto subisce un’accelerazione positiva, e la direzione di v si inverte.
Osserviamo che, viceversa, in nessun altro punto compreso tra x1 e x2 si
ha inversione del moto, poiché questa implicherebbe necessariamente v = 0,
mentre per tutti i punti compresi strettamente tra i due estremi la velocità non
è nulla. Dunque il punto prosegue nello stesso verso fino ad arrivare a un punto
di inversione, dove il moto si inverte e viene ripetuto identico ma a ritroso.2 Nel
caso rappresentato in figura, dunque, in cui la regione permessa è delimitata da
due valori finiti (moto limitato), il moto è sempre periodico e dunque oscillatorio,
anche se non necessariamente armonico.
Approfondimento: legge oraria del moto unidimensionale generico
(Come sempre, si tratta di un approfondimento non indispensabile, destinato a
chi ha maggior dimestichezza con l’elaborazione matematica formale.)
Consideriamo il caso di moto unidimensionale rappresentato in figura 2.
Nella regione di moto permessa vale
m 2
v = E − U (x)
2
da cui, scegliendo per v =
dx
dt
la soluzione positiva (moto di ”andata”)
r
dx
2
=
[E − U (x)]
(1)
dt
m
Questa è un’equazione
differenziale a variabili separabili: dividendo entrambi
q
i membri per dt/
2
m [E
− U (x)] si ha
dx
q
2
m [E
= dt
(2)
− U (x)]
Integrando a destra tra 0 e t e corrispondentemente a sinistra tra x(0) e x(t),
si ottiene una equazione del tipo t = f (x) che si può usare per ottenere x(t)
invertendo opportunamente la funzione, oppure per calcolare, per esempio, la
durata del moto tra i due punti di inversione.
Infatti integrando l’equazione 2 x1 e x2 a sinistra e tra i corrispondenti istanti
t1 e t2 a destra, otteniamo
Z x2
1
q
dx = t2 − t1 = ∆t
2
x1
m [E − U (x)]
A sinistra abbiamo un integrale definito perfettamente calcolabile, anche se
non sempre in modo analitico: a destra invece l’intervallo di tempo trascorso
durante il moto da x1 a x2 , pari al semiperiodo del moto periodico di andataritorno tra i due punti di inversione. Con questa tecnica si può per esempio
calcolare il periodo esatto di un pendolo matematico in funzione dell’ampiezza,
e stabilire di quanto devia dall’isocronicità.
2 In linea di principio la legge oraria è perfettamente determinabile, come illustrato
nell’approfondimento.
3
Esempio: il pendolo semplice reloaded Torniamo al pendolo semplice visto qualche lezione fa, e riesaminiamolo alla luce della conservazione dell’energia
meccanica.
L’energia cinetica se il pendolo ha massa m e lunghezza ` si scrive
K=
m 2
m
v = θ̇2
2
2
dove al solito θ è l’angolo tra il pendolo e la verticale.
z
y
x
θ
θ0
-θ0
mg
Figura 2: In assenza di attriti, la regione permessa per il moto del pendolo è
−θ0 < θ < θ0 , con −mg` cos θ0 = E
L’energia potenziale della forza peso, se ne prendiamo lo zero in corrispondenza del punto di sospensione, vale U = −mg cos θ.
La conservazione dell’energia ci dice che
E = U + K = −mg cos θ +
m 2
`θ̇
2
è costante.
L’angolo massimo (in valore assoluto) a cui arriva il pendolo si trova imponendo che si tratti di un punto di inversione, ossia di un punto in cui l’energia
cinetica si annulla e U (θ0 ) = −mg`θ0 = E, da cui
cos θ0 = −
E
mg`
Notiamo che se E > mg` l’equazione non ha soluzione (si dovrebbe avere cos θ < 1).
Questo significa che il pendolo ha energia sufficiente (per esempio data da una velocità
iniziale abbastanza grande) da riuscire a fare il giro completo attorno al punto di
sospensione. Formalmente non ci sono punti di inversione perché in questo caso θ(t)
è una funzione sempre crescente (o sempre decrescente): il pendolo continua a girare
attorno al perno, sempre nello stesso verso.
L’energia potenziale ha un minimo per θ = 0. Questo corrisponde al massimo
valore possibile dell’energia cinetica e quindi della velocità:
4
2
vmax
=
2
2
[E − U (θ = 0)] = (E − mg`)
m
m
Esempio: Energia potenziale gravitazionale e velocità di fuga Consideriamo la conservazione dell’energia nel caso di forza gravitazionale esercitata
su un punto materiale di massa m da di un corpo di massa M m considerato fermo in un sistema inerziale. Come abbiamo visto, con la convenzione di
prendere lo zero dell’energia potenziale all’infinito l’energia potenziale è sempre negativa e tende asintoticamente a 0 per r → ∞ Abbiamo, per l’energia
meccanica totale
Mm
1
(3)
E = mv 2 − G
2
r
E>0
r
rmax
E<0
U(r)
Figura 3: Se l’energia totale E è negativa, esiste un raggio massimo rmax oltre al
quale il corpo m non può allontanarsi. Se invece E > 0 il corpo m si allontana
indefinitamente e sfugge all’attrazione di M .
Se disegniamo U (r) come in figura 3 possiamo fare alcune considerazioni
sul moto – che non è unidimensionale e quindi dal punto di vista rigoroso va
trattato in maniera diversa.
Già da questo grafico, tuttavia, ci si convince facilmente che il comportamento del corpo m è diverso al seconda del segno dell’energia totale E. Se infatti
E < 0 esiste sicuramente una distanza massima rmax (tale che U (rmax ) = E)
oltre la quale il corpo m non può allontanarsi dal centro di attrazione. Per
r > rmax , infatti, si avrebbe U > E, e ciò non è possibile, come abbiamo visto.
Al contrario, se E > 0 il corpo m può allontanarsi indefinitamente dal centro
e “sfuggire” cosı̀ all’attrazione di M .
• Problema: Quanto vale la velocità minima (velocità di fuga) che si deve imprimere a un razzo sparato dalla superficie terrestre per riuscire a
farlo allontanare indefinitamente? (Occorre conoscere un risultato non
completamente banale, qui non dimostrato: per quanto riguarda la forza
5
gravitazionale esercitata sui corpi al suo esterno la Terra – e in generale
qualunque corpo a simmetria sferica – si comporta come se la sua massa
fosse tutta concentrata nel centro).
• Risposta: Se il razzo parte dalla superficie terrestre si trova inizialmente a
una distanza dal centro della Terra pari al raggio terrestre. La sua energia
potenziale gravitazionale vale
U0 = −G
mMT
RT
(4)
dove MT è la massa della Terra, e RT il suo raggio. Per poter allontanarsi
indefinitamente deve avere almeno energia totale nulla: K + U0 = 0. La
minima energia cinetica necessaria è quindi
1
mv 2 = −U0
2 F
da cui
vF2 = 2G
MT
RT
Per ottenere il valore numerico usiamo il valore noto della forza di gravità
in prossmità della superficie terrestre¿
mg = G
mMT
GMT
⇒
= gRT
2
RT
RT
Otteniamo per la velocità di fuga
vF2 = 2gRT = 2 × 9.8ms−2 × 6.4 × 106 m ≈ 12.5 × 107 m2 s−2
da cui
vF ≈ 11 × 103 m/s = 11km/s
3
Punti di equilibrio. Equilibrio stabile e instabile
Un punto materiale si trova in equilibrio se, date le condizioni inziali ~r(0) =
~r0 e ~v (0) = ~r˙ (0) = 0 (il corpo è fermo all’istante iniziale), la soluzione del
moto è ~r(t) = ~r0 : il punto rimane fermo anche agli istanti successivi. Questo
naturalmente implica che la sua accelerazione sia nulla in ogni istante e dunque
che si abbia F~ tot = 0. Se siamo in presenza di una forza conservativa, questo
significa che
~ =0
F~ = −∇U
6
Tutte le componenti della forza devono essere nulle, e dunque
∂U
=0
∂x
∂U
=0
∂y
∂U
=0
∂z
Consideriamo per semplicità il caso unidimensionale descritto da un’energia
potenziale U (x) : un punto x0 sarà di equilibrio se
dU
(x0 ) = 0
dx
Questo significa x0 è un punto stazionario per la funzione U (x), che quindi
in quel punto ha un massimo, un minimo o un flesso.
Se U ha un minimo in x0 , l’equilibrio è stabile, cioè tale che una piccola
perturbazione tenda a riportare il sistema (in questo caso il punto materiale)
all’equilibrio, o a mantenerlo comunque in un intorno del punto stesso.
Consideriamo infatti un piccolo spostamento da x0 a x0 +∆x. Se la funzione
ha un minimo in x0 , in un intorno del punto sarà crescente per ∆x > 0 e
decrescente per ∆x < 0: la sua derivata prima U 0 ≡ dU
dx sarà dunque positiva
per ∆x > 0 e negativa per ∆x < 0, passando per lo zero in x0 . La derivata
prima è dunque una funzione crescente in x0 , e ha a sua volta derivata positiva.
Usando al solito la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale possiamo scrivere che
U 0 (x0 + ∆x) ≈ U 0 (x0 ) +
0
dU 0
dU 0
(x0 )∆x =
(x0 )∆x = −k∆x
dx
dx
2
d U
con k ≡ dU
dx (x0 ) = dx2 (x0 ) > 0
indipendentemente dal segno di ∆x.
Dunque la forza risentita dal punto materiale per un piccolo spostamento ∆x
dalla posizione di equilibrio x0 è una forza di richiamo di tipo elastico: il punto
oscilla armonicamente attorno alla posizione di equilibrio, senza allontanarsi.
La situazione è rappresentata graficamente dal punto di vista energetico in
figura 4: se la funzione U (x) ha un minimo locale e se il valore dell’energia totale
E è di poco superiore al valore di U nel punto di minimo, il moto è limitato a un
intorno del minimo stesso. Questo significa che se il punto materiale era fermo
nel minimo (K = 0 → E = Umin ) e gli viene fornita un po’ di energia extra
(mettendolo in moto con una piccola velocità, o spostandolo di poco e quindi
aumentando U ), il punto si muoverà sempre in un piccolo intorno del punto di
minimo, in generale con un moto armonico (piccole oscillazioni).
A causa degli attriti inevitabilmente presenti nel mondo degli oggetti macroscopici, l’energia totale inevitabilmente diminuirà col tempo e il punto finirà con
il ritrovarsi fermo in un punto di minimo dell’energia potenziale (compatibile
con i vincoli e con le condizioni iniziali).
7
U(x) E x1 x2 x Figura 4: Se l’energia totale E supera di poco il valore minimo (locale) dell’energia potenziale, il moto è limitato a un intorno del punto di minimo (equilibrio
stabile)
Equilibrio instabile Con considerazioni del tutto analoghe a quelle fatte
sopra (cambia solo un segno), si vede che se il punto di equilibrio non è un
punto di minimo relativo, ma è di massimo relativo o di flesso, il ragionamento
seguito sopra non è più valido.
In particolare, nel caso di massimo relativo si ha che la funzione U 0 è decrescente nel punto di equilibrio (la derivata seconda è negativa). La forza per
un piccolo spostamento diventa quindi approssimativamente proporzionale allo
spostamento ma positiva
U 0 (x0 + ∆x) ≈ U 0 (x0 ) +
dU 0
dU 0
(x0 )∆x =
(x0 )∆x = k∆x
dx
dx
con k > 0.
La forza tende ad allontanare il punto materiale dal punto di equilibrio3 , che
è quindi un punto di equilibrio instabile. Anche un grafico equivalente a quello
di figura 4 ci mostra che la conservazione dell’energia limita il moto a un intorno
del punto di equilibrio solo nel caso in cui questo sia stabile, ossia un minimo
locale di U .
3 l’equazione del moto diventa mẍ = kx che ha soluzioni di tipo esponenziale x(t) = Aeαt
con α2 = k/m
8
