Astronomia
Lezione 23/10/2014
Docente: Alessandro Melchiorri
e.mail:[email protected]
Slides delle lezioni:
oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2014
(e ci sono veramente !!)
Il Corpo Nero
Legge di Planck
Brillanza
Legge di Wien
Legge di Stefan-Boltzmann
Legge di Stefan-Boltzmann
(caso per sfera di raggio R)
Regioni di Wien e Rayleigh-Jeans
2c kT
lim B T
4
lim e
x 0
hcx / kT
hc
1
x ..
kT
Rayleigh-Jeans
(catastrofe ultravioletta)
à
I (erg cm-3 s-1)
2hc 2
1
B T 5 hc / kT
e
1
Rayleigh-Jeans
2hc 2 hc / kT
lim B T 5 e
Wien
0
I (erg cm-3 s-1)
l (mm)
Wien
l (mm)
Il Corpo Nero - Esempi
La curva di corpo nero produce un buon
accordo con le curve di intensità delle stelle.
Tuttavia come vedremo ci sono delle variazioni
dovute ad esempio a righe di assorbimento
dell’atmosfera stellare frapposta tra noi e la
stella.
L’oggetto che e’ in miglior accordo in natura
con la curva di corpo nero è lo spettro della
radiazione di fondo cosmico, immagine
dell’Universo circa 13.6 miliardi di anni fa.
In figura riportiamo le misure del satellite COBE
che hanno portato al premio Nobel 2006.
I dati sono in accordo impressionante con una
Distribuzione di corpo nero a 2,726 K.
Indici di colore
Ricordiamo che le osservazioni astronomiche vengono fatte in tre bande principali:
Banda U (Ultravioletto) centrata a 365nm con larghezza di circa 68nm
Banda B (Blu) centrata a 440 nm con larghezza di circa 98nm
- Banda V (Visibile) centrata a 550 nm con larghezza di circa 89nm
-
Indici di colore
Abbiamo quindi introdotto gli indici di colore come differenze tra magnitudini
(apparenti o assolute) tra bande:
dato che sono magnitudini una stella con indice di colore B-V piu’ piccolo sara’
piu’ luminosa nel blu rispetto ad una con indice di colore B-V piu’ grande.
Si definisce come correzione bolometrica BC:
Cosa possiamo imparare sulle stelle dai loro spettri ?
Cosa possiamo imparare sulle stelle dai loro spettri ?
Qui no:
c’e’ assorbimento
da parte
dell’atmosfera
stellare
Qui le stelle seguono
un corpo nero in modo
quasi perfetto
Righe spettrali - Fraunhofer
Joseph von Fraunhofer (1787 – 1826) è stato
un fisico e astronomo tedesco. Quando Fraunhofer
rimase orfano all'età di 11 anni, iniziò a lavorare come
apprendista presso un vetraio di nome
Philipp Anton Weichelsberger.
Nel 1801 il negozio in cui lavorava crollò e
Fraunhofer rimase sepolto sotto le macerie.
L'operazione di salvataggio fu condotta da
Massimiliano IV Giuseppe, principe elettore di Baviera, (il futuro Massimiliano I di Baviera). Da quel
momento il principe entrò nella vita di Fraunhofer,
aiutandolo a procurarsi i libri e costringendo il suo datore
di lavoro a tollerare i suoi studi. Grazie agli ottimi
strumenti che aveva sviluppato, la Baviera sostituì
l'Inghilterra come centro delle industrie ottiche.
Nel 1814 Fraunhofer fu il primo ad investigare
seriamente sulle righe di assorbimento
nello spettro del Sole. Le righe sono ancora oggi
chiamate linee di Fraunhofer in suo onore.
Fraunhofer morì giovane, nel 1826 all'età di 39 anni
per tubercolosi polmonare o, forse, più verosimilmente,
per i vapori letali inalati.
Atomo di Bohr
Cerchiamo di capire adesso il perche’ vi siano solo alcune righe di emissione ed
Assorbimento e non vi sia uno spettro continuo.
Consideriamo due cariche di segno opposto, tra loro vi e’ una
attrazione secondo la legge di Coulomb:
Se consideriamo un atomo di idrogeno, questo e’ composto da un elettrone e da un
protone entrambi di carica (in modulo):
Massa ridotta e massa totale del sistema daranno praticamente la massa dell’elettrone
e la massa del protone rispettivamente:
Atomo di Bohr
Usando la II legge di Newton abbiamo:
L’energia totale e’ negativa (sistema legato):
Atomo di Bohr
Fin qui niente di strano ma Bohr quantizza il momento angolare:
riscrivendo la formula per l’energia:
Possiamo risolvere per il raggio orbitale che risulta anch’esso quantizzato:
Solo multipli del raggio di Bohr:
Ad ogni orbita corrisponde una energia:
Se un fotone viene assorbito questo corrisponde ad una transizione ad un’orbita maggiore.
La conservazione dell’energia stabilisce che:
Atomo di Bohr
Serie di Lyman
La serie di Lyman identifica la transizione dell’elettrone dallo stato fondamentale dell’atomo
di Idrogeno (n=1). Cade nella regione dell’ultravioletto ed e’ quindi non nello spettro del visibile.
L’ultravioletto è inoltre assorbito dall’atmosfera e quindi la serie di Lyman non potrebbe
essere osservata da terra.
E’ tuttavia importante (come vedrete in futuro) per oggetti molto lontani (centinaia di milioni
di pc) perché in quel caso l’espansione dell’universo sposta le righe verso il rosso e quindi
Nel visibile e quindi osservabili da terra. Un caso sono le foreste di assorbimento Lyman-a
Nube Lyman-alpha: spettro di emissione di due quasars (galassie lontane in formazione)
assorbito da una nube di idrogeno neutro frapposta tra noi ed il quasar.
Non sarebbe osservabile da terra ma il redshift z
sposta lo spettro nel visibile.
Serie di Balmer
La serie di Balmer è caratterizzata dalle transizioni elettroniche da n ≥ 3 a n = 2.
Questi passaggi sono indicati ciascuno da una lettera greca: la transizione 3 -> 2 è
associata alla lettera α, la 4 -> 2 alla β e così via.
Poiché storicamente queste righe sono state le prime ad essere identificate, il loro nome
è formato dalla lettera H, il simbolo dell'idrogeno, seguita dalla lettera greca associata
alla transizione.
La riga H-alfa, che corrisponde alla transizione 3 → 2, è una delle più frequenti nell'universo,
estremamente forte in moltissimi oggetti astronomici.
Esaminandola ad alta risoluzione, si osserva che essa è costituita da un doppietto; questa
suddivisione è detta struttura fine dello spettro dell'idrogeno.
Esistono righe oltre la transizione 6 → 2, che cadono nella banda ultravioletta dello spettro.
Serie di Paschen
La serie di Paschen è una sequenza di righe che descrive le righe spettrali dello spettro
dell'atomo di idrogeno nella regione dell'infrarosso causate dalla transizione n→3.
Questa serie ha una importanza minore per l’astronomia.
Dopo la serie die Paschen ci sono Brackett, Pfund, Humprey, etc
Righe e moti propri
Se le righe non combaciano perfettamente con quelle in laboratorio ma vi e’
Uno «shift» sistematico questo e’ dovuto all’effetto Doppler della stella che si muove
di moto proprio. Per v<<c si ha:
Spettro di Vega (verde). Le righe di assorbimento sono spostate sistematicamente
a lunghezze d’onda minori (frequenze maggiori) rispetto ad uno spettro di riferimento:
Vega si muove verso di noi.
Sistemi di stelle binarie
Il termine «stella binaria» si deve all’astronomo
(ma anche musicista) inglese di origine tedesca
William Herschel (1738-1822).
Sistemi Binari
Binaria Visuale
Alcor
Mizar
Una binaria visuale è una stella binaria le cui componenti sono sufficientemente separate perché si
possa osservarle con il telescopio o addirittura con un potente binocolo. La risoluzione angolare del
telescopio è un importante fattore nella scoperta di stelle binarie e con la costruzione di telescopi
più grandi e potenti un numero crescente di binarie visuali vengono osservate. La luminosità delle
binarie è un altro importante fattore: le stelle brillanti, a causa del loro riverbero, sono più difficili
da separare rispetto a quelle più deboli.
Mizar (Zeta Ursae
Majoris, ζ UMa) è una
stella nella
costellazione dell'Orsa
Maggiore. La sua
magnitudine apparente
è +2,23 e forma,
assieme alla più debole
Alcor una delle doppie
visuali più famose del
cielo. La distanza reale
tra le due stelle è
compresa tra 0,5 e 1,5
anni luce, quindi molto
alta, ma il loro moto
proprio mostra che
sono in effetti una stella
binaria e non una
doppia prospettica
come si pensava in
precedenza. Ad una più
profonda indagine
astronomica si rivela un
sistema stellare
composto da un totale
di sei stelle
Binarie Spettroscopiche
Talvolta la prova che una stella sia binaria proviene esclusivamente dall'effetto Doppler che caratterizza la radiazione
emessa dalla stella. In questi casi, le linee spettrali rintracciabili nello spettro di entrambe le stelle della coppia prima si
spostano verso il blu, poi verso il rosso, mentre ognuna delle due si muove prima verso di noi e poi allontanandosi da
noi, nel suo moto intorno al comune centro di massa. Il periodo dello spostamento coincide con quello orbitale.
In questi sistemi, la separazione fra le due stelle è solitamente molto piccola sicché le loro velocità orbitali sono
elevate. A meno che il piano orbitale non sia perpendicolare alla linea di vista, le velocità orbitali avranno componenti
nella direzione della linea di vista e la velocità radiale subirà periodiche variazioni. Poiché la velocità radiale può essere
misurata tramite uno spettrometro, misurando l'effetto Doppler, le binarie scoperte con questo metodo vengono
chiamate spettroscopiche. Molte di esse non possono essere risolte neppure dai più potenti telescopi oggi esistenti.
In alcune binarie spettroscopiche sono visibili le linee spettrali di entrambe le stelle: esse sono chiamate binarie
spettroscopiche a doppia riga (in inglese double-lined spectroscopic binaries, abbreviato con "SB2"). In altri sistemi, è
possibile osservare lo spettro di una sola delle due stelle e il movimento delle linee spettrali alternativamente verso il
rosso e verso il blu. Questi sistemi sono conosciuti come binarie spettroscopiche a riga singola (in inglese single-lined
spectroscopic binaries, abbreviato con "SB1").
Esempio: HD171978
Notare velocità peculiare
di circa 12 km/s
Altro esempio, k-Arietis nella costellazione dell'Ariete. Periodo di circa 15 giorni.
Stelle dello stesso tipo ! Le righe spettrali si sovrappongono...
Hamal
K Arietis
Binarie a Eclisse o Fotometriche
Una binaria a eclisse è una stella binaria il cui piano orbitale è quasi parallelo alla linea di
vista dell'osservatore sicché le due componenti si eclissano a vicenda. Nel caso in cui la
binaria a eclissi sia anche spettroscopica e sia conosciuta la parallasse, lo studio delle
caratteristiche delle due stelle è particolarmente facilitato.
Algol («l’occhio del demonio») è l'esempio più noto di binaria a eclissi.
Le binarie a eclissi sono variabili non perché la radiazione delle due componenti individuali
cambi nel tempo, ma a causa delle reciproche eclissi. La curva di luce di una binaria a eclissi
è caratterizzata da periodi in cui la radiazione è praticamente costante, alternati a periodi in
cui si ha una caduta di intensità. Se una delle stelle è più grande dell'altra, la seconda sarà
oscurata mediante una eclissi totale, mentre la prima mediante una eclissi anulare.
Binarie Astrometriche
Gli astronomi osservano spesso stelle che sembrano orbitare attorno a uno spazio vuoto. Le binarie
astrometriche sono stelle relativamente vicine che sembrano oscillare intorno a un punto dello spazio, senza
alcuna visibile compagna. La stessa matematica utilizzata per calcolare i parametri delle binarie visuali può
essere applicata per inferire la massa di una compagna invisibile. Essa può essere così debole da risultare
invisibile o essere resa tale dalla brillantezza della primaria, oppure può essere un oggetto che emette poca o
nessuna radiazione, come ad esempio una stella di neutroni.
La posizione della stella visibile può essere misurata con accuratezza e si può scoprire che essa varia a causa
dell'attrazione gravitazionale di una compagna non visibile: in particolare, in seguito a ripetute misurazioni
della posizione della stella rispetto alle stelle più lontane, si può rilevare che la stella visibile segue nel cielo
un percorso sinusoidale. Queste misurazioni sono possibili solo sulle stelle più vicine, entro il raggio di
10 parsec, che presentano un elevato moto proprio. La massa della compagna invisibile può essere dedotta
dalla precisa misura astrometrica del movimento della stella visibile per un periodo di tempo sufficientemente
lungo. Anche se la compagna è invisibile, infatti, le caratteristiche del sistema possono essere determinate
utilizzando le leggi di Keplero.
Riassunto
I Sistemi Binari si suddividono in
•
Binarie Visuali
•
Binarie Spettroscopiche
•
Binarie ad eclissi o fotometriche
•
Binarie astrometriche
Determinazione delle masse
da binarie visuali
Se ci mettiamo nel sistema di riferimento del centro
di massa abbiamo:
Per cui:
Dove a2 ed a1 sono i due semiassi maggiori
Delle due ellissi descritte dalle due stelle. Se il moto delle stelle e’ su di un piano
perpendicolare alla linea di vista abbiamo:
dato che
e
Alcune chiarimenti
Nelle prime lezioni abbiamo dimostrato che
il problema del moto di due corpi e’ risolvibile
come il problema del moto di un corpo
solo con massa ridotta m orbitante
attorno al centro di massa.
Abbiamo visto che tale moto e’ un ellisse.
Anche i moti delle due stelle saranno quindi
delle ellissi e il punto di massa ridotta, le
due stelle e l’origine saranno sempre allineati
tra loro.
Inoltre si ha:
Da cui segue che il rapporto dei semiassi maggiori delle due orbite e’ pari all’inverso
del rapporto delle rispettive masse e che inoltre a1+a2=a
Per misurare le masse si usa la III legge di Keplero
Senza conoscere la distanza dell’oggetto e’ possibile quindi risalire al rapporto
delle masse. Se si conosce la distanza, si possono ricavare i valori dei due semiassi
maggiori delle due orbite.
Considerando il moto della massa ridotta quando abbiamo derivato le leggi
di Keplero abbiamo visto che:
dove a e’ il semiasse maggiore dell’orbita della massa ridotta.
Dato che, come visto:
e dunque conoscendo la distanza ed il rapporto
delle masse, grazie alla Legge di Keplero possiamo conoscere la massa totale e
quindi le masse delle singole stelle.
Alcuni chiarimenti
L’angolo i e’ l’angolo tra la normale al piano di rotazione delle binarie e la direzione di vista.
i=0 gradi vuol dire che vediamo il piano orbitale davanti a noi (ottimo per le binarie visuali)
i=90 gradi vuol dire che vediamo il piano orbitale di taglio (ottimo per spettroscopiche e
fotometriche).
Le cose si complicano se il piano orbitale non e’ ortogonale alla linea di vista ma inclinato
di un angolo i. In questo caso gli angoli che sottendono i semiassi maggiori orbitali saranno
e
ma il loro rapporto sara’ sempre uguale al rapporto delle masse
perche’ :
ma questo non e’ valido per la legge di Keplero che fornisce:
Con
. E’ necessario conoscere l’angolo i. Possibile con misure accurate dei fuochi.
Variabili Spettroscopiche
Nelle variabili spettroscopiche le stelle non vengono risolte ma si vedono solo
le righe di assorbimento di due stelle. Il redshift ed il blushift delle righe ci forniscono le
velocita’ delle due stelle lungo la linea di vista. Gli effetti di proiezione saranno tali pero’ che:
e
dove i e’ l’angolo tra la linea di vista e la perpendicolare al
piano orbitale.
Nella figura si mostrano due stelle in orbita circolare su di un piano tangenziale alla linea
di vista (i=90° ). La velocita’ spettroscopica in funzione del tempo si mostra come due
sinusoidi intorno alla velocita’ del centro di massa.
Variabili Spettroscopiche
Nel caso in cui l’orbita non sia circolare ma vi sia una eccentricita’ le curve di velocita’
appariranno deformate.
Variabili Spettroscopiche
Consideriamo il caso in cui le orbite siano a piccola eccentricita’, praticamente
circolari. Si ha:
quindi facendo il rapporto e ricordando la relazione precedente tra masse e semi-assi
maggiori:
anche questo indipendente dall’angolo di inclinazione dell’orbita perche’:
La somma delle masse dipende pero’ dall’angolo dato che:
E usando la III legge:
Variabili Spettroscopiche
Questo nel caso in cui si possano misurare entrambe le righe delle due stelle.
Spesso pero’ una delle due stelle e’ talmente piu’ brillante dell’altra che si possono
misurare le righe di una sola stella (sistema a singola riga). In questo caso:
usando
Da cui, riarrangiando i termini:
Il termine a sinistra si chiama funzione di massa e si ottiene dalle due quantita’ misurabili:
periodo e velocita’ radiale di una sola delle due stelle.
La funzione di massa e’ sempre minore di m2. Il termine a destra rappresenta quindi un
limite inferiore alla massa della stella di cui non si vedono le righe.
Nel caso in cui si vedano entrambe le righe ancora non si conosce l’angolo i.
In generale si stima un valore medio per sin^3 i pari a 2/3.
Relazione Massa-Luminosita’
Le masse stellari misurate nei
sistemi binari variano nell’intervallo
0.1 masse solari → 60 masse solari
Si trova che le stelle di sequenza
Principale (le più comuni vedremo
Una definizione più avanti)
seguono una relazione ben definita
tra Massa e Luminosità:
L ≃ M^3.5 (L in unità di luminosità
solari, M in masse solari)
Le stelle non di sequenza principale
(p.e. le nane bianche..vedremo) non seguono
questa relazione.
Binarie a Eclisse per stima del raggio e
del rapporto tra le temperature
Se osserviamo una binaria ad eclissi (una delle stelle transita davanti all’altra) allora
Il piano di rotazione deve essere quasi tangenziale alla linea di vista (i=90°). In questi casi
quindi abbiamo una naturale determinazione di i (anche se fosse di 75° avremmo solo un
Errore del 10% nelle formule precedenti).
Binarie a Eclisse per stima del raggio e
del rapporto tra le temperature
La determinazione dell’angolo
si puo’ anche migliorare
guardando alle curve di luce.
Un minimo «non continuo»
Significa che vi e’ una eclissi
parziale e che quindi non e’
esattamente 90° .
Binarie a Eclisse per stima del raggio e
del rapporto tra le temperature
Si possono inoltre determinare
i raggi delle due stelle nel
caso i molto prossimo a 90°
Definendo la velocita’ relativa
di rotazione :
Si ha per la stella piu’ piccola:
Mentre per la stella piu’ grande:
Binarie a Eclisse per stima del raggio e
del rapporto tra le temperature
Quando la stella piu’ piccola passa
Dietro la stella piu’ grande allora si
Ha una diminuzione maggiore.
Ricordando che:
Il flusso quando sono entrambe visibili sara’
Quando la piu’ piccola passa dietro invece:
E quando passa davanti (k e’ una costante):
Binarie a Eclisse per stima del raggio e
del rapporto tra le temperature
Si ha quindi:
vale a dire che dal rapporto tra i minimi
Possiamo risalire al rapporto tra le temperature.
Caratteristiche delle Binarie
Binarie Visuali:
Per vederle le due stelle devono essere distanti tra loro per essere individuate.
Periodi lunghi quindi orbite grandi. La massa si misura da misure del periodo e
delle due massime estensioni angolari rispetto al centro di massa.
E’ necessario quindi conoscere anche la distanza delle stelle da noi.
Un errore del 10% nella distanza porta ad un errore del 30% nelle masse.
E’ necessario conoscere l’angolo di inclinazione i che puo’ essere determinato
misurando la proiezione dei fuochi.
Binarie Spettroscopiche:
Si vedono variazioni nello spettro. Periodi corti. Le stelle sono vicine tra loro.
Le masse si misurano a partire da misure di velocità e di periodo.
E’ necessario conoscere l’angolo di inclinazione. Le binarie spettroscopiche
sono le più facili da vedere.
Binarie ad Eclissi:
Le stelle sono molto vicine (cambiamento di magnitudine in pochi giorni) e
le eclissi sono piu’ statisticamente probabili piu’ le stelle sono vicine.
Periodi piccoli quindi orbite piccole. Se si conosce la velocità relativa tramite misure
Doppler abbiamo i raggi delle stelle. L’angolo di inclinazione i e’ prossimo a 90° .
