Corsi di Laurea di Ingegneria
Lezioni del corso di Meccanica razionale
tenute da Stefano Siboni, a.a. 2013/2014
Argomenti del corso comuni a Fondamenti di meccanica razionale (6 CFU)
Vettori di R3 , terne di riferimento cartesiane, vettori applicati.
Geometria delle masse (baricentri, momenti e matrici d’inerzia).
Cinematica, dinamica e statica del punto materiale libero e vincolato.
Lavoro ed energia.
Sistemi di punti materiali liberi, equazioni cardinali della dinamica e della statica.
Cinematica, dinamica e statica dei sistemi rigidi.
Cinematica, dinamica e statica dei sistemi vincolati (olonomi).
Stabilità degli equilibri
Argomenti specifici del corso (3 CFU)
Complementi sulla statica dei sistemi reonomi.
Complementi sulla teoria della stabilità.
Teoria canonica (lineare) delle piccole oscillazioni.
Introduzione alla meccanica dei continui classici (o di Cauchy).
Orario di ricevimento:
martedì h. 10:30 - 12:30
giovedì h. 14:30 - 16:30
Testi consigliati
- di teoria:
P. Biscari, T. Ruggeri, G. Saccomandi, M. Vianello, Meccanica razionale per
l’ingegneria, Monduzzi Editore, Bologna
G. Grioli, Lezioni di meccanica razionale, Ed. Cortina, Padova
S. Siboni, Nozioni introduttive, punti materiali, sistemi di punti materiali liberi,
Dispensa del corso
S. Siboni, Sistemi rigidi, Dispensa del corso
S. Siboni, Sistemi olonomi, Dispensa per i corsi di Fondamenti e di Meccanica Razionale
S. Siboni, Stabilità e piccole oscillazioni, Dispensa per i corsi di Fondamenti e di Meccanica
Razionale
- di esercizi:
T. Ruggeri, A. Muracchini, L. Seccia, Laboratorio di meccanica razionale : esercizi e temi
d'esame, Ed. Esculapio, Bologna
S. Siboni, Prove d'esame svolte di meccanica razionale, Dispensa del corso
F. Bampi, M. Benati, A. Morro, Problemi di meccanica razionale, E.C.I.G., Genova
Le dispense sono disponibili in copisteria e alla pagina web http://www.ing.unitn.it/siboni/
(in formato pdf).
Modalità di esame
Prova scritta:
è divisa in due parti (geometria delle masse, vettori e vettori applicati, dinamica del punto
materiale + meccanica dei sistemi olonomi) e consiste nello svolgimento di esercizi;
è consentita la consultazione di libri e dispense di teoria del corso;
è anche permesso l’uso di una tabella di matrici d’inerzia notevoli fornita come dispensa del
corso;
non è consentito l’uso di appunti, dispense di esercizi, eserciziari.
Prova orale:
consiste nel rispondere per iscritto a 3 quesiti di teoria (non esercizi) su argomenti del corso,
con successiva discussione orale delle risposte fornite
Prova in itinere: lunedì 14.04.2014 ore 14:00-17:00
Viene valutata come prima parte della prova scritta e consente di svolgere soltanto la seconda
parte dello scritto.
lun
24.02.2014 (1 ora)
10:30-11:30 T2
0. PRESENTAZIONE GENERALE DEL CORSO
Registrato su ESSE3
1. NOZIONI FONDAMENTALI
1.1 Algebra dei vettori di R3
L’insieme E3 dei punti dello spazio fisico nella geometria elementare.
Vettori di R3 come classi di equivalenza di segmenti di retta orientati.
Modulo di un vettore, vettori unitari o versori.
Somma vettoriale (regola del parallelogramma), vettore nullo, vettore opposto, differenza fra
vettori.
Prodotto di un vettore per uno scalare, relazione con l’opposto di un vettore,
combinazioni lineari di vettori.
Osservazione sul fatto che R3 munito delle operazioni di somma e prodotto per uno scalare è
uno spazio vettoriale reale, richiamo della definizione di spazio vettoriale.
Sistemi di 1,2,3 vettori linearmente dipendenti ed indipendenti, dimensione dello spazio e basi
di vettori (sistemi di vettori non complanari), componenti, notazioni relative (e1, e2, e3 per i
vettori di base e x1, x2, x3 per le componenti).
------------------------------------------------------------------------------------lun
24.02.2014 (1 ora)
11:30-12:30 T2
Registrato su ESSE3
Prodotto scalare (richiamo della definizione),
relazione fra modulo e prodotto scalare,
vettori ortogonali, basi ortonormali di versori (con introduzione del simbolo di Kronecker),
calcolo delle componenti di un vettore mediante il prodotto scalare con i versori di base,
basi ortonormali destre (o levogire o sinistrorse) e sinistre (o destrorse).
Prodotto vettoriale (richiamo della definizione).
Prodotto misto (definizione e significato geometrico, criterio di indipendenza lineare di tre
vettori).
------------------------------------------------------------------------------------mar 25.02.2014 (1 ora)
15:30-16:30 T2
Registrato su ESSE3
Proprietà fondamentali delle operazioni sui vettori (richiamo, senza dimostrazioni);
calcolo per componenti delle operazioni vettoriali (somma, prodotto per uno scalare, prodotto
scalare, prodotto vettore, rilevanza della ortogonalità e della parità destra).
Identità vettoriali notevoli:
identità del prodotto misto, espressione del prodotto misto come determinante rispetto alle
terne ortogonali destre;
identità fondamentale del doppio prodotto vettoriale (o di Lagrange).
Vettori spostamento fra punti assegnati A e B in E3: notazione B-A e utilità di questa nel
calcolo formale di vettori opposti e somme vettoriali.
Esempi vari sull’algebra vettoriale in R3 (verifica della lineare dipendenza/indipendenza di 2
o 3 vettori mediante il prodotto vettore ed il prodotto misto, calcolo di aree di
parallelogrammi e di triangoli in termini di prodotti vettoriali dei lati).
-----------------------------------------------------------------------------------mar 25.02.2014 (1 ora)
16:30-17:30 T2
Registrato su ESSE3
1.2 Terne di riferimento cartesiane in R3
Terne di riferimento cartesiane nello spazio:
origine, spazio vettoriale associato dei vettori posizione;
il riferimento cartesiano come coppia origine/base dello spazio vettoriale associato;
assi del riferimento cartesiano e relative notazioni;
terne di riferimento cartesiane ortogonali, terne destre e sinistre;
componenti di un vettore rispetto ad una terna cartesiana ortogonale (sono riferite alla base
associata, per definizione);
vettore posizione e coordinate di un punto rispetto ad una terna di riferimento cartesiana.
Cambiamento della terna di riferimento:
matrice dei coseni direttori e sua interpretazione geometrica,
relazione fra le coordinate di un punto P rispetto alla terna fissa e rispetto alla terna mobile
(trasformazione di coordinate fra la terna fissa e quella mobile),
forma matriciale equivalente della trasformazione di coordinate;
nozione di ortogonalità della matrice dei coseni direttori e sue conseguenze (A-1=AT);
valutazione euristica del numero di parametri liberi nella matrice dei coseni direttori
Esempio notevole: caso di due terne con origini ed una coppia di assi omonimi coincidenti,
ruotate arbitrariamente l’una rispetto all’altra: espressione dei versori della terna fissa in
termini di quelli della terna mobile e calcolo esplicito della matrice dei coseni direttori;
verifica diretta della proprietà di ortogonalità.
------------------------------------------------------------------------------------mer 26.02.2014 (1 ora)
14:30-15:30 BIB
Registrato su ESSE3
3
1.3 Elementi di teoria dei vettori applicati di R :
Vettori applicati e sistemi di vettori applicati, risultante e momento risultante in un polo
assegnato di un sistema di vettori applicati.
Formula di cambiamento del polo per il momento risultante. Caso di risultante nullo. Coppia.
Momento risultante di un sistema di vettori applicati rispetto ad un asse (momento assiale).
Asse centrale di un sistema di vettori applicati di risultante non nullo.
Centro di un sistema di vettori applicati paralleli di risultante non nullo.
Caso delle forze peso: baricentro.
------------------------------------------------------------------------------------mer 26.02.2014 (1 ora)
15:30-16:30 BIB
Registrato su ESSE3
2. GEOMETRIA DELLE MASSE
2.1 INTRODUZIONE GENERALE AI SISTEMI MATERIALI
Punto materiale.
Sistemi di punti materiali.
Sistemi continui:
curve materiali (modello di fili, travi, telai),
superfici materiali (modello di piastre e gusci),
solidi materiali (modello di pilastri e strutture 3D in genere).
2.2 BARICENTRI
Definizione di baricentro per un sistema di punti materiali (richiamo).
Definizione di baricentro per i sistemi continui (curve, superfici e solidi materiali):
curva materiale, elemento infinitesimo di lunghezza, densità lineare di massa, elemento
infinitesimo di massa, massa e baricentro della curva materiale;
------------------------------------------------------------------------------------gio
27.02.2014 (1 ora)
8:30-9:30 T2
Registrato su ESSE3
superficie materiale, elemento infinitesimo di area, densità areale di massa, elemento
infinitesimo di massa, massa e baricentro della superficie materiale,
caso particolare delle superfici piane ubicate nel piano coordinato Oxy;
solido materiale, elemento infinitesimo di volume, densità volumica di massa, elemento
infinitesimo di massa, massa e baricentro del solido materiale.
Proprietà del baricentro di un sistema di punti materiali.
(1) Proprietà distributiva (con dimostrazione ed esempi illustrativi)
(2) Proprietà dell’inviluppo convesso (verifica che se l’insieme di punti materiali è contenuto
in un semispazio chiuso, anche il baricentro appartiene allo stesso semispazio; definizione di
inviluppo convesso di un insieme, proprietà di convessità ed esempi, dimostrazione che il
baricentro di un sistema di punti materiali appartiene sempre all’inviluppo convesso dello
stesso insieme, quali che siano i valori delle masse);
-------------------------------------------------------------------------------------
gio
27.02.2014 (1 ora)
9:30-10:30 T2
Registrato su ESSE3
(3) Proprietà legate alle simmetrie:
definizione di centro, asse e piano di simmetria di un sistema di punti materiali e prova che il
baricentro si colloca sul corrispondente elemento di simmetria;
definizione di piano diametrale coniugato alla direzione di una retta data, prova che esso
contiene il baricentro del sistema.
Estensione delle proprietà precedenti ai sistemi continui (senza dimostrazione):
ininfluenza delle intersezioni di misura nulla (segmenti e punti) fra le parti di un sistema
continuo nell’applicazione del teorema distributivo;
struttura dell’inviluppo convesso nel caso di insiemi continui (non identificabile con poligoni
o poliedri, esempi notevoli di figure piane convesse e non convesse);
confronto delle densità nei punti simmetrici per il riconoscimento degli elementi di simmetria
(centri, assi, piani), problemi nell’applicare lo stesso criterio fra i punti coniugati per il
riconoscimento dei piani diametrali (criterio valido per i solidi e le superfici materiali piane,
ma non per le superfici generiche e per le curve materiali), esempi notevoli della lamina
triangolare omogenea e del telaio triangolare omogeneo.
------------------------------------------------------------------------------------lun
03.03.2014 (1 ora)
10:30-11:30 T2
Registrato su ESSE3
2.3 OPERATORE E MATRICE D’INERZIA
Definizione formale dell’operatore d’inerzia, in un punto O di un sistema di punti materiali.
Definizione di momento d’inerzia di un sistema rispetto ad un asse dato.
Espressione del momento d’inerzia di un sistema rispetto ad un asse in termini dell’operatore
d’inerzia in un punto dello stesso asse (per mezzo del versore n associato a tale asse).
Proprietà dell’operatore d’inerzia in O, LO:
• linearità (enunciato),
• simmetria (enunciato),
• positività (enunciato),
• additività (enunciato).
Prova formale delle proprietà dell’operatore d’inerzia.
Conseguenze della linearità:
• matrice d’inerzia [LO] come matrice rappresentativa dell’operatore d’inerzia in O
rispetto ad una base ortonormale e1, e2, e3, ovvero rispetto alla terna cartesiana
ortogonale Oe1e2e3 o Ox1x2x3;
espressione degli elementi della matrice come prodotto scalare --- Lαβ= eα . LO (eβ);
forma matriciale della relazione lineare fra un generico vettore u e la sua immagine
LO(u) attraverso l’operatore d’inerzia LO, rispetto alla base assegnata;
• forma matriciale della relazione per il momento d’inerzia rispetto ad un asse On.
------------------------------------------------------------------------------------•
•
lun
03.03.2014 (1 ora)
11:30-12:30 T2
Registrato su ESSE3
Conseguenze della simmetria e della positività:
• simmetria della matrice d’inerzia [LO];
• forma esplicita degli elementi di [LO] per un sistema di punti materiali, momenti e
prodotti d’inerzia, interpretazione geometrica e discussione dei segni degli elementi di
matrice, estensione delle definizioni al caso continuo (curve e superfici materiali);
• carattere reale di tutti gli autovalori di LO (solo enunciato) e loro segno positivo
dovuto alla positività (con richiamo della definizione di autovalore e autovettore e
delle relative procedure di calcolo, definizione di equazione caratteristica);
• esistenza di una base ortonormale di autovettori (solo enunciato);
• forma diagonale della matrice d’inerzia rispetto ad una base ortonormale di
autovettori.
Nozione di asse, piano e terna principale d’inerzia rispetto ad O; momenti principali d’inerzia.
Nozione di asse, piano e terna centrale d’inerzia; momenti centrali d’inerzia.
Individuazione delle terne principali d’inerzia mediante la soluzione del problema agli
autovalori,
------------------------------------------------------------------------------------mar 04.03.2014 (2 ore)
15:30-17:30 T2
Da non registrare su ESSE3
Lezione svolta da Giorgio Pavana.
Esercizi sui baricentri di curve e superfici materiali.
------------------------------------------------------------------------------------mer 05.03.2014 (1 ora)
14:30-15:30 T2
Registrato su ESSE3
Individuazione di assi e piani principali (o centrali) d’inerzia per mezzo delle proprietà di
simmetria (asse e piano di simmetria), semplificazione del problema agli autovalori.
Forma assunta dalla matrice d’inerzia di una lamina rigida piana, con piano di giacitura π,
rispetto ad una terna Oxyz il cui piano coordinato Oxy si identifichi con π.
Teorema di Huygens-Steiner generalizzato: dimostrazione e applicazioni notevoli:
(1) determinazione della matrice d'inerzia rispetto ad una terna Oxyz, nota che sia la matrice
d'inerzia rispetto ad una terna O'xyz ottenibile da quella per semplice traslazione;
(2) teorema di Huygens-Steiner classico e applicazioni;
(3) costruzione di terne principali d'inerzia mediante traslazione lungo gli assi di una terna
centrale d'inerzia.
------------------------------------------------------------------------------------mer 05.03.2014 (1 ora)
15:30-16:30 T2
Registrato su ESSE3
3. CINEMATICA DEL PUNTO
Nozione di moto di un punto (rispetto ad un riferimento assegnato),
moti regolari (ossia di classe C2),
velocità media e istantanea di un moto,
accelerazione media e istantanea di un moto,
interpretazione meccanica della condizione di regolarità del moto (esistenza e continuità di
velocità e accelerazioni istantanee nell’intero intervallo di definizione del moto).
4. MOTI RELATIVI
Moto relativo di due terne ortogonali (destre): terna fissa, terna mobile, funzioni atte a
specificare il moto della terna mobile rispetto a quella fissa, spazio solidale alla terna fissa
(spazio fisso) e spazio solidale alla terna mobile; moto di trascinamento e sua descrizione
matematica (origine e versori della terna mobile, ovvero coseni direttori, assegnati come
funzioni del tempo).
Teorema dei moti relativi, velocità assoluta, velocità relativa, velocità di trascinamento.
Teorema di Coriolis, accelerazione assoluta, accelerazione relativa, di trascinamento e
complementare (o di Coriolis).
------------------------------------------------------------------------------------gio
06.03.2014 (1 ora)
8:30-9:30 T2
Registrato su ESSE3
Teorema di Poisson e definizione del vettore velocità angolare istantanea (per il moto di
trascinamento della terna mobile rispetto alla terna fissa).
Calcolo del vettore velocità angolare istantanea per il moto di trascinamento di una terna
mobile in moto rotatorio attorno ad un asse coordinato della terna fissa: relazione notevole e
convenzione sinistrorsa sull’orientamento relativo di asse e angolo di rotazione.
Espressione della velocità di trascinamento, dell’accelerazione di trascinamento e
dell’accelerazione di Coriolis in termini del vettore velocità angolare istantanea della terna
mobile rispetto a quella fissa.
Derivata assoluta e relativa di un vettore variabile nel tempo; relazione fondamentale fra le
due derivate.
------------------------------------------------------------------------------------gio
06.03.2014 (1 ora)
9:30-10:30 T2
Registrato su ESSE3
5. DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE LIBERO
Primo principio della dinamica e sistemi di riferimento inerziali (o galileiani);
secondo principio della dinamica;
assunto sulla forma funzionale della forza attiva agente su un punto materiale F(t,P,V),
esempi notevoli di forze che soddisfano la condizione (forze elastiche, di resistenza viscosa,
di Lorentz);
osservazione sul carattere non banale dell’assunto (esempio della forza di LAD, dipendente
dal jerk del punto materiale);
equazione del moto come equazione differenziale del secondo ordine riconducibile alla forma
normale;
forma normale equivalente del primo ordine delle equazioni del moto;
equazione o sistema di equazioni differenziali del primo ordine in forma normale nel caso
generale (riduzione al primo ordine, problema di riduzione alla forma normale), definizione di
soluzione, curva integrale e orbita di una soluzione;
problema di Cauchy e condizioni iniziali;
teorema di esistenza ed unicità della soluzione del problema di Cauchy per ogni dato iniziale
(secondo membro di classe C1, per semplicità), soluzioni prolungabili, prolungamenti,
soluzioni massimali (o complete), unicità intesa in relazione alle soluzioni massimali;
osservazione sulle ostruzioni che impediscono la definizione di soluzioni massimali
sull’intero asse dei tempi (cenno al teorema di prolungabilità).
Conseguenze sulla assegnazione delle condizioni iniziali nel caso di un punto materiale
libero, determinismo della meccanica del punto materiale libero.
------------------------------------------------------------------------------------lun
10.03.2014 (1 ora)
10:30-11:30 T2
Registrato su ESSE3
5.1 Oscillatore armonico smorzato
Esempio notevole di moto del punto materiale libero: l’oscillatore armonico smorzato;
descrizione del sistema meccanico, forza elastica, resistenza viscosa, proiezione lungo gli assi
delle equazioni del moto, soluzione generale nei tre regimi (aperiodico, critico, oscillatorio
smorzato).
5.2 Oscillatore armonico smorzato unidimensionale con forzante sinusoidale
Oscillatore armonico con smorzamento e forzante sinusoidale (caso 1D):
equazione del moto e sue caratteristiche (linearità, costanza dei coefficienti, non-omogeneità);
struttura della soluzione generale,
soluzione generale dell’equazione omogenea associata, sua convergenza a zero per tempi
lunghi e relativa interpretazione fisica (moto transiente),
soluzione particolare dell’equazione non omogenea, in forma sinusoidale, e sua
interpretazione fisica (moto di regime, o stazionario),
calcolo delle caratteristiche del moto di regime,
ampiezza del moto di regime, pulsazione di risonanza e sua interpretazione fisica.
Piccole oscillazioni con smorzamento e forzanti sinusoidali nei sistemi di più punti (cenno).
Esempi significativi di applicazione delle piccole oscillazioni forzate:
struttura in una configurazione di equilibrio stabile soggetta ad una sollecitazione forzante (es.
onda sismica, azioni aerodinamiche o idrauliche).
------------------------------------------------------------------------------------lun
10.03.2014 (1 ora)
11:30-12:30 T2
Registrato su ESSE3
6. STATICA DEL PUNTO MATERIALE LIBERO
Definizione di quiete in una posizione o configurazione P0 del punto materiale;
definizione di equilibrio (o posizione di equilibrio, o configurazione di equilibrio) per un
punto materiale libero;
caratterizzazione delle posizioni di equilibrio per un punto materiale libero in termini della
funzione forza [ F(t,P0,0)=0 per ogni t reale];
ruolo del teorema di esistenza ed unicità della soluzione massimale del problema di Cauchy
nel verificare che l’unico moto corrispondente alla condizione iniziale (P(t0),V(t0))=(P0,0) è
la quiete in P0.
7. DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE VINCOLATO
Definizione generale di vincolo per un punto materiale (unilaterale e bilaterale), con esempi
notevoli;
postulato delle reazioni vincolari, forze attive e forze di reazione vincolare.
Determinazione a posteriori delle reazioni vincolari per un moto assegnato.
Forze di attrito radente (come componenti tangenziali ai vincoli delle reazioni vincolari),
vincoli lisci (o privi di attrito).
------------------------------------------------------------------------------------mar 11.03.2014 (1 ora)
15:30-16:30 T2
Registrato su ESSE3
7.1 Dinamica del punto materiale vincolato ad una curva fissa e liscia.
Curve regolari, parametrizzazione, derivata prima come vettore tangente, versore tangente,
rettificabilità e ascissa curvilinea, proprietà dell’ascissa curvilinea, proprietà della
parametrizzazione qualora si assuma un’ascissa curvilinea come parametro, versore tangente;
curvatura, raggio di curvatura e versore normale in un punto di una curva biregolare;
cinematica di un punto vincolato a rimanere su una curva biregolare, espressione della
velocità istantanea, espressione dell’accelerazione istantanea come somma di un termine
tangenziale e di uno centripeto (normale);
equazione della dinamica e derivazione dell’equazione pura del moto per la legge oraria s(t)
nell’ipotesi di vincolo liscio (privo di attrito radente), riduzione a forma normale,
individuazione delle condizioni iniziali, esistenza e unicità della soluzione per il problema di
Cauchy;
calcolo a posteriori delle reazioni vincolari per un moto del sistema, cimenti dinamici e loro
interpretazione meccanica;
osservazione sulla non necessità della condizione di biregolarità nella determinazione di una
2
equazione pura del moto (la sola regolarità e l’appartenenza alla classe C sono sufficienti).
Esempio notevole: il pendolo semplice (definito come punto materiale vincolato ad una
circonferenza fissa e liscia disposta in un piano verticale): parametrizzazione, calcolo
dell’ascissa curvilinea, riparametrizzazione in termini dell’ascissa curvilinea, versore
tangente, versore normale, raggio di curvatura, equazione pura del moto.
------------------------------------------------------------------------------------mar 11.03.2014 (1 ora)
16:30-17:30 T2
Registato su ESSE3
7.2 Dinamica del punto materiale vincolato ad una superficie fissa e liscia.
Nozione di superficie regolare e sua interpretazione geometrica;
espressione della velocità e dell’accelerazione istantanea per un punto materiale vincolato a
restare su una superficie regolare fissa,
equazione della dinamica e determinazione di un sistema di due equazioni pure del moto
nell’ipotesi che il vincolo sia liscio (privo di attrito);
prova della riducibilità a forma normale del sistema del secondo ordine così ottenuto, facendo
ricorso alla condizione di regolarità.
8. STATICA DEL PUNTO MATERIALE VINCOLATO
Nozione generale di moto possibile del punto vincolato.
Nozione generale di moto naturale del punto vincolato.
Statica del punto materiale vincolato ad una curva fissa e liscia, definizione di equilibrio e
condizione perché una posizione del sistema sia un equilibrio, identificazione delle posizioni
di equilibrio con le soluzioni statiche delle equazioni pure del moto.
Statica del punto materiale vincolato ad una superficie fissa e liscia, definizione di equilibrio e
condizione perché una posizione del sistema sia un equilibrio, identificazione delle posizioni
di equilibrio con le soluzioni statiche delle equazioni pure del moto.
------------------------------------------------------------------------------------mer 12.03.2014 (1 ora)
14:30-15:30 T2
Registrato su ESSE3
9. PUNTO MATERIALE VINCOLATO IN PRESENZA DI ATTRITO
Punto materiale vincolato ad una curva o superficie con attrito:
legge di Coulomb-Morin dell’attrito radente statico come caratterizzante le reazioni vincolari
esplicabili dai vincoli in condizioni statiche,
coefficiente di attrito radente statico e sue proprietà;
osservazione sul fatto che fra le reazioni vincolari compatibili con la legge di Coulomb-Morin
dell’attrito radente statico compaiono anche tutte quelle permesse dal vincolo liscio
(ortogonali al vincolo),
legge di Coulomb-Morin dell’attrito radente dinamico come caratterizzante le reazioni
vincolari esplicabili dai vincoli in condizioni dinamiche,
coefficiente di attrito radente dinamico e sue proprietà, relazione con il coefficiente di attrito
radente statico;
definizione di equilibrio;
caratterizzazione delle configurazioni di equilibrio, principio di sicurezza.
Caratterizzazione dell’equilibrio di un punto materiale pesante vincolato a scorrere su una
curva piana grafico di una funzione assegnata e avente coefficiente di attrito µs. Caso
particolare del piano inclinato.
------------------------------------------------------------------------------------mer 12.03.2014 (1 ora)
15:30-16:30 T2
Registrato su ESSE3
10. DINAMICA E STATICA RELATIVA
Carattere relativo della descrizione dinamica e statica del punto materiale libero o vincolato:
estensione del secondo principio della dinamica a terne arbitrarie, forze fittizie o d’inerzia e
dipendenza di queste da tempo, posizione e velocità;
ruolo delle forze d’inerzia nella dinamica e statica relative a terne di riferimento non inerziali;
ininfluenza della forza di Coriolis (nulla a velocità nulla) sulla caratterizzazione degli
equilibri relativi;
la forza centrifuga come forma particolare assunta dalla forza di trascinamento nel caso di una
terna mobile la cui origine sia in quiete rispetto alla terna fissa inerziale e il cui moto di
trascinamento sia rotatorio uniforme (cioè con velocità angolare costante);
la forza di Eulero come termine della forza di trascinamento dipendente dall’accelerazione
angolare istantanea (esempio illustrativo della giostra);
condizione necessaria e sufficiente perchè le forze d’inerzia siano identicamente nulle per
qualsiasi moto del punto materiale (moto traslatorio rettilineo e uniforme della terna mobile),
principio di relatività galileiana.
------------------------------------------------------------------------------------gio
13.03.2014 (2 ore)
8:30-10:30 T2
Da non registrare su ESSE3
Lezione svolta da Giorgio Pavana
Esercizi su baricentri, oscillatore armonico smorzato con forzante sinusoidale e punto
materiale vincolato ad una curva o superficie fissa liscia.
------------------------------------------------------------------------------------lun
17.03.2014 (1 ora)
10:30-11:30 T2
Registrato su ESSE3
11. LAVORO ED ENERGIA
Teorema dell’energia cinetica (o delle forze vive) per un punto materiale libero, in forma
differenziale.
Teorema dell’energia cinetica in forma integrale,
campi di forze posizionali, integrale del lavoro, lavoro elementare,
campo di forze posizionali e conservative, funzione potenziale, lavoro elementare come
differenziale esatto (del potenziale).
Teorema dell’energia cinetica (in forma differenziale) nel caso di sollecitazioni puramente
posizionali e conservative,
integrale primo dell’energia meccanica per un punto materiale libero.
Esempi di forze posizionali e conservative con calcolo delle relative funzioni potenziale:
forza peso, forza elastica, forza centrifuga.
------------------------------------------------------------------------------------lun
17.03.2014 (1 ora)
11:30-12:30 T2
Registrato su ESSE3
Campi di forze irrotazionali;
prova che un campo di forze C1 posizionale conservativo è sempre irrotazionale;
esempio di campo irrotazionale non conservativo su un dominio non semplicemente
connesso;
teorema di caratterizzazione dei campi C1 posizionali conservativi come campi irrotazionali
nel caso che il dominio di definizione del campo sia convesso, stellato rispetto ad un suo
punto, o semplicemente connesso.
Esempio di calcolo del potenziale per un campo posizionale nel piano.
Caso del punto materiale vincolato ad un vincolo fisso e liscio: ininfluenza delle reazioni
vincolari, conservazione dell’energia nel caso di un punto materiale soggetto ad un campo di
forze posizionali e vincolato ad una curva/superficie fissa e liscia (discussione dell’esistenza
del potenziale).
12. INTEGRALI PRIMI
Integrali primi: definizione generale di integrale primo per una equazione differenziale del
primo ordine in forma normale.
Teorema di caratterizzazione degli integrali primi C1 in termini della derivata lungo le
soluzioni dell’equazione differenziale.
Verifica che per un punto materiale libero soggetto a forze posizionali e conservative
l’energia meccanica è un integrale primo, mediante il teorema di caratterizzazione degli
integrali primi.
Ulteriore esempio di individuazione di un integrale primo mediante il teorema di
caratterizzazione.
------------------------------------------------------------------------------------mar 18.03.2014 (1 ora)
15:30-16:30 T2
Registrato su ESSE3
13. SISTEMI DI PUNTI MATERIALI LIBERI
Sistema di punti materiali liberi: nozione, configurazione, moto, moto regolare, atto di moto,
equazioni differenziali del moto, condizioni iniziali, esistenza e unicità delle soluzioni per il
problema di Cauchy, determinismo della meccanica.
Statica di un sistema di punti materiali liberi: quiete in una configurazione, configurazione di
equilibrio, caratterizzazione dell’equilibrio.
13.1 Equazioni cardinali della dinamica e della statica
Massa, baricentro, quantità di moto (o impulso), momento angolare (o momento della
quantità di moto) rispetto ad un polo O, energia cinetica di un sistema di punti materiali;
osservazione sull’invarianza della massa (indipendenza dalla scelta del sistema di
riferimento),
osservazione sul fatto che quantità di moto, momento angolare in O ed energia cinetica sono
grandezze relative (dipendenza dalla scelta del sistema di riferimento).
Richiamo del terzo principio della dinamica, forze interne ed esterne ad un sistema,
le forze fittizie come forze esterne.
------------------------------------------------------------------------------------mar 18.03.2014 (1 ora)
16:30-17:30 T2
Registrato su ESSE3
Equazione cardinale della quantità di moto, forma alternativa facendo uso della nozione di
baricentro di un sistema di punti materiali. Osservazione sul fatto che l’equazione cardinale
non costituisce, di norma, una equazione del moto per il baricentro; eccezione notevole del
sistema soggetto soltanto al peso.
Equazione cardinale del momento angolare e casi particolari.
Relazione fra le soluzioni delle equazioni del moto e le soluzioni delle equazioni cardinali
della dinamica.
Condizioni necessarie per l’equilibrio di un sistema di punti materiali: le equazioni cardinali
della statica (prima e seconda).
Teorema dell’energia cinetica (in forma differenziale), con sottolineatura del fatto che la
potenza delle sollecitazioni interne risulta in generale diversa da zero; annullarsi della potenza
delle forze interne nel caso dei moti rigidi.
Sistemi isolati (sistemi su cui non siano applicate sollecitazioni esterne), conservazione della
quantità di moto e conservazione del momento angolare rispetto ad un punto fisso arbitrario
(o rispetto al baricentro). Impossibilità di trarre conclusioni circa la conservazione o meno
dell’energia cinetica, caso dei moti rigidi.
------------------------------------------------------------------------------------mer 19.03.2014 (1 ora)
14:30-15:30 T2
Registrato su ESSE3
14. TEOREMI DI KOENIG
Moto traslatorio di una terna mobile rispetto ad una terna fissa, caratterizzazioni alternative
(direzioni degli assi costanti nel tempo, versori di base costanti nel tempo, derivate dei versori
di base costantemente nulli nel tempo, vettore velocità angolare istantanea costantemente
nullo nel tempo).
Moto di un sistema attorno ad un punto O arbitrario;
moto di un sistema attorno al suo baricentro, terne baricentrali.
Il teorema dei moti relativi nel caso che la terna mobile sia in moto traslatorio rispetto alla
terna fissa; teorema di Koenig per l’energia cinetica, in forma generale e nel caso del moto
attorno al baricentro.
Teorema di Koenig per il momento angolare (caso della terna mobile baricentrale).
15. MOTI RIGIDI
Definizione generale di moto rigido di un sistema di punti.
Spazio solidale ad un sistema in moto rigido.
Terna di riferimento solidale ad un sistema in moto rigido.
------------------------------------------------------------------------------------mer 19.03.2014 (1 ora)
15:30-16:30 T2
Registrato su ESSE3
Moto rigido rappresentato come moto di trascinamento della terna solidale.
Velocità angolare istantanea di un sistema in moto rigido come velocità angolare di
trascinamento di una sua terna solidale (rispetto ad una terna fissa comunque assegnata).
Teorema di Poisson, ossia teorema di distribuzione delle velocità in un moto rigido arbitrario.
Nozione di atto di moto rigido. Relazione fra moto rigido e atto di moto rigido.
Moti rigidi composti:
definizione,
teorema di composizione delle velocità,
teorema di composizione delle velocità angolari.
------------------------------------------------------------------------------------gio
20.03.2014 (1 ora)
8:30-9:30 T2
Registrato su ESSE3
15.1 Moti rigidi notevoli
(1) Moti traslatori:
definizione;
caratterizzazione in termini della velocità istantanea dei punti partecipi del moto rigido
(indipendente dal punto e dipendente soltanto dall’istante t);
caratterizzazione in termini dei versori associati ad una terna solidale (costanti in t);
caratterizzazione in termini del vettore velocità angolare istantanea del moto rigido
(costantemente nulla in t);
forma dell’atto di moto traslatorio;
caso particolare del moto traslatorio rettilineo;
caso particolare del moto traslatorio rettilineo ed uniforme.
(2) Moti con asse fisso (o rotatori):
definizione;
verifica che tutti i punti partecipi di un moto con asse fisso si muovono su circonferenze
fissate giacenti su un piano ortogonale all’asse fisso e con centro dato dalla proiezione
ortogonale del punto dato sull’asse fisso stesso;
forma particolare assunta dall’atto di moto (atto di moto rotatorio),
prova che il vettore velocità angolare istantanea è parallelo all’asse fisso;
scelta standard della terna fissa e della terna solidale, con calcolo del vettore velocità angolare
istantanea secondo la convenzione della mano destra (richiamo del risultato).
Caratterizzazione dei moti rotatori come moti rigidi il cui atto di moto è rotatorio con velocità
angolare di direzione costante; calcolo dell’angolo di rotazione dalla velocità angolare.
Moti rotatori uniformi (per i quali i moti dei punti sono circolari uniformi) e loro
caratterizzazione in termini di velocità angolare costante.
(3) Moti elicoidali:
definizione;
verifica che i punti partecipi di un moto elicoidale si muovono su traiettorie aventi la forma di
eliche cilindriche;
carattere in generale non uniforme del moto dei punti partecipi del moto elicoidale;
condizione necessaria e sufficiente per l’uniformità del moto predetto e definizione di moto
elicoidale uniforme;
atto di moto elicoidale.
------------------------------------------------------------------------------------gio
20.03.2014 (1 ora)
9:30-10:30 T2
Registrato su ESSE3
15.2 Teorema di Mozzi
Enunciato del teorema di Mozzi;
forma dell’atto di moto rigido nel caso che il vettore velocità angolare istantanea sia nullo,
atto di moto traslatorio come caso limite di atto di moto elicoidale;
determinazione del luogo dei punti dello spazio solidale la cui velocità istantanea è parallela
al vettore velocità angolare istantanea (non nullo), riduzione al problema equivalente della
individuazione dell’asse centrale in un sistema di vettori applicati a risultante non nullo;
definizione di asse istantaneo di moto (o di Mozzi);
caso in cui la velocità dei punti dell’asse di Mozzi risulta nulla: asse istantaneo di rotazione,
atto di moto rotatorio come caso limite di atto di moto elicoidale;
prova del teorema di Mozzi.
Osservazione sul fatto che l’asse di Mozzi è un attributo dell’atto di moto rigido e varia perciò
durante il moto.
15.3 Moti rigidi piani
Definizione, piano fisso del moto (π);
verifica che le velocità dei punti partecipi del moto rigido piano sono sempre parallele a π;
prova che il vettore velocità angolare istantanea è necessariamente ortogonale al piano π;
prova che l’asse istantaneo di moto è sempre un asse istantaneo di rotazione;
------------------------------------------------------------------------------------lun
24.03.2014 (1 ora)
10:30-11:30 T2
Registrato su ESSE3
teorema di classificazione degli atti di moto rigido piano (tali atti di moto sono o traslatori o
rotatori, mai elicoidali in senso stretto);
centro di rotazione istantanea;
calcolo del centro di rotazione istantanea per un atto di moto rigido piano a velocità angolare
istantanea non nulla, metodo algebrico e metodo geometrico (teorema di Michel Chasles).
Esempi notevoli di illustrazione dei metodi.
Osservazione sul fatto che il centro di rotazione istantanea è un attributo dell’atto di moto
rigido e varia perciò durante il moto.
16. SISTEMI RIGIDI DI PUNTI MATERIALI
Sistemi rigidi di punti materiali:
definizione,
spazio solidale al sistema, terne solidali al sistema, velocità angolare del sistema;
definizione di sistema rigido con un punto fisso, con asse fisso e libero;
osservazione sul fatto che il baricentro di un sistema rigido di punti materiali appartiene
sempre al relativo spazio solidale; conseguente possibilità che il punto fisso sia il baricentro.
Espressione del momento angolare in O di un sistema rigido con punto fisso O.
Espressione dell’energia cinetica per un sistema rigido con punto fisso O.
Forma matriciale delle relazioni per il momento angolare in O e per l’energia cinetica di un
sistema rigido con punto fisso O.
------------------------------------------------------------------------------------lun
24.03.2014 (1 ora)
11:30-12:30 T2
Registrato su ESSE3
Introduzione generale alla dinamica rigida: le equazioni cardinali della dinamica,
convenientemente riscritte e sotto le appropriate ipotesi supplementari, come equazioni del
moto.
Equazioni cardinali della dinamica rigida.
Teorema dell’energia cinetica per un sistema rigido, forma particolare assunta dalla potenza
delle sollecitazioni applicate ai punti del sistema.
Osservazione generale sulla possibilità di sostituire un sistema di forze attive applicate ad un
corpo rigido con un sistema equivalente (di uguali risultante e momento risultante).
16.1 Sistema rigido con punto fisso privo di attrito
Moto del sistema come moto di trascinamento di una terna solidale rispetto alla terna fissa.
Angoli di Eulero:
definizione,
biunivocità della corrispondenza fra le configurazioni della terna solidale rispetto alla terna
fissa e le terne di valori degli angoli euleriani (intervalli di definizione degli angoli di Eulero);
calcolo dei coseni direttori della terna solidale rispetto alla terna fissa e della matrice di
trasformazione delle coordinate fra terna solidale e terna fissa, in termini degli angoli di
Eulero;
rappresentazione della configurazione del sistema rigido in termini degli angoli di Eulero,
2
rappresentazione dei moti regolari in termini degli angoli euleriani come funzioni C in un
intervallo di tempo I.
------------------------------------------------------------------------------------mar 25.03.2014 (1 ora)
15:30-16:30 T2
Registrato su ESSE3
Condizione di punto fisso “privo di attrito”: condizione formale, osservazioni ed esempi
illustrativi; l’equazione cardinale del momento angolare, nel punto fisso, come equazione
pura del moto.
Osservazioni sull’opportunità di utilizzare terne solidali al sistema rigido per il calcolo delle
matrici d’inerzia.
Equazioni di Eulero per un corpo rigido con un punto fisso privo di attrito.
“Incompletezza” delle equazioni di Eulero.
Espressione della velocità angolare istantanea del sistema rigido in termini degli angoli di
Eulero e delle loro derivate prime rispetto al tempo;
componenti della velocità angolare istantanea nella terna solidale (cenno).
Chiusura delle equazioni di Eulero, riduzione alla forma normale del primo ordine,
assegnazione delle condizioni iniziali, esistenza e unicità della soluzione massimale del
problema di Cauchy.
------------------------------------------------------------------------------------mar 25.03.2014 (1 ora)
16:30-17:30 T2
Registrato su ESSE3
Moti per inerzia e caratterizzazione delle rotazioni permanenti.
Statica del corpo rigido con punto fisso privo di attrito: definizione di equilibrio,
caratterizzazione degli equilibri (seconda equazione cardinale della statica nel punto fisso).
16.2 Sistema rigido libero
Problema del moto per un sistema rigido libero (coordinate utilizzate per scrivere le equazioni
del moto, equazioni cardinali come equazioni del moto, natura delle equazioni del moto,
problema di Cauchy e statica).
------------------------------------------------------------------------------------mer 26.03.2014 (2 ore)
Lezione svolta da Giorgio Pavana
14:30-16:30 T2
Da non registrare su ESSE3
Esercizi su:
asse centrale di un sistema di vettori applicati con risultante non nullo;
oscillatore armonico smorzato con forzante sinusoidale;
punto vincolato a una curva fissa liscia (equazioni del moto ed equilibri) e con attrito (solo
equilibri);
punto vincolato a una superficie fissa liscia (equazioni del moto ed equilibri) e con attrito
(solo equilibri).
------------------------------------------------------------------------------------gio
27.03.2014 (1 ora)
8:30-9:30 T2
Registrato su ESSE3
16.3 Sistema rigido con asse fisso
Equazione del moto di un sistema rigido con asse fisso privo di attrito.
Riduzione a forma normale, problema di Cauchy e descrizione deterministica del sistema.
Statica di un sistema rigido con asse fisso privo di attrito.
Espressioni per l’energia cinetica e momento angolare di un corpo rigido con asse fisso.
------------------------------------------------------------------------------------gio
27.03.2014 (1 ora)
9:30-10:30 T2
Registrato su ESSE3
Cimenti dinamici ed equilibratura statica e dinamica di un sistema rigido con asse fisso privo
di attrito (trattazione nel caso le forze attive esterne siano trascurabili); interpretazione
dell’equilibratura statica per il rotore pesante (pendolo composto, o fisico).
Osservazione sul significato fisico dell’aver identificato le equazioni del moto con le
equazioni cardinali della dinamica (per un sistema rigido libero): nozione di corpo rigido
perfetto. Discussione sui limiti del modello, con esempio illustrativo. Significato delle
soluzioni delle equazioni del moto.
------------------------------------------------------------------------------------lun
31.03.2014 (1 ora)
10:30-11:30 T2
Registrato su ESSE3
17. SISTEMI VINCOLATI
Sistemi vincolati. Nozione generale di vincolo, nella forma f(t,P,Ppunto) gt 0. Vincolo
dipendente e indipendente dal tempo, unilaterale e bilaterale, olonomo e anolonomo. Esempi
illustrativi (pendolo conico teso e non, corpo rigido libero, rotolamento puro di un corpo
rigido su una superficie).
Definizione di sistema a vincoli indipendenti del tempo, a vincoli bilaterali, olonomo (in cui
tutti i vincoli sono rispettivamente, indipendenti dal tempo, bilaterali, olonomi).
Osservazione euristica sul fatto che le configurazioni di un sistema olonomo di N punti
materiali possono essere descritte da un numero di ‘variabili libere’ inferiore, spesso
significativamente, rispetto al numero 3N di coordinate cartesiane del sistema.
Sistemi olonomi a vincoli bilaterali, definizione formale: configurazione, parametrizzazione
C2 con matrice jacobiana di rango massimo, parametri lagrangiani, numero di gradi di libertà.
Significato fisico della parametrizzazione (che individua tutte e sole le configurazioni
compatibili con i vincoli olonomi ad un istante assegnato).
Sistemi reonomi e scleronomi (nozione).
------------------------------------------------------------------------------------lun
31.03.2014 (1 ora)
11:30-12:30 T2
Registrato su ESSE3
Esempi di sistemi olonomi, con individuazione di una scelta naturale dei parametri
lagrangiani, computo del relativo numero di gradi di libertà e (nei casi più semplici)
determinazione esplicita della parametrizzazione: punto su una curva, punto su una superficie,
corpo rigido libero, con asse fisso, con asse solidale scorrevole su una retta fissa, con punto
fisso, con punto vincolato ad una curva o ad una superficie. Interpretazione delle condizioni di
regolarità della parametrizzazione nel caso del punto vincolato ad una curva o superficie, e
per il sistema rigido con asse fisso,
17.1 Introduzione descrittiva alla teoria dei sistemi olonomi a vincoli bilaterali ideali
(N.B.: Scopo di questa trattazione è fornire una conoscenza operativa delle equazioni di
Lagrange, degli equilibri e delle relative proprietà di stabilità. Per le sezioni (1), (4) e (5) le
dimostrazioni di interesse sono rinviate alla parte finale del corso.)
(1) Le equazioni di Lagrange per i sistemi olonomi a vincoli ideali (la nozione di vincolo
ideale viene posposta, sottolineandone però la necessità nella deduzione delle equazioni del
moto):
energia cinetica del sistema, espressione dell’atto di moto, velocità generalizzate,
componenti lagrangiane (o generalizzate) delle sollecitazioni,
------------------------------------------------------------------------------------mar 01.04.2014 (0 ore)
15:30-17:30 T2
Da non registrare su ESSE3
Lezione non svolta per indisponibilità dei docenti (concomitanza del TOLC).
------------------------------------------------------------------------------------mer 02.04.2014 (0 ore)
14:30-16:30 T2
Da non registrare su ESSE3
Lezione non svolta per indisponibilità dei docenti (concomitanza del TOLC).
------------------------------------------------------------------------------------gio
03.04.2014 (1 ora)
8:30-9:30 T2
Registrato su ESSE3
convenzione sulla indipendenza di tempo, parametri lagrangiani e velocità generalizzate,
esempio illustrativo (T=1/2 a(q) qpunto2),
forma normale del secondo ordine,
forma normale equivalente del primo ordine,
problema di Cauchy, significato fisico delle condizioni iniziali,
determinismo della meccanica classica (nella formulazione lagrangiana).
(2) Calcolo dell’energia cinetica di un sistema:
additività della definizione,
energia cinetica delle parti rigide (secondo la presenza o meno di punti/assi fissi).
(3) Esempi di forze generalizzate:
forze peso,
forze elastiche,
------------------------------------------------------------------------------------gio
03.04.2014 (1 ora)
8:30-9:30 T2
Registrato su ESSE3
forze centrifughe,
riconoscibili come forze posizionali conservative, nei sistemi scleronomi, mediante il calcolo
diretto dei relativi potenziali.
Additività delle forze generalizzate rispetto a forze e punti materiali,
potenziale del sistema,
lagrangiana,
forma delle equazioni di Lagrange in presenza di sollecitazioni posizionali conservative,
caso puramente posizionale conservativo.
(4) Equilibri dei sistemi scleronomi:
soluzioni statiche delle equazioni di Lagrange,
caratterizzazione degli equilibri nel caso posizionale conservativo come punti critici del
potenziale,
(5) Stabilità degli equilibri nei sistema scleronomi:
il pendolo semplice come esempio introduttivo alla stabilità/instabilità degli equilibri,
------------------------------------------------------------------------------------lun
07.04.2014 (1 ora)
10:30-11:30 T2
Registrato su ESSE3
definizione di equilibrio stabile secondo Liapunov
(ovvero della corrispondente soluzione statica delle equazioni di Lagrange),
definizione di equilibrio instabile secondo Liapunov
(ovvero della corrispondente soluzione statica delle equazioni di Lagrange),
osservazione sul significato dell’instabilità secondo Liapunov,
teorema di Lagrange-Dirichlet nel caso posizionale conservativo (enunciato),
teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet (enunciato).
Significato dei teoremi di Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale:
(a) nozioni fondamentali di analisi e algebra lineare:
- approssimazione di Taylor al secondo ordine per funzioni reali di più variabili reali, matrice
hessiana del potenziale nella configurazione di equilibrio e relativa forma quadratica associata
hessiana, simmetria della matrice hessiana per potenziali C2;
- carattere reale degli autovalori dell’hessiana come conseguenza della simmetria;
- nozione di matrice (hessiana) simmetrica definita positiva/negativa, indefinita, semidefinita
positiva/negativa in termini della forma hessiana associata;
- nozioni equivalenti in termini di autovalori della matrice hessiana;
- nozione di matrice simmetrica definita positiva/negativa in termini del teorema di Sylvester;
(b) applicazione ai teoremi:
- verifica che nel caso di hessiana definita positiva, semidefinita positiva, indefinita,
l’equilibrio è instabile per il teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet e che, nelle
stesse condizioni, l’equilibrio non è un massimo relativo proprio del potenziale (i teoremi di
Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale sono mutuamente esclusivi);
- verifica che per hessiana definita negativa l’equilibrio è un massimo relativo proprio del
potenziale, stabile per Lagrange-Dirichlet;
- verifica che se l’hessiana è solo semidefinita negativa l’equilibrio può essere o meno un
massimo relativo proprio del potenziale (il termine di resto diventa determinante lungo gli
autovettori associati all’autovalore 0 della matrice hessiana),
- casi nei quali l’equilibrio è effettivamente un massimo (difficilmente riconoscibile, ma
comunque stabile per Lagrange-Dirichlet),
- casi critici (nei quali l’equilibrio non è un massimo relativo proprio del potenziale e
l’hessiana risulta soltanto semidefinita negativa, per cui non sono applicabili né LagrangeDirichlet, né la relativa inversione parziale);
giustificazione della denominazione del teorema di inversione “parziale” di LagrangeDirichlet (i teoremi di Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale non sono esaustivi della
totalità dei casi possibili, per via dei casi critici);
impossibilità di una inversione completa del teorema di Lagrange-Dirichlet.
Applicazione particolare dei teoremi di Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale nel caso
di sistemi scleronomi:
- a un grado di libertà (segno della derivata seconda)
- a due gradi di libertà (segno del determinante e della traccia).
------------------------------------------------------------------------------------lun
07.04.2014 (1 ora)
11:30-12:30 T2
Registrato su ESSE3
Lezione svolta da Stefano Siboni.
Esercizi sulla dinamica e statica del corpo rigido con asse fisso privo di attrito.
------------------------------------------------------------------------------------mar 08.04.2014 (1 ora)
15:30-16:30 T2
Registrato su ESSE3
17.2 Derivazione delle equazioni di Lagrange e loro riduzione a forma normale
Per un istante assegnato t’ ed una configurazione assegnata P’=P(t’,q’) compatibile con i
vincoli olonomi a tale istante, definizione di
- moto possibile
- moto virtuale
- atto di moto possibile (e velocità possibile)
- atto di moto virtuale (e velocità virtuale)
relativi alla coppia (t’,P’), in termini della parametrizzazione P(t,q) del sistema olonomo,
mediante l’introduzione di una funzione q(t) tale che:
- q(t) sia definita in [t’,t’+ε), con ε>0,
2
- q(t) sia C in [t’,t’+ε),
- q(t) assuma valori consentiti ai parametri lagrangiani per ogni t in [t’,t’+ε)
- q(t’)=q’.
Illustrazione della differenza fra moto possibile e virtuale nel caso di un punto vincolato a
rimanere su una curva mobile (es. circonferenza di raggio variabile con centro e giacitura
fissi).
Coincidenza fra moti possibili e virtuali nel caso scleronomo.
Espressione esplicita dell’atto di moto possibile e dell’atto di moto virtuale in termini della
parametrizzazione P(t,q) del sistema olonomo.
Atti di moto virtuali invertibili e non invertibili.
Caratterizzazione e invertibilità degli atti di moto virtuali nel caso di un sistema olonomo a
vincoli bilaterali, accertata usando q(t)=q’+(t-t’)a, con a=(α1, α2,… αn) vettore fissato a
piacere.
Postulato delle reazioni vincolari.
Principio delle reazioni vincolari.
Osservazione sul fatto che il principio delle reazioni vincolari non è una legge fisica
fondamentale: esistenza di sistemi a vincoli ideali e di sistemi a vincoli non ideali.
Commento sul fatto che la condizione dei vincoli ideali non è mai soddisfatta in senso stretto,
poichè non pone alcun limite all’intensità delle reazioni vincolari esprimibili dai vincoli.
Invertibilità degli atti di moto virtuali nel caso di un sistema olonomo a vincoli bilaterali,
forma particolare assunta dal principio delle reazioni vincolari.
------------------------------------------------------------------------------------mar 08.04.2014 (1 ora)
16:30-17:30 T2
Esempi di sistemi a vincoli ideali:
punto materiale libero,
sistemi di punti materiali liberi;
punto materiale su una curva liscia,
punto materiale su una superficie liscia,
corpo rigido libero,
corpo rigido con punto fisso privo di attrito,
corpo rigido con asse fisso privo di attrito.
Registrato su ESSE3
Moti naturali di un sistema olonomo a vincoli ideali.
Caratterizzazione dei moti naturali per mezzo dell’equazione simbolica della dinamica.
Equazione simbolica della dinamica in forma lagrangiana.
Equazioni di Lagrange per i sistemi olonomi a vincoli bilaterali,
componenti lagrangiane o generalizzate delle sollecitazioni attive.
------------------------------------------------------------------------------------mer 09.04.2014 (2 ore)
14:30-16:30 T2
Da non registrare su ESSE3
Lezione svolta da Giorgio Pavana.
Esercizi su corpo rigido con asse fisso privo di attrito, cinematica rigida, vettori applicati,
punto vincolato a una curva/superficie fissa e liscia, o con attrito nel caso statico.
------------------------------------------------------------------------------------gio
10.04.2014 (1 ora)
8:30-9:30 T2
Registrato su ESSE3
Energia cinetica di un sistema olonomo a n gradi di libertà e riscrittura equivalente delle
equazioni di Lagrange. Osservazione sulla opportunità di tale riscrittura nel caso di sistemi
costituiti da un numero finito di punti materiali e di parti rigide.
Struttura dell’energia cinetica di un sistema olonomo a n gradi di libertà, termine quadratico,
lineare e costante nelle velocità generalizzate. Prova che i coefficienti di tali termini sono
funzioni C1 delle variabili (t,q). Prova che i coefficienti del termine quadratico sono
simmetrici per lo scambio degli indici.
Struttura delle equazioni di Lagrange, con evidenziati i termini di accelerazione generalizzata,
forma matriciale equivalente. Prova che la matrice dei coefficienti del termine quadratico è
invertibile. Conseguente riducibilità alla forma normale del primo ordine delle equazioni di
Lagrange.
------------------------------------------------------------------------------------gio
10.04.2014 (1 ora)
9:30-10:30 T2
Registrato su ESSE3
17.3 Sistemi olonomi a vincoli unilaterali ideali
(sinteticamente, mettendo in luce le differenza rispetto al caso bilaterale)
Sistemi olonomi a vincoli unilaterali (dominio della parametrizzazione non aperto).
Configurazioni ordinarie e di confine. Conseguenze sulla espressione dei moti e delle
velocità virtuali. Velocità virtuali non invertibili (in corrispondenza delle configurazioni di
confine). Esempi notevoli di determinazione degli atti di moto virtuali:
sistemi a un g.d.l., il cui unico parametro lagrangiano varia in un intervallo limitato e chiuso;
sistemi a due g.d.l. i cui parametri lagrangiani variano in un rettangolo chiuso o una striscia.
Principio delle reazioni vincolari nella forma generale.
Esempio illustrativo: forma delle reazioni vincolari nel caso di un punto vincolato a una curva
completa dei propri estremi, nell’ipotesi di vincoli ideali.
Moti naturali di un sistema a vincoli ideali unilaterali e loro caratterizzazione per mezzo della
relazione simbolica della dinamica, in luogo dell’equazione simbolica della dinamica.
Validità delle equazioni di Lagrange nel caratterizzare i moti naturali che coinvolgono
esclusivamente configurazioni ordinarie del sistema.
------------------------------------------------------------------------------------lun
28.04.2014 (1 ora)
10:30-11:30 T2
Registrato su ESSE3
17.4 Statica dei sistemi scleronomi a vincoli ideali
Definizione generale di quiete di un sistema olonomo a n gradi di libertà (e vincoli bilaterali o
unilaterali), come moto possibile;
osservazione sul fatto che in un sistema reonomo non è ovvia l’esistenza di stati di quiete,
semplici esempi illustrativi (punto su circonferenza mobile, con o senza posizioni fisse, asta o
piastra che oscilla in un piano rotante uniformemente e passante per un asse coordinato).
osservazione sul fatto che in un sistema scleronomo ogni stato di quiete P0 si ottiene
assegnando valori costanti q0 delle coordinate lagrangiane nella parametrizzazione del
sistema, P=P(q0)= P0.
Definizione generale di configurazione di equilibrio di un sistema a vincoli ideali olonomi e
unilaterali (configurazione P0 per la quale la quiete in P0 risulta un moto naturale del sistema).
Caratterizzazione degli equilibri di un sistema sclerolonomo a n gradi di libertà, a vincoli
unilaterali ideali, per mezzo del teorema dei lavori virtuali.
Commento sulla denominazione del teorema: uso equivalente degli spostamenti virtuali e del
lavoro virtuale in luogo delle velocità virtuali e della potenza virtuale.
Forma lagrangiana equivalente del teorema dei lavori virtuali.
(i) Caso delle configurazioni ordinarie:
l’annullarsi di tutte le componenti lagrangiane Qh(t,q0,0) per h=1,…,n e a tutti i tempi t reali,
come condizione necessaria e sufficiente perchè P(q0) sia una configurazione di equilibrio;
verifica che il sussistere in P(q0) di una configurazione di equilibrio equivale all’essere q(t)=
q0, per ogni t reale, soluzione (statica) delle equazioni di Lagrange;
caso particolare dei sistemi soggetti a sole sollecitazioni posizionali e conservative, le
configurazioni di equilibrio ordinarie come punti critici del potenziale U.
(ii) Caso delle configurazioni di confine:
illustrazione del teorema dei lavori virtuali in forma lagrangiana negli esempi già esaminati
(esempi a uno e due gradi di libertà, con dominio di parametrizzazione dato da un intervallo,
una striscia o un rettangolo chiusi).
------------------------------------------------------------------------------------lun
28.04.2014 (1 ora)
11:30-12:30 T2
Registrato su ESSE3
Lezione svolta da Stefano Siboni.
Esercizi sul calcolo di velocità angolare, energia cinetica e momento angolare di sistemi rigidi
variamente vincolati, in moto piano.
-------------------------------------------------------------------------------------
mar 29.04.2014 (1 ora)
15:30-16:30 T2
Registrato su ESSE3
Lezione svolta da Stefano Siboni.
Esercizi sul calcolo di velocità angolare, energia cinetica e momento angolare di sistemi rigidi
variamente vincolati, in moto piano.
------------------------------------------------------------------------------------mar 29.04.2014 (1 ora)
16:30-17:30 T2
Registrato su ESSE3
Lezione svolta da Stefano Siboni.
Esercizio sulla determinazione degli equilibri ordinari, delle proprietà di stabilità degli
equilibri, dell’energia cinetica e delle equazioni del moto per un sistema scleronomo a due
gradi di libertà posizionale conservativo a vincoli bilaterali ideali.
------------------------------------------------------------------------------------mer 30.04.2014 (1 ora)
14:30-15:30 T2
Registrato su ESSE3
Lezione svolta da Stefano Siboni.
Esercizio sulla determinazione degli equilibri ordinari, delle proprietà di stabilità degli
equilibri, dell’energia cinetica e delle equazioni del moto per un sistema scleronomo a due
gradi di libertà posizionale conservativo a vincoli bilaterali ideali.
------------------------------------------------------------------------------------mer 30.04.2014 (1 ora)
15:30-16:30 T2
Registrato su ESSE3
Lezione svolta da Stefano Siboni.
Esercizio sulla determinazione degli equilibri ordinari, delle proprietà di stabilità degli
equilibri, dell’energia cinetica e delle equazioni del moto per un sistema scleronomo a un
grado di libertà posizionale conservativo a vincoli bilaterali ideali.
------------------------------------------------------------------------------------lun
05.05.2014 (1 ora)
10:30-11:30 T2
Registrato su ESSE3
Lezione svolta da Stefano Siboni.
Esercizio sulla determinazione degli equilibri ordinari, delle proprietà di stabilità degli
equilibri, dell’energia cinetica e delle equazioni del moto per un sistema scleronomo a un
grado di libertà posizionale conservativo a vincoli bilaterali ideali, in presenza di forze
centrifughe.
------------------------------------------------------------------------------------lun
05.05.2014 (1 ora)
11:30-12:30 T2
Registrato su ESSE3
Lezione svolta da Stefano Siboni.
Esercizio sulla determinazione delle equazioni del moto in un sistema di riferimento in moto
rotatorio uniformemente accelerato attorno ad un asse verticale (contributo delle forze di
Eulero).
Esercizio sulla determinazione dell’energia cinetica, degli equilibri ordinari e delle proprietà
di stabilità degli equilibri ordinari in un sistema scleronomo a due gradi di libertà posizionale
conservativo a vincoli ideali (discussione della matrice hessiana con il metodo del
determinante e della traccia).
------------------------------------------------------------------------------------TERMINE DEL CORSO DI FONDAMENTI DI MECCANICA RAZIONALE
------------------------------------------------------------------------------------mar 06.05.2014 (1 ora)
15:30-16:30 T2
Registrato su ESSE3
17.5 Caso notevole: il teorema di Torricelli
Enunciato e dimostrazione del teorema, con esempio illustrativo (pendolo fisico, o composto).
17.6 Statica dei sistemi reonomi a vincoli ideali
Stati di quiete e configurazioni di equilibrio di un sistema reonomo a vincoli ideali.
Osservazione sul modo di definire stati di quiete che siano moti possibili nei sistemi reonomi.
Caratterizzazione dell’equilibrio mediante il teorema dei lavori virtuali per i sistemi olonomi
a vincoli ideali unilaterali, enunciato in termini di velocità e potenze virtuali;
enunciato equivalente in termini di spostamenti e lavori virtuali;
enunciato equivalente in termini di componenti lagrangiane, con le velocità o gli spostamenti
virtuali.
(Il teorema è stato svolto nel primo modulo limitatamente ai sistemi scleronomi e viene qui
esteso ai sistemi reonomi).
17.7 Sollecitazioni di potenza non positiva e loro effetto sull’equilibrio
Potenza di una sollecitazione attiva in un sistema scleronomo, definizione e relazione con il
concetto usuale di potenza per un sistema di forze applicate ad un sistema di punti materiali.
Sollecitazioni di potenza non positiva, non energetiche e dissipative, con esempi notevoli
(forza di Coriolis, forza di Lorentz, forze di resistenza viscosa ed idraulica).
Verifica che le sollecitazioni di potenza non positiva dipendono sempre dalle velocità
generalizzate.
------------------------------------------------------------------------------------mar 06.05.2014 (1 ora)
16:30-17:30 T2
Registrato su ESSE3
Teorema dell’energia cinetica per i sistemi scleronomi a vincoli ideali, limitatamente ai soli
moti naturali regolari (che interessano configurazioni ordinarie del sistema):
(i) prova diretta, osservando che nell’espressione della potenza le velocità possibili sono
sempre interpretabili come velocità virtuali e che la potenza è nulla per la condizione di
vincoli ideali;
(ii) osservazione sul fatto che la potenza delle reazioni vincolari nei sistemi reonomi a vincoli
ideali è non nulla (esempio del punto vincolato a una curva liscia fissa o mobile);
(iii) prova indiretta, partendo dalle equazioni di Lagrange e ricordando che l’energia cinetica è
una forma quadratica (indipendente dal tempo) delle velocità generalizzate.
Teorema dell’energia meccanica nelle stesse ipotesi.
Giustificazione delle denominazioni usate per le varie tipologie di sollecitazioni a potenza non
positiva.
Sistemi posizionali conservativi e sistemi conservativi non posizionali, integrale primo
dell’energia meccanica; sistemi dissipativi.
------------------------------------------------------------------------------------mer 07.05.2014 (1 ora)
14:30-15:30 T2
Registrato su ESSE3
Annullarsi delle sollecitazioni continue di potenza non positiva per velocità generalizzata
nulla (con dimostrazione).
Ininfluenza sugli equilibri delle sollecitazioni continue a potenza non positiva, che in
condizioni statiche scompaiono dal teorema dei lavori virtuali.
17.8 Teorema dei lavori virtuali applicato ai sistemi rigidi a vincoli ideali
Equazioni cardinali della statica come condizioni sufficienti per l’equilibrio dedotte dal
teorema dei lavori virtuali nel caso di un sistema rigido:
libero perfetto;
con punto fisso privo di attrito;
con asse fisso privo di attrito.
17.9 Sistemi olonomi composti da un numero finito di parti rigide
e a vincoli ideali
Rappresentazione generale dell’atto di moto virtuale;
forma assunta dal principio delle reazioni vincolari (dipendente soltanto da risultanti e
momenti risultanti delle reazioni vincolari applicate alle singole parti rigide);
forma assunta dal teorema dei lavori virtuali (dipendente unicamente da risultanti e momenti
risultanti delle forze attive applicate alle singole parti rigide).
------------------------------------------------------------------------------------mer 07.05.2014 (1 ora)
15:30-16:30 T2
Registrato su ESSE3
Equazioni cardinali della statica per le parti rigide costituenti;
le equazioni cardinali della statica per tutte le parti rigide come condizioni necessarie e
sufficienti per l’equilibrio (dunque equivalenti al teorema dei lavori virtuali).
Osservazione sul fatto che il risultato non confligge con la generale necessità ma non
sufficienza delle equazioni cardinali statiche (del sistema, e non di tutte le parti rigide).
Osservazione sulla maggiore semplicità del teorema dei lavori virtuali rispetto alle equazioni
cardinali statiche per le parti rigide;
approccio standard al problema statico: determinazione degli equilibri mediante il teorema dei
lavori virtuali e calcolo dei risultanti e momenti risultanti delle reazioni vincolari su tutte le
parti rigide mediante le relative equazioni cardinali statiche;
osservazione sulla impossibilità di calcolare le singole reazioni vincolari nei sistemi a vincoli
ideali composti da un numero finito di parti rigide: necessità di dettagliare in modo più
specifico la struttura delle reazioni vincolari.
17.10 Sistemi olonomi composti da un numero finito di parti rigide
e a reazioni vincolari concentrate
Sistemi di parti rigide a reazioni vincolari esterne concentrate: reazioni interne ed esterne a
ciascuna parte rigida e assunti relativi a tali reazioni (reazioni interne esplicabili definite
secondo il modello del corpo rigido perfetto);
giustificazione fisica di questo tipo di modelli su un esempio notevole, l’asta appoggiata:
scelta dei punti di applicazione delle reazioni esterne, introduzione degli eventuali momenti
concentrati (o di attrito volvente);
definizione di equilibrio per un sistema di parti rigide a reazioni vincolari esterne concentrate;
determinazione degli equilibri mediante le equazioni cardinali della statica per tutte le parti
rigide del sistema (condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio grazie all’ipotesi del
corpo rigido perfetto assunta per tutte le parti rigide);
problemi staticamente determinati ed indeterminati;
osservazione sul fatto che un sistema olonomo di parti rigide a reazioni vincolari esterne
concentrate potrebbe non risultare a vincoli ideali (esempio notevole);
conseguente, eventuale impossibilità di applicare il teorema dei lavori virtuali.
------------------------------------------------------------------------------------gio
08.05.2014 (1 ora)
8:30-9:30 T2
Registato su ESSE3
17.11 Statica dei sistemi olonomi in presenza di attrito
Vincoli con attrito radente, legge di Coulomb-Morin dell'attrito radente statico per un punto
materiale vincolato a restare su una curva o una superficie. Condizione necessaria e
sufficiente per l’equilibrio Osservazione sul fatto che nel punto materiale vincolato a restare
su una curva/superficie regolare con attrito, se una configurazione viene riconosciuta come di
equilibrio assumendo il vincolo ideale, allora la configurazione risulta effettivamente un
equilibrio, anche tenendo conto dell’attrito, mentre in generale possono sussistere degli
equilibri definiti in forza dell’attrito radente e che quindi scompaiono nel momento in cui gli
attriti radenti vengano rimossi. La condizione segue dal fatto che le reazioni vincolari
compatibili con il principio delle reazioni vincolari sono anche compatibili con la legge di
Coulomb-Morin dell’attrito radente statico, ma non viceversa.
Estensione dell’osservazione a sistemi (olonomi) qualsiasi con attrito: principio di sicurezza
(in condizioni statiche l’insieme delle reazioni vincolari esplicabili da un sistema olonomo
con attrito include l’insieme delle reazioni vincolari esplicabili dallo stesso sistema trattato
come a vincoli ideali).
Conseguenza: in un sistema olonomo con attrito il teorema dei lavori virtuali è condizione
sufficiente, ma in generale non necessaria, per l’equilibrio.
18. Stabilità
18.1 Nozioni generali
Per la soluzione costante x(t)=0 di una equazione differenziale ordinaria nel primo ordine in
forma normale ed autonoma (per la quale valga il teorema di esistenza ed unicità della
soluzione massimale per ogni problema di Cauchy):
definizione di stabilità secondo Liapunov;
definizione di instabilità secondo Liapunov (carattere dicotomico della definizione);
definizione di attrattività secondo Liapunov;
definizione di stabilità asintotica;
indipendenza fra stabilità ed attrattività (esistenza di soluzioni stabili non attrattive e di
soluzioni attrattive ma instabili).
Estensione delle precedenti definizioni al caso di soluzioni costanti x(t)=x* qualsiasi.
Cenno alla estensione delle stesse definizioni al caso di soluzioni x(t) qualsivoglia.
Osservazione sul significato fisico dell’instabilità secondo Liapunov: l’instabilità non implica
che TUTTE le soluzioni perturbate debbano allontanarsi dalla soluzione costante instabile; in
effetti, in ogni sfera di condizioni iniziali può esistere un sottoinsieme le cui corrispondenti
soluzioni massimali tendono asintoticamente alla soluzione costante instabile, mentre per tutte
le altre condizioni iniziali le soluzioni massimali escono dalla sfera di instabilità. I punti del
primo tipo costituiscono un insieme di “volume” nullo rispetto a quelli del secondo tipo, che
quindi si realizzano con probabilità 1 per una scelta casuale della condizione iniziale.
------------------------------------------------------------------------------------gio
08.05.2014 (1 ora)
9:30-10:30 T2
Registrato su ESSE3
Pregi e difetti della definizione di stabilità secondo Liapunov:
(1) generalità (le definizioni sono applicabili alle soluzioni di un sistema qualsiasi di
equazioni differenziali, quale che ne sia il significato fisico);
(2) nel caso dell’equilibrio meccanico, le definizioni sono applicabili ai soli equilibri ordinari
(gli equilibri ordinari di un sistema scleronomo sono le soluzioni statiche delle equazioni di
Lagrange del moto, mentre gli equilibri di confine no. Per gli equilibri di confine non ha
senso parlare di stabilità o instabilità secondo Liapunov).
18.2 Analisi di Weierstrass
Caso particolare in cui lo studio della stabilità degli equilibri può essere condotto attraverso
una analisi qualitativa dei moti: la discussione di Weierstrass.
Sistemi unidimensionali conservativi,
funzione potenziale ed energia potenziale,
integrale primo dell’energia;
funzione di Weierstrass;
riscrittura delle equazioni del moto in termini della funzione di Weierstrass.
Teorema di caratterizzazione delle coppie (x0,E) di posizione iniziale x0 ed energia E per le
quali si ha almeno un moto del sistema, in termini della funzione di Weierstrass.
------------------------------------------------------------------------------------lun
12.05.2014 (1 ora)
10:30-11:30 T2
Registrato su ESSE3
Criteri di Weierstrass (enunciato).
Dimostrazione dei criteri di Weierstrass.
------------------------------------------------------------------------------------lun
12.05.2014 (1 ora)
11:30-12:30 T2
Registrato su ESSE3
Applicazione dei criteri di Weierstrass all’analisi qualitativa delle soluzioni nei sistemi
posizionali ad un grado di libertà, prendendo a modello un potenziale tipico (con un massimo
relativo, un minimo relativo, un flesso orizzontale ascendente e valori limite –infinito e +
infinito):
individuazione degli zeri della funzione di Weierstrass come punti di intersezione fra il
grafico dell’energia potenziale W e la retta rappresentativa del livello E di energia;
determinazione della natura di tali zeri (semplici o multipli) in base alla derivata di W;
predeterminazione dei possibili zeri multipli come punti critici di W;
calcolo dei livelli energetici notevoli (corrispondenti ai valori di W nei punti critici, a valori
intermedi, inferiori al minimo e superiori al massimo);
piano delle fasi (q,qpunto);
costruzione del ritratto di fase del sistema, evidenziando
soluzioni statiche (e punti rappresentativi degli stati di quiete),
moti oscillatori (e orbite periodiche),
moti a meta asintotica (e separatrici, distinguendole dagli equilibri).
osservazioni di dettaglio circa
la simmetria delle curve di livello dell’energia rispetto all’asse x nel ritratto di fase,
l’andamento (ellittico o più complesso) delle orbite intorno a un minimo relativo di W,
l’andamento delle orbite nell’intorno di un punto di inversione (parabolico)
(precisando l’ortogonalità dell’intersezione con l’asse x),
l’andamento delle curve separatrici nell’intorno della soluzione statica.
Applicazione dei criteri di Weierstrass all’analisi di stabilità dell’equilibrio:
verifica diretta della stabilità per i punti di minimo relativo proprio dell’energia potenziale;
verifica diretta della instabilità per i punti di massimo relativo proprio dell’energia potenziale;
verifica diretta che il comportamento di una soluzione statica instabile sotto perturbazioni del
dato iniziale è quello che intuitivamente ci si attende per una soluzione statica instabile (la
quasi totalità delle soluzioni perturbate non si mantiene prossima alla soluzione statica,
benché siano comunque presenti soluzioni che nel futuro tendono asintoticamente alla
soluzione statica);
estensione ai punti di flesso orizzontale dell’energia potenziale W.
Analisi di Weierstrass nel caso in cui il parametro lagrangiano vari in un intervallo limitato
aperto (uso del teorema di prolungabilità) o chiuso (processi d’urto elastici o anelastici nelle
configurazioni di confine, moti non regolari, modelli “a biliardo”).
------------------------------------------------------------------------------------mar 13.05.2014 (2 ore)
15:30-17:30 T2
Da non registrare su ESSE3
Lezione svolta da Giorgio Pavana
Esercizi sul calcolo delle componenti lagrangiane e della potenza di sollecitazioni non
posizionali. Esercizi sulle equazioni cardinali della statica per sistemi di parti rigide.
------------------------------------------------------------------------------------mer 14.05.2014 (1 ora)
14:30-15:30 T2
Registrato su ESSE3
Esempio notevole di applicazione dell’analisi di Weierstrass: il pendolo semplice e il pendolo
fisico:
equazioni pure del moto,
integrale dell’energia meccanica,
energia potenziale e suo grafico,
discussione qualitativa delle soluzioni e loro interpretazione fisica.
18.3 Teoremi di Liapunov
Introduzione ai teoremi di stabilità: schema generale (teoremi generali, teoremi specifici
relativi ai sistemi scleronomi, mutue relazioni fra detti teoremi).
Enunciato del teorema di Liapunov di stabilità (nel caso autonomo),
enunciato del teorema di Liapunov di stabilità asintotica (nel caso autonomo),
definizioni fondamentali relative e loro significato geometrico (funzione di Liapunov e sua
derivata di Lie, funzioni definite e semidefinite positive e negative in una sfera chiusa).
------------------------------------------------------------------------------------mer 14.05.2014 (1 ora)
15:30-16:30 T2
Registrato su ESSE3
Dimostrazione del teorema di Liapunov di stabilità.
Dimostrazione del teorema di Liapunov di stabilità asintotica.
Esempi di applicazione dei teoremi di Liapunov di stabilità e di stabilità asintotica a semplici
sistemi scleronomi unidimensionali soggetti a forze posizionali conservative e a sollecitazioni
dissipative.
------------------------------------------------------------------------------------gio
15.05.2014 (1 ora)
8:30-9:30 T2
Registrato su ESSE3
18.4 Stabilità della soluzione statica nei sistemi lineari
e teorema di analisi lineare della stabilità
Studio euristico della stabilità della soluzione statica (x1,x2)=(0,0) in un sistema lineare
omogeneo a coefficienti costanti nel piano, classificazione in base agli autovalori della
matrice A del sistema.
(1) Matrice A non singolare:
(i) autovalori reali distinti
- autovalori reali di segno opposto (sella, instabile)
- autovalori reali positivi distinti (nodo instabile)
- autovalori reali negativi distinti (nodo stabile)
(ii) autovalori reali coincidenti
- positivi (caso di A diagonalizzabile e non, nodo degenere instabile)
- negativi (caso di A diagonalizzabile e non, nodo degenere stabile)
(iii) autovalori complessi coniugati
- con parte reale positiva (fuoco instabile)
- con parte riale negativa (fuoco stabile)
- con parte reale nulla (autovalori immaginari puri non nulli) (centro, stabile non attrattivo).
------------------------------------------------------------------------------------gio
15.05.2014 (1 ora)
9:30-10:30 T2
(2) Matrice A singolare:
(i) autovalore nullo semplice
(ii) autovalore nullo doppio
- per A diagonalizzabile (piano di punti fissi, stabilità semplice)
- per A non diagonalizzabile (asse di punti fissi, instabilità).
Registrato su ESSE3
Teorema della stabilità della soluzione costante x=0 nel caso di un sistema lineare omogeneo
a coefficienti costanti (solo enunciato, con giustificazione qualitativa dello stesso in base alla
forma della soluzione generale dell’equazione, distinguendo il caso sia definita una base di
autovettori e quello in cui sia necessario ricorrere ad autovettori generalizzati):
equazione caratteristica,
molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori,
diseguaglianza di Jordan (molteplicità geometrica <= molteplicità algebrica),
lineare indipendenza di autovettori associati ad autovalori distinti,
condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza di una base di autovettori,
esistenza di una base di autovettori generalizzati in caso contrario (teorema di Jordan),
forma della soluzione generale dell’equazione differenziale nel caso di matrice
diagonalizzabile,
forma della soluzione nel caso di matrice non diagonalizzabile (cenno qualitativo),
discussione qualitativa della stabilità del punto fisso x=0.
------------------------------------------------------------------------------------lun
19.05.2014 (1 ora)
10:30-11:30 T2
Registrato su ESSE3
Teorema di analisi lineare di stabilità (solo enunciato).
Esempio che dimostra come il teorema di analisi lineare non possa essere esteso ai casi critici
4
(punto materiale vincolato ad un asse coordinato e soggetto ad un potenziale quartico αx ).
18.5 Stabilità degli equilibri ordinari nei sistemi olonomi
Definizione di stabilità, attrattività, instabilità e stabilità asintotica dell’equilibrio ordinario in
un sistema scleronomo.
Problemi nella estensione delle stesse definizioni agli equilibri di confine.
Osservazione sulla opportunità di sviluppare teoremi specifici per l’analisi di stabilità
dell’equilibrio nei sistemi scleronomi (onde evitare l’individuazione, non banale, di funzioni
di Liapunov appropriate per l’applicazione diretta dei criteri di Liapunov e il calcolo degli
autovalori per una matrice 2n x 2n nei sistemi scleronomi a n gradi di libertà).
Enunciato dei principali risultati per l’analisi di stabilità dell’equilibrio nei sistemi
scleronomi:
(1) Lagrange-Dirichlet (anche in presenza di eventuali sollecitazioni di potenza non positiva);
(2) inversione parziale di Lagrange-Dirichlet;
(3) forma “forte” del teorema di Lagrange-Dirichlet per equilibri isolati in presenza di
sollecitazioni completamente dissipative (basata sui criteri di Barbasin-Krasovskii).
(1) Commenti sul teorema di Lagrange-Dirichlet:
possibile presenza di sollecitazioni di potenza non positiva, accanto a quelle posizionali
conservative.
(2) Commenti sul teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet:
osservazione sull’equivalenza fra la richiesta che l’hessiana del potenziale abbia almeno un
autovalore positivo e che l’assenza del massimo del potenziale nell’equilibrio si possa
riconoscere dall’esame dell’hessiana;
osservazione sul conseguente carattere parziale dell’inversione, casi critici di stabilità;
osservazione circa l’esclusione delle sollecitazioni non posizionali conservative, che sono
invece tollerate nel teorema di Lagrange-Dirichlet.
------------------------------------------------------------------------------------lun
19.05.2014 (1 ora)
11:30-12:30 T2
Registrato su ESSE3
(3) Commenti sulla forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet:
sollecitazioni completamente dissipative (definizione);
esempio notevole (resistenza viscosa agente su un punto materiale libero);
resistenze viscose o idrauliche agenti su tutti i punti materiali di un sistema scleronomo;
equilibri isolati (definizione);
verifica che gli equilibri sono sempre isolati se in numero finito;
verifica che se un equilibrio isolato è un massimo relativo del potenziale deve essere
necessariamente proprio;
verifica che un equilibrio non isolato non può essere attrattivo.
Dimostrazione del teorema di Lagrange-Dirichlet come applicazione del criterio di stabilità di
Liapunov.
Osservazione sul fatto che il carattere dissipativo delle forze non posizionali è in realtà
richiesto soltanto in un intorno della soluzione statica e non in tutto lo spazio delle fasi.
Osservazione sul fatto che la derivata di Lie dell’energia meccanica non è mai definita
negativa e conseguente impossibilità di applicare il criterio di stabilità asintotica di Liapunov.
Osservazione sul fatto che nel caso posizionale conservativo la conservazione dell’energia
meccanica esclude l’attrattività dell’equilibrio.
------------------------------------------------------------------------------------mar 20.05.2014 (1 ora)
15:30-16:30 T2
Registrato su ESSE3
Linearizzazione delle equazioni di Lagrange nell’intorno di una soluzione statica di un
sistema scleronomo posizionale e conservativo (approssimazione di Taylor al primo ordine);
equazioni linearizzate ottenute approssimando la lagrangiana con un polinomio di Taylor al
secondo ordine nell’intorno della soluzione statica, lagrangiana del sistema linearizzato;
equivalenza dei due metodi di linearizzazione delle equazioni di Lagrange.
Prova del teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet e sua estensione (traccia della
dimostrazione per riduzione all'analisi lineare):
le equazioni linearizzate come sistema omogeneo del primo ordine in forma normale,
problema agli autovalori per la matrice di rappresentazione D,
riduzione al problema agli autovalori generalizzato, autovalori e autovettori generalizzati,
relazione fra gli autovalori di D e gli autovalori generalizzati (salvo il caso dell’autovalore 0),
0
radice quadrata aritmetica della matrice dell’energia cinetica A(q ),
prova che gli autovalori generalizzati sono tutti reali,
matrici congruenti e teorema di Sylvester (enunciato),
prova che gli autovalori generalizzati coincidono in segno con quelli della matrice hessiana
del potenziale U,
prova del teorema di inversione parziale come applicazione del teorema di analisi lineare.
------------------------------------------------------------------------------------mar 20.05.2014 (1 ora)
16:30-17:30 T2
Registrato su ESSE3
Osservazione circa l’impossibilità di applicare il teorema di analisi lineare nei massimi
relativi propri del potenziale per un sistema scleronomo posizionale conservativo (autovalori
di D nulli o immaginari puri).
Osservazione sulla estensione del teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet in
presenza di sollecitazioni non posizionali conservative, purchè queste non diano alcun
contributo alle equazioni linearizzate.
19. Piccole oscillazioni
Significato fisico delle equazioni di Lagrange linearizzate nel caso di un equilibrio stabile
(approssimazione utile a tempi lunghi) e nel caso di equilibrio instabile (approssimazione
utile solo per tempi molto brevi).
Piccole oscillazioni di un sistema olonomo nell'intorno di una configurazione di equilibrio
stabile nel caso che l’hessiana del potenziale sia definita negativa:
coordinate normali,
equazioni linearizzate nelle coordinate normali,
soluzione generale,
pulsazioni normali, frequenze normali, modi normali,
rappresentazione della soluzione generale come combinazione lineare di modi normali.
Osservazione sul caso in cui la matrice hessiana del potenziale è solo semidefinita non
definita negativa: modi non oscillatori.
------------------------------------------------------------------------------------mer 21.05.2014 (1 ora)
14:30-15:30 T2
Registrato su ESSE3
Interpretazione fisica dei modi normali nelle coordinate lagrangiane iniziali,
equazione caratteristica per i modi normali, calcolo di pulsazioni e modi normali.
Principio di ortogonalità.
Uso del principio di ortogonalità per determinare la trasformazione fra le coordinate
lagrangiane e le coordinate normali.
Osservazione sulla rilevanza delle pulsazioni normali nel determinare le condizioni di
risonanza di un sistema soggetto ad una forzante esterna (discussione qualitativa).
------------------------------------------------------------------------------------mer 21.05.2014 (1 ora)
15:30-16:30 T2
Registrato su ESSE3
Lezione svolta da Stefano Siboni
Esempio di determinazione degli equilibri, analisi della stabilità e studio delle piccole
oscillazioni in un sistema scleronomo a due gradi di libertà e vincoli bilaterali (pendolo
doppio costituito da due punti materiali di uguale massa posti alla stessa distanza).
------------------------------------------------------------------------------------gio
22.05.2014 (2 ore)
8:30-10:30 T2
Da non registrare su ESSE3
Lezione svolta da Giorgio Pavana
Esercizi sull’analisi di stabilità dell’equilibrio in sistemi scleronomi a uno e due gradi di
libertà in presenza di sollecitazioni di potenza non positiva.
Esercizi sullo studio delle piccole oscillazioni in sistemi scleronomi posizionali conservativi a
due gradi di libertà: calcolo delle pulsazioni e delle frequenze normali, determinazione dei
modi normali di oscillazione.
------------------------------------------------------------------------------------lun
26.05.2014 (1 ora)
10:30-11:30 T2
Registrato su ESSE3
20. Sistemi continui
Nozione di sistema continuo.
Rappresentazione di un continuo (o di una sua porzione) in termini di coordinate materiali X.
Moto di un continuo, coordinate spaziali x, relazione fra coordinate spaziali e materiali,
x=x(t,X)=Φt(X).
Requisiti di regolarità del moto di un continuo:
(i) condizione di incompenetrabilità (iniettività di Φt e conseguente esistenza di Φt -1);
(ii) condizioni di regolarità ( Φt e Φt -1 di classe C2 per ogni t fissato, x(t,X) C2 per ogni
(t,X));
(iii) condizione sul volume (il determinante jacobiano in X del moto x(t,X) è non nullo per
ogni (t,X)), con calcolo esplicito della relazione di trasformazione dei volumi infinitesimi,
osservazione sul segno costante del determinante jacobiano,
osservazione sul fatto che le condizioni (i) e (ii) implicano in effetti la condizione (iii).
------------------------------------------------------------------------------------lun
26.05.2014 (1 ora)
11:30-12:30 T2
Registrato su ESSE3
Rappresentazione lagrangiana ed euleriana delle grandezze meccaniche (e termodinamiche)
puntuali relative ad un continuo:
rappresentazione euleriana g(t,x) e sua interpretazione fisica;
rappresentazione lagrangiana G(t,X) e sua interpretazione fisica;
relazioni fra le rappresentazioni lagrangiana ed euleriana di una grandezza, in termini del
moto del continuo.
Velocità istantanea in rappresentazione lagrangiana ed euleriana.
Derivata materiale di una grandezza puntuale:
in rappresentazione lagrangiana (derivata parziale rispetto al tempo);
in rappresentazione euleriana.
Derivata locale (rispetto al tempo) di una grandezza espressa in forma euleriana.
Convenzione di somma sugli indici ripetuti (o di Einstein).
------------------------------------------------------------------------------------mar 27.05.2014 (1 ora)
15:30-16:30 T2
Registrato su ESSE3
Definizione di densità volumica di massa (in forma euleriana) e sua giustificazione fisica,
massa di una porzione di continuo in rappresentazione euleriana.
Legge di conservazione della massa e relativa caratterizzazione integrale in rappresentazione
euleriana (metodo del volume materiale), enunciato del teorema di Eulero per la derivata in t
del deteterminante jacobiano, equazione di continuità.
Varie forme alternative dell’equazione di continuità.
Derivazione alternativa dell’equazione di continuità, secondo il punto di vista euleriano
(metodo del volume di controllo): massa di un volume di controllo fissato nello spazio, flusso
di massa attraverso la superficie che delimita tale volume (con sua giustificazione fisica),
bilancio di massa.
------------------------------------------------------------------------------------mar 27.05.2014 (1 ora)
16:30-17:30 T2
Registrato su ESSE3
Prova del teorema di Eulero per la derivata in t del determinante jacobiano.
Applicazione generale del teorema di Eulero: il teorema del trasporto o di Reynolds.
Forma particolare del teorema del trasporto.
Moti isocori e continui incomprimibili: condizione di incomprimibilità (solenoidalità del
campo euleriano di velocità), condizione equivalente sulla densità (derivata materiale della
densità nulla), interpretazione della condizione in rappresentazione lagrangiana. Osservazione
sul fatto che un continuo di densità costante è sempre incomprimibile, ma non viceversa
(controesempio dei sistemi di più liquidi immiscibili).
------------------------------------------------------------------------------------mer 28.05.2014 (1 ora)
14:30-15:30 T2
Registrato su ESSE3
Lezione svolta da Stefano Siboni
Esercizio sul calcolo delle componenti generalizzate delle forze attive, degli equilibri e delle
proprietà di stabilità degli equilibri per un sistema scleronomo a due gradi di libertà soggetto a
forze posizionali conservative, a forze dissipative e a un sistema di forze di risultante e
momento risultante assegnati agente su un elemento rigido in moto piano.
------------------------------------------------------------------------------------mer 28.05.2014 (1 ora)
15:30-16:30 T2
Registrato su ESSE3
Lezione svolta da Stefano Siboni
Esercizio sulla teoria canonica delle piccole oscillazioni: determinazione delle equazioni
linearizzate del moto, calcolo delle pulsazioni normali e determinazione dei modi normali di
oscillazione.
------------------------------------------------------------------------------------gio
29.05.2014 (1 ora)
8:30-9:30 T2
Registrato su ESSE3
Definizione delle densità volumiche delle grandezze dinamiche fondamentali e giustificazione
euristica della loro introduzione:
quantità di moto;
momento angolare (densità di momento angolare intrinseco nulla, continui di Cauchy,
cenno ai continui polari di Cosserat).
Forze agenti su un continuo o su una porzione di esso:
forze di volume, densità volumica delle forze di volume;
forze di superficie, densità superficiale delle forze di superficie (sforzo).
Equazione cardinale della quantità di moto in forma integrale (equazione di bilancio della
quantità di moto) e sua riduzione per mezzo del teorema del trasporto.
Teorema degli sforzi di Cauchy.
------------------------------------------------------------------------------------gio
29.05.2014 (1 ora)
9:30-10:30 T2
Registrato su ESSE3
Tensore degli sforzi di Cauchy.
Equazione cardinale della quantità di moto in forma locale (o differenziale).
Equazione cardinale del momento angolare e sua forma locale, simmetria del tensore degli
sforzi di Cauchy.
Cenno all’equazione costitutiva dei fluidi perfetti (o non viscosi).
------------------------------------------------------------------------------------mar 03.06.2014 (2 ore)
15:30-17:30 T2
Registrato su ESSE3
Lezione svolta da Stefano Siboni
Esercizio sulla determinazione degli equilibri ordinari, lo studio delle proprietà di stabilità di
questi e la determinazione delle equazioni lagrangiane del moto per un sistema scleronomo a
due gradi di libertà e vincoli bilaterali ideali, soggetto a sollecitazioni posizionali conservative
e completamente dissipative. Calcolo di pulsazioni normali e modi normali delle piccole
oscillazioni nel caso che le sollecitazioni dissipative siano poste uguali a zero.
------------------------------------------------------------------------------------mer 04.06.2014 (2 ore)
14:30-16:30 T2
Registrato su ESSE3
Lezione svolta da Stefano Siboni
Esercizio sulla determinazione degli equilibri ordinari, lo studio delle proprietà di stabilità di
questi e la determinazione delle equazioni lagrangiane del moto per un sistema scleronomo ad
un grado di libertà e vincoli bilaterali ideali, soggetto a sollecitazioni posizionali conservative
e completamente dissipative. Calcolo di pulsazioni normali e modi normali delle piccole
oscillazioni nel caso che le sollecitazioni dissipative siano poste uguali a zero.
Esercizio sulla determinazione dei punti fissi e lo studio delle proprietà di stabilità degli stessi
in un sistema di due equazioni differenziali del primo ordine nel piano, uso del teorema di
analisi lineare della stabilità.
Esercizio sul calcolo degli equilibri in un sistema scleronomo posizionale conservativo posto
in una terna di riferimento rotante.
------------------------------------------------------------------------------------Ore svolte:
teoria:
esercitazioni:
Totale:
67
12+15
94
