Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Franco Flandoli, Università di Pisa
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Generica motivazione di un noise additivo
Supponiamo che, in prima approssimazione, il nostro sistema …sico sia
descritto da
X 0 (t ) = f (t, X (t )) .
Supponiamo però che questa descrizione minimale trascuri
l’interazione del sistema con altri elementi, altre variabili; chiamiamoli
fattori esogeni.
Ad ogni istante, lo stato X (t ) riceve un piccolo impulso da tali fattori
esogeni, quindi l’equazione più realistica sarebbe
X 0 (t ) = f (t, X (t )) + g (t ) .
Ma come conoscere/descrivere g (t ) senza mettere in gioco le
complicate equazioni dei fattori esogeni?
Una soluzione ogni tanto adottata è quella di supporre
g (t ) = σξ (t ), white noise di intensità σ.
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Richiamo su equazioni di¤erenziali stocastiche (white noise
additivo)
La "…sica" quindi ci suggerisce in alcuni problemi di considerare l’equazione
X 0 (t ) = f (t, X (t )) + σξ (t )
Rt
dove ξ (t ) è un white noise. Siccome B (t ) = 0 ξ (s ) ds è un moto
browniano, a livello rigoroso consideriamo l’equazione integrale
X (t ) = X (0) +
Z t
0
f (s, X (s )) ds + σB (t )
dove ora tutti gli oggetti sono ben de…niti.
Per restare vicini all’intuizione …sica ma ricordarsi del formalismo
matematico, si usa scrivere la forma intermedia
dX (t ) = f (t, X (t )) dt + σdB (t ) .
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Richiamo sull’esempio lineare
Ricordiamo l’esempio
dX (t ) =
λX (t ) dt + σdB (t ) .
Per σ = 0 la soluzione è X (t ) = e λt X (0). Per σ 6= 0, in questo caso
rarissimo si può scrivere la soluzione esplicita
X (t ) = σB (t ) + e
λt
X (0)
Z t
0
σe
λ (t s )
λB (s ) ds
ma è piuttosto complicata. Ad esempio, per calcolare E [X (t )] conviene
usare l’equazione stessa (non la soluzione):
X (t ) = X (0)
Franco Flandoli, Università di Pisa
λ
Z t
0
X (s ) ds + σB (t )
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Richiamo sull’esempio lineare
Calcolando il valor medio di ambo i membri, usando la linearità del valor
medio e poi il fatto che E [B (t )] = 0, troviamo
E [X (t )] = E [X (0)]
λ
Z t
E [X (s )] ds.
0
Posto y (t ) = E [X (t )], questa è l’equazione lineare
y (t ) = y (0)
λ
ovvero
y 0 (t ) =
che ha soluzione y (t ) = e
λt y
Z t
y (s ) ds
0
λy (t )
(0). Risostituendo, troviamo
E [X (t )] = e
λt
E [X (0)] .
In modo analogo (un po’più lungo) si possono calcolare, Var [X (t )] e
E [X (t ) X (s )].
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Detour sui processi gaussiani
Un processo stocastico Xt si dice gaussiano se per ogni
tn tn 1 ... t2 t1 il vettore aleatorio
(Xt1 , ..., Xtn )
è gaussiano (Lezione 1).
Si può capire facilmente che essi sono identi…cati dalle funzioni
E [ Xt ] , E [ Xt Xs ] .
Si può dimostrare che il moto browniano Bt è un processo gaussiano.
Per esso vale E [Xt ] = 0, E [Xt Xs ] = min (t, s ).
Usando il fatto che le trasformazioni lineari di vettori gaussiani sono
vettori gaussiani, ed opportuni passaggi al limite, si può veri…care che
la soluzione Xt dell’equazione lineare
dX (t ) =
λX (t ) dt + σdB (t )
è un processo gaussiano. E’un esempio di …ltro lineare, come quelli
dell’Ing. delle Telecomunicazioni.
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Esempio non lineare
L’equazione
X 0 (t ) = X (t )
X 3 (t )
ha tre punti …ssi: 0, -1, 1 (si trovano ponendo X
repulsivo, gli altri due attrattivi.
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
X 3 = 0). Il punto 0 è
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Esempio non lineare
L’equazione può essere letta nella forma con potenziale
X 0 (t ) =
rU (X (t ))
dove U (x ) = x 4 /4 x 2 /2. La "particella" scivola lungo la buca di
potenziale da cui parte, tendendo al punto di minimo locale.
y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
-1
1
-0.2
2
x
-0.4
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Esempio non lineare
Aggiungendo rumore (σ = 0.5)
dX (t ) = X (t )
X 3 (t ) dt + σdB (t )
il sistema resta per un po’vicino ad un punto attrattivo (in una buca di
potenziale), poi transisce vicino all’altro (passa nell’altra buca; viene detto
e¤etto tunnel, in meccanica quantistica):
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Transizione dovuta al rumore
Con meno rumore (σ = 0.3) serve più tempo. Primo tentativo
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Transizione dovuta al rumore
Secondo tentativo:
Si dimostra che, per qualsiasi intensità σ 6= 0, c’è transizione (quindi ce ne
sono in…nite).
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Sistemi metastabili
Esistono in natura dei sistemi che si trovano per un certo tempo in
uno stato, magari e¤ettuando in esso una dinamica non banale; (es.
corrente Kuroshio; cercare "Kuroshio metastable")
e che poi ad un certo punto transiscono ad un altro stato
con il tempo di transizione aleatorio.
L’esempio visto sopra è un possibile modello.
Anche le catene di Markov lo sono, quasi per de…nizione, però non
includono una dinamica interna degli stati.
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Energia immessa da una forzante
Un noise additivo può essere pensato come una forza esterna
(esogena) che agisce su un sistema (che altrimenti sarebbe chiuso).
Una forza esterna modi…ca l’energia di una sistema. Come?
Esaminiamo l’esempio del moto di un punto materiale in un campo di
potenziale. Mettendo la massa ad 1, detta Xt la posizione, U (x ) il
potenziale, l’equazione di Newton è Xt00 = rU (Xt ). Detta poi Vt
la velocità, vale
Xt0 = Vt
Vt0 =
r U ( Xt ) .
L’energia
Et : =
Vt2
+ U ( Xt )
2
si conserva:
d Et
= Vt Vt0 + rU (Xt ) Xt0 =
dt
Franco Flandoli, Università di Pisa
Vt rU (Xt ) + rU (Xt ) Vt = 0.
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Energia immessa da una forzante deterministica
Se ora aggiungiamo una forzante deterministica gt , cioè consideriamo
il sistema
Xt0 = Vt
Vt0 =
r U ( Xt ) + g t
troviamo
d Et
= Vt Vt0 + rU (Xt ) Xt0 = Vt gt .
dt
Non è possibile stabilire a priori se la forzante aumenti o diminuisca
l’energia; dipende dal segno di Vt gt .
O meglio, dipende dal segno di
Z t
0
Franco Flandoli, Università di Pisa
Vs gs ds.
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Energia immessa da un white noise
Consideriamo ora il caso del white noise
Xt0 = Vt
Vt0 =
rU (Xt ) + σξ t
che riscriviamo con la simbologia più precisa
Xt0 = Vt
dVt =
rU (Xt ) dt + σdBt .
E’intuitivo che l’energia non si conservi. Possiamo però dire che aumenta,
o diminuisce, almeno in media?
Il problema matematico è:
come svolgere i calcoli, dal momento che
Bt , e quindi Vt , non è derivabile?
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Energia immessa da un white noise
Esaminiamo il problema dal punto di vista numerico:
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Energia immessa da un white noise
Facendo numerose simulazioni, salvo il fatto che potrebbero esserci
problemi di instabilità numerica, c’è una certa evidenza che, in media,
l’energia cresce.
t
Svolgiamo allora il calcolo "alla buona", sostituendo σ dB
dt a gt :
dBt
d Et
= Vt σ
dt
dt
ovvero
Z t
dBs
ds = σ
ds
0
Quanto è cambiata l’energia in media?
Et
E0 = σ
E [Et ]
Vs
E [E0 ] = E
Z t
0
Z t
0
Vs dBs
Vs dBs =?
Serve una teoria per questo tipo di integrali.
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Il calcolo di Itô
E’praticamente impossibile svolgere calcoli senza sviluppare
ulteriormente la teoria. Infatti le formule corrette non corrispondono
alle intuizioni più semplici.
Bisogna addentrarsi un po’nel cosidetto calcolo di Itô.
Programma delle prossime slide:
- integrale di Itô e sue proprietà
- formula di Itô
- calcolo dell’energia immessa da un white noise.
Lo sforzo è utile per numerosi altri scopi (es. equazione di
Fokker-Planck).
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Integrale di Itô
Vogliamo de…nire
Z T
0
L’idea naturale è
Xt dBt .
= lim ∑ Xtn (Btn +1
Bt n )
n
dove
t1 < t2 < ... < tn
è una partizione di [0, T ]. ed il limite è inteso al ra¢ narsi della partizione.
Un teorema dice che sotto opportune ipotesi il limite esiste (in media
quadratica).
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Il concetto di processo adattato (non anticipante)
Per capire più a fondo ciò che stiamo facendo, serve questo concetto,
che però esula dalle possibilità del corso.
Bisogna dare un signi…cato preciso alla frase:
Xt dipende solamente dalla famiglia di v.a. fBs ; 0
s
tg .
(1)
Essa dice che Xt non può dipendere da informazioni riguardanti il
moto browniano a tempi successive a t.
Dal punto di vista …sico, stiamo dicendo che il sistema è soggetto alle
perturbazioni del rumore (il white noise dBt /dt) e, ad ogni istante t,
dipende solo dalle perturbazioni passate, non da quelle future.
Per formalizzare la frase (1) servono le sigma-algebre. Accettiamo
intuitivamente il signi…cato della frase (1).
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Proprietà dell’integrale di Itô
Theorem
Se X soddisfa la proprietà (1) e
E
Z T
0
Var
Z T
0
RT
0
E Xt2 dt < ∞, allora
Xt dBt = 0
Xt dBt =
Z T
0
E Xt2 dt.
La media è nulla.
La varianza si esprime tramite un integrale tradizionale.
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Cenno di dimostrazione (della prima)
Abbiamo detto che
Z T
0
Xt dBt
∑ Xt
n
( Bt n + 1
Bt n ) .
Da qui
E
Z T
0
Xt dBt
∑ E [ Xt
n
( Bt n + 1
Btn )]
= ∑ E [ Xt n ] E [ Bt n + 1
Bt n ]
perché Btn +1 Btn è indipendente da Xtn (l’indipendenza degli incrementi
browniani implica l’indipendenza di Btn +1 Btn da Bs per s tn , mentre
Xtn per la (1) dipende solo da Bs per s tn ).
In…ne, E [Btn +1 Btn ] = 0.
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Sulla de…nizione di integrale di Itô
Il cenno di dimostrazione mostra l’importanza di un dettaglio: moltiplicare
Xtn (Btn +1
Bt n )
invece che ad esempio
Xtn +1 (Btn +1
Se avessimo scelto Xtn +1 (Btn +1
Btn ), non avremmo potuto scomporre
E [ Xt n + 1 ( Bt n + 1
(perché non è vero che Btn +1
Franco Flandoli, Università di Pisa
Bt n ) .
Btn )]
Btn e Xtn +1 sono indipendenti).
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Conseguenze sul calcolo dell’energia?
Ricordiamo che in una slide precedente eravamo rimasti col problema
di calcolare
Z t
Vs dBs .
E
0
Sulla base del teorema appena visto, sarebbe E
Quindi sarebbe E [Et ] = E [E0 ].
hR
t
0
i
Vs dBs = 0.
Questo contraddice le simulazioni. Dove sta l’errore?
- instabilità delle simulazioni?
d
- i calcoli del tipo dt
V 2 = 2VV 0 non sono più veri, dal momento che
le funzioni non sono più derivabili?
- l’integrale giusto non è quello di Itô, ∑ Xtn (Btn +1 Btn ), ma un
altro (Stratonovich)?
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Prima utilità dell’integrale di Itô: equazioni più generali
Possiamo esaminare equazioni stocastiche di natura più generale:
Xt0 = b (t, Xt ) + σ (t, Xt ) ξ t
dBt
= b (t, Xt ) + σ (t, Xt )
dt
dove ξ t è un white noise. A priori, questa equazione non avrebbe alcun
senso. Ma integrando
Xt = X0 +
Z t
0
b (s, Xs ) ds +
Z t
0
σ (s, Xs ) dBs
ha senso, dove l’ultimo integrale è ben de…nito nel senso di Itô.
Scriveremo
dXt = b (t, Xt ) dt + σ (t, Xt ) dBt .
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
Ad esempio in Finanza/Economia
In …nanza matematica o in varie applicazioni economiche, ad esempio,
molte grandezze variano nel tempo in modo moltiplicativo, hanno una
struttura moltiplicativa: si ricordino i modelli di serie storiche del tipo
Xn = Tn Sn en .
A livello di equazioni di¤erenziali, la struttura sarebbe
Xt0 = Xt (gt + ξ t )
(la variazione di Xt è proporzionale a Xt ), cioè
dXt = Xt gt dt + Xt dBt .
Franco Flandoli, Università di Pisa
() Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
/ 26
