Elementi di analisi matematica
Microeconomia
Vincenzo Merella
Corso di Laurea in Economia e Gestione Aziendale
Microeconomia (EGA)
Vincenzo Merella
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La retta: de…nizione
De…nita genericamente dall’equazione: y = m x + q
Esempio nel gra…co: y = (1/2) x + 1
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La retta: interpretazione
Supponiamo che, in y = (1/2) x + 1:
x = euro dedicati all’acquisto di prosciutto
y = etti di prosciutto
Che informazioni ci fornisce il gra…co?
il primo etto di prosciutto è gratuito (x = 0 ) y = 1)
gli etti di prosciutto successivi costano 2 euro
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La retta: de…nizioni
Le lettere x e y indicano le variabili:
x indica la variabile indipendente
y indica la variabile dipendente (dipende dal valore di x)
Le lettere m e q indicano i parametri:
m indica il coe¢ ciente angolare (valore di y per x = 1 e q = 0)
q indica l’intercetta (valore di y per x = 0)
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La retta: esercizi
Illustrare gra…camente la quantità di bottiglie di aranciata ottenibili al
variare degli euro dedicati all’acquisto della bevanda, sapendo che il
prezzo di una bottiglia è pari a 3 euro.
Come varia il gra…co dell’esercizio precedente in seguito a uno sconto
per bottiglia pari a 50c/? E nel caso di un aumento di prezzo pari a 1
euro?
Illustrare gra…camente il credito residuo di una scheda telefonica al
variare del numero di chiamate e¤ettuate, sapendo che il prezzo di
una telefonata è pari a 50c/ e il credito iniziale è di 3 euro.
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Intersezione tra rette: de…nizione
Punto d’incontro tra due rette
Esempio nel gra…co: y1 = x1 e y2 = 2x2
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Intersezione tra rette: calcolo e interpretazione
Il punto d’incontro si ha per x1 = x2 e y1 = y2
abbiamo perciò: x = x1 = y1 = y = y2 = 2x2
x = 2x
1 = 2x
1
1 implica x = 1, e inoltre y = x = 1
Esempio. Salumeria e ingrosso:
la salumeria o¤re ogni etto di prosciutto a un euro: y = x
l’ingrosso o¤re ogni etto a 50c/, con ‘ingresso’pari a 50c/: y = 2x
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Intersezione tra rette: esercizi
Illustrare gra…camente la quantità di bottiglie di aranciata ottenibili
da un supermercato e da un ingrosso al variare degli euro dedicati
all’acquisto della bevanda, sapendo che il prezzo di una bottiglie nel
supermercato è pari a 3 euro (e la prima è gratis!), mentre il prezzo
all’ingrosso è pari a 2 euro. Per quale livello di spesa otteniamo la
stessa quantità di bottiglie da entrambi i venditori? (Dove conviene
acquistare l’aranciata al variare del livello di spesa?)
Illustrare gra…camente il credito residuo di due schede telefoniche al
variare del numero di chiamate e¤ettuate, sapendo che il prezzo di
una telefonata è per entrambe pari a 50c/ e il credito iniziale è
rispettivamente di 3 e 5 euro. E¤ettuando quale numero di chiamate,
lo stesso per ciascuna scheda, otteniamo lo stesso credito residuo?
Come cambia la tua risposta se invece il prezzo di una chiamata con
la seconda scheda è pari a un euro?
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La derivata: concetto base
La derivata misura la variazione della variabile indipendente al variare
della variabile indipendente
Nell’esempio iniziale, risponde alla domanda: quanti etti di prosciutto
aggiuntivi si ottengono con un euro in più?
la risposta è: 50g, indipendentemente dalla quantità acquistata
proprietà generale della retta: la sua derivata è una costante
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La derivata: concetto generale
Nelle curve, la variazione della variabile indipendente al variare della
variabile indipendente cambia a seconda del punto in cui si calcola
Nel gra…co di una curva d’indi¤erenza, il valore della variazione è:
maggiore quando si calcola nel passaggio da B a F...
...rispetto a quanto accade nel passaggio da E ad H
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La derivata: de…nizione
La derivata è de…nita come il limite del rapporto incrementale tra
la variabile indipendente e la variabile indipendente:
y 0 = lim
∆x !0
∆y
∆x
∆y rappresenta la variazione della variabile indipendente (y )
∆x rappresenta la variazione della variabile dipendente (x)
lim∆x !0 signi…ca che consideriamo la più piccola variazione di x
Nel caso della retta, qualsiasi rapporto incrementale …nito eguaglia il
suo limite, calcolato dalla derivata
Nel caso della curva no: consideriamo allora il limite per avere
l’informazione sul rapporto incrementale per tutti i punti della curva
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La derivata: calcolo
Sebbene il concetto di derivata sia complesso, il calcolo è semplice
Si tratta infatti di applicare determinati criteri:
le derivate notevoli per le funzioni semplici, delle quali possiamo
stilare un ‘prontuario’
le regole di derivazione per le funzioni complesse
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Derivate notevoli
Funzione costante, y = q:
y0 = 0
Funzione potenza, y = x n :
y0 = n xn
1
la retta y = mx è un caso particolare di questa funzione (n = 1):
y0 = m 1 x1
1
= m (= costante)
la regola si applica anche per n < 0, ad es. y = x
y0 =
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1 x
1 1
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=
x2 =
1
= 1/x:
1
x2
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Derivate notevoli
Altre applicazioni della funzione potenza includono:
n=
k, che implica y = x
k
y0 =
k 1
k x
= 1/x k :
=
n = 1/2, che implica y = x 1 /2 =
y 0 = (1/2) x 1 /2
1
=
n = 1/3, che implica y = x 1 /3 =
y 0 = (1/3) x 1 /3
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1
=
kx
p
1 /2
2
p
3
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=
k
x 1 +k
x:
x
x
(1 +k )
=
1
2x 1 /2
1
= p
2 x
x:
2 /3
3
=
1
3x 2 /3
1
= p
3
3 x2
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Derivate notevoli
Funzione logaritmica, y = logb x:
y0 =
1
1
logb e
=
=
x
x loge b
x ln b
la funzione y = ln x è un caso particolare di questa funzione (b = e):
y0 =
1
x
Funzione esponenziale, y = ax :
y 0 = ax ln a
la funzione y = e x è un caso particolare di questa funzione (a = e):
y 0 = e x ln e = e x
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Regole di derivazione
Somma di funzioni, y = f (x ) + g (x ):
y 0 = f 0 (x ) + g 0 (x )
Prodotto di funzioni, y = f (x ) g (x ):
y 0 = f 0 (x ) g (x ) + f (x ) g 0 (x )
Rapporto di funzioni y = f (x ) /g (x ):
y0 =
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f 0 (x ) g (x )
f (x ) g 0 (x )
[g (x )]2
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Derivate: esercizi
Calcolare la derivata della funzione y = 3x 2 + 5x + 11
p
5
Calcolare la derivata della funzione y = 3 x 4 + ax + loga x
Calcolare la derivata della funzione, y = e x
p
x
p
Calcolare la derivata della funzione, y = e x / x
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Derivata parziale di funzione a più variabili: calcolo
Nel caso di funzione a più variabili:
y = f (x1 , x2 )
si deriva rispetto alla variabile data considerando l’altra costante
Esempi:
dy
= 1+0
dx1
y = x1 + x2
y = (x1
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1)
p
x2
dy
p
=1
x2 + (x1
dx1
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dy
=1
dx2
1) 0
dy
x1 1
= p
dx2
2 x2
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Derivata parziale di funzione a più variabili: esercizi
p
Calcolare le derivate parziali della funzione y = 5 x1 + x2
Calcolare le derivate parziali della funzione y = ln x1 + 9 ln x2
Calcolare le derivate parziali della funzione y = (x1 + 3) (x2 + 5)
Calcolare le derivate parziali della funzione y =
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p
x1 (x2 )
1/2
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Massimo/minimo di una funzione: calcolo
In economia, il calcolo delle derivate è strumentale all’identi…cazione
di un estremo (massimo o minimo) di una funzione
L’identi…cazione di un massimo (o minimo) avviene come segue:
1
si calcola la derivata della funzione
2
si eguaglia la risultante espressione a zero (da cui si ottiene il valore
della variabile indipendente che garantisce un estremo)
3
si calcola la derivata seconda (derivata della derivata)
4
si studia is segno della derivata seconda:
se essa è positiva, abbiamo un minimo
se essa è negativa, abbiamo un massimo
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Massimo/minimo di una funzione: esercizi
Calcolare l’estremo della funzione y = 38x
x2
eguagliamo a zero la derivata prima della funzione:
y 0 = 38
2x = 0
!
x = 19
il punto x = 19 è un massimo, dato che:
y 00 =
Calcolare l’estremo della funzione y =
2<0
x 2 + 10x
23
Calcolare l’estremo della funzione y = x 2 + 4x
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