algoritmo degli

APPELLO DEL 19 gennaio 2017
Scritto di Logica
1. Ci sono due persone (Nicola e Michele), di cui non sappiamo la
professione, e si considerino le tre asserzioni: I) <Nicola è un
professore>, II) <Michele non è un professore>, III) <Se Michele non è
professore non lo è neanche Nicola>. Sapendo che una e una sola
asserzione è vera, usando le tavole di verità, dire chi è professore e
quale è la asserzione vera.
N
0
0
1
1
M
0
1
0
1
I
0
0
1
1
II
1
0
1
0
III
1
1
0
1

Delle quattro interpretazioni possibili ce ne è una sola in cui delle tre
proposizioni una sola è vera, la seconda, e l'unico professore è Michele.
2. a) Scrivi come formule della logica dei predicati e come formule della
teoria degli insiemi le frasi: (A) <c'è solo un numero primo pari> (B)
<nessun numero pari è primo e perfetto> (C) <tutti i numeri perfetti
sono pari e non primi> (usa i predicati unari 'pari', 'primo' e
'perfetto', è inutile specificare nelle formule il predicato 'numero',
poichè le frasi trattano solo di numeri).
b) Sia U={i numeri interi da 2 a 9, estremi inclusi} l'universo del
discorso, sapendo che in U c'è un solo numero non primo, non pari e
non perfetto e che in U i numeri pari sono tanti quanto i primi,
calcolare quanti sono i numeri primi in U.
a)
(A) x (pari(x)  primo (x)  y pari(y)  primo(y)  x=y)
|Primo  Pari| = 1
(B)  x pari(x)  primo (x)  perfetto(x)
Pari  Primo  Perfetto = 
(C) x perfetto(x)  pari(x)  primo (x)
Perfetto  Pari  Primo
b)
pari
A
H
primo
B
C
D E F
perfetto
G
(A)
(B)
(C)
|B| + |E| =1
|E| = 0
|G| = |E| = |F| = 0
|H| = 1
|A| + |B| + |D| + |E| = |B| + |C| + |E| + |F|
|A| + |B| + |D| + |E| + |C| + |F| + |G| + |H| = 8
da cui: |B| = 1, |A| + |D| = |C|, |A| + |C| + |D| = 6, e quindi 2 |C| = 6 e
allora |C| = |A| + |D| = 3. I numeri primi sono |B| + |C| + |E| + |F| = 4.
3. Dimostrare x (p(x)  q(x)), x p(x)  x (q(x)  p(x))
a) con la deduzione naturale
b) con le tavole semantiche
a)
x (p(x)  q(x))
x p(x)
x (q(x)  p(x))
x p(x)
p(c)
x (p(x)  q(x))
p(c)  q(c)
q(c)
x (q(x)  p(x))
q(c)  p(c)
p(c)
p(c)  p(c)
x p(x)  p(x)
x p(x)  p(x)
x (q(x)  p(x))
b)
x (p(x)  q(x))
x p(x)
x (q(x)  p(x))
x (p(x)  q(x))
assunz. per assurdo
import
assunz. per -elim.
import
-elim.
-elim.
import
-elim.
-elim.
-intro
-intro,
export da -elim., assurdo
export per assurdo
p(c)
x (q(x)  p(x))
p(c)  q(c))
p(c)
q(c)  p(c)
x.......
p(c)
q(c)  p(c)
p(c)
x.......
p(c)
q(c)  p(c)
q(c)
x.......
p(c)
q(c)
p(c)
x.......
p(c)
q(c)
q(c)
x.......
4. Quando un problema si dice decidibile, semidecidibile o indecidibile?
Puoi fornire degli esempi?
Un problema si dice decidibile se esiste un algoritmo che lo risolve e che
si ferma sempre (esempio: decidere se un numero è primo). Si dice
semidecidibile se esiste un algoritmo che lo risolve ma che può divergere
nei casi negativi (esempio: decidere se un polinomio di grado qualsiasi
ammette soluzioni intere, oppure decidere se una formula aritmetica è
dimostrabile, oppure decidere se un programma si ferma). Si dice
indecidibile se ogni algoritmo che lo risolve può divergere sia in casi
positivi che negativi (esempio: decidere se una formula aritmetica è vera)