Capitolo 9 - Math Unipd

314
e dunque
Relazioni di ricorrenza
∞
�
hn X n
1
n=r
W (X)H(X) =
.
c0
c0 + c1 X + ... + cr X r
1
Sempre per la Proposizione 9.70 si riconosce che W (X)H(X) è la OGF di una
c0
soluzione della relazione (R). La conclusione segue dal fatto che la successione dei
coefficienti di W (X)H(X) è la convoluzione delle successioni dei coefficienti di
W (X) e H(X).
9.7 Esercizi
Esercizio 9.1 Si trovi una relazione di ricorrenza per il numero di possibili distribuzioni di n oggetti distinti in 5 ripiani di una armadio. Qual è la condizione
iniziale?
Esercizio 9.2 Si trovi una relazione di ricorrenza per il numero di sequenze di macchine di tipo Cadillac, Continental, Ford in una fila di n posti macchina, tenendo
presente che una Cadillac o una Continental necessitano di due posti macchina per il
parcheggio, mentre una Ford ne richiede uno solo.
Esercizio 9.3 Supponiamo che ogni coppia di lepri generi ogni mese una nuova coppia (un maschio ed una femmina) di lepri. Trovare la relazione di ricorrenza che
descrive il numero di coppie di lepri mese dopo mese. Se inizialmente c’è una sola
coppia di lepri appena nate, qual è il numero di coppie di lepri dopo 5 mesi.
Esercizio 9.4 (a) Si trovi una relazione di ricorrenza per il numero di regioni create
da n rette nel piano se k di queste rette sono parallele e le altre n − k intersecano
tutte le altre con la condizione che tre rette non passino per uno stesso punto;
(b) se n = 9, k = 3 si trovi il numero di regioni.
Esercizio 9.5 Si trovi una relazione di ricorrenza per l’ammontare del denaro depositato in un conto bancario dopo n anni se l’interesse è del 6% ed ogni anno sono
aggiunti al conto 50 euro.
Esercizio 9.6 Si trovi una relazione di ricorrenza per contare il numero di sequenze
di n cifre dove compaiano solo 0, 1 con almeno un caso di cifre 0 consecutive.
Esercizio 9.7 Se 500 euro vengono investiti in un fondo che dà l’8% di interessi
all’anno, trovare una formula per calcolare la quantità di denaro accumulato dopo n
anni.
9.7 Esercizi
315
Esercizio 9.8 Dimostrare che la successione (an )n≥1 definita ponendo
�
1
se n = 2m ,
an =
2� + 1 se n = 2m + �, 1 ≤ � < 2m
è una soluzione della relazione di ricorrenza
�
2xn/2 − 1
se n ≥ 2 è pari,
xn =
2x(n−1)/2 + 1 se n ≥ 3 è dispari
con dato iniziale x1 = 1.
Esercizio 9.9 Risolvere le seguenti relazioni di ricorrenza:
(a)
(b)
(c)
(d)
xn
xn
xn
xn
= 3xn−1 + 4xn−2 con condizioni iniziali x0 = x1 = 1;
= xn−2 con condizioni iniziali x0 = x1 = 1;
= 2xn−1 − xn−2 con condizioni iniziali x0 = x1 = 2;
= 3xn−1 − 3xn−2 + xn−3 con condizioni iniziali x0 = x1 = 1, x2 = 2.
Esercizio 9.10 Trovare e risolvere una relazione di ricorrenza che calcoli i possibili
modi per riempire un una fila di n posti di un parcheggio utilizzando macchine blu
e rosse e camion, tenendo conto che i camion occupano due spazi, le macchine ne
occupano uno.
Esercizio 9.11 Una multinazionale farmaceutica decide di raddoppiare ogni anno
l’aumento di prezzo del suo prodotto di punta. Trovare e risolvere la relazione di
ricorrenza per il prezzo pn del prodotto nell’anno n, supponendo che p0 = 1, p1 = 4.
Esercizio 9.12 La relazione di ricorrenza xn = c1 xn−1 + c2 xn−2 ha soluzione
generale xn = A1 3n + A2 6n : determinare c1 , c2 .
Esercizio 9.13 Sia h una funzione definita su N e c una costante. Determinare,
procedendo a ritroso, la soluzione di xn = cxn−1 + h(n) con x0 = 1.
Esercizio 9.14 Si risolvano le seguenti relazioni di ricorrenza:
(a) xn = xn−1 + 3(n − 1), x0 = 1;
(b) xn = xn−1 + n(n − 1), x0 = 3;
(c) xn = xn−1 + 3n2 , x0 = 10.
Esercizio 9.15 (a) Si trovi e si risolva una relazione di ricorrenza per il numero di
sottoscacchiere quadrate di misura qualsiasi che possono essere disegnate su una
scacchiera n × n.
(b) Si ripeta la parte (a) per sottoscacchiere rettangolari di qualunque tipo.
316
Relazioni di ricorrenza
Esercizio 9.16 Se il polinomio caratteristico di una certa relazione di ricorrenza è
(X − 1)2 (X − 2)(X − 3)2 , si determini la soluzione generale della sua parte omogenea. Si determini di che tipo può essere una soluzione particolare delle relazione
quando la sua parte non omogenea h è definita da:
(a) h(n) = 4n3 + 5n;
(b) h(n) = 4n ;
(c) h(n) = 3n .
Esercizio 9.17 Risolvere le seguenti relazioni di ricorrenza:
(a)
(b)
(c)
(d)
xn
xn
xn
xn
= 3xn−1 − 2, x0 = 0;
= 2xn−1 + (−1)n , x0 = 2;
= 2xn−1 + n, x0 = 1;
= 2xn−1 + 2n2 , x0 = 3.
Esercizio 9.18 Si risolva la relazione di ricorrenza xn = 3xn−1 − 2xn−2 + 3, x0 =
x1 = 1.
Esercizio 9.19 Trovare e risolvere una relazione di ricorrenza per il guadagno di
un’azienda, se il tasso di crescita del guadagno nell’anno k -esimo rispetto all’anno
precedente è di 10(2k ) euro, con sequenza di condizioni iniziali (29, 1 020).
Esercizio 9.20 Si determini una soluzione particolare della relazione xn = cxn−1 +
h(n) con
(a)
(b)
(c)
(d)
h(n) = 1;
h(n) = n;
h(n) = n2 ;
h(n) = q n .
Esercizio 9.21 Si trovi la soluzione generale per xn − 5xn−1 + 6xn−2 = 2 + 3n.
Esercizio 9.22 Si risolvano le seguenti relazioni di ricorrenza con condizione iniziale
x0 = 1:
2
(a) yn2 = 2yn−1
+ 1 (suggerimento: porre xn = yn2 );
(b) yn = −nyn−1 + n! (suggerimento: definire un opportuno xn come nella parte
(a)).
Esercizio 9.23 Determinare la soluzione generale della relazione xn = 4xn−1 −
4xn−2 + 2n .
Esercizio 9.24 Si risolva xn = xn−1 + 12n2 , con x0 = 5.
9.7 Esercizi
317
Esercizio 9.25 Determinare la soluzione generale della relazione xn = 3xn−1 −
4n + 3(2n ). Risolvere poi la relazione con dato iniziale x1 = 8.
Esercizio 9.26 Determinare una soluzione particolare di ciascuna delle seguenti
ricorrenze:
� π�
1. xn+1 = 5xn + 2n cos n ;
� 3π �
n
2. xn+1 = 5xn + 2 n cos n .
3
Determinarne poi la soluzione con x0 = 0.
Esercizio 9.27 Determinare una soluzione particolare della ricorrenza:
�
� π ��
√
xn+2 − 4 3xn+1 + 16xn = 5 × 4n cos cos n
.
6
Determinare poi la soluzione con x0 = 0, x1 = 1.
Esercizio 9.28 Determinare la soluzione generale della ricorrenza:
� � π ��
xn+1 = xn + (1 + n)2n cos sin n
.
3
Determinare poi la soluzione con x0 = 1.
Esercizio 9.29 Determinare la soluzione delle seguenti relazioni “dividi e conquista”:
(a)
(b)
(c)
(d)
xn
xn
xn
xn
= 2xn/2 + 5 con dato iniziale x1 = 1;
= 2xn/4 + n con dato iniziale x1 = 3;
= 2xn/2 + 2n con dato iniziale x1 = 5;
= an/3 + 4 con dato iniziale x1 = 7.
Esercizio 9.30 Determinare le soluzione delle relazioni “dividi e conquista”
(a)
(b)
(c)
(d)
xn
xn
xn
xn
= xn/3 + 2 con condizione iniziale x4 = 5;
= 2xn/3 + 2 con condizione iniziale x1 = 1.
= xn/3 + 2n con condizione iniziale x1 = 5;
= 2xn/3 + 2n con condizione iniziale x2 = −1.
Esercizio 9.31 Descrivere un approccio del tipo “dividi e conquista” per determinare il massimo tra gli elementi di un insieme di n numeri. Scrivere una relazione di
ricorrenza sul numero di confronti necessari e risolverla.
Esercizio 9.32 Descrivere un approccio del tipo “dividi e conquista” per determinare
il primo ed il secondo per grandezza tra gli elementi di un insieme di n numeri distinti.
Scrivere una relazione di ricorrenza sul numero di confronti necessari e risolverla.
318
Relazioni di ricorrenza
Esercizio 9.33 Determinare una stima dell’ordine di grandezza (cioè an = O(...))
per la soluzione (an )n della relazione “dividi e conquista”
xn = 3xn/2 + 4n2
n = 2k , k ∈ N
con condizione iniziale x1 = 5; risolverla poi esplicitamente e verificare quanto
trovato sopra.
Esercizio 9.34 Determinare una stima dell’ordine di grandezza (cioè an = O(...))
per la soluzione (an )n della relazione “dividi e conquista”
xn = 2xn/2 + 2,
n = 2k , k ∈ N
con condizione iniziale x1 = 2; risolverla poi esplicitamente e verificare quanto
trovato sopra.
Esercizio 9.35 Determinare una stima dell’ordine di grandezza (cioè an = O(...))
per la soluzione (an )n della relazione “dividi e conquista”
xn = 2xn/2 + 2 log2 n,
n = 2k , k ∈ N
con condizione iniziale x1 = 1; risolverla poi esplicitamente e verificare quanto
trovato sopra.
Esercizio 9.36 Determinare una stima dell’ordine di grandezza (cioè an = O(...))
per la soluzione (an )n della relazione “dividi e conquista”
xn = 4xn/4 + 3 log4 n,
n = 4k , k ∈ N
con condizione iniziale x1 = 0; risolverla poi esplicitamente e verificare quanto
trovato sopra.
Esercizio 9.37 Utilizzando le funzioni generatrici risolvere la ricorrenza
xn = 11xn−2 − 6xn−3
n > 2 x0 = 0, x1 = x2 = 1.
Esercizio 9.38 Utilizzando le funzioni generatrici risolvere la ricorrenza
xn = 3xn−1 − 3xn−2 + xn−3
n > 2 x0 = x1 = 0 x2 = 1.
Risolvere la ricorrenza data sopra con le condizioni iniziali x0 = 0, x1 = x2 = 1.
Esercizio 9.39 Utilizzando le funzioni generatrici risolvere le ricorrenze
xn = 5xn−1 − 8xn−2 + 4xn−3
xn = 2xn−2 − xn−4
n > 2 x0 = 1, x1 = 2, x2 = 4;
n > 4 x0 = x1 = 0, x2 = x3 = 1;
xn = 6xn−1 − 12xn−2 + 18xn−3 − 27xn−4 n > 4 x0 = 0, x1 = x2 = x3 = 1.
9.7 Esercizi
319
Esercizio 9.40 Utilizzando le funzioni generatrici risolvere la ricorrenza
xn =
m � �
�
m
k=1
k
xn−m
n ≥ m x0 = ... = xm−2 = 0, xm−1 = 1
Esercizio 9.41 Utilizzando le funzioni generatrici, risolvere le seguenti relazioni di
ricorrenza:
1. xn = −xn−1 + 6xn−2 n > 1 x0 = 0, x1 = 1;
2. xn = 3xn−1 − 4xn−2 n > 1 x0 = 0, x1 = 1;
3. xn = xn−1 − xn−2 n > 1 x0 = 0, x1 = 1.
Esercizio 9.42 Utilizzare le OGF per risolvere la ricorrenza
nxn = (n − 2)xn−1 + 2
n > 2 x1 = 1.
Esercizio 9.43 Utilizzare le OGF per risolvere la ricorrenza
(n + 1)xn+1 = (n + 100)xn
n > 0 x0 = 1.
Esercizio 9.44 (∗) Utilizzare le OGF per risolvere la ricorrenza
n
xn = n + 1 +
t�
xk−1
n k=1
n ≥ 1 x0 = 0
nei casi in cui t = 2 − ε e t = 2 + ε, con ε costante positiva sufficientemente piccola.
Soluzioni degli esercizi
Soluzione es. 9.1.
Soluzione es. 9.2.
Soluzione es. 9.3.
Soluzione es. 9.4.
Soluzione es. 9.5.
Soluzione es. 9.6.
Soluzione es. 9.7.
320
Relazioni di ricorrenza
Soluzione es. 9.8. Ogni naturale n ≥ 1 si scrive nella forma n = 2m + � con 0 ≤ � <
2m e m ≥ 0. Intanto, essendo a1 = 1, la successione (an )n verifica la condizione
iniziale. Sia ora n > 1; si ha n = 2m + � con 0 ≤ � < 2m e m ≥ 1. Se � = 0 si ha
a2m = 1 = 21̇ − 1 = 2a2m−1 − 1
e quindi è verificata la relazione di ricorrenza. Sia ora � ≥ 1.
Se � = 2k con 1 ≤ � < 2m , allora si ha 1 ≤ k < 2m−1 e quindi essendo
a2m +� = 2� + 1 = 2 · 2k + 1 = 2 · (2k + 1) − 1 = 2 · a2m−1 +k − 1
la relazione di ricorrenza è verificata.
Se � = 2k + 1 con 1 ≤ � < 2m , allora si ha 0 ≤ k < 2m−1 e quindi essendo
a2m +� = 2� + 1 = 2 · (2k + 1) + 1 = 2 · a2m−1 +k + 1
la relazione di ricorrenza è verificata.
Soluzione es. 9.9.
Soluzione es. 9.10.
Soluzione es. 9.11.
Soluzione es. 9.12.
Soluzione es. 9.13.
Soluzione es. 9.14.
Soluzione es. 9.15.
Soluzione es. 9.16.
Soluzione es. 9.17.
Soluzione es. 9.18.
Soluzione es. 9.19.
Soluzione es. 9.20.
Soluzione es. 9.21.
Soluzione es. 9.22.
Soluzione es. 9.23.
9.7 Esercizi
321
Soluzione es. 9.24.
Soluzione es. 9.25.
Soluzione es. 9.26.
Soluzione es. 9.27.
Soluzione es. 9.28.
Soluzione es. 9.29. (a) xn = 6n − 5, (b) xn =
(d) xn = 7 + 4 log3 n.
√
n + 2n, (c) xn = 5n + 2n log2 n,
Soluzione es. 9.30. (a) xn = 5+2 log3 (n/4), (b) xn = 3nlog3 2 −2, (c) xn = 2+3n,
(d) xn = −13(n/2)log3 2 + 6n.
Soluzione es. 9.31.
Soluzione es. 9.32.
Soluzione es. 9.33.
Soluzione es. 9.34.
Soluzione es. 9.35.
Soluzione es. 9.36.
Soluzione es. 9.37.
Soluzione es. 9.38.
Soluzione es. 9.39.
Soluzione es. 9.40.
Soluzione es. 9.41.
Soluzione es. 9.42.
Soluzione es. 9.43.
Soluzione es. 9.44.