Il problema dell`energia oscura - Istituto Nazionale di Fisica Nucleare

Università di Roma “La Sapienza"
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Corso di laurea in Fisica
Tesi di laurea in Fisica
Il problema dell’energia oscura
Relatore:
prof. Alessandro Melchiorri
Candidata:
Paola Giammaria
Anno Accademico 2012-2013
Indice
INTRODUZIONE .............................................................................................................................................. 3
CAPITOLO 1: Basi concettuali e formali del modello cosmologico
standard
1.1 Omogeneità ed isotropia: il principio cosmologico ...................................................................................... 5
1.2 Espansione dell’universo: la legge di Hubble .............................................................................................. 6
1.3 Il fattore di scala ........................................................................................................................................... 9
1.4 Spazio-tempo e gravitazione: la cinematica della geometria ...................................................................... 9
1.5 Teoria gravitazionale: la dinamica della geometria e la costante cosmologica .......................................... 13
1.6 La metrica FRW ......................................................................................................................................... 18
1.7 Distanza, fattore di scala e redshift ............................................................................................................. 23
1.8 L’equazione di Friedmann .......................................................................................................................... 25
1.9 L’universo come fluido perfetto: le equazioni chiave per descrivere l’espansione .................................... 29
1.10 Componenti dell’universo per l’equazione di stato .................................................................................. 31
CAPITOLO 2: Modelli per l’universo con singola componente e con più
componenti
2.1 Separazione in singole componenti dell’equazione di Friedmann per l’universo ...................................... 34
2.2 Il modello più semplice di universo: un universo vuoto............................................................................. 36
2.3 Modelli di universo spazialmente piatto ..................................................................................................... 38
2.3.1 UNIVERSO DI SOLA MATERIA ................................................................................................... 40
2.3.2 UNIVERSO DI SOLA RADIAZIONE ............................................................................................. 40
2.3.3 UNIVERSO DOMINATO DA Λ...................................................................................................... 42
2.4 Modelli per l’universo con più componenti................................................................................................ 44
2.4.1 RADIAZIONE E MATERIA ............................................................................................................ 46
2.4.2 MATERIA E COSTANTE COSMOLOGICA ................................................................................. 47
2.5 I numeri del modello per l’attuale universo ................................................................................................ 49
2.6 La moderna cosmologia.............................................................................................................................. 53
2.6.1 LA NUCLEOSINTESI DEL BIG-BANG......................................................................................... 54
2.7 La radiazione di fondo cosmico.................................................................................................................. 58
2.8 L’effetto Sachs-Wolfe integrato ................................................................................................................. 65
1
CAPITOLO 3: Osservabili cosmologiche e componenti dell’universo
3.1 Parametri cosmologici e osservabili fisiche ............................................................................................... 67
3.2 Misure di distanze....................................................................................................................................... 70
3.3 Candele standard e misure dei parametri cosmologici ............................................................................... 75
3.4 Studio dei parametri cosmologici in base ai dati di supernovae Ia ............................................................ 80
3.5 L’esistenza della materia oscura e dell’energia oscura e le problematiche relative ................................... 86
3.5.1 Evidenza della materia oscura, ipotesi sulla sua natura e composizione .......................................... 87
3.5.2 Ipotesi sull’energia oscura e prove osservative ................................................................................ 91
3.6 Misure di energia oscura ad alto redshift: test di Sandage-Loeb ................................................................ 98
3.7 Figure di merito per la valutazione di modelli di dark energy nel progetto DETF .................................. 102
CAPITOLO 4: Modelli per l’energia oscura: DE fisica
4.1 I differenti approcci per cercare un’alternativa a Λ .................................................................................. 104
4.2 Modelli di materia modificata .................................................................................................................. 106
4.2.1 MODELLI DI QUINTESSENZA .................................................................................................. 106
4.2.2 K-ESSENZA E MODELLI PHANTOM ....................................................................................... 110
4.3 Il gas di Chaplygin.................................................................................................................................... 112
4.4 Energia oscura accoppiata ........................................................................................................................ 113
4.5 Modelli senza DE: disomogeneità dell’universo ...................................................................................... 115
CAPITOLO 5: Modelli di gravità modificata: DE geometrica
5.1 Le teorie
.......................................................................................................................................... 117
5.1.1 IL PROBLEMA DEL FRAME FISICO......................................................................................... 118
5.1.2 VALIDIT ̀ DELLE TEORIE
5.2 Modelli
: VINCOLI LOCALI E COSMOLOGICI ............................. 121
accettabili ........................................................................................................................... 126
5.2.1 LA DINAMICA COSMOLOGICA DEI MODELLI
5.3 Teorie
ACCETTABILI ................................ 127
........................................................................................................................................ 133
5.4 Ulteriori modelli di gravità modificata: il termine di Gauss-Bonnet ........................................................ 136
5.5 Modello DGP............................................................................................................................................ 138
5.6 Modelli olografici di energia oscura ......................................................................................................... 141
5.7 Considerazioni finali ................................................................................................................................ 143
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................ 146
2
INTRODUZIONE
“Il problema dell’energia oscura è il più spinoso della fisica moderna” 1..
La conferma avuta dai risultati delle surveys sulle supernovae di classe Ia circa l’espansione
accelerata dell’attuale universo, valsi il Nobel per la fisica nel 2011 a S. Perlmutter, A. Riess e B.
Schmidt a capo di gruppi di ricerca che le hanno condotte nell’ultimo ventennio, ha catalizzato
l’attenzione della cosmologia teorica ed osservativa verso lo studio del significato di tale
accelerazione: quale ne è la sorgente e come agisce.
La risposta attuale che la fisica si dà va sotto il nome di energia oscura, che è annoverata come la
componente attualmente dominante nell’universo, rappresentando circa il
della materiaenergia che lo costituisce ed in accordo con le equazioni della Relatività Generale, che ne
descrivono la struttura, su scale cosmologiche non sarebbe la materia ordinaria ma questa forma di
energia alla quale si attribuisce (nel modello standard) una densità costante ed una pressione
negativa a produrre l’accelerazione nell’espansione. Benché non sia ancora chiara la sua natura e la
sua origine si cerchi nel vuoto, cioè come una forma di energia del vuoto, inteso come vuoto
quantistico dove materia ed antimateria si annichilano ed al quale compete una densità di energia, si
è cominciato a caratterizzarne l’abbondanza e la dinamica, attraverso il confronto dei dati
osservativi riguardanti osservabili diverse: le supernovae, la CMBR con le sue anisotropie e lo
studio delle strutture su larga scala. Queste osservazioni infatti permettono di porre vincoli ai
modelli teorici proposti per la dark energy.
Il modello standard in cui l’energia oscura è interpretata attraverso la costante cosmologica , con
cui si identifica l’energia del vuoto, infatti, incontra problemi di fine tuning circa la discrepanza tra
il valore dell’energia del vuoto dedotto dalle osservazioni e quello calcolato teoricamente e
problemi di consistenza temporale nel confronto tra la presenza di tale componente e quella di
materia nella storia dell’universo, delle quali si tiene conto attraverso la stima di parametri di
densità; queste circostanze hanno condotto alla formulazione di modelli alternativi per descrivere la
dark energy considerando soluzioni in cui l’equazione di Einstein, che descrive la dinamica
dell’universo, presenta modifiche nel contenuto di materia-energia attraverso un cambiamento del
tensore energia-impulso, oppure modifiche al tensore di Einstein stesso valutando le condizioni che
una differente teoria della gravità deve rispettare per continuare a rappresentare anche i fenomeni
ben descritti dalla Relatività Generale, quindi con l’imposizione principalmente di vincoli locali.
In questo lavoro vengono passati in rassegna i principali modelli teorici formulati secondo questi
due criteri con particolare attenzione al riscontro sperimentale dei modelli di gravità modificata. In
sintesi l’energia oscura viene pensata o come una componente d’energia( ) costante nel tempo e
nello spazio, o come un fluido che presenta un’equazione di stato variabile nel tempo, quindi col
1
Affermazione fatta da Edward Witten il fisico cui si deve la paternità della M-theory.
3
fattore di scala dell’universo o come una dark energy geometrica, nel senso che è la teoria della
relatività stessa a dover essere modificata e l’effetto di una componente di energia oscura altro non
sarebbe che un cambiamento nella struttura geometrica stessa del nostro universo.
L’energia oscura si colloca come una delle più importanti scoperte in cosmologia con profonde
implicazioni per l’astronomia, la teoria delle alte energie, la Relatività Generale e la teoria delle
stringhe.
Questo è sufficiente a spiegare un ambizioso programma di osservazioni per determinare le sue
proprietà nel miglior modo possibile; tale progetto è denominato Dark Energy Task Force (DETF) il
quale ha come obiettivi: determinare nel miglior modo possibile se la crescente espansione è
coerente, misurare qualsiasi possibile evoluzione temporale dell’energia oscura e ricercare un
eventuale fallimento della Relatività Generale attraverso il confronto tra gli effetti che ha l’energia
oscura sull’espansione cosmica e quelli sulla crescita delle strutture cosmologiche come galassie o
ammassi di galassie.
L’incertezza sulla natura della dark energy e sulle sue proprietà è controbilanciata dalla molteplicità
di indagini sperimentali che si possono compiere per mettere a fuoco i punti di cui sopra e quindi
dalla copiosità di dati osservativi che appartengono a quattro ambiti di ricerca fondamentali
coinvolti in questo studio: le supernovae di tipo Ia, le anisotropie della radiazione di fondo cosmica
(CMBR), le oscillazioni barioniche acustiche (BAO) e le strutture su larga scala che consentono di
studiare il clustering e il fenomeno di weak lensing.
4
CAPITOLO 1
Basi concettuali e formali del modello cosmologico standard
Un modello cosmologico che possa descrivere la storia dell’universo fino all’istante attuale ( ) e
che sia in grado di prevederne l’ulteriore evoluzione, si avvale, sulle base di dati osservativi, dei
principali strumenti teorici della fisica: principi di base, parametri su cui calibrare opportune
approssimazioni e la capacità di immaginare scenari inattesi, perché nella storia della cosmologia in
alcuni casi è accaduto che le osservazioni siano tardate ad arrivare rispetto alle previsioni teoriche,
mentre in altri è accaduto che le hanno anticipate rendendo necessaria la revisione dei modelli.
Il modello cosmologico standard è quello del Big Bang caldo, il quale afferma che l’universo si è
espanso da uno stato iniziale caldo e denso, all’attuale suo stato relativamente freddo e che
l’espansione è in atto ancora oggi.
Punto di partenza per delineare e dare consistenza al modello standard nel concepire le equazioni
che descrivano l’intero universo e le leggi che a partire dai primi decenni del XX secolo son state
formulate per spiegare quanto si osservava è il Principio Cosmologico.
1.1 Omogeneità ed isotropia: il Principio cosmologico
Evidenze osservative sempre maggiori, raggiunte per mezzo di tecnologie avanzate e mirate
all’ambito cosmologico, hanno permesso di constatare che, a grandi scale, a partire dai 100 Mpc
(distanza che mediamente separa gli ammassi di galassie), l’universo presenta una struttura
omogenea ed isotropa. Da qui la formulazione del principio cosmologico, il quale afferma che non
vi sono posizioni o direzioni privilegiate nell’universo. Questo principio, detto anche copernicano,
si presenta in effetti come l’ulteriore scatto in avanti della teoria di Copernico, che contestò nel XVI
secolo il geocentrismo, poiché proietta su scale ben più ampie di quelle del sistema solare il fatto
che non solo non occupiamo una posizione speciale nel vicino universo, ma tantomeno questa esiste
nel cosmo pensato su grandi scale. Infatti benché ponendoci in un contesto planetario o galattico
sperimentiamo una struttura grumosa e assolutamente anisotropa del cosmo, basta spostarci a scale
più grandi, quelle che, appunto, tipicamente separano gli ammassi di galassie, che possiamo
contestualizzare il principio cosmologico, in quanto l’universo appare isotropo (invarianza per
rotazione) intorno a noi, ovvero, statisticamente parlando, osserviamo in tutte le direzioni la stessa
distribuzione di superammassi e vuoto. Se dunque l’universo è isotropo intorno a noi, poiché ogni
punto dell’universo può essere trasportato in qualsiasi altro punto da una serie di rotazioni intorno a
centri fissi [3], allora l’universo è isotropo intorno ad ogni posizione e quindi necessariamente è
anche omogeneo (invarianza per traslazione). E’ evidente che il principio cosmologico è insieme un
risultato osservativo ed una base concettuale nella formulazione del modello cosmologico per
descrivere l’universo nella sua interezza spaziale e nella sua evoluzione temporale.
5
1.2 Espansione dell’universo: la legge di Hubble
Oggi è un punto fermo della cosmologia teorica ed osservativa che l’universo sia in espansione, ma
quando vennero fatte le prime osservazioni che testimoniavano ciò, nei primi decenni del secolo
scorso, l’idea trovò molti ostacoli nell’affermarsi, poiché si doveva far strada in un contesto ben
diverso da quello odierno in cui il modello di un universo statico era imperante e soprattutto lo si
identificava con la nostra galassia, non avendo ancora chiara la percezione che quelle che
sembravano nebulose di polveri e gas ai confini della Via Lattea erano invece altre galassie separate
dalla nostra. Nonostante ciò le osservazioni degli spettri galattici compiute tra il 1910 ed il 1925
mostravano chiaramente degli spostamenti delle linee spettrali verso il rosso, cioè verso lunghezze
d’onda maggiori di quelle aspettate (note quelle stesse linee in laboratorio); ciò era spiegabile
assumendo un movimento delle sorgenti in allontanamento da noi in virtù dell’effetto Doppler.
Infatti quando una sorgente di radiazione ed un osservatore si allontanano, la lunghezza d’onda di
una certa riga spettrale emessa dalla sorgente λe non coinciderà con quella osservata λo poiché
quest’ultima risulterà maggiore in virtù della distanza percorsa dalla sorgente tra l’emissione di due
successive creste, circostanza che causa un aumento del tempo richiesto perché la cresta dell’onda
raggiunga l’osservatore, dunque ad un aumento del periodo corrisponde una diminuzione in
frequenza e quindi una lunghezza d’onda maggiore, così da poter definire una quantità molto
importante in cosmologia : il redshift
(1.1)
Nel nostro attuale modello cosmologico il redshift
è diventato un valore fondamentale da
associare agli oggetti celesti che osserviamo in virtù della legge di Hubble.
Nel 1929 Hubble enunciò la sua legge che esprime una relazione lineare tra il redshift delle galassie
osservate1 e la loro distanza, da lui stimata con i metodi allora disponibili, basati sull’impiego delle
variabili Cefeidi come candele standard (come si vedrà in dettaglio nel capitolo tre), la quale
afferma che:
(1.2)
dove
è la distanza dell’oggetto celeste da noi,
il suo redshift,
1
la velocità della luce nel vuoto ed
Allora erano noti gli spostamenti in linee spettrali verso il rosso di decine di galassie ormai riconosciute separate dalla
nostra per via della loro distanza . A partire dalle osservazioni compiute nel 1912 da Vesto Slipher che misero
chiaramente in evidenza un allontanamento delle nebulose (all’epoca ancora non risolte in galassie separate dalla
nostra), che si osservavano ai confini della Via lattea, con una certa velocità di recessione evidente dagli spostamenti
verso il rosso delle lore linee spettrali.
6
, detta costante di Hubble, la pendenza di questa retta che lui graficò interpolando i dati di circa
cinquanta galassie2.
Il fatto che questa legge sia stata formulata sulla base di redshifts molto piccoli (
0,004) permette
3
di poter utilizzare la relazione classica per lo spostamento Doppler:
(1.3)
dove è la velocità radiale della sorgente di luce rispetto a noi, che ci poniamo come origine del
sistema di riferimento per misurare velocità e distanza, per cui la legge di Hubble prende la forma:
(1.4)
che esprime chiaramente il fatto che più gli oggetti sono distanti da noi più la loro velocità di
allontanamento è alta, quindi non solo che l’universo si sta espandendo, ma anche, in virtù del
principio cosmologico che permette di traslare questo risultato a tutti i punti del cosmo in un
universo in espansione omogenea e isotropa, che in passato gli oggetti erano molto più vicini tra
loro, avvalorando l’ipotesi del Big Bang. Dunque in un tempo remoto tutte le galassie si trovavano
condensate in uno stesso punto. Inoltre se si fa l’assunzione che nel tempo la velocità di recessione
tra due galassie sia rimasta costante, cioè si assume idealmente che non siano intervenute forze
esterne, si può stimare il tempo in cui esisteva questo stato altamente denso da cui tutto ha avuto
origine, nel seguente modo:
(1.5)
quindi il tempo
detto tempo di Hubble risulta essere una stima dell’età dell’universo
pensato come ideale nell’assenza di forze che siano intervenute a modificare la velocità di
recessione impressa dal Big Bang stesso. Sulla base del valore odierno4 di
=
2
Vennero in realtà osservate anche linee spettrali spostate verso il blu che indicavano galassie in avvicinamento, ma si
capì ben presto che questo era dovuto ad un moto proprio e locale, mentre su scale cosmologiche regna il moto di
allontanamento.
3
Concettualmente c’è una distinzione tra il convenzionale effetto Doppler (in cui sono le sorgenti a muoversi l’una
rispetto all’altra) e il redshift cosmologico (dove è lo spazio ad espandersi e a trascinare lontane le une dalle altre le
galassie e un fattore di scala può esprime di quanto s’ingrandisce lo spazio e tutte le lunghezze in esso considerate
comprese le lunghezze d’onda dei fotoni).
4
-1
-1
Il valore stimato per la costante di Hubble nel 1929 era di 500 km s Mpc ,molto più grande di quello attuale per il
fatto che Hubble aveva fortemente sottostimato la distanza delle galassie (di un fattore 7), sottostimando la
luminosità delle stelle osservate di un fattore 49, infatti usò la relazione distanza-luminosità allora elaborata per le
cefeidi di popolazione I, avendo invece osservato cefeidi di popolazione II, ma all’epoca non era nota questa
distinzione tra le due popolazioni.
7
risulta essere
)
età che si accorda con quella calcolata
per le stelle più antiche conosciute nell’universo.
Nel presentare il modello cosmologico intendo ripercorrere la storia dell’evoluzione dell’universo
ponendo l’accento sull’esistenza di fasi diverse in cui ha prevalso una forza ad es. quella
gravitazionale piuttosto che un’altra nel determinare l’andamento dell’espansione a seconda della
componente di materia-energia5 dominante; per cui
si può pensare come semplicemente una
stima per eccesso o per difetto dell’età dell’universo, essendo
in realtà, non una costante in
assoluto, ma il valore che la grandezza
, che prende il nome di parametro di Hubble6, funzione
del tempo cosmico, assume oggi, cioè in
; considerando quindi un andamento variabile a
seconda del periodo in esame si può pensare ad un universo più giovane di
, se dominato dalla
materia che rallenta l’espansione attraverso la forza gravitazionale, o più vecchio se dominato da
una componente che accelera l’espansione in virtù di una forza repulsiva, come si attribuisce alla
costante cosmologica7 (che sembra essere dominante nella fase che stiamo vivendo noi).
Tutto questo non toglie valore al fatto di poter pensare ad una costante di Hubble cioè ad una
grandezza che possa essere considerata costante per dei periodi molto lunghi, come sono quelli
stimati su scale temporali cosmiche. Inoltre basandoci su questo valore di
possiamo valutare
quanto è ampio il nostro orizzonte degli eventi, cioè la distanza massima che un fotone ha potuto
percorrere durante l’età dell’universo, detta distanza di Hubble:
(1.6)
Ovviamente, come per l’età, anche l’esatto valore dell’orizzonte dipende da come è avvenuta
l’evoluzione dell’universo, cioè quali fasi ha attraversato da
a
.
In conclusione, considerata nel contesto della teoria della Relatività Generale di Einstein, la legge di
Hubble è un’espressione dell’espansione uniforme dello spazio, che è poi un semplice ingrandirsi
delle dimensioni dell’universo[5].
5
2
L’intero modello cosmologico è sviluppato in chiave relativistica quindi una delle assunzioni di base è la legge E=mc
dove è espressa chiaramente l’equivalenza concettuale tra massa ed energia.
6
Nel prossimo paragrafo è spiegato chiaramente come
e quindi
(relativamente al momento ) misurino il
tasso di espansione dell’universo, cioè quanto rapidamente esso si stia espandendo e siano dati in unità di velocità
per distanza, misurando cioè il rapporto tra la velocità di galassie distanti e la loro distanza da noi.
7
La costante cosmologica Λ introdotta per la prima volta da Einstein nelle sue equazioni della Relatività Generale per
ottenere una soluzione statica per il modello cosmologico, ha avuto una storia controversa nell’essere accettata o
rifiutata come componente cosmica dal suo stesso ideatore e poi nel seguito, è oggi presente nel nostro modello
cosmologico e spiegherebbe l’accelerazione nell’espansione cui stiamo assistendo.
8
1.3 Il fattore di scala
Stabilito che l’universo è in espansione e che questa avviene in modo omogeneo ed isotropo, allora
possiamo dire che se immaginiamo un ideale triangolo in cielo con ai vertici tre galassie
qualunque
, nonostante queste si muovano lontane le une dalle altre nel tempo, la forma del
triangolo è preservata (ovviamente questo ragionamento può essere ripetuto per ogni trio di
galassie). Ciò equivale a dire che le variazioni di lunghezza dei lati di questo triangolo immaginario
avvengono secondo un fattore di scala che chiamiamo
, che è una funzione del tempo. Detta
la lunghezza del generico lato al tempo , questa sarà data ad ogni istante da:
(1.7)
dove
è l’istante attuale e
è la funzione temporale, detta fattore di scala, che ci dice come
l’espansione dell’universo dipende dal tempo, avendo posto per
la condizione di
normalizzazione
.
La legge di Hubble ci permette di esprimere il legame tra
ed il parametro di Hubble
,
infatti dalla (1.7) segue che la velocità di recessione tra le galassie e è esprimibile in ogni istante
come:
̇ (t)
̇
(1.8)
che confrontata con la legge di Hubble (1.4) porta a dire che
̇
(1.9)
la quale mostra chiaramente come il parametro di Hubble misuri quanto rapidamente cambia il
fattore di scala e da cui segue che:
̇
( )
(1.10)
ovvero che
rappresenta la velocità di recessione delle galassie stimata al momento attuale.
Inoltre
caratterizzando le distanze cosmiche è un fattore determinante nell’espressione della
metrica dello spazio-tempo del nostro universo.
E’ necessario, infatti, a questo punto approfondire sia la descrizione dello spazio-tempo che il suo
naturale legame con la gravità come segue dalla teoria della Relatività Generale, l’applicazione
della quale, in ambito cosmologico, ha permesso prima ad Einstein e poi ad altri, tra cui Friedmann,
di formulare equazioni che descrivessero l’intero universo riconoscendo alla forza di gravità il ruolo
predominante nelle interazioni che agiscono su scale d’interesse cosmologico.
1.4 Spazio-tempo e gravitazione: la cinematica della geometria
E’ noto come, prima la teoria della Relatività Ristretta ed in seguito quella della Relatività Generale
abbiano rivoluzionato letteralmente concetti basilari della fisica quali lo spazio-tempo e la
gravitazione, permettendo di dar conto di fenomeni classicamente non spiegabili e di descriverne
9
altri osservati in ambito cosmologico (ad es. la deflessione della luce in un campo gravitazionale
intenso). E’ quindi di necessario supporto alla presentazione del modello cosmologico standard un
richiamo a tali concetti. La struttura differenziale e topologica dello spazio-tempo, visto come un
continuo quadridimensionale, non presenta differenze nella visione classica newtoniana rispetto a
quella della Relatività Ristretta, mentre la differenza c’è nella definizione di distanza, cioè nella
struttura metrica. Nello spazio-tempo Newtoniano ci sono due geometrie separate: una
tridimensionale per lo spazio e l’altra unidimensionale per il tempo, da cui la definizione disgiunta
di due distanze: una spaziale
ed una temporale ; lo spazio-tempo relativistico, invece, contiene
solo una geometria che combina sia lo spazio che il tempo così da poter definire l’intervallo spazio
temporale
che è l’intervallo invariante sotto trasformazioni generali di coordinate8 che fissa la
distanza tra due eventi9. Per uno spazio-tempo piatto (Minkowskiano) come quello considerato
nelle Relatività Ristretta, l’invariante
in coordinate cartesiane è così definito:
(1.11)
tale scrittura sottintende per questo spazio la metrica di Minkowski espressa dal tensore metrico10:
(
Essendo
)
in forma tensoriale scrivibile come :
con
(1.12)
e dove si sottintende una sommatoria sugli indici ripetuti, secondo la notazione di Einstein. Fin da
qui è da specificare l’importanza della scrittura tensoriale nell’esprimere i termini che compaiono
nelle leggi fisiche della teoria relativistica, in virtù del principio di relatività prima e del principio
8
Coordinate generali significa associare ad ogni punto dello spazio-tempo un insieme di quattro numeri che vengono
assegnati secondo una regola arbitraria qualsiasi ma ben definita e opportunamente scelta per il tipo di spazio. Ad
esempio in uno spazio piatto ha senso scegliere le classiche coordinate rettangolari.
9
E’ usuale indicare un punto dello spazio-tempo quadridimensionale relativistico come ‘evento’ non trattandosi più
soltanto di un punto spazialmente individuabile, ma contenendo in sé anche un’informazione temporale data dalla
coordinata t, anche indicata con x0.
10
Il tensore metrico può essere dato tanto con la segnatura (-,+,+,+) quanto con la segnatura (+,-,-,-)
10
di invarianza generale dato in Relatività Generale poi, i quali affermano che tutte le leggi fisiche
devono essere invarianti per trasformazioni generali di coordinate (in Relatività Ristretta vengono
citate solo le trasformazioni di Lorentz) e la scrittura tensoriale consente ciò per via della
definizione stessa di tensore. Infatti riferendoci qui al solo ambito di nostro interesse, quello della
Relatività Generale, una grandezza
è un tensore (di rango 1) se per trasformazioni generali di
coordinate
obbedisce alla legge:
(1.13)
Definito ciò, ritornando al tensore metrico (che è di rango 2), risulta evidente la sua centralità per
descrivere la geometria del particolare spazio-tempo che si considera. E’ rilevante notare, come
segue dalla (1.11), che il
non è sempre positivo, infatti si parla di intervalli di genere tempo,
spazio o luce, a seconda che il
sia positivo, negativo o nullo, quest’ultimo in particolare è il tipo
di intervallo che c’è sulla linea d’universo di un segnale luminoso, dove per linea di universo
s’intende la traiettoria percorsa nello spazio-tempo quadridimensionale dal particolare oggetto che
si sta considerando, in questo caso la luce.
La grande rivoluzione della Relatività Generale è stata quella di esprimere geometricamente il ruolo
della gravità in uno spazio dove fosse presente massa-energia, adottando non più la visione di
Newton circa la forza gravitazionale, ma quella di Einstein. Quest’ultimo, infatti, partendo dal
principio di equivalenza11, già postulato nella teoria di Newton, che sostiene l’equivalenza, entro
certi limiti, tra gli effetti inerziali e gravitazionali, e sulla base del principio di Fermat secondo cui
un raggio di luce segue il cammino che minimizza il tempo di percorrenza tra due punti (
),
afferma che la presenza di massa-energia causa la curvatura dello spazio-tempo, poiché la traiettoria
di un raggio luminoso in presenza di un campo gravitazionale non è rettilinea, quindi le curve che
minimizzano
in uno spazio dove sia presente massa-energia non sono linee rette, come succede,
invece, in uno spazio piatto. Dunque in virtù del principio di equivalenza ogni campo gravitazionale
può essere descritto, localmente, da una metrica
ottenuta mediante trasformazione ad un
sistema di riferimento non inerziale e diversamente da altri campi che agiscono su uno sfondo
spazio-temporale fisso, il campo gravitazionale “plasma l’arena in cui agisce”. Data la metrica
che descrive il campo gravitazionale e quindi la geometria dello spazio-tempo circostante,
l’intervallo tra due eventi sarà così definito:
11
Il principio di equivalenza di Newton afferma l’equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale ,almeno nel limite di
corpi approssimabili come puntiformi o dotati di simmetria sferica; tale uguaglianza considerata prima di Einstein una
rimarcabile coincidenza, diviene nella teoria relativistica una naturale conseguenza della curvatura intesa come
proprietà dello spazio-tempo stesso. Da cui segue automaticamente che l’accelerazione gravitazionale di un oggetto è
indipendente dalla sua massa e composizione ed esso percorre traiettorie che son dettate dalla geometria dello
spazio-tempo[1].
11
(1.14)
in tal modo la forza gravitazionale è stata assorbita nella definizione del tensore metrico ed il moto
di una particella in questo contesto può essere interpretato come il moto libero lungo le geodetiche
dello spazio la cui metrica è
.
La geodetica in quanto curva di moto libero per un corpo, è quella particolare curva che rende
stazionario l’intervallo invariante
tra due eventi al variare del cammino, imponendo il principio
variazionale espresso da:
(1.15)
si ottiene l’equazione che la descrive:
(1.16)
questa coincide, per quanto detto sopra, con l’equazione del moto stessa. Qui s è la coordinata con
cui la curva è parametrizzata, i
sono i simboli di Christoffel e sono determinabili una volta nota
la metrica
essendo definiti come:
[
]
(1.17)
Essi esprimono la struttura affine di uno spazio curvo (Riemanniano), cioè il fatto che il concetto di
parallelismo in uno spazio dotato di curvatura non è immediato come in uno spazio piatto ed è
necessario ricorrere all’operazione di trasporto parallelo lungo un percorso per costruire un vettore
parallelo ad un altro relativamente al cammino scelto e ciò matematicamente si fa attraverso i
simboli di Christoffel che entrano anche nella definizione di derivata, detta covariante 12, in uno
spazio Riemanniano, il quale ha quindi una geometria caratterizzata da due strutture: una metrica
espressa dal tensore
e una affine determinabile a partire dal tensore metrico in virtù della
definizione dei
. Dunque nella formulazione della RG la metrica determina completamente,
attraverso i simboli di Christoffel, le proprietà geometriche e cinematiche dello spazio-tempo curvo.
Per arrivare, ora, al cuore della teoria gravitazionale di Einstein si deve affrontare il problema della
dinamica della geometria, ovvero l’interazione della geometria con la materia espressa dall’
equazione di campo di Einstein.
12
In uno spazio Riemanniano l’operazione di derivazione di un tensore, ad esempio di rango 1 A μ , deve contenere un
termine dovuto al trasporto parallelo del tensore stesso nella direzione di derivazione, se si vuole conservare la forma
tensoriale nella derivazione. Risulta così definita La derivata covariante Aμ ;ν che si distingue da quella ordinaria Aμ,ν per
α
il termine aggiuntivo -Γ μν Aα che le dà la giusta forma tensoriale in uno spazio curvo.
12
1.5 Teoria gravitazionale: la dinamica della geometria e la costante cosmologica
Le equazioni di Einstein per il campo gravitazionale, che, come già accennato, sono il modello per
le equazioni del nostro universo, danno conto dell’interazione della geometria con la materia, ossia
permettono di determinare la metrica in presenza di materia. Nella teoria relativistica della
gravitazione è innanzitutto importante specificare che sorgente del campo gravitazionale sono tanto
la densità di energia, quanto la densità del flusso di energia che la densità del flusso d’impulso,
poiché ciò che appare in una forma in un certo sistema di riferimento è pensabile presentarsi in altra
forma se visto da un differente sistema di riferimento e ciò è in linea con il principio d’invarianza
generale13 su cui si fonda tutta la teoria, dunque queste tre quantità formano un unico oggetto di tipo
tensoriale che è il tensore energia-impulso
che descrive interamente le proprietà della materia.
L’equazione di campo di Einstein lega il tensore metrico
al tensore energia-impulso
,
essendo
dipendente dallo stato della materia e per questo non una grandezza assoluta ma un
campo dinamico che deve soddisfare un’equazione. Quest’ultima si trova imponendo tre condizioni:
la prima è l’invarianza per trasformazioni generali di coordinate, la seconda è che
obbedisca alla
legge di conservazione:
(1.18)
scrittura che indica la derivata covariante del tensore, introdotta nel paragrafo precedente e che per
esteso è:
Infine la terza impone che in approssimazione lineare ( ossia campi deboli e velocità molto inferiori
a ) l’equazione di campo si riconduca all’equazione di Poisson :
(1.19)
che dà classicamente la relazione tra il potenziale gravitazionale in un punto e la densità di massa
ρ nello stesso, cosicché la teoria newtoniana risulti il limite a cui si riconduce la teoria generale
della gravitazione. Quindi per analogia con le equazioni dinamiche della meccanica classica,
l’equazione sarà del secondo ordine differenziale e lineare nelle derivate seconde del tensore
metrico. Seguendo tali criteri Einstein arrivò a dire che l’unico tensore
del secondo ordine in
e tale che
, come stabilito dalla (1.18) applicata al primo membro dell’equazione, è:
13
Il principio d’invarianza generale è un principio di simmetria nella teoria di Einstein che rimarca la relatività della
teoria già sancita dal principio di relatività nel suo primo lavoro, il quale stabilisce che le leggi fisiche devono essere
invarianti per trasformazioni di Lorentz , che son quelle tra sistemi inerziali nello spazio tempo quadridimensionale.
13
(1.20)
Per spiegare i termini che compongono il tensore di Einstein si riparte dai simboli di Christoffel in
base ai quali possiamo definire il tensore di curvatura di Riemann14
che caratterizza la
dipendenza del trasporto parallelo dal percorso scelto e dà una misura quantitativa della curvatura
dello spazio, si dimostra, inoltre, essere il solo tensore che può essere formato prendendo
combinazioni lineari delle derivate seconde della metrica; contraendo gli indici del tensore di
Riemann si ottiene il tensore di Ricci
che, mediante ulteriore contrazione per mezzo
dell’inverso del tensore metrico:
porta a
detto scalare di curvatura(o di Ricci); in
questo modo rimangono definiti i termini del tensore di Einstein e se n’è spiegato il legame col
tensore metrico
. Dunque l’equazione di campo di Einstein è:
(1.21)
è frutto del confronto con l’equazione di Poisson. Scritta in unità cgs la (1.21 )
dove la costante
diventa:
(1.22)
Nel formalismo lagrangiano quest’equazione può essere derivata tramite il principio di minima
azione [14]. Definiamo l’azione di Hilbert-Einstein:
√
(1.23)
Dove
, la densità di lagrangiana è costruita attraverso lo scalare di Ricci che le dà la
forma invariante sotto trasformazioni generali di coordinate15.
Variando l’azione rispetto alla metrica
, che rappresenta qui la variabile dinamica, si ha:
[√
(
)
√
]
(1.24)
dove la variazione di
, tenendo presente che il tensore di Ricci è la contrazione del tensore di
Riemann(cfr. nota14), può essere espressa attraverso i simboli di Christoffel come:
14
15
La densità di Lagrangiana è una funzione dei campi e delle loro derivate covarianti(in uno spazio-tempo curvo) e
̂ dove ̂ è uno scalare.
risulta della forma
√
14
(1.25)
Mentre sfruttando l’identità
valida per matrici quadrate
e considerandone la variazione rispetto ad
, nel nostro caso
scrivere che:
√
tali che
, arrivo a
√
(1.26)
Posso allora riscrivere la(1.24) come:
[(
√
)
(
)]
(1.27)
Si dimostra che il secondo termine della somma dentro le parentesi quadre è la divergenza di un
vettore, per il teorema di Stokes il suo integrale di volume si può trasformare in un integrale del
vettore stesso sull’ipersuperficie dello spazio-tempo e ponendo uguali a zero le variazioni al bordo
della metrica esso si annulla. In realtà anche le derivate covarianti della metrica, contenute nei
simboli di Christoffel , devono annullarsi, ma se così non fosse si potrebbe sempre pensare ad
un’azione con un termine aggiuntivo che cancelli tale contributo. Dunque essendo nullo l’integrale
del secondo addendo si vede che
per qualsiasi
, solo se si annulla il termine tra
parentesi tonde nel primo addendo della (1.27), il che equivale proprio all’equazione di Einstein per
il vuoto, visto che fin qui si è considerata solo la lagrangiana del campo gravitazionale.
Aggiungendo all’azione di H-E un termine di materia
, attraverso una lagrangiana di materia
tale che:
√
La variazione dell’azione rispetto alla metrica diventa:
[(
√
)
√
]
Definendo il tensore:
√
e imponendo che
si annulli per ogni
, si ottiene infine l’equazione di Einstein:
(1.28)
15
Questa è un’equazione generale che presenta soluzioni diverse a seconda della distribuzione di
materia-energia che si prende in considerazione. Caso per caso, infatti, ci si riferirà ad una metrica
differente e ad uno specifico tensore energia-impulso.
E’ evidente che in questo contesto ci interessa l’applicazione dell’equazione di Einstein alla
cosmologia per ottenere soluzioni che descrivano l’evoluzione della geometria su larga scala
dell’universo, dimensione nella quale, stabilita la sua omogeneità ed isotropia, lo si può trattare,
come un fluido16 perfetto con pressione p e densità ρ e dare per il tensore energia-impulso
l’espressione che assume per un siffatto caso:
(1.29)
essendo
la quadrivelocità del fluido con condizione di normalizzazione
. Questa
assunzione ci permette di utilizzare, nel modello cosmologico standard, unitamente all’equazione
di Einstein, le equazioni dei fluidi per dar conto dell’evoluzione del cosmo nelle sue diverse fasi.
Sempre riferendoci alla teoria di Einstein sulla gravitazione, il concetto di gravità come forza
attrattiva vale, dunque, anche su scala cosmica per tutte le forme note di energia e per la materia,
intendendo sia quella barionica che quella oscura (dark matter). Di conseguenza la Relatività
Generale contempla che l’espansione dell’universo rallenti a un tasso determinato dalla densità
della materia e dell’energia in esso contenute, almeno quelle alle quali è associabile un’azione
gravitazionale attrattiva, come classicamente la si conosce, ma questa teoria consente anche
l’esistenza di forme di energia con proprietà differenti, che producono cioè gravità repulsiva;
attualmente infatti ci sono prove osservative, in primis quelle provenienti dall’osservazione di
supernovae di tipo Ia, che dimostrano un’accelerazione nell’espansione dell’universo, che quindi
deve essere prodotta da una forma di energia, definita energia oscura (dark energy) il cui effetto
contrasta quello di attrazione gravitazionale della materia-energia classicamente pensata. Per tener
conto della presenza e dell’effetto dell’energia oscura è stato introdotto nella (1.21) un termine,
chiamato di costante cosmologica , che porta all’equazione:
(1.30)
Sebbene le implicazioni del termine siano di tipo cosmologico, la sua origine secondo il modello
standard ( CDM)17 deve essere probabilmente ricercata nella teoria quantistica, infatti questo
termine rappresentativo della densità di energia oscura associata al vuoto, rimanda inevitabilmente
all’idea quantistica di vuoto, che contrariamente al significato della parola, è un luogo molto attivo,
16
Qui con universo sto indicando l’intero suo contenuto di materia-energia, che può essere schematizzato come un
fluido perfetto in virtù del Principio Cosmologico.
17
Il modello FRW per l’universo con costante cosmologica e materia oscura fredda (Cold Dark Matter).
16
è pieno di coppie elettrone-positrone, protone-antiprotone ecc creati e distrutti spontaneamente dalle
fluttuazioni del vuoto, il principio d’indeterminazione di Heisenberg spiega come l’energia
ed il
tempo di vita
di queste coppie di particelle siano legati dalla relazione
, non è
sorprendente, dunque, che il vuoto debba avere una densità di energia [2] e che questa compaia
nell’equazione generale.
Per esattezza e consistenza storica in questa breve presentazione della teoria di Einstein, è giusto
sottolineare che, benché abbia appena presentato il termine con il significato che ha nel modello
cosmologico attuale, fu lo stesso Einstein ad introdurlo nella sua equazione, come permesso
formalmente dalla teoria da lui elaborata, ma con ben altro ruolo. Infatti, già all’inizio del capitolo,
ho accennato come nei primi decenni del novecento fosse imperante l’idea di un modello statico di
universo, non essendoci ancora l’evidenza osservativa dell’espansione, che venne poi riconosciuta
nel 1929 con la legge di Hubble; quindi quando Einstein arrivò a scrivere la (1.21) nel 1915 era
fermamente convinto di poter descrivere attraverso essa un universo omogeneo ed isotropo, ma
statico, cioè né in espansione né in contrazione, con densità di energia positiva e pressione
trascurabile, in quanto concluse che il contributo di energia più grande in esso veniva dalla materia
non relativistica e poté fare l’approssimazione di vivere in un universo senza pressione18, ma si rese
conto che la sua legge, applicata all’universo nella sua interezza, portava o ad un universo in
contrazione, se si partiva da una condizione iniziale di staticità o ad un universo che continuava ad
espandersi partendo da una condizione iniziale di espansione, con un destino di allontanamento dei
corpi celesti all’infinito o di raggiungimento di un massimo per poi tornare ad una contrazione a
seconda dell’energia di legame gravitazionale dell’universo intero, condizione determinabile in base
al valore della densità di massa-energia media ( ) dell’universo, tutto ciò in virtù dei noti effetti
della gravità in un universo costituito da materia, poiché l’unica soluzione statica permessa dalla
sua teoria sembrava essere quella di un universo totalmente vuoto. Per riconciliare il fatto che
l’universo contenesse materia, con il suo desiderio di un modello statico, Einstein aggiunse
l’ulteriore termine, di cui sopra, contenente che da allora prese il nome di costante cosmologica e
che nella sua ottica ricalibrava la geometria. Infatti compare a moltiplicare il tensore metrico
,
in modo che localmente il suo effetto fosse trascurabile, mentre se ne potesse apprezzare l’azione a
scale cosmologiche (allora coincidenti con le dimensioni della nostra galassia) imponendo la
staticità al modello. Dunque già da qui si capisce come il significato da assegnare a sia stato in
discussione fin dall’inizio e se attualmente è oggetto di studio la sua natura, nel corso
dell’evoluzione del modello cosmologico è stato controverso il suo ruolo. Infatti lo stesso Einstein
dopo la pubblicazione dei primi risultati sperimentali circa l’osservazione degli spostamenti verso il
18
Nel trattare l’universo come un fluido perfetto costituito da varie componenti di materia-energia: materia non
relativistica, radiazione, componente dovuta alla costante cosmologica ecc, ad ogni componente è associabile la
densità con cui è presente
e la pressione che esercita. In particolare alla materia non relativistica è attribuita una
in virtù dell’equazione di stato ad essa associata (cfr§ 1.9).
17
rosso degli spettri galattici ed infine col lavoro di Hubble, dovette arrendersi all’evidenza che
l’universo non fosse statico, bensì in espansione e così disse che:” Non esistendo un mondo quasi
statico, abbandonava l’idea della costante cosmologica”, considerandola addirittura il più grande
errore della sua vita. A partire da allora varie volte e per motivi differenti la costante cosmologica è
stata o no contemplata nel modello cosmologico; oggi, come ho già detto, ne fa parte come quella
componente dell’universo la cui densità di energia rimane costante, come esplicitamente verrà
spiegato nel prossimo capitolo (cfr.§2.4), al di là del fatto che esso si contragga o si espanda e la cui
pressione ha un valore negativo che determinerebbe l’accelerazione nell’espansione, che a partire
dagli anni novanta è stata confermata, mentre il principale candidato per identificarla sembra essere
l’energia del vuoto, col significato quantistico che ciò comporta. Mentre era in atto un dibattito a
livello internazionale circa le possibili soluzioni cosmologiche alle quali si poteva pervenire
partendo dalle equazioni di campo di Einstein nel descrivere l’universo, in cui si considerava anche
la presenza di , nonostante il suo stesso ideatore l’avesse rigettata, il primo a riscrivere queste
equazioni per un universo non statico, ma in espansione o contrazione, pubblicando le soluzioni nel
1922, ben sette anni prima del lavoro di Hubble e che Einstein abbandonasse l’idea di un modello
statico, fu Alexander Friedmann, il quale non ricevette molto credito nella comunità scientifica, anzi
lo stesso Einstein pensò al suo lavoro come ad una curiosità matematica estranea però al reale
universo in cui viviamo. Fu solo dopo il 1929 che i modelli di Friedmann vennero rivalutati e a
tutt’oggi sono quelli a cui ci riferiamo nella teoria standard. Prima di arrivare a scrivere le equazioni
di Friedmann necessario passo, visto quanto finora sottolineato, è la descrizione del tensore metrico
in esse contemplato per il nostro universo.
1.6 La metrica FRW
Posta la centralità della metrica per poter formulare le equazioni della dinamica dell’universo e
descriverne l’evoluzione, dobbiamo trovare quella che meglio lo rappresenta nelle sue
caratteristiche globali di spazio omogeneo ed isotropo in ogni tempo. Quindi l’universo presenta
massima simmetrica spaziale e un’evoluzione temporale evidente nella sua espansione o
contrazione. Questo implica che l’universo può essere pensato come suddiviso in strati
che
rappresentano porzioni spaziali tridimensionali omogenee ed isotrope ortogonali alla linea del
tempo , quindi può essere considerato della forma
[14].
La metrica più generale può essere scritta in notazione tensoriale come:
(1.31)
in cui si distingue il primo termine temporale, il secondo misto e l’ultimo che rappresenta la metrica
spaziale, imponendo su di essi le condizioni relative al nostro universo, questi assumono nella
metrica cercata le espressioni che andrò ora a discutere.
Si dovrà avere
per l’isotropia, in quanto questo rappresenta un vettore spaziale, che
trasformandosi sotto cambiamenti di coordinate spaziali, se non fosse nullo, introdurrebbe una
direzione privilegiata [4].
L’espansione porta, invece, ad una condizione di sincronizzazione con una ridefinizione del tempo
espressa da:
18
√
con
=1
(1.32)
dove é il tempo proprio misurato da un orologio che si muove solidalmente con l’universo stesso;
con questa condizione si chiede che gli orologi che si muovono con le galassie siano sincronizzati.
La metrica del nostro universo, infatti, è espressa in coordinate comoving, cioè tali che le coordinate
spaziali con
sono costanti nel tempo e la coordinata temporale
è il tempo proprio,
come definito sopra ( , che rende il sistema di coordinate comovente. Con ciò s’intende che le
coordinate spaziali partecipano al moto uniforme di espansione ed ogni galassia porta con sé le
proprie, dunque i punti coordinati si muovono insieme con le galassie e l’intervallo coordinato tra
due qualsiasi di esse rimane lo stesso in quanto l’espansione dell’universo non è generata da un
cambiamento della posizione delle galassie ma piuttosto da un cambiamento della metrica dello
spazio-tempo [2].
Queste condizioni portano il
alla forma:
–
(1.33)
dove rimane da definire la metrica spaziale che chiamo
. Nel nostro universo, infatti, è
necessaria l’introduzione di un fattore di scala a moltiplicare la parte spaziale di
:
come segue:
(1.34)
poiché in tal modo si traduce la condizione di espansione omogenea ed isotropa, infatti la
funzione
è un fattore di scala19 che qui, in particolare, esprime l’ampiezza della porzione
spaziale
al momento . Le
rappresentano le coordinate comoving su
e
è il tensore
metrico tridimensionale massimamente simmetrico. È noto che le metriche massimamente
simmetriche obbediscono alla:
⁄ , dove è lo
in cui
è il tensore di Riemann associato alla metrica tridimensionale e
scalare di curvatura, esprime il fatto che in uno spazio massimamente simmetrico la curvatura è la
stessa in ogni punto; il tensore di Ricci diviene quindi:
(1.35)
19
La condizione di normalizzazione che a fine paragrafo specificherò, ci ricondurrà all’espressione del fattore di scala
già introdotta in § 1.3.
19
Se lo spazio è massimamente simmetrico, certamente avrà simmetria sferica e la metrica di uno
spazio sfericamente simmetrico si può scrivere nella forma:
(1.36)
dove è la coordinata radiale e
è l’usuale metrica su una sfera
bidimensionale. Le coordinate polari son più vantaggiose nell’imporre l’omogeneità spaziale che
consiste nel cercare l’analogo quadrimensionale delle proprietà di una superficie bidimensionale
con curvatura uniforme e ciò è conforme al principio cosmologico. Chiaramente per quanto detto
circa il ruolo della gravità tradotto in curvatura geometrica dello spazio-tempo, nella parte spaziale
della metrica ci aspettiamo compaia , che dato il suo legame con , come scritto sopra, è un
parametro che tiene conto di una eventuale curvatura dovuta alla massa-energia dell’intero
universo, che pensato nella sua globalità è trattabile come un fluido con densità di massa/energia
costante ovunque e nel quale le strutture( galassie, ammassi di galassie, ecc ) possono essere
considerate come le particelle di cui il fluido è costituito; trascurate quindi le irregolarità locali ed il
moto dei singoli oggetti, si considera solo il moto di espansione uniforme, di cui diamo conto
tramite
.
Per arrivare a dare espressione esplicita alla funzione
, cioè trovare
, calcolo i simboli di
Christoffell per la metrica spaziale (1.36) che mi permettono di scrivere le componenti del tensore
di Ricci e sviluppare poi la (1.35).
I simboli di Christoffell che mi servono per definire il tensore di Ricci sono:
Da cui le componenti del tensore di Ricci che risultano non nulle sono:
Sviluppando la (1.35) e risolvendo rispetto a
si ottiene:
Da cui l’espressione per la metrica sulla superficie tridimensionale
20
è:
e quindi segue che:
Infine l’espressione completa per la metrica cercata è:
-
[
]
(1.37)
che è la metrica di Robertson-Walker, dove
sono le coordinate polari nel sistema di
riferimento comoving, è il parametro di curvatura (o costante di curvatura) che può assumere
qualunque valore, ma di fatto in una ridefinizione di ci si può circoscrivere a tre soli valori
possibili :
a seconda che l’universo sia piatto
, chiuso
o aperto
. Nel paragone con una superficie bidimensionale ad una curvatura nulla corrisponde la
geometria piana, ad una curvatura positiva corrisponde una geometria sferica e ad una curvatura
negativa una geometria iperbolica. Più avanti verranno discussi i modelli del nostro universo che
contemplano i tre possibili casi e le condizioni fisiche che portano a tali geometrie. In particolare
discuterò l’equazione di Friedmann che chiarisce il legame tra la curvatura e la densità di energia
dell’universo.
Si può dare per la metrica di Robertson-Walker una scrittura più compatta:
-
(1.38)
In cui compaiono: il fattore di scala reso adimensionale ridefinendolo come
(1.39)
con
a(
raggio di curvatura a
già data in §1.3, e la funzione:
da cui segue la condizione di normalizzazione
{
che viene da una ridefinizione della coordinata radiale attraverso la quantità
integrata porta a
. Fin da ora voglio riscrivere
come funzione di
associato alla curvatura , per chiarezza di notazione:
21
√
la quale
e del raggio di curvatura
( )
{
(1.40)
( )
La
riassume in sé i tre possibili casi di curvatura che possiamo considerare per il nostro
universo pensato su scale cosmologiche omogeneo e isotropo sia nell’espansione che nella struttura
metrica stessa ed è il raggio di curvatura dello spazio (relativamente al nostro universo d’ora in
poi indicherò il raggio di curvatura con
.
⁄ porta a ridefinire anche le coordinate e
La ridefinizione del fattore di scala come
attraverso il raggio di curvatura
come segue:
dove con questa scrittura si esprime chiaramente che l’universo ha curvatura uniforme e costante
di raggio
e la metrica di Robertson Walker in queste variabili20 si scrive come:
-
[
]
(1.41)
Questa metrica ci fa capire quale potente strumento sia nel nostro modello il principio cosmologico,
poiché testimonia il fatto che, se l’universo è perfettamente omogeneo ed isotropo, allora tutto ciò
che abbiamo bisogno di conoscere circa la sua geometria è contenuto in
e
ed è ormai
evidente come il linguaggio geometrico sottintenda, in questa sede, un significato fisico. Questa
metrica, alla quale giunsero indipendentemente l’uno dall’altro Robertson e Walker nel 1930, ossia
l’anno seguente la pubblicazione da parte di Hubble della sua legge, è per noi alla base della
formulazione delle equazioni di Friedman su cui si fondano i modelli in grado di descrivere la
dinamica dell’universo nelle diverse fasi in cui si immagina di poter scomporre la sua storia
evolutiva. Da qui tale metrica è annoverata anche con il nome di Friedmann-Robertson-Walker
(FRW). L’identificazione del nostro universo con uno spazio tempo di tipo FRW è ampiamente
basata sull’alto grado di isotropia misurata nella CMB, questa identificazione si basa su un risultato
formale noto come teorema di Ehlers,Gener,Sachs(EGS)21.
20
La variabile ha le dimensioni di
, rispetto a che è adimensionale.
Il teorema EGS è una caratterizzazione cinematica dello spazio-tempo FRW, afferma che se tutti gli osservatori in
caduta libera misurano che il background di radiazione è isotropo, allora l’universo è uno spazio-tempo FRW
omogeneo e isotropo.
21
22
1.7 Distanza, fattore di scala e redshift
Appare evidente da quanto discusso fin qui che tre concetti quali: la distanza, il fattore di scala ed il
redshift di un oggetto celeste sono legati a doppio filo tra loro. Definite le coordinate comoving
nelle quali è stata espressa la metrica FRW, poniamoci come osservatori all’origine di tale sistema
di riferimento e diciamo che
sono le coordinate di una galassia sulla quale puntiamo il
telescopio. Si definisce distanza propria
tra due punti la lunghezza della geodetica spaziale
tra essi ad un fissato valore del fattore di scala, quindi ad un fissato tempo. Essa è quantificabile
attraverso la metrica FRW con:
(1.42)
Si può ricavare, ora, la distanza propria della galassia ad un tempo t generico valutando che la
lunghezza della geodetica spaziale tra noi ed essa stessa è:
(1.43)
poiché lungo la geodetica spaziale gli angoli θ e φ sono costanti, integrando sulla coordinata radiale
segue che la distanza propria è:
(1.44)
Da cui si ritrova di nuovo per
varia
nel tempo data da:
̇
̇ = ̇
a
, cioè oggi, la legge di Hubble, passando per la velocità con cui
(1.45)
ho:
(1.46)
Ma facendo un ulteriore passo avanti possiamo stabilire un legame tra la distanza propria
dell’oggetto che stiamo osservando (a
ed il suo redshift. Infatti è noto dalle nozioni di
astronomia sferica come di una galassia che stiamo osservando possiamo assegnare con sufficiente
esattezza la posizione angolare sulla sfera celeste che mappiamo bene con la scelta di varie
tipologie di sistemi di coordinate sferiche, ma ben altra cosa è la valutazione esatta della sua
distanza propria
cioè la conoscenza della coordinata del nostro sistema di riferimento. E’
qui che entra in gioco il redshift a darci qualche informazione di natura metrica. Infatti come già
detto l’osservazione dello spettro della galassia ci permette di conoscere il suo redshift che non ci
23
dà il valore della distanza propria, ma ci dà informazioni sul fattore di scala al tempo
in cui
la luce è stata emessa. Per vedere questo legame tra
e seguiamo un raggio di luce emesso
dalla generica galassia al tempo
e ricevuto da noi al tempo
, lungo la sua geodetica
22, dunque sfruttando la definizione di distanza propria si ha che:
(1.47)
da cui
(1.48)
integrando tra l’istante di emissione e quello di osservazione di una singola cresta d’onda:
(1.49)
Considerato che la cresta d’onda successiva sarà emessa al tempo
con
e ricevuta al tempo
come spiegato nel § 1.2, possiamo scrivere anche l’integrale:
(1.50)
dal confronto segue che l’integrale della quantità
tra il tempo di emissione e quello di
osservazione è lo stesso per ogni cresta d’onda della radiazione emessa:
(1.51)
quindi sottraendo da entrambi i membri la quantità
=
ossia l’integrale di
ho che:
(1.52)
tra l’emissione di due successive creste d’onda emesse è uguale a quello tra
due successive creste d’onda osservate.
22
Le geodetiche di un raggio luminoso, ossia le linee orarie seguite dalla luce sono caratterizzate dall’avere il ds=0 in
quanto
24
Facendo ora l’assunzione che nel tempo infinitesimo che intercorre tra l’emissione di due creste
d’onda successive posso considerare
costante23 e quindi portarla fuori dal segno di integrale,
dall’integrazione ottengo che:
(1.53)
questa confrontata con la definizione di (1.1), porta a scrivere che:
(1.54)
avendo usato la condizione di normalizzazione per il fattore di scala.
Tale relazione dà conto del fatto che conoscere oggi, tramite le osservazioni, il redshift di un
oggetto celeste ci dà informazioni su quello che accadeva a quell’oggetto quando l’universo aveva
un fattore di scala dell’ordine ⁄ , indipendentemente da come quest’espansione sia avvenuta.
Dunque il redshift è legato al fattore di espansione al tempo in cui la luce è stata emessa. E’ chiaro
come il concetto di distanza di un punto dell’universo da noi sia stato un trait d’union tra e
che ci ha permesso di arrivare per via concettuale e formale alla relazione (1.54), mentre il valore
numerico delle distanze viene stabilito con metodi empirici che sono stati formulati sulla base di
correlazioni trovate, attraverso l’osservazione, ad esempio tra luminosità e distanza, per citarne uno.
1.8 L’ equazione di Friedmann
Delineata la metrica FRW per il nostro universo, scrivere le equazioni di Einstein in essa significa
formulare le equazioni di Friedmann, come di seguito esporrò brevemente. Alexander Friedmann
nel 1922 fu il primo a derivare un’equazione che legasse i tre parametri
e
, che
24
descrivono completamente la curvatura di un universo omogeneo ed isotropo , alla densità di
energia
, di tutte le sue componenti: materia, radiazione ed energia oscura. In questa equazione
e ben prima della conferma dell’espansione dell’universo, raggiunta nel 1929 con la legge di
Hubble, si abbandona l’idea di un modello statico e si assume quella di un universo in espansione o
contrazione, come segue dall’evolversi del fattore di scala
, il cui andamento è dunque descritto
dall’equazione che qui di seguito ricaverò. Ho già accennato al fatto che nel nostro modello
cosmologico l’universo sia rappresentabile come un fluido uniforme in cui le galassie stesse
23
Infinitesima è cioè l’entità dell’espansione dell’universo nel tempo che intercorre tra l’emissione di due successive
creste d’onda ,che ad esempio nel visibile, è dell’ordine di
,comparato cioè col tempo di Hubble è un
valore trascurabile, quindi tale si può considerare la variazione del fattore di scala in questo lasso di tempo.
24
Da notare che l’ipotesi di Friedmann di un cosmo omogeneo ed isotropo, fu anch’essa un’intuizione e
un’assunzione, al suo tempo, di natura teorica, poiché le prove di ciò vennero molti decenni dopo, con la scoperta del
fondo cosmico a microonde e dell’uniformità nella sua distribuzione, sul finire degli anni sessanta.
25
possono essere pensate come le ‘particelle’ che lo compongono [2], per cui considerata l’equazione
di Einstein nella sua prima formulazione non comprensiva del termine in (cfr1.21), esprimiamo
questa nella metrica FRW, in accordo con la quale, inoltre, il tensore energia-impulso, che è della
forma (1.29), assume espressione diagonale in quanto l’isotropia imposta alla pressione gli
conferisce tale forma nel sistema comoving nel quale è scritta la metrica, con componenti
e
, cioè densità di energia e pressione entrambe funzioni di :
(
)
Iniziamo dallo scrivere il tensore di Ricci, dunque dal calcolare i simboli di Christoffel in questa
metrica. Da tale calcolo risulta che questi son tutti nulli eccetto quelli in cui
oppure
̇
che assumono i valori:
̇
e
.
La componente temporale del tensore di Ricci è:
(1.55)
considerando che i termini del tipo
̇
dove
sono nulli, la
si riduce ad essere della forma:
,come già indicato sopra, mentre
̇
, considerando ciò si
arriva a scrivere che:
̇
̇
( )
̈
[
̇
( )
̇
]
( )
̈
poiché il
(1.56)
sta ad indicare una sommatoria sui tre indici spaziali compare il fattore 3.
La componente spaziale del tensore di Ricci, invece, assume la forma:
̇
̈
(1.57)
Ora vado a calcolare lo scalare di curvatura che, come già detto in 1.5, si ottiene per contrazione
degli indici del tensore di Ricci attraverso l’inverso del tensore metrico:
da cui:
̇
̈
̈
̇
( )
(1.58)
26
Volendo descrivere l’evoluzione temporale del fattore di scala, mi concentro, ora, sulla sola
componente temporale dell’equazione di campo:
(1.59)
in cui sostituisco i termini appena calcolati ed inoltre considero che
così a scrivere l’equazione di Friedmann:
,e
̇
( )
, arrivo
(1.60)
che può essere altrimenti scritta in termini del parametro di Hubble
unità cgs nel seguente modo:
in virtù della (1.9) ed in
(1.61)
dove , come già detto, rappresenta la densità totale di energia dell’universo in tutte le sue forme ed
è anch’essa funzione del tempo, in quanto l’universo ha visto il formarsi di strutture ed il
modificarsi della percentuale con cui ogni componente annoverata risulta presente nelle diverse fasi
in cui si può immaginare suddivisa la sua storia evolutiva, è il parametro di curvatura ed
il
raggio di curvatura dell’universo, come introdotti nella definizione della metrica FRW. Da
quest’ultima espressione si comprende con immediatezza l’importanza che l’equazione di
Friedmann ha in cosmologia, poiché stabilisce una relazione tra la velocità di espansione
dell’universo, rappresentata dal parametro di Hubble, la sua densità di energia e la sua curvatura
espressa attraverso ⁄
. Fin da qui s’intravede che la chiave di volta per comprendere
l’evoluzione dell’’universo ed ipotizzare un suo destino sta nel dar conto di ciò che lo costituisce e
di quanto ciò ‘pesi’, relativisticamente parlando, allo scopo di poter dire come e quanto l’energia in
tutte le forme esistenti sia sufficiente a dargli una curvatura positiva, negativa o nulla, le tre
possibilità contemplate dalla metrica stessa. In quest’ottica l’espressione più conveniente che si può
dare dell’equazione di Friedmann è quella in funzione di un parametro di densità
che pesa la
densità di ogni forma di energia presente con una densità critica che l’universo avrebbe se fosse
piatto, valore che si stabilisce facilmente ponendo
nella (1.61) portando a:
(1.62)
ad oggi, ad esempio, il valore stimato per la densità critica è
=
avendo posto
. Dunque rimane definito il parametro di densità nel seguente modo:
,
(1.63)
∑ (t), ritenendo qui necessario dare forma esplicita al fatto
dove, per quanto detto sopra,
che la densità di energia complessiva, finora considerata, è la somma di quella relativa ad ogni
componente
costitutiva dell’universo. In termini di
l’equazione di Friedmann può essere
riscritta nella seguente forma:
27
(1.64)
dalla quale si evince il legame tra il parametro di densità, quindi la densità di energia totale
dell’universo, e la sua geometria; infatti a seconda che
sia maggiore, minore o uguale ad 1,
l’universo risulta rispettivamente curvato positivamente, negativamente oppure piatto, come
sinteticamente si può riassumere in:
(tab 1.1)
Inoltre dalla (1.64) è importante osservare che se, ad esempio, fosse minore di 1 in qualche
tempo, rimarrebbe tale sempre, perché il membro di destra non può cambiar segno e quindi neanche
quello di sinistra, la curvatura dell’universo, quindi, rimane la stessa in ogni istante della sua storia
evolutiva, cioè non cambia con l’espansione. Dunque è una proprietà intrinseca al nostro universo.
Tirando le somme, quest’equazione ci pone davanti a tre possibili modelli di evoluzione, che
prevedono rispettivamente: un’espansione per sempre e quindi un cosmo infinito ed illimitato
(
), o un’espansione con successiva ricontrazione quindi un universo finito nello spazio ma
illimitato (
, oppure un universo dotato della velocità minima per evitare il
collasso continuando l’espansione in uno spazio piatto e anche in questo caso infinito (
.
L’ago della bilancia nello stabilire ciò è conoscere le attuali velocità di espansione dell’universo e la
densità media, quest’ultima, appunto, attraverso il parametro di densità è confrontabile col valore
critico che fa da spartiacque tra i casi considerati. Argomento cosmologico cruciale è il dar conto
di tutto ciò che riempie l’universo per stabilirne la presente densità media così da quantificare
.
L’attuale valore di
è stimato essere nel range
. L’equazione di Friedmann
calcolata in
cioè oggi è:
la quale formalmente ci dice che se
conoscessimo il valore attuale del parametro di densità, nota la costante di Hubble , potremmo
stabilire il segno della curvatura e conoscere il valore del raggio di curvatura
e dire con
certezza quale dei tre casi è quello a cui apparteniamo, ipotesi fatte in tal senso, oggi, privilegiano
il modello di un universo piatto, quindi con
Quest’equazione dunque è legata in modo
diretto alle osservabili fisiche del cosmo oltre a descriverne l’espansione attraverso l’andamento
temporale del fattore di scala, che però non può essere risolto sulla sua sola base, poiché la (1.60) è
un’equazione con due incognite
e
, è quindi necessario affiancarle altre equazioni per
poter descrivere completamente come esso si espande.
28
1.9 L’universo come un fluido perfetto: le equazioni chiave per descriverne
l’espansione
Riscrivo l’equazione di Friedmann come prima equazione chiave nella descrizione del nostro
universo:
̇
( )
Accanto ad essa si può scrivere un’equazione per
che scaturisce dal poter considerare
l’universo come un fluido ideale, omogeneo ed isotropo, dove dunque non c’è scambio di calore tra
una porzione di spazio e l’altra, per cui scrivendo la condizione di conservazione dell’energia di un
generico fluido di energia interna
e di pressione
imposta dalla prima legge della
termodinamica:
(1.65)
nella sua forma adiabatica con
equazione di continuità25:
̇
, per il nostro universo, perveniamo all’equazione dei fluidi o
̇
(1.66)
che è la seconda equazione chiave nella descrizione dell’espansione dell’universo ed è espressa in
termini delle incognite di nostro interesse, avendo ipotizzato di scrivere la (1.65) relativamente ad
una sfera di raggio proprio
espresso nella coordinata radiale comoving come
, in
modo tale che questa configurazione sferica ideale del nostro fluido si espanda con l’universo e
faccia comparire nell’equazione di conservazione il fattore di scala, come mostra la (1.66), nella
quale inoltre ho sostituito ad la consueta densità di energia
e dove compare per la prima
volta esplicitamente anche la pressione
complessiva presente nel nostro universo, anch’essa
intesa come somma delle pressioni
parziali che ogni singola componente esercita, come
precedentemente accennato. Dunque questa seconda equazione ci dà l’ulteriore relazione che
cercavamo, ma introduce con la pressione un’altra funzione incognita: . La sua presenza richiede,
perciò, un’equazione da affiancare alla (1.60) e alla (1.66) e questa sarà un’equazione di stato che
lega a . La pressione è inoltre, come già accennato parlando della componente di energia oscura,
un parametro importante nel determinare l’azione di ogni singola forma di energia
sull’accelerazione o decelerazione dell’espansione dell’universo, cioè incide sull’andamento di ̇ , il
25
Ad essa si perviene anche attraverso le identità di Bianchi che portano alla conservazione del tensore energiaimpulso, condizione che permette di scrivere l’equazione di continuità.
29
quale richiede a sua volta un’equazione esplicita chiamata equazione di accelerazione che dice
come l’espansione dell’universo cambia nel tempo.
La terza equazione chiave è dunque l’equazione di accelerazione (detta anche seconda equazione di
Friedmann26) che si ottiene combinando tra loro l’equazione di Friedmann e quella dei fluidi,
moltiplicando la prima per
e derivandola poi rispetto al tempo, dividendo tutto per ̇ e
sostituendo l’espressione che si ricava dall’equazione dei fluidi
̇
̇
si giunge a
scrivere l’equazione cercata:
̈
(1.67)
la quale mostra che se la densità di energia è positiva, essa produce un’accelerazione negativa per
l’universo, cioè ̇ , la velocità relativa di due punti nell’universo, decresce. Mentre notiamo che
⁄ produrrebbe
l’esistenza di componenti nell’universo caratterizzate da una pressione
un’accelerazione nell’espansione dell’universo anziché un rallentamento. Ho già accennato al fatto
che la teoria permette l’esistenza di componenti con pressione negativa, in particolare nel modello
standard alla costante cosmologica è associato il valore
, che dunque, come testimonia la
(1.67) produce un’accelerazione positiva per l’espansione; mentre tanto alla materia ( barionica e
oscura, vista come gas di particelle massive) o alla radiazione (vista come gas di fotoni),sono
associati valori positivi di pressione, per cui queste componenti causano un rallentamento
nell’espansione. L’importanza di poter stabilire il valore della pressione di ogni diversa componente
dell’universo ed il fatto che l’ultima equazione scritta non dà una relazione per sufficiente a
risolvere il sistema delineato, non essendo indipendente dalle prime due, son circostanze che
portano alla formulazione di un’equazione del tipo:
(1.68)
che è l’equazione di stato scrivibile per l’universo idealizzato come un fluido; una relazione
matematica tra la pressione e la densità di energia di tutto ciò che riempie l’universo ed è la quarta
equazione chiave del nostro modello. La possibilità di dare un’espressione così semplice
all’equazione di stato risiede nel fatto che il cosmo, per come è visto nel nostro modello, si presenta
come un fluido molto diluito e ciò permette di semplificare notevolmente la relazione tra la densità
di energia e la pressione di ciò che lo costituisce altrimenti molto più articolata, come compete agli
stati condensati della materia. Nella (1.68)
è un numero adimensionale il cui valore è specifico
26
Questa può essere ricavata, come anche la prima equazione di Friedmann d’altra parte, dall’equazione di Einstein
riscritta nella forma
, infatti nota l’espressione di
, e quindi la sua traccia (cfr 1.8) e
calcolato il tensore di Ricci nella metrica FRW, combinando le equazioni che si scrivono per
e per
si
deriva la prima e dalla
si ricava la seconda.
30
per ogni forma di materia-energia che si considera. Infatti scritta in forma più esplicita l’equazione
di stato per il nostro universo è:
∑
=∑
(1.69)
dove ‘ ’ essendo un numero specifico per ogni diversa componente, può essere utilizzato come
indice per contraddistinguerla. Le condizioni ideali in cui ci siam posti permettono di utilizzare la
proprietà di additività sulle diverse componenti tanto per la densità quanto per la pressione,
risultando evidente che per ogni elemento costituente si può scrivere una diversa equazione di stato
della forma (1.68).
In linea di principio, assegnando opportune condizioni al contorno, le tre equazioni: di Friedmann,
dei fluidi e di stato, rappresentando un sistema di tre equazioni in tre incognite, permettono di
conoscere
e
ad ogni tempo.
Intendo concludere questo capitolo, nel quale ho esposto alcuni concetti di base per capire il
modello cosmologico standard, specificando quali sono le componenti dell’universo e arrivando a
definire per ognuna di esse il numero , dando conto, dunque, in virtù di
, del ruolo giocato
singolarmente nell’espansione dell’universo, fermo restando che il quanto tale ruolo pesi è invece
27, ma ciò sarà oggetto del prossimo capitolo.
dovuto a
1.10 Componenti dell’universo per l’equazione di stato
Attualmente l’universo si considera costituito da: materia, radiazione e costante cosmologica. Ad
ognuna di esse possiamo associare una diversa equazione di stato della forma (1.68). In particolare
per la materia, usando la schematizzazione di un gas di particelle massive non relativistiche, poiché
in esse la velocità delle singole componenti
è molto inferiore a
la pressione è la risultante
macroscopica del moto termico casuale delle molecole, atomi o ioni che la compongono 28, per essa
si può scrivere allora che:
⟨
con
⟩
(1.70)
Dunque alla materia si associa un
positivo seppur infinitesimo
.
Per la componente di radiazione, intesa come gas relativistico di fotoni o di particelle di massa
praticamente nulla, si può scrivere la seguente equazione di stato:
27
Ho preferito, qui, usare la nuova notazione per le singole componenti di densità
in luogo di precedentemente
usato, per renderne immediato nella lettura il riferimento alla pressione
che rimanda subito all’equazione di stato
specifica.
28
⁄
La meccanica statistica afferma che un gas non relativistico ha un’equazione di stato della forma
in
cui la densità di energia è quasi completamente data dalla massa delle particelle che lo costituiscono nella misura di
⁄ ,mentre la temperatura è associata alla loro velocità media dalla
⟨ ⟩.
31
dove
(1.71)
anche per la componente radiativa si ha un
positivo. Infine le evidenze osservative portano a
dire che per la costante cosmologica si può scrivere l’equazione di stato nella forma.
dove
(1.72)
ossia nel nostro universo la costante cosmologica è una componente che ha una pressione negativa e
per quanto si evince dall’equazione di accelerazione produce una accelerazione positiva
nell’espansione ( ̈
Per spiegar meglio l’equazione di stato29 che attribuiamo alla costante
cosmologica, faccio riferimento al tensore momento-energia
(cfr1.5), esso vale per osservatori
comoving con l’espansione. Ogni altro osservatore vedrà un diverso contenuto di energia/pressione.
Esiste però un caso per cui ogni osservatore vedrà esattamente lo stesso tensore, indipendentemente
dalla sua quadrivelocità
: ovvero quando
da cui l’equazione di stato per (1.72), in
questo caso infatti
. La condizione di conservazione implica allora
ovvero
⁄
che riporta a scrivere il tensore
già incontrato nell’equazione di
campo di Einstein comprensiva del termine in , la cui natura di costante ora si comprende meglio
nell’essere il tensore momento-energia che le compete indipendente dall’osservatore, questa
condizione è considerata necessaria per uno spazio vuoto, cioè privo di particelle reali,
è
quindi detta energia del vuoto o anche energia oscura in virtù di un termine coniato nel 1998 dal
cosmologo Micheal Turner, che annoverò come tale la componente dell’universo dotata di
⁄ , indipendente dall’osservatore proprio come proponeva Einstein, seppur nella sua teoria la
pensò come stabilizzante per un modello statico, attribuendole comunque l’esercizio di una forza
antigravitazionale.
I risultati sperimentali mostrano accordo con un’interpretazione dell’energia oscura attraverso la
costante cosmologica, almeno per quanto riguarda la storia più recente del nostro universo, ma,
come ampiamente discuterò in questo lavoro, la necessità di formulare per essa un modello che non
presenti i problemi di ordine teorico cui si va incontro nel ΛCDM (cfr.3.5.2), induce a considerare
l’ipotesi che si tratti di una forma di energia descritta da un’equazione di stato con parametro
variabile nel tempo, del tipo
con conseguente variabilità anche per la sua densità di
energia.
Finora la presentazione di queste basi concettuali e teoriche del modello cosmologico standard
(ΛCDM) ha richiesto l’assunzione di proprietà globali formulate in merito a condizioni ideali, ma
per quanto riguarda il dar conto di ciò che costituisce, oggi, l’universo ed il quantificarlo
29
Equazione di stato che è oggetto di discussione e studio, infatti il
è una quantità a cui si assegna un valore
negativo ma ancora non certo, le ricerche parlano di in un intervallo di valori nel quale c’è il -1 che ho indicato qui,
come probabile.
32
componente per componente in termini del relativo parametro di densità
, mi riferirò a valori che
appartengono all’attuale modello di riferimento dei parametri reali, quelli cioè, per i quali modello
teorico e dati osservativi trovano maggiore accordo. In base ai valori che esso fornisce, oggi si stima
che l’universo sia spazialmente piatto, quindi con un parametro di densità approssimativamente
unitario e così composto:
(1.73)
Più avanti indicherò il valore numerico stimato per ognuno dei parametri
specificati. Qui in
conclusione intendo porre l’attenzione sul fatto che
è il parametro di densità (ad oggi in
) relativo al contenuto di materia dell’universo e ad esso contribuiscono tanto la materia barionica
ordinaria con un termine che indicherò con
tanto la materia oscura (dark matter), con
la cui presenza è rivelabile attraverso l’effetto gravitazionale che ha sullo spazio-tempo in
cui è presente e sul moto degli oggetti che in questo spazio si muovono. Analogamente nel
parametro di densità relativo alla radiazione
si riconoscono due contributi, uno dovuto ai fotoni
che pervadono l’intero cosmo e cioè quelli della radiazione di fondo cosmico a microonde(CMBR),
poiché rispetto alla loro densità di energia quella prodotta dai fotoni emessi dalle stelle, negli
ipotizzati
d’età dell’universo, è davvero infinitesima e perciò trascurabile e tale valore sarà
indicato come
, mentre l’altro contributo radiativo è dato da un fondo cosmico di neutrini
relativistici, che indicherò con
, la cui presenza, non ancora rivelata dagli strumenti per via della
tecnologia in grado di rivelare solo neutrini con energia superiore a 0,1
( molto più energetici
di quelli del fondo ipotizzato) è tuttavia prevista dalla teoria in virtù dello stesso meccanismo che ha
generato la CMB, cioè un istante in cui l’universo primordiale caldo e denso, prima opaco ai fotoni,
è diventato trasparente ad essi; analogamente ci sarebbe stata una fase precedente in cui l’universo,
prima opaco ai neutrini, avrebbe poi raggiunto la trasparenza ad essi che, dotati di un’energia
molto più alta di quella di riposo
, da particelle relativistiche, avrebbero permeato l’intero
universo, annoverabili come radiazione e non come materia, poiché ogni neutrino,
indipendentemente dal suo sapore, compie una transizione dall’essere radiazione all’essere materia
quando la sua energia diminuisce al punto che
. Grazie alla conoscenza dettagliata che
siamo arrivati ad avere circa il fondo cosmico a microonde, che ha permesso di confermare molti
aspetti del nostro modello standard, in primis l’omogeneità e l’isotropia da cui si parte per spiegare
e formulare il resto, possiamo dar conto con alta precisione di
e sulla base di questo
ipotizzare quanto può valere
mentre purtroppo la stessa cosa non possiamo dire, attualmente,
circa la densità di materia e di energia oscura, per le quali il modello di parametri di riferimento
presenta, sulla base delle evidenze a disposizione, stime molto più approssimate.
Riprenderò in dettaglio l’aspetto quantitativo dei parametri qui introdotti, quando avrò terminato
l’analisi qualitativa dell’evoluzione dell’universo, nelle diverse fasi in cui ha senso scindere la sua
storia attraverso gli strumenti matematici dati in questo capitolo.
33
CAPITOLO 2
Modelli per l’universo con singola componente e con più
componenti
In un universo in espansione continua, a partire dall’istante iniziale (
in cui avrebbe avuto
luogo l’esplosione da cui tutto si è originato, ripercorrere il tempo cosmico
equivale a seguire la
funzione
che viene ad essere, in virtù del suo andamento monotono, un indicatore temporale,
⁄
allo stesso modo di
, visto il suo legame con il fattore di scala:
(cfr 1.7).
Prendere
invece di
è inoltre una semplificazione matematica, poiché anche nell’equazione
di Friedmann, come già visto in quella dei fluidi e quella di stato, compaiono insieme tutte le
componenti dell’universo, le quali singolarmente apportano uno specifico contributo all’andamento
del fattore di scala in funzione del tempo, rendendone complessa la forma analitica e quindi non
semplice da invertire. Ha senso dunque scindere il contributo di ogni elemento esaminando modelli
di universo a singola componente, cioè scrivendo l’equazione di Friedmann di volta in volta per un
universo costituito da sola radiazione piuttosto che materia e così via, perché ciò fornisce elementi
ulteriori per comprendere la fisica nell’espansione, per arrivare poi a costruire modelli più
complessi in cui si rintroducono via via tutti gli elementi costituenti.
2.1 Separazione in singole componenti dell’equazione di Friedmann per
l’universo
Nel precedente capitolo ho stabilito che ogni componente dell’universo può essere contraddistinta
col valore di
che compare nell’equazione di stato (1.63), usando l’additività esprimo la densità
totale di energia come:
∑
(2.1)
e riscrivo l’equazione di stato così:
∑
∑
(2.2)
Tenendo presenti queste due espressioni, posso scrivere per ogni componente un’equazione dei
fluidi (1.60) specifica:
̇
̇
(2.3)
e valutare dunque l’andamento della sua densità di energia in funzione del fattore di scala, ritenendo
noto . Infatti integrando ho che:
(2.4)
avendo usato la condizione di normalizzazione
e specificato il valore che la densità di
energia della particolare componente considerata ha oggi a
, ossia
.
34
Per la materia
⁄
si ha che la densità decresce con l’espansione secondo un andamento
⁄
, mentre per la radiazione
si ha un andamento decrescente con
⁄ 1. Gli andamenti differenti delle
l’aumentare del fattore di scala del tipo
diverse densità di energia degli elementi, col crescere delle dimensioni dell’universo, suggeriscono
che ci son stati periodi temporali in cui ha prevalso una componente piuttosto che le altre e che si
possono individuare analiticamente gli istanti in cui le densità di due elementi diversi si sono
uguagliate, ad esempio relativamente alle componenti di radiazione e materia, sulla base degli
andamenti studiati, questo è avvenuto quando:
(2.5)
valore che sta ad indicare il cosiddetto tempo di equivalenza tra radiazione e materia(cfr.fig2.2).
Appare qui evidente come il fattore di scala sia utilizzabile come indicatore del tempo cosmico, in
particolare questo istante, secondo i valori dei parametri stimati nel nostro modello di riferimento
numerico, risultante dal miglior accordo tra i dati osservativi e la teoria (cfr tab2.2), corrisponde ad
⁄
un fattore di scala di ampiezza
il che equivale a dire che materia e radiazione si
sono uguagliate in densità quando l’universo era
volte più piccolo, o in termini di redshift a
. Oggi possiamo dire che le evidenze sperimentali indicano che viviamo in un universo
dove la radiazione è stata dominante nelle prime fasi dell’espansione, dopodiché è seguito un
periodo in cui ha avuto un ruolo maggiore la densità di materia e se il nostro modello di parametri
di riferimento non sbaglia, attualmente siamo in una fase dominata dalla costante
cosmologica
, nella quale l’universo è entrato successivamente al momento in cui
, cioè quando le sue dimensioni, rispetto ad oggi, erano più piccole di un fattore di scala
pari a:
(
)
(
)
Sulla base dei valori che i più recenti dati sperimentali indicano si stima che
,
⁄
equivalente ad un redshift
; il piccolo valore di
rispetto a
indica che stiamo
parlando di un’epoca molto più recente.
1
Che la radiazione si diluisca come
con l’espansione dell’universo dipende dal fatto che alla sua densità di
energia contribuisce tanto la natura particellare dei fotoni, che apporta un fattore
dovuto all’espandersi del
volume, tanto la natura ondulatoria e cioè il trasporto stesso di energia come onda che apporta un fattore
per la
perdita di energia dovuta al redshift.
35
Riguardo, infine, la possibilità di pensare che nell’equazione di stato dell’energia oscura compaia
un parametro
variabile col fattore di scala, come detto alla fine del primo capitolo, sostituendo
nell’equazione dei fluidi (1.66) e integrando come fatto in (2.4) arrivo all’espressione:
(
)
(2.6)
che esprime come in tal caso l’andamento della densità della dark energy non sia più costante come
descritto nel modello CDM, ma vari con e dunque nel tempo.
Detto ciò, risulta evidente la liceità nello studiare l’equazione di Friedmann (1.54) componente per
componente, essendo anch’essa scrivibile come:
∑
̇
(2.7)
Dunque da questa si parte per costruire modelli di universo a singola componente. Prima di far ciò
voglio discutere un altro modello di universo possibile: quello dove la densità di energia è talmente
piccola rispetto al valore critico che il termine relativo ad essa nell’equazione di Friedmann è
trascurabile rispetto al termine di curvatura.
2.2 Il modello più semplice di universo: un universo vuoto
Nell’equazione (2.7), se ipotizzassimo un universo vuoto, senza alcuna componente di quelle finora
discusse, rimarrebbe solo il termine di curvatura :
̇
(2.8)
Questa sarebbe l’equazione che descrive l’evoluzione di un siffatto universo. Prima di trattare la
soluzione per un tale modello, voglio soffermarmi sul fatto che un universo vuoto è pensabile come
un’approssimazione possibile nel caso in cui il parametro di densità si riducesse, per l’espansione,
al punto da essere
cioè qualora la densità totale fosse molto inferiore alla densità critica (cfr
§1.8). Soluzioni per la (2.8) sono tanto il caso più semplice
̇
, cioè uno spazio statico,
spazialmente piatto, la cui geometria è descritta dalla metrica di Minkowsky, tanto il caso di uno
spazio a curvatura negativa
che determina una soluzione sia per un universo in espansione
che in contrazione:
̇
(2.9)
Prendendo in esame la soluzione con segno positivo, quella cioè relativa all’espansione, integrando
e imponendo la condizione di normalizzazione
si arriva a scrivere che in questo universo
il fattore di scala evolve secondo la legge temporale seguente:
con
(2.10)
36
cioè in un universo vuoto dotato di curvatura negativa, il fattore di scala evolve linearmente col
tempo e quindi in assenza di forze interne che agiscano su tale movimento2, il tempo , che risulta
essere proprio uguale al tempo di Hubble
, coincide con l’età esatta di questo universo.
Quando, inoltre, in esso, pensato non come vuoto ma come spazio dotato di un valore infinitesimo
del parametro di densità, un osservatore nell’istante
riceva la luce di una galassia a redshift
sarebbe facile stabilire in virtù della (1.45) e della (2.10) quale possa essere stato l’istante
di
emissione del segnale:
(2.11)
da cui segue che:
(2.12)
ed utilizzando la definizione di distanza propria data in (1.43) si può stabilire, noto l’andamento del
fattore di scala , qual è la distanza di tale sorgente nel momento in cui la si osserva:
( )
(2.13)
ed espressa in termini di redshift è:
(2.14)
Osservando quest’ultima relazione si vede chiaramente che per
ci si riconduce ad una
relazione lineare tra e , cioè a quanto sperimentalmente trovato da Hubble nella sua legge. Per
redshifts molto grandi, invece,
, visto nell’altro senso, questo significa che per distanze
⁄ , cioè ben oltre la distanza di Hubble, il redshift cresce esponenzialmente.
molto grandi,
In un universo vuoto la cui età è pari a
, anche se sembra contrario a ciò che è intuitivo, si
potrebbero osservare oggetti molto più lontani della distanza di Hubble ⁄ , quindi posti a
distanza arbitrariamente grande, perché, per quanto al tempo questa distanza risulta tale, al tempo
dell’emissione , invece, la distanza propria tra osservatore e sorgente ha un valore più piccolo di
⁄
un fattore ⁄
essendo tale il rapporto
), quindi:
(2.15)
2
Ipotesi giustificata dall’assenza di densità di materia-energia, o comunque da un suo valore infinitesimo.
37
perciò nell’istante dell’emissione osservatore e sorgente erano molto più vicini. In un universo
vuoto in espansione la
cresce fino ad un massimo in
e poi decresce, quindi,
in virtù dell’andamento non lineare di
, oggetti con redshifts ben più alti di questo valore
sono visti come erano all’inizio nella storia dell’universo, quando la loro distanza propria
dall’osservatore era molto piccola.
2.3 Modelli di universo spazialmente piatto
Voglio ora esaminare modelli di universo a singola componente, risolvendo l’equazione di
Friedmann, presa di volta in volta con un’unica componente e nell’ulteriore ipotesi di spazio a
curvatura nulla
. Esaminando il caso generale, senza specificare per ora , ossia di quale
componente si parli, posso fare un’analisi qualitativa del tipo di funzione che descrive l’andamento
del fattore di scala e che rappresenta la soluzione dell’equazione (2.7) riscritta per un universo
spazialmente piatto e con singola componente nel seguente modo:
̇
(2.16)
Cerco per il fattore di scala un andamento del tipo
con determinabile attraverso la
(2.16) per sostituzione, uguagliando così gli esponenti che compaiono nel membro di destra e di
sinistra relativamente all’incognita , si trova che l’esponente cercato è:
e quindi
imponendo la condizione di normalizzazione si stabilisce che, in un universo spazialmente piatto
formato dalla sola componente di indice , ad esclusione3 del caso
, il fattore di scala ha il
seguente andamento temporale:
( )
⁄
(2.17)
Sulla base di quanto visto nel precedente paragrafo possiamo dire che un universo rappresentato da
un fattore di scala che evolve secondo tale legge temporale ha un’età di:
(
)
⁄
(2.18)
la costante di Hubble è data da:
̇
( )
3
(2.19)
Il metodo analitico usato nella ricerca di soluzioni della(2.7) introduce una condizione di non esistenza per
38
.
espressione che posso utilizzare per scrivere l’età in funzione del tempo di Hubble
:
(2.20)
Ciò, per coerenza di notazione con quanto già discusso negli altri casi, facilita il confronto tra un
modello e l’altro. Rispetto a quanto stabilito nel § 2.2, cioè che l’età di un universo vuoto sarebbe
proprio il tempo di Hubble:
, posso dire che un universo con componenti caratterizzate da un
⁄ risulterebbe più giovane, mentre uno costituito da componenti tali che
⁄
sarebbe più vecchio. Avendo, qui, senso considerare una densità di energia senza dover specificare
la componente che la produce, nota la relazione generale tra ed il fattore di scala (2.4), si può
stabilire che in questo modello la densità di energia varia nel tempo secondo la seguente legge di
potenza :
( )
(2.21)
dove
è la densità di energia del particolare universo considerato al tempo
ed il fatto che
all’esponente non compaia , ne denota l’indipendenza dalla composizione dell’universo stesso.
Per quanto riguarda il dar conto delle distanze e di quanto lontano si arriva a osservare in questo
tipo di universo, ricordando che si sta parlando di spazi in cui è sottesa la metrica di Robertson
Walker, si può definire la distanza propria massima che un oggetto può avere per risultare ancora
visibile da un osservatore, nota come l’orizzonte delle particelle:
(2.22)
questa è la distanza percorsa dalla luce nel tempo intercorso tra l’istante iniziale
e
momento esatto in cui la si osserva. L’orizzonte, nell’universo, è un’ideale superficie sferica
centrata sull’osservatore, al di là della quale non può essere osservato nulla, poiché la luce
proveniente da oggetti più distanti non ha ancora avuto tempo di raggiungere l’osservatore. Dando
alla (2.22) espressione esplicita in un universo spazialmente piatto si ha:
(2.23)
da questa si evince che in un universo con curvatura nulla la distanza dell’orizzonte ha un valore
⁄ . Nel caso di universo dominato da materia ( =0) o da radiazione ( =
finito qualora
⁄ ), quindi, un osservatore può avere informazioni relative soltanto alla porzione di cosmo
racchiusa nel suo orizzonte che ha una dimensione finita, perché tutti i punti che si trovano al di
fuori di questa ideale sfera non sono connessi causalmente con la sua posizione, in quanto non
hanno avuto abbastanza tempo per inviare informazioni. Al contrario in un universo dominato da
⁄ l’orizzonte è una distanza infinita, quindi tutti i punti dello spazio sono
componenti con
connessi causalmente con l’osservatore e si può arrivare ad osservare oggetti, assumendo la
trasparenza dell’universo, tanto distanti nello spazio da fornire un’immagine altamente spostata
verso il rosso dell’universo primordiale. Nei prossimi paragrafi esaminerò specifici casi di universi
dominati di volta in volta da ognuna delle componenti note.
39
2.3.1 UNIVERSO DI SOLA MATERIA
Come primo caso di universo a curvatura nulla contenente una sola componente prendo in esame
quello in cui sia presente la sola materia non relativistica (
), il cosiddetto universo di
Einstein-De Sitter. Utilizzando le formule date nel caso generale appena presentato, qui risulta che
l’età di tale universo è:
⁄
ed il fattore di scala
La distanza propria al tempo di osservazione di una galassia a redshift
l’integrale:
è determinabile con
l’orizzonte è ad una distanza dall’ipotetico osservatore di
evolve come una funzione del tempo data da:
( )
⁄
⁄
[
( )
⁄
]
[
√
]
Mentre la distanza propria al tempo di emissione risulta più piccola di
di un fattore ⁄
(cfr 2.2). Ribadisco che è utile sviluppare un modello con unica componente la materia, nella
misura in cui tale circostanza risulta essere una buona approssimazione almeno di una fase
attraversata dal nostro universo, quella in cui la materia non relativistica può esser stata dominante.
Sicuramente, i dati osservativi dimostrano che ben prima che ciò accadesse, c’è stata una fase in cui
l’universo è stato dominato dalla radiazione almeno fino al tempo di equivalenza tra radiazione e
materia, perciò è di particolare interesse esaminare cosa accade in un modello contenente solo
radiazione.
2.3.2 UNIVERSO DI SOLA RADIAZIONE
Quando il nostro universo era molto giovane il suo stato somigliava molto a quello descritto da un
modello spazialmente piatto in cui la radiazione era dominante su ogni altra componente. Avendo
⁄ , in un universo piatto contenente la sola
visto che alla radiazione compete il valore
radiazione il fattore di scala ha un andamento:
( )
⁄
(2.27)
ed essendo l’età di un tale universo pari a:
l’orizzonte ha esattamente le dimensioni della distanza di Hubble:
(2.28)
40
La distanza propria di una galassia a redshift
tempo come si vede dalla sua espressione:
⁄
⁄
[
( )
⁄
al tempo d’osservazione
]
cresce linearmente col
(2.29)
nella quale ho utilizzato la relazione tra il redshift ed il fattore di scala (1.48), mentre la distanza
dell’oggetto al tempo di emissione, tenendo conto della stessa, è:
(2.30)
Considerare l’andamento della densità di energia in questo universo fatto di radiazione ci permette
di valutare per quali scale temporali questo modello dell’universo sia una buona approssimazione
della fase iniziale della sua storia e quanto questa descrizione si avvicini all’istante iniziale
.
Ammesso per il fattore di scala l’andamento espresso dalla (2.27), si ricava dalla (2.4) che la densità
di energia evolve come segue:
( )
(2.31)
dal momento che ci interessano scale temporali molto piccole, posso esprimere
in unità di
4
Planck , così da stabilire un confronto col tempo di Planck (
. La legge temporale
appena scritta porta a dire che
per
cioè che negli istanti iniziali la densità di fotoni
era infinita ed ognuno di essi possedeva un’energia infinita, questo ci suggerisce l’impossibilità di
descrivere attraverso una teoria classica come la Relatività Generale, che c’ha fatto arrivare
all’equazione di Friedmann, i momenti che sono nell’intorno dello zero del nostro modello, poiché
la trattazione di tali istanti richiede una teoria quantistica della gravitazione. In conclusione si può
dire che andando a guardare l’universo com’era all’inizio, a tempi dell’ordine di
lo si può
pensare riempito da fotoni, in quanto la loro densità e la loro energia erano molto alte, come
suggeriscono le leggi di corpo nero applicate alla descrizione dello stato di un universo dominato
dalla radiazione in equilibrio con la materia, ma per tempi anteriori al tempo di Planck si dimostra
4
Il sistema di Planck è usato spesso in cosmologia poiché in esso le grandezze principali: tempo, massa, lunghezza e
⁄
⁄
temperatura, sono espresse in termini delle costanti universali
ad esempio
,
costituendo le cosiddette unità di Planck.
41
che il numero di fotoni nell’universo visibile, cioè quelli contenuti nell’orizzonte al tempo sono in
numero inferiore a 1, come suggerisce la5:
( )
⁄
(2.32)
e la quantizzazione dell’universo non può essere più ignorata quando il numero di fotoni comincia
ad essere piccolo, ossia dell’ordine di
, condizione che si verifica ad un tempo
.
Dunque il modello di uno spazio piatto contenente solo radiazione è applicabile alla descrizione del
nostro universo a partire da tempi dell’ordine di
fino al tempo dell’equivalenza tra radiazione e
materia. In attesa di una teoria di gravità quantistica la storia dell’universo per noi inizia a poter
essere raccontata a , con la fase in cui ha dominato la radiazione, circostanza che non sorprende
considerando che l’andamento della densità di energia associata alla materia diminuisce con
l’espansione più lentamente (abbiam visto di un fattore 10) della densità di radiazione, per cui la
densità di energia dell’universo primordiale era dominata da quest’ultima. La transizione verso la
materia è avvenuta ad un dato istante quando le perturbazioni hanno iniziato a crescere per effetto
dei processi di condensazione gravitazionale dando luogo al disaccoppiamento tra materia barionica
e radiazione. Il secondo istante caratteristico in questa fase dominata dalla radiazione è il tempo
della ricombinazione quando gli elettroni e gli ioni si ricombinano per formare atomi neutri.
L’emissione dei fotoni della radiazione cosmica di fondo (CMBR), che osserviamo ancora oggi,
provengono da quel momento, perché da allora hanno viaggiato null’universo quasi completamente
indisturbati, ma di questo darò cenno più avanti.
2.3.3 UNIVERSO DOMINATO DA Λ
Il caso di un universo nel quale il contributo predominante alla densità di energia è dato dalla
costante cosmologica, anche chiamato universo di De Sitter è quello in cui l’equazione di
Friedmann si scrive come:
̇
(2.33)
dove
è costante come si evince dalla (2.4), da qui ricavo per
(
)
l’espressione:
(2.34)
⁄̅
Nella (2.32)
, mentre la densità del numero di fotoni è
dove il valore medio
dell’energia dei fotoni è ricavabile dall’equazione di corpo nero considerando che nella fase di radiazione la
⁄
temperatura dell’universo è esprimibile come:
( ⁄ )
e ̅
5
42
Segue che la soluzione che descrive l’evoluzione del fattore di scala in questo universo in
espansione è una funzione esponenziale :
(2.35)
Dunque un universo spazialmente piatto dominato dalla costante cosmologica ha un’espansione
esponenziale, inoltre se rappresenta l’energia del vuoto, il fatto che la sua densità non cambia col
tempo è dovuta alla creazione ed annichilazione continua di particelle ed antiparticelle. L’età di un
tale universo è infinitamente grande e la distanza dell’orizzonte è infinita, l’espressione per la
distanza propria di un oggetto a redshift al tempo è:
[
]
(2.36)
Questo è l’unico modello di universo in cui la distanza ed il redshift hanno una relazione lineare per
qualsiasi valore di , mentre negli altri modelli ciò sussiste solo per
. Per la distanza propria
al tempo di emissione abbiamo invece la relazione:
(2.37)
Queste due relazioni ci dicono che gli oggetti ad alto redshift
vengono visti
dall’osservatore per come erano appena prima che raggiungessero la distanza di Hubble ⁄ ,
perché una volta che una sorgente di luce è più lontana di tale distanza la sua velocità di recessione
è più alta di quella della luce6 ed i fotoni in questione non possono più raggiungere l’osservatore:
⁄ .
per
,
e
A conclusione di questa analisi fatta, ponendoci nella condizione di curvatura nulla, sugli universi a
singola componente, riassumo nella tabella di seguito gli andamenti del fattore di scala in funzione
del tempo e della densità di energia in funzione di
in ognuno dei casi considerati :
COMPONENTE ENERGETICA
Materia
Radiazione
Costante cosmologica
⁄
⁄
Tab 2.1
6
Non deve meravigliare che in questo contesto si possa parlare di velocità maggiori di quelle della luce, perché il
postulato sul valore massimo di velocità ammesso, pari a , è una condizione richiesta dalla relatività speciale dove lo
spazio è statico.
43
Ed al fine di rendere più evidente un confronto sull’evoluzione che ognuno dei modelli studiati
suggerisce per il relativo universo, è utile riportare su un grafico gli andamenti del fattore di scala
trovati per universi spazialmente piatti dominati da singola componente e per un universo vuoto,
come rappresentato di seguito:
Nella figura 2.1 è riportato l’andamento del fattore di
scala
nel tempo (in funzione del parametro
adimensionale
nel caso di universi piatti con
singola componente: materia, radiazione e costante
cosmologica e universi privi di materia o altra forma di
energia.
Fig 2.1
Presentati i modelli più semplici che si possono considerare per l’evoluzione dell’universo descritto
dall’equazione di Friedmann, passo ora a considerare situazioni più complesse in cui sviluppo
modelli a più componenti, cioè considero le soluzioni possibili per l’equazione scritta per più
elementi insieme.
2.4 Modelli per l’universo con più componenti
Per studiare l’equazione di Friedmann nella sua forma più complessa è utile darne l’espressione in
termini del parametro di densità. Infatti da essa risulta che a
il termine di curvatura è
⁄
⁄ )
(
(cfr 1.8); mentre il termine relativo alla densità può essere scritto
considerando che
e che la densità di ogni singola componente può essere
espressa in funzione del valore stimato oggi7 e del fattore di scala8 (cfr2.4), posso allora riscrivere
l’equazione di Friedmann nel seguente modo:
7
Col pedice ‘ ₀ ’mi riferisco a tutte le grandezze ed i parametri variabili nel tempo valutati oggi a
44
( )
da cui segue:
( )
(2.38)
i parametri che compaiono nell’equazione così scritta possono essere stimati sulla base dei dati
osservativi e ciò rende meno complessa la ricerca di soluzioni per l’andamento del fattore di scala in
un universo in espansione dove si considerano più componenti che apportano un diverso contributo
alla soluzione cercata rendendola analiticamente più complessa che non nei modelli a singola
componente. Sottolineando qui il fatto che nel nostro attuale modello di riferimento dei parametri
reali che si accordano meglio con la teoria, si stima che
ossia un universo spazialmente
piatto, per una trattazione completa e che non si vuole limitare all’approssimazione con un termine
di curvatura nulla, si considera la quantità
come parametro di curvatura, dove dunque
si lega la curvatura alla densità di energia totale dell’universo e si capisce chiaramente che il suo
segno è determinato dalla somma dei parametri di densità delle tre componenti. Più avanti
discutendo le prove sperimentali che hanno portato a valutare il valore attuale di tali parametri darò
conto del fatto che il nostro modello cosmologico descrive l’universo reale avente curvatura
prossima allo zero, dominato dalla costante cosmologica, essendo
mentre per la materia e
la radiazione si stimano rispettivamente i valori
e
. Sempre sulla base di studi
relativi ad osservazioni, principalmente del fondo cosmico e della distanza di supernove di tipo Ia in
galassie remote, si è potuto stabilire che nella storia della sua espansione l’universo, quando non
fosse dominato dalla singola componente, ha attraversato fasi in cui la densità di due sole
componenti per volta si è potuta considerare comparabile, rispetto alla terza che era invece
trascurabile. Per la descrizione di queste epoche si usa, dunque, un modello a due componenti per
l’equazione di Friedmann. All’inizio di questo capitolo ho spiegato come stabilire i due valori del
fattore di scala
e
significa individuare proprio l’inizio di due epoche di questo genere.
⁄
Dunque quando
l’universo è entrato in una fase in cui ad essere comparabili son
state la densità di radiazione e quella di materia e nel momento in cui
materia e
costante cosmologica si son eguagliate in densità per cui ha avuto inizio una nuova fase. I motivi e
le circostanze per cui ciò si è verificato dipendono tanto dalla dinamica dell’universo, tanto dai
processi fisici in gioco nelle diverse epoche i quali sono molto differenti a seconda dell’energia
media dei fotoni interagenti con la materia, fattore discriminante ed indicativo di essa è la
8
⁄
⁄
⁄
I singoli parametri di densità sono
,
e
dove
,
,
(cfr (2.4)), ricordo anche che
, i valori di tali parametri sono oggi quelli di
riferimento che compaiono nel modello che meglio approssima con i dati reali il modello teorico per l’universo.
45
temperatura assegnabile nello specifico periodo all’universo, infatti dal momento che esso è in
espansione diminuisce e poiché non ci può essere scambio di calore con l’esterno(cfr 1.9) il
raffreddamento è adiabatico e avviene secondo un andamento del tipo
, relazione che
discende dalla conservazione dell’energia e dalla
valida per un gas di radiazione in
equilibrio con la materia(legge di Stephan-Boltzman per il corpo nero)9 [4], dunque non è riduttivo
affermare che la storia dell’evoluzione dell’universo è soprattutto una storia termica e che seguire
l’andamento di
significa tanto seguire il tempo cosmico quanto la temperatura del cosmo in
virtù della relazione appena scritta. Inoltre, insieme alla temperatura, quindi all’energia cinetica
media, uno dei fattori principali da cui dipende la frequenza d’interazione tra le particelle (mi
riferisco soprattutto ai processi di scattering ) è la densità e quindi, nell’universo in espansione è
necessariamente funzione del fattore di scala
e l’equilibrio tra le componenti, cui ho appena
fatto riferimento, si stabilisce in virtù del confronto tra il rate con cui le particelle interagiscono e
quello di espansione: ogni volta che la velocità con cui avvengono i processi di diffusione tra le
particelle è maggiore della velocità di espansione lo stato delle particelle è d’equilibrio[12]. Passo
ora ad esaminare i modelli di universo a due componenti qui introdotti, sottolineando il fatto che
questi vengono sviluppati per un universo con curvatura nulla, sulla base dei dati sperimentali che,
come già detto, portano a pensare l’universo spazialmente piatto, benché l’interesse per modelli di
universo con curvatura diversa da zero rimane, perché lo sviluppo di uno studio teorico in tal senso
dà utili conoscenze circa il legame tra espansione, densità e curvatura. Essendo stato questo oggetto
di discussione e speculazione in cosmologia, il dibattito è stato accompagnato da diversi modelli di
universo possibile, a partire dai tempi di Einstein in cui si è pensato ad un universo curvo dominato
da materia ( ,
per poi passare a pensare a possibili universi curvi in cui fosse presente
prevalentemente materia e costante cosmologica (
), fino a che le prove sperimentali
hanno indicato oggi un universo spazialmente piatto con radiazione, materia e costante cosmologica
che si possono riconoscere aver contribuito in modo differente nelle diverse fasi a seconda del
reciproco peso nel definire il parametro di densità totale.
2.4.1 RADIAZIONE E MATERIA
⁄
La stima degli attuali parametri
e
ci ha permesso di riconoscere in
il
momento in cui la densità di radiazione e quella di materia si sono uguagliate e l’universo, pensato
9
L’assunzione di adiabaticità è giustificata solo in assenza di processi che liberino l’energia interna di qualche
componente della materia, per esempio durante una fase di annichilazione di coppie
in fotoni, aumenta
mentre rimane costante, ovvero lo spettro di radiazione non è più di corpo nero, un grande rilascio di energia
interna costituisce un’assunzione in una delle più importanti teorie inflazionarie. Tuttavia nella descrizione delle fasi
cosmologiche qui trattate l’equazione
viene assunta approssimativamente valida.
46
spazialmente piatto, è passato da una fase in cui la radiazione ha dominato l’evoluzione secondo la
(2.27) ad una fase, nell’intorno di questo tempo di equivalenza (
, descrivibile attraverso
l’equazione di Friedmann espressa per le due componenti in gioco nella forma approssimata:
(2.39)
questa una volta integrata ci porta ad ottenere la seguente relazione per il tempo in funzione del
fattore di scala:
√
[
(
)(
)
⁄
]
(2.40)
dalla quale si può calcolare il momento dell’equivalenza ponendo
parametri stimati nel modello di riferimento:
che questo tempo è:
e sempre con i valori dei
e
si trova
Dunque nel modello cosmologico attuale, con i valori numerici calcolati sulla base delle
osservazioni, possiamo dire che l’epoca in cui la radiazione è stata dominante (
è durata
appena 47 millenni, un numero davvero piccolo se confrontato con l’intera età dell’universo e ciò
giustifica il fatto di poter ignorare il ruolo della radiazione nel calcolare tale età come apparirà
chiaro nel prossimo paragrafo.
2.4.2 MATERIA E COSTANTE COSMOLOGICA
La fase recente che sta attraversando il nostro universo sembra possa essere descritta con buona
approssimazione dall’equazione di Friedmann relativa ad uno spazio piatto in cui le componenti
dominanti siano la materia e la costante cosmologica. Questo significa che i relativi parametri di
densità sono legati dalla relazione:
(2.41)
tale approssimazione ci permette di scrivere l’equazione di Friedmann come:
(2.42)
Da essa si possono innaninzitutto fare valutazioni qualitative circa l’espansione dell’universo in
relazione al reciproco valore dei parametri di densità in gioco; infatti considerando che il primo
contributo all’andamento del fattore di scala, dato dalla materia, è sempre positivo poiché
, che l’universo possa continuare ad espandersi o deceleri e torni a collassare in quello che viene
chiamato un Big Crunch dipende dal valore di
. Le evidenze sperimentali portano a credere che
la costante cosmologica contribuisca positivamente al parametro di densità e ciò significa che se
all’istante sta avvenendo un’espansione, essa continuerà per sempre andando verso un cosiddetto
47
Big Chill. Diverso sarebbe il caso in cui si avesse
, con
in virtù della (2.41),
perché l’espansione si arresterebbe nel momento in cui il fattore di scala fosse pari a:
(
)
⁄
cioè ad un valore massimo, cui seguirebbe un collasso dovuto al fatto che la costante cosmologica
produrrebbe una forza attrattiva e si ritornerebbe ad
in un tempo, calcolabile integrando la
(2.42) per
, pari a:
√
così chiamato perché la contrazione finirebbe in un Big Crunch. Questo tempo è tanto più piccolo
quanto più è grande
. Questo sarebbe un destino analogo a quello di un universo di sola materia
con curvatura positiva, ma l’esistenza ulteriore di una costante cosmologica in grado di produrre
attrazione renderebbe molto più breve la durata di questa contrazione nel momento in cui
divenisse dominante. Sebbene le leggi fisiche lo permettano, però le evidenze dicono che viviamo
in un universo con costante cosmologica positiva ed in base ai valori stimati per relativi parametri di
densità si è stabilito che il momento in cui le densità di materia e quella di costante cosmologica
hanno raggiunto l’equivalenza è contraddistinto da un fattore di scala di ampiezza pari a:
(
)
⁄
(2.43)
Tale momento, che chiamiamo
si arriva alla soluzione analitica:
√
[(
)
⁄
√
, è calcolabile per integrazione della (2.42). Infatti con
(
) ]
,
(2.44)
Se in essa assumo che
,
e
, cioè i valori
attualmente riconosciuti attendibili per tali parametri, per
ottengo che
valore che indica come tale equivalenza sia avvenuta molto più recentemente, su scale
cosmologiche, rispetto all’equivalenza tra radiazione e materia(
; mentre per
,
posso arrivare ad una stima dell’età dell’universo pari a :
(2.45)
Ricordo che con sto indicando l’istante attuale, avendo già sottolineato, nel precedente paragrafo,
quanto la fase dominata dalla radiazione (che qui non sto considerando) sia poco significativa nel
computo di tale valore, si comprende come questo numero approssimi bene l’età delle stelle più
antiche che si osservano, come dimostrano i dati sperimentali relativi alle stelle di bassa metallicità
che si trovano negli ammassi globulari, lo studio della cui evoluzione porta a stabilire che
[33]. L’età dell’universo dunque è uno degli argomenti a favore dell’esistenza di
energia oscura [18] con una densità comparabile a quella della materia, proprio perché se non
48
s’introducesse una componente con l’effetto di produrre accelerazione non ci si spiegherebbe come
in un universo di sola materia possano esistere oggetti la cui età supera l’età stimabile per esso cioè
⁄
(cfr. 2.3.1). Inoltre in questo modello la funzione che descrive
l’evoluzione temporale del fattore di scala ottenibile dalla (2.44), si riconduce ad un andamento del
tipo ⁄ per
, come ci si aspetta in un universo dominato dalla sola materia, mentre tende
ad un andamento esponenziale del tipo
per
, cioè esattamente ciò che il modello
standard in accordo con i dati osservativi indica per l’evoluzione del nostro universo e cioè
un’epoca dominata dalla costante cosmologica con accelerazione nell’espansione, fase che sembra
già in atto, stando alla valutazione delle misure sulle distanze di supernovae di tipo Ia recentemente
effettuate.
Figura2.2: Andamento temporale della densità di energia in funzione del fattore di scala per le differenti componenti in un
universo piatto: materia non relativistica, radiazione e costante cosmologica. Tutto espresso in unità della densità critica
calcolata ad oggi. Sebbene materia e costante cosmologica siano attualmente dominanti, nell’universo primordiale la densità
di radiazione era molto grande. Nel grafico è indicata con aeq l’epoca in cui materia e radiazione si sono eguagliate.
2.5 I numeri del modello per l’attuale universo
Dopo aver delineato i modelli teorici che servono ad interpretare le diverse fasi che ha attraversato
l’universo nella sua evoluzione e che, valutazioni sperimentali hanno avvalorato con i dati
osservativi, indicherò con ordine quali sono i valori che, nel confronto tra il modello teorico e le
49
osservazioni, si possono assegnare ai parametri che compaiono nel modello standard e che
costituiscono un ideale modello di riferimento numerico.
I dati osservativi portano ad affermare che l’universo è spazialmente piatto, contenente radiazione,
materia e costante cosmologica di cui si può dar conto con la stima dei rispettivi parametri di
densità attuali (tab 2.2); tutti i calcoli relativi al tempo cosmico e alle distanze proprie sono
effettuati assegnando alla costante di Hubble il valore
.
Quando si parla di densità di radiazione nel nostro modello ci si riferisce al fondo cosmico di fotoni
nelle microonde (CMB) alla temperatura odierna di 2.75 K e al fondo cosmico di neutrini
relativistici, la cui densità di energia è teoricamente calcolata essere pari al 68% di quella della
CMB; già ho chiarito il fatto che avviene una transizione per i neutrini di qualsiasi sapore
dall’essere considerati radiazione all’essere invece materia quando la loro energia decresce fino
all’energia di riposo
, così il neutrino passa da componente relativistica a non relativistica
quando il fattore di scala è
entrando quindi ad essere annoverato nella
componente di materia, come possibile candidato per la materia oscura, non potendo comunque
essere energeticamente dominante dato che le misure attuali stimano che il parametro di densità ad
essi relativo ammonti a
. Infatti, quando si parla di materia s’intende e la materia
barionica , cioè la forma di materia che conosciamo ordinariamente, quella composta da neutroni,
protoni ed elettroni ad essi associati nella sua costituzione e la materia non barionica, quella
annoverata come dark matter. Nella definizione di
vengono stimati separatamente i due
contributi rivelando che le stelle, le galassie, le nebulose e quant’altro riusciamo ad individuare
esistere nel nostro universo in grado di inviarci segnali luminosi rappresenta dell’intera densità di
materia solo il 10% circa, mentre il restante 90% è dato dalla materia oscura, quando si parla di
materia oscura ci si può riferire, in generale, ad ogni componente massiva che abbia luminosità
troppo bassa per poter essere rivelata dagli strumenti di cui disponiamo oggi, oppure secondo una
definizione più restrittiva ogni componente massiva che non emette, non assorbe e non riflette luce
ed è quindi rivelabile attraverso gli effetti gravitazionali che ha sulla materia in grado di emettere
luce. Tuttavia la maggior parte della densità di energia dell’universo attuale è data dall’energia
oscura, che nel modello teorico standard è rappresenta dalla costante cosmologica .
Seguendo l’evoluzione dell’universo attraverso l’andamento temporale del fattore di scala
,
riassumo che le osservazioni in accordo col nostro modello teorico ci permettono di dire che, a
partire da tempi in cui si può riconoscere una densità di fotoni sufficientemente alta da far
abbandonare la trattazione quantistica della gravità (
, l’espansione dell’universo è stata
dominata dalla radiazione ed in questa fase possiamo approssimare l’andamento del fattore di scala
⁄
secondo la
almeno fino al cosiddetto tempo di equivalenza radiazione-materia che è
⁄
calcolato esser stato quando l’universo aveva
essendo
50
, da questo momento in poi l’universo è entrato gradualmente in una fase dominata dalla
⁄
materia seguendo una legge del tipo
per passare, a partire dal tempo dell’equivalenza
tra materia e costante cosmologica
corrispondente ad un fattore di scala
ad un ‘epoca dominata da , che su scala temporale cosmica sembra essere vicino all’età che
10 e
stiamo vivendo oggi al tempo
, fase in cui riconosciamo un’evoluzione
esprimibile attraverso una legge esponenziale del tipo
, registrando, per l’appunto,
un’accelerazione nell’espansione.
Se spostiamo l’attenzione dalle distanze temporali alle distanze spaziali proprie, l’assegnare, sulla
base delle osservazioni, dei valori ai parametri di densità parziali e il poter delineare sulla base delle
stesse un andamento per
che approssimi quello teorico, qui studiato nelle diverse fasi a partire
dalla (2.38), ci permette di valutare il nostro orizzonte come limite per
di
, arrivando a
dire che:
⁄
(2.46)
sui dati attualmente disponibili, dunque, il modello ci dice che possiamo osservare oggetti distanti,
oggi, fino a
, a cui corrisponde una distanza propria al tempo di emissione pari al valore
⁄ che si raggiunge per galassie con redshift
massimo (
. Da quest’ultimo
dato appare chiaro come quando si osserva una sorgente ci si possa chiedere quanto è distante da
noi e a questo si risponde valutando la distanza propria
e quanto tempo è intercorso tra
l’istante di osservazione e quello di emissione , cioè per quanto tempo la luce ha viaggiato per
arrivare fino a noi. La risposta a questa domanda sta nella valutazione di
che dipende
⁄ , mentre a
strettamente dal modello cosmologico usato: per piccoli redshifts essa è
redshifts più grandi la relazione diventa non lineare. Questo modello che descrive al meglio
l’universo così come appare dai dati osservativi e che nel calcolare ad esempio le distanze proprie in
funzione di (grandezza misurabile) ci permette di disegnare su un grafico una curva che si
collochi tra l’andamento teorico suggerito dal modello dominato da e quello relativo ad universo
dominato dalla materia, ci ha permesso di stabilire per le galassie più lontane, osservate all’inizio
⁄
del ventunesimo secolo a redshift
, una distanza propria di
,
⁄
cioè circa il 60% della distanza dell’orizzonte stabilita e una
distanza propria al tempo in cui la luce è stata emessa cioè quando l’universo aveva un’età
da cui in base al valore
stimato nel nostro modello numerico
di riferimento, segue che
. Appare evidente come guardare oggetti a redshift via
10
Notiamo che nel modello di riferimento numerico che sto delineando sulla base dei dati sperimentali che meglio
approssimano la teoria,
, prossimo cioè al tempo di Hubble.
51
via più grande significhi osservare sorgenti di un universo molto giovane, viene da sé che lo studio
di tali oggetti ci dà informazioni importanti e testimonianza dei processi fisici in atto a quel tempo
per stabilire la composizione dell’universo e l’evoluzione delle strutture che in esso si sono
formate col passare del tempo, nonché valutare che rapporto intercorre tra distanza e redshift
misurato, permette di stabilire se l’espansione è accelerata o meno..
Nel prossimo capitolo verranno presentate le quantità osservabili che hanno rilevanza nella
determinazione dei parametri cosmologici attuali (a
, di cui infine do conto nella seguente
tabella e grafico rappresentativo:
fotoni
neutrini
Totale radiazione
materia barionica
materia oscura
Totale materia
Costante cosmologica
3.4
(tab 2.2)
Parametri di densità oggi
dark energy≈0.70
dark matter≈0.26
materia barionica≈0.04
radiazione≈8.4 ∙10⁻⁵
Figura 2.2: il grafico rappresenta quale porzione della densità totale dell’universo è associabile, oggi, ad ognuna delle
componenti in termini del parametro di densità relativo
52
2.6 La moderna cosmologia
Il poter disporre da parte dei cosmologi di una quantità via via maggiore di dati provenienti da
esperimenti che si sono avvalsi negli anni di strumenti sempre più potenti e sensibili nell’indagare
l’universo tanto sulla distanza quanto sulla sua composizione, è ciò che ha permesso di delineare il
modello standard provando con le osservazioni la teoria del Big Bang. In questa struttura, dove
cosmologia teorica ed osservativa s’incontrano riconosciamo tre pilastri che sono le prove
fondamentali del modello stesso[12] : il diagramma di Hubble11 che testimonia l’espansione,
l’abbondanza di elementi leggeri che è in accordo con la nucleosintesi del big bang (BBN) ed infine
l’esistenza della CMBR (Cosmic Microwave Background Radiation) ciò che rimane della
radiazione di corpo nero emessa dall’universo primordiale (quando cioè aveva solo poche centinaia
di migliaia di anni) nella fase in cui materia e radiazione erano in equilibrio termico ad una
temperatura molto elevata(
, come previsto dalla teoria del Hot Big Bang.
Gli studi che si sono compiuti negli ultimi vent’anni e proseguono tutt’oggi nel costruire un
modello cosmologico sempre più aderente alla realtà stanno delineando i seguenti sviluppi sia
teorici che osservativi: l’esistenza tanto della materia oscura quanto dell’energia oscura e le ipotesi
sulla loro natura e composizione, la necessità di comprendere l’evoluzione delle perturbazioni
intorno all’ordine zero (smooth universe) e il meccanismo stesso a cui oggi si attribuisce la loro
generazione, cioè l’inflazione[12]. È chiaro che per continuare a costruire un modello fisico solido
per descrivere il nostro universo occorre spiegare la sua fase primordiale.
La teoria della nucleosintesi primordiale del Big bang che spiega la produzione dei nuclei degli
elementi leggeri quali idrogeno, elio, deuterio subito dopo il Big bang e la teoria dell’inflazione, che
prevedrebbe una fase di espansione esponenziale dell’universo nei suoi primi istanti di vita, si
occupano di descrivere fenomeni avvenuti nelle prime fasi di esistenza ed espansione dell’universo,
ma il cui risultato può essere rintracciabile oggi nelle osservazioni di quantità quali ad esempio,
rispettivamente, l’abbondanza di elementi leggeri e le caratteristiche dello spettro di potenza del
fondo cosmico. Quindi la loro attendibilità sta nelle predizioni che consentono di fare e che trovano
accordo con le osservazioni come più volte nel prossimo capitolo avrò modo di sottolineare. Della
stima di , quindi del diagramma di Hubble e della valutazione circa l’attuale fase di espansione
parlerò in dettaglio nel prossimo capitolo riferendomi ai dati sperimentali provenienti
principalmente dagli studi condotti sulle supernovae di tipo Ia negli ultimi venti anni, qui in
conclusione vorrei dar conto, seppur non in dettaglio, degli altri due argomenti cosmologici
fondanti del nostro modello: la nucleosintesi degli elemeni leggeri e la CMB.
11
Il diagramma di Hubble si riferisce al grafico della legge stessa di Hubble, quel grafico che disegnò lui per primo nel
1929 mettendo in relazione le velocità di recessione( espresse tramite il redshift osservato) con le distanze misurate
delle galassie prese in esame, dimostrando che l’interpolazione dei dati permetteva di disegnare una retta di
pendenza .
53
2.6.1 LA NUCLEOSINTESI DEL BIG BANG
Osservazioni di nebulose primordiali rivelano l’abbondanza di elementi leggeri, inspiegabile
attraverso la nucleosintesi stellare, ma in accordo con le previsioni teoriche della nucleosintesi del
Big Bang(BBN). Infatti nonostante le difficoltà analitiche circa lo studio dei processi nucleari della
fase iniziale di un universo in espansione e in raffreddamento (in virtù della
ed anche
quelle relative alle misure che oggi possono compiersi a tal riguardo, le previsioni della teoria nota
come Nucleosintesi del Big Bang (BBN) risultano in notevole accordo con i dati osservativi.
Cronologicamente la BBN è avvenuta nella fase dominata dalla radiazione, quando le dimensioni
spaziali dell’ universo erano contraddistinte da un fattore di scala dell’ordine di
(
⁄
cfr 2.1) ed esso era molto caldo e denso. Ripercorrendo l’evoluzione in termini di
temperatura12 ( ) e di processi fisici energeticamente consentiti a quella specifica temperatura,
⁄
quando
era dell’ordine del
non esistevano né nuclei, né atomi legati, poiché
l’abbondanza di fotoni di alta energia presenti impediva la loro stabilità, provocandone l’immediata
distruzione qualora si fossero formati [12]. La BBN è la teoria relativa alla formazione dei nuclei
nell’universo primordiale e affinché protoni e neutroni si fondessero per formare i nuclei più
leggeri è stato necessario che l’energia media delle particelle interagenti scendesse ben al di sotto
del
, infatti l’energia tipica di legame per i nucleoni è in quest’ordine di grandezza, come si
vede chiaramente nel processo che porta alla formazione del nucleo di deuterio ( ), l’isotopo più
leggero dell’Idrogeno ( ):
, dove
è la sua energia di
legame nucleare, in termini di temperatura si stima che ciò sia accaduto a
corrispondente ad un tempo
, la nucleosintesi dunque è iniziata quando la temperatura è
scesa abbastanza da essere
, ci si può aspettare che possa avvenire anche prima,
tuttavia il gran numero di fotoni per nucleone impedisce che a temperature più alte il processo
prenda piede[15]. La formazione dei nuclei13 di
, è energeticamente favorita rispetto
agli altri e ciò spiegherebbe l’attuale abbondanza di elementi leggeri( insieme all’idrogeno il cui
nucleo è semplicemente costituito da un protone) nell’universo e nelle strutture che si sono formate
in esso a quel tempo, visibile tuttora, infatti guardando l’universo odierno potremmo dire che la
nucleosintesi del big bang è stata inefficiente[1] in quanto ha generato solo nuclei di elementi
leggeri poiché gli elementi più pesanti non sono sintetizzati nel Big bang, ma provengono da
esplosioni di supernovae in tempi successivi. Attualmente il 75% della materia barionica
12
In questo paragrafo esprimerò la temperatura indifferentemente in Kelvin o in elettronvolt, intendendo che nel
primo caso mi riferisco allo stato termico e nel secondo allo stato energetico (agitazione termica) che può essere
associato a quello termico essendo la costante di Boltzmann
il fattore di conversione tra
l’una e l’altra unità di misura.
13
Se si segue l’andamento dell’energia di legame per nucleone in funzione del numero di massa (
, cioè la
somma dei nucleoni
che in quanto numero atomico definisce l’elemento e
che definisce l’isotopo dell’elemento in questione) si vede che energeticamente i nuclei più
favoriti nel formarsi sono quelli degli isotopi dell’idrogeno (deuterio , tritio ) e dell’elio (³
, oltre all’elio stesso.
54
dell’universo è nella forma di idrogeno ionizzato, mentre l’elio primordiale(
(cioè quello che
14
non proviene dalla nucleosintesi stellare )è solitamente espresso da un numero adimensionale:
che rappresenta il rapporto tra la densità di massa di
e la densità di tutta la materia barionica,
l’osservazione di oggetti come stelle o nubi di gas testimonia che
, cioè che sono fatti di
elio almeno al 24%. Queste percentuali sono spiegabili se si guarda in che proporzione erano i
nucleoni tra loro nell’universo primordiale, poiché è la scarsità di neutroni rispetto ai protoni che
spiega come la BBN possa essere stata incompleta lasciando ⁄ dei barioni in forma di protoni
non legati (nuclei di idrogeno).
Innanzitutto i neutroni liberi non sono particelle stabili in quanto decadono in un tempo
attraverso la reazione:
̅ nella quale la differenza di energia a riposo tra neutrone e
protone, pari a
, si ripartisce tra energia a riposo dell’elettrone
ed energia cinetica dell’elettrone e dell’antineutrino elettronico. Solo una volta
legato in un nucleo stabile il neutrone è preservato dal decadimento. La teoria spiega che fino a
temperature dell’ordine di
, cui corrisponde un’energia media per i fotoni di
sono stati attivi i processi di creazione di coppie:
e le reazioni che mantenevano l’equilibrio tra il numero di protoni e quello di neutroni:
̅
In questo stato di equilibrio il rapporto tra la densità del numero di neutroni (
(
può essere allora descritta da una legge esponenziale del tipo:
(
)
e quella di protoni
(2.47)
che proviene dall’aver potuto utilizzare la legge di distribuzione di Maxwell-Boltzmann15 tanto per
quanto per . Dalla (2.47) si evince che finché
è stato dell’ordine del
si è mantenuto
14
Le stelle in sequenza principale convertono l’idrogeno in elio attraverso le reazioni di fusione nucleare che
avvengono prima al loro interno, per poi spostarsi nelle fasi successive della loro evoluzione nelle shells via via più
esterne.
55
l’equilibrio, nel momento in cui
è scesa al di sotto di
l’equilibrio non è stato
mantenuto ed i protoni hanno iniziato ad essere favoriti (in quanto la loro massa è leggermente più
piccola di quella dei neutroni). I processi in cui neutrini (o antineutrini) interagiscono con i barioni
son governati da interazioni deboli caratterizzate da una sezione d’urto tipica esprimibile come:
(
)
⁄
Considerando che in un universo dominato dalla radiazione si ha che
(cfr
2.3.2), allora
, poiché la densità dei neutrini segue un andamento del tipo
⁄
possiamo dire che il tasso d’interazione dei neutrini con protoni e neutroni attraverso le forze
⁄
deboli decresce rapidamente in virtù della relazione
che lo definisce. Per il
parametro di Hubble invece risulta un andamento decrescente del tipo
, confrontando
questo rate d’espansione con quello d’interazione debole, diciamo che quando
i neutrini si
disaccoppiano dai neutroni e dai protoni, ossia le interazioni deboli cessano ed il rapporto tra
neutroni e protoni si congela, si stima che ciò sia avvenuto ad una temperatura
(ovvero
, quindi dalla (2.47) si deduce che nel momento in cui la temperatura è
scesa ulteriormente
, circostanza che si ipotizza essere avvenuta quando l’universo
aveva appena
, il rapporto neutroni/protoni è rimasto congelato a:
(
)
(
)
Dunque per tempi compresi nell’intervallo
si stima che nell’universo ci fosse un
neutrone ogni cinque protoni
Il fatto che un protone si possa fondere con un neutrone molto più facilmente che non due protoni a
formare il deuterio, poiché la prima reazione richiede un’energia ben inferiore che non
l’avvicinamento di due cariche positive, dove deve essere superata la barriera della repulsione
coulombiana, porta a considerare la sintesi di secondo la reazione:
piuttosto che
secondo la
cui compete, tra l’altro, una sezione d’urto del tipo
essendo un
processo in cui agiscono forze nucleari deboli, quindi molto inferiore alla sezione d’urto che
15
Finché le reazioni in cui neutroni si convertono in protoni e viceversa si mantengono in equilibrio si può utilizzare
l’equazione di Maxwell Boltzmann per descriverne la densità numerica:
(
)
⁄
(
(
), dove il peso statistico dei protoni e dei neutroni è lo stesso:
56
)
⁄
(
) e
.
compete alla fusione tra un protone ed un neutrone in cui entra in gioco la forza nucleare forte.
Possiamo dire all’ordine più basso di approssimazione che la BBN procede finché ogni neutrone
libero si lega in un nucleo atomico lasciando liberi i protoni residui. In quest’approssimazione si è
⁄ . Il fatto che il valore osservato
calcolato che il valore massimo16 possibile per è
non superi quello estremale previsto dalla teoria è indicativo della validità della stessa ed
il fatto che numericamente non coincidono è attribuibile a circostanze che hanno comportato una
riduzione del valore attualmente osservabile della frazione di elio rispetto a
, ad esempio
potrebbe essersi verificato che la nucleosintesi non si sia innescata immediatamente dopo
e
che ciò abbia causato il decadimento di una parte dei neutroni, o il fatto che parte dei neutroni
abbiano formato con i protoni altri nuclei più leggeri di
come e ³
che non contribuiscono
a o addirittura che la nucleosintesi sia durata abbastanza da produrre nuclei più pesanti dell’elio
tanto da ridurre il valore di . Riguardo la formazione di questi ulteriori nuclei la BBN prevede la
presenza di isotopi dell’elio
, del litio
la cui formazione è subordinata a
quella dei nuclei di deuterio, poiché i processi della loro sintesi coinvolgono , per il quale è
teorizzata un’abbondanza di
deuteroni per protone[12] ed il deuterio compare anche nella
formazione del tritio
e di altri isotopi ancora, nonché in processi che portano alla sintesi stessa
del nucleo di
. Chiaramente la produzione di
ed altri nuclei dipende da vari
parametri fisici, ma soprattutto dal rapporto tra barioni e fotoni che chiamo , più è grande il valore
di più alta sarà la temperatura alla quale può iniziare la sintesi del deuterio e prima s’innesca la
nucleosintesi che durerà un tempo maggiore rispetto al caso in cui fosse più piccolo, il processo di
espansione dell’universo infatti genera un decremento nel tempo della sua densità e temperatura,
entrambi fattori che determinano l’arrestarsi della nucleosintesi . Prima ha inizio la BBN e più
efficiente è la produzione di elio e ridotta la quantità di ed
residui, quindi più è grande e
più è grande
e piccola la densità di deuterio primordiale. Dunque
diventa un parametro
fondamentale per valutare la nucleosintesi e l’accordo tra le sue previsioni e le osservazioni, un
modo per determinarlo è la misura dell’abbondanza primordiale del deuterio, per quanto appena
spiegato. È stata misurata, infatti, la frazione di deuterio presente nelle nubi di idrogeno ad alto
redshift che assorbono la luce da quasar a redshift ancora più grandi: poiché queste nubi sono ad
alto redshift, poco dopo che il processo di formazione del deuterio si pensa abbia avuto luogo, i
valori osservati danno una valutazione ragionevole delle abbondanze primordiali e sono in accordo
⁄
con quanto previsto dalla BBN infatti il valore misurato è
,
coincidente con quello teorico espresso prima; tradotto in termini di rapporto barioni su fotoni si
trova che
consistente anche col valore che di recente è stato determinato
16
⁄
⁄ , considerando un gruppo rappresentativo di 2 neutroni e 10 protoni,
Dato il valore
possono
fondersi con
a formare un singolo nucleo di elio
, i rimanenti 8 protoni rimarranno non legati, la frazione di
⁄
⁄ .
massa di
sarà allora
57
da misure sui pesi relativi dei primi due picchi acustici(cfr nota 18) dello spettro di potenza della
CMB effettuate dal satellite WMAP [12]. Il valore di può essere tra l’altro convertito nel valore
della densità del numero di barioni nell’universo attuale attraverso la relazione:
,
infatti, noto, da misurazioni del fondo cosmico, il numero di fotoni per unità di volume
posso scrivere che
ed in termini di densità di energia posso
invece dire che
(
)
e quindi, coerentemente con la tab 2.2, si ritrova che il
parametro
di
densità
della
materia
barionica
nell’universo
attuale
è
⁄
(essendo la densità critica necessaria per un universo chiuso
pari, oggi, a
cfr1.8), stima alla quale si perviene anche con altre
misurazioni di cui darò conto nel prossimo capitolo.
2.7 La radiazione di fondo cosmico
La CMBR(Cosmic Microwave Background Radiation) è la radiazione dominante nell’universo ed
uno dei più potenti strumenti cosmologici che sia mai stato trovato. Infatti come la scoperta della
sua esistenza ha rappresentato una prova fondamentale per la teoria del Big Bang caldo, così lo
studio accurato del suo spettro di potenza17, relativo alle anisotropie di temperatura, cui sono state
dedicate molte missioni di ricerca condotte sia nella stratosfera18 terrestre(BOOMERANG) sia in
orbita (COBE, WMAP, e ultimo il satellite PLANCK lanciato il 14 maggio del 2009), continua a
presentare risvolti fondamentali che ampliano le nostre conoscenze cosmologiche, infatti le
anisotropie dell’intensità della radiazione, rilevabili come picchi acustici nella curva spettrale, sono
correlate a molti argomenti cosmologici in studio: il parametro di densità barionico (come indicato
nel paragrafo precedente), la curvatura dell’universo, recenti misure del fondo cosmico hanno
portato, infatti, ad una valutazione diretta della geometria dell’universo [6] l’idea che c’è dietro
questa misura consiste nel fatto che la radiazione di fondo proviene dalla superficie di ultimo
scattering che può essere pensata come una shell sferica ad un redshift che si stima esser
,
potendo definire su tale superficie una lunghezza di riferimento, che si è stabilito essere l’ampiezza
17
Lo spettro di potenza della CMB consiste nell’esprimere le fluttuazioni di temperatura del segnale, che si misurano
osservandolo lungo direzioni di vista differenti(da qui si parla di anisotropie), in serie di multipoli dove l’ordine del
multipolo è indicativo della loro dimensione angolare, a sua volta connessa alla dimensione fisica che le perturbazioni
di densità da cui derivano hanno sulla superficie di ultimo scattering.
18
L’esigenza dell’esperimento BOOMERang(Ballon Observation of Millimetric Extragalactic Radiation and Geophysics)
di portare il telescopio ad un’altitudine di
è stato per ridurre l’effetto di assorbimento delle microonde da parte
dell’atmosfera terrestre. Ognuna delle missioni citate ha indagato lo spettro della CMB a diverse lunghezze d’onda. IL
satellite COBE(COsmic Background Explorer) lanciato nel 1989 è stato il primo a misurare accuratamente lo spettro
della CMB su un ampio range di lunghezze d’onda attraverso l’impiego di tre strumenti: DIRBE(
,FIRAS
e DMR
58
dell’orizzonte19 (sound horizon) al tempo dell’ultimo scattering, una determinazione della
dimensione angolare associata a tale lunghezza permette la valutazione della geometria sottesa, che
da tale misura sembrerebbe coerente con il modello di universo piatto.
Negli anni sessanta dello scorso secolo Robert Dicke ed il suo gruppo di ricerca della Princeton
University avevano dedotto che se l’universo ha avuto origine in uno stato caldo e denso, doveva
essere ora riempito di fotoni nelle lunghezze d’onda delle microonde (la cui esistenza era già stata
predetta da George Gamow nel 1948) e mentre c’era in progetto la costruzione di un’antenna radio
in grado di verificarne l’esistenza, Arno Penzias e Robert Wilson [23], due radioastronomi,
lavorando ai Bell-Laboratories con un’antenna radio per le telecomunicazioni satellitari hanno
rilevato casualmente tale segnale di fondo, considerandolo dapprima un rumore del loro sistema di
misura e accorgendosi poi che si trattava di una reale radiazione di fondo che non mostrava una
direzione di provenienza privilegiata, ma era la stessa in qualsiasi modo si posizionasse l’antenna,
dunque questo era già un forte indizio della sua isotropia e di quella dell’intero cosmo, nonché
un’immagine dell’ universo quando aveva soltanto
Le osservazioni hanno dimostrato che lo spettro del fondo cosmico è in ottimo accordo con uno
spettro di corpo nero con temperatura, ad oggi, pari a
. In un universo nato
dal Big Bang la radiazione di fondo cosmico emerge necessariamente se l’universo all’inizio era
molto denso e molto caldo (ben più di quanto risulta oggi per via dell’espansione), se assumiamo
per la temperatura iniziale un valore di
in tali condizioni la materia barionica è
completamente ionizzata e gli elettroni liberi causano l’opacità dell’universo, le innumerevoli
collisioni tra elettroni e fotoni (scattering Thompson) inoltre assicuravano l’equilibrio termico tra
radiazione e materia e così l’universo presentandosi come un corpo caldo denso e opaco (cioè il
cammino libero medio di un fotone era molto breve) produceva una radiazione di corpo nero. In
particolare la radiazione del fondo cosmico a microonde è l’immagine della superficie di ultimo
scattering20 tra fotoni ed elettroni avvenuto al tempo della ricombinazione tra protoni ed elettroni,
infatti dopo il processo di Nucleosintesi l’universo rimase un plasma barionico fino a quando
l’espansione portò la temperatura a scendere intorno a
, si stima ciò sia avvenuto
19
All’epoca in cui si è originata la CMB la radiazione era dominante, il mezzo era relativistico e la velocità del suono
vicina alla velocità della luce, quindi si può parlare di sound horizon come la scala più grande oltre la quale effetti
causali al tempo della creazione della superficie di ultimo scattering possono aver lasciato un’impronta. Fluttuazioni di
densità su tali scale risulterebbero in oscillazioni acustiche sul fluido materia-radiazione, per questo riferendoci allo
spettro di potenza della CMB parliamo di picchi acustici: la pressione dei fotoni si oppone all’attrazione gravitazionale
dei barioni i quali, in movimento molto più lento rispetto ai primi, tendono a formare delle regioni più dense, i picchi
sono correlati con questi modi di oscillazione, infatti quando un modo d’oscillazione è alla sua ampiezza massima i
fotoni si dissociano e alle risonanze di tali modi corrispondono i picchi osservati.
20
La superficie di ultimo scattering ha una profondità in quanto il disaccoppiamento di fotoni e barioni non avviene
istantaneamente, ma richiede invece una frazione apprezzabile di età dell’universo fino a tale epoca, per questo
quando ci riferiamo al redshift della superficie di last scattering parliamo di
, mentre a volte parlando di
quello della radiazione di fondo nel suo insieme ci si può riferire ad uno
un po’ più grande.
59
dopo il Big Bang, a questo punto l’universo era sufficientemente freddo da
permettere agli elettroni di potersi legare con i nuclei e formare l’idrogeno neutro, processo che
viene chiamato Ricombinazione, la radiazione di corpo nero emessa durante questo processo
divenne visibile all’epoca del disaccoppiamento, quando lo scattering Thompson tra elettroni liberi
e fotoni terminò in quanto il tasso di interazioni tra fotoni ed elettroni divenne minore del rate
d’espansione dell’universo (il parametro di Hubble) così i fotoni si disaccoppiarono dalla materia e
l’universo divenne trasparente. La radiazione emessa allora, si stima a
( prossimo alla
superficie di ultimo scattering), con spettro di corpo nero, è osservabile ancora oggi come tale21 ad
⁄
una temperatura chiaramente molto inferiore (
) rispetto a quella di
emissione
. L’intensità specifica di un gas di fotoni con uno spettro di corpo nero è:
⁄
{
⁄
(2.48)
}
da qui si vede come la distribuzione in frequenze dello spettro è dipendente da
ed anche la
posizione del picco, lo strumento FIRAS ha permesso di valutare quanto lo spettro della CMB
osservato fosse prossimo a quello teoricamente previsto di un corpo nero a temperatura
e di individuarne il picco22 a
(fig 2.3) che spiega il termine microonde nella sigla con
cui la si indica: Cosmic Microwave Background. La forma dello spettro è data dal termine
esponenziale(cfr. nota 21), calcolando l’argomento della funzione esponenziale a due tempi diversi
nel corso dell’espansione, cioè a due differenti temperature
e , si possono scrivere i due
⁄
argomenti in termini di lunghezze d’onda come: ⁄
e
, in cui si vede che
tanto la temperatura è passata da
a , tanto la lunghezza d’onda da
a , poiché per via
⁄
dell’espansione
va come
(segue da 1.47) mentre
va come
in virtù
⁄
dell’assunto
, il loro prodotto rimane costante ed è per questo che la forma dello spettro
rimane di corpo nero durante l’espansione.
21
Il fatto che la quantità ⁄ sia un’invariante di Lorentz ha permesso il conservarsi della forma dello spettro, dove
è l’intensità dei fotoni della radiazione di corpo nero ad una certa frequenza , come mostra la legge di
distribuzione di Planck:
( )
⁄
che esprime il flusso di energia dei fotoni nell’intervallo di
frequenza
e che spiega analiticamente lo spettro della radiazione di corpo nero.
22
Il picco nello spettro corrisponde all’energia media, quindi alla lunghezza d’onda media dei fotoni.
60
Figura2.3: Lo spettro del CMB come risulta da dati osservativi raccolti da FIRAS ed altri strumenti impiegati nella sua
misura ed il suo accordo con la curva teorica di uno spettro di corpo nero a
riportata con linea tratteggiata.
La densità di energia della CMB è calcolabile attraverso la legge di Stefan-Boltzman valida per
radiazione di corpo nero
, dove è la costante di StefanBoltzman, mentre il numero di fotoni per unità di volume (già introdotto nel paragrafo precedente) è
, dunque l’energia attuale dei fotoni del fondo cosmico è
, un
valore molto piccolo se comparato ad esempio all’energia necessaria per fotoionizzare un
atomo(
o un nucleo (
).
L’informazione principale che ci dà la CMB è che l’universo primordiale era ampiamente isotropo,
infatti la sua attuale distribuzione estremamente uniforme è una testimonianza dell’uniformità della
distribuzione di materia prima del disaccoppiamento, in realtà la CMB ha delle anisotropie che si
presentano all’osservazione come fluttuazioni di temperatura su scale del
e ciò è in linea con le
teorie di formazione delle strutture, le quali affermano che le strutture cosmiche che noi osserviamo
oggi: stelle, galassie, ammassi, devono aver avuto origine da disomogeneità primordiali nella
densità di materia prodotte dal meccanismo dell’Inflation [15] o da oscillazioni acustiche nel
plasma barionico prima del disaccoppiamento. La dimensione angolare delle fluttuazioni di
temperatura ( ), valutabile oggi con le osservazioni, è legata alla dimensione fisica delle
61
fluttuazioni di densità nel plasma barionico ( ) sulla superficie di ultimo scattering dalla
⁄ , dove è la nostra distanza di diametro angolare da essa (cfr §3.2).
relazione:
L’ampiezza delle fluttuazioni è ben descritta espandendo in serie di multipoli la variazione della
temperatura di brillanza23 del segnale, quindi le anisotropie vengono studiate scomponendo il
segnale in armoniche sferiche
:
∑
∑
(2.49)
dove
sono i coefficienti dell’espansione, che seguono una statistica gaussiana e e sono le
coordinate polari. Poiché la CMB è una radiazione di corpo nero, esiste una correlazione tra i valori
che ⁄ assume in due punti qualsiasi della superficie di ultimo scattering, infatti posto che i due
punti siano visti dall’osservatore secondo le due direzioni di vista ̂ e ̂ , separate da un angolo ,
cioè tali che
̂ ̂ , rimane definita la funzione di correlazione:
⟨
̂
̂ ⟩̂
(2.50)
̂
la quale afferma che moltiplicando il valore che ⁄ ha nelle due direzioni separate da un angolo
e mediando su tutti i punti contraddistinti da questa relazione con l’osservatore, si ottiene una
funzione che dipende solo da . Se si conoscesse con precisione il valore di
per tutti gli angoli
da
a
, si avrebbe una descrizione statistica completa delle fluttuazioni di
temperatura su tutte le scale angolari. I dati osservativi prodotti dalle varie missioni già menzionate
ci forniscono informazioni su un range limitato di scale angolari per via di un limite in risoluzione
angolare delle misure effettuate24. Attraverso la (2.49) possiamo riscrivere la funzione di
correlazione nella forma:
∑
(2.51)
23
La brillanza
è la quantità di luce emessa da una sorgente alla frequenza , in generale la temperatura di brillanza
⁄
è
, per un corpo nero tale che
la temperatura di brillanza corrisponde alla
temperatura fisica del corpo
è cioè indipendente dalla frequenza, mentre in generale dipende da essa.
24
La missione Planck (2009) ha come obiettivo una mappatura del fondo cosmico dell’intero cielo con una risoluzione
angolare maggiore delle missioni precedenti(da
a qualche
), infatti ad esempio lo strumento DMR
a bordo della missione spaziale COBE, che diede nel 1992 la prima evidenza sperimentale delle anisotropie ha fornito
dati con una bassa risoluzione angolare
, con BOOMERANG e WMAP si è arrivati a mappare ⁄ al di sotto di
scale dei
.
62
Dove sono i polinomi di Legendre, in questo modo la funzione di correlazione
è data in
serie dei suoi momenti di multipolo
che rappresentano i coefficienti di tale sviluppo in serie.
⟨|
L’insieme dei valori
| ⟩ viene chiamato spettro di potenza, infatti è usuale graficare la
quantità
in funzione di e riferirsi a tale grafico come spettro di potenza della CMB, esso
rappresenta la distribuzione statistica delle anisotropie di temperatura alle varie scale angolari,
infatti il termine rappresenta in sostanza una misura delle fluttuazioni di temperatura su scale
⁄ , ciò dà un’idea della relazione d’interscambiabilità tra
angolari dell’ordine di
25
multipolo
e scala angolare . Nelle anisotropie distinguiamo scale angolari diverse che
corrispondono a epoche differenti in cui hanno avuto origine e fenomeni differenti che le hanno
prodotte [24]: quelle piccole
sono relative a oscillazioni acustiche nel plasma primordiale
che generano fluttuazioni di temperatura, ma la cui origine è difficile da stabilire per via
dell’accoppiamento dei fotoni con la materia barionica e quelle presenti al tempo del
disaccoppiamento (corrispondenti a scale angolari più grandi:
, che si collocano prima
dell’Inflation), quando diversi fotoni vennero rilasciati da regioni dello spazio che presentavano
lieve differenza nel potenziale gravitazionale, infatti le fluttuazioni della densità di massa che prima
della ricombinazione erano stabilizzate dal campo di radiazione, successivamente ad essa divennero
instabili ed in grado di collassare gravitazionalmente [16], poiché i fotoni nel risalire un potenziale
gravitazionale subiscono redshift in quanto perdono energia, quelli provenienti da regioni
leggermente più dense hanno subito un redshift maggiore rispetto a quelli provenienti da regioni in
cui l’attrazione gravitazionale era inferiore, ciò ha prodotto piccole anisotropie nella temperatura
della CMB osservate oggi, la creazione di fluttuazioni di temperatura nel potenziale gravitazionale è
noto come effetto Sachs-Wolfe. La forma dello spettro di potenza dipende dal modello e
dall’insieme dei parametri cosmologici, una misura accurata delle anisotropie della CMB consente
di derivare i parametri cosmologici mediante un fit dello spettro di potenza misurato al variare dei
modelli e dei parametri stessi. Tanto la scala angolare dei picchi, tanto la loro posizione danno
importanti informazioni sulla curvatura dell’universo, come accennato all’inizio del paragrafo,
quindi su
e sulla natura delle perturbazioni primordiali della densità: per un universo piatto
(
) la teoria aveva previsto un picco a
(
)26 e questo è risultato in
25
Le osservazioni mostrano che il termine di monopolo (
) della funzione di correlazione svanisce, il termine di
dipolo(
), dovuto ad uno spostamento doppler nel segnale registrato per via del movimento dell’osservatore,
viene sottratto nel grafico dello spettro di potenza.
26
Per un osservatore posto sulla Terra
è l’ampiezza angolare con la quale verrebbe vista sulla superficie di
ultimo scattering una lunghezza pari a ⁄
, che è il valore assunto dalla distanza di Hubble a
⁄ , essendo
cioè al tempo della superficie di ultimo scattering: in virtù della
⁄
la distanza angolare della superficie di ultimo scattering da noi. Quindi trovare un picco nella curva
a questa scala angolare avvalora l’assunzione di un modello di universo spazialmente piatto, poiché il valore
di
è stato calcolato assumendo che all’epoca della ricombinazione l’universo potesse essere descritto da un
modello a curvatura nulla dominato dalla materia (cfr. 2.3.1). Esso è anche il picco più alto perché rappresenta le
63
eccellente accordo con le osservazioni che avvalorano il modello di universo piatto. Di recente il
satellite WMAP ha fornito un’accurata misura di queste anisotropie mostrando questo notevole
accordo tra modello teorico e spettro di potenza sperimentalmente osservato (fig. 2.4).
Figura 2.4: Spettro di potenza delle anisotropie di temperatura della CMB in termini di scala angolare (o momenti di
multipolo), la linea continua mostra l’andamento teorico, mentre i punti rappresentano i dati sperimentali. I dati provengono
da varie missioni WMAP (2006), Acbar (2004), Boomerang(2005), CBI (2004) VSA (2004).
Lo spettro di potenza presenta anche anisotropie secondarie, cioè generate successivamente
all’emissione dei fotoni della CMB, dovute a vari fenomeni tra cui l’ interazioni con la materia a
differenti temperature incontrata nel suo percorso, ad esempio gli elettroni caldi nei gas ionizzati
presenti negli ammassi di galassie provocano sui fotoni della radiazione di fondo che li attraversano
una diffusione Compton inversa e ciò genera delle piccole distorsioni nello spettro della CMB nella
direzione degli ammassi, questo è chiamato effetto Sunyaev-Zel’dovich, questo e anche ad altri
effetti, come quello di lente gravitazionale, modificano lo spettro e la distribuzione di luminosità
della radiazione di fondo [16], o l’effetto Sachs-Wolfe integrato (ISW) dovuto all’attraversamento
da parte dei fotoni di buche di potenziale variabilie durante la loro propagazione. Il termine di
dipolo (
è dovuto allo spostamento Doppler che risulta sul segnale a causa della
composizione dei movimenti cui partecipiamo come osservatori: il moto di rivoluzione della Terra
buche di potenziale all’interno delle quali il fluido fotoni-barioni aveva appena raggiunto la massima compressione al
tempo dell’ultimo scattering.
64
intorno al Sole, il moto del Sole intorno al centro della galassia, il moto orbitale della nostra
galassia intorno al centro di massa del Gruppo Locale, che nel suo insieme è coinvolto in un moto
con velocità peculiare verso l’ammasso della Vergine, tale termine viene sottratto nello spettro di
potenza che risulta corretto da tale distorsione.
2.8 L’Effetto Sachs-Wolfe integrato
Lo studio delle anisotropie della CMB è anche uno strumento per indagare la presenza della dark
energy e contribuire a porre vincoli ai modelli che vengono proposti per la sua interpretazione,
come avrò modo di mostrare nei prossimi capitoli. Il legame tra le anisotropie e la dark energy si
manifesta in due effetti fondamentali prodotti dalla presenza dell’energia oscura sulla struttura delle
anisotropie: il primo effetto è lo spostamento della posizione dei picchi acustici dovuto alle
modifiche nella distanza di diametro angolare, il secondo effetto è l’ effetto Sachs-Wolfe integrato
(ISW) causato dalle variazioni del potenziale gravitazionale e a differenza dell’effetto Sachs-Wolfe
di cui sopra, prodotto sulla superficie di ultimo scattering, l’ISW è causato dal redshift
gravitazionale che però avviene tra la superficie di ultimo scattering e la Terra, cioè l’osservatore.
Infatti la propagazione dei fotoni del fondo cosmico a microonde avviene in uno spazio-tempo
perturbato, poiché le perturbazioni presenti nel fluido cosmico prima dell’ultimo scattering
evolvono anch’esse insieme all’universo, quindi l’attraversamento da parte dei fotoni di buche di
potenziale variabile, fa sì che il blueshift che il fotone subisce durante la caduta nella buca non è
pari al redshift a cui è sottoposto mentre se ne allontana, perché il potenziale non è costante, quindi
non compensandosi i due spostamenti in frequenza, l’effetto finale sul generico fotone è un
guadagno o una perdita di energia, esprimibile in variazione di temperatura.
La teoria delle perturbazioni ci permette di dare un’espressione formale all’ISW, infatti essendo
questo effetto prodotto sui fotoni del fondo cosmico dal loro propagarsi in uno spazio-tempo
perturbato, chiedersi come avviene tale propagazione significa risolvere le equazioni relative al loro
moto:
(2.52)
(2.53)
nella metrica FRW perturbata27. La (2.52) è la condizione di annullamento che verifica il fotone la
cui linea d’universo è del genere luce, dove
=
27
è il momento del fotone e
un parametro
Le equazioni per il modello cosmologico sono state sviluppate in una metrica FRW non perturbata, di background, in
uno sviluppo della teoria relativistica che considera perturbazioni al primo ordine, si parte dal perturbare la metrica
65
affine riconducibile al tempo conforme
, con cui è parametrizzata la curva percorsa
dall’istante di emissione( ) all’istante di osservazione( ), individuata dalla (2.53) che è l’equazione
della geodetica. Risolvere queste nella metrica perturbata dà la variazione nella frequenza dei fotoni
e nel cammino percorso in una metrica non omogenea. Nella soluzione dell’equazione (2.53) per
trovo l’espressione dell’ampiezza dell’effetto ISW data dall’integrale sul percorso del fotone:
[ ̇
( )
̇
]
(2.54)
dove
e sono i potenziali che descrivono la gravità nella gauge Newtoniana e sono definiti
rispettivamente come le componenti tempo-tempo e spazio-spazio delle perturbazioni del tensore
metrico.
Tra i vari termini che contribuiscono alle fluttuazioni di temperatura nella radiazione di fondo
cosmico, quello dovuto all’ISW è un termine legato alla linea di vista e contiene informazioni
sull’universo recente, inoltre il potenziale gravitazionale è costante per un universo dominato da
materia e quindi non produce un segnale ISW. Questo significa che l’effetto Sachs-Wolfe integrato
è una prova diretta della presenza di qualcosa che non sia semplicemente la materia priva di
pressione.
scrivendola come somma della parte di background
e di una parte che costituisce la perturbazione
:
, poiché in RG le equazioni di campo sono invarianti per trasformazioni generali di coordinate implica che
la separazione del tensore metrico in una componente di background ed una perturbata non è unica, si può
selezionare allora una classe di trasformazioni infinitesime che lasciano invariata
e solo
è soggetta al
cambiamento, sono le trasformazioni di gauge. La gauge di Newton è caratterizzata dall’avere:
(
)
Dove e sono scalari,
è un 3-vettore e
è un 3-tensore a traccia nulla, dipendono tutti dallo spazio e dal
tempo. Mettersi in questa gauge significa scegliere per il sistema perturbato un set di coordinate in caduta libera con
le particelle nel campo gravitazionale perturbato. A partire da questa espressione perturbata della metrica ogni altra
quantità:
,
, saranno scritti in tale forma: background + perturbazione.
66
CAPITOLO 3
Osservabili Cosmologiche e componenti dell’universo
In questo capitolo presenterò alcune osservabili fisiche d’interesse cosmologico. Il modello teorico,
infatti, trova accordo con le osservazioni dell’universo attuale attraverso la misura di grandezze che
permettono di porre vincoli sul valore dei parametri di densità (qui pongo l’attenzione su
),
che consentono una stima del parametro di decelerazione , che definirò nel prossimo paragrafo, il
quale dà conto dell’andamento dell’espansione e portano ad una misura indiretta di
che è oggi il
parametro più importante per descrivere l’universo fisico in quanto imposta una scala per la
maggior parte delle altre grandezze in cosmologia [6].
3.1 Parametri cosmologici e osservabili fisiche
La soluzione dell’equazione di Friedmann implica la conoscenza della densità di energia
dell’universo per poter dar conto direttamente di
ed è evidente la difficoltà oggettiva che ciò
comporta, ma l’andamento del fattore di scala può essere dedotto indirettamente attraverso
osservazioni di oggetti celesti distanti che permettono di porre dei vincoli sul suo valore e di
valutare l’andamento dell’espansione. Infatti si può definire una quantità detta parametro di
decelerazione
la cui misurazione ci dice se l’espansione dell’universo sta accelerando o meno.
Per il fatto che un apprezzabile cambiamento nell’andamento del fattore di scala si ha su scale
temporali cosmiche, è possibile pensare che in un intorno del tempo attuale il fattore di scala sia
esprimibile attraverso uno sviluppo in serie di Taylor, di cui andiamo a considerare solo i primi
termini:
( )
(
)
(3.1)
Usando la condizione di normalizzazione
(cfr 1.6) possiamo riscrivere questa come:
(3.2)
̇
( )
dove
̈
( ̇ )
e il parametro di decelerazione è la quantità:
(
̈
)
(3.3)
da cui si deduce che
risulta negativo se ̈
cioè quando l’espansione è accelerata mentre ha
un valore positivo se ̈
ossia quando l’espansione è decelerata.
La possibilità di misurare
o comunque stimarlo dalle osservazioni ci viene in linea teorica
innanzi tutto dal fatto che esso è esprimibile tramite i parametri di densità attuali (cfr tab 2.2), infatti
dall’equazione di accelerazione (1.61) scritta per componenti risulta che:
67
̈
∑
dividendo questa per
relazione:
(3.4)
e calcolandola oggi a
si ottiene per il parametro di decelerazione la
∑
(3.5)
e quindi per l’attuale universo contenente materia, radiazione e costante cosmologica risulta:
(3.6)
è quindi legato ai valori dei parametri dati in tab 2.2 da cui si ha che
e
quindi che
, in particolare il valore che suggeriscono le osservazioni è
cioè il
nostro universo è in una fase di espansione accelerata. Il motivo per cui
è definito negativo
quando l’universo è in espansione accelerata, è dovuto al fatto che negli anni cinquanta quando è
stato introdotto come parametro cosmologico si pensava che l’universo fosse dominato dalla
materia e quindi in espansione decelerata, condizione che portò dunque a questa convenzione.
Esistono relazioni che legano
a quantità direttamente osservabili, come la distanza delle sorgenti
da noi, di cui darò conto più avanti, che hanno permesso di misurarne indirettamente il valore. La
(3.6), invece, è una relazione che consente, per così dire, un test di controllo per porre dei vincoli
sui parametri
, confrontando il valore misurato di con quello teorico da essa espresso.
La conoscenza, invece, della costante di Hubble deducibile, per piccoli valori di dalla legge
lineare sull’espansione (1.2) (il diagramma di Hubble) dove
rappresenta la pendenza della retta
che si può tracciare graficando il redshift in funzione della distanza degli oggetti che si osservano,
non è così facilmente determinabile, poiché benché misurare il redshift di una sorgente non
comporta particolari problemi, non si può dire altrettanto circa la misura della distanza della stessa e
questa fu la difficoltà che incontrò anche Hubble e che lo indusse in errore nello stimare
in
eccesso, addirittura di un fattore 7 rispetto al valore attualmente riconosciuto (cfr 2.5). Infatti in un
universo in espansione non è così banale misurare una distanza. In linea teorica ho dato la
definizione di distanza propria (1.44) che rappresenta il concetto più lineare di distanza
nell’universo che si espande, pensando di seguire infatti la geodetica di un raggio luminoso, ho
potuto definire la distanza propria attuale dell’oggetto osservato come:
(3.7)
Dove è l’istante di emissione e l’istante attuale in cui avviene l’osservazione. Inoltre partendo
dall’equazione di Friedmann (2.38) data in termini dei parametri
e dove il parametro di
curvatura è scritto come
:
68
⁄
poiché
, considerando l’integrazione dell’equazione così espressa posso dare per la
distanza propria anche un’espressione in termini dei parametri di densità, come:
⁄
L’integrazione della (3.7) richiede l’esatta forma funzionale di
, che non conosciamo, dunque
possiamo ricorrere alla sua espansione in serie di Taylor per inserire nell’integrale la quantità:
(
)
(3.8)
e arrivare a dare per la distanza propria la seguente forma approssimata in funzione dell’intervallo
includendo solo i due termini di ordine più basso:
(3.9)
in questa espressione il primo termine rappresenta la distanza che l’oggetto avrebbe in un universo
statico, mentre il secondo è la correzione dovuta al fatto che, nell’intervallo di tempo
in
cui la luce ha viaggiato, lo spazio ha subito un’espansione. Il problema che rimane nell’usare
questa definizione per determinare la distanza è che la luce che riceviamo dalla sorgente in esame
porta informazioni sul redshift e su
ma non sull’intervallo temporale
Quindi la
distanza propria ha un importante valore concettuale ma non è misurabile e per determinare le
distanze in cosmologia si ricorre a metodi più empirici che di seguito illustrerò.
L’importanza nello stabilire quanto è distante una sorgente sta nel fatto che i telescopi raccogliendo
luce di galassie lontane guardano indietro nel tempo e la cosmologia concentrandosi sugli oggetti
distanti è in grado di ricostruire la storia dell’espansione codificata nella relazione tra la distanza e
la velocità di recessione delle galassie [5]; infatti se la legge di Hubble stabilisce una relazione
lineare tra la distanza e la velocità di recessione delle sorgenti a basso redshift, per valori più alti di
, la deviazione dall’andamento rettilineo ci fornisce il valore di . Ci si aspetta che per un
universo in accelerazione a redshift crescenti le sorgenti risultino più distanti rispetto a quanto
accadrebbe per un universo in decelerazione. Ad oggi si sono raccolte sia prove osservative
dell’attuale accelerazione, infatti a partire dal 1998 gli astronomi osservando supernovae lontane
che apparivano più deboli del previsto hanno stabilito per loro una distanza maggiore di quella
attesa in un universo dominato dalla materia quindi in decelerazione, sia prove osservative circa una
precedente fase, con l’osservazione di supernovae ancora più lontane, in cui l’universo ha rallentato
la sua espansione, come teoricamente previsto e già discusso nella presentazione dei modelli di
universo dominato da componenti differenti dall’energia oscura, che governa l’attuale fase come
suggerisce l’accelerazione registrata, spiegabile in virtù delle proprietà che si attribuiscono a . Se
conoscere il valore di
è importante, poiché rappresenta l’attuale velocità di espansione e
permette di valutare anche altre grandezze rilevanti in cosmologia come la densità critica
⁄ ⁄ quantifica il cambiamento
attuale
(cfr 1.56), il parametro di Hubble stesso
del fattore di scala nel tempo e l’equazione di Friedmann esprime come questo avvenga in relazione
69
all’energia, nel senso che ogni volta che si registra una variazione nell’andamento del fattore di
scala è segno che una nuova forma di energia ha iniziato a dominare il panorama cosmologico[12],
come è stato evidenziato nei modelli di universo studiati nel capitolo 2.
3.2 Misure di distanze
Ci sono vari metodi sperimentali per determinare le distanze astronomiche i quali seguono o criteri
di tipo geometrico, utilizzando delle triangolazioni nella misurazione, oppure criteri
di tipo fisico che si basano sula conoscenza della luminosità intrinseca dell’oggetto che si sta
osservando; per questa seconda tipologia di misurazione possiamo dire che lo spettro della luce
ricevuta ci dà conto del redshift della sorgente mentre la quantità di radiazione osservata ci
permette, in relazione alla luminosità nota della sorgente scelta, di determinarne la distanza.
Chiaramente i metodi di triangolazione insieme a quelli di riflessione radar1 che si fondano sulla
riflessione da parte dell’oggetto di cui si vuol conoscere la distanza di un segnale radio ad esso
inviato, sono efficaci ed hanno senso quando si parla di sorgenti relativamente vicine,
rispettivamente nell’ambito galattico o planetario se si vuol pensare ad un ordine di grandezza,
mentre per ciò che in questa sede ha interesse e cioè distanze cosmologiche, i metodi basati sulla
conoscenza della luminosità della sorgente sono quelli più utilizzati.
Si definisce distanza di luminosità la seguente funzione che mette in relazione la luminosità2
intrinseca della sorgente in esame con il flusso misurabile di radiazione proveniente da essa:
(
)
⁄
(3.10)
Questa quantità ha le dimensioni di una distanza e di fatto sarebbe quella effettiva dell’oggetto in un
universo statico ed euclideo, la sua determinazione è legata alla conoscenza della luminosità della
sorgente e alla misurazione del flusso ricevuto da essa, gli oggetti celesti di cui è nota come loro
proprietà intrinseca3 sono detti candele standard. In un universo in espansione e nel quale lo spazio
tempo è descritto dalla metrica FRW si debbono considerare effetti geometrici e fisici sulla
1
Il cosiddetto radar rancing si fonda sulla riflessione di un segnale radio inviato dalla Terra all’oggetto in osservazione,
permettendo di valutare in base al tempo intercorso tra l’invio del segnale e la sua successiva ricezione, la distanza
dell’oggetto in virtù della relazione
o di altri parametri relativi al moto dell’oggetto in esame, chiaramente
questo ha senso su distanze dell’ordine planetario, poiché altrimenti il segnale diventerebbe troppo debole per essere
misurato.
2
La luminosità è la quantità di energia al secondo emessa dalla stella.
3
Proprietà intrinseca della sorgente nel senso che si può dar conto della sua luminosità in quanto è legata a processi
fisici noti e che la contraddistinguono come quel particolare oggetto celeste, indipendentemente dalla sua posizione,
rendendola quindi una candela standard.
70
definizione della distanza di luminosità, in quanto va ben definito il flusso ricevuto Il flusso è
per definizione la quantità di energia per unità di tempo su unità di superficie proveniente da una
⁄
stella (o da altra sorgente)4; in uno spazio euclideo statico seguirebbe la legge
, nella
metrica FRW invece, poiché i fotoni che noi osserviamo sono stati emessi ad un tempo quando
l’universo aveva un fattore di scala
legato alle dimensioni attuali dalla
⁄
, dove è il redshift della sorgente in esame, se si esprime la sua posizione in coordinate
comoving
, con distanza propria da noi(origine del sistema di coordinate) nonché raggio
della sfera di area
su cui pensiamo distribuirsi i fotoni emessi, dove
è la
funzione che nella metrica FRW contiene l’informazione sulla curvatura(cfr 1.34), considerando
così il loro moto insieme a quello di espansione dell’universo che vede questa sfera allargarsi col
crescere del fattore di scala, è facile vedere come con l’espansione il flusso decresca secondo un
fattore
, in quanto l’energia con cui sono ricevuti i fotoni al tempo è più piccola di un
fattore
rispetto a quella con cui vengono emessi dalla sorgente al tempo , passando dal
valore
al valore
poiché, in virtù del rapporto tra i fattori di scala ricordato
⁄
sopra, anche il rapporto tra le lunghezze d’onda è
(cfr 1.48), mentre l’ulteriore
fattore
con cui scala il flusso deriva dalla separazione tra due successive creste d’onda
emesse che passa dal valore
a
al momento della ricezione, questo incremento
di
nell’intervallo temporale quindi riduce la frequenza di rilevazione dello stesso fattore. In
base a tali considerazioni possiamo esprimere il flusso come:
(3.11)
Ciò porta a scrivere la distanza di luminosità nel seguente modo:
(3.12)
Considerando che le osservazioni suggeriscono uno spazio tempo approssimativamente piatto, cioè
con
, per cui
(cfr 1.34) poiché
, come spiegato sopra, risulta dunque che
la distanza di luminosità ha la seguente espressione in relazione alla distanza propria:
(3.13)
4
Le misure della quantità di radiazione ricevuta possono essere effettuate tanto relativamente ad una banda specifica
di lunghezze d’onda(banda passante), tanto all’intero spettro :grandezza bolometrica ,apparente o assoluta che sia a
seconda che si conservi l’informazione sulla distanza, infatti la magnitudine apparente di una stella dipende dal suo
splendore intrinseco ma anche dalla sua distanza da noi.
71
Questa, scritta nell’approssimazione di un universo piatto, esprime una relazione tra la distanza di
luminosità ed il redshift della sorgente, dunque misurare la distanza di una candela standard con la
(3.10) cioè attraverso la misurazione di osservabili fisiche, permette di stimare la sua distanza
propria, una volta determinato anche il suo redshift , quindi in un universo descritto dalla metrica
di Robertson-Walker la distanza di luminosità è una buona approssimazione per la distanza propria
attuale delle sorgenti esaminate.
Un altro tipo di distanza che si può definire sulla base delle proprietà osservative delle sorgenti è la
distanza angolare basata sul concetto di lunghezza standard. Infatti esistono ad esempio sistemi
legati gravitazionalmente di cui conosciamo la lunghezza , il fatto di considerare oggetti molto
distanti ci permette di pensare tale lunghezza come perpendicolare alla nostra direzione di
osservazione, se la distanza angolare che separa le estremità dell’oggetto in esame è misurabile ed è
possiamo calcolare la distanza dell’oggetto usando la formula per piccoli angoli:
(3.14)
Come per la distanza di luminosità questa coinciderebbe con la distanza propria solo nel caso in cui
l’universo fosse statico ed euclideo. E’ evidente che nell’espansione la stessa lunghezza che è
l’osservabile di riferimento per stabilire
cambia, dunque la distanza tra le estremità dell’oggetto
in questione, misurata al tempo è esprimibile nella metrica FRW nel seguente modo:
(3.15)
Potendo assegnare a
sussiste la relazione:
l’attuale valore , noto per aver scelto l’oggetto come metro standard,
(3.16)
da cui segue che:
(3.17)
Comparando questa con
, sempre nell’approssimazione di un universo piatto, si ha:
(3.18)
da cui segue che il rapporto con la distanza propria è il seguente:
(3.19)
quindi in un universo piatto la distanza angolare non coincide con la distanza propria dell’oggetto al
tempo di osservazione, bensì coincide con la distanza propria che ha la sorgente al tempo di
72
emissione
(cfr 1.7) ed inoltre risulta sempre minore del valore della distanza di luminosità,
qualora lo stesso oggetto che si prendesse come metro standard fosse anche una candela standard.
⁄
Nel limite per
si ha che
, condizione che permette di usare
questo tipo di distanze per stimare
dal grafico che per piccoli redshift rappresenta la legge
lineare di Hubble; mentre nel limite per
poiché nel nostro modello di universo la distanza
propria tende alla distanza dell’orizzonte:
si ha che la distanza di luminosità
diverge secondo la :
mentre la distanza angolare tende a zero seguendo
⁄ e raggiunge un massimo per sorgenti che si trovano ad uno
l’andamento:
, che, avendo assunto i valori
e
è pari a
. Benché all’inizio la
determinazione della distanza attraverso l’uso di sorgenti che fungessero da metri standard è servita
per determinare
come pendenza della retta che si otteneva interpolando le distanze così
determinate in un grafico
versus
, l’uso di metri standard si è rivelato assai difficoltoso
proprio nella determinazione degli stessi, poiché le caratteristiche osservative che deve avere una
sorgente classificabile come metro standard devono essere: un’apertura angolare
ben
determinabile affinché sia risolta da un telescopio la lunghezza e che quest’ultima sia ben definita,
cioè le estremità della sorgente devono essere chiare all’osservazione per poter determinare , se
galassie ed ammassi di galassie possiedono la prima caratteristica, non avendo una forma ben
definita, ma variabile con la loro evoluzione, non soddisfano la seconda, quindi in virtù della
difficoltà nel trovare metri standard negli ultimi decenni per determinare tanto il parametro
quanto valutare l’accelerazione nell’espansione dell’universo ( ) e anche poter stimare i parametri
di densità in base al confronto tra il modello teorico e il campione di dati raccolti misurando le
grandezze legate a tali parametri, sono state utilizzate soprattutto candele standard.
Un modo che si sta rivelando promettente per misurare
è utilizzare l’effetto Sunyaev-Zel’dovich
insieme all’emissione di raggi X degli ammassi di galassie: le regioni di gas caldo ionizzato presenti
nei clusters sono in grado di diffondere i fotoni della CMB che passano attraverso l’ammasso, per
effetto Compton inverso, a causa di questo processo alcuni fotoni della radiazione di fondo
aumentano la loro energia, mentre altri la diminuiscono, andando a confrontare lo spettro della
CMB nella direzione dell’ammasso e in una direzione diversa, si può misurare lo spostamento in
frequenza, è dunque osservabile una fluttuazione nell’emissione radio della radiazione di fondo
nella direzione dell’ammasso che combinata con le misure dell’emissione di raggi X dal gas caldo
permette di risalire allo spessore dell’ammasso lungo la nostra linea di vista[17].
Nell’approssimazione che l’ammasso abbia forma sferica, risulta che sia l’emissione radio che
quella X dipendono dal suo raggio e dalla densità del gas in esso contenuto; se assumiamo lo
spessore dell’ammasso coincidere col suo diametro, questo diventa il nostro metro standard e
possiamo utilizzare il diametro angolare osservato per determinarne la distanza secondo la (3.14).
Alla base di tale metodo ci sono due caratteristiche fondamentali che si osservano, da una parte il
73
fatto che la densità dei gas negli ammassi è sufficientemente alta da renderli sorgenti luminose nei
raggi X dove la maggior parte della radiazione a tali frequenze è prodotta come bremsstrahlung5
infatti gli elettroni del gas, non solo sono diffusi dagli ioni del gas, ma essi stessi producono
scattering Compton inverso sui fotoni del fondo cosmico6 causando l’effetto Sunyaev-Zel’dovich.
Nel limite non relativistico (
), circostanza realistica considerando che in un ammasso
7
tipico la temperatura degli elettroni coinvolti è stimata essere pari a
, l’effetto
SZ può essere descritto nell’approssimazione di Kompaneets [16] dove viene definito il parametro
detto di Comptonizzazione :
nel quale compare la profondità ottica della frazione di fotoni diffusa (per esprimere il libero
cammino medio dei fotoni diffusi è assunta la sezione d’urto
dello scattering Thomson, che
approssima bene la sezione d’urto di questo processo di diffusione) e la temperatura degli elettroni
coinvolti in unità di massa a riposo degli elettroni, l’integrale s’intende esteso all’intero spessore
dell’ammasso. Questo parametro ci dice come l’effetto SZ sia proporzionale alla densità e alla
temperatura degli elettroni e allo spessore dell’ammasso lungo la nostra linea di vista. Anche
l’emissione di raggi X, espressa da , da parte del gas dell’ammasso è proporzionale allo spessore
dell’ammasso lungo la nostra linea di vista oltre che al quadrato della densità di elettroni e dipende
dalla loro temperatura e dalla frequenza dei raggi X, dunque osservazioni congiunte negli intervalli
di lunghezza d’onda X e radio per un ammasso permettono di valutare queste due quantità e il
cui confronto porta ad una misura dello spessore in virtù della relazione: ⁄
. Recenti
misure compiute su 38 ammassi di galassie hanno utilizzato questo metodo per determinare la loro
distanza di diametro angolare sulla base dei dati forniti da Chandra X-ray O. e osservazioni radio
compiute da OVRO(Owens Valley Radio Observatory) e dal radio interferometro BIMA[17].
5
È la radiazione emessa, nella regione dei raggi X, da particelle cariche, in questo caso elettroni, quando subiscono
un’accelerazione o un frenamento, come nell’interazione con i fotoni del CMB per scattering Compton inverso.
6
In ogni scattering la frequenza del fotone subisce un leggero spostamento, viene prodotto in media un cambiamento
⁄
nell’energia del fotone di ⁄
, e
sono temperatura e massa dell’elettrone coinvolto(
. Le fluttuazioni nell’intensità della radiazione di fondo misurata in direzione dell’ammasso sono
all’incirca pari a
.
7
Si usa indifferentemente il
o l’
riferendosi alla temperatura, considerando che la costante di
Boltzmann
rappresenta il fattore di conversione tra misure di temperatura e misure di
energia.
74
3.3 Candele standard e misure dei parametri cosmologici
Quando Hubble stava elaborando la sua legge in base alla misura delle distanze di sorgenti
extragalattiche, prese il via quello che è spesso designato come “programma di Hubble” al quale lui
in primis si dedicò, cioè lo studio della forma della curva spostamento verso il rosso-distanza a
distanze molto grandi [3]. Sperimentalmente la difficoltà maggiore per i numerosi scienziati che si
sono dedicati a questo programma, fino a tempi più recenti, è stata la determinazione esatta delle
distanze e la svolta che permise ad Hubble di scrivere la sua legge per sorgenti con piccoli redshifts
fu la scoperta di una classe di stelle, le Cefeidi, considerabili come candele standard e quindi
indicatori di distanza secondo una scala calibrata in base alla loro luminosità. Infatti le Cefeidi sono
una particolare classe di stelle supergiganti molto brillanti, con luminosità media nel range
, caratterizzate da periodi di variabilità (
della loro luminosità
dovuta alla loro natura di variabili pulsanti; fu la scoperta di una precisa relazione tra il flusso
misurato ed il periodo di variabilità che permise di costruire una scala di luminosità, avendo capito
che la differenza nel flusso misurato in stelle variabili con periodi diversi era dovuta alla differenza
nella luminosità e non nella distanza e così sulla base della conoscenza della loro luminosità si poté
decidere di usarle come candele standard per determinare le distanze secondo la (3.10) e benché nel
1929 ci fosse stato un errore8 nella valutazione esatta della luminosità delle Cefeidi, almeno per
piccoli redshifts e fino a distanze
dell’ordine dei
si son rivelate delle buone candele
standard, sulla base delle quali misurazioni recenti hanno portato a stabilire che
. La procedura sperimentale che si usa per stimare
quando si arriva a scegliere
una classe di oggetti celesti come candele standard, in quanto rispondono ai due requisiti
fondamentali di essere tanto brillanti e quindi individuabili a distanze molto grandi e di avere una
luminosità nota e standard poiché caratteristica intrinseca della loro natura, è di misurare il flusso
ricevuto da varie sorgenti di questo tipo situate in posizioni diverse determinando per ognuna di
esse il redshift e la distanza di luminosità, riportando i dati osservati in un grafico
versus
la
valutazione della pendenza della retta che si può graficare per
(diagramma di Hubble) dà il
valore di
. Gli studi compiuti dallo stesso Hubble hanno dimostrato quanto sia importante la
scelta delle candele standard e della conoscenza che si ha della loro luminosità per non incorrere in
stime errate e sebbene oggi da questo punto di vista le Cefeidi sono delle ottime candele standard,
data la conoscenza che si è arrivati ad avere della loro fisica, il loro uso come tali è limitante quando
si voglia estendere lo studio della dinamica dell’universo a distanze più grandi, quindi a redshifts
più alti e cioè a tempi più remoti. È chiaro infatti che se per la determinazione del parametro
ci
8
Hubble assegnò ad
un valore ben più grande di quello attualmente accettato e questo perché sottostimò la
distanza di luminosità degli oggetti osservati di un fattore 7 dovuto in realtà ad una sottostima della luminosità delle
candele standard considerate di un fattore 49; egli aveva confuso due tipi diversi di Cefeidi per calibrare le distanze,
inoltre aveva considerato come stelle molto luminose regioni HII in galassie lontane.
75
si può fermare a piccoli , perché ciò che conta è l’approssimazione lineare nell’andamento del
fattore di scala, se invece si vuole determinare il parametro
c’è bisogno di considerare candele
standard a redshifts ben più alti per i quali la relazione tra
e deve significativamente deviare
dall’andamento lineare, infatti la distanza di luminosità in termini dei parametri di Hubble e di
decelerazione, nel nostro modello d’universo approssimativamente piatto, è esprimibile come:
[
]
(3.20)
che segue dalla (3.13) in cui considero
nella forma approssimata (3.9) dove al posto di
sostituisco l’espressione che si ricava dalla:
(
)
la quale deriva dall’aver espresso la funzione
, scritta secondo lo sviluppo in serie di Taylor
considerato in (3.8) e calcolata in , in termini del redshift, in virtù della ⁄
. La
(3.20), nella quale sto trascurando i termini di ordine superiore al secondo in , rappresenta nel
limite
la legge di Hubble in cui la distanza che compare è , la quale fornisce, dunque, una
buona approssimazione per l’attuale distanza propria di un oggetto a redshift
Spostarsi a redshifts più alti, cioè arrivare a considerare distanze dell’ordine del migliaio di
significa dover utilizzare candele standard molto più luminose delle Cefeidi: le supernovae di tipo
Ia. Queste si originano in un sistema binario di stelle una delle quali è una nana bianca, è noto che
le nane bianche sono ciò che rimane di una stella medio-piccola che ha completato il suo ciclo
vitale e al cui interno la fusione nucleare è cessata9,la teoria a riguardo ci dice che esse presentano
un valore limite della massa, detto limite di Chandrasekhar10, tipico delle strutture omogenee
completamente degeneri [7], in corrispondenza del quale il loro raggio tenderebbe ad annullarsi, è
un limite di stabilità che se superato, come succede quando si verificano supernovae di tipo Ia,
poiché la nana bianca sottrae materiale alla stella compagna, porta al suo collasso, la compressione
così prodotta innesca una combustione esplosiva che causa la totale distruzione della stella
(potrebbe innescarsi lo stesso processo anche dal merging di due nane bianche in un sistema binario
molto stretto), ed un rilascio immediato di un’enorme quantità di energia con un aumento tale di
9
La composizione chimica delle nane bianche è fissata dalle ultime combustioni avvenute nelle fasi precedenti, si
hanno pertanto nane bianche di elio, carbonio, ossigeno, con l’idrogeno che, se presente si trova solo in un sottile
strato superficiale .La stella si trova in questa fase in uno stato di alta degenerazione elettronica che fornisce alla
struttura una pressione tale da contrastare l’autogravità che tenderebbe a farla collassare.
10
Il limite di Chandrasekhar per le nane bianche è di 1,4
, cioè fino a che il valore della massa rimane entro questo
limite la pressione della degenerazione elettronica sta in equilibrio con l’autogravità ed il sistema si mantiene stabile.
76
luminosità da renderla molto evidente a grandi distanze. Questo insieme al fatto che tale tipologia di
supernovae presenta curve di luce pressoché simili in ogni esplosione conferisce loro il ruolo di
candele standard. Infatti tali curve di luce, a causa della relativa uniformità delle masse delle nane
bianche coinvolte, risultano standardizzabili: tutte mostrano un picco di emissione tra 10 e 15 giorni
con uno spettro caratteristico in cui sono riconoscibili righe dovute alla presenza di elementi
pesanti, tutto ciò fa sì che la loro magnitudine11 apparente dipenda quasi esclusivamente dalla loro
distanza. Nonostante le supernovae di tipo Ia siano eventi abbastanza rari, in una singola galassia ad
esempio se ne registra in media qualcuno ogni mille anni, il fatto che siano indicatori di distanza
efficaci anche ad alti redshifts (
poiché il loro picco luminoso raggiunge luminosità pari a
e benché in alcuni casi si siano registrate variazioni di luminosità del picco nel
range
, le osservazioni hanno permesso di correlare tale variabilità con la forma
delle curve di luce e quindi correggere l’incertezza (fig 3.1, 3.2, 3.3) , ristabilendo una
standardizzazione della loro luminosità. A partire dal 1988 prima il gruppo di ricerca : Supernova
Cosmology Project (Perlmutter et al. 1999) e poi dal 1994 anche l’High-z Supernova Search Team
(Riess, Schmidt et al.1998) hanno condotto ricerche sulle supernovae in galassie distanti e hanno
usato le curve di luce osservate ed i redshifts per misurare la costante di Hubble ed il parametro di
decelerazione, giungendo a risultati in ragionevole accordo tra loro e mettendo soprattutto in
relazione i valori trovati con la dinamica dell’espansione ed i parametri di densità relativi alle
componenti dell’universo. Per circa un decennio i ricercatori hanno calibrato attentamente la
luminosità intrinseca delle supernovae di tipo Ia, scegliendo inizialmente le 50 più lontane per le
quali la distanza potesse essere determinata in base alla luminosità apparente misurata. Prima di
discutere la valenza cosmologica dei risultati prodotti dallo studio sui dati raccolti, riporto nelle
figure123.1, 3.2 e 3.3 delle curve di luce relative a campioni di SNe-Ia studiate che dimostrano la
loro alta precisione come candele standard13, in quanto la dispersione in esse osservata può essere
eliminata attraverso un fattore di correlazione tra il picco di luminosità e la forma della curva stessa(
Calan/Tololo survey Hamuy et al 1993), rendendole, quindi, delle ottime candele standard. Per la
calibrazione delle supernovae Ia, quali indicatori di distanza, sono state utilizzate anche le Cefeidi,
infatti la possibilità di misurare con precisione la distanza di una galassia in cui fosse presente una
variabile Cefeide ha permesso di calibrare con altrettanta precisione la magnitudine assoluta della
11
La scala delle magnitudini con cui gli astronomi esprimono flussi e luminosità è logaritmica perché l’occhio ha una
risposta di tipo logaritmico all’intensità della luce ricevuta; la magnitudine apparente è definita attraverso la legge di
⁄ ) dove
Pogson come
è un valore di riferimento.
12
Nelle figure la luminosità è misurata in magnitudine assoluta , essendo questa pari alla magnitudine apparente
⁄
che avrebbe la sorgente se si trovasse ad una distanza di luminosità di
:
dove
che è la luminosità di un oggetto che produce un flusso quando è visto da una distanza di
sussiste
⁄
inoltre la relazione
.
13
Numerosi ricercatori contemporaneamente in tutto il mondo hanno studiato tali curve di luce contribuendo al
lavoro dei due principali gruppi di ricerca.
77
curva di luce di una supernova di tipo Ia presente nella stessa galassia rendendole pietre miliari
nell’universo e metaforicamente nella ricerca, come testimonia il risultato analogo cui i due gruppi
di ricercatori sono giunti: la velocità di espansione dell’universo sta aumentando. Questa
fondamentale prova ottenuta grazie all’uso dei più sofisticati telescopi che si avvalgono di sensori
CCD ha portato all’assegnazione del premio Nobel per la fisica 2011 ex equo a S. Perlmutter, B. P.
Schmidt e A. G. Riess.
Figura 3.1: In questo campione di SN-Ia si fa vedere come le curve di luce variano con continuità all’aumentare del
parametro
, che rappresenta il numero di magnitudini di cui una supernova diminuisce nella sua curva di luce, nella
banda B, nei primi 15 giorni dopo il massimo, cioè le differenze di magnitudine che si originano a causa di diversi rate di
declino iniziale sono mantenuti anche dopo l’inflection point. Dunque esiste un fattore di correlazione tra picco di luminosità
e rate di declino iniziale.
78
Figura 3.2: In questo campione di 9 supernove, viene mostrata la dispersione nelle curve di luce delle stesse riportate in scala
di magnitudine assoluta, le supernovae intrinsecamente più brillanti al massimo mostrano una curva di luce più larga in virtù
del fatto che stelle più massive producono esplosioni più grandi, ma la risultante nebulosa si deve espandere per più tempo
perché la propria profondità ottica raggiunga l’unità. La forma della curva di luce vicino al massimo dipende dalla quantità
di energia depositata dai fotoni e dai positroni e dal tempo di propagazione dei fotoni attraverso il mezzo otticamente spesso
in espansione. Poi la curva di luce risulta sostenuta solo dai positroni.
Figura 3.3: Sovrapposizione delle curve di luce delle SNe-Ia per rinormalizzazione compiuta attraverso il fattore s, strectchfactor, che permette di riscalare temporalmente la curva ‘stirandola’ di fatto di un fattore s per costruire singolarmente le
varie sagome che vengono poi sovrapposte per produrre il campione in una data banda.
79
3.4 Studio dei parametri cosmologici in base ai dati di supernovae Ia
Nel 1998 vennero resi noti i risultati a cui giunsero, dopo diversi anni di ricerca, separatamente i
gruppi di ricercatori di cui sopra, in lavori scientifici che spiegavano come grazie ai dati ricavati
dall’osservazione di supernovae di tipo Ia si evincesse come l’espansione dell’universo stesse
accelerando e prove evidenti per l’esistenza di una costante cosmologica [8]. Dati fotometrici e
spettroscopici relativi all’osservazione di un campione, giudicato sufficientemente ampio di
supernovae di tipo Ia per essere statisticamente rilevante in quanto la conoscenza delle incertezze
sistematiche era tale da rendere l’intervallo di confidenza alto, permise di vedere che le distanze di
luminosità di supernovae con
erano in eccesso rispetto alle previsioni teoriche in
un universo con bassa densità di materia(
; la spiegazione che si poteva dare a questa
evidenza osservativa è che l’espansione dell’universo stesse accelerando, per cui la luminosità
misurata, mediamente inferiore di
rispetto al valore atteso in base al redshift
misurato per tali supernovae, la cui distanza fosse pensata in un universo decelerato, contenente
solo materia, escludendo chiaramente effetti di assorbimento da parte di polveri interstellari o altri
errori sistematici14, era dovuta alla maggiore distanza e ciò ha reso evidente l’esistenza di una
componente
la cui pressione negativa produce un effetto anti-gravitazionale.
La certezza di aver trovato nelle supernovae in questione indicatori di distanza coerenti ad ogni
scala ha permesso il confronto delle relazioni redshift-distanza elaborate sia a basso che ad alto
redshift, sulla base delle misure di magnitudine delle SNe-Ia, consentendo la stima dei parametri
e , nonché un’ulteriore misura di
effettuata estrapolando dalla relazione che si è potuta
graficare, utilizzando il campione di supernovae a basso redshift, la pendenza della retta così trovata
come mostra il pannello in alto nella figura 3.4 [9] dove le misure sono corrette per l’effetto di
assorbimento da polveri e la dispersione è minimizzata arrivando a stimare per la costante di
Hubble il valore
. L’andamento lineare risulta dall’interpolazione delle
misure di distanza di supernovae
espresse come modulo di distanza (
che
15
rappresenta la differenza tra la magnitudine apparente e quella assoluta , determinate misurando il
flusso proveniente dalle sorgenti, in funzione di individuato dalle misure spettroscopiche delle
stesse sorgenti.
14
I dati raccolti sono stati sottoposti a test di veridicità nei quali si ipotizzava piuttosto che l’esistenza dell’energia
oscura un effetto di oscuramento dovuto ad una certa distribuzione di polveri extragalattiche( secondo i modelli
teorici noti come hight-z dust model e replenishing dust) o piuttosto un effetto dovuto ad una particolare evoluzione
nella luminosità di supernovae; analisi dati condotte con test del hanno permesso di escludere, con alta probabilità,
tali interpretazioni circa la minore luminosità delle supernovae, rispetto al valore atteso. In particolare il modello del
replenishing dust è quasi indistinguibile da un modello che include l’esistenza di
perché in esso l’oscuramento è
direttamente proporzionale alla distanza percorsa e quindi matematicamente simile all’effetto di una costante
cosmologica ed è stato giudicato un modello alternativo di poco interesse rispetto ad essa.
15
Il modulo di distanza è
, dove si misura in
.
80
In questi grafici l’andamento dei dati raccolti viene confrontato con curve teoriche relative a
modelli di universo in cui sono stati ipotizzati parametri di densità di materia e costante
cosmologica che ne indicano la presenza in proporzioni diverse.
Figura
3.4:
Nel
pannello
superiore è rappresentata la legge
di Hubble da dati di SNe-Ia,
corretti da errori sistematici
usando il metodo MLCS16, il
coefficiente angolare della retta
che interpola meglio i dati
rappresenta una stima di
. I
dati sono messi a confronto con
tre andamenti teorici relativi a
modelli di universo in cui si
ipotizzano valori differenti dei
parametri di densità, il miglior
accordo con i dati è, come mostra
anche il pannello inferiore quello
relativo ad un universo piatto con
0,3 e
, il grafico in
basso evidenzia come i dati
sperimentali non siano in accordo
con un universo dove fosse
.
L’allontanamento dall’andamento lineare che si riscontra con i dati relativi, invece, a sorgenti con
più alto redshift ci dà informazioni sul valore di . I dati osservativi sono stati confrontati con i
16
Il metodo MLCS(Multi-Color-light-shape) è un metodo che impiega quattro diversi colori fotometrici per le SNe-Ia
per determinare le distanze con una precisione eccellente(
il quale è l’estensione di modelli empirici
costruiti dai ricercatori(Riess, Press, Kirshner 1996a )sulla base dei dati raccolti per costruire curve di luce che
permettessero di ridurre al minimo l’incertezza sulla determinazione delle distanze.
81
risultati teorici attesi per tre modelli di universo ipotizzati: un universo piatto contenente solo
materia
o un universo curvato negativamente e con
ed infine un universo
piatto contenente sia materia che costante cosmologica in misura tale che
. Il
confronto ha portato entrambi i gruppi di ricerca a dire che i dati raccolti studiando le supernovae
avvalorano il modello di un universo piatto contenente attualmente materia e costante cosmologica
nella proporzione ipotizzata e che il parametro di decelerazione è
.
Per meglio comprendere il legame che si può stabilire tra la distanza di luminosità e i parametri
cosmologici e per capire come dalla sua determinazione si sia arrivati a poter porre dei vincoli sul
valore che essi hanno nell’attuale modello standard, bisogna considerare che in un universo regolato
dalla metrica FRW si può scrivere una relazione precisa tra la distanza di luminosità ad un
determinato redshift e i parametri in studio. La (3.13) riscritta nel caso più generale 17 di tale metrica
è:
. Ricordando che su una geodetica luminosa si ha che
, si ricava per la seguente espressione:
dove ho prima cambiato la variabile d’integrazione usando la relazione che definisce il parametro di
⁄ ⁄ , passando ad un integrale sul fattore di scala e poi ho convertito il fattore
Hubble
di scala in redshift per via della (1.48), arrivando ad un’integrazione in . Tramite l’equazione di
⁄
Friedmann (2.38) scritta in termini dei parametri di densità
e considerando che ogni
componente evolve secondo la legge di potenza (2.4) specifica che espressa anch’essa in funzione
di piuttosto che di diventa:
, definisco l’espressione:
[∑
]
⁄
nella sommatoria comprendo anche il termine18di curvatura
a cui attribuisco un
⁄ , quindi posso riscrivere il parametro di Hubble in funzione del redshift nel seguente
modo:
e posso dire che:
[
]
17
Nell’indicare la funzione
che definisce la metrica ho esplicitato il valore del raggio di curvatura ad oggi,
portandolo fuori dall’espressione della funzione stessa, rispetto a come l’ho definita in (1.34).
18
Dove sto considerando
82
|, espressione nella quale intendo
Da cui scrivendo il raggio di curvatura come:
⁄√|
contemplati i tre possibili casi di curvatura, arrivo alla forma più generale della distanza di
luminosità [14] in funzione di e dei parametri di densità:
√|
|
[√|
|
]
(3.21)
Limitando la trattazione ai parametri
, in un universo piatto:
e
, [10],
19
come suggeriscono evidenze sperimentali , risulta che la distanza di luminosità ad un determinato
redshift può essere espressa come:
⁄
{
}
(3.22)
Fissato il campione di dati ed i parametri cosmologici che si vogliono studiare, è stato fatto il
confronto tra la distanza di luminosità teorica, così calcolata a stabiliti valori di tali parametri e
quella misurata attraverso le osservazioni delle SNe Ia, trovando che i dati sperimentali sono
consistenti con il valore
ad un livello di confidenza del
per un fissato range di
variabilità di
:
, quindi son in accordo con le previsioni del modello standard
circa la presenza di energia oscura come una componente descrivibile dall’equazione di stato (1.66).
In figura 3.6 si vede chiaramente come i dati escludano ampiamente un universo attuale in
decelerazione, mentre non permettono di porre vincoli stringenti sulla curvatura, essi sono
consistenti, infatti, anche con un modello con curvatura negativa(Open), o positiva(Close). Il
migliore accordo con i dati, però, si ottiene per il modello di universo piatto con
e
e le osservazioni annoverate come catalogo gold, riferito alle misure pubblicate nel 2004, hanno
portato ad un intervallo di confidenza di
(
per i dati contenuti nella regione relativa
ad
, migliorandolo ampiamente rispetto al lavoro del 1998 in cui era di .
La relazione tra distanza e redshift integrata su una significativa frazione del tempo cosmico, può
essere considerata sia teoricamente come un indicatore dei limiti che si possono porre sul contenuto
di massa-energia dell’universo descritto dai modelli di Friedmann in relazione alla sua espansione,
come visto, sia empiricamente come strumento in grado di ripercorrere la storia dell’espansione
dell’universo. I gruppi di ricerca hanno utilizzato entrambi gli approcci, infatti l’aver stabilito che
recentemente c’è stata un’accelerazione nell’espansione (
è stato anche l’indizio che ha
fatto pensare ad una precedente fase di decelerazione
così senza porre qui
19
Come è riportato nello stesso articolo del 2000 di Filippenko [9], recenti studi sulla CMB portano ad avvalorare
l’ipotesi di un universo piatto e valutazioni sulle galassie ed ammassi di galassie portano invece ad assumere
.
83
l’attenzione sulle cause fisiche e considerando un andamento empirico per
, assumendo il
modello di universo che i dati stessi hanno confermato, la distanza di luminosità può essere espressa
in funzione del parametro di decelerazione, in un universo piatto, come:
[
]
(3.23)
Considerando inoltre per il parametro di decelerazione, espresso in funzione del redshift, la
seguente espansione lineare, dove ⁄ è valutato a
:
(3.24)
I gruppi di ricerca hanno usato la (3.23) come un modello cinematico per i dati, parametrizzata dal
parametro di decelerazione
, il quale è stato espresso attraverso la relazione lineare appena
scritta; la probabilità per
e ⁄ ,per ogni singolo dato, può essere determinata attraverso una
statistica del
come segue:
⁄
∑
(
(
)
)
(3.25)
Dove
è la dispersione sul redshift delle supernovae dovuta alle velocità peculiari che in
quest’analisi è assunta essere
e
è l’incertezza sui singoli moduli di distanza,
indica il redshift al quale è stata osservata la supernova la cui magnitudine misurata porta a
stabilire per essa un modulo di distanza
. L’integrazione della densità di probabilità
⁄
su tutti i valori di
porta agli intervalli di confidenza indicati e mostrati nella fig 3.5.
⁄ , adottato per descrivere la storia
Figura 3.5: Intervalli di confidenza per il modello cinematico a due parametri, e
dell’espansione, sulla base dei dati relativi alle supernovae annoverate nel catalogo gold [Riess 2004].
84
Tale studio relativo alle supernovae osservate fino a
ha dimostrato che
, prova
dell’attuale accelerazione e che ⁄
indice di una precedente decelerazione, Gli intervalli di
confidenza, qui riportati, tra questo modello cinematico a due parametri della storia dell’espansione
e i dati del catalogo gold di supernovae osservate, già citato, mostra chiaramente che la probabilità
che ci sia stata una transizione da una fase decelerata all’attuale fase accelerata è
. La
combinazione di una recente accelerazione e di una passata decelerazione sono un chiaro segno
della presenza nell’universo tanto della materia oscura, quanto dell’energia oscura.
Gli intervalli di confidenza nel piano
(fig 3.6) sono stati derivati anch’essi da
un’integrazione numerica della densità di probabilità
su tutti i valori di , dove
il modello teorico di riferimento è stato la (3.21) e non si son poste condizioni sulla curvatura.
Un approccio alternativo a quello rappresentato in fig 3.6 per porre limiti alla variabilità nel valore
che i parametri di densità possono assumere in base ai dati raccolti, è stato di considerare un
universo piatto20 ed una componente generalizzata di energia oscura parametrizzata attraverso la sua
⁄
equazione di stato (costante)
così da determinare la densità di probabilità nel piano
analogamente a come spiegato sopra, riferendosi, questa volta, al modello teorico espresso
dalla 3.22, in tal modo si è determinato un livello di confidenza del
per i dati raccolti,
nell’ipotesi di
e qualunque fosse il valore di
, mentre assegnando il valore
si è determinato un livello di confidenza del
relativamente ad un valore di
compreso
nell’intervallo (
, come già detto. Per porre limiti circa il valore assunto da
sono
stati utilizzati anche risultati ottenuti da esperimenti indipendenti da quello principale di cui sto
parlando, effettuati sempre sulle supernovae (Freedmann & Turner 2003).
20
La piattezza è assunta su basi teoriche in conseguenza dell’inflazione o su basi osservative dalla caratteristica scala
dell’ampiezza angolare delle fluttuazioni della CMB.
85
Figura 3.6: Intervalli di confidenza per(
, i tre ovali concentrici corrispondono a intervalli di confidenza
quelli tracciati con tratto continuo si riferiscono al catalogo gold relativo ad un campione di 157 SNe-Ia(Riess et al 2004),
quelli punteggiati si riferiscono ai risultati ottenuti dal gruppo di ricerca nel 1998(Riess et al 1998). Le diverse regioni in cui è
suddiviso il grafico rappresentano specifici scenari cosmologici [Riess 1998 arXiv: astro-ph/0402512, 2004].
3.5 L’esistenza della materia oscura e dell’energia oscura e le problematiche
relative
La confermata accelerazione nell’espansione, a dispetto della decelerazione che ci si aspettava
quando partì il progetto di osservazione sulle supernovae, in un universo in cui imperasse la materia
e la conseguente forza di gravità, ha dato prova dell’esistenza e dell’azione sulle distanze più grandi
del cosmo di una forza repulsiva che sta creando spazio e che trascina con sé le galassie avendo la
meglio sulla forza di gravità, dovuta alla componente nota come energia oscura. Per la prima volta
nel 1998 venne data una stima delle componenti dell’universo in termini di frazioni della densità
critica includendo dark matter e dark energy in un quadro che era consistente con la teoria
inflazionaria che prediceva un universo piatto. Questi risultati hanno aperto nuove domande sulla
natura della materia oscura e dell’energia oscura, essendo, non solo la quantità, ma anche la
composizione della materia e energia dell’universo fondamentali per capirne bene tanto il passato
quanto il futuro, permettendo di determinare: l’età attuale, quando è terminata l’era dominata dalla
86
radiazione, il crescere delle piccole disomogeneità nella materia e di spiegare sia la formazione
delle strutture, sia l’evoluzione delle galassie individuali. Questioni aperte cui il modello standard
cerca di dare una risposta.
3.5.1 EVIDENZA DELLA MATERIA OSCURA, IPOTESI SULLA SUA NATURA E
COMPOSIZIONE
Il notevole impiego di tempo ed energie per determinare21 il parametro
, che è stimato essere
oggi nell’intervallo
, è perché rappresenta un’informazione importante sia per la
determinazione del moto globale dell’universo sia per la sua curvatura. Da decenni è assodato che
la sola materia visibile, che potremmo annoverare in stelle e pianeti è davvero esigua rispetto alla
quantità di materia che occorre ad esempio per tener unite gravitazionalmente le galassie o ancor
più per avere un universo chiuso o tanto meno piatto come le osservazioni a partire dallo spettro di
potenza della radiazione di fondo cosmico indicano. L’approccio per la stima della densità di
materia dovuta alle stelle è quello di valutarla in base alla loro luminosità attraverso il rapporto
massa su luminosità22 e con questo metodo si è giunti a dire che le stelle non arrivano a costituire
nemmeno lo
della densità necessaria affinché l’universo sia piatto. Anche le stime della
materia barionica complessiva dell’intero cosmo, derivanti dalle previsioni della nucleosintesi
primordiale del big bang (BBN), che trova riscontro nell’abbondanza di elementi leggeri presenti
nelle nubi di gas di ammassi ad alto redshift, attraverso la valutazione del deuterio presente (cfr
2.6), che è preso come misuratore di riferimento della percentuale di barioni nell’universo [11],
sono oggi pari a
, questo valore è rappresentativo tanto delle stelle e dei loro
residui: nane bianche, buchi neri, stelle di neutroni, quanto delle nane brune, dei gas interstellari nei
clusters e tra i clusters stessi, ed è ben al di sotto della densità critica, questo valore inoltre ci dice
che la maggior parte della materia barionica non è direttamente visibile. Essa è contenuta nei gas
caldi presenti negli ammassi di galassie e la frazione della massa totale in questa forma,
, può
essere misurata o attraverso osservazioni dirette di raggi X provenienti dal gas o attraverso le
distorsioni nello spettro di potenza della radiazione di fondo dovute allo scattering inverso dei
21
Molti metodi sono stati usati per determinare
, utilizzando osservabili diverse, a partire dallo spettro di potenza
della CMB misurando le fluttuazioni di densità, allo studio delle caratteristiche degli ammassi di galassie ad alto
redshift e la mancanza di un’evoluzione apprezzabile se confrontati con quelli a redshift più basso o la stima della
frazione di materia barionica nei grandi ammassi attraverso il confronto con i valori attesi secondo la teoria BBN ad
esempio.
22
⟩ nota per il Sole, si è stabilita, per confronto, una scala di valori che questo
Sulla base della quantità ⟨
rapporto assume per le varie tipologie di stelle in base alla loro luminosità e alla classe spettrale di appartenenza,
⟩ per un’intera galassia dipende dall’insieme delle diverse stelle che contiene. Effettuando
cosicché il rapporto ⟨
una stima relativa al contenuto di stelle nel raggio di
intorno al Sole, calcolando il rapporto massa/luminosità
relativo a tale regione per poi estenderlo all’intero universo, si è arrivati a stabilire che nel confronto con
, la
densità di materia contenuta nelle stelle equivale ad un parametro di densità ad esse relativo di
.
87
fotoni da parte di elettroni caldi (effetto Sunyaev-Zel’dovich) e porta a
, poiché
⁄
, questa misura, implicando un
, fornisce un’ulteriore
prova che c’è una parte di materia non barionica[15] . Anche lo studio, che fin dai lavori pioneristici
di Zwicky e poi in quelli di Vera Rubin è stato compiuto sul moto degli oggetti che costituiscono le
galassie e gli ammassi di galassie, ha portato a dire che la densità di materia non barionica è almeno
quattro volte la densità di quella ordinaria e che quindi la maggior parte di materia che costituisce
l’universo è materia oscura , che non emette, assorbe o diffonde onde elettromagnetiche per cui un
modo per rilevarne la presenza è attraverso la sua azione gravitazionale osservabile tanto sul moto
delle stelle e delle galassie, tanto sulle traiettorie dei fotoni che passano vicino a galassie o ammassi
di galassie e appaiono deflessi per l’effetto di lente gravitazionale spiegabile con l’esistenza di un
alone di materia oscura che si è stabilito circonda tanto le galassie quanto gli ammassi. Infatti per
spiegare la velocità orbitale delle stelle osservate nei dischi galattici di galassie a spirale, che non
⁄√ come ci si aspetterebbe considerando tali
decresce con il raggio secondo un andamento
stelle su orbite kepleriane intorno al centro della galassia all’interno di una distribuzione di massa
decrescente allontanandosi da esso23 , ma piuttosto rimane elevata e costante a partire da una
certa distanza espressa in termini di un raggio scala
definibile galassia per galassia, si stabilisce
la presenza di un alone sferico di materia oscura che circondando il disco galattico permette alla
galassia di restare gravitazionalmente legata. Analogamente, passando a scale più grandi, quelle
degli ammassi galattici24, usando il teorema del viriale (che esprime lo stato d’equilibrio per un
sistema selfgravitante) o l’equazione di equilibrio idrostatico applicata ai loro gas25 per stimarne la
massa totale, si è stabilita la necessità della presenza di un alone di materia oscura anche in essi per
farne dei sistemi legati. L’effetto di lente gravitazionale che consiste nella deflessione della luce che
si trova ad attraversare regioni in cui è presente un forte campo gravitazionale prodotto da oggetti
massivi, che si comportano come lenti, già previsto da Einstein nella sua teoria della relatività, è
stato ampiamente osservato ed usato per stabilire la presenza di materia oscura tanto nell’alone della
nostra galassia quanto in ammassi distanti. Sono state fatte varie ipotesi su ciò che costituisce tale
alone e sotto l’acronimo di MACHOs (Massive Compact Halo Objects) s’intendono quegli oggetti
massivi quali nane brune, nane bianche e stelle di neutroni che vengono annoverate come parte
⁄
Come suggerisce la funzione che definisce la luminosità superficiale dei dischi galattici
riferita alla
sola materia barionica che ha la caratteristica di emettere luce,
è una lunghezza che stabilisce una scala per ogni
galassia tipicamente dell’ordine del
24
Gli studi che portarono Zwicky nel 1930 ad ipotizzare l’esistenza di materia oscura furono compiuti sull’ammasso
della Chioma, la valutazione della velocità delle galassie in esso osservabili lo portò a porsi il problema della massa
mancante, poiché il solo contenuto di materia visibile non spiegava come tali oggetti potessero costituire un sistema
legato gravitazionalmente, essendo la dispersione nella loro velocità radiale molto grande, intorno a
.
25
La misura dell’emissione di raggi X da parte dei gas caldi presenti negli ammassi, dà prova del fatto che se non ci
fosse materia oscura a tenerli legati gravitazionalmente, si sarebbero espansi oltre l’ammasso in un tempo molto più
breve del tempo di Hubble.
23
88
della materia dell’alone, che quindi sono catalogati come materia oscura barionica, ma si stima ne
rappresentino solo una parte, che per esempio nella nostra galassia è pari al 20% del totale,
circostanza che lascia aperto l’interrogativo sulla natura e la composizione della materia oscura non
barionica. Il modello standard riconosce alla materia oscura due caratteristiche fondamentali:
l’essere non relativistica ed essenzialmente non calda, infatti la teoria a riguardo viene anche
chiamata CDM (Cold Dark Matter), poiché se non avesse queste due proprietà si sarebbe separata
dalle regioni sovradense impedendo alle galassie di formarsi e la seconda caratteristica è che ha
un’interazione molto debole con la materia ordinaria, per questo è così difficile individuarla. I
neutrini sono stati tra le prime particelle che si è pensato potessero costituire la materia oscura in
quanto dotati di massa ma poco interagenti con la materia barionica ed in virtù dell’ipotizzata
esistenza di un fondo cosmico di neutrini(cfr1.10), i quali, considerando i tre possibili sapori
(
, si stima abbiano una densità numerica, rapportata a quella dei fotoni della CMB
(
cfr2.7) pari a:
( )
considerando che il parametro di densità dovuto alla materia oscura si stima essere oggi
, ciò implicherebbe che in media un neutrino costituente la dark matter dovrebbe avere una
massa dell’ordine di:
essendo la densità critica
(cfr1.8). Ad oggi la stima della massa
dei neutrini ha portato a valori ben inferiori, infatti per i neutrini muonici osservati nell’atmosfera
terrestre si è stabilito un valore
inoltre le osservazioni indicano che la variabilità in
massa tra i tre tipi è trascurabile (
), dunque una massa così piccola
implicherebbe un contributo infinitesimo(
al parametro di densità della materia oscura.
Questa evidenza ha portato ad ipotizzare l’esistenza di altre particelle elementari come candidati per
la materia oscura non barionica, ad esempio si è considerata l’estensione del modello standard delle
particelle elementari a particelle supersimmetriche26 di cui si è ipotizzata l’esistenza, ma la cui
26
La teoria della supersimmetria nella fisica delle particelle prevede che per ogni particella ne esista una
corrispondente che segue la statistica opposta, in ciò si presenta come una teoria unificatrice della statistica di
fermioni e bosoni. Se la supersimmetria fosse una simmetria esatta, le particelle e le corrispondenti super-particelle
avrebbero lo stesso valore di massa. Ma non è stata osservata alcuna super-particella( con valore di massa minore di
) e quindi la supersimmetria è rotta a bassa energia. Diversi meccanismi sono stati introdotti per descrivere
questo fenomeno: rottura spontanea oppure mediata da qualche legge. Il meccanismo di rottura della supersimmetria
89
presenza non è mai stata rilevata in laboratorio negli esperimenti con gli acceleratori di particelle
poiché si ipotizzano per loro valori di massa anche superiori ai
, e quindi energie troppo
elevate per gli strumenti a disposizione. La super-particella più leggera LSP si prevede sia stabile
per interazioni deboli e che interagisca con la materia ordinaria tramite lo scambio di particelle
supersimmetriche la cui massa è dell’ordine della scala delle interazioni deboli, nella maggior parte
dei modelli di rottura della supersimmetria la LSP è il neutralino, un fermione neutro soggetto solo
ad interazione debole ed uno dei candidati per interpretare la materia oscura fredda. Queste
particelle non ancora rivelate in laboratorio: fotini, gravitini, gluini, neutralini ed altre plausibili
costituenti della materia oscura sono note come WIMP (Weakly Interacting Massive Particle),
poiché la loro proprietà fondamentale è quella di essere neutre ed interagire debolmente col resto
delle particelle note e solo attraverso la gravità o forze nucleari deboli e di essere molto più massive
dei neutrini. Inizialmente si era sperato che fermioni osservati potessero essere partners di bosoni
osservati, ma questa speranza è disattesa dalla natura; invece la supersimmetria deve essere rotta e
tutti i corrispondenti partners supersimmetrici delle particelle note devono essere così massivi da
non essere stati ancora osservati negli acceleratori[12]. Inoltre si ipotizza per loro una stabilità in
quanto se potessero decadere in particelle più leggere, allora i loro decadimenti si sarebbero
mantenuti in equilibrio nell’universo primordiale e non sarebbero arrivate ad esistere oggi. Secondo
il modello standard le particelle passano attraverso due principali fasi durante l’evoluzione
cosmologica (come già visto per i processi della BBN o della generazione della CMB): quella in cui
mantengono l’equilibrio termico, cioè fino a quando il loro rate d’interazione rimane più grande del
rate d’espansione dell’universo e quella in cui l’espansione dell’universo le rende così diluite che
non possono più interagire tra loro ed il rate di espansione supera quello d’interazione. All’epoca in
cui i rate si equivalgono, il numero di particelle per unità di volume comovente per ogni data specie
rimarrà costante. Per le particelle relativistiche la densità residua è indipendente dalle caratteristiche
del disaccoppiamento, ma per quelle non relativistiche più è piccola la sezione d’urto del processo
di annichilazione, maggiore è la densità residua, perché un’annichilazione meno efficiente permette
la sopravvivenza di più particelle. Così una particella molto massiva(
) stabile alle scale
d’interazione debole, potrebbe fornire l’esatta densità residua per interpretare la materia oscura. Le
WIMP verificano queste condizioni per questo costituiscono un probabile candidato per la materia
oscura. Dopo la recente scoperta al CERN27 di una nuova particella compatibile con le
caratteristiche del bosone di Higgs, che dà completezza al modello standard, si pensa di essere sulla
determina la gerarchia dei valori di massa delle particelle supersimmetriche e quindi guida lo studio di processi che
possano produrle in interazioni di alta energia.
27
A luglio 2012 sono stati resi noti i risultati cui sono pervenuti tanto ATLAS che CMS, due esperimenti che si avvalgono
di una differente tipologia di rivelatori, usati per tracciare ciò che accade nel Large Adron Collider(LHC) , quando si
facciano collidere fasci di protoni ad alte energie, entrambi gli strumenti hanno evidenziato l’esistenza di una
particella di massa intorno ai
(ATLAS) e
(CMS) che sembra coincidere col bosone di Higgs previsto
dalla teoria, questi risultati sono dati con un livello di significatività di
e
per ATLAS e CMS rispettivamente[22].
90
strada dell’individuazione delle particelle supersimmetriche candidate a costituire la materia oscura,
nuovo obiettivo per gli esperimenti condotti con LHC (ATLAS SUSY searches).
L’elenco delle possibili entità costituenti la dark matter è molto lungo in realtà, essendo state
avanzate molte ipotesi a riguardo da più fronti, appartenenti a teorie anche lontane dal modello
standard. La chiave principale per la sua interpretazione rimane una conoscenza più precisa della
sua natura.
3.5.2 IPOTESI SULL’ENERGIA OSCURA E PROVE OSSERVATIVE
L’equazione di Friedmann
̇
( )
∑
mostra chiaramente che perché avvenga
un’accelerazione nell’espansione dell’universo, ovvero ̇
sia crescente, deve esistere una densità
di energia
che, al crescere del fattore di scala
, decresca più lentamente di
come
segue da:
̇
Né la materia né la radiazione consentono ciò, poiché
e
, mentre la dark energy
verifica questa condizione in virtù della (2.4), poiché appare oggi come la componente energetica
⁄ 28(fig3.8). Infatti i dati
dominante caratterizzata da un’equazione di stato con parametro
sperimentali sono consistenti con sorgenti di energia oscura uniformemente distribuita che varia
lentamente col tempo, tanto da essere assimilata ad una costante cosmologica che si associa
all’energia del vuoto, in quanto l’energia del vuoto e una costante cosmologica
sono
indistinguibili poiché la costante cosmologica corrisponde ad una densità d’energia uniforme
⁄
[11]. I cosmologi hanno esplorato anche altre forme per l’energia oscura che
avessero un comportamento diverso da . Modelli con un’energia oscura che abbia un’equazione di
stato variabile nel tempo o un modello dinamico nel quale il miglior candidato per rappresentare
l’energia oscura è un campo scalare lentamente variabile nel tempo ed omogeneo nello spazio,
anche noto come quintessenza, una densità di energia oscura dinamica infatti produrrebbe la
soluzione o le condizioni per avere risposte alle problematiche relative alla costante cosmologica,
quelle cosiddette del why now e del fine-tuning [15].
Il problema del why now (anche detto della coincidenza) nasce da queste considerazioni: sulle scale
temporali cosmologiche il passaggio da una fase di decelerazione ad una di accelerazione, quindi il
manifestarsi del predominio dell’energia oscura sulla materia (ordinaria e oscura), è avvenuto in
tempi recenti( nel lavoro del gruppo di Riess il momento della transizione è stimato intorno a
; il miglior accordo tra i dati sperimentali ed il modello teorico per il nostro universo,
28
Nella discussione del modello di universo di De Sitter (2.3.3) si è fatta l’approssimazione di energia oscura
rappresentata dalla costante cosmologica cui si è assegnato un valore =-1.
91
come ampiamente discusso nel capitolo 2, ci ha portato a stimare per i parametri di densità i valori
e
e comunque lo stesso ordine di grandezza e non è noto il meccanismo fisico
che genera ciò, infatti il rapporto tra queste due quantità cambia rapidamente in un universo in
espansione come:
Nell’intervallo in cui questo rapporto varia tra 0.1 e 10, l’universo si sarà espanso di un fattore
⁄
, conseguenza di ciò è che in tempi primordiali l’energia del vuoto era trascurabile
se paragonata alla materia e alla radiazione mentre in seguito è avvenuto il contrario, subito dopo il
√ ⁄
Big bang al tempo di Planck,
, si stima che ⁄
[25].
Se consideriamo come scala temporale nella storia dell’universo una scala logaritmica in ,
prendendo un intervallo di tempo centrato all’epoca attuale (
), considerando che dal tempo di
Planck ad oggi il fattore di scala è aumentato approssimativamente di un fattore
si può dire
che l’espansione totale dell’universo corrisponde ad un fattore
, quindi la probabilità di vivere
nell’epoca di equivalenza fra le due densità è dell’ordine dell’1%. Dunque basterebbe che il
rapporto tra
e
fosse di poco più grande o più piccolo che non ci sarebbe questo problema
della coincidenza. La possibilità di associare l’energia oscura ad un campo lentamente variabile nel
tempo(modelli DDE ossia dynamic dark energy) permetterebbe di darsi delle risposte circa il suo
manifestarsi con entità diversa in epoche tanto lontane tra loro. Il trascurabile peso che questa forma
di energia ha avuto nelle fasi passate ha evitato l’interferenza con la formazione delle strutture,
infatti lo sviluppo delle strutture osservate oggi a partire da perturbazioni di un certo ordine di
grandezza nella densità di materia/radiazione, che può essere stimato a partire da misurazioni delle
anisotropie nello spettro di potenza del fondo cosmico, richiede che l’universo sia stato dominato
dalla materia a partire dall’epoca dell’uguaglianza radiazione-materia, fino ad un momento recente
nella sua storia.
92
Figura 3.7: Andamento di
in funzione del fattore di
scala espresso in scala logaritmica. Sono evidenziati
momenti ed epoche differenti: tempo di Planck,
transizione di fase elettrodebole il tempo della
nucleosintesi e l’era attuale. E’ evidente il salto
nell’aumento di
ad oggi rispetto alle fasi
precedenti.
Fig. 3.7
Il problema denominato del fine-tuning (o CCP, cosmological constant problem) invece consiste nel
fatto che la trattazione dell’energia oscura in termini di una costante cosmologica , che rappresenta
nella teoria della relatività generale classica una costante di natura, un parametro libero, è che nel
momento in cui si vada a considerare la densità di energia ad essa associata si trova una discrepanza
di 120 ordini di grandezza tra il valore sperimentalmente osservato e quello teorico atteso, cioè
risulta che
essendo il valore osservato pari a
mentre
quello previsto dalla teoria:
⁄
(3.25)
dove
è la massa di Planck, a questo valore si giunge pensando di rappresentare le fluttuazioni
quantistiche del vuoto attraverso dei campi quantistici di cui si va a considerare la trasformata di
Fourier, ogni modo ad una fissata lunghezza d’onda si comporta come un oscillatore armonico con
⁄
⁄
potenziale
ed energia di punto zero
, l’energia del vuoto risulta
essere l’integrale su tutti i modi, ma poiché tale quantità diverge, si è introdotta un’energia di cutoff,
29 che son quelli che
prima della quale si ignorano i modi a piccole lunghezze d’onda(
portano alla divergenza, quest’energia di cutoff corrisponde dunque alla scala di Planck, risulta così
29
La lunghezza di Planck
93
evidente il valore previsto dalla (3.25). Ci sono teorie che cercano soluzione a questo problema
riducendo la differenza vista in ordini di grandezza, come la teoria della supersimmetria: i bosoni ed
i fermioni di massa identica contribuiscono in maniera uguale ma con segno opposto al valore di
energia del vuoto, la supersimmetria prevede che per ogni grado di libertà fermionico esiste un
grado di libertà bosonico accoppiato, ma con massa differente30, dunque la strada che apre la
supersimmetria alla risoluzione del problema del fine-tuning è una combinazione opportuna di
bosoni e fermioni che porti il valore atteso ad avvicinarsi a quello osservato. Questa grande
discrepanza in ordini di grandezza, comunque, ha portato a chiedersi se il CCP sia stato
correttamente formulato, pensando che il problema è nella definizione di un’energia di punto zero;
in un recente lavoro [61] è stata seguita una linea di ragionamento differente da quella illustrata per
stimare
e si fonda sull’effetto Casimir31. Si sottolinea che ciò che può essere davvero
misurato è il cambiamento dell’energia del vuoto variando il modulo geometrico e ciò è
indipendente dallo spostamento che produrrebbe una qualunque definizione di energia di punto
zero, quindi in un universo con spazio tempo FRW in espansione, l’energia del vuoto dipende dal
fattore di scala
e nella fase attuale dell’universo si può stabilire che
che è
dimensionalmente consistente con il valore osservato essendo (momento di cutoff ) dell’ordine
dell’energia di Planck. In tale studio si assume la stabilità di uno spazio di Minkowski vuoto di
materia e radiazione(il che porta ad un valore nullo per l’energia del vuoto quando
è costante
⟨
| |
⟩, cioè
nel tempo) e la possibilità di definire un effettivo valore
da un
valore che (hamiltoniana per la densità di energia) assume in un suo autostato ⟨
|⟩, calcolo che
richiede un cutoff nello spazio degli impulsi al valore ,in linea con l’usuale formulazione del
̂ , dove ̂ , correlato alla curvatura, è pari a ̂
CCP, e porta al valore
nell’attuale universo, ne esprime la dipendenza dal fattore di scala.
Dunque la stima del contenuto di materia dell’universo effettuata con differenti metodi, in primis lo
studio della massa dei grandi clusters, formatisi da perturbazioni della densità dell’ordine dei
, pensati come indicatori della densità media di materia dell’intero cosmo in virtù del loro
rappresentare regioni molto ampie aveva già fatto capire che la frazione maggiore di materia
dell’universo è di natura non barionica, ma ha reso anche evidente che il
circa del contenuto
dell’universo non è annoverabile come materia e deve essere trovato, essendo i dati relativi alla
curvatura32 consistenti con un universo piatto con
1 [11]. I risultati ottenuti dallo studio delle
30
Se la supersimmetria esiste, allora in natura è rotta a scale dell’ordine di
, nel senso che non essendo stati
osservati i partners supersimmetrici dei bosoni e dei fermioni noti, allora è previsto che abbiano una massa molto più
grande, non ancora apprezzata dagli strumenti in uso.
31
L’effetto Casimir è spesso citato come prova dell’esistenza dell’energia del vuoto, si riferisce alla forza che si esercita
nel vuoto tra due corpi estesi, dovuta ad un campo quantistico, prese due lastre metalliche distanti tra cui si è
realizzato il vuoto la forza di Casimir è
con
energia del vuoto elettrodinamico tra le due lastre.
32
Dati provenienti dai primi risultati sullo studio delle anisotropie della CMB.
94
supernovae si sono inseriti perfettamente in questo quadro rendendo necessaria l’esistenza di una
forma di energia che spiegasse i dati osservativi relativi all’accelerazione e fosse consistente con le
previsioni teoriche tanto relativamente al contenuto di materia/energia dell’universo che guida il suo
moto e tanto riguardo alla formazione delle strutture. Nel modello cosmologico standard, come già
ampiamente detto, il contributo dell’energia oscura è espresso attraverso una costante cosmologica,
simile al termine pensato da Einstein nella sua equazione relativistica di campo, ma un acceso tema
di ricerca resta attualmente la domanda: se l’energia del vuoto è veramente indipendente dal tempo,
come una costante cosmologica, o piuttosto varia con esso.
Modelli diversi per la dark energy possono portare a storie cosmiche differenti ed in particolare a
diversi valori per il parametro
nella sua equazione di stato, poiché la CMB vincola strettamente
la densità totale dell’universo ad essere vicina al valore critico, è accettabile porsi in un universo
piatto e determinare insieme vincoli per la densità di materia e l’equazione di stato dell’energia
oscura (fig3.7). Una possibilità consistente con i dati è che il parametro di stato della dark energy
sia
, ma ciò violerebbe la condizione di energia dominante, anche se sono stati proposti
modelli a tal riguardo, che però incorrono in serie problematiche quando li si consideri in dettaglio
come una teoria della fisica delle particelle. Anche il restringersi a sorgenti di materia più
convenzionali, rendendo la dark energy compatibile con le particelle fisiche di cui si può dar conto
si è dimostrato particolarmente difficile. Date le sfide poste da questi problemi si è ritenuto
plausibile considerare la possibilità che l’accelerazione cosmica non sia dovuta ad un solo fattore,
ma piuttosto derivi da una nuova fisica gravitazionale.
Per distinguere questa varietà di modelli per l’energia oscura è importante porre vincoli usando dati
osservativi come quelli provenienti dalla distanza di luminosità delle SNIa, dalla posizione dei
picchi acustici nello spettro di potenza della CMB e dalle scale di oscillazioni acustiche barioniche
(BAO) nello spettro di potenza della distribuzione di materia estratto dallo studio di strutture su
larga scala (LSS), nonché recentemente lo studio dell’evoluzione temporale del redshift
cosmologico come un test per i modelli sulla dark energy (SL test) (cfr 3.6). Il considerare
unitamente i dati provenienti da queste surveys fa parte del progetto DETF(Dark Energy Task
Force)[73], infatti la possibilità di valutare la presenza dell’energia oscura da più punti di vista
permette di ridurre gli errori sistematici sui dati relativi al singolo fenomeno in esame, i quali a
volte sono anche di difficile predizione di per sé, come nel caso del fenomeno di weak lensing (WL)
che è entrato a far parte del progetto stesso tra le tecniche di studio dell’energia oscura e che
riguarda la distorsione delle immagini di background dovuta all’incurvarsi del cammino della luce
quando passa attraverso una galassia o un ammasso di galassie. La tecnica di WL è sensibile
all’energia oscura attraverso il suo effetto sulla relazione distanza di diametro angolare vs redshift
ed il rate di crescita della struttura.
Fondamentalmente il metodo per valutare le proprietà basilari dell’energia oscura è considerare la
sua equazione di stato e dunque il parametro
e cercare vincoli su di essi dai dati osservativi
provenienti dagli studi appena elencati. Nel modello con costante cosmologica ( CDM) all’energia
oscura si associa un
mentre in genere negli altri modelli si assume un
variabile nel
tempo ed il primo obiettivo delle ricerche sulla dark energy è scoprire le deviazioni dal valore
per capire se può essere identificata con una costante cosmologica o no.
Le osservazioni delle supernovae hanno fornito informazioni sulla storia dell’espansione cosmica
per
; misure sullo spettro di potenza del fondo cosmico a microonde hanno evidenziato che la
95
presenza della dark energy produce spostamenti nella posizione dei picchi acustici delle anisotropie
della CMB: una modifica su larga scala dello spettro attraverso il cosiddetto effetto Sachs-Wolfe
integrato(cfr. 2.8) e benché i dati della CMB non siano sufficienti, da soli, a porre vincoli stretti
sull’energia oscura, l’analisi combinata di tali dati e di quelli sulle supernovae produce forti legami
nell’equazione di stato tra il parametro
e la frazione di energia oscura espressa tramite
33[19].
Inoltre la distribuzione su larga scala di galassie in ammassi dà altre informazioni sulle
proprietà dell’energia oscura, infatti se si assume che la gravità è la prima forza che determina la
distribuzione di materia su larga scala e che le galassie tracciano la massa, almeno a tali scale, allora
si può confrontare il miglior fit34 dei dati osservativi sulla distribuzione di galassie su larga scala
(due importanti ricerche in corso riguardanti le strutture su larga scala sono 2dFGRS(Colless et al.
2001) e SDSS [20] ) col modello teorico ΛCDM (che interpreta l’azione dell’energia oscura
attraverso ) e quindi con il valore atteso dei parametri cosmologici previsti in esso. Nel 2005 il
rilevamento di un picco di oscillazione acustica barionica (BAO)35 nella funzione di correlazione su
larga scala da parte di Eisenstein et al. ad un redshift
nell’osservazione di luminose
galassie rosse all’interno del progetto di mappatura del cielo SDSS (Sloan Digital Sky Survey) ci ha
fornito un’altra prova, indipendente dalle precedenti, sull’esistenza della dark energy, infatti i dati
mostrano come una primordiale componente di dark energy (il cui valore è stimato essere
) può contribuire ad un’incertezza sistematica nella misura delle BAOs [21], il principale effetto
della componente primordiale di energia oscura sulle misure di una BAO è un cambiamento
33
Con
indico il parametro di densità attuale relativo alla Dark Energy , pensata come componente generica
senza identificarla con per come fatto precedentemente.
34
Attraverso le surveys su grande scala come la WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) sono stati stimati i
valori di molti parametri cosmologici del nostro modello ed in particolare in riferimento all’energia oscura si è valutata
la sua equazione di stato stimando il suo [20]. L’analisi dei dati è proceduta in questo senso: i dati raccolti sono stati
inseriti insieme a quelli provenienti da osservazioni della CMB su altre scale e quelli relativi ad altri progetti di ricerca
in un test di probabilità che il valore stimato per ogni parametro considerato fosse in accordo col modello teorico di
riferimento, utilizzando per ogni parametro una sua funzione(unidimensionale) di probabilità, così da determinarne il
valore aspettato come miglior fit compiuto sui dati osservativi del parametro stesso. Il modello è stato rappresentato
da una funzione di probabilità N-dimensionale essendo N il numero di parametri presi in esame. La funzione
unidimensionale relativa ad ogni parametro si è ottenuta minimizzando gli altri
, e la sua espressione è
⟨ ⟩
dove rappresenta il generico punto nello spazio N-dimensionale e
ne rappresenta la
probabilità.
35
Poiché prima della ricombinazione barioni e fotoni erano fortemente accoppiati, le oscillazioni delle onde sonore
hanno lasciato la loro impronta tanto nelle anisotropie di temperatura della CMB, tanto nelle perturbazioni sui
barioni. La traccia della sovradensità o sottodensità del fluido barionico all’ultimo scattering rimane per così dire
impressa nella scala dell’orizzonte sonoro al disaccoppiamento. In particolare le oscillazioni barioniche lasciano
un’impronta nello spettro di potenza della materia. Nel plasma di barioni e fotoni, accoppiati tramite lo scattering
Compton, il contrasto tra la gravità ,che tende a far aumentare la densità dei barioni, e la pressione di radiazione, che
aumenta al crescere della densità, provoca delle oscillazioni nel fluido, che si propagano al pari di onde acustiche, con
⁄ .
velocità
96
dell’orizzonte sonoro al tempo dell’ultimo scattering che influenza la posizione dei picchi acustici,
dunque un cambiamento nella scala della funzione di correlazione(cfr. 2.51). Dall’analisi combinata
dei dati provenienti dalle SNIa, dalla CMB, dalle BAO e dal WMAP si sono stabiliti i seguenti
vincoli
ad un livello di confidenza del
assumendo un’equazione di
stato costante per l’energia oscura. Questo risultato dimostra come la costante cosmologica, cui si
attribuisce il valore
rientri in questi vincoli, che dunque permettono di escludere dei
modelli a favore di altri.
Figura 3.8: Vincoli sul parametro w nell'equazione di stato dell'energia oscura, come una funzione di
, assumendo un
universo piatto, questi limiti derivano dagli studi sulle supernovae, sulle anisotropie della CMB, dalle misure sulla costante di
Hubble, sulle strutture a grandi scale e sulla nucleosintesi primordiale
Nei prossimi due capitoli parlerò dei modelli alternativi a quello con costante cosmologica per
l’interpretazione e la descrizione del moto accelerato di espansione dell’universo, facendo
riferimento agli approcci teorici seguiti e allo stato attuale dei vincoli che si possono porre ad essi
da misure cosmologiche condotte in ambiti diversi poiché, come già accennato qui, la presenza di
quella che viene annoverata come energia oscura è rintracciabile tanto guardando all’universo
attuale, tanto a quello primordiale e a tal proposito prima di chiudere questo capitolo sulle
osservabili cosmologiche voglio accennare al metodo attualmente in uso per indagare la regione
cosiddetta di ‘desert redshift’ (
attraverso il metodo denominato test di Sandage-Loeb
(SLtest).
97
3.6 Misure di energia oscura ad alto redshift: test di Sandage-Loeb
Dal momento che la deviazione dell’andamento della distanza di luminosità dalla legge di Hubble a
redshifts via via più grandi, come espresso chiaramente nella(3.20), ha permesso di dedurre
l’accelerazione nell’espansione dell’universo, e in virtù della(3.22) le misure di
sono legate ai
parametri cosmologici del nostro modello e ci permettono di fare considerazioni sulla sua
composizione, è stato naturale chiedersi se fosse possibile misurare in modo diretto l’accelerazione.
Il primo a formulare un metodo per questa misura fu Sandage nel 1962 (riferendosi all’epoca ad un
universo pensato in decelerazione), egli fece la considerazione che il redshift e la luminosità
apparente di una galassia in un universo in espansione sono variabili nel tempo, quindi la possibilità
di misurare il
per una sorgente in un lasso di tempo
poteva permettere la valutazione diretta
del rate d’espansione e ne costituiva anche una misura locale, fornendo un vincolo per la validità
del modello teorico in base al quale si formulava il valore atteso della misura [28]. Gli strumenti a
quel tempo non erano, però, in grado di misurare variazioni di redshift di sorgenti extragalattiche
per intervalli di tempo inferiori ai
, quindi il metodo si rivelò inutilizzabile, seppur a livello
teorico l’idea fosse esatta. Nel 1998 questo metodo fu ripreso da Loeb, il quale propose di utilizzare
le tecniche spettroscopiche impiegate in quegli anni per la ricerca di pianeti 36 per studiare la
variazione del redshift delle linee di assorbimento Lyman-α dei Quasar [26]. Questo metodo di
misura dell’accelerazione ha preso il nome di test di Sandage –Loeb e mette direttamente in
relazione misure di variazione di redshift di sorgenti lontane con i parametri cosmologici relativi al
modello teorico di riferimento, costituendo un test sulla presenza di dark energy a redshift molto
alti, dove le altre surveys, comprese quelle sulle supernovae non arrivano ad essere significative,
per compreso tra 2 e 5 [27] e con questo fine sono progettati telescopi che lavorino unitamente a
spettrografi ad alta risoluzione in grado di misurare il
nelle linee spettrali dei quasar su un
periodo di dieci anni, ad esempio il CODEX (Cosmic Dynamics Experiment) spectrograph è uno
dei possibili strumenti in grado di dare risultati in tal senso e impiegato in diverse ricerche [29], il
vantaggio di tale metodo è anche quello di non basarsi sulla determinazione della luminosità
assoluta della sorgente osservata, ma solo sull’identificazione di linee spettrali stabili e ciò riduce
incertezze nelle misure provenienti da effetti sistematici o evolutivi [32].
Il test si fonda sul fatto che segnali emessi da una sorgente in due diversi istanti
e
verranno osservati rispettivamente a
e
; dalla relazione (1.54) soddisfatta dal redshift
cosmologico, segue che il redshift della sorgente osservata a
è
:
⁄
⁄
mentre quello a
è tale che
.
Tra i due istanti dunque si può misurare una variazione in redshift pari a:
36
Queste avanzate tecniche spettroscopiche, in quegli anni, hanno permesso di valutare l’effetto che il potenziale di
un pianeta ha sul moto della stella cui si accompagna, arrivando ad una sensibilità nella misura della velocità radiale di
una stella di magnitudine 6 di
attraverso un’ esposizione di 10 minuti usando un telescopio di
.
98
(3.26)
Nell’approssimazione
scala:
̇
⁄
si può considerare un’espansione in serie di Taylor per il fattore di
e riscrivere la variazione di redshift come[26]:
̇
̇
sapendo che tra i
di emissione e di osservazione considerati sussiste la relazione:
⁄
, come discende dalla (1.51). La variazione del redshift può essere espressa anche
come uno shift spettroscopico di velocità:
[27] e utilizzando l’equazione di
Friedmann (cfr. 1.60) per collegare ̇ al contenuto di materia/energia dell’universo arrivo alla
relazione:
[
dove
]
(3.27)
⁄
è la costante di Hubble ed
è il parametro di Hubble (scalato) la cui
⁄
espressione:
[∑
]
, già definita nel paragrafo 3.4 per esplicitare la
relazione tra la distanza di luminosità e i parametri del modello cosmologico, nel caso in cui si
consideri un universo composto da materia, energia oscura descritta da un’equazione di stato
costante con parametro
e un termine di curvatura, diventa la seguente:
[
]
⁄
(3.28)
rappresentano la densità della materia e dell’energia oscura rispetto al valore critico
e
, infine si è considerato trascurabile il contributo della componente
relativistica, poiché ci riferiamo al tempo di osservazione attuale (come chiaramente indicato
nell’espressione di
dal pedice ) in cui la densità di energia relativa ad essa è infinitesima
rispetto al resto.
Potendo sperare nella possibilità di utilizzare strumenti più potenti, anche in un prossimo futuro per
misurare il , poiché ponendoci ad esempio, nel caso di un universo piatto composto da e da
materia, assumendo
e per un
si calcola
che indica
quanto sia lentamente variabile il redshift di una sorgente, da cui la necessità di disporre di
strumenti ad alta precisione affinché tale variazione venga individuata, questo test risulta
interessante perché permette di chiedersi come l’espressione della variazione del redshift cambia a
seconda del modello di universo che si utilizza, infatti variando il parametro dell’equazione di stato
e
, il
cambia il suo andamento e quindi il test ci consente, di fare valutazioni sull’energia
oscura pensata oltre che come costante cosmologica (
anche come fluido con altre
caratteristiche. Generalizzando al caso di un’energia oscura con
variabile col fattore di scala
(cfr.2.6), quindi con , posso riscrivere la (3.28) come:
dove
e
99
⁄
[
]
(3.29)
Dunque questo test consente di valutare anche la validità di modelli che si discostano notevolmente
da quello standard per interpretare l’energia oscura. La sua utilità si trova inoltre nel fatto che
permette di osservare a quali redshift l’energia oscura inizia ad accelerare l’espansione
dell’universo e anche questo aiuterebbe a capire se è verosimile che tale accelerazione è generata
dalla costante cosmologica o piuttosto da altra forma di energia oscura. Se la dark energy è
consistente con i modelli più semplici che la interpretano o con l’assunzione di un’energia di punto
zero del vuoto o attraverso un campo scalare lentamente variabile, allora il suo ruolo
nell’accelerazione dell’universo diventa significativo a
, mentre è pensato secondario a
e completamente trascurabile a
, per cui il vero vantaggio del SL test è che dà informazioni
nella regione
, altrimenti di difficile accesso. Raccogliere dati in questo range di è
importante per testare i modelli non standard di energia oscura che altrimenti sarebbero
indistinguibili da quelli che la trattano come un fluido con equazione di stato con parametro
)
costante o quasi, dal momento che le osservazioni(WMAP e SNIa) suggeriscono per
un
comportamento come descritto dal modello CDM almeno a partire da
. Il test di SandageLoeb è stato, ad esempio, utilizzato per cercare di stabilire vincoli sul parametro numerico che
caratterizza il modello olografico di dark energy [30,31] che tenta di provare la natura dell’energia
oscura in un contesto di gravità quantistica37 e sebbene tali misure non abbiano portato ancora
risultati strettamente vincolanti in tal senso, hanno messo in evidenza un interessante e significativo
comportamento per la funzione che descrive la velocità con cui cambia il redshift, la quale sembra
avere il suo picco sempre allo stesso
, sia che ci si ponga nel modello CDM, che in quello
olografico, con
:
Da cui segue che nel modello standard si può definire:
√
37
Il modello olografico per l’energia oscura si prefigge di spiegare la natura dell’energia oscura all’interno di uno
scenario di gravità quantistica e ciò che caratterizza tale modello è un parametro numerico sul quale si cerca di porre
vincoli anche attraverso le osservazioni provenienti dalle surveys sulle supernovae, dai dati sullo spettro di potenza
della CMB e dalle BAOs
100
ed un’analoga espressione, ricavata analiticamente, si può definire nel modello olografico, ciò porta
a pensare che tale valore possa essere utilizzabile come ulteriore test per i modelli cosmologici [30].
Di fatto la misura di velocità del redshift gioca un ruolo critico per indagare il meccanismo fisico
responsabile dell’accelerazione e quindi per la discriminazione dei vari modelli di energia oscura e
differenti equipe di ricercatori indipendentemente l’una dall’altra hanno sottoposto al SL test
modelli differenti [32].
Una diretta misura di ̇ è completamente indipendente dai modelli e indica in modo immediato la
storia dell’espansione dell’universo, qualunque essa sia. Recenti misure sono state effettuate anche
sulle linee di assorbimento a
delle regioni H I, in anni diversi:2000,2004,2012, per studiare
la deriva secolare del redshift, arrivando ad una precisione nella sua determinazione di pochi
,[60] diversi gruppi di cosmologi hanno studiato la deriva secolare del redshift e la
corrispondente accelerazione stimata, in differenti modelli di DE anche assumendo per essa un
parametro dell’equazione di stato della forma
(Linder 2003) (cfr.fig
3.8), tracciando andamenti teorici da utilizzare in un confronto con i dati osservativi.
⁄
Figura 3.8: Accelerazione teorica vs redshift: il pannello superiore rappresenta ⁄
e quello inferiore
in modelli
differenti che fanno riferimento ad una scelta diversa dei parametri cosmologici: la linea continua rappresenta il modello
standard con
,
e si assume
; la linea tratto-punto rappresenta una variazione
rispetto all’andamento standard considerando per la DE la parametrizzazione
, avendo posto
e
rispettivamente curva inferiore e superiore. La linea con tratto grande rappresenterebbe un
universo di sola materia
(aperto) mentre l’andamento indicato dal tratto piccolo rappresenta un universo con
. Le linee tratteggiate in verticale sono tracciate ad indicare l’equivalenza tra materia e costante cosmologica(
) e il redshift che segna la transizione tra una fase di decelerazione ed una di accelerazione ( ̈
[60].
101
3.7 Figure di merito per la valutazione della validità di modelli di dark energy
nel progetto DETF
La parametrizzazione
del parametro dell’equazione di stato della DE
dove
è il valore attuale del parametro di stato e
parametrizza l’evoluzione di
,
indicando il rate di cambiamento dell’equazione di stato della DE, è ben rappresentativa di una dark
energy che diventa significativa in tempi recenti ed è trascurabile in tempi primordiali. La
combinazione dei dati raccolti attraverso le quattro principali tecniche di osservazione per lo studio
dell’energia oscura(supernovae, oscillazioni acustiche barioniche, cluster e weak lensing) che
riguardano le distanze di luminosità, le distanze di diametro angolare, il tasso di espansione, tutti
espressi in funzione del redshift, nonché la misura della crescita delle strutture che è inibita durante
l’epoca in cui domina l’energia oscura, sono misure che possono essere espresse in termini di
. Se l’accelerazione nell’espansione è invece dovuta ad una modifica della Relatività
Generale, questa parametrizzazione potrebbe rivelarlo qualora si trovasse una discrepanza tra i
valori di
dedotti da questi due tipi di dati. All’interno del progetto DETF per quantificare i
progressi nella misura delle proprietà dell’energia oscura e la capacità del programma sperimentale
di testare un set di modelli per essa, si può definire una figura di merito costruita con le incertezze
relative a
, determinabili nei differenti modelli attraverso i dati raccolti per mezzo di una
delle tecniche indicate e che rappresenta il reciproco dell’area dell’ellisse d’errore che racchiude il
limite di confidenza del 95% nel piano
, una figura di merito più grande indica una
maggiore accuratezza nelle osservazioni condotte, l’intersezione di più figure di merito realizzate
con dati ottenuti secondo metodi differenti riduce l’errore rispetto alla considerazione della singola
tecnica (fig.3.9). Nessuna di esse, infatti, presa singolarmente è sufficientemente potente e ben
definita da poter affrontare in modo adeguato e completo il problema dell’energia oscura, la loro
combinazione è dunque uno strumento molto più potente. Si è stabilito che le tecniche sensibili alla
crescita della struttura cosmologica sono potenzialmente in grado di testare se l’accelerazione è
causata da una modifica della Relatività Generale. Infine molteplici tecniche sono importanti non
solo per il loro miglioramento nel tracciare la figura di merito, ma perché garantiscono un controllo
maggiore sugli errori sia nel teorizzare i modelli per la dark energy, sia nella valutazione delle
osservabili.
Come evidenziato anche in fig 3.9, le figure di merito per testare la validità di differenti modelli di
dark energy che si prendono in esame nel confronto con i dati sperimentali sono costruite sulla
parametrizzazione di
considerata, ma particolari modelli di DE possono non essere ben
rappresentati da tale parametrizzazione e quindi la loro utilità nel descrivere le proprietà
dell’energia oscura non può essere riflessa nella figura di merito.
102
Figura 3.9: Nel pannello in alto è rappresentata la figura di merito costruita con i dati raccolti secondo il progetto DETF
assumendo per l’energia oscura i parametri previsti dal modello standard ossia
e
, dove è evidenziato che
il contorno del grafico include i livelli di confidenza al 95% avendo minimizzato gli errori sugli altri parametri cosmologici
che caratterizzano il modello assunto. Nel pannello in basso sono rappresentate, come esempio, le intersezioni di due figure
di merito nel piano
realizzate su dati raccolti con due diverse tecniche [73], mostrando come sia più vincolante per
i parametri della DE un controllo incrociato dovuto all’uso di più metodi osservativi insieme.
103
CAPITOLO 4
Modelli per l’energia oscura: DE fisica
Il modello che include
(ΛCDM), pur riproducendo con buona approssimazione i dati
cosmologici, lascia aperti molti interrogativi sulla dark energy e introduce paradossi, come spiegato
nel precedente capitolo, ciò ha spinto i cosmologi a cercare modelli alternativi per descrivere tanto
l’energia oscura quanto i suoi effetti sulla dinamica dell’intero universo e la diversità di approccio è
una delle principali caratteristiche del suo studio[18]. Pur essendo la sua esatta natura oggetto di
ricerca, con i dati osservativi raccolti si è iniziato a caratterizzarne le proprietà in diversi modi:
abbondanza, dinamica. Le osservazioni inoltre consentono di porre vincoli sui vari modelli proposti
per spiegare la fase di accelerazione dell’universo.
4.1 I differenti approcci per cercare un’alternativa a
Modelli alternativi a quello con costante cosmologica per spiegare l’origine dell’energia oscura e
quindi l’attuale accelerazione nell’espansione dell’universo sono stati formulati pensando ad una
modifica dell’equazione di Einstein la cui espressione è già stata discussa introducendo la teoria
della Relatività Generale(RG) nel primo capitolo:
(4.1)
essa lega la geometria dello spazio-tempo rappresentata dal tensore di Einstein
, in cui compaiono il tensore di Ricci (
) , lo scalare di Ricci ( ) e la metrica
, al
contenuto di massa-energia della sorgente del campo gravitazionale descritta dal tensore energiaimpulso
.
Le modifiche alla (4.1) per costruire tali modelli seguono essenzialmente due approcci: il primo
prevede la modifica della parte destra dell’equazione, considerando una forma specifica per il
tensore momento-energia
, con l’introduzione di nuove componenti con adeguate proprietà,
questi vengono designati come modelli di materia modificata o modelli di DE fisica, il secondo
consiste, invece, nel modificare la parte sinistra, ossia considerare una densità di Lagrangiana
diversa da
quella cioè del modello ΛCDM e vengono chiamati modelli di gravità
modificata o modelli di DE geometrica e rappresentano una vera e propria modifica della Relatività
Generale, in cui la gravità non è più descritta dalla RG e l’accelerazione è un effetto di questa
modifica. Anche se i modelli che appartengono a quest’ultima tipologia non richiedono l’esistenza
di una nuova componente di materia/energia, formalmente la loro trattazione può essere riportata, al
fine di un confronto operativo con le osservazioni per stabilirne i vincoli di validità, al calcolo
anche per essi di un’equazione di stato della dark energy (qui di natura geometrica) [34],
⁄
parametrizzata tramite
, anche se solo nel caso di modelli di DE fisica l’equazione
di stato ha un reale significato fisico. Infatti spesso si utilizza la relazione:
(
[
)
(4.2)
]
104
Per stabilire dei vincoli sull’energia oscura (cfr. fig.3.7) e quindi sul modello in esame; in essa
⁄
compare la funzione
come definita in 3.4, la sua derivata prima(indicata con
l’apice) ed il parametro di densità della materia stimato ad oggi
. Quest’espressione deriva
dall’aver considerato l’equazione dei fluidi (1.66) per una DE reale o fittizia cui si possa attribuire
una
,
e
e averla poi integrata utilizzando la
che deriva dall’aver
espresso il rate d’espansione:
̇ ⁄ in funzione del redshift in virtù della relazione esistente tra
il fattore di scala e (cfr.1.7), ottenuta dunque un’esplicita equazione di stato della DE, si può
sostituire l’espressione di
nell’equazione di Friedmann (1.60) e arrivare alla (4.2) considerando
un universo piatto con trascurabile contributo di radiazione, condizioni indicate dai dati osservativi
1 (dalla quale ad es. provengono i
e nelle quali ha senso porsi nella regione di osservazioni a
dati di SNIa) [18]. La quantità osservabile è
ma
, che non è osservabile direttamente,
non può essere determinata solamente da
, cioè da misure di espansione del background,
poiché è richiesta la conoscenza di
che rimanda anche a studi su strutture di larga scala, le
quali comunque da sole non sono completamente vincolanti per i modelli di energia oscura, pur
costituendo, nello studio del rate di crescita delle strutture una traccia significativa della sua
presenza2 [34] e quindi sia che
sia assunto costante o parametrizzato in qualche forma (a
seconda del modello che si sta considerando), è la conoscenza di
a diversi a poter fissare sia
l’equazione di stato che
.
Procederò in questo capitolo e nel prossimo passando in rassegna i principali modelli che
appartengono a queste due tipologie di DE fisica e DE geometrica, specificando che questa
distinzione dal punto di vista della Relatività Generale è una mera comodità di trattazione, dal
momento che tutte le modifiche al campo gravitazionale possono essere inglobate in una
ridefinizione del
, come di fatto lo è stata l’introduzione di , inizialmente posta a modifica del
lato sinistro dell’equazione di Einstein e poi passata a costituire una vera e propria componente
rappresentativa dell’energia del vuoto [58] con una sua equazione di stato, così come formalmente
possono essere pensati un’equazione di stato ed un parametro
pur senza ipotizzare alcuna
nuova componente nell’universo poiché in uno studio che si arresta al primo ordine (nelle
perturbazioni) si può sempre definire l’equazione di stato e la velocità del suono di un campo di
1
Una seppur piccola incertezza sulla curvatura a redshift più alti può produrre effetti significativi nella stima di
e
quindi in tal caso occorre utilizzare l’espressione completa per
, quella che contiene anche il termine .
2
I principali effetti della presenza di DE si vedono nel cambiamento di in tempi recenti, ma ulteriori informazioni per
il suo studio e quindi nella discriminazione dei modelli teorici che la possono descrivere derivano dal potenziale
gravitazionale (cfr.2.8) e quindi dallo studio delle perturbazioni di dark energy, che convenzionalmente sono
trascurate, questa si ritiene essere una buona assunzione nei modelli in cui la dark energy è associata a campi scalari,
mentre non lo è in modelli di dark energy accoppiata a dark matter in cui le perturbazioni DE influenzano il fattore di
crescita della dark matter e quindi hanno un peso nella determinazione di
.
105
dark energy cosicché venga riprodotto ogni modello di gravità modificata.; mentre chiaramente una
differenza c’è quando si guardi a tali modelli da un punto di vista di teorie quantistiche di campo.
4.2 Modelli di materia modificata
I modelli di DE fisica richiedono la modifica del contenuto di materia/energia all’interno del tensore
ed il modo più semplice per farlo è introducendo accanto alla materia ed alla radiazione una
componente energetica legata ad un campo scalare il quale sia in grado di produrre l’espansione
accelerata. Sono stati prodotti vari modelli con questo criterio e si differenziano nella costruzione
della lagrangiana che descrive l’azione di tale campo scalare. La trattazione dell’energia oscura in
un’ottica di DE fisica ha portato inoltre a modelli unificati di energia e materia oscura e a modelli di
energia oscura accoppiata, esaminati nei prossimi paragrafi.
4.2.1 MODELLI DI QUINTESSENZA
Quando venne avanzata l’ipotesi di un campo scalare
con un potenziale
in grado di
produrre l’accelerazione dell’universo, cioè un campo scalare che non abbia ancora raggiunto il
minimo del suo potenziale e sia lentamente variabile e analogo all’inflaton campo utilizzato in
modelli che tentano di spiegare l’inflazione [63], la componente di energia associata ad esso
andandosi a sommare alle componenti già note nel computo della densità di energia del cosmo:
fotoni, neutrini, barioni, dark matter, di fatto costituiva un quinto elemento nell’universo e venne
chiamata quintessenza o alternativamente Q-component [35], diversamente dalla costante
cosmologica l’equazione di stato associata alla quintessenza varia dinamicamente nel tempo e si
teorizza essa interagisca con le atre componenti attraverso una debole interazione gravitazionale. Il
modello che include la quintessenza è descritto dall’azione:
√
[
Dove
,
materia, mentre
]+
è il tensore di Ricci ed il termine
è la lagrangiana di quintessenza:
(
Dove
(4.3)
tiene conto separatamente dell’azione della
)
(4.4)
è il potenziale del campo ed è la forma che esso ha a determinare se il campo può dar
luogo alla fase di accelerazione dell’universo. Da
si ricava il tensore energia-impulso
campo di quintessenza , analogamente a quanto visto in 1.5 :
(√
√
)
[
]
Da questa possiamo calcolare la densità di energia
un universo con metrica FRW piatta, come segue:
106
e la pressione
del
(4.5)
relativi alla quintessenza in
̇
̇
;
(4.6)
e ricavare l’equazione di stato per la quintessenza:
̇
(4.7)
̇
inoltre dall’equazione di continuità (1.66):
Klein-Gordon per il campo :
̈
̇
(
)
̇
si arriva all’equazione di
(4.8)
Mentre le due equazioni di Friedmann si scrivono rispettivamente come:
[
̈
̇
]
(4.9)
̇
(4.10)
Nella prima equazione di Friedmann (4.8) ho considerato tutti i contributi alla densità di energia
dell’universo, anche quello di materia e radiazione. Affinché il campo produca l’accelerazione
osservata e quindi sia responsabile della dark energy, sappiamo che la pressione
deve essere
negativa e la densità
deve essere dominante in epoca recente; dalla (4.10) si vede chiaramente
che il campo di quintessenza contribuisce negativamente al parametro di decelerazione (cfr. (3.3))
⁄ , come segue dalla (4.6) e come tra
se ̇
, condizione che equivale ad avere
l’altro già evidenziato in 1.9. Questa condizione equivale a dire che il campo
deve variare
lentamente e perché ciò accada il potenziale scalare deve essere abbastanza piatto. Se consideriamo
un campo scalare di tipo slow-rolling ovvero tale che ̇
, si possono dare per l’equazione
di Klein-Gordon e di Friedmann, scritta con la sola componente di quintessenza, le seguenti
espressioni approssimate:
̇
e
da cui si ricava il parametro di slowrolling:
( )
(4.11)
che caratterizza la deviazione di
da
, poiché nel limite di slow-rolling e considerando
trascurabile il fluido di materia si ricava per il parametro dell’equazione di stato l’espressione
parametrizzata:
(4.12)
107
Il parametro di slow-rolling risulta essere
se il potenziale è sufficientemente piatto, ma tale
da generare un parametro di stato variabile nel tempo, diverso da
.
È evidente da questa breve presentazione che il punto centrale nei modelli di quintessenza è la
scelta del potenziale
. Poiché i problemi cui si è cercato di dare una risposta formulando per la
dark energy modelli alternativi a quello di costante cosmologica sono il problema della coincidenza
e quello del fine-tuning, relativamente alla risoluzione del primo sono stati proposti dei potenziali
che portano ai cosiddetti modelli traccianti, nei quali l’equazione di stato per la quintessenza segue
la componente dominante dell’universo per la maggior parte della sua evoluzione(fig. 4.1), cioè ci
sono dei potenziali scalari che permettono di ottenere la stessa soluzione evolutiva per un ampio
range di condizioni iniziali dell’universo. Un esempio di potenziale per un modello tracciante è
⁄ , dove il parametro quantifica il legame tra l’equazione di stato della quintessenza
e quella di un fluido di background
(es. la materia) che viene espresso nella relazione tra i
parametri delle equazioni di stato come:
la quale deriva dall’aver considerato, per un background di materia [74], le espressioni
e
⁄
unitamente alla (4.6) che, nel caso del potenziale in questione, portano
⁄
(
)⁄
a riscrivere la densità di quintessenza come:
effettuando
infine il confronto degli esponenti segue l’espressione data del parametro
dell’equazione di stato della soluzione tracciante, da cui imponendo la condizione di espansione
accelerata e stabilendo il valore di
, che nel caso di materia è pari a
, si definisce la
condizione su affinché sia ridotto il problema della coincidenza nel modello considerato.
Secondo questo modello tracciante l’equazione di stato relativa ad un tale
traccia quella di
⁄ ,
⁄ ,
background di
, quando la radiazione domina (
decresce meno
rapidamente di
, quando domina la materia
,
e
decresce più
lentamente di
. Infine quando
diventa la componente dominante l’universo entra nella fase
accelerata e
.
L’aspetto principale che emerge da tali modelli è la relazione tra
e
oggi, secondo cui
minore è il valore di
e maggiore è il tempo che la densità di energia del campo scalare impiega
per diventare dominante[36]. In questo tipo di modelli rimangono problemi di fine-tuning su alcuni
parametri. Per il problema di fine-tuning relativo al valore della densità di energia attribuito
all’energia oscura pensata come energia del vuoto, si possono teorizzare modelli di quintessenza in
108
cui la scelta del potenziale
porti ad un
(cfr. 3.5.2), cioè si va a considerare
un opportuno potenziale tale da riprodurre i dati osservativi.
Infine volendo costruire un modello di quintessenza dal punto di vista di fisica delle particelle
[18,37,38] si devono fare i conti con la difficoltà che deriva dal fatto che la scala di energia della
dark energy è troppo bassa (
) rispetto alle tipiche scale che appaiono nelle
interazioni in fisica delle particelle. Si è visto che il potenziale scalare
per produrre
l’accelerazione deve essere molto piatto, condizione che tradotta in termini di massa efficace del
campo3 porta a
una massa così piccola è poco naturale per la teoria delle particelle
in quanto le correzioni dovute all’interazione con le altre particelle porterebbero naturalmente ad un
valore più alto di
, nemmeno la supersimmetria può aiutare in questo senso poiché è rotta a scale
dell’ordine del Fermi. Per mantenere un campo scalare così leggero deve essere necessariamente
insignificante l’accoppiamento con la materia, ciò fa sì che il range delle forze introdotte
dall’accoppiamento sia piccolo abbastanza da non rivelarle e garantire così il rispetto dei vincoli
sperimentali sulle forze esistenti. Si può tuttavia pensare che Il fine-tuning necessario a mantenere
vicina al valore imposto dalla dinamica cosmologica, analogamente a quello per spiegare il
piccolo valore dell’energia del vuoto, non sia dovuto ad un difetto specifico della quintessenza,
quanto al problema generale di avere una teoria che descriva correttamente i fenomeni ad
un’energia comparabile con quella di
e che potrebbe permettere di descrivere coerentemente
l’energia oscura mediante un campo scalare ultraleggero.
3
Operativamente la massa della quintessenza è definita come
e per la condizione di slow rolling che
garantisce la descrizione della dinamica osservata ciò equivale a dire che
a prescindere dal
potenziale
scelto
109
Figura 4.1: la linea rimarcata rappresenta l’andamento della densità di energia in funzione del redshift secondo l’equazione
di stato di un modello tracciante di quintessenza con
con
. Il grafico mostra come la soluzione tracciante
segua l’andamento della soluzione di un universo dominato dalla radiazione prima, per poi seguire l’andamento previsto
nell’epoca dominata dalla materia ed infine mostra il passaggio dall’epoca dominata dalla materia a quella dominata
dall’energia oscura rappresentata dal modello di quintessenza[74].
4.2.2 K-ESSENZA E MODELLI PHANTOM
I modelli di k-essenza sono costruiti introducendo un campo scalare non canonico, che abbia cioè il
termine cinetico negativo, l’azione in questo caso si presenta nella forma:
[
√
]+
(4.13)
⁄
Dove
è una funzione del campo scalare e del termine cinetico
,
il punto centrale di un tale modello è che l’accelerazione cosmica può essere realizzata attraverso
l’energia cinetica del campo .
Il tensore energia impulso è:
(√
)
(4.14)
√
Da cui si ottengono le espressioni di pressione e densità di energia per il campo :
;
L’equazione di stato di k-essenza risulta essere:
110
(4.15)
Dalla quale segue che
è vicino a
quando è soddisfatta la condizione: |
| | |
Inoltre si vede che modelli di k-essenza ammettono anche valori
, condizione non
ammessa nei modelli di quintessenza accoppiati in modo minimale, infatti, con una densità di
energia positiva
, se
dà luogo all’equazione di stato
, modelli con
un’equazione di stato di questo tipo sono detti phantom.
In generale fluidi con tali caratteristiche (
) violano la cosiddetta Condizione di Energia
4
Dominante(DEC) fig. 4.2, essi possono causare delle instabilità dovute al fatto che l’energia può
propagarsi al di fuori del cono di luce, ma è possibile mostrare che sotto opportune condizioni si
può costruire una teoria di campo che descriva un fluido con parametro
, per il quale i
tempi scala dell’instabilità sono maggiori dell’età dell’universo e quindi trascurabili [40].
L’esempio più semplice di funzione di campo che può dar luogo alla phantom dark energy [18,39] è
del tipo:
(4.16)
Il parametro dell’equazione di stato del fluido associato a
è:
̇ ⁄
(4.17)
̇ ⁄
ed è minore di
nel caso in cui ̇ ⁄
. La dinamica dell’evoluzione avviene a seconda
della forma del potenziale del campo phantom, infatti se il potenziale è illimitato superiormente la
densità di energia del campo (
̇
continua a crescere all’infinito, come nel caso
di un potenziale con forma esponenziale, modelli di questo tipo produrrebbero dunque
un’accelerazione tale da portare l’universo ad una singolarità detta Big Rip5, che potrebbe essere
evitata qualora il potenziale
presenti un massimo. In tal caso la teoria a riguardo prevede che
4
Questa condizione è fissata dal teorema di conservazione di Hawkng ed Ellis che serve a garantire che un’ipotetica
componente di energia oscura sia stabile
5
I modelli con
portano ad una singolarità nel fattore di scala, cioè ammesso che la dark energy sia
descritta dal fluido di tipo phantom, dopo l’equivalenza(
tra materia e phantom dark energy, la soluzione
all’equazione di Einstein per la dinamica dell’universo porta ad un andamento del fattore di scala del tipo:
[
]
⁄
per
l’esponente è negativo e si ha una divergenza del fattore di scala per
, oltre al fattore di scala divergerà anche la densità di energia
Rip perde di significato lo spazio-tempo classico.
111
ed il rate d’espansione, al Big
il campo evolverebbe verso la cima del potenziale ed oscillerebbe intorno al massimo e quindi dopo
un certo periodo la dinamica dell’universo si stabilirebbe cioè la soluzione con equazione di stato di
tipo phantom evolverebbe avvicinandosi ad un comportamento del tipo
.
Sebbene lo scenario di un Big Rip appare catastrofico come destino dell’universo, infatti il modello
phantom sembra essere collegato anche alla perdita di massa nei buchi neri e sembra legato ad una
termodinamica che esulerebbe da quella classica portando a considerare temperature ed entropia
negative, sviluppando una teoria phantom consistente con la fisica nota e riconosciuta si può vedere
come prima di arrivare alla singolarità entrerebbero in gioco effetti quantistici che avrebbero un
ruolo dominante nel senso che avrebbe inizio una seconda era di gravità quantistica[41]. Le
osservazioni indicano che lo stato phantom (se è realistico) consiste giusto in un periodo transitorio
nell’evoluzione dell’universo.
Figura 4.2: Condizione di Energia Dominante espressa nello spazio p vs come
.
La tipologia dei modelli phantoms presenta due problemi in particolare: se l’equazione di stato
arriva ad essere particolarmente negativa essendo la velocità del suono nel mezzo data da:
√| |
(4.18)
può diventare anche maggiore della velocità della luce; ed inoltre che per avere un
si deve
ammettere un termine cinetico negativo e ciò comporta delle instabilità quantistiche cui va incontro
il modello e che lo rendono poco plausibile.
4.3 Il gas di Chaplygin
Sono stati teorizzati dei modelli unificati di materia ed energia oscura, descritte come un singolo
campo scalare o come un unico fluido dal comportamento ibrido, che cercano di dar conto del
manifestarsi di sue caratteristiche differenti in epoche diverse. Essi sono caratterizzati da tre
parametri: , e
. Di questa categoria, come esempio, descrivo brevemente il gas di Chaplygin
generalizzato (GCG).
La relazione tra pressione e densità di energia del fluido del modello GCG è del tipo:
(4.19)
112
Dove è una costante positiva legata a
(parametro di densità attualmente attribuibile al fluido
| | cioè la sua equazione di stato ad oggi, come indica il fattore di
in esame) e a
scala, mentre è un parametro del modello che specifica l’evoluzione dell’equazione di stato [45].
Utilizzando l’equazione di conservazione (1.66) ̇
nella quale sostituisco la
(4.19), integrando si ottiene la soluzione per la densità , esprimibile come:
[
]
⁄
(4.20)
Dove B è una costante d’integrazione. Si può inoltre calcolare l’espressione che ha in questo
modello il parametro dell’equazione di stato del GCG:
(4.21)
⁄
Scritto in funzione del redshift , in virtù della nota relazione tra e , possiamo anche scrivere [45]
il legame tra e e
e
del fluido:
e
.
Dall’espressione di
si vede la natura ibrida del gas di Chaplygin, infatti il suo comportamento
è differente a seconda del valore di , ovvero in epoca primordiale (
ossia per grandi , il
fluido si comporta come materia in quanto:
Mentre in epoche recenti (
poiché:
⁄
⁄
) assume le caratteristiche dell’energia oscura
⁄
avvicinandosi al comportamento descritto dal modello ΛCDM, per
l’andamento è identico;
infatti le attuali osservazioni vincolano i parametri del modello a valori (
,
) che lo
rendono molto simile al modello con costante cosmologica[42], in particolare la degenerazione non
può essere risolta sulla sola base delle osservazioni di supernovae di tipo Ia, in quanto le previsioni
sulla distanza di luminosità, con le quali tali osservazioni vengono confrontate, sono formulabili
sulla sola base dell’evoluzione del background (attraverso
e quindi non possono rappresentare
un forte vincolo per GCG, per cui è necessario un confronto del modello con osservazioni che siano
dipendenti dalle perturbazioni di densità[44] ed in particolare le misure relative allo spettro di
potenza della materia nelle strutture a larga scala vincolano strettamente questo modello unificato
che per quanto interessante come soluzione, soprattutto nel considerare l’energia oscura come un
fluido, in analogia alla trattazione della radiazione e della materia, modifica pesantemente
l’evoluzione delle strutture nell’universo portandola al limite della compatibilità con le
osservazioni.
4.4 Energia oscura accoppiata
Il problema della coincidenza ha portato a formulare teorie in cui energia e materia oscura sono
accoppiate in modo da trovare un legame che giustifichi lo stesso ordine di grandezza tra e
così da ridurre la questione ad una semplice scelta di parametri per trovare corrispondenza tra il
113
rapporto ⁄
e le osservazioni. In uno scenario di quintessenza, ad esempio, questa trattazione
delle dark matter e dark energy consiste nell’accoppiamento6 tra un campo scalare e la materia
oscura con densità
ed è descritto,in uno spazio FRW, dalle equazioni di continuità(cfr. 1.66) così
modificate :
̇
(
)
(4.22)
̇
(4.23)
dove
quantifica lo scambio di energia tra i due termini:
{
(4.24)
Considerando per
l’espressione (4.7) l’equazione di Klein-Gordon modificata [62] col termine
che tiene conto dell’accoppiamento, come segue dalla (4.22) è:
̈
̇
(4.25)
̇
Le (4.22) e (4.23) possono essere riscritte come: ̇
(
)
e
̇
(
) definendo dei parametri effettivi dell’equazione di stato per i due termini del settore
oscuro, in modo da descrivere attraverso essi l’equivalente modello disaccoppiato nel background
ed evidenziare al tempo stesso gli effetti di ,tali parametri effettivi sono:
(4.26)
Da essi segue che il caso
fenomenologicamente equivale a:
{
Mentre il caso
fenomenologicamente produce tali modifiche:
{
6
A tale descrizione possono essere ricondotti modelli di accoppiamento studiati in contesti diversi come le teorie
per la gravità o teorie scalar-tensoriali, in cui ci si riconduce ad essa attraverso trasformazioni conformi al frame
di Einstein (cfr. 4.3)
114
Dunque la forma che assume
è discriminante per gli effetti differenti che genera sulla storia
evolutiva, per essa sono stati proposti vari modelli [43] che si possono distinguere in due tipologie
fondamentali:
(I)
√ ⁄
̇
(II)
Dove
e e sono costanti adimensionali il cui segno determina quello di e quindi il
verso dello scambio; del modello (II) è stata proposta anche una variante:
in cui , che dà
il rate del trasferimento di energia, dipende da proprietà locali e non dal rate d’espansione
universale, ma non ci sono basi teoriche per determinare una forma specifica di tale accoppiamento,
per cui solo le osservazioni possono discriminare i vari modelli proposti seppur alcuni hanno
giustificazioni fisiche più di altri.
4.5 Modelli senza DE: disomogeneità dell’universo
Ipotesi alternative alla presenza di dark energy per spiegare l’accelerazione osservata e misurata,
innanzi tutto attraverso i dati relativi alle supernovae, è che si tratti di un’accelerazione apparente
dovuta ad una non omogeneità nella distribuzione di materia [74] nel cosmo. L’idea della
disomogeneità è trattata in modi diversi a seconda dei modelli che si prendono in considerazione
[75], perché in alcuni si cerca di spiegare l’espansione accelerata come una backreaction delle
perturbazioni di un universo omogeneo, ossia una correzione dell’evoluzione di ordine zero data dal
modello omogeneo, con termini di ordine più alto e disomogenei. In altri approcci l’idea di fondo è
che noi viviamo in una regione di universo con una densità di materia inferiore rispetto a quelle
esterne, per cui in confronto ad esse la nostra sembra essere un’espansione accelerata. Quindi
mentre in un universo omogeneo il rate d’espansione dipende solo dal tempo, come nei casi finora
esaminati, l’introduzione della disomogeneità, così pensata, fa sì che il tasso di espansione dipenda
sia dal tempo che dallo spazio, per cui se si osserva un’espansione accelerata a redshifts più bassi
rispetto a quelli più alti, in un universo omogeneo ciò è descrivibile come un’espansione accelerata,
in uno disomogeneo è invece un effetto della variazione spaziale con un rate d’espansione tanto
maggiore quanto più vicino a noi.
Il modello inomogeneo di Lemaitre-Tolman-Bondi (LTB) assume un universo isotropo ma
disomogeneo dominato dalla materia, con una disomogeneità sfericamente simmetrica; dunque
rispetto all’universo di Friedmann-Robertson-Walker si rinuncia all’ipotesi di omogeneità nella
formulazione della metrica e si conserva la simmetria sferica, in analogia con la simbologia già
usata in (1.7) per esprimere l’elemento di linea nella metrica FRW, posso riscriverlo in queste
ipotesi come:
(4.27)
Risolvere l’equazione di Einstein per la componente
di sola materia, dà:
115
, avendo assunto un tensore
(4.28)
√
Dove con l’apice è indicata la derivata spaziale rispetto ad . Questa metrica si riconduce a quella di
FRW se
e
. Nelle equazioni di Einstein che si possono scrivere per un
̇ ⁄ (dove
tale universo possiamo riconoscere e definire una funzione di Hubble trasversale:
̇ ⁄ e per integrazione delle
col punto indico la derivata temporale) ed una radiale:
equazioni di Einstein si giunge all’espressione:
(4.29)
Dove e sono funzioni di che parametrizzano il modello LTB, il loro effetto sulla dinamica è
analogo rispettivamente a quello della materia e della curvatura nel modello standard, in analogia
̈⁄ ̇
col quale si può definire il parametro di decelerazione
(4.30)
Da cui segue che essendo
è positivo, quindi un universo descritto da tale modello, ossia
non omogeneo e fatto di solo materia non può accelerare.
Questo modello è stato testato con i dati relativi alla distanza di luminosità delle supernovae Ia,
̂ qui il tempo è una funzione
essendo in esso definita tale distanza come:
̂
̂
del tipo
dove l’istante attuale è
a
. Il confronto mostra accordo con tali
misure ed anche con la posizione del primo picco acustico dello spettro di potenza della CMB, ma
non è in grado di spiegare la sua isotropia a meno che non si assuma che la nostra posizione sia
centrale in tale regione sottodensa, ma chiaramente ciò porta ad un nuovo problema di coincidenza,
differente da quello sollevato dall’energia oscura e notevole perché introdurrebbe per noi una
posizione privilegiata, quindi benché non convincente come accordo con i dati, rimane un modello
per testare l’idea di inomogeneità come soluzione al problema dell’energia oscura.
116
CAPITOLO CINQUE
Modelli di gravità modificata: DE geometrica
La possibilità di spiegare gli effetti attribuiti all’energia oscura attraverso una modifica del tensore
ha dato origine a vari modelli di DE geometrica. Le teorie di gravità modificata sono molteplici
ed in verità fin dagli anni immediatamente successivi alla formulazione della RG sono state
proposte modifiche ad essa: prima Weyl nel 1919 e poi Eddington nel 1923 [48,49] proposero di
introdurre nella lagrangiana invarianti di ordine superiore in , modifiche cercate come alternative
teoriche piuttosto che dovute ad evidenze osservative, nel tentativo di riunire l’elettromagnetismo e
la gravitazione in un quadro teorico unificato[47]. Negli anni ’60 l’esigenza di risolvere il problema
della formulazione quantistica del campo gravitazionale rese necessario pensare ad una modifica
della lagrangiana di Hilbert-Einstein con l’introduzione di termini che fossero di ordine superiore
nello scalare di curvatura i quali permettevano di semplificare il problema della non
rinormalizzabilità della teoria di Einstein [46], anche se ciò venne pensato relativamente ad una
teoria che dovesse descrivere i primi istanti di vita dell’universo, quindi in condizioni di elevate
energia e curvatura, mentre il contesto attuale, per spiegare l’espansione accelerata, è esattamente
l’opposto: un regime di bassa energia e bassa curvatura e quando vennero proposte le correzioni alla
scala di Planck non si immaginava una possibile revisione della RG a larghe scale. Negli anni ’80
fu la teoria delle stringhe, principale candidato per la gravità quantistica, a fornire un quadro di
riferimento per l’introduzione di correzioni di ordine superiore nell’azione di H-E.
5.1 Le teorie f(R)
Attualmente i problemi di ordine cosmologico ed astrofisico discussi relativamente alla dark
energy hanno portato alla formulazione delle teorie
[52] che sostanzialmente prevedono
l’introduzione di una funzione arbitraria dello scalare di curvatura con cui viene modificata la
lagrangiana di H-E, l’azione1 è espressa come:
√
(5.1)
dove
,
è la lagrangiana di materia per un fluido perfetto, che dipende da
il campo
di materia che obbedisce alle equazioni standard di conservazione e anche dalla metrica
che
corrisponde al frame fisico (che è quello di Jordan) (cfr 5.1.1)[18].
1
Nell’espressione dell’azione in questa teoria
materia, che comporterebbe un termine del tipo
non sto considerando l’accoppiamento tra lo scalare di Ricci e la
.
117
Prima di descrivere nello specifico un modello
e derivare le equazioni della dinamica
dell’universo in questo contesto, è importante sottolineare che una teoria di gravità modificata per
essere valida è soggetta a molti vincoli, infatti oltre al fatto di dover riprodurre la storia evolutiva
dell’universo e quindi esser vincolata dai dati cosmologici come succede anche ai modelli di DE
fisica, deve mantenere una formulazione covariante, deve verificare i test di gravità locali, quindi
deve essere consistente per valori di alta curvatura con le osservazioni nel sistema solare e dare
soluzioni statiche e sferiche stabili per le stelle, nonché produrre perturbazioni di densità coerenti
con il fattore di crescita misurato, con lo spettro di potenza della materia, con le anisotropie della
CMB.
La scelta di sostituire lo scalare di Ricci con una sua generica funzione
si presenta
vantaggiosa per il fatto che l’arbitrarietà della
permette di pensarla ad esempio come una serie
di potenze di del tipo:
(5.2)
dove
e
sono costanti con opportune dimensioni fisiche e i termini introdotti ad alte e basse
curvature consentono di focalizzare gli aspetti principali di una teoria di gravità modificata evitando
un formalismo eccessivamente complesso.
Inoltre questa forma funzionale garantisce la stabilità della teoria sotto opportune condizioni, poiché
l’introduzione nella lagrangiana di invarianti di ordine superiore, come ad esempio lo scalare che
viene dalla contrazione di due tensori di Ricci
creerebbe( tranne nel modello di Gauss
Bonnet) problemi in questo senso e ciò è dimostrabile[53] tramite il teorema di Ostrogradski che
sostanzialmente ha mostrato perché Newton avesse ragione nel supporre che le leggi della fisica,
quando siano espresse in termini delle variabili dinamiche fondamentali, coinvolgono derivate
temporali non oltre il secondo ordine di tali variabili e quindi che una lagrangiana non può
dipendere da derivate temporali di ordine superiore al primo, perché ciò crea un’instabilità lineare
che non può essere eliminata tramite integrazione parziale.
5.1.1 IL PROBLEMA DEL FRAME FISICO
Una teoria non lineare della gravità (NLG) in cui cioè la lagrangiana è una funzione arbitraria dello
scalare di curvatura è dinamicamente equivalente ad un campo scalare self-gravitante in Relatività
Generale. Le vere variabili dinamiche fisiche sono esattamente quelle che descrivono l’equivalente
modello di relatività generale e sono note come frame di Einstein. Ogni volta che tali variabili non
possono essere definite, ci sono forti indicazioni del fatto che la teoria formulata non sia fisica[54],
nel senso che lo spazio di Minkowsky è instabile per l’esistenza di soluzioni con energia negativa.
Con questo scopo va chiarito il legame tra la teoria modificata e la RG. Inoltre ai fini di un
significativo confronto con le osservazioni è importante individuare il frame fisico di riferimento,
che significa un set di variabili di campo che siano misurabili e soddisfino tutti i requisiti generali di
una teoria di campo ad esempio dar luogo a densità di energia definita e positiva [54,55].
La lagrangiana nella teoria
è della forma:
118
√
(5.3)
ed è detta lagrangiana nel frame di Jordan (si assume per semplicità di trattazione che
);
2
essa può essere riscritta tramite una trasformazione conforme in un’equivalente lagrangiana nel
frame di Einstein, cioè nella forma standard della RG introducendo un campo scalare . Si
definiscono a tal proposito le nuove variabili:
̃
dove
tale che
̃
√ ̃[ ̃
⁄
(5.4)
e
√ ⁄
̃
per mantenere la stessa segnatura, definendo inoltre il campo scalare
si ottiene la lagrangiana riscritta nel frame di Einstein:
]
(5.5)
in cui il potenziale dipende dalla forma della
del frame di Jordan.
Nel frame di Jordan la gravità è descritta dalla sola metrica
, mentre nel frame di Einstein oltre
alla metrica ̃ è presente un campo scalare (che formalmente gioca il ruolo di un ‘campo di
materia’ esterno) agente come una sorgente per il tensore metrico ̃ e corrispondente al grado di
libertà scalare presente in più nelle equazioni di campo del frame di Jordan(cfr. nota 2),
considerando che nella Lagrangiana di tipo
(5.3) non è stato introdotto alcun campo di
materia, allora il campo scalare è un aspetto non metrico della gravità stessa e quindi benché
matematicamente i due frames siano equivalenti, sono invece differenti a livello fisico visto che nel
frame di Einstein la gravità non è più rappresentata dalla sola metrica. Si può tuttavia pensare che in
una teoria gravitazionale nel vuoto l’equivalenza fisica può essere ristabilita se si considera il frame
di Jordan relativo ad un modello scalare-tensoriale in cui il grado di libertà scalare sia già stato
unificato e l’interazione gravitazionale reale sia descritta dalla metrica riscalata ̃ nel frame di
Einstein, benché non ci sia modo a priori di stabilire quale dei due frame possa essere considerato
quello fisico. Ponendosi invece in presenza di campi di materia l’ambiguità cade, perché i due
2
La trasformazione dal frame di Jordan a quello di Einstein consiste sostanzialmente nel riscalare [51] conformemente
la metrica dello spazio-tempo:
̃ , cioè la trasformazione agisce sulle lunghezze di tempo e spazio, sulle
norme dei vettori ecc, ma lascia invariati i coni di luce, cioè i due spazi hanno la stessa struttura causale; quando nella
teoria è presente un campo scalare ξ anch’esso viene trasformato in ̃, ottenendo così le nuove variabili dinamiche
( ̃ ̃)chiamate Einstein conformal frame, mentre(
) costituiscono il frame di Jordan. Quando nella teoria è
presente un grado di libertà scalare , come in
esso genera la trasformazione al frame di Einstein nel senso che
il riscalare è completamente determinato da una funzione di ,
119
tensori metrici interagiscono diversamente con i campi esterni e la metrica fisica si può stabilire
imponendo che le particelle test neutre percorrano le sue geodetiche. Scegliere il frame fisico è
fondamentale per stabilire le leggi di conservazione in una teoria
[54], quindi ha senso
esaminare quali sono le quantità conservate tanto nel caso sia
la metrica fisica quanto nel caso
in cui lo sia la metrica conformemente riscalata ̃ , in quanto i due casi descrivono differenti
modelli fisici di interazione gravitazionale dei campi di materia ed ognuno di essi può essere
formulato in maniera consistente in entrambi i frames costituendo un differente punto di vista.
I) La metrica originale
è fisica:
La lagrangiana per la gravità ed i campi di materia
è:
√
(5.6)
Variando l’azione rispetto a
si ottengono le equazioni di campo per la gravità:
(
dove
e
)
(5.7)
(√
√
). Dal teorema di Noether segue l’identità di
Bianchi
che dà la conservazione di
.
Usando la trasformazione conforme introdotta precedentemente si ottiene la lagrangiana nel frame
di Einstein (in questo caso di metrica+ campo scalare+ materia) che è dinamicamente equivalente
alla(5.6)
̃
√ ̃[̃
√
̃
√
̃ ]
(5.8)
da essa deriviamo le equazioni di campo:
̃
dove
√
̃
√
̃
(5.9)
è il tensore energia-impulso del campo , definito come:
̃
̃
̃
(5.10)
Ed in questo caso l’identità di Bianchi diventa:
̃ [
̃
√
√
̃ ]
(5.11)
120
che mostra come i due tensori non si conservano separatamente dato che come si vede nella
̃ ̃
(5.8) il campo scalare e i campi di materia sono accoppiati.
II) La metrica conformemente riscalata ̃ è fisica
In questo caso partiamo dalla lagrangiana nel frame di Einstein che è:
̃
√ ̃[ ̃
̃
̃ ]
(5.12)
dove non compare il termine d’interazione tra campo
e campi di materia, poiché non c’è un
motivo fisico per assumere che siano accoppiati, mentre nel primo caso ciò sussisteva poiché era
una manifestazione della gravità stessa, mentre qui il frame di Jordan fornisce le equazioni espresse
tramite
per la teoria unificata che include i gradi di libertà gravitazionali e scalari.
Derivando in questo caso le equazioni di campo si ha:
̃
̃
Dove
̃ è come definito sopra mentre
interazione tra
̃
(5.13)
√ ̃
̃
(√ ̃
), data l’assenza di
e
si conserva sia il tensore impulso totale
che i due tensori
̃
singolarmente ̃
. Riportando la (5.13) nel frame di Jordan per trovare
l’interazione della materia con la metrica
, non si perviene alla conservazione del tensore
energia-impulso.
Dunque a questo punto si può affermare che interessandoci a teorie gravitazionali con sorgenti
esplicite, a seconda dell’ottica che si vuole adottare, un solo frame alla volta ha significato fisico.
Nel nostro caso in particolare stiamo cercando di dare una spiegazione alla frazione di energia
dell’universo non interpretabile come materia o radiazione nell’ambito della RG, dunque tutto ciò
che non è materia o radiazione deve essere attribuito alla modifica della gravità , ossia
all’introduzione della funzione
, dunque le osservazioni stesse portano a considerare il frame
di Jordan come fisico, poiché in esso vengono unificati tutti gli eventuali termini che contribuiscono
all’energia oscura.
5.1.2 VALIDITÀ DELLE TEORIE
: VINCOLI LOCALI E COSMOLOGICI
Al fine di scegliere una funzione
in grado di generare una teoria gravitazionale che riproduca
i risultati cosmologici, ovvero sia coerente con la storia dell’espansione dell’universo confermata
dalle osservazioni, occorre stabilire dei vincoli su di essa. La teoria della gravità così modificata dà
luogo infatti ad una modifica nelle equazioni che governano il moto dell’universo, le quali devono
risultare in accordo con l’attuale fase di accelerazione preceduta da epoche dominate da radiazione
e materia, ovviamente a questi vincoli vanno aggiunti quelli di stabilità e la verifica della gravità
locale.
Partendo dall’azione modificata con la generica
, già definita in (5.1):
121
√
dove ho esplicitato il contributo di
che è l’azione relativa ai campi di materia . Nell’approccio
variazionale standard, appartenente al cosiddetto formalismo metrico3, adottato anche in 1.5 derivo
le equazioni di campo variando l’azione rispetto a
e ottengo:
(
)
(5.14)
La traccia di quest’equazione descrive la dinamica di
⁄
ed è:
(5.15)
dove
essendo
e
rispettivamente la densità di energia e di
pressione della materia, le cui densità soddisfano le usuali equazioni di conservazione: ̇
e ̇
;
costituisce il grado di libertà in più che ha la teoria gravitazionale
nel frame di Jordan e ci fornisce anche il primo vincolo che deve essere rispettato nella scelta
di
: deve essere infatti
per evitare il manifestarsi di antigravità in qualsiasi range di
curvatura.
Le teorie
vengono costruite nel limite di realizzare asintoticamente una soluzione di De Sitter
(cfr 2.3.3), che corrisponde ad una soluzione di vuoto con scalare di Ricci costante; al cosiddetto
punto di De Sitter4 si ha che
, per cui risulta che:
3
Per derivare le equazioni di campo dall’azione che si definisce in una teoria della gravità, esistono due modi di
procedere dipendenti dall’interpretazione che si dà alla forma del tensore di Ricci
, questo infatti è legato alla
metrica e alle connessioni
(che definiscono la derivata covariante in uno spazio curvo), i due metodi, pur portando
alle stesse equazioni(nel contesto di RG e modifiche che ad essa si riconducono), si distinguono per come vengono
trattate le connessioni. Il metodo di Einstein-Hilbert che è quello del formalismo metrico identifica le connessioni con i
simboli di Christoffel (cfr. cap.1) i quali sono completamente definiti dalla metrica, il metodo di Palatini invece tratta le
connessioni come variabili proprio come la metrica
, quindi
è visto come funzione della metrica, della sua
derivata prima e della connessione
; essendo metrica e connessioni trattate come gradi di libertà dinamici
indipendenti ,ci sono due set di equazioni dinamiche provenienti dall’estremizzazione dell’azione rispetto alla metrica
e alle connessioni.
4
Nello studio analitico dei modelli
, a cui mi sto riferendo, si tratta la dinamica cosmologica del generico modello
̇
̇ ),
di gravità modificata introducendo 4 variabili adimensionali: (
) che sono funzioni di(
attraverso le quali si può definire anche per tali modelli un
, mentre variandole rispetto al
si costruisce un
⁄ ed
sistema di equazioni in grado di rappresentare i vincoli cercati in termini di due parametri
)
⁄
, tale sistema ammette dei punti critici che stabiliscono le diverse caratteristiche evolutive cui
possono dar luogo
di tipo diverso e le condizioni di validità e stabilità cosmologica cercate; in particolare, infatti,
tra tali punti critici si definisce
che è il punto di De Sitter (che in realtà è una famiglia di punti) il quale riassume le
122
(5.16)
molti modelli costruiti con funzioni
aventi punti di De Sitter, però, soffrono di problemi sulla
corretta descrizione della gravità locale nonché sull’esistenza di un’ epoca di materia in quanto in
essi non è rispettata la condizione
, che costituisce sia un vincolo locale che
cosmologico (quindi per ogni curvatura) e deriva dall’imporre stabilità alla teoria per piccole
perturbazioni. Infatti ponendoci in un regime perturbato [52] possiamo considerare fluttuazioni del
background intorno ai valori attuali di curvatura
e densità
e sviluppare in serie di potenze
delle fluttuazioni la (5.15) in approssimazione di campo debole, quindi esprimendo lo scalare di
Ricci, il tensore metrico e quello energia-impulso e la funzione
in una parte di background più
un termine di perturbazione:
, ,
,
e
Minkowski
(
(dove si è usata l’approssimazione che la metrica di background sia quella di
), l’equazione della dinamica di diventa:
)
dove
(5.17)
e
[
Qui la quantità
è così definita:
]
[
]
(5.18)
caratterizza la deviazione dal modello CDM (
background cosmologico omogeneo ed isotropo
riduce a:
è funzione solo del tempo cosmico e la (5.17) si
̈
segue che se fosse
), in un
(5.19)
allora
rappresenterebbe una forte instabilità, quindi la condizione:
(5.20)
condizioni di esistenza di una fase accelerata tendente asintoticamente ad una soluzione di dark energy con
parametro
.
123
è necessaria per la stabilità delle perturbazioni cosmologiche, in virtù del vincolo già espresso su
segue che per valere la (5.20) deve essere
. Nel frame di Einstein questa condizione
significa chiedere che la particella scalare (scalarone) associata a , cioè al grado di libertà in più,
non sia tachionica, cioè con massa quadratica negativa, da qui si comprende anche che
rappresenta proprio questa massa quadratica e può essere pensata come la derivata seconda
rispetto a del potenziale efficace
associato ad esso.
Per la consistenza con i vincoli imposti dalla gravità locale, nel sistema solare, quindi in condizioni
di alta densità(e quindi curvatura, dove cioè lo scalare di Ricci è molto più grande di
suo valore
su scala cosmologica , la teoria
deve avvicinarsi al modello CDM , quindi il vincolo locale
richiede che
per
.
Il comportamento cosmologico dei modelli
può essere compreso utilizzando un approccio
geometrico che consiste nello studiare la curva
nel piano
(cfr nota 4) dove ricordo che :
con
(5.21)
Come detto sopra
quantifica la deviazione del modello
dal modello CDM, infatti
considerando un modello di pura costante cosmologica
risulta
Si dimostra che l’esistenza di una fase di materia che preceda quella di accelerazione richiede che la
variabile soddisfi le condizioni:
e
⁄
per
La seconda delle quali è richiesta affinché l’espansione entri in una fase accelerata dopo la fase
della materia. Quindi nel piano (
) il punto (
) è detto punto di materia e contraddistingue i
modelli che ammettono un’epoca di materia standard, cioè con andamento del fattore di scala del
⁄
tipo
.
L’esistenza di una fase finale accelerata che segue quella di materia e che asintoticamente tende alla
soluzione prevista nel caso domini una componente di energia oscura con equazione di stato
(De Sitter) si ha se:
per
Sempre in riferimento al piano (
), la retta
, nota come linea critica,
contraddistingue, infine, i modelli che non hanno un’espansione di tipo phantom (
).
Quindi solo modelli che hanno curve
che connettono tali regioni del piano e soddisfano tali
condizioni portano ad una storia cosmologica accettabile.
Lo studio analitico e numerico delle teorie gravitazionali modificate con una funzione di tipo
ha portato a suddividere tali modelli in quattro classi fondamentali, che ammettono tutte un
andamento accelerato nello stage finale ma sono contraddistinte dall’esistenza o meno in esse di
una fase standard di materia [56]; tali classi si possono riassumere attraverso le seguenti
caratteristiche: (I) portano a soluzioni errate, incompatibili con le osservazioni cosmologiche (a
124
questa classe appartengono le
che danno luogo a tutte quelle curve
che non connettono
soluzioni accelerate con il punto di materia), (II) tendono asintoticamente a soluzioni di De Sitter,
(III) sono fortemente phantom, (IV) si avvicinano a DE standard. Modelli della seconda e della
quarta classe sono quelli presi in considerazione come alternativa al modello standard per spiegare
questa fase di energia oscura.
I vincoli così stabiliti hanno permesso di escludere molti dei modelli
: il primo ad essere
⁄
proposto assumeva una
in grado di spiegare che come l’’universo si espande,
l’inverso della curvatura domina producendo un’espansione accelerata, ma è chiaro che tale
modello non verifica i vincoli di gravità locale e mette in luce anche un altro problema cui vanno
incontro i modelli di gravità modificata in questione: la gravità di tipo
introducendo un grado
di libertà scalare tradotto nel frame di Einstein con un campo scalare(
cui formalmente risulta
associato lo scalarone che media il suo accoppiamento con la materia, necessita per riprodurre
l’accelerazione su scale cosmologiche che tale particella debba essere molto leggera(
e ciò crea una sorta di quinta forza a lungo raggio o equivalentemente una
dissociazione della curvatura dello spazio tempo dalla densità locale[57], cosicché intorno al Sole ci
sarebbe una metrica che non si accorda con le osservazioni, dunque non sarebbero rispettati i
vincoli solari. Una soluzione che si è teorizzata per questo problema, che fondamentalmente nasce
dal pensare il Sole immerso in un background di densità cosmologica, è che se l’alta densità può
essere associata all’alta curvatura, allora potrebbe esistere un meccanismo cosiddetto camaleonte
per cui allo scalarone viene associata una massa che dipende fortemente dalla densità di materia
locale, in modo tale che in regioni altamente dense, come il sistema solare, la massa sia grande e
quindi le violazioni del principio di equivalenza5 siano esponenzialmente soppresse, mentre su scale
cosmologiche, quindi regioni con densità molto bassa lo scalarone possa essere molto leggero e
quindi in grado di generare l’accelerazione osservata, si comprende bene perché modelli che
ammettono ciò siano detti camaleonte.
Le condizioni di validità cosmologica definite nel piano
hanno permesso di escludere modelli
del tipo
,per ogni , che potevano essere plausibili generando una modifica
apprezzabile alla lagrangiana di Einstein per basse curvature, ma si dimostra che causano un
cambiamento tale nel fattore di scala da produrre un andamento nella fase dominata dalla materia
⁄
del tipo
. In figura 5.1 sono rappresentati graficamente due di questi modelli, per i quali
la non validità cosmologica si legge in considerazioni grafiche nel piano suddetto, secondo i vincoli
posti su
.
5
La forza scalare mediata da ϕ non obbedisce al principio di equivalenza, che è compatibile solo conforze mediate da
campi di spin 2.
125
Figura 5.1 : Nei due grafici sono rappresentate le curve
(tratteggiate in verde) per due diverse
del tipo
,
dove si vede la loro non validità nel descrivere l’evoluzione dell’universo, perché entrano in regioni proibite dai vincoli:
quelle delimitate dalla linea punteggiata, inoltre non c’è connessione tra il punto di materia(-1,0) e il punto di De Sitter . I
triangoli grigi indicano le direzioni proibite intorno ai punti critici e la linea diagonale è la linea cruciale.
5.2 Modelli
accettabili
Tre modelli essenzialmente verificano i test locali e cosmologici di validità appena esposti e non
presentano problemi di fine-tuning sui parametri, e sono i seguenti:
(A) Il modello di Hu-Sawicki:
⁄
(5.22)
⁄
(B) Il modello di Strarobinsky:
[
(
)
]
(5.23)
(C) Il modello di Appleby-Battye:
( )
(5.24)
Dove ,
e sono parametri costanti positivi e
è dell’ordine di , la curvatura attuale. Questi
tre modelli tendono tutti al modello CDM per
, infatti
così da riprodurre i
risultati della RG con costante cosmologica in regioni di alta densità, d’altraparte, invece, il fatto
che per ognuno di essi valga la
, significa che la correzione alla Relatività Generale
scompare in un universo piatto, ossia in tali modelli l’energia oscura è un effetto indotto puramente
dalla curvatura, se lo scalare di curvatura diminuisse indefinitamente questi modelli non
tenderebbero a un universo di De Sitter dove c’è una lagrangiana con costante cosmologica
ma piuttosto alla RG standard
. Tuttavia si trova che a valori
√
√
126
plausibili dei parametri che caratterizzano tali modelli, la curvatura si congela ad un fissato valore e
cessa di diminuire con la densità di materia generando, quindi, una classe di modelli che
asintoticamente hanno lo stesso comportamento di una costante cosmologica.
Questi tre modelli, anche se analiticamente diversi, sono simili nelle modifiche apportate alla RG,
considerando per essi uno sviluppo per
sia per (A) che per (B) troviamo:
[
( ) ]
(5.25)
Utilizzando le (5.21) segue che
e
in questo caso sono:
Ovvero in questo limite i modelli (A) e (B) hanno una deviazione da CDM del tipo:
(5.26)
con
e una costante positiva, un tale andamento esprime il fatto che i modelli di
Hu-Sawicki e Strarobinski apportano alla GR una correzione a legge di potenza del rapporto ⁄ ,
che è proprio quello che garantisce il cambio di regime rapido tra la fase passata e quella attuale ed
al contempo permette di rispettare i vincoli locali. Mentre il modello (C) nello stesso sviluppo porta
all’espressione:
[
]
(5.27)
andamento che denota come il modello di Appleby-Battye preveda una soppressione esponenziale
delle correzioni apportate alla RG laddove
e potrebbe rappresentare il caso limite della
correzione (5.26) per
. Quest’ultima in virtù delle sue caratteristiche rimane l’andamento di
base che tutti i modelli di questo tipo devono avere per essere validi. Una variazione più lenta non
produce modifiche accettabili.
5.2.1 LA DINAMICA COSMOLOGICA NEI MODELLI
Una volta stabilita la validità di una funzione
è necessario chiedersi che modifica apporta alle
equazioni di background e soprattutto come esprimere tali modifiche in modo confrontabile con i
dati osservativi e con le altre teorie. Le strade seguite per ricostruire la cosmologia in questo tipo di
modelli sono molteplici, la difficoltà rispetto alla RG è la presenza di termini non lineari in . In
molti casi le equazioni di background sono espresse introducendo quantità efficaci in grado di
renderle nella forma più simili alle equazioni standard ed in più di stabilire una connessione tra i
parametri introdotti col modello (rispetto alla teoria standard) e i parametri cosmologici monitorati
con le misure. Quello che ci consente di procedere in questo modo è che nella gravità
le
127
equazioni di Einstein possiedono termini extra indotti dalla geometria, che passati dal lato destro6
possono essere interpretati come una sorgente con tensore momento-energia
.
Data una
, abbiamo visto come la sua modifica alla gravità produce equazioni di campo (5.14)
e (5.15), ponendoci nella metrica FRW (è stata infatti dimostrata la validità del teorema EGS(nota
21 cap.1)[72] per un universo con gravità
) e considerando per il tensore energia-impulso
l’espressione
(cfr.1.23) si arriva alle equazioni [52]:
̇
̈
̇
(5.28)
̇
(5.29)
Dove per il fluido perfetto ho considerato solo il contributo della materia non relativistica
,
analogamente a quanto fatto nei modelli di DE fisica, al fine di un confronto con i dati osservativi,
riscrivo le (5.28) e (5.29) come:
(5.30)
̇
dove
(5.31)
è una costante e rimangono definite le:
̇
̈
Date così
̇
e
(5.32)
̇
(5.33)
si può facilmente dimostrare che rispettano l’equazione di continuità:
̇
Possiamo, quindi, scrivere un’ideale equazione di stato
la definizione di parametri cosmologici efficaci
e ̂
6
Si può pensare che nella gravità
⁄
anche in questo caso, con
,qui chiaramente il loro significato è
i termini aggiuntivi indotti dalla geometria siano rappresentabili come
128
:
formale e non fisico e la loro forma è legata ai parametri introdotti dalla
, in tal modo essi
consentono di stabilire un confronto tra il modello
adottato ed i dati sperimentali (cfr 4.1), in
quanto si può considerare per essi una variazione all’interno delle formule allo stesso modo di come
abbiamo variato quelli fisici nel confronto tra modello teorico e dati sperimentali, questa
formulazione dell’equazione di stato è quindi direttamente collegata a quella usata nell’analisi delle
osservazioni di SNIa:
̇
⁄
Dove: ̃
(5.34)
̃
̈
⁄
(
)
(
̇)
(5.35)
Questa rappresentazione parametrica della cosmologia
mostra che data una
accettabile, il
modello cosmologico così modificato mostra un andamento passato che approssima quello ΛCDM,
ossia per
e
. L’esistenza di una fase di materia in regime di alto redshift richiede che
sia
in (5.30) e (5.31), un’altra possibile scelta è
dove
è il valore attuale di ,
purché tale valore sia prossimo all’unità, in entrambi i casi esiste la possibilità di avere
prima di raggiungere l’andamento di De Sitter poiché la presenza di
nella (5.34) rende il
denominatore minore di uno. Dunque i modelli
possono dar luogo a equazioni di stato di tipo
phantom senza violare le condizioni di stabilità del sistema.
È stata già ampiamente sottolineata l’importanza del fatto che il modello di gravità modificata
debba riprodurre la storia evolutiva dell’universo per come delineata in virtù dell’accordo tra il
modello ΛCDM e le osservazioni, ciò porta ad una naturale riflessione, divenuta metodo di calcolo
in molti studi condotti su particolari scelte della funzione (Hu-Sawicki 2007, Capozziello 2005 et
al.): si può prescrivere l’andamento voluto del fattore di scala
e integrare un’equazione
differenziale per
che produce il fattore di scala desiderato[72], sebbene ciò non determina in
modo univoco la forma di
, ma ne individua delle classi, come visto nel §5.2; tra l’altro i dati
osservativi danno informazioni sulla storia di
ma non sono sufficienti a ricostruire
completamente
perché occorrono informazioni aggiuntive che potrebbero venire dalle
perturbazioni di densità, di fatto i modelli di gravità modificata possono essere distinti dal ΛCDM
studiando l’evoluzione della crescita delle perturbazioni nella densità di materia.
Come esempio di tale tipo di studio riporto quello condotto da Hu e Sawicki [57] , la cui tipologia
di modelli è stata introdotta nel § 5.2. Essi sono stati esplicitamente pensati per soddisfare vincoli
cosmologici e solari in certi limiti dello spazio dei parametri ovvero con sufficienti gradi di libertà
nella parametrizzazione da abbracciare il più ampio range di fenomeni a basso redshift attualmente
osservabili. Prendiamo in considerazione la funzione
di Hu-Sawicki espressa come:
( ⁄
)
(5.36)
⁄
129
dove
̅
con ̅ densità media dell’universo e
e
parametri adimensionali. Abbiamo già
discusso la sua attendibilità come modello di gravità modificata in relazione al rispetto dei vincoli
discussi per le teorie
, infatti si riconduce alla fenomenologia del ΛCDM essendo
e
, ora descriviamo le equazioni del moto di background.
Ripartendo dalle equazioni di campo modificate, considerando acquisite le condizioni in cui si
passa all’equazione di Friedmann:
(
)
(5.37)
Per un background di tipo FRW piatto abbiamo che (cfr.1.58):
(5.38)
⁄
Dove
è il parametro di Hubble e l
diventano le equazioni di Friedmann modificate:
, quindi le equazioni di Einstein modificate
̅
(5.39)
Riscriviamo questa in termini di due parametri il cui valore scompare nel limite di alto redshift
quando cioè la correzione dovuta ad
è trascurabile, così definiti:
(5.40)
Si ottiene un sistema di equazioni differenziali accoppiate:
(5.41)
[
(
)
]
(5.42)
A questo punto al fine di valutare gli effetti delle modifiche e confrontarli con quelli dei modelli di
energia oscura fisica possiamo ricorrere alla definizione di quantità efficaci che formalmente
descrivono l’effetto di questa correzione che spiega l’accelerazione come fosse un’energia oscura
130
geometrica7, quindi come fosse un fluido, cui si può attribuire una densità di energia aggiuntiva
̃ oltre a quella di materia, cui compete un parametro di stato
che ne detta l’andamento
variabile col fattore di scala(del tipo (2.6)):
̃
(
̃
)
(5.43)
Introducendo questa quantità si può riscrivere la prima equazione di Friedmann come:
̃
( )
(
̃
)
(5.44)
Anche la densità di materia si è espressa come una quantità efficace ̃ in quanto l’unico fluido
reale in questo modello e nelle condizioni in cui ci siamo posti(radiazione trascurabile e universo
piatto) è la materia, che ha quindi densità di energia pari a
1, così in un universo dominato
dalla gravità di Einstein le modifiche sono espresse in termini di quantità efficaci ̃ e ̃ , essendo
̃
̃ . A questo punto si può sostituire la (5.44) nella (5.41) e considerando che
tali che
̃
si arriva a scrivere:
̃
(
)
̃
̃
(5.45)
̃
Dall’equazione di continuità per il fluido ̃ si ha:
̃̇
̃
(5.46)
da cui si ricava che:
̃̇
̃
̃
̇
̃
̃
Attraverso la (5.44) possiamo esprimere
pervenire all’espressione:
̃
̃
̃
(5.47)
in funzione delle equazioni differenziali date e
7
Sto indicando in questo esempio specifico col pedice’ ‘questa componente di natura geometrica che si comporta
come una dark energy, ove precedentemente indicata con pedice ‘ ’ riferendomi al caso generale.
131
(5.48)
Nelle equazioni differenziali vanno espresse anche
passaggio è riscrivere lo scalare di curvatura come:
si ha:
(
)
e
in funzione di
e , necessario
, notiamo che nel limite
(5.49)
per ⁄
a fissato valore ⁄ , il modello tende ad una costante e ad un valore finito di
⁄
la curvatura si congela, non continua a diminuire insieme alla densità di materia, come detto
in precedenza, per cui l’approssimazione fatta vale durante l’intera espansione dell’universo.
Mettendoci, ora, nella prospettiva di valutare le modifiche apportate da
in termini
dell’equazione del moto (5.15) del campo , si dimostra che questo campo è sempre vicino al
⁄
minimo del potenziale effettivo
, il quale è definibile dalla (5.15) come
e si
dimostra avere un minimo in
. Volendo restringere la scelta dei parametri che
controllano la validità del modello al caso in cui la deviazione dell’equazione di stato effettiva da
quella del ΛCDM (
sia nel range |
|
, condizione che equivale ad avere
attualmente
, si può scrivere quindi che:
(5.50)
Dove il termine
è pressocchè costante e riproduce la densità di energia della componente di
energia oscura fittizia ̃ così da legare i parametri liberi a quelli cosmologici:
̃
(5.51)
̃
In questo modo gli unici parametri attraverso i quali possiamo esprimere quanto il modello si
̃ ⁄ ̃ .
discosta da ΛCDM sono . e ⁄
Dunque nel nostro modello l’espansione di un universo piatto le cui componenti sono rappresentate
dai parametri di densità ̃ e ̃ ci porta a:
̃
(
̃
)
(5.52)
Derivando la (5.49) si ha:
(
)
(5.53)
132
Al tempo attuale
(̃
si ha:
(̃
) e quindi:
)
(5.54)
Da cui si ricava che:
(̃
)
(5.55)
In tal modo i parametri che controllano la teoria sono e
e chiarito ciò il sistema di equazioni
differenziali può essere risolto. L’integrazione richiede la definizione di condizioni iniziali, se si
parte da un redshift corrispondente all’epoca di materia allora all’istante iniziale
e si ha
che:
(
(
̃
̃
̃
̃
̃
)
̃
̃
)
̃
come segue rispettivamente dalla (5.44) calcolata in epoca di materia e sostituita in
e dall’aver
considerato la derivata logaritmica della
pari a
che dalla (5.38) porta
all’espressione di già ricavata in (5.52), proprio per
,e che sostituita in
ci dà la
seconda condizione iniziale che ci serve. A questo punto si può risolvere numericamente il sistema
di equazioni differenziali ottenendo gli andamenti di
e
in funzione del fattore di scala o del
redshift , a e
fissati di volta in volta; si può inoltre ottenere l’andamento del parametro
,
nel caso specifico della funzione di Hu-Sawicki dunque lo studio di
ha mostrato che a qualsiasi
fissato valore di
e
il modello presenta attualmente un
che successivamente
decresce e attraversa la linea critica del phantom crossing, mentre spostandosi verso grandi redshift
tende a
nel passato, ovviamente variando i parametri che controllano il modello cambia il
redshift a cui tali passaggi avvengono e la distanza dal valore
.
Anche se in alcuni casi è possibile trovare soluzioni esatte alle equazioni cosmologiche, il
comportamento in generale delle soluzioni può essere valutato con un’analisi nello spazio delle fasi
e per un universo con metrica FRW spazialmente piatto la variabile dinamica è
ed una
conveniente scelta di spazio delle fasi è (
. Quindi per ogni forma della funzione
lo
̇ ), con
spazio delle fasi è una varietà bidimensionale contenuta in uno spazio tridimensionale (
spazi di De Sitter come punti fissi.
5.3 Teorie
Si è considerata un’estensione ulteriore dell’azione di H-E assumendo che il campo gravitazionale
possa essere descritto da equazioni derivate da un’azione espressa come un'arbitraria funzione di
e di
la densità di lagrangiana di materia[67], dove cioè si abbandona la condizione di
accoppiamento minimo. In tali teorie di gravità modificata si ha
133
√
(5.56)
√
Il tensore energia-impulso è
, variando l’azione rispetto alla metrica si
√
derivano le equazioni di campo:
(
)
[
]
(5.57)
⁄ e
⁄
dove
. Le proprietà interessanti che possiamo mettere
in luce di tali modelli sono innanzitutto che non necessariamente
, si ha infatti che:
[
]
(5.58)
La conservazione del tensore momento-energia della materia, allora, richiede che la (5.58) sia posta
uguale a zero, questa condizione, una volta nota la
,ci permette con l’opportuna scelta della
funzione
di costruire modelli conservativi con arbitraria dipendenza materia-geometria.
Un’altra caratteristica nella gravità
è che il moto di particelle test non è geodetico per la
presenza di una forza ulteriore, se ci poniamo nel caso di un fluido perfetto con equazione di stato
del tipo considerato
) e di conseguenza anche
, allora l’equazione del moto è:
+
e la forza
[
è data da:
]
(5.59)
Si nota che è perpendicolare alla quadrivelocità .
Il moto non geodetico è dovuto all’accoppiamento non minimo presente nel modello e implica la
violazione del principio di equivalenza che è altamente vincolato dagli esperimenti nel sistema
solare; comunque è stato recentemente riportato dai dati relativi ad Abell Cluster A586 che
interazioni di dark matter e dark energy implicano la violazione del principio di equivalenza, è
importante dire a tal proposito che tale violazione è anche trovata come proprietà a bassa energia in
alcune versioni di teorie di dimensioni più alte. Quindi è possibile testare questo tipo di modelli in
un contesto di violazione del principio di equivalenza8.
8
Gli interrogativi lasciati aperti dalla RG, portano a riesplorare le nozioni standard alla base della teoria di Einstein per
cercare criteri ulteriori per stabilire modifiche ad essa [47]. Una di tali questioni è se il principio di equivalenza può
fornirci un criterio per fissare la forma delle teorie di gravità modificata. Nella formulazione di Palatini, non
134
L’azione dei modelli
si presenta come la massima estensione dell’azione di H-E per il
campo gravitazionale, essa ha una struttura additiva essendo costruita come la somma di differenti
termini descritti indipendentemente: geometria, materia e loro accoppiamento; d’altraparte le teorie
di gravità modificata
aprono la possibilità di andare oltre questa struttura algebrica e di
esaminare modelli in cui la Lagrangiana è ad es del tipo
[68] cioè
in essa compare il prodotto di distinte funzioni dello scalare di Ricci (
e della Lagrangiana di
materia( ), quindi una sua naturale estensione è lo studio di equazioni di campo in gravità
modificata con arbitrari termini di accoppiamento curvatura-materia. E’ stato studiato l’effetto del
nuovo accoppiamento considerato sull’equilibrio stellare [69] ed utilizzando come modello quello
del Sole si è trovato che l’effetto sulla temperatura centrale (nota con la precisione del 6%) è
inferiore all’1%, valore consistente con l’incertezza delle stime attuali. Le implicazioni astrofisiche
e cosmologiche di tali modelli sono oggetto di attuali studi, per esplorare il legame tra le teorie
e l’evoluzione cosmologica è necessario costruire specifici modelli fisici. La caratteristica
principale di tali modelli è il moto non geodetico e molti studi sono stati compiuti sulle
conseguenze fisiche ti tale forza extra che lo produce e le sue implicazioni per il problema della
materia oscura, cioè la possibilità che le curve di rotazione galattica e la discrepanza in massa nelle
galassie e negli ammassi di galassie possa essere spiegata in modelli gravitazionali in cui c’è un
accoppiamento non minimale tra materia e geometria piuttosto che postulando l’esistenza di una
qualche forma esotica di materia, argomentazione che si ricollega alla teoria MOND (Modified
Newtonian Dynamics) principale alternativa alla materia oscura. Naturale test di verifica di tali
modelli è proprio l’analisi del moto di particelle di prova su scala galattica.
A titolo di esempio riporto uno studio [71] condotto su un modello
di tipo esponenziale9
(Linder 2010) riguardo l’evoluzione del parametro di Hubble nei due casi di accoppiamento minimo
e non, assumendo per esso un’espressione semplice del tipo
. La funzione
di
Linder [70] ha il vantaggio di introdurre un solo grado di libertà in più rispetto al modello ΛCDM
⁄
ed è il parametro che compare nella sua espressione:
essendo
l’attuale curvatura. Si è cercato di porre vincoli osservativi su espresso adimensionalmente
⁄
come
nei due casi di accoppiamento considerati e si è trovato che nel caso di
accoppiamento minimo presenta un limite superiore, nel caso di accoppiamento curvatura-materia
necessariamente le teorie di gravità modificata rispettano il principio di equivalenza formulato da Einstein(EEP). La
classe di teorie di gravità modificata dove le formulazioni metrica e di Palatini si equivalgono è quella delle teorie di
gravità di Lovelock, che mostrano una realizzazione dinamica dell’EEP, nel senso che può essere una richiesta esplicita
sulla dinamica.
9
La cosiddetta gravità esponenziale, dove cioè
si presenta in forma esponenziale ha presentato buoni accordi,
con opportuna scelta di parametri, con i vincoli previsti per tali teorie, l’inconveniente è la grande similitudine col
modello CDM da cui non si discosta tanto da essere un’alternativa vantaggiosa nelle soluzioni che può offrire
rispetto alla teoria standard.
135
esiste un range di possibili valori per e questi vincoli dipendono dal valore di
(misura attuale
del parametro di decelerazione) che si usa. Derivando nei due casi diversi un’equazione di
evoluzione dell’universo differente (quindi un andamento diverso per ), si è scelto di esprimerla in
forma parametrica attraverso tre quantità , ossia il parametro del modello di gravità esponenziale e
i due parametri cosmologici
e
e di studiare i due andamenti in funzione del redshift . Il
confronto per tale modello è stato fatto con i dati relativi alle supernovae di tipo Ia provenienti da
Union2 dataset che contiene 557 moduli di distanza
con
la nota distanza di
luminosità (3.23) e dati relativi alle oscillazioni acustiche barioniche prodotte sulla superficie del
disaccoppiamento,
per
essi
si
calcola
il
rapporto
di
distanza
⁄
dai dati di SDSS, questi dati osservativi insieme
hanno permesso di porre vincoli sul modello a tre parametri adottato. Entrambi i modelli
ammettono il passaggio da una fase di decelerazione ad una di accelerazione, nel modello con
accoppiamento il parametro di Hubble evolve più velocemente. Infine, come già anticipato, per il
modello minimamente accoppiato si trova sempre un limite superiore per nonché per , che può
variare variando
, cioè si sposta verso valori più alti come si incrementa
e per inferiori il
modello diventa patologico presentando singolarità in
, mentre il modello con accoppiamento
presenta un range di valori possibili per ogni valore di ,intervallo che al crescere di
si sposta
verso valori più piccoli di .
Figura 5.2: Contorni 1σ e 2σ nel piano (
per il modello minimamente accoppiato(fig. sinistra)e per il modello con
accoppiamento(fig. destra)le linee continua, tratto e tratto-punto si riferiscono rispettivamente a
.
5.4 Ulteriori modelli di gravità modificata: il termine di Gauss-Bonnet
Le teorie
formalmente aggiungono un grado di libertà al campo gravitazionale che si esplicita
nell’introduzione di un campo scalare, ma l’azione di H-E può essere modificata aggiungendo
136
anche termini di tipo diverso, un caso è quello del termine di Gauss-Bonnet, , che pur essendo
una combinazione dei tensori di Ricci (
) e di Riemann (
) e quindi fa comparire nella
lagrangiana termini del secondo ordine nella metrica, non dà luogo necessariamente ad
instabilità.
è così definito:
(5.60)
utilizzando tale termine invariante si è esaminata la possibilità di riprodurre l’accelerazione cosmica
accoppiando
ad un campo scalare, andando a studiare le equazioni del moto prodotte da
un’azione del tipo:
√
[
]
(5.61)
Dove
e
sono funzioni del campo scalare . L’interesse nell’esaminare modelli di questo
tipo nasce dal fatto che azioni come la (5.61) emergono in teorie efficaci a basse energie di stringhe
[64]. Tuttavia sia i vincoli solari che un confronto di tali modelli con i dati relativi a BAO, LSS e
BBN, hanno dimostrato che sono fortemente sfavoriti perché quando il termine
diventa
dominante nella dinamica le perturbazioni del tensore sono soggette ad instabilità negative, mentre
nel confronto con i vincoli locali il contributo all’energia proveniente da
dovrebbe essere
fortemente ridotto per essere consistente con gli esperimenti nel sistema solare [52]. Ciò è
sufficiente per concludere che il termine di Gauss-Bonnet accoppiato ad un campo scalare
difficilmente è interpretabile come sorgente di dark energy e quindi alla base di un modello che la
descriva.
Sono stati studiati anche modelli in cui il termine
compare in forma funzionale
a
modificare l’azione della RG analogamente a quanto fatto nelle teorie
e seguendo gli stessi
criteri si è studiata la validità a scale solari e su scala cosmica trovando che soluzioni di De Sitter
⁄
stabili, per descrivere la recente fase evolutiva, sono ammesse se
, condizione che
evita la loro instabilità nelle fasi di
materia e radiazione, tali modelli, pur essendo
cosmologicamente accettabili a livello di background, tuttavia generano crescita nelle
perturbazioni10(instabilità UV) non compatibili con le misure.
Infine sono state formulate teorie
che presentano accoppiamento curvatura-materia [65], dove
compare a moltiplicare
(densità di lagrangiana di materia) in un’azione di tipo:
10
La crescita delle perturbazioni in questo tipo di modelli diventa maggiore a scale più piccole generando un’instabilità
ultravioletta non compatibile con lo spettro delle galassie osservate e che li esclude come possibile alternativa al
ΛCDM.
137
√
{
}
(5.62)
qui sto ponendo
. Variando l’azione rispetto alla metrica si ottengono le equazioni del
campo gravitazionale con le opportune modifiche rispetto alla(1.28) per la presenza di termini del
tipo ⁄
le quali mostrano che
cioè il tensore energia-impulso della materia
( ⁄ √ ) (√
)⁄
non si conserva per via dell’accoppiamento con la geometria e ciò
comporta anche che le equazioni del moto di una particella prova non sono geodetiche per la
presenza di una forza aggiuntiva che si presenta come una
. Tuttavia in tali modelli
si sono studiate le condizioni energetiche affinché la gravità così modificata si mantenga attrattiva e
i criteri di stabilità per punti di De Sitter e al fine di ottenere informazioni sul significato di queste
condizioni di energia sono state fatte specifiche scelte di funzioni di
sia nel caso
che
nel caso
(dove
e per imporre le condizioni suddette si son considerate delle
e
cioè quantità effettive definite in funzione di (
, ,
) assimilando questi modelli
formalmente a quello standard di Relatività Generale, per cui tali condizioni possono degenerare in
quelle ben note della RG e inoltre condizioni e candidati per spiegare la fase di accelerazione
dell’universo nei casi specifici di
presi in esame, sono stati studiati attraverso l’introduzione
⁄ come prevede la condizione di universo
di un’equazione di stato per la materia con
accelerato e di una legge di potenza per il fattore di scala, trovando che gli effettivi candidati per
⁄ o un
spiegare l’equazione cosmica sono o una quintessenza efficace con
phantom efficace con
.
Le teorie
così come le teorie
di gravità modificata possono portare a rappresentazioni
effettive di tipo phantom o di quintessenza per la dark energy senza la necessità di introdurre
termini cinetici negativi (potenziali di tipo phantom) o fluidi ideali con pressioni negative [64],
quando è definibile un
assimilabile a quello dei modelli di DE fisica in questione.
5.5 Modello DGP
All’interno della teoria delle stringhe si è fatto spazio il concetto di brana 11 ed in tale contesto sono
stati formulati modelli chiamati mondo di brane nei quali si suppone che lo spazio-tempo in cui
viviamo coincida con l’evoluzione temporale di una brana 3-dimensionale (quindi è una varietà 4-
11
Negli ultimi anni hanno riscosso molto interesse teorie di campo dove il modello standard della fisica delle alte
energie è assunto aver ragion d’essere su una superficie, chiamata genericamente brana, incorporata in uno spaziotempo più ampio, modelli che derivano dalla string- M-Theory , o D-branes o altri con approccio più sperimentale
sono stati studiati soprattutto in cosmologia [78].
138
dimensionale) immersa in uno spazio-tempo esterno
, bulk , che ha una dimensione spaziale
extra e quindi ha in totale
dimensioni. In questo scenario è stato formulato il modello DGP
(Davli-Gabadadze-Porrati) che tenta di spiegare l’accelerazione attraverso l’effetto di dispersione
della gravità in extra-dimensioni. Sostanzialmente si affronta la questione di come possa emergere
una gravità 4-dimensionale in uno spazio-tempo di Minkowsky con extra-dimensioni [76]. Nel
modello standard di brana le particelle sono confinate sulla brana 3D mentre la gravità no 12 perché
può diffondersi nel bulk.
Nel modello DGP l’azione è costruita in modo tale che a brevi distanze si ritrovi il potenziale
standard della gravità in 4D, mentre a larga scala si manifesti la gravità in 5D [74,76] ed è
esprimibile come:
√
√
√
(5.63)
Dove
ed
sono rispettivamente la massa di Planck e lo scalare di Ricci nello spazio 5dimensionale, è il determinante del tensore metrico
nel bulk con
, mentre
13
la metrica indotta sulla brana è
con
ed il corrispondente
scalare di Ricci,
è la lagrangiana di materia confinata sulla brana; si riconosce nel primo e nel
secondo termine l’azione di Hilbert-Einstein rispettivamente nel bulk 5D e nella brana. Il secondo
termine, che è caratteristico del modello DGP rispetto al modello standard di brana è quello che
permette di ottenere una gravità newtoniana 4D a piccola scala e lo si può pensare generato o da
effetti quantistici sulla materia confinata sulla brana, quindi come correzione quantistica alla gravità
5D del bulk, oppure per accoppiamento con un campo scalare 5D, tale termine recupera le consuete
leggi gravitazionali riproducendo la gravità come un termine di curvatura intrinseco della brana
[78]. La lunghezza caratteristica di crossover che segna il passaggio da un regime 14 gravitazionale
all’altro
è:
12
Questo concetto nel modello di brana è in accordo con la teoria della relatività generale per cui la gravità è
intrecciata con lo spazio-tempo, quindi si diffonde nel bulk e non rimane confinata sulla brana.
13
e
le
sono le coordinate del nostro universo e la è la
coordinata della extra-dimensione, per cui la brana è collocata in
.
14
L’andamento dei potenziali gravitazionali, sulla brana
e nel bulk
si trova per integrazione della funzione di
Green:
dove la
può essere espressa come la trasformata di Fourier
| |
̂
, essendo il 4-impulso e ̂
, studiando l’espressione di
per
si ritrova
mentre nel caso
si determina l’andamento nel bulk
139
[77].
(5.64)
per scale di lunghezza caratteristica
√
molto più piccole di
la gravità si
comporta come nell’usuale teoria 4D, mentre a grande distanza si perde nel bulk in modo tale da
determinare un indebolimento della gravità sulla brana, attraverso questo meccanismo si comprende
l’importanza che le dimensioni maggiori giocano in tale modello, perché determinano
l’accelerazione dell’universo oltre la scala del crossover dei potenziali 4D e 5D. Quindi
l’accelerazione avviene sulla brana senza l’introduzione di alcuna costante cosmologica in essa,
In termini del raggio di Hubble( per un universo piatto) il passaggio da un andamento del potenziale
gravitazionale all’altro avviene quando
è dello stesso ordine di grandezza della lunghezza scala
di crossover della gravità 4D e 5D, quindi affinché questo modello possa trovare accordo con i
risultati raggiunti dalla cosmologia standard si deve assumere che
che equivale a scegliere
[77].
Se si assume una metrica FRW sulla brana si possono scrivere le equazioni di Friedmann del
modello DGP che presentano delle modifiche rispetto al modello cosmologico standard
permettendo di confrontare la teoria con le osservazioni[79, 80]. La prima equazione di Friedmann
nel modello DGP è:
√
(5.65)
Dove rappresenta il fluido cosmico costituito in tale modello solo da materia e radiazione, è il
consueto fattore di curvatura spaziale. Analogamente a quanto visto per gli altri modelli è possibile
definire la funzione:
√
√
Dove sto trascurando il parametro di curvatura
considerando uno spazio-tempo piatto con
⁄
e dove
. Il modello DGP piatto risulta dipendente solo dal parametro
.
I dati sperimentali provenienti dai quattro studi fondamentali della dark energy , secondo il progetto
DETF, hanno permesso di stabilire un confronto del modello DGP col modello standard tanto
considerando una prospettiva geometrica (con le misure sulle SN Ia, sulle BAO e sulle anisotropie
della CMB), quanto una prospettiva dinamica (con le misure relative alla funzione di crescita
140
⁄ delle perturbazioni lineari della materia espressa in funzione del redshift ).
Utilizzando una statistica del per ogni set di dati considerato15 si è costruita la funzione totale di
probabilità
⁄
come prodotto delle singole probabilità:
e si è trovato che questo modello è statisticamente sfavorito rispetto al modello ΛCDM. Dunque
sebbene una tale teoria presenti problemi di natura fenomenologica, la cosmologia in essa
sviluppata può aiutare a comprendere meglio questo genere di modelli e l’idea della localizzazione
della gravità attraverso un termine di curvatura intrinseca sulla brana.
5.6 Modelli olografici di energia oscura
In uno contesto di gravità quantistica è stato formulato un modello olografico di energia
oscura(HDE), al quale ho fatto brevemente riferimento nel §3.6. HDE ed altri modelli olografici
teorizzati per la DE (ADE: agegraphic dark energy e RDE: Ricci dark energy) si fondano sul
principio olografico che determina il range di validità di una teoria quantistica di campo che dia
un’accurata descrizione dell’energia oscura [81]. Questo principio impone un legame tra i cut-offs
(UV) a piccole distanze e a grandi distanze (IR) dovuto al limite imposto dalla formazione di un
buco nero16, esso afferma che se la densità di energia quantistica di punto zero è rilevante al cut-off
UV, l’energia totale dell’intero sistema che abbia dimensione caratteristica non può superare la
massa del buco nero di uguale dimensione, condizione che si esprime come:
, se il sistema
che si considera è l’intero universo, l’energia del vuoto pensata relativamente a tale principio
olografico è vista come energia oscura, detta energia oscura olografica e la sua densità in tale
modello è pari a:
(5.66)
15
Per una quantità fisica ξ con valore osservato
del
è:
. La statistica del
, valore teorico aspettato
e deviazione standard
, il valore
è stata usata per ottenere il miglior fit dei parametri in relazione al
modello cosmologico usato, di per sé non costituisce uno strumento per definire la validità del modello.
16
In una teoria di campo con cut-off UV
all’interno di una scatola di volume l’entropia
scala estensivamente:
. La peculiare termodinamica del buco nero, però, ha portato Bekenstein ad affermare che l’entropia
massima non si comporta estensivamente, crescendo soltanto come l’area della scatola
e non come il volume:
. Questo spiega la formulazione del principio olografico in una teoria quantistica di campo.
141
Dove
è il parametro che caratterizza il modello,
⁄√
è la massa di Planck ridotta,
scegliendo il cut-off IR nella scala di Hubble
, ad esempio
, la dimensione del nostro
attuale universo, allora la densità di energia oscura sarebbe vicina al valore osservato. In una
formulazione più generale di HDE la dimensione del cut-off IR corrisponde all’orizzonte degli
eventi futuro:
(5.67)
Anche se la scelta
sembra essere favorita ad esempio ammettendo nel modello
un’interazione tra materia oscura ed energia oscura [81].
I vantaggi che presenta un modello di energia oscura olografica sono relativi al fatto che
permetterebbe simultaneamente una soluzione ad entrambi i problemi del modello standard, come
già visto per il problema del fine-tuning, che si riduce all’appropriata scelta di e al problema della
coincidenza poiché ammette per l’energia oscura un’equazione di stato dinamica, infatti l’equazione
di Friedmann che si scrive per tale modello, ipotizzando uno spazio piatto è:
(5.68)
Combinando la definizione di dark energy olografica (5.66) e l’espressione (5.67) con l’equazione
di Friedmann appena data, si arriva a scrivere l’equazione di stato relativa:
(5.69)
⁄
⁄
Si vede come tale equazione evolve dinamicamente e soddisfa la
posta la condizione
. Dunque tale modello ammette un’evoluzione per la dark energy
olografica senza ricorrere al campo scalare di quintessenza. Il parametro è quello che si cerca di
quantificare in un confronto con i dati sperimentali, infatti se
il comportamento dell’energia
oscura olografica è molto simile a quello di una costante cosmologica e l’espansione dell’universo
ricalca quella prevista dal modello standard con una fase futura di De Sitter; se invece
l’energia oscura si comporta secondo il cosiddetto modello Quintom, cioè la sua equazione di stato
attraversa la linea phantom durante l’evoluzione poiché
passerebbe da un valore
nel
passato, ad un valore
, se invece
allora il parametro dell’equazione di stato della HDE
sarà sempre maggiore di
e quindi l’universo evita di entrare in una fase di De Sitter e di Big
Rip.
Tanto i risultati provenienti dalle osservazioni delle SNe Ia sono stati utilizzati per porre vincoli sul
parametro del modello olografico, tanto in un secondo momento all’analisi sono stati aggiunti
unitamente i dati della CMB e delle LSS (fig. 5.3). I soli dati delle supernovae sono consistenti col
caso
al livello di confidenza
e non sono sufficienti a porre vincoli stringenti, anche perché
molto sensibili al valore che si attribuisce al parametro
, l’analisi combinata anche con i dati
provenienti dallo spettro della CMB e dalle strutture su larga scala hanno permesso di trovare
vincoli più stretti, il miglior fit dei parametri in gioco ha prodotto i seguenti risultati:
,
142
e
(numero adimensionale17 con cui si parametrizza ) [81,82], sempre
secondo una statistica del (cfr 5.4).
Continuano ad essere effettuati test di validità del modello olografico ad alti redshift, come
accennato relativamente al test di Sandage-Loeb [30,31].
Figura5.3: Distribuzione di probabilità relativa ai valori del parametro c nel fit di dati di solo SNIa e in quello relativo ai dati
di SNIa+CMB+LSS insieme[82].
5.7 Considerazioni finali
I problemi di consistenza del modello cosmologico standard nel riconoscere nel vuoto la sorgente di
energia oscura per spiegare l’accelerazione nell’espansione cosmica osservata hanno evidenziato
come l’energia del vuoto sia un problema che coinvolge tanto la meccanica quantistica quanto la
gravità, essendo questa la sola forza in natura in grado di confrontarsi con essa. Da qui il proliferare
di modelli che cercano soluzioni al problema dell’energia oscura tanto dal punto di vista
quantistico, con la giusta valutazione dell’energia del vuoto, tanto nella revisione della teoria
17
Il parametro di Hubble viene spesso riportato in termini adimensionali attraverso :
143
.
gravitazionale ed infine all’interno della teoria delle stringhe, cioè della teoria quantistica della
gravità.
In tali modelli l’energia oscura ed i suoi effetti sull’espansione sono stati caratterizzati attraverso il
parametro dell’equazione di stato
che non è la quantità direttamente misurabile, ciò suggerisce
che è conveniente introdurre una descrizione dell’energia oscura che sia meglio abbinata alle
osservazioni, nonché la formulazione di modelli teorici in grado di fare previsioni abbastanza
specifiche da selezionare il migliore modello corrispondente e distinguerlo dal modello ΛCDM,
essendo attualmente il più in accordo con i dati sperimentali[80]. Esso fornisce la spiegazione più
semplice per la dark energy, considerandola l’energia del vuoto cui associare un parametro
, pur soffrendo dei problemi di coincidenza e di fine-tuning. Il modello teorico della
quintessenza che spiega l’esistenza di una dark energy attraverso la presenza di un campo scalare
cui associare un’equazione di stato lentamente variabile nel tempo, con l’assunzione di soluzioni
traccianti si accorderebbe con la storia evolutiva tracciata dal ΛCDM , non incorrendo in
incongruenze con i dati sperimentali, relativamente alla storia passata, e tentando così di dare
soluzione al problema della coincidenza ma continua a soffrire di un problema di fine-tuning
sull’energia potenziale. Nel modello di k-essenza, invece, il termine non canonico di energia
cinetica nella lagrangiana può spiegare la recente accelerazione senza bisogno di un’energia
potenziale ad hoc e l’esistenza di una soluzione tracciante risolverebbe il problema della
coincidenza, pur rimanendo, anche in tale modello, inspiegato il valore così piccolo dell’energia del
vuoto, oltre a generare problemi di natura quantistica associati all’esistenza di una fase phantom
ammessa in esso. I modelli in cui si assume un accoppiamento tra dark energy e dark matter, in
virtù della risoluzione del problema della coincidenza, risultano strettamente vincolati dagli attuali
dati sperimentali che indicano per il fattore di scambio nel settore oscuro un valore esiguo| |
e si cerca di valutare se meccanismi camaleonte, con l’associazione di un campo scalare accoppiato
alla materia, possano essere contemplati in tali modelli per continuare a testarli. Così come ai
modelli unificati di materia ed energia oscura, come quello del GCG, che prevedrebbero una
crescita delle disomogeneità inconsistente con le osservazioni, si cerca di associazione un modello
di k-essenza in grado di produrre un
nell’epoca primordiale ed un
nell’epoca più
recente ed ovviare così al problema della crescita dovuto al fatto che il modello unificato ammette
un aumento della velocità del suono(cfr cap.3 nota 35) a
in grado di portare ad una crescita
delle disomogeneità non osservata.
I modelli di gravità modificata con funzioni
, il cui realizzarsi in natura trova consistenza con
lo spettro di potenza di materia ed il weak lensing, costituiscono attualmente dei modelli molto
validi per spiegare questa fase accelerata dell’universo senza ricorrere ad una componente
energetica ignota, con la scelta opportuna delle funzioni
, tra le quali si è visto ne esistono
alcune(camaleonte) in grado di superare, senza eccessive restrizioni sui parametri, i test di alta
curvatura ed al tempo stesso produrre una fase accelerata in epoca recente. Rimane in essi il
problema di differenziarli sufficientemente dal ΛCDM nelle osservazioni, poiché ciò non può
avvenire da misure di background, né attualmente si è riscontrato nelle misure dell’effetto ISW
dello spettro della CMB Gli ulteriori modelli presentati: DGP, il modello olografico nonché LTD, si
allontanano maggiormente dalla cosmologia standard, presentando i primi due la necessità di una
144
revisione della gravità in chiave quantistica, mentre il modello di inomogeneità si presenta
fortemente sfavorito dal non accordo con le osservazioni della CMB.
145
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150
RINGRAZIAMENTI
Ringrazio i miei genitori che mi hanno fatto nascere e vivere in un luogo dove il cielo non
può che entrarti nel cuore e per avermi sempre sostenuta facendomi sperimentare con la
loro presenza il senso della parola infinito e per lo stesso motivo sono grata a mia sorella
Roberta che in mille forme ha saputo aiutarmi e spronarmi insieme ad Adriano, a cui
anche dico grazie.
Sono felice che nella storia ci sia stato un 1969, visto che in tale anno sono nate molte
delle persone che hanno svolto un ruolo chiave affinché questa tesi fosse scritta.
Ringrazio, quindi, il professore Alessandro Melchiorri per la disponibilità e l’aiuto nel
realizzarla.
Infine voglio dire grazie a coloro che hanno atteso con partecipazione che mi laureassi,
dimostrandomi il loro sostegno e spesso la loro stima e affetto con parole, con gesti e con
fiducia che mi hanno fatto luce.
La curiosità e la voglia di conoscere la realtà che ci circonda è una condizione essenziale
per percorrere questo cammino e ringrazio il linguaggio della fisica che mi ha insegnato
cos’è la concretezza senza dover abbandonare la necessità dell’immaginazione.