Sommario
• Fenomeni elettrici elementari
• La carica elettrica e l’atomo
• Isolanti e conduttori
• Cariche indotte
• Legge di Coulomb
• Campo elettrico e conduttori
• Conservatività campo elettrico
• Teorema di Gauss
• Potenziale e differenza di potenziale elettrico
• Circuiti
• Resistenze e condensatori
Lezione (17) 12/11/2015
Fenomeni elettrici
Strofinando un righello di plastica questo ha la proprietà di attrarre
dei pezzettini di carta.
Una nuova forza? Quali proprietà ha questa forza? Differenze con la
forza di Newton?
Le proprietà dell’ambra e del vetro erano conosciute dall’antichità.
Forze elettriche
Due righelli di plastica se strofinati si
respingono, al contrario della forza di
Newton la nuova forza è repulsiva!
Due barrette di vetro si respingono,
bene sembra repulsiva.
Una barretta di vetro e una di plastica
si attraggono, di nuovo attrazione!
Sembra che esistano due tipi di oggetti, quelli come la plastica e quelli
come il vetro. Oggetto uguali si respingono, se diversi si attraggono.
La carica elettrica
Si diede il nome di carica positiva e
negativa quella posseduta dagli oggetti
vetrosi o plastici.
Lo strofinamento di un oggetto ne provoca
il caricamento, anzi entrambi gli oggetti
strofinati vengono caricati di cariche
uguali ma opposte in segno.
• Una nuova forza, detta elettrica
• associata a cariche negative e positive
• repulsiva o attrattiva
• la somma delle cariche è nulla, conservazione della carica
elettrica, possiamo solo dividere cariche, non generarne
L’atomo
Atomo 10-10m
Protone +
Neutrone 0
Elettrone -
La carica elementare è quella del protone e vale
q = e = 1.6 10-19 Coulomb
per l’elettrone q=-e
Nucleo 10-15m
Teoria atomistica:
La materia è costituita da
atomi, e ciascuno di essi ha
un nucleo positivo e cariche
negative più esterne
Lo strofinamento provoca il
movimento di cariche
negative da un corpo a un
altro.
Isolanti e conduttori
In natura esistono due tipi di materiali
con proprietà elettriche diverse. Nei
conduttori le cariche sono libere di
muoversi, negli isolanti no. Di solito i
conduttori si identificano con i
metalli, gli isolanti con le plastiche.
Cariche indotte
Se avviciniamo un oggetto carico a
un conduttore, al suo interno le
cariche si ridistribuiscono.
È possibile anche caricare un
conduttore per induzione
mettendolo a terra.
Isolanti e induzione
Anche negli isolanti si ha il fenomeno dell’induzione ma la
separazione di carica è solo localizzata. Non si può caricare un
isolante per induzione. Gli elettroni non si muovono come nei
conduttori! Si ha invece la formazione di dipoli elettrici temporanei.
Legge di Coulomb
Coulomb per primo quantificò la
forza elettrica tra due cariche.
1 Q1 ⋅ Q2
F=
2
4 πε0 r
€
Cariche uguali si respingono mentre
cariche diverse si attraggono.
Legge di Coulomb
La forza dipende dal mezzo in cui sono
poste le cariche tramite la costante ε
detta la costante dielettrica del mezzo.
Per il vuoto ε=ε0 e vale 8.86*10-12
coul2/(N*m2):
1 Q1 ⋅ Q2
F=
2
4πε r
Di solito si scrive la forza F riferendosi sempre alla costante dielettrica
nel vuoto: ε=ε0εr dove εr è detta la costante dielettrica relativa. Nel
vuoto è uguale a 1 e nell’acqua ~80:
ε
εr =
ε0
1 Q1 ⋅ Q2
F=
4πε 0εr r 2
Campo elettrico
C’è una forza elettrica tra due
cariche ma una sola carica
messa in un punto si dice che
genera un campo di forze
attorno a sé. Se introduciamo
una carica di prova nello spazio
attorno alla carica Q, questa
carica di prova sentirà delle
forze dovute alla presenza di Q.
Campo elettrico generato
dalla carica Q:
E=F/q=kQ/r2
Proprietà
Si introduce per diversi motivi:
• Astrazione: esiste a prescindere
dalla carica di prova
• Separazione: si opera una
separazione tra sorgente e carica
di prova
• Indipendenza: il campo E agisce
anche a distanze rilevanti, quindi
il suo esistere, ovvero il suo essere
misurato, viene slegato da quello
di distribuzione di carica.
• Vedremo che può anche essere
generato da campi magnetici
Rappresentazione
Il campo elettrico viene rappresentato
dalle “linee di forza”: in ogni punto si
prende la direzione e il verso della
forza agente su una carica di prova
assunta come positiva.
• In ogni punto la direzione della
forza è tangente alle linee di campo
• Si addensano dove E è maggiore
• Le linee di forza non si incrociano
mai, unicità di E
• Il verso: escono da cariche positive
ed entrano in quelle negative,
perché ci si riferisce sempre a una
carica di prova positiva!!!
Esempi
Campo elettrico
generato da due cariche:
• posiva e negativa
• entrambe positive
• -Q e +2Q
• distribuite su due piani
(condensatore)
Elettroforesi
Migrazione in un fluido di particelle cariche sottoposte all’azione di un
campo elettrico esterno
F=qE
E = campo elettrico (V/m)
q = carica delle particelle
f = coefficiente di attrito (Stokes)
F qE
qE
vS = =
=
f
f
6πηr
Esempio
R=0.53 10-10 m
Q1=Q2=e=1.6 10-19 C
K=9*109 N m2/C2
FC=9*109*(1.6*10-19)2/(0.53*10-10)2
FC=9*1.62/0.532*10-29/10-20 N
FC=82*10-9 N= 8.2 *10-8 N
E la forza di Newton?
FN=Gmemp/r2
me=9*10-31 Kg
mp=1840 me
G=6.66*10-11 Nm2/Kg2
FC/FN=1040
FN=6.66*10-11 Nm2/Kg2*1840*(9*10-31)2/(0.53*10-10)2
FN=6.66*1.84*81/0.532 * 10-11*103*10-62/10-20 N
FN=3533*10-50 N = 3.5*10-47
Forza tra due protoni
Due protoni all’interno del nucleo di un atomo di ferro (raggio
4 10-15m, contenente 26 protoni) sono separati da una
distanza di 4 10-15m. Qual è la forza elettrostatica di
repulsione tra i due protoni?
1 q1 q2
1 e2
F=
=
=
2
2
4πε 0 r
4πε 0 r
9 ⋅10
(
=
9
) (1.6 ⋅10
( 4.0 ⋅10 m)
2
Nm / C
2
−15
2
−19
C)
2
= 14N
Principio di
Sovrapposizione
Il campo elettrico è un vettore. In ogni punto dello
spazio il campo elettrico totale è dato dalla
sovrapposizione dei campi elettrici generati da
ciascuna singola carica (distribuzioni di carica).
Campo e conduttori
Nei conduttori in equilibrio il campo
elettrico interno è nullo, altrimenti si
creerebbe una corrente di cariche (che
sono libere di muoversi) sino a che
queste non trovano una posizione di
equilibrio.
Sulla superficie di un conduttore il
campo elettrico è perpendicolare alla
superficie, sempre per lo stesso
motivo, e le cariche sono distribuite
sulla sua superficie.
Le cariche in un conduttore si
distribuiscono sulle superfici in
maniera da annullare il campo
elettrico interno!
Schermature
Se mettiamo una scatola metallica
piena in un campo elettrico, le
cariche si distribuiscono alla
superficie in maniera da annullare il
campo elettrico interno.
Poiché tutta l’azione elettrica si
esplica solamente alla superficie,
anche se la scatola è cava al suo
interno il campo elettrico è nullo sia
dentro il conduttore che dentro la
cavità all’interno del conduttore.
(La dimostrazione sarà più chiara
applicando il teorema di Gauss!!!)
Gabbia Faraday
Questo è il principio per la schermatura degli apparecchi elettrici, le
azioni esterne a una cavità non agiscono all’interno della cavità,
benché le forze siano molto grandi (fulmini e parafulmini).
La Gabbia di Faraday protegge l’interno della scatola da
qualsiasi perturbazione elettrica esterna!
La macchina ci protegge dai temporali (anche l’aereo)!
Lezione (18) del 13/11/2015
Campo E conservativo
Una delle proprietà più notevoli del
campo elettrico STATICO è la sua
conservatività.
Se prendiamo un cammino chiuso nello
spazio vicino a una carica che genera il
campo elettrico e calcoliamo il lavoro
delle forze del campo elettrico su una
carica di prova positiva troviamo che
questo lavoro è nullo.
Per il cammino in figura è molto semplice
calcolare il lavoro:
L = LAB + LBC + LCD + LDA
Campo E conservativo
Se consideriamo la carica positiva il
campo è uscente dalla carica. Il lavoro
fatto sul tratto AB è:
B
r r
LAB = q ∫ E ⋅ ds = q ∫
B
A
A
B
Q
qQ
dr =
2
4πε 0 r
4πε 0
B
∫
A
dr
r2
qQ 1
qQ $ 1 1 ' qQ $ 1 1 '
LAB =
−
=
&− + ) =
& − )
4πε 0 r A 4πε 0 % rB rA ( 4πε 0 % rA rB (
Campo E conservativo
Lungo i tratti BC e DA il lavoro è nullo
perché il campo è perpendicolare al
cammino:
LBC=LDA=0
Invece lungo il tratto CD abbiamo:
C r
B r
r r
r
r
LCD = q ∫ E ⋅ ds = −q ∫ E ⋅ ds = −q ∫ E ⋅ ds = −LAB
D
C
D
A
Campo E conservativo
L = LAB + LCD = LAB − LAB = 0
Se l’integrale su un cammino chiuso è nullo significa che LAB
dipende solo dal punto iniziale A e quello finale B e non dal cammino
scelto.
Può essere visto facilmente se consideriamo che per qualsiasi
cammino possiamo utilizzare sempre spostamenti con distanza
costante dal centro della carica (L=0) e spostamenti su un raggio
uscente dalla carica, procedendo a zig-zag.
Ovvero ogni cammino AB può essere visto come un incremento della
distanza lungo un raggio uscente e un cammino con r=costante (L=0).
Campo E conservativo
L = LAB + LCD = LAB − LAB = 0
∫ dL = 0
Cosi come visto per l’entropia, l’integrale lungo un cammino chiuso
uguale a zero significava poter definire una funzione di stato, che
dipende solo dagli estremi.
Anche qui se abbiamo che il lavoro NON dipende dal cammino ma
solo dagli estremi, possiamo definire una funzione, che chiamiamo
potenziale, che ci permette di calcolare facilmente il lavoro tra due
punti, a prescindere dal cammino che viene percorso.
Potenziale in A
qQ " 1 1 %
LAB =
$ − '
4πε 0 # rA rB &
Consideriamo il lavoro, per unità di carica, fatto dalle forze del
campo per portare da un punto A all’infinito una carica q e
chiamiamolo VA:
LA∞
Q #1 1&
Q
L∞A
=
= VA = −
% − (=
q
4πε 0 $ rA ∞ ' 4πε 0 rA
q
Potenziale in B
qQ " 1 1 %
LAB =
$ − '
4πε 0 # rA rB &
Consideriamo il lavoro, per unità di carica, fatto dalle forze del
campo per portare da un punto B all’infinito una carica q e
chiamiamolo VB:
LB∞
Q #1 1&
Q
L∞B
=
= VB = −
% − (=
q
4πε 0 $ rB ∞ ' 4πε 0 rB
q
Differenza di Potenziale
LAB
Q "1 1%
=
$ − ' = VA −VB = − (VB −VA )
q
4πε 0 # rA rB &
Come sempre attenzione ai segni!!!
LAB
ΔVAB = VB −VA = −
q
ΔVAB si chiama differenza di potenziale ed è il lavoro fatto contro le
forze del campo (-L, o il lavoro fatto dalle forze del campo cambiato
di segno) per portare da A a B una carica unitaria, o il lavoro per unità
di carica.
Spontaneità
Spontaneamente una carica (positiva e unitaria) si muove da
potenziali maggiori a quelli minori, cioè segue la direzione del campo
elettrico (se LAB>0 ΔV<0), e quindi la differenza di potenziale su un
percorso “spontaneo” è sempre negativa.
LAB
ΔVAB = VB −VA = −
q
Il potenziale è il lavoro per carica unitaria; se vogliamo trovare
l’energia potenziale dobbiamo moltiplicare per la carica che si sposta
ΔU=qΔV
Il potenziale si misura nel SI in Joule/Coulomb=Volt
Potenziale
ATTENZIONE: Energia potenziale = Potenziale*carica
Potenziale ed energia potenziale
LAB
ΔVAB = VB −VA = −
q
Il potenziale è il lavoro per carica unitaria, se vogliamo trovare
l’energia potenziale dobbiamo moltiplicare per la carica che si sposta
ΔU=qΔV.
Il potenziale si misura nel SI in Joule/Coulomb=Volt
Tra due punti esiste una differenza di potenziale di 1 Volt se per ogni
Coulomb di carica che si sposta si fa un lavoro di 1 J: Volt=1J/1C
L’elettronvolt (eV) è l’energia potenziale che un elettrone acquista
muovendosi tra due punti la cui differenza di potenziale è di 1 Volt
1 eV=1.6*10-19 C*V=1.6*10-19J
Esempio
Una particella alfa (costituita da due protoni e due neutroni) è in moto verso un
atomo d’oro (il cui nucleo è composta da 79 protoni e 118 neutroni) in direzione del
suo centro e attraversa la nube elettronica che circonda il nucleo. La particella alfa
rallenta fino a fermarsi ad una distanza r=9.23 fm dal centro del nucleo, per poi
rimbalzare all’indietro lungo il cammino di avvicinamento. Quale era l’energia
cinetica iniziale Ki della particella alfa quando si trovava lontana dal nucleo?
La differenza di energia potenziale è
uguale a –L e il lavoro è uguale alla
differenza di energia cinetica:
U f −Ui = −Lif = −(K f − K i )
U f + K f = Ui + K i
Esempio
L’energia cinetica finale è nulla,
la particella in r ha velocità zero
e inverte il suo moto.
Invece molto lontano dal nucleo
l’energia potenziale è nulla, r=∞
K i +Ui = K f +U f
Ki = U f = U (r )
1 q1q2
1 ( 2e) ( 79e)
Ki =
=
=
4πε 0 r
4πε 0
r
= (8.99 ⋅10 Nm / C
9
2
2
)
(158) (1.6 ⋅10
9.23⋅10
−19
−15
C)
m
2
= 3.94 ⋅10
−19
J
Esempio
Che velocità ha?
Mα=4*1840*me=7360*9*10-31kg
Mα=6.624*10-27 kg
1
K = Mα v2
2
2K
7.88*10 −19
8
v=
=
m / s = 1.19 *10 m / s
−27
Mα
6.624 *10
v = 1.1*10 4 m / s ≈ 36000km / h
4
1.1*10 m / s
−4
v/c=
≈
10
3*108 m / s
Potenziale e campo elettrico
Se consideriamo la differenza di energia potenziale tra due punti,
quando ci muoviamo lungo la direzione delle linee di campo
q ⋅ ΔVAB = −LAB = −F ⋅ Δr = −EqΔr
La relazione tra E e ΔV risulta essere:
ΔV
dV
E =−
=−
Δr
dr
Il campo elettrico si misura in Volt/metro.
Avere un campo elettrico (una forza) significa avere il potenziale che
varia spostandosi da un punto a un altro. Ovvero avere una differenza
di potenziale (lavoro) significa che c’è una forza. Differenza di
potenziale o campo elettrico, due concetti equivalenti!! Vedremo che
usare l’uno o l’altro è solo un problema di convenienza.
Potenziale e conduttori
In un conduttore in equilibrio il potenziale è COSTANTE!
Se conosco il potenziale in un punto del conduttore A posso calcolare
il potenziale in qualsiasi altro punto B calcolando la differenza di
potenziale tra quei due punti:
V(B)=V(A)+ΔVAB=V(A)-LAB
r r
LAB = q ∫ E ⋅ ds = 0
B
A
Perché in un conduttore in equilibrio il campo elettrico è zero!!!
V(B)=V(A)=costante
Teorema di Gauss
Il teorema di Gauss è un teorema molto importante per
l’elettromagnetismo.
Dal lato pratico permette di calcolare il campo elettrico in alcuni
casi particolari:
• Sfera uniformemente carica
• Campo elettrico sulla superficie di un conduttore carico
• Campo elettrico di un condensatore
Teorema di Gauss
Il teorema di Gauss dice che il flusso del vettore campo elettrico
attraverso una superficie chiusa qualsiasi è uguale alla somma delle
cariche all’interno della superficie diviso la costante dielettrica:
r r
Q
∫ dφE = ∫ E ⋅ n dS = ε
0
Per dimostrare questo teorema dobbiamo ricordarci la definizione di
angolo solido: l’angolo solido ΔΩ è definito come quella parte di
volume delimitata dai raggi uscenti da un punto e dalla superficie
della sfera intersecata dai raggi, ovvero:
ΔS
ΔΩ = 2
R
Se siamo su una sfera la superficie S è
equidistante dal centro!!!
Teorema di Gauss
Consideriamo un caso molto semplice: prendiamo una superficie
complessa ma al suo interno mettiamo solo una singola carica Q.
Quindi è facile calcolare il campo elettrico su qualsiasi punto della
superficie: basta usare la formula di Coulomb una volta che
determiniamo la distanza r tra la carica e la superficie S. Naturalmente
siccome la superficie NON è una sfera, la direzione del campo elettrico
NON è la stessa della normale alla superficie. Ma si può ovviare a
questo considerando una superficie piccola e poi integrare.
Teorema di Gauss
Calcoliamo il flusso per una superficie ΔS piccola qualsiasi:
r r
Δφ = E ⋅ nΔS = EΔS cos α = EΔS '
La superficie ΔS’ è tale che E è perpendicolare ed equidistante da Q,
possiamo applicare la definizione di angolo solido e utilizzare Coulomb!
Q
QΔΩ
2
Δφ = EΔΩR =
ΔΩR =
2
4πε 0 R
4πε 0
2
Teorema di Gauss
Il flusso totale sarà la somma di tutti i
flussi, cioè la somma di tutti gli angoli
solidi ΔΩ, la cui somma totale è 4π.
Questo perché l’angolo solido NON
dipende dal raggio della sfera che
usiamo per calcolarlo. Spostandoci
lungo la superficie avremo distanze
diverse dalla carica Q ma l’angolo
solido per sua definizione è
indipendente!!!
Q
Q
Q
φ E = ∑ Δφ =
ΔΩ =
4π =
∑
4πε 0
4πε 0
ε0
Teorema di Gauss
Se all’interno della superficie ci sono
diverse cariche allora possiamo ripetere il
ragionamento per tutte le cariche
(ricordarsi il principio di sovrapposizione
del campo elettrico) e alla fine risulta che:
Qi QTOT
φ E = ∑φQi = ∑ =
ε0
ε0
Commento
Il teorema di Gauss afferma che il flusso del vettore campo elettrico
non dipende dalla superficie ma solo da ciò che c’è dentro, cioè la
carica. Questo perché la superficie cresce come R2 mentre il campo
elettrico decresce come 1/R2. Se avessimo avuto un’altra dipendenza
da R, tipo 1/R3, non avremmo avuto una forma cosi semplice per il
flusso.
Lo stesso si può dire per il campo gravitazionale, anche lì il flusso
dipende solo dalla massa interna alla superficie.
Lezione (19) del 16/11/2015
Applicazione
A una distanza R dal centro di una sfera
r0 uniformemente carica il flusso è
facile da calcolare (linea verde
tratteggiata esterna): il campo elettrico
statico (all’equilibrio) per questioni di
simmetria è radiale e di modulo
costante, troviamolo:
Q
φE =
ε0
Q
φ E = ES = E4π R =
ε0
2
Q
E=
2
4πε 0 R
Il campo elettrico è come se fosse generato da tutta la carica ma
concentrata al centro della sfera!!! E all’interno?
Applicazione
Se ho una sfera piena allora in un dato
punto il campo è dovuto solo alla
somma delle cariche all’interno di quel
raggio:
r
E(r) =
∫ ρ ⋅ dV
0
4πε 0 r
2
Quanto vale invece il campo E sulla
sfera? Se ho un conduttore deve essere
E=0, ma vicino alla sfera sarà uguale a:
lim
Q
E(r0 ) =
R → r0 4πε 0 R 2
Applicazione: guscio sferico
Si consideri un conduttore neutro cavo,
raggio interno RA e raggio esterno RB,
con all’interno una carica +Q. Quanto
vale il campo elettrico nei vari punti?
RB
R1<RA
RA<R2<RB
RB<R3
RA
A una distanza R1 è facile perché
possiamo usare il teorema di
Gauss. Anche qui abbiamo
simmetria sferica!!!
Q
E=
2
4πε 0 R1
+Q
R1
R2
R3
Applicazione: guscio sferico
Siccome in un conduttore il
campo elettrico deve essere zero,
per il teorema di Gauss il campo
è zero quando lo è la somma
delle cariche interne:
RA<R2<RB
RB
RA
Q
E(R2 ) =
=0
2
4πε 0 R2
QTOT=0. Siccome all’interno della
sfera di raggio R2 c’è una carica
+Q, sul conduttore dobbiamo
ipotizzare che ci sia una carica –Q
che annulla il campo elettrico nel
conduttore: questa carica è dovuta
all’induzione!!!
+Q
R1
R2
R3
Applicazione: guscio sferico
Siccome il conduttore era neutro, se uno
strato –Q si forma sulla superficie
interna RA, allora uno strato +Q si deve
formare sulla superficie esterna RB.
+
+
+
+
+
RA
-
Q
E=
2
4πε 0 R3
Abbiamo dimostrato che un
conduttore NON scherma verso
l’esterno i campi elettrici, anzi
da fuori non ci accorgiamo
neanche della presenza del
conduttore!!!
Perché le cariche indotte sono
sulla superficie?
RB
+Q
R1
R2
R3
-
-
Potenziale
Invece per il potenziale a una distanza R
abbiamo per definizione:
∞
V (R) =
∫
R
Q
Q
dr =
2
4πε 0 r
4πε 0 R
Siccome il potenziale in un
conduttore è costante abbiamo:
∞
V = V (r0 ) =
∫
r0
Q
Q
dr =
2
4πε 0 r
4πε 0 r0
Superficie conduttore
Calcoliamo il flusso del campo elettrico
attraverso la superficie chiusa attorno a un
conduttore, tratteggiata in verde nella figura. Se
la densità di carica è σ abbiamo che la carica
interna alla superficie è quella sulla superficie
del conduttore, Q=σΔS.
Poiché il campo elettrico è perpendicolare alla
superficie del conduttore, la sola superficie che
contribuisce al flusso è quella all’esterno del
conduttore (quella all’interno non contribuisce
perché E=0):
Q σΔS
φ E = EΔS = =
ε0
ε0
Q
φE =
ε0
σ
E=
ε0
Condensatore piano
Il campo elettrico all’interno
di un condensatore piano
deve essere costante e
uguale al valore vicino alla
superficie calcolato prima:
La differenza di
potenziale tra le due
armature sarà quindi:
LAB
=
q
σ
E=
ε0
Se infatti consideriamo una
superficie chiusa all’interno
(blu), siccome le cariche sono
A
nulle anche il flusso è nullo.
Siccome il contributo viene dai
lati lunghi, se E fosse diverso
sui due lati avremmo un flusso
diverso da zero, quindi
E=costante!!!
!
∫ E ⋅ ds = −ΔV = −(VB −VA )
B
A
σ
Qd
(VA −VB ) = Ed = d =
ε0
ε0 S
VA > VB
B
Potere delle punte
Consideriamo due sfere conduttrici uniformemente cariche, una di
carica Q1 e raggio R e l’altra di carica Q2 e raggio R/2. Se sono
entrambe allo stesso potenziale allora:
Q1
Q2
2Q2
V=
=
=
4πε 0 R 4πε 0 R / 2 4πε 0 R
Q1
Q2
Ovvero Q1=2Q2 o anche Q2=Q1/2, cioè sulla sfera più piccola ci sarà
una carica che è la metà di quella sulla sfera più grande.
Invece se guardiamo al campo elettrico:
Q1
E1 =
4πε 0 R 2
Q1
1
Q1
1
E2 =
=4
= 2E1
2
2
2 4πε 0 (R / 2)
2 4πε 0 R
Campo elettrico
MAGGIORE sulla
sfera piccola!!!
Potere delle punte: parafulmine
Se uniamo i due conduttori, poiché sono allo stesso potenziale
rimangono in equilibrio. È interessante scrivere il potenziale rispetto
alla densità di carica:
Q1
σ 1 4π R12
V=
=
= σ 1R1 = σ 2 R2
4πε 0 R1 4πε 0 R1
σ 1 R2
=
σ 2 R1
σ1
E1 =
ε0
σ2
E2 =
ε0
E1 σ 1
=
E2 σ 2
Q1
Q2
E1 R2
=
E2 R1
E1R1 = E2 R2
Il campo elettrico è maggiore dove il raggio di curvatura è minore,
ovvero in prossimità delle punte si hanno E molto elevati!!!
Questo spiega perché i fulmini cadono sugli oggetti appuntiti!!!
Capacità di un conduttore
Nella pratica si preferisce utilizzare la nozione di potenziale di un
conduttore anziché quella di campo elettrico generato da un
conduttore. Anche perché il potenziale di un conduttore è costante
all’equilibrio.
Per poter avere un conduttore con un dato potenziale bisogna fornirgli
una carica. In fisica si chiama capacità di un conduttore il rapporto tra
la carica che gli forniamo e il potenziale a cui arriva:
Q
C=
V
e si misura in Farad. Un conduttore ha la capacità di un Farad se con
una carica di 1 Coulomb arriva ad avere un potenziale di 1 Volt
1 Farad=1C/1V
Capacità di una sfera
Se abbiamo una sfera uniformemente carica, il suo potenziale,
ottenuto tramite il teorema di Gauss, sarà:
Q
V=
4πε 0εr r
Quindi la capacita è:
Q
C= =
V
Q
= 4πε 0εr r
Q
4πε 0εr r
Ovvero la capacità dipende dalla geometria del sistema, il raggio
della sfera, e dalla costante dielettrica del mezzo. Maggiore la
costante dielettrica maggiore la capacità, perché a parità di carica il
potenziale è più piccolo.
Significato capacità
La capacità di un conduttore esprime la sua “capacità” ad accumulare
cariche senza arrivare ad alti potenziali.
C = 4πε 0εr r
Mentre per ottenere alti campi elettrici bisogna considerare sfere di
piccolo raggio (potere delle punte), per ottenere alte capacità bisogna
considerare oggetti con raggi molto grandi.
Come esercizio calcoliamo la capacità della terra.
R = 6378 km
C = 6.378*106*4*3.14*8.86*10-12 Farad = 710*10-6 F= 0.71 mF
Nonostante il raggio della terra sia grande la capacità è piccola, il
Farad è un’unità molto grande per la capacità.
Capacità condensatore
Abbiamo visto che in un condensatore il campo elettrico è costante:
σ
E=
ε 0εr
e quindi la differenza di potenziale tra le armature vale: V=Ed.
La capacità risulta quindi:
Q Q
Q
Sε 0εr
C= =
=
=
V Ed Qd
d
Sε 0εr
Anche qui abbiamo una dipendenza dalla geometria del sistema e
dalla costante dielettrica del mezzo.
Movimento cariche
Sarà capitato a tutti di sentire una piccola scossa quando ci si stringe la
mano. Cosa è successo? C’è stato un passaggio di cariche.
I campi elettrici fanno muovere le cariche sinché non si stabilisce una
situazione di equilibrio. Dopo aver sentito la scossa non accade più nulla
dal punto di vista elettrico.
Le cariche si muovono tra conduttori se i conduttori hanno una
differenza di potenziale. Le due persone si trovavano a un potenziale
diverso e venendo in contatto si è ristabilito un nuovo equilibrio tra due
conduttori, con un passaggio TEMPORANEO di cariche che ha
ristabilito l’equilibrio.
Come si fa ad ottenere un passaggio continuo di cariche? Occorre
mantenere i sistemi fuori dall’equilibrio permanentemente, ovvero a
potenziale diverso senza che il passaggio di cariche ristabilisca
l’equilibrio.
Movimento cariche
Le cariche quindi si muovono da
potenziali più alti a potenziali più
bassi, cosi come il sasso che cade
da un’altezza h!
Il movimento di cariche è dovuto
a una differenza di potenziale tra
due punti, come in figura le
placche cariche.
Cosa succede quando una carica libera passa da un potenziale
maggiore a uno minore?
Acquista energia cinetica!!!
In figura l’elettrone acquisterà 5000 eV di energia cinetica passando
da una piastra all’altra!!!
Movimento cariche
Cosa succede invece alle cariche all’interno dei conduttori sotto
l’azione di una differenza di potenziale? Per gli urti con le altre
particelle (il reticolo) non possono accelerare. L’energia viene persa
per attrito, ovvero si crea calore.
Correnti
Se costruiamo un elemento
che mantiene una differenza di
potenziale tra due punti (pila)
e uniamo questi punti con un
materiale conduttore (ricco di
elettroni liberi), questi si
muovono da un punto a un
altro sinché permane la
differenza di potenziale
Corrente
L’intensità di corrente elettrica è definita come la carica che passa
attraverso un conduttore nell’unità di tempo:
I=ΔQ/Δt
Unità corrente Ampère=1C/1s
Se la corrente è costante nel tempo si
parla di corrente continua o circuito in
corrente continua (cc), altrimenti se
varia con continuità nel tempo si parla
di corrente alternata (ca). Nelle case
abbiamo correnti alternate, nei piccoli
apparecchi elettronici (telefoni,
computer) cc.
Flusso
Si può anche parlare di flusso di corrente attraverso una superficie S:
i
J=
S
Sperimentalmente si è verificato che il flusso di corrente dipende dal
campo elettrico applicato secondo la seguente legge proporzionale:
J =σE
Dove σ rappresenta la conducibilità del materiale e dipende dalla
sua natura e dalla temperatura.
Da questa relazione si possono ricavare le leggi di Ohm.
Ohm
Si consideri il conduttore in figura di lunghezza
l e sezione S. Se ai suoi capi applichiamo una
differenza di potenziale VA-VB=El, dove E
rappresenta la forza media applicata, e usiamo
la definizione di flusso j=i/S possiamo scrivere:
J =σE
i
VA −VB
=σ
S
l
1 l
l
ΔV =
i=ρ i
σ S
S
Dove abbiamo indicato con
ρ la resistività del materiale.
Se indichiamo con R la resistenza
del conduttore abbiamo:
l ΔV
R=ρ =
S
i
Ohm
J =σE
Legge di Ohm generalizzata
ΔV
=R
i
l
R=ρ
S
Leggi di Ohm
I conduttori in cui la resistenza è costante al variare della differenza di
potenziale, grafico a sinistra, sono detti conduttori ohmici!
Lezione (20) del 17/11/2015
Fem e circuiti in cc
La pila non è altro che un elemento attivo del
circuito che attraverso meccanismi chimici mantiene
le cariche separate così da avere una differenza di
potenziale costante.
Naturalmente anche al suo interno ci sono delle
dispersioni per attrito. Quando circola corrente la
forza elettromotrice f del circuito sarà diminuita
dalla caduta di potenziale dovuta alla resistenza
interna r:
VA-VB=f-ri=Ri
Più la pila è buona e minore è la resistenza interna!!
Resistenze
La resistenza al passaggio della
corrente di un circuito è definita
come il rapporto tra il potenziale
applicato e la corrente ottenuta
R=ΔV/I
come già definito nei fluidi
Unità Ohm = 1V/1A
Resistenze in serie
RS=R1+R2+R3
Corrente i uguale e ddp=somma
delle cadute di potenziale
Resistenze in parallelo
1/RP=1/R1+1/R2+1/R3
La corrente è la somma delle
singole correnti e la caduta di
potenziale è uguale
Esempi
RS=400+RP
1/RP=1/500+1/700
Rp=500*700/(500+700)=292
RS=400+292
Rs=692 Ohm
I=V/R=12 Volt/692 Ohm=0.017 A
Leggi di Kirchoff
La soluzione dei circuiti elettrici si ottiene con l’uso dei due principi di
Kirchoff. Il primo è essenzialmente una legge di conservazione delle
cariche, mentre il secondo esprime la conservazione dell’energia.
Esempi
La terra è un conduttore, ha una carica elettrica
negativa e quindi genera un campo elettrico e
avrà un potenziale. Di solito gli apparecchi
elettrici hanno un potenziale maggiore rispetto
alla terra. Anche noi siamo dei buoni
conduttori.
Se siamo a piedi nudi (e bagnati) e tocchiamo
un generatore, possiamo creare con la terra un
circuito ed essere attraversati da correnti che se
grandi provocano gravi danni o la morte (corto
circuito del cuore, che è una pompa elettrica).
Esistono delle scarpe apposite (antiinfortunistiche) che nel caso della figura (a)
non permettono il passaggio della corrente,
ovvero ci isolano dal terreno.
Esempi
Perché negli apparecchi elettrici abbiamo tre cavi? Uno è quello che
porta la tensione, il secondo è detto neutro e rappresenta il potenziale
zero (una specie di messa a terra, che pero va al contatore Enel), il
terzo è una connessione diretta a terra, senza bisogno di passare per il
contatore. In caso di malfunzionamento di un apparecchio questo
cavo porta le correnti a terra senza scaricarle a terra ma attraverso la
persona che sta usando l’elettrodomestico!
Nel contatore esiste anche un meccanismo di salvavita: se la corrente
cambia repentinamente (resistenza bassa), perché l’apparecchio
scarica su di noi la corrente, il contatore smette di funzionare.
Effetto termico corrente
Poiché le cariche all’interno dei conduttori e sotto l’effetto di una
differenza di potenziale non accelerano, perdono la loro energia
potenziale sotto forma di calore. Il lavoro perso da una carica q vale:
L=qΔV=iΔVΔt
ovvero la potenza dissipata vale
L
= iΔV
Δt
ΔV 2 2
W=
=i R
R
W=
Il calore prodotto da un circuito vale quindi:
ΔV 2
Q( j) = W Δt =
Δt = i 2 RΔt = iΔVΔt
R
W Δt
Q(cal) =
4.18
Condensatori
I condensatori sono delle placche metalliche collegate a un generatore.
Le cariche che si depositano per il passaggio di corrente rimangono
sulle placche perché l’aria che separa le placche non permette alle
cariche di spostarsi da una parte all’altra (aria isolante. È sempre
vero?). Sono da intendersi come dei serbatoi di cariche in un circuito.
Se però la carica aumenta molto, il potenziale aumenta e le cariche
sfuggono generando una corrente molto intensa tra una placca e l’altra
(cortocircuito). Quali apparati funzionano con questo principio?
Condensatori
Nel flash delle macchine fotografiche la corrente di cortocircuito
genera una luce molto intensa. Nel defibrillatore la corrente di
cortocircuito dovrebbe rimettere in moto il cuore attraverso uno
shock elettrico, nel pacemaker alimenta il cuore.
Condensatori
Il circuito che alimenta un condensatore è
rappresentato in figura e anche qui viene
inserita una resistenza per tener conto degli
attriti.
Quando chiudiamo il circuito inizia a fluire
carica sulle armature del condensatore sino a
che questo non raggiunge la sua carica
massima, che dipende dalla sua capacità e
dalla differenza di potenziale della pila che lo
alimenta, Q=CV0.
A t=0 si ha la corrente massima (i=V0/R),
mentre dopo un tempo lungo i=0. Infatti se
applichiamo Kirchoff la caduta di potenziale
della pila è tutta nel condensatore carico.
Condensatori
È possibile scrivere l’equazione del circuito
(Kirchoff) a un istante qualsiasi e risolverla:
VR +VC = V0
q(t)
Ri(t) +
= V0
C
dq(t)
q(t)
R
= V0 −
dt
C
dq(t)
1
=−
(q(t) −V0C)
dt
RC
q(t) rappresenta la carica che si accumula nel condensatore.
Siccome V0 e C sono delle costanti, non dipendono dal tempo, quindi:
d(q(t) −V0C)
1
=−
(q(t) −V0C)
dt
RC
Equazione differenziale
d(q(t) −V0C)
1
=−
(q(t) −V0C)
dt
RC
Questa è un’equazione differenziale: in quanto equazione è
un’equaglianza tra due quantità MA si dice differenziale perché ci dice
quanto deve valere la derivata di una funzione.
Se chiamo q(t)-V0C=f possiamo riscrivere l’espressione come:
df (t)
f (t)
=−
dt
RC
E l’equazione dice che f deve essere tale che la sua derivata rispetto al
tempo è uguale a se stessa diviso una costante (-RC)
Soluzione esponenziale
df (t)
f (t)
=−
dt
RC
Risolvere questa equazione (differenziale)
significa trovare la dipendenza di f dal tempo.
La funzione la cui derivata è la funzione
stessa è quella esponenziale, il cui
argomento è diviso per -1/RC ,
moltiplicata per una costante opportuna
A da trovare:
f (t) = Aeαt
f (t) = Ae
t
−
RC
f (t) = q(t) −V0C = Ae
−
t
RC
La costante A
Per prima cosa determiniamo la costante
moltiplicativa A. Cosa conosciamo del
sistema? Sappiamo che a t=0 la carica sul
condensatore vale 0:
q(t) −V0C = Ae
−
t
RC
q(0) −V0C = Ae 0
−V0C = A
A = −V0C
Ricordarsi che l’esponenziale di 0 vale 1!!!
La nostra carica in funzione del tempo risulta essere:
q(t) = V0C(1− e
−
t
RC
)
Potenziale
t %
"
−
q(t) = V0C $1− e RC '
#
&
Possiamo calcolare il potenziale del
condensatore da VC(t)=q(t)/C:
t %
"
−
VC (t) = V0 $1− e RC '
#
&
che è rappresentato in figura.
Il termine RC è un tempo e rappresenta la costante di tempo del
circuito. Si vede dalla figura che dopo un tempo t=RC il condensatore
si è caricato al 63% del valore totale, già dopo t=3*RC siamo a una
carica intorno al 99%. Il condensatore non si carica subito ma con un
ritardo che dipende da RC.
Corrente
La corrente dq/dt:
t %
"
−
q(t) = V0C $1− e RC '
#
&
dq
V0
= i(t) = e
dt
R
−
t
RC
invece decresce con il tempo in maniera esponenziale e dopo un
tempo t=RC vale 37% della corrente iniziale.
Anche qui la costante di tempo RC ci dice dopo quanto tempo
la corrente diventa quasi nulla o trascurabile.
Scarica
La scarica avviene nelle stessa
maniera, con delle funzioni
esponenziali, ma questa volta
il potenziale diminuisce.
Invece la corrente, quando
viene esclusa la pila, viene
generata dalla differenza di
potenziale del condensatore, e
quindi è ancora massima
all’inizio e zero a tempi
lunghi. Il condensatore funge
da pila che però si esaurisce
subito, circa 3RC.
Applicazioni
Con il doppio circuito in
figura possiamo alimentare un
pacemaker (A) che genera un
potenziale periodico
attraverso scarica/carica di un
condensatore.
Da notare che le costanti di
tempo sono differenti e ciò è
ottenuto con resistenze
differenti per la carica, r
piccola, e la scarica, R grande.
Se la capacità vale C=0.4μF
trovare il valore della
resistenza R per avere 75 cicli
al minuto.
Somma di condensatori
Anche i condensatori
possono essere inseriti in un
circuito collegati in serie o in
parallelo. La regola per
trovare la capacità
equivalente è abbastanza
semplice essendo l’opposto
di quello che si fa per le
resistenze.
Condensatori in serie hanno
una capacità equivalente che
è l’inverso della somma degli
inversi delle singole capacità.
1 1 1
1
= + +
C C1 C2 C3
Questo perché si somma la caduta di
potenziale dei singoli e la carica su
ognuno è la stessa (perché la carica è
la stessa???).
Somma di condensatori
Invece quando i condensatori
sono in parallelo la carica
totale è la somma delle
cariche dei singoli e la
differenza di potenziale è la
stessa, quindi le capacità si
sommano:
C = C1 + C2 + C3
Energia condensatori
Possiamo calcolare l’energia
per caricare un condensatore:
ΔL=ΔqV(q)
Q
Q
2 Q
q
1 q
L = ∫ V (q)dq = ∫ dq =
C 2
0
0 C
0
Q 2 QV0
L=
=
2C
2
Dal punto di vista della pila questa fornisce
una carica Q per un potenziale V0, quindi il
condensatore accumula un energia la metà di
quella persa dalla pila. Perché? Il resto viene
perso nella resistenza, a prescindere dal suo
valore, solo il tempo di carica cambia!
Lezione (24) del 25/11/2014 2a ora
Magnetismo
Alcuni materiali hanno la proprietà di attrarre
della limatura di ferro. Gli aghi magnetici si
orientano con un estremo verso il nord
geografico. Una nuova forza?
Forza magnetica
Sembra che questi materiali
abbiano proprietà di attrazione e
repulsione come avveniva tra
cariche elettriche.
Esistono delle cariche magnetiche o
monopoli magnetici?
No, se dividiamo in due una calamita
questa presenterà sempre un polo nord
e un polo sud…
NON ESISTONO MONOPOLI
MAGNETICI
Campo B e linee di campo
Come fatto per la forza elettrica possiamo definire un campo
magnetico. Però in questo caso dobbiamo trovare “la carica di
prova”. Si potrebbero usare gli aghi magnetici o la limatura di ferro,
come in figura.
Entrambi si orientano sotto l’effetto del campo magnetico, quindi
esiste una coppia di forze che agisce sull’ago sinché non è parallelo
alle linee di campo magnetico.
Forza di Lorentz
Una singola particella carica che si muove in un
campo magnetico “sente” questo campo e subisce una
forza.
Questa forza è stata descritta da Lorentz e vale:
r r
F = qv × B
Dipende dalla velocità della particella, dalla sua carica
e dall’angolo formato dal vettore velocità e dal campo
magnetico (regola della mano destra).
Per le proprietà del prodotto vettore:
1. se la particella è parallela a B allora F=0
2. altrimenti la forza è sempre perpendicolare alla
velocità della particella (forza centripeta), quindi il
campo B fa cambiare la traiettoria senza incidere
sul modulo della velocità.
Forze su fili
Se su una carica in movimento agisce una forza, se considero un filo
percorso da corrente su questo deve agire una forza, come somma delle
forze agenti sulle singole cariche in movimento. È quello che mostra la
figura.
La forza, come ci si aspetta dalla formula di Lorentz, è perpendicolare al
filo (velocità delle cariche) e al campo B secondo la regola mano dx.
Partiamo dalla formula di Lorentz, prendendo i vettori perpendicolari.
F = qvB
Misura di B
Una particella carica in movimento può quindi
essere usata per provare l’esistenza di campi
magnetici. Una volta che determiniamo la
direzione di B, quella lungo la quale la
particella non viene deviata (F=0), allora
possiamo misurare l’intensità di B misurando la
forza sulla particella:
F
B=
qv
Unità di B:
N
N
B=
=
= Tesla = T
Cm / s Am
Siccome 1 T molto grande si usa 1 gauss=1G=10-4 T
Forze su fili
Dobbiamo contare quante particelle cariche ci sono in un filo di
lunghezza Δl, sapendo che abbiamo una corrente i.
v
v
Δl=vΔt
La corrente mi dice quante cariche entrano attraverso una superficie S.
Se moltiplico per quel tempo Δt con cui la prima carica che entra nel
filo impiega a percorrere lo spazio Δl, allora ho trovato le cariche totali
nel tratto di filo:
Q = iΔt = iΔl / v
Qv = iΔl
Quindi dalla formula di Lorentz:
r r
F = QvB = iΔlB = i × BΔl
Lievitazione magnetica
Una sbarretta di rame lunga 0.150 m e di massa 0.05 kg è appesa a due
fili sottili e flessibili e immersa in un campo magnetico perpendicolare
al foglio (entrante) di modulo 0.550 Tesla.
Determinare il verso e il modulo della corrente che circola nella
sbarretta e che è capace di tenere sollevata la sbarretta.
r
⊗B
⊗
⊗
⊗
⊗ i
⊗
⊗
⊗
⊗
FB
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
F=mg
mg = FB = iBΔl
mg
0.05* 9.8N
i=
=
= 5.95A
BΔl 0.55* 0.15Nm / (Am)
i verso destra!
Campi B e correnti
Anche un filo percorso da corrente genera campi magnetici, come si
vede in figura dall’orientazione degli aghi magnetici.
Secondo la legge di Biot e Savart il campo magnetico è
“concatenato” al filo e ha modulo costante a una stessa distanza r:
µ i
B=
2π r
dove μ, la permeabilità magnetica del mezzo, ha lo stesso significato
che la costante dielettrica ha per il campo elettrico.
Permeabilità magnetica
µ i
B=
2π r
La sola osservazione è che μ può essere <1 (mezzo diamagnetico), o
>1 (mezzo paramagnetico) o anche >>1 ( mezzo ferromagnetico).
Nel caso di campi magnetici in presenza di materiali ferromagnetici il
campo magnetico, ovvero l’effetto del campo magnetico, viene
amplificato enormemente rispetto a quanto avviene nel vuoto.
Proprietà di B
µ i
B=
2π r
La legge di Biot e Savart rappresenta un caso particolare di una
relazione più generale del campo B. Infatti se prendiamo B e lo
integriamo lungo un cammino chiuso, se questo cammino concatena
dei fili percorsi da corrente allora:
r r
∫ B ⋅ ds = µi
Proprietà di B
r r
∫ B ⋅ ds = µi
Se si sceglie come percorso un cerchio centrato sul filo percorso dalla
corrente, siccome B è costante per simmetria e parallelo a ds, abbiamo:
B2πr=μi, cioè la legge di Biot e Savart.
Diversamente dal campo elettrico, l’integrale su un cammino chiuso
NON è nullo, NON è possibile definire un potenziale magnetico e il
campo B NON è quindi conservativo!
Ampère
Consideriamo adesso DUE fili percorsi da
corrente. Se la corrente che circola nel primo filo
crea un campo magnetico, il secondo filo
percorso da corrente “sente” il campo magnetico
e viene attratto o respinto.
Misurando la forza di attrazione/repulsione tra
due fili percorsi da corrente Ampère ha definito
l’unità di corrente elettrica.
Se due fili rettilinei a distanza di 1 metro sono percorsi da una corrente
di 1 Ampère allora esiste una forza di attrazione/repulsione di 2*10-7 N
per metro lineare:
µ i1
B=
2π r
F = Bi2 Δl
µ i1
F=
i2 Δl
2π d
Spira e solenoide
Una spira percorsa da corrente crea un
campo magnetico come in figura che
al centro della spira vale:
µi
B=
2R
Invece nel solenoide se le spire sono ravvicinate
all’interno il campo è costante e dipende da quante
spire N ci sono per unità di lunghezza l:
N
B = µin = µi
l
Solenoide
Un solenoide percorso da corrente
genera al suo interno un campo
magnetico molto intenso. È
equivalente a un magnete.
Se poi mettiamo una sbarretta di
ferro il campo magnetico viene
amplificato di un fattore che può
arrivare anche a 1000.
Il campanello funziona con un
solenoide: quando passa
corrente il magnete (solenoide)
attira la sbarretta di ferro (come
una calamita) che fa suonare il
campanello.
Rilascio con molla di richiamo.
Flusso
Cosi come fatto per il campo elettrico possiamo
calcolare il flusso del campo magnetico
attraverso una superficie. In questo caso
siccome le linee del campo magnetico sono
sempre chiuse il flusso attraverso una superficie
chiusa è nullo.
È pero interessante calcolare il
flusso attraverso una superficie
qualsiasi non chiusa.
Se B è costante come in figura il
flusso cambia se cambio
l’orientazione dell’avvolgimento.
Altrimenti il flusso varia cambiando
l’intensità del vettore B.
B e correnti
Abbiamo visto che:
• Una corrente crea un campo magnetico
• Un filo percorso da corrente
subisce l’azione di un campo magnetico
µ i
B=
2π r
F = BiΔl
ma il contrario non è vero: un campo magnetico NON crea una
corrente elettrica. In figura se chiudiamo il circuito abbiamo un
campo magnetico molto intenso sul circuito a destra, dovuto alla
presenza dell’anello di ferro, ma non viene creata alcuna corrente.
Induzione
Le cariche creano campi elettrici e la corrente elettrica, cariche in
moto, creano campi magnetici. Cosa succede se mettiamo in moto i
magneti?
Abbiamo corrente: i campi magnetici variabili CREANO
correnti elettriche!
Induzione
Ma posso ottenere una corrente anche se vario la superficie
delle spire in un campo B come in figura!
Se cambia il flusso di B attraverso il circuito ottengo un corrente
elettrica nel circuito!!! È la variazione di flusso che conta!!!
Per la spira in figura il flusso di B vale:
φ B = BA cosθ
pertanto il flusso cambia se varia il campo B,
l’area della spira A o l’orientazione della
spira rispetto al campo B!!!
Legge di Faraday-Neumann
φ B = BA cosθ
Il flusso si misura in Weber=Tesla*m2.
Una forza elettromotrice viene indotta da una variazione di flusso
attraverso un circuito e genera una corrente elettrica in un circuito
privo di pila:
Δφ B
Vi = −
Δt
Questa è la legge dell’induzione elettromagnetica di Faraday.
Occorre però spiegare il segno che compare nell’equazione, e questo
venne fatto da Lenz con la seguente affermazione:
La corrente prodotta dalla forza elettromotrice indotta ha il
verso tale da opporsi alla variazione di flusso
Legge di Lenz
La corrente prodotta dalla forza elettromotrice indotta ha il
verso tale da opporsi alla variazione di flusso
Vediamo di illustrare la
legge di Lenz:
Nella figura una serie di spire
viene immersa in un campo B e
ruotate. Se passo da (a) a (b) il
flusso aumenta perché sto
aumentando l’area esposta ad A.
Secondo la legge di Lenz nelle
spire si produce una corrente tale
da diminuire il flusso, ovvero la
corrente indotta genera un campo
magnetico addizionale che si
oppone al campo B già presente,
cosi che il flusso aumenta meno di
quanto farebbe.
Generatori
Per creare correnti dobbiamo cambiare il flusso. Se ruotiamo
meccanicamente la spira all’interno di un campo costante cambia il
flusso. Con lavoro lavoro meccanico ottengo una corrente elettrica. Il
generatore di corrente è un apparato che trasforma il lavoro meccanico
in corrente elettrica, o lavoro elettrico che sposta cariche!!!
Nella figura a dx la corrente indotta nella spira fluisce in maniera da
diminuire B, e quindi il flusso, sino a che la spira è perpendicolare al
campo, poi invece cambia verso per aumentare B!
Correnti alternate: NO
Le correnti prodotte dai generatori sono le
correnti alternate.
Il flusso concatenato con la spira in figura
vale:
φ B = SB cos α
Se facciamo variare con continuità l’angolo
α=ωt si avrà una forza elettromotrice indotta:
dφ B
d
Vi = −
= −SB cosω t
dt
dt
Vi (t) = SBω sin ω t = V0 sin ω t
Correnti alternate: NO
Vi (t) = V0 sin(ω t + φ )
Vi V0
i(t) = = sin(ω t + φ ) = I 0 sin(ω t + φ )
R R
Questo succede se nel circuito esiste una sola
resistenza, I0=V0/R.
La corrente è in fase con la differenza di
potenziale.
Siccome la potenza W=Vi e sia V che i
cambiano nel tempo, si calcola la potenza media
dissipata che vale:
Wmedia = Veff I eff cosΔφ =
V0 I 0
cosΔφ
2 2
Correnti alternate: NO
Le correnti prodotte dai generatori sono le
correnti alternate. Per poter avere una
corrente continua occorre aggiungere dei
raddrizzatori e dei filtri, come mostrato in
figura a destra.
Lezione (26) del 30/11/2015
Autoinduzione
Siccome un circuito in cui circola corrente
per la presenza di una pila genera un campo
magnetico, questo si accoppia con il circuito
stesso (pensatelo come una spira) e quindi si
crea un flusso di campo magnetico. Se la
corrente è costante NON succede nulla, ma
se la corrente varia nel tempo abbiamo una
forza elettromotrice detta auto-indotta.
Autoinduzione e cc
Anche considerando dei circuiti in cc si hanno
dei momenti in cui la corrente varia, quando si
chiude il circuito o quando si apre il circuito.
Chiudendo il circuito la corrente dovrebbe
aumentare da 0 al valore i=V/R. Si crea una
corrente indotta che si oppone a questa
corrente e fa diminuire cosi il campo B creato.
La corrente si comporta come in figura,
aumenta più lentamente di quanto ci si aspetti.
Induttanza
Il flusso concatenato dipende dalla corrente i e
dall’autoinduzione o induttanza, che indica il
coefficiente di proporzionalità del flusso:
φ B = Li
L’autoinduzione è un elemento circuitale che
si indica come un solenoide in uno schema di
circuito e con la lettera L. Questo perché L
dipende dalla forma del circuito ed è molto
elevato se il circuito ha un avvolgimento tipo
solenoide.
La forza elettromotrice indotta sarà
dovuta solo a una variazione di corrente:
Δφ B
Δi
Vi = −
= −L
Δt
Δt
Soluzione
Anche per il circuito in figura si può applicare
la seconda regola di Kirchoff, ricordandosi che
L genera una differenza di potenziale indotta,
cioè come la pila ma con segno diverso:
V0 −Vi = Ri
di
V0 − L = Ri
dt
di
R V0
=− i+
dt
L
L
Questa equazione differenziale è analoga a quella trovata per la
carica/scarica di un condensatore, è facile quindi scrivere che:
R
−t %
V0 "
i(t) = $1− e L '
R#
&
Con costante di tempo τ=L/R
Correnti alternate: NO
Se invece nel circuito abbiamo una sola
induttanza:
dI
VL = L = LI 0ω cosω t = LI 0ω sin(ω t + π / 2)
dt
La ddp è sfasata rispetto alla corrente di π/2
Trasformatori
Un’altra proprietà legata alle correnti indotte è che possiamo indurre
delle correnti con correnti anziché lavoro meccanico. Se facciamo
cambiare la corrente nel circuito primario, durante il passaggio da
i=0 a i=costante si ha un cambiamento di flusso che induce una
corrente anche nel secondo circuito.
Il secondario va a zero dopo che la corrente nel primario si
stabilizza. Il segno del potenziale indotto alla chiusura e all’apertura
sono diversi!
Trasformatori: NO
Se anziché usare corrente continua si
usa una corrente alternata si può
modulare il potenziale indotto del
circuito secondario variando il numero
di spire degli avvolgimenti. Infatti si
può dimostrare che con buona
approssimazione si ha:
VS/VP=NS/NP N numero di spire
Questo elemento si chiama trasformatore e serve a cambiare il
potenziale tra il circuito primario e quello secondario, che può
aumentare (NS>NP) o diminuire (NS<NP).
Le correnti alternate sono molto usate per la facilità con cui si cambia il
suo potenziale utilizzando un trasformatore.
Trasformatori: NO
I trasformatori servono per abbassare o alzare la tensione all’interno
di un circuito. Per motivi di perdite di energie è meglio usare alte
tensioni per trasferire correnti su lunghe distanze (240.000 V). Al
contrario per motivi di sicurezza nelle case la tensione deve essere
bassa (220 V).
Defibrillatore
Abbiamo già detto che il defibrillatore si basa sull’uso di un
condensatore che si carica e poi si scarica sul cuore. La figura mostra
un tale circuito costituito da un trasformatore e un condensatore.
Nella figura a destra la linea rossa mostra l’andamento del potenziale
durante la scarica sul cuore.
Il potenziale sentito dal cuore varia da 3000 Volt a zero in pochi
millisecondi, con un andamento esponenziale.
Defibrillatore
Se consideriamo un circuito più sofisticato con l’aggiunta di una
induzione L abbiamo un comportamento diverso.
Il potenziale di scarica sul cuore ha un andamento più soffice per la
presenza dell’induzione. Il potenziale NON sale subito a 3000 Volt
ma lo fa dolcemente, cosi come anche la sua diminuzione. Il tutto è
mostrato nel grafico con una linea verde.
Defibrillatore
Infine si possono variare opportunamente R, L e C per creare un
potenziale di scarica quasi costante per un tempo più lungo e
aggiungere un filtro per troncare i potenziali alti e bassi.
L’andamento del potenziale inviato al cuore è mostrato con una linea
blu nel grafico di destra.
-Due cariche fisse da 42 μC sono disposte sulla verticale una al di
sopra e l'altra al di sotto di un piano isolante liscio, entrambe a
distanza 91 cm da tale piano. Sul piano, a distanza 140 cm dalle
prime due cariche, viene posata una sferetta metallica di 20 g, carica
con -1.7 mC. In quale direzione comincia a muoversi? Quale sarà la
massima velocità raggiunta? A quale distanza dal punto di partenza
si arresterà per poi invertire il suo moto?
-Un commerciante disonesto falsa i risultati delle sue pesate
caricando i pesetti campione da 50 g della bilancia con una carica di
138 mC. Come disporrà in modulo, direzione e verso, il campo
elettrico , affinché questi pesetti appaiano più leggeri del 3,7%?
