Polinomi - itis polistena

1
POLINOMI
Il polinomio è la somma algebrica di due o più monomi.
Se il polinomio è formato da due monomi si dice binomio, se è formato da tre monomi si chiama
trinomio, se è formato da quattro quadrinomio ecc. ecc.
Un polinomio si dice ridotto a forma normale se non compaiono in esso monomi simili.
Il grado di un polinomio è dato dal massimo grado di uno dei suoi termini.
Un polinomio si dice omogeneo quando tutti i suoi monomi hanno lo stesso grado, si dice ordinato
rispetto ad una lettera se questa lettera vi figura con esponente crescente o decrescente, si dice
completo se non manca alcun esponente.
Es: 5𝑎3 − 2𝑎2 𝑏 + 7𝑎𝑏 2
- È un trinomio
- È un polinomio omogeneo di terzo grado (perché tutti i suoi monomi sono di terzo grado)
- È ordinato in senso decrescente rispetto ad a, ma non è completo perché manca l’addendo a0
- È ordinato in senso crescente rispetto a b, ed è completo (ci sono gli esponenti 0, 1, 2 )

Somma e differenza di polinomi
Per eseguire la somma o la differenza di due o più polinomi si procede come segue:
- si tolgono tutte le parentesi ricordando che i segni rimangono inalterati se la parentesi è
preceduta dal segno +, cambiano se la parentesi è preceduta dal segno - si sommano gli eventuali termini simili.
Es: (2𝑥 2 − 3𝑥) − (5𝑥 2 − 2𝑦 + 3𝑥) =
= 2𝑥 2 − 3𝑥 − 5𝑥 2 + 2𝑦 − 3𝑥 =
= (2 − 5)𝑥 2 + (−3 − 3)𝑥 + 2𝑦 =
= −3𝑥 2 − 6𝑥 + 2𝑦
Es: (𝑎 − 𝑏) − [(4𝑎 + 5𝑏) − (3𝑎 − 3𝑏)]=
= 𝑎 − 𝑏 − [4𝑎 + 5𝑏 − 3𝑎 + 3𝑏] =
= 𝑎 − 𝑏 − 4𝑎 − 5𝑏 + 3𝑎 − 3𝑏 =
= (1 − 4 + 3)𝑎 + (−1 − 5 − 3)𝑏 =
= 0𝑎 − 9𝑏 = −9𝑏

Prodotto fra un monomio e un polinomio
Per moltiplicare un monomio per un polinomio (che comparirà tra parentesi), bisogna moltiplicare il
monomio per ogni termine del polinomio (segno con segno, coefficiente con coefficiente, lettera
con lettera).
Es:
3
5
𝑥 3 ∙ (5𝑥 2 − 2𝑦 + 3𝑥) =
6
9
= 3𝑥 5 − 5 𝑥 3 𝑦 + 5 𝑥 4
Es: (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )𝑎𝑏 2 =
= 𝑎3 𝑏 2 − 𝑎2 𝑏 3 + 𝑎𝑏 4
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2

Prodotto fra due o più polinomi
Bisognerà prendere uno per uno ogni monomio del primo polinomio e moltiplicarlo per tutti gli
addendi del secondo polinomio.
Se i polinomi da moltiplicare sono tre, si incomincerà con il moltiplicare due polinomi lasciando il
prodotto in parentesi. Questo prodotto andrà moltiplicato per il terzo polinomio.
Se i polinomi sono quattro, si moltiplicano a due a due lasciando i prodotti in parentesi, infine si
moltiplicano i due polinomi ottenuti. Naturalmente se nella stessa parentesi abbiamo monomi simili
ci conviene sommarli prima di proseguire con i prodotti.
Es: (2𝑎 + 3𝑏)(𝑎 − 2𝑏) =
= 2𝑎2 − 4𝑎𝑏 + 3𝑎𝑏 − 6𝑏 2 =
= 2𝑎2 + (−4 + 3)𝑎𝑏 − 6𝑏 2 =
= 2𝑎2 − 𝑎𝑏 − 6𝑏 2
Es: (3𝑥 − 2)(5𝑥 + 3)(𝑥 − 1)=
= (3𝑥 − 2)(5𝑥 2 − 5𝑥 + 3𝑥 − 3)=
= (3𝑥 − 2)(5𝑥 2 − 2𝑥 − 3)=
= 15𝑥 3 − 6𝑥 2 − 9𝑥 − 10𝑥 2 + 4𝑥 + 6 =
= 15𝑥 3 − 16𝑥 2 − 5𝑥 + 6
Es: (𝑎 + 3𝑏)(3𝑎 + 4𝑏)(𝑎 − 2𝑏)(3𝑎 − 2𝑏) =
(3𝑎2 + 4𝑎𝑏 + 9𝑎𝑏 + 12𝑏 2 )(3𝑎2 − 2𝑎𝑏 − 6𝑎𝑏 + 4𝑏 2 ) =
(3𝑎2 + 13𝑎𝑏 + 12𝑏 2 )(3𝑎2 − 8𝑎𝑏 + 4𝑏 2 ) =
9𝑎4 − 24𝑎3 𝑏 + 12𝑎2 𝑏 2 + 39𝑎3 𝑏 − 104𝑎2 𝑏 2 + 52𝑎𝑏 3 + 36𝑎2 𝑏 2 − 96𝑎𝑏 3 + 48𝑏 4 =
9𝑎4 + 15𝑎3 𝑏 − 56𝑎2 𝑏 2 − 44𝑎𝑏 3 + 48𝑏 4
Se fra i coefficienti ci sono numeri frazionari converrà sempre fare i calcoli a parte
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3

Prodotti notevoli
I prodotti notevoli sono delle eguaglianze notevoli che danno subito il prodotto di due polinomi
ridotto a forma normale, senza bisogno di fare ulteriori calcoli.
Data la loro frequenza nei calcoli, sarebbe bene impararli a memoria.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza (differenza di quadrati)
Quadrato di binomio
Quadrato di trinomio
Cubo di binomio
Potenza di un binomio
Altri prodotti notevoli
1) Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza (differenza di quadrati)
(a+b)(a-b)=a2-b2
Un monomio si presenta con lo stesso segno (sarà il quadrato positivo), l’altro monomio con
segno opposto (sarà il quadrato negativo).
1
3
1
3
1
9
1
9
Es: (− 2 𝑥 2 + 4) (− 2 𝑥 2 − 4) = 4 𝑥 4 − 16
1
3
1
3
1
3
Es: (2 𝑥 2 + 4) (− 2 𝑥 2 + 4) = − 4 𝑥 4 + 16
1
3
1
9
Es: (2 𝑥 2 + 4) (2 𝑥 2 − 4) = 4 𝑥 4 − 16
Es: (-5-3b)(-5+3b)= 25-9b2
2) Quadrato di binomio
(a±b)2= a2+b2±2ab
Il quadrato di un binomio si sviluppa scrivendo il quadrato del primo termine, il quadrato del
secondo termine, il doppio prodotto del primo per il secondo. Da ricordare che i quadrati sono
sempre positivi, il doppio prodotto può essere positivo o negativo.
Es: (−5 − 3𝑏)2 = 25 + 9𝑏 2 + 30𝑏
Per il doppio prodotto abbiamo fatto a parte il calcolo 2(-5)(-3b)=+30b
3
1
9
1
Es: (− 2 𝑥 2 + 3 𝑦)2 = 4 𝑥 4 + 9 𝑦 2 − 𝑥 2 𝑦
3
1
Per il doppio prodotto abbiamo fatto a parte il calcolo 2 (− 2 𝑥 2 ) (+ 3 𝑦) = −𝑥 2 𝑦
Es: (𝑥 + 𝑦 2 )2 ∙ (𝑥 2 + 𝑦 4 )2 ∙ (𝑥 − 𝑦 2 )2 =
Normalmente dovremmo prima sviluppare i tre quadrati di binomio ottenendo tre trinomi che
poi vanno moltiplicati fra di loro. Dal prodotto si ottengono 27 termini, che si devono ridurre
sommando i simili, eliminando gli opposti ecc. ecc.
Possiamo però procedere in maniera più semplice.
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4
Applicando le proprietà delle potenze, ricordando che possiamo invertire l’ordine dei fattori,
applicando poi il prodotto notevole somma per differenza e infine sviluppando il quadrato di
binomio una sola volta otteniamo il risultato attraverso pochi e semplici calcoli.
Es: (𝑥 + 𝑦 2 )2 ∙ (𝑥 2 + 𝑦 4 )2 ∙ (𝑥 − 𝑦 2 )2 =
[(𝑥 + 𝑦 2 ) ∙ (𝑥 − 𝑦 2 )(𝑥 2 + 𝑦 4 )]2 =
[(𝑥 2 − 𝑦 4 ) ∙ (𝑥 2 + 𝑦 4 )]2 =
[𝑥 4 − 𝑦 8 ]2 =
𝑥 8 + 𝑦16 − 2𝑥 4 𝑦 8
3) Quadrato di trinomio ecc.
(a±b±c)2= a2+b2+c2±2ab±2ac±2bc
Il quadrato di un binomio si sviluppa scrivendo il quadrato del primo termine, il quadrato del
secondo termine, il quadrato del terzo termine, il doppio prodotto del primo per il secondo, il
doppio prodotto del primo per il terzo, il doppio prodotto del secondo per il terzo. Da ricordare
che i quadrati sono sempre positivi, i doppi prodotti possono essere positivi o negativi.
3
1
9
1
4
Es: (− 2 𝑥 2 + 3 𝑦 − 2𝑥𝑦)2 = 4 𝑥 4 + 9 𝑦 2 + 4𝑥 2 𝑦 2 − 𝑥 2 𝑦 + 6𝑥 3 𝑦 − 3 𝑥𝑦 2
Se il polinomio è formato da quattro termini (quadrinomio) avremo quattro quadrati positivi e
sei doppi prodotti positivi o negativi (tutte le combinazioni possibili)
4. Cubo di binomio
Si otterranno quattro termini: cubo del primo, cubo del secondo, triplo prodotto del quadrato del
primo per il secondo, triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo. Attenzione ai segni!!
3
1
3
Es: (− 2 𝑥 2 + 3 𝑦) =
3
2
3
1 3
1
1
1
1 2
(− 𝑥 2 ) + ( 𝑦) + 3 (− 𝑥 2 ) ( 𝑦) + 3 (− 𝑥 2 ) ( 𝑦) =
2
3
2
3
2
3
−
27
8
1
9
1
𝑥 6 + 27 𝑦 3 + 4 𝑥 4 𝑦 − 2 𝑥 2 𝑦 2
Naturalmente i vari prodotti notevoli possono essere combinati fra di loro
Es: (𝑥 + 𝑦 2 )3 ∙ (𝑥 2 + 𝑦 4 )2 ∙ (𝑥 − 𝑦 2 )3 =
(𝑥 2 − 𝑦 4 )3 (𝑥 2 + 𝑦 4 )2 =
(𝑥 2 − 𝑦 4 )(𝑥 2 − 𝑦 4 )2 (𝑥 2 + 𝑦 4 )2 =
(𝑥 2 − 𝑦 4 )[(𝑥 2 − 𝑦 4 )(𝑥 2 + 𝑦 4 )]2 =
(𝑥 2 − 𝑦 4 )[(𝑥 4 − 𝑦 8 )]2 =
Ora basta sviluppare il quadrato di binomio e poi eseguire la moltiplicazione fra un binomio e
un trinomio.
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5
5.
Potenza di un binomio
Per calcolare la potenza (a+b)n possiamo procedere in diversi modi. Naturalmente ci conviene
applicare il metodo che ci consente di fare meno calcoli.
Es: (𝑎 + 𝑏)5 =
Possiamo arrivare al risultato in diversi modi, e precisamente:
-
(𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏)
Sviluppando i prodotti otteniamo 32 termini, dopo di che sommiamo i simili ecc.
-
(𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏)2 ∙ (𝑎 + 𝑏)2
Sviluppando i due quadrati di binomio otteniamo due trinomi che moltiplicati fra di loro ci
danno 9 termini, e questi moltiplicati per il binomio daranno 18 termini
-
(𝑎 + 𝑏)2 ∙ (𝑎 + 𝑏)3
Sviluppando il quadrato di binomio e il cubo di binomio otterremo un trinomio e un quadrinomio
che moltiplicati fra di loro ci daranno 12 termini
Esistono ancora molte combinazioni che ci permetteranno di ottenere il risultato richiesto ed
esiste un metodo che ci permette di arrivare al risultato senza fare calcoli.
Il risultato di questa potenza sarà un polinomio completo e omogeneo di quinto grado, decrescente
rispetto ad a e crescente rispetto a b. I coefficienti del polinomio si ottengono dalla quinta riga del
TRIANGOLO DI TARTAGLIA
Dobbiamo formare un triangolo di numeri dove il vertice è 1 e la seconda riga è costituita dai
numeri 1 , 2 , 1. Ogni riga inizia e finisce con 1, e i numeri interni si ottengono dalla riga
precedente sommando ordinatamente a due a due i termini.
1
1
1
1
1
1
6
2 1
3
1
4
5
10
3
15
7 21
6
4
1
10
5
20
35
1
15
35
1
6
21 7
1
1
Es: (𝑎 + 𝑏)5 = 𝑎5 + 5𝑎4 𝑏 + 10𝑎3 𝑏 2 + 10𝑎2 𝑏 3 + 5𝑎𝑏 4 + 𝑏 5
1 6
Es: (𝑥 2 − 2) =
=
1 2
1
1 3
1 4
1 5
(𝑥 2 )6+6(𝑥 2 )5 (− ) + 15(𝑥 2 )4 (− ) + 20(𝑥 2 )3 (− ) + 15(𝑥 2 )2 (− ) + 6(𝑥 2 ) (− ) +
2
2
2
2
2
1 6
(− 2) =
= 𝑥12 − 3𝑥10 +
15
4
5
15
3
1
𝑥 8 − 2 𝑥 6 + 16 𝑥 4 − 16 𝑥 2 + 64
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6
6.
Altri prodotti notevoli
Si possono presentare prodotti facilmente risolvibili senza fare lunghi calcoli
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏 − 𝑐) = [(𝑎 + 𝑏) + 𝑐][(𝑎 + 𝑏) − 𝑐] = (𝑎 + 𝑏)2 − 𝑐 2
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎 − 𝑏 − 𝑐) = [𝑎 + (𝑏 + 𝑐)][𝑎 − (𝑏 + 𝑐)] = 𝑎2 − (𝑏 + 𝑐)2
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)(𝑎 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑑) = [(𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)][(𝑎 + 𝑏) − (𝑐 + 𝑑)] =
(𝑎 + 𝑏)2 − (𝑐 + 𝑑)2
Es: ( 3+2x+y )( 3-2x-y ) =
[3+( 2x+y )][3-( 2x+y )] =
9-( 2x+y)2=
9-4x2-y2-4xy
Es: (a+b+2-c)(a-b+2+c)=
[(a+2)+(b-c)][(a+2)-(b-c)] =
(a+2)2-(b-c)2=
a2+4+4a-b2-c2+2bc
Il prodotto fra un binomio e un trinomio, dove il trinomio si ottiene dal binomio facendo quadrato,
prodotto cambiato di segno e quadrato, si chiama somma o differenza di cubi
(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑎3 + 𝑏 3
(𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑎3 − 𝑏 3
Es: ( 1+2x )( 1-2x+4x2) =
1+8x3
Es: ( a-2b )( a2+4b2+2ab )=
a3-8b3
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7

Divisione di polinomi
Naturalmente, perché la divisione sia possibile, il grado del dividendo deve essere  al grado del
divisore. Inoltre il dividendo deve essere completo e ordinato, il divisore deve essere ordinato.
Per eseguire la divisione fra polinomi:
- Dividiamo primo monomio con primo monomio ottenendo un quoziente parziale
- Questo quoziente parziale deve moltiplicare il divisore e il risultato della moltiplicazione
viene scritto, cambiato di segno, sotto il dividendo (ogni termine sotto il suo simile)
- Sommando membro a membro il primo termine se ne va
- Accanto al risultato ottenuto riscriviamo i termini del dividendo non ancora utilizzati
- Si ricomincia da capo e si continua così fino a che il grado del dividendo non diventa < del
grado del divisore
Es: Calcolare quoziente e resto della seguente divisione.
(3𝑥 5 + 2 − 11𝑥 3 ): (𝑥 3 + 1 − 2𝑥 2 ) =
Completiamo e ordiniamo il dividendo, ordiniamo il divisore.
(3𝑥 5 + 0𝑥 4 − 11𝑥 3 + 0𝑥 2 + 0𝑥 + 2): (𝑥 3 − 2𝑥 2 + 1) =
3𝑥 5 + 0𝑥 4 − 11𝑥 3 + 0𝑥 2 + 0𝑥 + 2 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 1
3𝑥 2 + 6𝑥 + 1
−3𝑥 5 + 6𝑥 4
− 3𝑥 2
6𝑥 4 − 11𝑥 3 − 3𝑥 2 + 0𝑥 + 2
−6𝑥 4 + 12𝑥 3 +
−6𝑥
3
2
𝑥 − 3𝑥 − 6𝑥 + 2
−𝑥 3 + 2𝑥 2
−1
2
−𝑥 − 6𝑥 + 1
Q(x)= 3𝑥 2 + 6𝑥 + 1
R(x)= −𝑥 2 − 6𝑥 + 1
Se vogliamo verificare l’esattezza della divisione, moltiplicando quoziente per divisore e
aggiungendo il resto dobbiamo ottenere il dividendo, cioè:
(3𝑥 2 + 6𝑥 + 1) ∙ (𝑥 3 − 2𝑥 2 + 1) + (−𝑥 2 − 6𝑥 + 1) = 3𝑥 5 − 11𝑥 3 + 2
Se negli esercizi da svolgere ci sono numeri frazionari, conviene fare i calcoli a parte
Es:
1
3
1
5
1
(4 𝑥 4 − 2 𝑥 3 + 2 𝑥 2 − 4 𝑥 + 1) : (4 𝑥 2 + 1) =
Il dividendo è completo e ordinato, il divisore è ordinato
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polinomi
8
1 2
𝑥 +1
4
𝑥 2 − 4𝑥 − 10
1 4 3 3 1 2 5
𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥+1
4
2
2
4
1 4 1 3
− 𝑥 + 𝑥 − 𝑥2
4
2
1
5
−𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 4 𝑥 + 1
𝑥 3 − 2𝑥 2 + 4𝑥
5
− 2 𝑥2 +
5
2
11
4
𝑥+1
𝑥 2 − 5𝑥 + 10
9
− 4 𝑥 + 11
Q(x)= 𝑥 2 − 4𝑥 − 10
9
R(x)= − 4 𝑥 + 11
Verifica:
1
9
(𝑥 2 − 4𝑥 − 10) ∙ ( 4 𝑥 2 + 1) + (− 4 𝑥 + 11) =
1 4
𝑥
4
3
1
5
− 2 𝑥3 + 2 𝑥2 − 4 𝑥 + 1
Se i coefficienti dei polinomi sono letterali, la regola della divisione non cambia, purchè si
considerino tali lettere come costanti.
Es: (𝑥 5 + 𝑏 5 + 𝑏 2 𝑥 3 + 𝑏𝑥 4 ): (𝑥 2 + 𝑏 2 ) =
Completiamo e ordiniamo il dividendo rispetto alla variabile x. La lettera b sarà considerata come
costante.
𝑥 5 − 𝑏𝑥 4 + 𝑏 2 𝑥 3 + 0𝑏 3 𝑥 2 + 0𝑏 4 𝑥 + 𝑏 5
−𝑥 5
− 𝑏2𝑥 3
𝑥 2 + 𝑏2
𝑥 3 − 𝑏𝑥 2 + 𝑏 3
−𝑏𝑥 4 + 0𝑏 2 𝑥 3 + 0𝑏 3 𝑥 2 + 0𝑏 4 𝑥 + 𝑏 5
𝑏𝑥 4
+ 𝑏3 𝑥 2
+𝑏 3 𝑥 2 + 0𝑏 4 𝑥 + 𝑏 5
−𝑏 3 𝑥 2
− 𝑏5
0
Q(x)= 𝑥 3 − 𝑏𝑥 2 + 𝑏 3
R(x)= 0
Se nella divisione ci sono due variabili x e y , se ne sceglie una mentre l’altra viene considerata
come costante. Naturalmente possiamo svolgere la divisione due volte, la prima volta scegliendo
come variabile x (e quindi dobbiamo completare e ordinare rispetto ad x), la seconda scegliendo
come variabile y (e quindi dobbiamo completare e ordinare rispetto alla y). Se in queste divisioni si
ha R≠0, i due quozienti saranno diversi. Se invece avremo R=0 (in questo caso la divisione si dice
esatta) i due quozienti coincideranno.
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9

Regola di Ruffini e Teorema del resto
La Regola dio Ruffini ci permette di trovare quoziente e resto di una divisione del tipo P(x):(x±a)
senza eseguirla. Il divisore deve essere di primo grado e la variabile x deve avere coefficiente 1.
Se dividiamo un polinomio di grado n (deve essere completo e ordinato) per un binomio del tipo
(x±a) otteniamo un polinomio (il quoziente della divisione) di grado n-1. La regola di Ruffini ci
permette di trovare i coefficienti del quoziente attraverso una griglia in cui la variabile non deve
comparire.
Per applicare la Regola di Ruffini bisogna dunque creare una griglia in cui:
- Disponiamo sulla riga in alto tutti i coefficienti del polinomio dividendo, con il termino noto
fuori
- Nell’angolo in basso a sinistra (seconda riga) scriviamo l’opposto del termine noto del polinomio
divisore
- Riscriviamo in basso il primo coefficiente (terza riga)
- Iniziamo moltiplicando (direzione obliqua) e scrivendo il risultato nella seconda colonna (e
seconda riga)
- Sommiamo i numeri della seconda colonna (direzione verticale) scrivendo il risultato in basso
(terza riga)
- Continuiamo così ricordando che nella direzione obliqua si moltiplica, nella direzione verticale si
somma
- L’ultimo numero ottenuto (nell’angolo in basso a destra, terza riga ultima colonna) è il resto
della divisione
- I numeri dell’ultima riga rappresentano nell’ordine i coefficienti del polinomio risultato detto
quoziente. Esso è un polinomio di un grado inferiore al polinomio dividendo.
Es: ( 2x3 +6 – x 2): ( 1+x )
Ordiniamo i polinomi secondo la potenza decrescente della variabile e completiamo il polinomio
dividendo
( 2x3 – x2 + 0x + 6 ) : ( x + 1 )
Possiamo incominciare con la griglia
2
-1
0
6
2
-2
-3
3
3
-3
3
-1
Il resto della divisione sarà 3, mentre il quoziente sarà un polinomio di secondo grado avente per
coefficienti i numeri 2, -3, 3. Avremo quindi
Q(x) = 2x2 - 3x + 3
R=3
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polinomi
10
Se i coefficienti dei polinomi sono letterali, si può comunque applicare la Regola di Ruffini, purché
si considerino tali lettere come costanti.
Es: ( 4bx +5x2 -12b2):( x+2b ) Ordiniamo
( 5x2+4bx -12b2):( x+2b ) Applicando Ruffini:
5
4b
5
-10b
-6b
-2b
-12b2
+12b2
0
Il quoziente sarà un polinomio di primo grado.
Q(x) = 5x – 6b
R=0
Se nella divisione ci sono due variabili x e y , se ne sceglie una mentre l’altra viene considerata
come costante. Naturalmente possiamo svolgere la divisione due volte, la prima volta scegliendo
come variabile x (e quindi dobbiamo completare e ordinare rispetto ad x), la seconda scegliendo
come variabile y (e quindi dobbiamo completare e ordinare rispetto alla y). Se in queste divisioni si
ha R≠0, i due quozienti saranno diversi. Se invece avremo R=0 (in questo caso la divisione si dice
esatta) i due quozienti coincideranno.
Vediamo ora come è possibile, applicando la regola di Ruffini, dividere un polinomio P(x) per un
binomio del tipo ax±b.
Ricordiamo che per applicare Ruffini la variabile x del divisore deve avere coefficiente 1.
La proprietà invariantiva della divisione dice che moltiplicando o dividendo i due termini della
divisione per uno stesso numero, il quoziente non cambia, mentre il resto viene moltiplicato o
diviso per lo stesso numero.
Se il polinomio divisore è del tipo ax±b ci basterà dividere dividendo e divisore per a per ottenere il
giusto quoziente, mentre il resto dovrà essere moltiplicato per a.
Es: ( 3x2-5x+4 ): ( 2x-1 )
Dividiamo dividendo e divisore per 2
3 2
5
1
(2 𝑥 − 2 𝑥 + 2): (𝑥 − 2) Ora applichiamo Ruffini
3
2
1
2
𝑄(𝑥) =
3
2
𝑥−
3
2
−
5
2
3
4
7
−
4
7
4
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2
7
8
9
8
−
𝑅=
9
8
9
∙2=4
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11
E’ anche possibile applicare Ruffini quando il divisore è del tipo x2±a, ma solo se nel dividendo la
variabile x compare con esponenti pari. Se il divisore è del tipo x3±a, nel dividendo la variabile x
deve comparire con esponenti multipli di 3, ecc. ecc.
In questo caso, ponendo xn= t , ritorniamo ai casi precedenti.
Es: ( x6-4x3+3 ) : ( x3-2)
( t2-4t+3 ) : ( t-2 )
Ponendo x3= t otteniamo
Ora applichiamo Ruffini
1
-4
3
1
2
-2
-4
-1
2
Ricordando che x3= t , il quoziente ottenuto , cioè t – 2 , diventerà
Q ( x ) =x3 -2
mentre R = -1
Teorema del Resto
Il resto della divisione di un polinomio P (x) per un binomio del tipo x+a è uguale al valore che il
polinomio assume quando in esso si sostituisce alla x il valore –a, cioè
R = P( -a )
Il teorema del resto ci permette quindi di calcolare il resto di una divisione senza eseguire la
divisione. Importante ricordare che il teorema del resto è applicabile solo quando è applicabile la
regola di Ruffini, cioè quando il polinomio divisore è un binomio di primo grado e la variabile x ha
coefficiente 1.
Es: ( 2x3 +6 –x2 ) : ( x +1 )
P ( -1 ) = 2 ( -1 )3 + 6 – ( -1 )2 = 2 ( -1 )+6 – ( +1 ) = - 2 +6 -1 = 3
Avremo R = 3
Es: ( 4bx +5x2 -12b2 ) : (x +2b )
P ( -2b ) = 4b ( -2b ) +5 ( -2b)2 -12b2 = -8b2 +20b2 -12b2 = 0
Avremo R = 0
Il teorema del resto è molto importante nella scomposizione dei polinomi ( vedi dispensa ).
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