APPUNTI SUI NUMERI DI CARMICHAEL
(Forma numerica 6k +1, distribuzione logaritmica, ecc.)
°°°°°°°
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Abstract
In this paper we show some news on Carmichael’s numbers, with
form 6k+1
Introduzione
In questo lavoro mostreremo alcune possibili novità sui numeri di
Carmichael, per esempio la loro forma numerica quasi sempre di tipo
6k +1.
Iniziamo dalla definizione, dall’omonima voce di Wikipedia:
“Numero di Carmichael”
In teoria dei numeri, un numero di Carmichael è un intero positivo composto n che soddisfa
la congruenza
1
per tutti gli interi b che sono coprimi con n o, equivalentemente, che verificano la congruenza
per ogni b. Prendono il nome da Robert Carmichael, che ne trovò i primi esempi.
Il piccolo teorema di Fermat afferma che tutti i numeri primi hanno quella proprietà, ma il
viceversa non è vero: ad esempio
, ma 341 non è primo, essendo il
prodotto di 11 e 31. Un numero tale che
è detto pseudoprimo di Fermat
rispetto alla base b; i numeri di Carmichael sono pseudoprimi di Fermat in ogni base, cioè
assoluti.
I numeri di Carmichael rivestono un'importanza notevole perché passano in ogni caso il test
di primalità di Fermat pur essendo composti: la loro esistenza impedisce di utilizzare questo
test per certificare con sicurezza la primalità di un numero, mentre rimane utilizzabile per
dimostrare che un numero è composto…
Proprietà
Una caratterizzazione dei numeri di Carmichael è stata fornita nel 1899 da Korselt: un intero
positivo composto n è un numero di Carmichael se e solo se è privo di quadrati e, per ogni
divisore primo p di n, p-1 divide n-1.
Un corollario di questo teorema è che tutti i numeri di Carmichael sono dispari: se infatti n
fosse pari con un fattore primo p dispari, si dovrebbe avere p-1|n-1 (a|b significa a divide b),
ma p-1 sarebbe pari al contrario di n-1, dispari, e quindi p-1 non lo potrebbe dividere.
Korselt, pur dimostrando questa proprietà, non riuscì a trovarne un esempio; nel 1910 Robert
Daniel Carmichael trovò il più piccolo numero con questa proprietà, 561, legando così il suo
nome a questi numeri.
Si può verificare facilmente che 561 è un numero di Carmichael con il teorema di Korselt.
Infatti, 561 = 3 · 11 · 17 è privo di quadrati e 2|560, 10|560 e 16|560. I numeri di Carmichael
successivi sono (Sequenza A002997 dell'OEIS):
1105 (5 · 13 · 17), 1729 (7 · 13 · 19), 2465 (5 · 17 · 29), 2821 (7 · 13 · 31), 6601 (7 · 23 · 41),
8911 (7 · 19 · 67)
I numeri di Carmichael hanno almeno tre divisori primi positivi. I primi numeri di
Carmichael con k = 3, 4, 5,... fattori primi sono (Sequenza A006931 dell'OEIS):
k
3 561 = 3 · 11 · 17
4 41041 = 7 · 11 · 13 · 41
2
5 825265 = 5 · 7 · 17 · 19 · 73
6 321197185 = 5 · 19 · 23 · 29 · 37 · 137
7 5394826801 = 7 · 13 · 17 · 23 · 31 · 67 · 73
8 232250619601 = 7 · 11 · 13 · 17 · 31 · 37 · 73 · 163
9 9746347772161 = 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 31 · 37 · 41 · 641
•
•
•
Curiosamente, il primo numero di Carmichael (561) si può esprimere come somma di
due potenze di primo grado in un numero di modi maggiore rispetto ad ogni numero
più piccolo (sebbene ciò sia banalmente vero per ogni intero positivo), il secondo
numero di Carmichael (1105) si può scrivere come somma di due quadrati in più
maniere rispetto a ogni numero più piccolo, e il terzo numero di Carmichael (1729) è il
numero di Hardy-Ramanujan: il più piccolo numero che si può scrivere come somma
di due cubi in due modi diversi. Sempre riguardo al numero 1729 questo è un numero
composto, coi seguenti divisori: 1, 7, 13, 19, 91, 133 e 247. Poiché la somma dei divisori
è 511 < 1729, è un numero difettivo.
È il più piccolo numero che possa essere espresso come la somma di due cubi in due
modi differenti: 1729 = 13 + 123 = 93 + 103.
È il terzo numero di Carmichael, dopo il 1105 e prima del 2465
Distribuzione
I numeri di Carmichael sono rari: ad esempio, ci sono 1.401.644 numeri di Carmichael
compresi fra 1 e 1018 (circa uno ogni 700 miliardi di numeri).[1] Ciò rende i test di primalità
basati sul piccolo teorema di Fermat un po' più incerti rispetto ad altri, come il test di
primalità di Solovay-Strassen.
J. Chernick dimostrò nel 1939 che se i numeri 6k+1, 12k+1 e 18k+1 sono primi, allora il loro
prodotto è un numero di Carmichael; non è noto però se i numeri in questa forma siano finiti
o infiniti.
Paul Erdıs mostrò, con ragioni euristiche, che dovrebbero esistere infiniti numeri di
Carmichael, e congetturò che per ogni ε > 0 esista un valore x0(ε) tale che, detto C(x) dei
numeri di Carmichael minori o uguali a x,
C(x) > x1 − ε
per ogni
.[2] Nel 1994 W. R. (Red) Alford, Andrew Granville e Carl Pomerance
provarono l'infinità dei numeri di Carmichael, dimostrando che, per n sufficientemente
2/7
grande, C(x) > x .[3] Glyn Harman ha successivamente migliorato questo risultato
0.332
provando che C(x) > x
per x sufficientemente grande, [4] e poi portando l'esponente a
[5]
1/3 .
3
Una stima dall'alto della funzione C(x) fu fornita dallo stesso Erdıs, che dimostrò nel 1956 che
per qualche costante k.
La distribuzione dei numeri di Carmichael minori al di sotto delle potenze di 10 è:[1].
n
C(10n)
3 4 5 6 7
8
9
10
11 12
13
14
15
16
17
18
19
20
1 7 16 43 105 255 646 1547 3605 8241 19279 44706 105212 246683 585355 1401644 3381806 8220777
Löh e Niebuhr trovarono nel 1992 alcuni numeri di Carmichael di grandi dimensioni, tra cui
uno con 1.101.518 fattori e oltre 16 milioni di cifre…”.
Tabella per la distribuzione dei numeri di Carmichael
N
10n
Quantità di
C(10n)
Stima
approssimativa
3
103
1
(1) C(10n)/n ≈
(1,7*2(n-3) )/2
Rapporto reale
Stima del suddetto
rapporto
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
104
105
106
107
108
109
1010
1011
1012
1013
1014
1015
7
16
43
105
255
646
1 547
3 605
8 241
19279
44 706
105 212
1,75
3,2
7,1
15
31
71
154,7
327,7
686,7
1483
3193,2
7014,1
4
1,7
3,4
6,8
13,6
27,2
54.4
108,8
435.2
870.4
1740.8
3481,6
6963,2
…
…
…
…
La (1) deriva dal fatto che il valore di C(10n) raddoppia circa ad ogni
unità in più di n; ma a partire da 1011, si può eliminare il dimezzamento ,
poiché 2(n-3) *1,7 è più vicino al valore reale
Per cui, per trovare un valore stimato approssimativo di C(10n),
basta moltiplicare n per il rapporto stimato con la (1); per esempio, per n =
15, abbiamo 15*6963,2 = 104 445 circa 105 212, con una differenza di
767 , uguale a circa il 0,72 % del valore reale (767/1052,12= 0,7290042)
Per 1030 avremo quindi un valore stimato del rapporto di
227*1,7 = 228 170 137,6
e C (1030) ≈ 30* 228170137,6 = 6 845 104 128.
In termini logaritmici, possiamo dire che 30 si può scrivere come
log 1030 , da sostituire a 30:
C(1030) ≈ log(1030) * 2(30-3)*1,7 = 6 845 104 128
Nostre osservazioni:
a) forma aritmetica: quasi tutti i numeri di Carmichael sono di forma
6k +1; alcuni sono multipli di 3 (per es. 561= 3*187 = 3*11*17;
pochissimi sono di forma 6k -1, per esempio 2465 = 2466/6 = 411, per cui
2465 = 6*411 -1= 5*17*29, tre fattori tutti di forma 6k-1, e questo fatto fa
conservare la forma 6k-1 anche al loro prodotto; il prodotto di due numeri
primi di forma 6k-1 diventa di forma 6k +1, mentre il prodotto di tre o di
5
qualsiasi numero dispari di primi riporta alla forma 6k-1, come nel caso di
2465, prodotto di tre primi di forma 6k -1e quindi anch’esso di forma
6k – 1; mentre per le forme 6k +1 questa distinzione tra pari e dispari non
c’è, e quindi quale che sia il numero dei numeri primi fattori, la forma
viene sempre conservata.). La causa di questa forma “preferita” dai
numeri di Carmichael la possiamo trovare nella dimostrazione di Chernik
che se i numeri 6k+1, 12k+1 e 18k+1 sono primi, il loro prodotto è un
numero di Carmichael, anch’esso quindi di forma 6k +1 . (Vedi appunto
finale sui numeri di Zeisel)
La forma 6k +1 si mantiene infatti anche nel prodotto di questi tre numeri
primi :
(6k’+1) (12k’+1)(18k’+1) = (6k’*12k’ +6k’ +12k’ +1)(18k’+1) =
36*k’2+ 18k’ +1) (18k’+1) = 36k’2*18k’ + 36k’2 +324k’2 +1) =
36(18k’ + k’2+ 9k’2) +1 =36 (18k’ +10k’2) + 1 = 6k + 1, essendo
36 (18k’ +10k’2) già multiplo k’ di 6 : ecco perché i numeri di
Carmichael, e specialmente quelli indicati da Chernik (che debbono essere
molti e possibilmente anche infiniti, cosa non ancora dimostrata)
“preferiscono” tale forma aritmetica; l’altra forma numerica dei numeri
primi e di semiprimi è 6k -1, quindi, sarebbe molto rara nei numeri di
Carmichael come abbiamo già accennato .
b) Distribuzione e possibile formula esponenziale
Sulla loro distribuzione sempre più rara, possiamo dire che
6
riportando i grafici dalla sequenza OESIS
A002997 as a graph:
7
si osserva una certa regolarità, ma anche una certa rarità al
8
crescere di n, il che fa pensare ad una equazione di tipo
esponenziale: la dimostrazione di Chernik sui prodotti di numeri
primi di forma 6k+1, 12k+1 e 18k+1 ci suggerisce che tale
prodotto è almeno di tipo cubico, poiché è un polinomio in cui il
primo termine è
(6k+1)(12k+1)(18k+1) =(6k*12k*18k) +… 1 =
6*12*18*k3 +…1=1296*k3 +…1; con
1296 = 63*6 = 216*6= 64
qui è almeno di tipo cubico poiché i fattori f sono soltanto tre;
generalizzando per più fattori f, avremmo un numero
C(n) ≈ 6*k(f+1) + …+1
Per esempio 1729 = 7*13*19 = 64 +…=1296 + ….1 =1729
Oppure con la media m = (7+13+19)/3= 13
(m-1)f + 1 = numero di Carmichael di Chernik
13-1=12; 123 = 1728, 1728 + 1 = 1729
Altro esempio con 3 fattori , ma tale formula non funziona,
nemmeno con più di tre fattori, poiché da un valore pari a circa il
9
doppio del numero di Carmichael
considerato:
2465 = 5*17*29
m = (5+17+29)/3 = 51/3 = 17, 17-1=16
163= 4096 +1= 4096 +1 = 4097 ≈ 2465*2 = 4930
b) Motivo per cui essi sfuggono al piccolo teorema di Fermat
Poichè i numeri primi sono di forma 6k +1, esiste una lista di
numeri k per i quali 6k+1 è un numero primo: con il piccolo
teorema di Fermat, i numeri di Carmichael, che dovrebbero essere
primi e invece non lo sono, vuol dire che il loro k non è in tale
lista infinita. Questo perchè, probabilmente, la somma di tutti i k
dei fattori è pari , e quindi questo impedirebbe che tale somma
non sia inclusa nella lista k per i quali 6k+1 è primo
Per la lista di k fattori pubblicata da Wikipedia, escluso il primo
numero 561 = 3*11*17 e quindi non di forma 6k+1, tutti gli altri
numeri di Carmichael hanno come somma s dei valori di k dei
rispettivi fattori, i seguenti valori
10
C
s
41041
…
12
20
38
36
58
Mentre nella sequenza OESIS dei numeri di Carmichael:
561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341,
41041, 46657, 52633, 62745, 63973, 75361, 101101, 115921, 126217,
162401, 172081, 188461, 252601, 278545, 294409, 314821, 334153,
340561, 399001, 410041, 449065, 488881, 512461
Fattorizzandoli, abbiamo s = 2*a con qualche eccezione (15)
s = 3*b con qualche eccezione ( 8)
con p indichiamo invece il prodotto
1105 = 5 * 13 * 17, s = 1 + 2 + 3
1729 = 7 * 13 * 19, s = 1 + 2 + 3
2465 = 5 * 17 * 29, s = 1 + 2 + 3
2821 = 7 * 13 * 31, s = 1 + 2 + 5
6601 = 7 * 23 * 41, s = 1 + 4 + 7
8911 = 7 * 19 * 67, s = 1 + 3 + 11
10585 = 5* 29 * 73, s = 1 + 5 + 12
15841 = 7* 31 * 73, s = 1 + 5 + 12
29341 = 13*37 * 61, s = 2 + 6 +10
41041=7*11*13*41, s = 1+2 +2 + 7
…
…
…
…
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
6
6
6
8
12
15
18
18
18
12
p = 6
p = 6
p = 6
p = 10
p = 28
p = 33
p = 60
p = 60
p = 120
p = 28
…
[Evidenziamo che i numeri inerenti s, sono i coefficienti k della forma 6k +-1 dei numeri primi
fattori dei numeri di Carmichael: Per es: per 1105 = 5*13*17, 5=6*1 -1; 13=6*2+1; 17=6*3-1,
quindi i coefficienti k sono nell'ordine, 1, 2 e 3. Lo stesso per tutti gli altri numeri di Carmichael e
i loro fattori primi: 1, 4 e 7 per 6601 = 7*23*41, poichè 7= 6*1+1, 23 = 6*4-1, 41= 6*7 -1, e così
via].
11
Con 41041 i fattori diventano 4, ma mediamente piccoli, e quindi
s diminuisce, per poi risalire a numeri più alti
Come si vede, s cresce lentamente , ed è in genere un numero pari
o un multiplo di 3, con pochissime eccezioni
(le somme 10 e 28 sono di forma 3n+1, infatti:
10 = 9+1 = (3*3) +1, 28=27+1 = (3*9) +1)
Lo stesso dicasi per i prodotti, tra quali notiamo i numeri perfetti
6 e 28, e multipli di 3 come 6, 33, 60, 120.
Potrebbe celarsi qui il segreto di Carmichael?
Possiamo quindi formulare la seguente congettura: se la somma
dei valori di k per i fattori di un numero di Carmichael è pari o
multipla di 3, il numero di Carmichael non può essere primo, e
così anche per il prodotto.
Ulteriori ricerche computazionali per altri numeri di Carmichael
la confermeranno. Dai fattori bisogna escludere 2 e 3 , sebbene
qualche numero di Carmichael sia multiplo di 3 (per esempio
561, solo uno tra i primi 16 numeri di Carmichael fino a
12
100 000; degli altri quindici, uno solo (2465) è di forma 6k-1 , e
ben 14 di forma 6k+1: cosa assolutamente non casuale, come
prima visto per le forme 6k+1) , e il fattore 3 non è di forma
6k+1.
Per somme s e prodotti p di tali forme, i numeri di Carmichael
sfuggono alle forme 6k+1 come una delle forma generatrice di
numeri primi (Rif.1)
Dei numeri di Carmichael più piccoli fino a 41041, sottraendo 2
(e quindi con la forma 6k -1), solo:
1105-2 = 1103
2821-2 = 2819
6601-2 = 5599
29341-2 =29339
41041-2 = 41039
è primo
è primo
è primo
è primo
è primo
Quindi anche C(n) – 2 = 6k -1 difficilmente è un numero
primo, sebbene con una leggera minore rarità .
Conclusioni.
Non abbiamo ancora risolto il problema per cui i numeri di
Carmichael sfuggono al test di primalità basato sul piccolo
13
teorema di Fermat, ma abbiamo scoperto che:
a) tali numeri sono prevalentemente di forma 6k +1 , con rarissime
eccezioni (2465 = 6* 411 -1)
b) la formula dei numeri di Carmichael di Chernik , basata sul
cubo della media aritmetica m dei loro tre fattori, e diminuita di 1
(per esempio 1729), e quindi
c) una base per l’equazione esponenziale che giustifica la loro
rarità
(m-1)3 +1
per esempio per 1729
Tuttavia queste sono ricerche puramente teoriche e di scarsa
utilità pratica, poiché esistono test di primalità molto più
efficienti .
Però qualche piccolo passo avanti lo abbiamo fatto, mostrando
come le forme 6k+1 dei numeri primi riguardano anche i numeri
di Carmichael, (specialmente la loro forma 6k+1, che
permetterebbe ai numeri di Carmichael di sfuggire in qualche
14
modo al test di primalità di Fermat).
Un nostro possibile futuro lavoro riepilogativo su tali forme
partirebbe dai numeri gemelli ( 6k-1 e 6k +1 per infiniti k),
dai quali si passa ai numeri di Sophie Germain, ai numeri di
Mersenne, ai numeri perfetti e ai numeri amici, tutti conseguenze
dirette o indirette di tali forme.
Infine, un accenno ai numeri di Zeisel, connessi con i numeri di
Carmichael e con la dimostrazione di Cernik:
Da omonima voce di Wikipedia,
Numero di Zeisel
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Un numero di Zeisel, così chiamato in onore di Helmut Zeisel, è un numero intero privo di
quadrati k che possiede almeno tre fattori primi in progressione aritmetica. I fattori in
questione cadono nella sequenza
px = apx − 1 + b
Dove a e b sono delle costanti intere e x è l'indice di ciascun fattore primo nella
fattorizzazione, in ordine dal più piccolo al più grande. Per determinare i numeri di Zeisel, p0
= 1. I primi numeri di Zeisel sono
105, 1419, 1729, 1885, 4505, 5719, 15387, 24211, 25085, 27559, 31929, 54205, 59081,
114985, 207177, 208681, 233569, 287979, 294409, 336611, 353977, 448585, 507579,
982513, 1012121, 1073305, 1242709, 1485609, 2089257, 2263811, 2953711, … (Sequenza
A051015 dell'OEIS)
Ad esempio, 1729 è un numero di Zeisel con costanti a = 1 e b = 6, mentre i suoi fattori primi
sono 7, 13 e 19, che cadono nella sequenza
15
1729 è un esempio di numero di Carmichael del tipo (6n + 1)(12n + 1)(18n + 1), che
soddisfa la sequenza px = apx − 1 + b con a= 1 e b = 6n, così che ogni numero di Carmichael
esprimibile in forma (6n+1)(12n+1)(18n+1) sia un numero di Zeisel.
Altri numeri di Carmichael di questo tipo sono: 294409, 56052361, 118901521, 172947529,
216821881, 228842209, 1299963601, 2301745249, 9624742921, …
Collegamenti esterni
•
•
•
(EN) Wikisource:Zeisel numbers
(EN) Numero di Zeisel su MathWorld.
(EN) MathPages article
Riferimenti
1)”LE FORME 6k + 1 DEI NUMERI PRIMI E LE
QUATTRO OPERAZIONI” , Gruppo Eratostene, in sezione
“Articoli sui Numeri Primi”
Caltanissetta 1.9.2011
16
