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Urti
Fisica Generale A
• Si ha un urto quando due corpi, che si muovono a velocità
diverse, interagiscono (p.es. vengono a contatto) e, in un
intervallo di tempo molto breve (rispetto al contesto),
modificano sostanzialmente le proprie velocità.
palle da biliardo
12. Urti
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p
e
Domenico
Galli
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Galli
Date: 2010.10.21 09:43:59 +02'00'
e
p
+
cometa
Sole
October 21, 2010
Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Urti (II)
2
Forze d’Urto
• Le forze d’urto agiscono per un tempo molto breve. Prima
e dopo l’urto le forze d’urto sono assenti: se i corpi non
sono soggetti ad altre forze, essi si muovono di moto
rettilineo uniforme.
• Le forze che agiscono durante l’urto tra due corpi non
vincolati sono forze interne al sistema formato dai due
corpi.
• L’intensità delle forze d’urto è tanto più elevata quanto
più piccolo è l’intervallo di tempo in cui le forze agiscono.
• Nei problemi d’urto non si è interessati alla dinamica
dell’interazione, ma soltanto alla relazione tra le quantità
dinamiche prima e dopo l’urto.
• Infatti, se consideriamo la forza media nell’intervallo
[t1, t2] in cui le forze d’urto agiscono:
t
1 2 F =
F t dt
t2 t1 t
()
1
Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
3
Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
4
Forze d’Urto (II)
Forze d’Urto (III)
• Per il teorema dell’impulso avremo:
t
Q t2 Q t1
1 2 F =
F t dt =
t2 t1 t
t2 t1
()
( )
• Durante l’urto possono agire anche forze esterne non
impulsive, come la forza peso. Tuttavia, di solito, esse
sono trascurabili rispetto alle forze d’urto. I sistemi
possono cioè essere considerati sistemi quasi-isolati.
()
1
• A parità di variazione della quantità di moto Q t2 Q t1
la forza è tanto maggiore quanto minore è l’intervallo di
tempo [t1, t2].
F
meno rigido
F
t2
Fdt
t1
t1
stesso Q t2 Q t1
t2
stesso F dt
t1
t1 ,t2 diverso
F diversa
( )
Acciaio
t2
t
( )
( )
()
F
• Prima e dopo l’urto le forze esterne non impulsive devono
essere considerate, ma durante l’urto esse possono essere
trascurate.
Acciaio
più rigido
F
t2
Fdt
t1
t1
t2
Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
t
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Forze d’Urto (IV)
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Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Forze d’Urto (V)
• In presenza di una forza vincolare esterna si conserva il
momento angolare riferito al punto di applicazione della
reazione vincolare.
• Se sono presenti vincoli, le forze vincolari esterne non
possono essere trascurate, in quanto esse, durante
l’urto, hanno carattere impulsivo e possono
essere molto intense.
• Es.: urto di un pallone contro un muro.
• P. es., nel caso di una sbarra vincolata a ruotare attorno a
un punto O, si conserva il momento angolare
rispetto a O (perché la forza esterna, ovvero
R
O
la reazione vincolare, ha momento nullo rispetto
a tale punto) mentre non si conserva la quantità
di moto, né il momento angolare rispetto ad
altri centri di riduzione.
– Sistema pallone: la quantità di moto non si conserva
perché la forza d’urto è una forza esterna.
– Sistema pallone+muro: la quantità di moto non si
conserva perché la reazione vincolare che tiene il
muro fermo a terra è una forza esterna.
– Sistema pallone+muro+globo terrestre: la
quantità di moto si conserva in quanto tutte le
forze sono interne. Il globo terrestre ha un
piccolissimo rinculo.
Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
F
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Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
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Urto Collineare tra Due Punti Materiali
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (II)
• Essendo assenti forze esterne, si conserva la quantità di
moto e il momento angolare. In questo caso le due leggi di
conservazione hanno la medesima forma:
m1v1x + m2v 2 x = m1v 01x + m2v 02 x
v 01
m1
• Dopo l’urto, questa differenza v1x v 2 x risulta cambiata di
segno e uguale o diminuita in valore assoluto.
v 02 x
m2
• Possiamo perciò scrivere la relazione empirica:
(
• Volendo calcolare v1 e v2 a partire da v01 e v02, questa
espressione non basta (2 incognite, 1 equazione). Manca
l’informazione sul tipo di interazione.
Il coefficiente adimensionale e, detto coefficiente di
restituzione dipende soltanto dal tipo di interazione (p.es.
dai materiali di cui sono costituite le due sfere che
vengono a contatto).
• Procediamo in maniera empirica: osserviamo che l’urto è
tanto più violento quanto più grande è la differenza di
velocità v 01x v 02 x .
Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
v 01
m1 v1
m1
v 02 x
m2
v2
x
m2
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Urto Collineare tra Due Punti Materiali (III)
v 01x v 02 x > 0
v1x v 2 x < 0
v 01x v 02 x v1x v 2 x
Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
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Urto Collineare tra Due Punti Materiali (IV)
• Casi limite:
• Fra gli urti microscopici, tutti gli urti che non modificano
la natura delle particelle interagenti sono urti
perfettamente elastici.
– e = 0. Urto perfettamente anelastico. I due corpi, dopo l’urto,
restano uniti (proiettile sparato in un sacco di sabbia, freccia che
colpisce un bersaglio, ecc.)
– e = 1. Urto perfettamente elastico. Nel caso macroscopico ci si
avvicina a questa situazione utilizzando sferette di vetro o di
acciaio.
e
• In generale vale il caso intermedio 0 < e < 1.
• Fra gli urti macroscopici, l’urto perfettamente elastico è
un caso ideale, a cui ci si può avvicinare, ma che non si può
raggiungere esattamente.
Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
)
v1x v 2 x = e v 01x v 02 x , 0 e 1
e
urto elastico
11
p
p
+
urto anelastico
Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
12
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (V)
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (VI)
• Il sistema di equazioni:
• Risolvendo nell’altra incognita:
m1v1x + m2v 2 x = m1v 01x + m2v 02 x
v1x v 2 x = e v 01x v 02 x
m1v1x + m2v 2 x = m1v 01x + m2v 02 x
v1x v 2 x = e v 01x v 02 x
(
(
)
può essere risolto:
(
(
)
)
)
(
)
v2x =
(
m1 1 + e
m1 + m2
)v
(
01x
+
(
m2 em1
m1 + m2
1
m1 + m2
v 01x +
m2
m1 + m2
v 02 x
1
m1 em2
m1 + m2
v 01x +
01x
(
m2 1 + e
m1 + m2
(
)
+ m2 1+ e v 02 x
)v
02 x
Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
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• Se le due masse sono uguali:
v1x = v 02 x
v 2 x = v 01x
( e = 0)
( e = 1, m = m )
1
2
i due punti si scambiano le velocità.
• Si osserva anche al biliardo che, quando una palla colpisce con un urto
collineare un’altra palla di eguale massa in quiete, la prima si ferma,
mentre la seconda assume la velocità della prima.
• Nel caso di urti perfettamente elastici (e = 1) si ha:
( e = 1)
v 01x
v 02 x = 0
Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
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Urto Collineare tra Due Punti Materiali (VIII)
Le velocità finali (uguali tra loro) sono la media pesata con la massa
delle velocità iniziali.
m1 m2
2m2
v 01x +
v
v1x =
m1 + m2
m1 + m2 02 x
v = 2m1 v + m2 m1 v
2 x m + m 01x m + m 02 x
1
2
1
2
1x
)
13
• Nel caso di urti perfettamente anelastici (e = 0) si ha:
m1
2
v1x =
v 02 x
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (VII)
v1x = v 2 x =
(
( m + m )v = ( m em )v
)
Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
)
v 2 x = v1x + e v 01x v 02 x
m1v1x + m2v1x + em2 v 01x v 02 x = m1v 01x + m2v 02 x
v1x = v 2 x e v 01x v 02 x
m1v 2 x em1 v 01x v 02 x + m2v 2 x = m1v 01x + m2v 02 x
m1 + m2 v 2 x = m1 1 + e v 01x + m2 em1 v 02 x
(
)
15
v1x = 0
v 2 x = v 01x
Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
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Urto Collineare tra Due Punti Materiali (IX)
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (X)
• Per un urto collineare generico (elastico o anelastico) si ha, per
quanto riguarda l’energia:
(
(m + m )
1
)
m 1+ e
m em2
v 01x + 2
v
v1x = 1
m1 + m2
m1 + m2 02 x
v = m1 1 + e v + m2 em1 v
2x
m1 + m2 01x m1 + m2 02 x
(
1
m1v1x2 + m2v 22x =
2
1
+
)
(m + m )
1
2
(m + m )
1
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
(
(
) (
)
(
)(
)
)
+
1
(m + m )
1
+
m2
(m + m )
1
(m + m )
(m + m )
2
(m + m )
)
(
)
)(
2
(
)
(m + m )
(
)
m m + m + m e2 m + m v 2 +
2
2
2
1 01x
1 1
(
)
(
(m + m )
(m + m )
2
)(
)
)
2m1m2 m1 + m2 1 e2 v 01xv 02 x
2
Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
m m2 + e2 m2 2em m + m m2 1 + e2 + 2e v 2 +
2
1 2
2 1
1 1
01x
m m2 + e2 m2 2em m + m m2 1 + e2 + 2e v 2 +
1
2 1
1 2
2 2
02 x
2
(
)(
)(
)
2m1m2 1 + e m1 + m2 1 e v 01xv 02 x
18
m1
m2
2
2
m1 + m2 e2 v 01x
m + m1e2 v 02
+
x+
m1 + m2
m1 + m2 2
+
(
(
)
)
(
m m + m + m e2 m + m v 2 +
1
1
1
2 02 x
2 2
(
(
2m1m2 1 + e m1 em2 + m2 em1 v 01xv 02 x
2
m2
2
m1 m2 v 02
x
m1 + m2
2
1
)
2
m1
2
m1 m2 v 01x
m1 + m2
2
2
(
m m em 2 + m m2 1 + e 2 v 2 +
1
1 2
02 x
2 2
)
1
2m m 1 e2 v 01xv 02 x
m1 + m2 1 2
m1
2
2
2
m e2 m2 v 01x
m1v1x2 + m2v 22x m1v 01x
+ m2v 02
=
+
x
m1 + m2 2
)
(
)
Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
m1v1x2 + m2v 22x =
m2 + e 2 m2 + m m 1 + e 2 v 2 +
1
1 2
2
02 x
(
m2
1
(
m2 + e 2 m2 + m m 1 + e 2 v 2 +
2
2 1
1
01x
2m1m2 m1 + m2 1 e2 v 01xv 02 x
2
m1
1
+
)
2
1
2
1
+
(
)
(
2
2
+ m2 m12 1 + e v 01x
+
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (XII)
2
1
=
)
2
1
1
2
1
+
(
(
2
17
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (XI)
2
)
2
1
m1
(
m m em
2
1 1
2
(m + m )
+
m1v1x2 + m2v 22x =
2
1
=
Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
2
1
+
2
1
m em 2 v 2 + m2 1 + e 2 v 2 + 2 m em m 1 + e v v v1x =
1
2
01x
2
02 x
1
2
2
01x 02 x 2 m1 + m2 1
m2 1 + e 2 v 2 + m em 2 v 2 + 2m 1 + e m em v v v 22x =
01x
2
1
02 x
1
2
1
01x 02 x 2 1
m1 + m2 2
19
)
+
m2
2
m e2 m1 v 02
x+
m1 + m2 1
+
2m1m2
1 e2 v 01xv 02 x
m1 + m2
=
m1m2
mm
2
2
e2 1 v 01x
+ 1 2 e2 1 v 02
+
x
m1 + m2
m1 + m2
+
2m1m2
1 e2 v 01xv 02 x
m1 + m2
(
(
)
)
Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
20
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (XIII)
(
)
2
2
m1v1x2 + m2v 22x m1v 01x
+ m2v 02
=
x
(1 e )(v
m +m
m1m2
1
=
(
)(
(
2
+ v 02
2v 01xv 02 x =
x
01x
v 02 x
2
2
1 m1m2
1 e2 v 01x v 02 x
2 m1 + m2
T = 0
1 m1m2
v v 02 x
T
=
2 m1 + m2 01x
)
2
01x
2
(1 e )(v
m +m
m1m2
1
T = T T0 = 2
)
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (XIV)
)
• Negli urti anelastici l’energia meccanica totale non si conserva ma
decresce.
2
• L’energia meccanica persa negli urti anelastici si è trasformata in
energia termica.
2
(urti perfettamente elastici)
)
2
(urti perfettamente anelastici)
• Negli urti perfettamente elastici si conserva l’energia meccanica
(che prima e dopo l’urto, in assenza di altre forze, si riduce alla sola
energia cinetica).
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Urti Generici
Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
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Sommario
• Nel caso di urti generici, non collineari, la dinamica
dell’urto è più complicata e non può essere parametrizzata
sulla base di un semplice coefficiente di restituzione.
• Forze vincolari esterne assenti: si conserva la quantità di
moto e il momento angolare.
• Definiremo comunque urto perfettamente elastico un
urto nel quale si conserva l’energia meccanica.
• Forza vincolare esterna presente: si conserva il momento
angolare rispetto al punto di applicazione della forza
vincolare.
• Definiremo urto anelastico un urto nel quale l’energia
meccanica non si conserva.
• Urto perfettamente elastico: si conserva l’energia
meccanica.
• Definiremo urto perfettamente anelastico un urto nel
quale i due corpi procedono uniti dopo l’urto.
• Urto perfettamente anelastico: i due corpi, dopo l’urto,
procedono uniti con la stessa velocità.
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Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
24
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Domenico Galli
Dipartimento di Fisica
[email protected]
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https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica