SCHEMA LEZIONI SU MAGNETISMO

Matematica e Fisica
Appunti Magnetismo
SCHEMA LEZIONI SU MAGNETISMO
Si introduce il vettore induzione B dalla osservazione del comportamento dei magneti.
B va da nord a sud fuori dal magnete. Nord è il polo magnetico attratto dal polo nord terrestre (che quindi è
sud magnetico. Così B ha direzione e verso, ma non ancora intensità.
La ricerca di una legge “newtoniana” non ha successo.
EFFETTI DI CORRENTI SU UN MAGNETE
Osservazione sperimentale, Oersted 1820.
EFFETTI DI UN MAGNETE SU CORRENTI
Sperimentale 1: F ∝ il
F
= B prima misura del campo magnetico.
il
 N 
Unità Tesla: [T ] = 
 A ⋅ m 
Considerando direzioni e versi: F = i dl ∧ B (legge II di Laplace)
N
k=
B
F
i
S
Se n = numero elettroni liberi per unità di volume:
dq
n e S vdt
l=
l = n e S l v = Nev
dt
dt
F = Ne v ∧ B = N (q v ∧ B )
il =
(legge di Lorentz)
Regola della mano destra.
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APPLICAZIONI
Differenza di potenziale di Hall
Siccome il lato inferiore si carica negativamente, sono gli
elettroni a muoversi lungo il filo.
Esperienza di Thomson
Determinazione della carica specifica e/m
 mv 2
 r = eBv

eV = 1 mv 2
2

eBr

v = m
2

eV = 1 m eBr 

2  m 
2V
e
= 2 2
m B r
B
F
v
-
e
Fasce di Van Allen
Se le cariche hanno una componente del moto di avanzamento lungo le linee
di B, questa componente si mantiene e si ha un moto elicoidale attorno alle
linee di campo di B.
Explorer I, 1958. Contatore G-M in saturazione a 2000 km.
Particelle solari a media velocità catturate nella fascia esterna, entrano in
atmosfera solo ad alte latitudini.
p+solari gas atmosfera n p+ + β I β -, più veloci, costituiscono la fascia interna, la quale è responsabile delle
aurore boreali e australi.
Le particelle intrappolate, a causa della forma “rigonfia”
delle linee di campo terrestre, rimbalzano da un Polo
all’altro (in figura puoi capire cosa fa tornare indietro le
particelle).
Se 1 RT = 6378 km dal centro Terra:
• fascia bassa:
1.01 ÷ 2.5 RT (100 ÷ 10000 km altit.)
p molto energ. (30 - 400 MeV) - e (100 - 500 keV)
• fascia alta
3 ÷ 10 RT: (13000 ÷ 60000 km altit.)
max a 4 - 5 RT
e, p, α, O+ (anche p-)
F
B
FL
v//
τ
S
N
F
Momento di una spira
τ =r∧F
v-
F
τ = iS ∧ B
τ = rF senα = ilBr senα = iSB senα [Nm]
F
S
N
F
B
F
S
N
i
F
F
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Appunti Magnetismo
Equivalenza dipolo-spira
Per un dipolo sperimentalmente si ha: τ ÷ Bext sinα. Definendo il momento magnetico µ:
Direzione e verso: da S a N; del campo creato - Modulo:
Si scrive
=

Bsin 
S

B
 =
× 
N
Equivalenza a parità di momento τ, se posti nello stesso B:
 B
 =i 
 =
 ( × non commutativo né associativo)

 =r × il×
S× B
×B
legge di equivalenza dipolo-spira di Ampére: µ = iS.
Motore elettrico
Nella posizione di equilibrio stabile si inverte il contatto, la spira
per inerzia passa oltre e la coppia si trova invertita.
La spira insegue sempre la nuova posizione di equilibrio stabile
di fronte ad essa.
zoccolo
i
http://www.ndt-ed.org/EducationResources/HighSchool/Magnetism/electricmotor.htm
http://www.schoolscience.co.uk/content/4/physics/copper/copch3pg1.html
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/viewtopic.php?t=53
Galvanometro a bobina mobile
Con N spire e la geometria di B in figura:
τ = NilBr = NiSB

τ = kthϑ
i=
kth
ϑ
nSB
Sincrotroni e ciclotroni
Nello spazio tra le due “D” un campo elettrico alternato presenta
sempre la polarità opposta e accelera la particella.
v qB
qB
=
= ω , allora ν 0 =
, che rimane costante, è
r m
2πm
anche la frequenza dell’oscillatore.
Al crescere di v cresce il raggio finché il fascio arriva alla massima
velocità prevista, si viene a trovare in una zona senza B ed esce
tangenzialmente.
e-
Oscillatore (V)
Essendo
B
Va comunque osservato che a velocità prossime a c
(β = v/c ≈ 1) il lavoro fatto dalla forza accelerante diventa
principalmente aumento di massa (m = γ m0)
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EFFETTI RECIPROCI DI DUE CORRENTI
Se effetto corrente → magnete ed effetto magnete → corrente, ci si potrebbe aspettare che ci sia effetto
corrente → corrente (idea di Ampére)
Sperimentale 2:
ii
µ
N
dF = k 1 dl
k = 0 = 2 ⋅10 −7  2 
d
2π
A 
i1
i1
F
F
i
i
l
d
F
d
l
Si fissa il Coulomb (C) con esperimenti di elettrolisi
⇒ K = 1/4πε0
È fissato l’Ampére (A)
⇒ k = 2 10-7
Oggi si procede al contrario (ponendo k:= 2 10-7 fisso l’Ampére e trovo C e il K elettrostatico)
 dF = i dl B
dF = k i i1 dl

d
B=k
i
i
= µ0
d
2πd
(legge di Biot-Savart, B per filo lineare)
È un aspetto più generale di:
∫ B ⋅ dl = µ i
(legge di Ampére)
0
APPLICAZIONI
Valore di B al centro di una spira
B=
µ0 i
2 r
Valore di B per un solenoide
B = µ 0 in
(n spire/m)
ricavabile facilmente con solenoide ideale da legge della circuitazione di Ampére.
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Appunti Magnetismo
MAGNETISMO NELLA MATERIA
Momento magnetico µ in un mezzo materiale da due contributi:
• da moto di cariche (es.: orbite elettroniche)
• da µ intrinseci (spin particelle)
Moto di cariche. Caso dell’orbita elettronica
Momento magnetico orbitale
 l = iS =
e
ev
evr
2
2
r =
r =
T
2
2 r
Momento angolare orbitale
L = mvr
l =
e 
L
2m
Dalla meccanica quantistica:
• il modulo di L è quantizzato: ∣
L∣ =  l l1ℏ
1
• i valori possibili di l sono l = 0, 1, 2, …, n-1
• L non è misurabile: si misura sempre solo la sua proiezione su un
asse (z), Lz (parzialmente interpretabile come una precessione di L intorno a z)
• anche la proiezione Lz è quantizzata (= anche la direzione di L è quantizzata):
Lz = ml ħ, ml = 0, ±1, ±2,... ± l
Dunque lungo un qualsiasi asse z (su cui avviene la misura):
 l , z=
e
m ℏ = ml  B
2m l
B =
e
ℏ
2m
(µB = 9.274 10-24 J/T = magnetone di Bohr)
Spin intrinseco. Caso dell’elettrone
Dalla meccanica quantistica:
• ogni particella ha spin intrinseco S
S∣ =  s s1 ℏ (per e, p e n s =
• il modulo di S è quantizzato ∣
½).
• S non è misurabile; lo è solo una sua proiezione su un asse (z)
• anche la proiezione Sz è quantizzata: Sz = ms ħ con ms = ± ½
• ad ogni S è associato un momento magnetico intrinseco µs (anche per
i neutroni, per i quali, come per gli e- è opposto a S)
1
Nel modello semiclassico di Sommerfeld, 1915, si possono vedere come le ellitticità possibili. L’orbita n
degenera in orbite di energie vicinissime (10-4) spiegate relativisticamente (v diverse con eccentricità, v/c
diverse, ed E dipendente da (v/c)² ≈ 10-4. Le transizioni non avvengono tra n uguali, ma tra n diversi e si
osservano piccole differenze di λ dovute appunto ai diversi assi minori bl,n = (l+1)/n an.
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•
Appunti Magnetismo
e 
S
m
s=
 s, z=
e
m ℏ= 2 ms  B
m s
In un atomo, a causa delle differenze di masse, i momenti magnetici orbitali e intrinseci degli elettroni sono
molto maggiori di quelli intrinseci di protoni e neutroni del nucleo, i quali sono trascurabili.
µe
µp
µn
- 9284
1
14.1
0.0015
- 9.66
0.0014
unità
10-27 J/T
µB
In un atomo il momento angolare totale J e quello
magnetico totale µtot sono dunque quasi solo
quelli dovuti agli elettroni:

J =∑ L i∑ Si
tot =∑ l ,i ∑ s ,i
Poiché µs,z = 2 µl,z nella somma vettoriale si ha
che µtot non è orientato come -J.
Si considera la componente di µtot su -J, µeff.
Per la maggior parte dei materiali gli Li e i µi si annullano tranne al più per un elettrone di valenza (unico
momento non compensato).
Esperimento di Einstein - de Haas (1915)
Sbarra di Fe sospesa a filo sottile con coefficiente di
torsione noto all’interno di un solenoide. All’inizio
B = 0 e L = 0.
All’accensione di B: momento angolare del cilindro
Lrot. La torsione innesca un moto armonico rotatorio
che permette di stimare Lrot.
L’esperimento mostra:
• esiste un momento angolare microscopico, Le,
collegato al momento magnetico
microscopico.
• Il momento magnetico degli atomi è orientato in verso opposto al loro momento angolare, dovendo
essere, per il principio di conservazione di L: Le = - Lrot.
• Il momento angolare microscopico può dar luogo a fenomeni macroscopici.
• Il momento magnetico microscopico che si ottiene non è solo quello orbitale, ma risulta circa
doppio: esiste un ulteriore e diverso momento magnetico microscopico dovuto a spin intrinseci di e-.
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Appunti Magnetismo
Il magnetismo nei materiali
Forza di attrazione di due fili F =
F = µr
µ 0 i i1
l
2π d
µ 0 i i1
l in presenza di materiale diventa
2π d
µ r = µ r (T )
Questo conduce a B = µ r B0 valida se si può esplicitare M(B0).
 

Infatti B = B0 + µ 0 M (sempre valida) e se si può esplicitare µ 0 M = χB0 , allora B = B0 (1 + χ ) = µ r B 0
Diamagnetismo
Tutti i momenti magnetici atomici si annullano, gli atomi non sono dipoli permanenti. B0 altera il moto degli
elettroni atomici in modo che i loro momenti non si elidano e compaia un momento di dipolo.
Ma Bm è diretto in senso opposto a B0.
µr <1, ma µr ≈ 1. Massimo grado per Bi (µr = 0.99982). Per acqua µr = 0.99991.
µr non dipende da T.
v
B0
Bm
F
B0
F
Bm
v
e- che ruota in senso orario;
B0 aumenta la F centripeta e
dunque v; campo Bm creato è
opposto a B0
e- che ruota in senso
antiorario; B0 diminuisce la F
centripeta e dunque v; campo
Bm creato è opposto a B0
Il raggio r non varia perché la variazione di campo magnetico sulla spira produce un E indotto circolare che
accelera o rallenta l’elettrone. Questo quindi non cambia l’orbita. Questa è la spiegazione classica,
funziona ma in realtà non tiene conto delle quantizzazioni, quindi non è la spiegazione corretta.
Paramagnetismo
Gli atomi sono dipoli permanenti (metalli di transizione, lantanidi e attinidi)
Orientamento secondo B0 dato da 
 =
×
B
Energia potenziale di µ in un campo B: UB(θ) = - µ · B
Il paramagnetismo maschera il diamagnetismo.
A T ambiente µr ≈ 1.0001, quindi B ≈ B0. Fenomeno poco visibile.
La temperatura ostacola l’orientamento, quindi µr(T) decrescente.
A T = 300 K, UT = 3/2 kB T ≈ 6 10-21 J, mentre per atomi con µ = 1 µB = 9.3 10-24 J/T,
In campi di B = 1 T (elevati), nel passaggio da µ disallineato ad allineato si ha ∆UB = 2 µB ≈ 2 10-23 J
Dunque UT ≈ 300 ∆UB : l’allineamento dei momenti è assolutamente parziale e questo spiega i piccoli valori
di µr. anche nel paramagnetismo.
Per i paramagnetici è esplicitabile M =
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χ
B0
µ0
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Appunti Magnetismo
Ferromagnetismo
Atomi dipoli permanenti e già allineati, ma per domini elementari.
Spiegazione quantistica dell’accopiamento di scambio.
Fe26, Co27, Ni28, Gd64, Dy66 (Lantanidi) e loro leghe.
≈ 106 domini/mm³
Bm
≈ 1015 – 1016 atomi/dominio
I Bm dei singoli domini sono a caso, ma si orientano (e in parte si
modificano i confini).
Per isteresi magnetica si realizza il magnete permanente.
B0
Ferri dolci: bassa magnetizzazione residua, adatto per
elettromagneti.
Ferri duri (acciai, non inossidabili): alta magnetizzazione residua:
adatto per magneti permanenti.
Al di sopra della T di Curie diventano paramagnetici. Per Fe, TCurie = 1043 K. (fusione a 1810 K)
Magnetizzazioni opposte sul fondale oceanico presso dorsale atlantica indicano che il magnetismo terrestre
si inverte ogni ≈ 106 anni.
Magnetizzazione residua dei ferromagnetici nei materiali di costruzione di forni antichi indicano variazioni
di direzione di B terrestre.
Magnetismo terrestre
Dipolo µ = 8 1022 J/T con angolo di 11.5° rispetto ad asse terrestre, non
passante per centro terrestre. Valori medi B=10-5 T componente orizzontale
all’Equatore.
Polo Nord magnetico: nord-ovest
della Groenlandia, 1500 km a sud del
Year Latitude (°N) Longitude (°W)
Nord geografico, in moto a 1° Lat
2001
81.3
110.8
ogni 10 anni circa nel XX secolo.
2002
81.6
111.6
Il polo Sud magnetico si trova in
2003
82.0
112.4
Antartide a 64.53°S e 137.86°E
2004
82.3
113.4
(2005).
2005
82.7
114.4
Inversione ogni circa 106 anni circa
(ultima 700000 anni fa).
Angolo di declinazione magnetica (figure a, b).
Angolo di inclinazione magnetica (figura c)
B=10-4 T ai poli magnetici.
Il Polo Nord magnetico di inclinazione (Polo Nord
geomagnetico) è diverso dal Polo Nord magnetico.
Polo Nord geomagnetico a 79.74°N e 71.78°W.
Polo Sud geomagnetico a 79.74°S e 108.22°E (l’asse passa
per il centro della Terra).
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FLUSSO DI B
dΦ ( B) = B ⋅ dS
Φ ( B ) := ∫ B ⋅ dS
[Wb] = [Nm/A]
S
Vale sempre: Φ ( B ) = 0
CIRCUITAZIONE DI B
dΓ( B ) = B ⋅ dl
Γ( B ) := ∫ B ⋅ dl
Γ
Vale sempre Γ(B ) = µi
dove i è la somma algebrica di tutte le correnti libere concatenate alla circuitazione e per ora si devono
considerare solo campi elettrostatici.
Nello studio del magnetismo siamo partiti da due leggi sperimentali, Laplace e Ampére, e abbiamo ricavato
il flusso e la circuitazione.
Nella sistemazione teorica dell’elettromagnetismo operata da Maxwell nella seconda metà dell’Ottocento, il
percorso è invertito: si costruisce il magnetismo partendo dai due postulati:
Γ( B ) = µi
Φ( B) = 0
LA FORZA SU UNA CARICA ELETTRICA
“La forza su una carica elettrica dipende non soltanto da dove essa si trova, ma anche da quanto
rapidamente si muove: ciascun punto dello spazio è caratterizzato da due grandezze vettoriali che
determinano la forza su una carica. In primo luogo c'è la forza elettrica, che dà quella componente della
forza complessiva che è indipendente dal moto della carica. La si descrive per mezzo del campo elettrico E.
In secondo luogo c'è un'altra componente, chiamata forza magnetica, che dipende dalla velocità della
carica. Questa forza magnetica ha uno strano carattere direzionale: in ogni dato punto dello spazio sia la
direzione che il modulo della forza dipendono dalla direzione di moto della particella: ad ogni istante la
forza forma sempre un angolo retto col vettore velocità; inoltre, in ogni dato punto, la forza è sempre ad
angolo retto rispetto a una direzione fissa dello spazio; infine, il modulo di questa forza è proporzionale
alla componente della velocità perpendicolare a questa speciale direzione. È possibile descrivere
interamente questo comportamento definendo un vettore campo magnetico B, che specifica sia la direzione
speciale dello spazio sia la costante di proporzionalità rispetto alla velocità. La forza magnetica si scrive
allora qv × B, mentre la forza elettromagnetica complessiva su una carica può essere scritta nella forma
F = q(E + v × B)
Questa è chiamata forza di Lorentz.”
[Feynman, La fisica di Feynman, 2, p.13-1]
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