Astronomia
Lezione 21/11/2014
Docente: Alessandro Melchiorri
e.mail:[email protected]
Slides delle lezioni:
oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2014
Equazione del Trasporto Radiativo
Durante il suo cammino il raggio luminoso potra’ anche incrementare la sua intensita’
grazie a fenomeni di emissione. In questo caso:
dove jl e’ detto coefficiente di emissione.
Considerando sia assorbimento che emissione si ha:
Dividendo ambo i membri si puo’ riscrivere come:
Ovvero:
Detta equazione del trasporto radiativo, definendo come funzione sorgente:
Equazione del Trasporto Radiativo
Se l’intensita’ e’ uguale alla funzione sorgente allora e’ costante.
Se l’intensita’ e’ maggiore della funzione sorgente allora decresce.
Se l’intensita’ e’ minore della funzione sorgente allora cresce.
L’intensita’ tende ad avere il valore della funzione sorgente, vale a dire pari
al rapporto tra emissione e assorbimento nel punto
(esempio con targhe di macchine in autostrade americane).
Ipotesi di atmosfera piana
E’ chiaramente molto difficile da risolvere ma si possono fare delle approssimazioni come
quella di atmosfera piana. L’atmosfera stellare, dato che e’ molto sottile rispetto alle
dimensioni di una stella, puo’ essere pensata come a strati paralleli, trascurando la curvatura).
Abbiamo introdotto la profondita’ ottica come:
Consideriamo adesso una profondita’ ottica verticale come:
Ipotesi di atmosfera piana
La profondita’ ottica verticale incrementa
con l’incrementare di –z vale a dire della
profondita’ e non dipende dalla direzione del raggio.
Un raggio proveniente da una direzione diversa
avrebbe profondita’ ottica maggiore alla
stessa profondita’ -z.
La profondita’ ottica verticale puo’ essere usata
come utile coordinata nel caso di ipotesi di
atmosfera piana.
Ipotesi di atmosfera piana
L’equazione del trasporto:
ricordando la definizione di profondità ottica può essere scritta come:
e quindi, usando la definizione di profondità ottica verticale:
Ipotesi di atmosfera piana
Questa equazione si puo’ ulteriormente semplicare assumendo che la profondita’
ottica sia indipendente dalla frequenza (si puo’ ad esempio utilizzare il coefficiente
di assorbimento di Rosseland). Questa approssimazione viene detta approssimazione
di atmosfera grigia.
In questo caso si puo’ integrare sulle lunghezze d’onda ottenendo:
Con:
Ipotesi di atmosfera piana
Integrando sull’angolo solido abbiamo:
E ricordando le espressioni del flusso radiativo e dell’intensita’ media:
si ha:
Ipotesi di atmosfera piana
Una seconda equazione si puo’ ottenere moltiplicando per il coseno e integrando
sull’angolo solido:
Ricordando adesso l’espressione della pressione di radiazione:
Il primo termine e’ essenzialmente la pressione di radiazione moltiplicata per la
velocita’ della luce, il secondo termine e’ il flusso radiativo mentre il terzo termine:
Ipotesi di atmosfera piana
Si ha quindi:
e’ possibile dimostrare che per una stella a simmetria sferica con r distanza dal centro si
ha:
C’e’ quindi una specie di «vento di radiazione» che si sposta verso zone a bassa pressione
da zone con pressione maggiore.
In una stella in equilibrio termodinamico a tanti processi di emissione corrispondono gli
stessi processi di assorbimento. Quindi questo comporta che il flusso radiativo sia costante
in tutti i punti dell’atmosfera stellare e pertanto uguale al suo valore sulla superficie:
(ricordiamo che siamo nell’ipotesi di atmosfera piana).
Se pero’ e’ costante, ricordando che:
Si deve avere:
Inoltre se il flusso e’ costante l’equazione:
Puo’ essere integrata fornendo:
con C costante di integrazione.
Ipotesi di atmosfera piana:
approssimazione di Eddington
Quello che noi vogliamo trovare e’ un andamento che leghi la profondita’ ottica alla
temperatura della stella nell’atmosfera. Per fare questo e’ necessario assumere una
distribuzione angolare per l’intensita’ specifica. Si puo’ assumere il modello di Eddington
dove abbiamo semplicemente due valori, uno uscente nella direzione dell’asse z ed
uno entrante. In questo caso si hanno delle importanti relazioni tra intensita’ media,
flusso e pressione.
Ipotesi di atmosfera piana:
approssimazione di Eddington
Considerando l’equazione:
Utilizzando l’ultima delle espressioni per la pressione dalla pagina precedente:
La costante puo’ essere determinata sulla superficie della stella dove
(l’ultima relazione si ottiene considerando l’approssimazione di Eddington)
Ipotesi di atmosfera piana:
approssimazione di Eddington
Quindi la costante vale:
Inserendo otteniamo:
Ora dato che il flusso radiativo e’ costante abbiamo:
Ipotesi di atmosfera piana:
approssimazione di Eddington
Per continuare dobbiamo fare l’ulteriore approssimazione di equilibrio termodinamico
Locale (LTE) vale a dire che localmente l’intensita’ specifica e’ data da un corpo nero.
In questo caso non si hanno variazioni di intensita’ specifica, quindi abbiamo che
l’intensita’ specifica e’ pari alla funzione sorgente.
Ricordando quindi che per l’approssimazione di atmosfera piana:
Si ha:
La temperatura
effettiva indica
la temperatura
della stella a
t=2/3 e non a t=0 !!!
Oscuramento al bordo
Consideriamo l’equazione del trasporto:
E cerchiamo una soluzione generale moltiplicando per un esponenziale
Integrando da
dove
alla superficie con
E’ somma di due contributi positivi (ricordate che la profondita’ ottica diminuisce).
Oscuramento al bordo
Consideriamo ora la profondita’ ottica verticale:
Ponendo uno dei punti quando la profondita’ ottica e’ infinita (molto dentro la stella):
La quale puo’ essere risolta conoscendo l’andamento della funzione sorgente con
la profondita’ ottica. Assumendo:
Si ottiene:
Oscuramento al bordo
Nel caso di atmosfera piana, approssimazione di Eddington e LTE avevamo trovato:
Ovvero:
Usano l’oscuramento al bordo possiamo
Verificare:
Profilo delle linee spettrali
Consideriamo una riga spettrale.
Si definisce come profondita’ della riga
la quantita’:
Dove Fc e’ il valore al continuo e Fl e’ il
flusso radiativo della riga. Si definisce come
larghezza equivalente:
Che e’ la base di un rettangolo di area equivalente a quella della riga.
Si definisce la larghezza a mezza altezza la quantita’ l’intervallo in lunghezza d’onda per cui:
Un punto importante e’ che il coefficiente di assorbimento sara’ maggiore al centro della
riga e minore ai bordi. Questo vuol dire che la riga deve essere in zone piu’ alte dell’atmosfera
stellare rispetto ai bordi , cioe’ proviene da zone meno calde rispetto di quelle ai bordi
che sono quindi piu’ profonde.
La linea in figura non e’ satura e quindi si dice che il mezzo e’ otticamente sottile.
Processi fisici che allargano le righe
spettrali
1- Principio di indeterminazione: Allargamento Naturale.
Se un elettrone e’ eccitato ad un certo livello energetico questo decadra’ dopo un certo
intervallo di tempo. Non e’ possibile conoscere l’energia dello stato con Precisione
infinita perche’ vale la relazione di indeterminazione di Heisenberg tempo-energia:
Quindi si ha una indeterminazione sull’energia del fotone e quindi sulla sua lunghezza
d’onda, data da:
Un conto un po’ piu’ preciso fornisce una larghezza a mezza altezza pari a:
Con valori dell’ordine di:
Processi fisici che allargano le righe
spettrali
2- Allargamento Doppler.
Le particelle che formano il gas dell’atmosfera stellare seguiranno una distribuzione
di Maxwell-Boltzmann con velocita’ di massima probabilita’ data da:
Questo produce un effetto doppler sulle righe pari a
ovvero pari a:
Che, facendo un po’ di conti corrisponde ad una larghezza di riga a mezza altezza pari a:
Attenzione pero’:
Anche se il segnale a mezza
altezza è più grande poi l’effetto
sulla riga decresce in modo
Esponenziale !
Processi fisici che allargano le righe
spettrali
3- Effetti di Pressione (o collisionali) collisioni con atomi neutri o presenza del
campo elettrico di ioni vicini possono anch’essi portare ad un allargamento delle
righe. La forma dell’allargamento e’ simile a quella dell’allargamento naturale dovuto
al principio di indeterminazione:
dove il tempo pero’ adesso e’ la differenza tra due collisioni. Questo puo’ essere scritto
come:
dove abbiamo usato la velocita’ media da Maxwell-Boltzmann e l’espressione del
libero cammino medio. Si ha quindi:
Il fatto che dipenda da n permette di distinguere
le classi di luminosita’. Stelle piu’ rarefatte con
n minore (giganti luminose) avranno righe
piu’ strette rispetto a quelle
di sequenza principale.
Classificazione spettrale di Yerkes
La classificazione spettrale di Yerkes, chiamata anche il sistema MKK, è un sistema di
classificazione spettrale introdotto nel 1943 da William W. Morgan, Phillip C.
Keenan e Edith Kellman dello Yerkes Observatory.
Questa classificazione si basa su linee spettrali sensibili alla gravità superficiale della stella,
la quale è in genere legata direttamente alla sua luminosità, invece che alla
temperatura come la tradizionale classificazione di Harvard: infatti, poiché il raggio di
una stella gigante è molto più elevato di quello di una stella nana, le loro masse possono
essere all'incirca comparabili; la gravità e quindi la densità e la pressione dei gas
superficiali sono molto inferiori per la stella gigante.
Tutte queste differenze si manifestano come effetti di luminosità, che influenzano sia la
larghezza che l'intensità delle linee spettrali.
Questa classificazione distingue sette tipi diversi di stelle:
I supergiganti
Ia supergiganti più luminose
Ib supergiganti meno luminose
II giganti luminose
III giganti normali
IV subgiganti
V stelle di sequenza principale (nane), come il Sole
VI subnane (usata raramente)
VII o D nane bianche (usata raramente)
Una volta identificata la classe di
luminosita’ e la classe spettrale si puo’
calcolare la magnitudine assoluta
semplicemente ponendo la stella nel
diagramma.
Questo, conoscendo la magnitudine
apparente permette di ottenere la
distanza della stella.
Questo metodo detto di parallasse
spettroscopica e’ limitato dalle incertezze
tra classe di luminosita’ e magnitudine
assoluta.
Profilo di Voigt
Il profilo complessivo della riga e’ detto profilo di Voigt al quale contribuiscono sia
i termini Doppler sia quelli di damping (allargamento naturale e collisionale).
il termine Doppler domina al centro ma decresce in modo esponenziale per via della
distribuzione Maxwell-Boltzmann. Ai bordi dominano i termini di damping degli
allargamenti naturali e collisionali.
Calcolo delle righe spettrali
Il modello alla base del calcolo delle linee spettrali e’ quello di Schuster-Schwarzschild.
Questo assume che la fotosfera della stella sia un corpo nero e che gli elementi
che assorbono la luce sono fra noi e la fotosfera. E’ necessario conoscere i valori
di temperatura, densita’ e composizione della zona dove si forma la riga.
Temperatura e densita’ sono alla base degli allargamenti delle righe.
Il calcolo non dipende solo da questo ma anche dai dettagli di meccanica quantistica
di come l’atomo assorbe il fotone.
Per il calcolo si introduce anche la densita’ di colonna N che e’ il numero di atomi di un
certo elemento frapposti tra noi e la fotosfera per unita’ di superficie (in pratica si
immagini un tubo di sezione di 1 m^2 tra noi e la stella N e’ il numero di atomi nel tubo).
L’obbiettivo e’ quello di calcolare N, cioe’ la quantita’ di atomi di un certo elemento,
a partire dalla forma delle righe spettrali.
In realta’ il processo e’ complicato dal fatto che non tutte le transizioni hanno la
Stessa probabilita’. Una transizione da n=2 ad n=3 nell’atomo di Idrogeno e’ cinque
volte piu’ probabile di una transizione da n=2 ad n=4. Questo porta all’introduzione
dei fattori di forma f che «pesano» per questo effetto.
Curva di Crescita
La curva di crescita permette di calcolare la densita’ di colonna di un elemento a
partire dalla larghezza equivalente di una riga W.
Curva di Crescita
La curva di crescita permette di calcolare la densita’ di colonna di un elemento a
partire dalla larghezza equivalente di una riga W.
Esempio: calcolo dell’abbondanza del sodio nel Sole
Esempio: calcolo dell’abbondanza del sodio nel Sole
Vi sono circa
10^19 atomi di sodio
Per m^2 che producono
Le due righe.
Esempio: calcolo dell’abbondanza del sodio nel Sole
Usando Boltzmann
Si vede che nel sole
tutti gli atomi
di sodio neutri sono nello
stato di base n=2.
Usando Saha si vede pero’
che la maggior parte degli
atomi di sodio sono ionizzati.
Quindi quelli neutri che formano
le righe sono una piccola parte.
Quindi la densita’ di colonna di tutto
Il sodio e’ molto piu’ grande di quella
misurata dalla curva !!
In pratica: lo studio delle righe spettrali e la curva di crescita teorica permette di risalire
alle densita’ di colonna degli atomi che producono la riga.
A quel punto grazie a Boltzmann e Saha possiamo ricostruire le abbondanze relative.
I conti sono in genere molto piu’ complicati e tengono conto di vari elementi, tuttavia
questo e’ il procedimento di base.
