AIAS – ASSOCIAZIONE ITALIANA PER L’ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI
44° CONVEGNO NAZIONALE, 2-5 SETTEMBRE 2015, – UNIVERSITÀ DI MESSINA
AIAS 2015 - 505
RESISTENZA STATICA DI MATERIALI MAGNETOSTRITTIVI
CRICCATI SOGGETTI A FLESSIONE IN PRESENZA DI UN CAMPO
MAGNETICO
M. Colussia, F. Bertoa, F. Naritab, K. Moric
a
Università degli Studi di Padova - Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali,
Stradella S. Nicola, 3, 36100 Vicenza, email: [email protected]
b
Tohoku University - Department of Material Processing,
Aoba-yama 6-6-02, Sendai 980-8579, Japan, e-mail: [email protected]
c
Ibaraki University - Department of Mechanical Engineering,
Nakanarusawa-cho 4-12-1, Hitachi 316-8511, Japan, e-mail: [email protected]
Sommario
Nel presente articolo è affrontato il tema del comportamento fragile di materiali ad elevata capacità
magnetostrittiva soggetti a campi magnetici. I contributi presenti in letteratura sono stati rivisitati, con
particolare riferimento alle leghe di ferro e terre rare, quali il Terfenol-D. Recenti studi sull'influenza
dei campi di tensione localizzati in prossimità di cricche o intagli hanno mostrato che la densità di
energia di deformazione (SED), mediata in un volume di controllo situato all'apice di una cricca, è un
parametro robusto per la stima della resistenza a frattura. Alla luce di ciò sono state condotte analisi
numeriche in condizione di stato piano di deformazione, su modelli agli elementi finiti di provini
criccati soggetti a flessione, in presenza di un campo magnetico applicato in direzione ortogonale alla
cricca. L'effetto di campi magnetici di varia intensità sulla resistenza alla rottura fragile del Terfenol-D
è stato quindi discusso in dettaglio, in termini di Strain Energy Release Rate e di SED mediato nel
volume di controllo.
Abstract
This paper investigates the fracture behavior of cracked giant magnetostrictive materials subject to a
magnetic field. The works in literature have been revisited, focusing on iron and rare earth alloys, such
as Terfenol-D. Recent studies on local stress fields at crack and notch tips have shown that Strain
Energy Density (SED), averaged in a finite control volume surrounding a crack tip, could be a robust
parameter in the assessment of brittle fracture resistance. Plane strain finite element analyses (FEA)
have been performed on single-edge cracked elements subject to three-point bending under a magnetic
field normal to the crack bisector. The effect of the magnetic field on brittle fracture of Terfenol-D
was discussed in terms of Strain Energy Release Rate and averaged SED.
Parole chiave: densità di energia di deformazione (SED), strain energy release rate (G), materiali
magnetostrittivi, tenacità a frattura, campo magnetico, metodo degli elementi finiti (FEM).
1. INTRODUZIONE
Nel corso degli ultimi anni si è registrato un crescente interesse per lo studio dei materiali
“intelligenti”, determinato dal vasto potenziale applicativo degli stessi. Si tratta di quei materiali
accomunati dalla capacità di poter essere modificati, e quindi controllati, tramite azioni esterne, quali
le sollecitazioni meccaniche, i campi elettrici, magnetici o termici. Ciò che rende interessanti tali
44° CONVEGNO NAZIONALE – MESSINA, 2-5 SETTEMBRE 2015
materiali è la capacità di convertire efficientemente le energie magnetiche, elettriche o termiche in
energia meccanica di deformazione, e viceversa.
Tra i materiali “intelligenti” che hanno riscontrato maggiore interesse nel corso degli anni si possono
contare, senza dubbio, i materiali piezoelettrici e i loro analoghi magnetici, noti come magnetostrittivi.
Questi ultimi presentano caratteristiche complementari ai primi e mostrano alcune proprietà fisiche
interessanti, che li rendono promettenti in diverse applicazioni tecnologiche, come un'elevata densità
di energia immagazzinabile e un tempo di vita sostanzialmente illimitato [1].
Esempi di materiali dotati di capacità magnetostrittive sono le leghe di ferro e terbio (Fe-Tb), di zinco
e terbio (Zn-Tb) e di ferro e samario (Fe-Sm). Fra le leghe magnetostrittive, quella denominata
commercialmente Terfenol-D (Tb0.3Dy0.7Fe1.9), a base di ferro, terbio e disprosio è la più interessante,
per il buon livello di accoppiamento (maggiore al 60%), l'elevato limite di saturazione (1660 ppm) e
per l'elevato modulo di Young [2]. Tale lega è stata sviluppata negli anni '70 dalla Naval Ordnance
Laboratory per essere impiegata nei sistemi SONAR navali.
Da allora sono stati condotti intensi studi sulle proprietà dei materiali magnetostrittivi, che li hanno
condotti ad essere usati in diverse applicazioni sia come attuatori che come sensori [3]. Essi vengono
tipicamente impiegati nell'industria automobilistica, come regolatori d'apertura nelle valvole ad
iniezione controllata, in avionica, come sensori nel controllo delle vibrazioni e in robotica, come
attuatori per micro-posizionamento. Inoltre, seppure dei materiali magnetostrittivi sia generalmente
sfruttata la capacità di deformarsi in risposta a un campo magnetico (effetto Joule), essi sono dotati
anche della capacità duale di produrre un campo magnetico come conseguenza di una deformazione
impressa (effetto Villari) [1]. Tale capacità permette di convertire energia meccanica in energia
elettrica e trova applicazione nei contesti in cui è difficile disporre di sorgenti di energia convenzionali
oppure dove vibrazioni meccaniche indesiderate possono essere utilmente convertite in energia
elettrica. Laminati magnetostrittivi vengono, infine, impiegati anche in dispositivi magnetoelettrici
privi di bobine [4, 5].
Dette leghe (ad alta capacità magnetostrittiva) sono estremamente fragili e, pertanto, suscettibili di
frattura in esercizio [6]. Negli ultimi anni sono stati compiuti svariati studi sul comportamento di
materiali fragili indeboliti da cricche o da intagli [7, 8], ad esempio nell'ambito dei criteri di stima
della resistenza alla rottura fragile di provini in grafite policristallina [9, 10]. Al contrario, con
riferimento ai materiali magnetostrittivi, non sono presenti in letteratura lavori riguardanti l'effetto di
eventuali difetti (causati, ad esempio, dal processo di laminazione a freddo) sul degrado della loro
integrità strutturale. Un problema sentito è, quindi, la valutazione della resistenza statica di elementi
criccati realizzati in leghe ad alta capacità magnetostrittiva.
Nel presente contributo è discusso l'effetto di campi magnetici di varia intensità sulla resistenza statica
di provini in lega Terfenol-D, in presenza di una cricca creata in direzione ortogonale rispetto a quella
di magnetizzazione e soggetta a sollecitazione di modo 1 (modo di apertura, nel quale il carico è
applicato ortogonalmente alla cricca). Sono stati presi in considerazione due criteri di cedimento basati
su approcci energetici: il criterio proposto da Griffith e successivamente formalizzato da Irwin, basato
sullo Strain Energy Release Rate (G) [11, 12], e quello proposto da Lazzarin e Zambardi [13], basato
sulla densità di energia di deformazione (SED) mediata. Il primo assume che il cedimento si verifichi
quando lo Strain Energy Release Rate, definito come la derivata dell’energia potenziale rispetto
all’area della superficie di cricca, raggiunge il valore critico caratteristico del materiale, . Il secondo
basa la stima della resistenza alla frattura sul valore medio della densità di energia di deformazione,
calcolato in un volume di controllo che circonda l’apice della cricca e che riprende l’idea di volume
microstrutturale di Neuber [14, 15]. Si precisa che tale criterio differisce da quello formulato da Sih
[16, 17] che stima la resistenza a frattura mediante il fattore di densità di energia di deformazione,
definito come il prodotto tra la densità di energia di deformazione e una distanza opportuna misurata a
partire dall'apice della cricca.
I risultati numerici, ottenuti su modelli agli elementi finiti in condizione di stato piano di
deformazione, in termini di e di
mediato, sono stati confrontati con i dati sperimentali resi
disponibili da una collaborazione in atto tra l'Università di Padova e le Università giapponesi di
Tohoku e Ibaraki.
Scopo dello studio è, infine, stabilire se il criterio del
mediato in un volume di controllo sia un
attendibile stimatore della resistenza a frattura di provini criccati, realizzati in leghe ad alta capacità
magnetostrittiva, soggetti a carico di modo 1, in presenza di un campo magnetico.
44° CONVEGNO NAZIONALE – MESSINA, 2-5 SETTEMBRE 2015
2. CRITERI DI CEDIMENTO BASATI SU APPROCCI ENERGETICI
I criteri di stima della resistenza alla rottura fragile, basati su approcci energetici, che vengono adottati
nel presente lavoro sono due: il criterio dello Strain Energy Release Rate, , (1921) [11, 12] e il
criterio della densità di energia di deformazione,
, mediata in un volume di controllo (2001) [13].
2.1. Criterio basato sullo Strain Energy Release Rate (G)
Secondo Griffith, affinché avvenga il cedimento, l’energia elastica presente nel materiale deve essere
sufficiente per consentire la formazione delle due nuove superfici libere che si creano all’avanzare
della cricca. Il bilancio energetico, per un incremento di area di cricca, , in condizioni di equilibrio,
è espresso nel seguente modo [11]:
in cui è l'energia totale, П rappresenta l'energia potenziale dovuta alla deformazione interna e alle
forze esterne,
è il lavoro richiesto per creare una nuova superficie di frattura.
Irwin introdusse la nozione di Strain Energy Release Rate, , che rappresenta una misura dell’energia
disponibile per la propagazione della cricca [12]. Con questa notazione, il criterio prevede che il
cedimento avvenga quando l'energia raggiunge un determinato valore critico,
, e il bilancio
energetico in condizioni di equilibrio diventa:
Il J-integral è un efficace strumento per l'analisi di componenti criccati [18] e, in problemi piani,
assumendo un riferimento cartesiano con l'asse orientato lungo la direzione della cricca, si esprime:
in cui
è un percorso che racchiude l'apice della cricca,
è la densità di energia di deformazione,
è il vettore di trazione superficiale, con e rispettivamente la normale uscente al percorso
e il tensore di tensione di Cauchy, è il vettore degli spostamenti.
Nel caso di cricche soggette a sollecitazione di modo 1 che si propagano lungo un percorso rettilineo,
e J-integral coincidono [18]. Lo Strain Energy Release Rate, per i materiali magnetostrittivi, può
quindi essere calcolato mediante la seguente formulazione [19]:
in cui
è l'entalpia magnetica e
,
sono le componenti del versore uscente normale al percorso.
2.2. Criterio basato sulla densità di energia di deformazione mediata (SED)
Secondo Lazzarin e Zambardi [13], il cedimento di un componente avviene quando l’energia di
deformazione, , mediata all’interno di un volume di controllo di raggio
che circonda l'apice di un
intaglio, o di una cricca, raggiunge il valore critico .
In accordo con la trattazione di Beltrami [20], detti la resistenza a trazione in campo lineare elastico
e
il modulo di Young del materiale, il valore critico dell'energia di deformazione può essere
determinato mediante l'espressione:
44° CONVEGNO NAZIONALE – MESSINA, 2-5 SETTEMBRE 2015
Il volume di controllo, all'interno del quale l'energia di deformazione viene mediata, assume forme
differenti in funzione del tipo di intaglio. In Figura 1 sono schematizzate alcune configurazioni.
Figura 1: Schematizzazione del volume di controllo nel caso (a) di intagli a V non raccordati, (b) di
cricche, (c) di intagli a V raccordati, in presenza di carico di modo 1.
Se l'angolo di apertura,
, dell'intaglio è pari a zero, il volume di controllo è rappresentato da una
circonferenza di raggio , centrata sull'apice della cricca. In questo caso, e in condizione di stato
piano di deformazione, il raggio
può essere determinato in funzione della tenacità a frattura,
,
della tensione di rottura del materiale e del coefficiente di Poisson, , mediante la formula [21]:
Nel caso di cricche soggette a sollecitazione di modo 1 che si propagano lungo un percorso rettilineo,
esiste una relazione che lega lo Strain Energy Release Rate al fattore di intensificazione della tensione
. Tale relazione, in condizione di stato piano di deformazione, è data da [22]:
Il criterio di cedimento basato sullo Strain Energy Release Rate può quindi essere espresso in maniera
equivalente in termini di fattore di intensificazione delle tensioni
; con questa accezione, il
cedimento avviene quando
eguaglia o supera il valore limite,
. Il parametro
rappresenta,
quindi, una misura della tenacità a frattura del materiale e può essere usato per stimare il raggio
del
volume di controllo che si impiega nel calcolo del SED mediato.
Esiste, inoltre, una relazione che lega il SED mediato al J-integral [23]. Nel caso di cricche, tale
relazione è funzione lineare di
e, in condizione di stato piano di deformazione, si esprime come:
La (8) consente un confronto diretto tra SED mediato e Strain Energy Release Rate, noti
e
.
3. CARATTERISTICHE DEL MATERIALE
Il materiale considerato nelle analisi è la lega disponibile in commercio denominata Terfenol-D
(Etrema Products, Inc., USA), le cui proprietà sono definite in Tabella 1.
Tabella 1: Proprietà della lega Terfenol-D.
Legame elastico
[10-12 m2/N]
Materiale
Terfenol-D
17.9
17.9
26.3
-5.88
Costanti piezomagnetiche
[10-9 m/A]
-5.88
-5.3
11
28
Permeabilità magnetica
[10-6 H/m]
6.29
6.29
44° CONVEGNO NAZIONALE – MESSINA, 2-5 SETTEMBRE 2015
3.1. Equazioni di base del materiale
In un sistema di riferimento cartesiano, O-x1 x2 x3, vengono di seguito delineate le equazioni di base
per i materiali magnetostrittivi. Le equazioni di equilibrio sono date da:
,
,
in cui
è il tensore di tensione,
è il vettore di intensità del campo magnetico,
è il vettore di
induzione magnetica,
è il simbolo di Levi-Civita. La virgola seguita da un indice rappresenta la
derivata parziale rispetto alla coordinata spaziale e, per gli indici che nei tensori compaiono più di
una volta, viene applicata la convenzione di Einstein nelle sommatorie.
Le leggi costitutive sono date da:
,
in cui
è il tensore di deformazione e
,
,
costanti magnetoelastiche e la permeabilità magnetica.
Le condizioni di simmetria del materiale sono:
,
sono rispettivamente le costanti elastiche, le
,
Le leggi costitutive per la lega Terfenol-D adottate nelle analisi sono presentate in Appendice A.
La relazione tra il tensore di deformazione e il vettore spostamenti è data da:
L'intensità del campo magnetico, detto
il potenziale, è data da:
Le curve che rappresentano l'andamento della magnetostrizione in funzione del campo magnetico sono
non lineari [24] e le costanti
,
e
per il Terfenol-D, in presenza di
, sono date da:
,
,
in cui
,
e
sono le costanti piezomagnetiche, mentre
e
sono le costanti
magnetoelastiche del secondo ordine. Se il campo magnetico è applicato nella sola direzione della
lunghezza del provino e questa è maggiore, di almeno due volte, rispetto alle altre due dimensioni,
allora la magnetostrizione longitudinale è prevalente [25] e si può assumere che la sola costante
sia funzione del campo magnetico
e che la costante
sia pari a zero.
4. PROCEDURA SPERIMENTALE
La procedura sperimentale ha avuto come scopo la misura del carico di frattura,
e del
corrispondente Strain Energy Release Rate critico, , su provini criccati in lega Terfenol-D, soggetti
a flessione, in presenza e in assenza di un campo magnetico. Mediante test, è stato anche possibile
stimare la costante magnetoelastica del secondo ordine,
.
4.1. Risultato dei test di frattura
I provini impiegati, rappresentati in Figura 2, presentano spessore pari a 5 mm, larghezza pari a 3 mm
e lunghezza pari a 15 mm. I provini sono indeboliti su un lato da un intaglio profondo 0.5 mm. La
sollecitazione di flessione è stata impressa vincolando i provini in doppio appoggio, con interasse di
44° CONVEGNO NAZIONALE – MESSINA, 2-5 SETTEMBRE 2015
13 mm, e applicando in mezzeria una forza, , mediante una cella di carico. Un campo magnetico
uniforme, avente induzione magnetica
, è stato applicato in direzione longitudinale tramite un
elettromagnete. I'intervallo di induzione magnetica in cui comunemente sono impiegati gli attuatori in
lega Terfenol-D varia da 0.02 T a 0.05 T; nei test sperimentali è stato quindi adottato il valore
rappresentativo di 0.03 T. I test hanno permesso la misura del carico di frattura,
e del
corrispondente Strain Energy Release Rate, , in presenza e in assenza del campo magnetico.
Carico P
Terfenol-D
unità: mm
Campo magnetico B0
Figura 2: Schematizzazione del provino sottoposto a flessione a tre punti.
I dati sperimentali ottenuti sui provini (12 in tutto), in termini di carico critico di frattura , sono
presentati in Figura 3, per due diverse velocità di applicazione del carico, rispettivamente 0.2 e 3.0
N/s. La barra di errore indica il valore minimo e massimo misurato per . Si osserva una perdita di
resistenza del 9% circa in presenza del campo magnetico
T rispetto alla condizione di
campo magnetico nullo.
70
70
dP/dt = 0.2 N/s
60
50
50
40
40
PC [N]
PC [N]
60
30
30
20
20
10
10
0
dP/dt = 3.0 N/s
0
0
B0 [T]
0.03
0
B0 [T]
0.03
Figura 3: Carichi di frattura misurati sperimentalmente per due diverse velocità di applicazione del
carico, rispettivamente 0.2 e 3.0 N/s.
Nella Tabella 2 sono riportati i valori medi di tenacità a frattura (in termini di Strain Energy Release
Rate) ottenuti in corrispondenza dei rispettivi carichi di frattura misurati. I valori indicati tra parentesi
rappresentano le deviazioni standard. Si osservano deviazioni standard relative del 15% e del 20%
circa rispettivamente per il carico di frattura e per la tenacità a frattura.
Tabella 2: Carichi critici e tenacità a frattura misurati sperimentalmente.
0
0.03
[T]
54.0 (8.00)
49.0 (6.85)
[N]
0.2 N/s
2
8.75 (2.09)
8.96 (2.04)
[J/m ]
60.5
(7.50)
54.5 (7.50)
[N]
3.0 N/s
2
10.9 (2.19)
11.2 (2.48)
[J/m ]
4.2. Taratura del legame costitutivo del Terfenol-D
Variando l'intensità del campo magnetico applicato in direzione longitudinale su un provino avente
geometria analoga a quella impiegata nei test di frattura, ma privo di intaglio, è stato possibile
44° CONVEGNO NAZIONALE – MESSINA, 2-5 SETTEMBRE 2015
misurare, mediante un estensimetro, l'andamento della magnetostrizione. Il confronto di tale
andamento con quello ottenuto numericamente, mediante analisi agli elementi finiti, ha consentito di
stimare la costante magnetoelastica del secondo ordine,
, del materiale. Una costante,
, pari a
garantisce un buon adattamento dei risultati numerici alle misure sperimentali.
5. ANALISI AGLI ELEMENTI FINITI
Al fine di valutare numericamente lo Strain Energy Release Rate e il
mediato nel volume di
controllo, sono state condotte analisi su modelli agli elementi finiti in condizione di stato piano di
deformazione, mediante il codice di calcolo ANSYS® R14. In Figura 4 è rappresentato uno schema
del modello adottato.
Figura 4: Rappresentazione schematica della geometria impiegata nelle analisi numeriche.
Le equazioni di base per i materiali magnetostrittivi sono formalmente equivalenti a quelle dei
materiali piezoelettrici [26], pertanto le analisi in ANSYS® sono state condotte impiegando gli
elementi coupled-field a quattro nodi PLANE13, simulando il campo magnetico mediante
l'applicazione di una differenza di voltaggio.
5.1. Applicazione del criterio dello Strain Energy Release Rate
Nella Figura 5 è rappresentato l'andamento dello Strain Energy Release Rate, , ottenuto mediante
analisi agli elementi finiti, al variare del carico applicato e in presenza o meno del campo magnetico.
25
G [J/m2]
20
15
B = 0.03 T
B=0
a = 0.5 mm
10
5
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80
P [N]
Figura 5: Andamento dello Strain Energy Release Rate al variare del carico applicato.
Lo Strain Energy Release Rate è stato stimato tramite il calcolo del J-integral lungo tre differenti
percorsi definiti attorno all'apice della cricca, in accordo con la (4). Le variazioni di , calcolato lungo
i tre percorsi, sono inferiori all'1.5% rispetto alla media, pertanto in Figura 5 è riportato il solo
andamento medio. Si osserva che
cresce all'aumentare del carico applicato ed è maggiore in
presenza di un campo magnetico non nullo.
5.2. Applicazione del criterio del SED mediato nel volume di controllo
Le caratteristiche del materiale necessarie per determinare analiticamente il raggio del volume di
controllo, , e la densità di energia di deformazione critica, , in accordo con la (6) e la (5), sono la
tenacità a frattura, la tensione di rottura a trazione, il modulo di Young e il coefficiente di Poisson. La
44° CONVEGNO NAZIONALE – MESSINA, 2-5 SETTEMBRE 2015
tenacità a frattura può essere ricavata, in base alla (7), come funzione dei valori di Strain Energy
Release Rate misurati sperimentalmente e riportati in Tabella 2, per due diverse velocità di
applicazione del carico e in presenza o meno di campo magnetico. Assumendo [1] il modulo di Young
pari a 25 GPa (costante nell'intervallo di variazione del campo magnetico applicato nelle analisi), il
coefficiente di Poisson pari a 0.25 e la tensione di rottura a trazione pari a 35 MPa, la densità di
energia di deformazione critica, calcolata in base alla (5), risulta pari a 0.0245 MJ/m3, mentre la
tenacità a frattura,
, calcolata mediante la (7), risulta variabile tra 15.3 e 17.3 MPa∙mm0.5. In tale
intervallo di
, in accordo con la (6), il raggio
del volume di controllo risulta pari a 0.07 mm.
Un approccio alternativo, di stampo empirico, consente di stimare il medesimo valore di , fornendo
maggiore attendibilità al calcolo. Considerando i valori medi dei carichi critici riportati in Tabella 2 e
rappresentando in un grafico le corrispondenti energie di deformazione mediate, al variare del raggio
del volume di controllo, si individua un'intersezione in corrispondenza del valore 0.07 mm (vedi
Figura 6). Ciò significa che, in condizione critica, il materiale è caratterizzato da un valore di energia
di deformazione, mediata in un volume di controllo di raggio pari a 0.07 mm, che è indipendente dal
rapporto tra il carico, , e il campo magnetico applicato.
0.07
P=54 N, B=0 T
P=49 N, B=0.03 T
W [MJ/m3]
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.03
0.04
0.05
0.06 0.07
R0 [mm]
0.08
0.09
0.1
Figura 6: Determinazione del raggio del volume di controllo.
I risultati basati sull'applicazione del
sono mostrati in forma grafica in Figura 7 (a sinistra), in
termini di densità di energia di deformazione mediata. In Figura 7 (a destra) sono mostrati i medesimi
risultati in termini di Strain Energy Release Rate derivato dal
mediante l'applicazione della (8),
dalla quale risulta un coefficiente di conversione pari a 0.003 m.
0.07
0.05
a = 0.5 mm
0.04
0.03
0.02
B = 0.03 T
B=0
20
G [J/m2]
0.06
W [MJ/m3]
25
B = 0.03 T
B=0
a = 0.5 mm
15
10
5
0.01
0.00
0
0
10 20 30 40 50 60 70 80
P [N]
0
10 20 30 40 50 60 70 80
P [N]
Figura 7: Andamento del
mediato (a sinistra) e dello Strain Energy Release Rate (a destra), al
variare del carico applicato, in presenza o meno del campo magnetico.
Si osserva un andamento dell'energia in funzione del carico, e del campo magnetico applicato,
coerente con quello rappresentato in Figura 5. I valori di Strain Energy Release Rate misurati
sperimentalmente in assenza di campo magnetico (punti pieni) e in presenza di un campo magnetico
pari a 0.03 T (punti vuoti) risultano perfettamente sovrapposti alle corrispondenti stime numeriche
44° CONVEGNO NAZIONALE – MESSINA, 2-5 SETTEMBRE 2015
(linea tratteggiata e linea continua, rispettivamente). In Figura 8 è riportata, infine, una sintesi dei dati
sperimentali in termini di radice quadrata del rapporto tra la densità di energia di deformazione, ,
mediata nel volume di controllo e il valore critico di energia di deformazione,
. Si è scelto tale
parametro in quanto proporzionale al carico di frattura. Dalla figura è evidente come tutti i dati si
dispongano all’interno di una banda avente dispersione compresa tra 0.80 e 1.20. Dal punto di vista
ingegneristico, la tesi che il criterio del
mediato (e la sua solida base scientifica) sia un valido
stimatore della resistenza a frattura di provini criccati, in lega ad alta capacità magnetostrittiva,
soggetti a sollecitazione di modo 1, in presenza o meno di campo magnetico, non è falsificata.
2.00
Wc = 0.0245 MJ/m3
Rc = 0.07 mm
(W/Wc)0,5
1.60
1.20
0.80
B=0 T, dP/dt=0.2 N/s
B=0.03 T, dP/dt=0.2 N/s
B=0 T, dP/dt=3.0 N/s
B=0.03 T, dP/dt=3.0 N/s
0.40
0.00
1
2
3
4
5
6
7
N° provino
8
9
10
11
12
Figura 8: Sintesi dei dati sperimentali su provini in lega Terfenol-D.
6. CONCLUSIONI
Lo studio condotto, per via sperimentale e numerica, ha mostrato che il carico critico di provini
criccati soggetti a modo 1, realizzati in lega ad alta capacità magnetostrittiva, è maggiore in assenza di
campo magnetico e cala con andamento superlineare all'aumentare di quest'ultimo. Tale diminuzione
di resistenza è correlata a un incremento di Strain Energy Release Rate, dovuto alla presenza del
campo magnetico. Il criterio di resistenza basato sul
mediato in un volume di controllo coglie tale
comportamento e manifesta un’ottima corrispondenza tra risultati sperimentali e previsioni teoriche.
BIBLIOGRAFIA
[1] G. Engdahl, Handbook of Giant Magnetostrictive Materials, Academic Press (1999).
[2] A. Bayrashev, W.P. Robbins, and B. Ziaie, "Low frequency wireless powering of microsystems using
piezoelectric-magnetostrictive laminate composites", Sensors and Actuators A,114, 244-249 (2004).
[3] Y. Shindo, F. Narita, K. Mori, T. Nakamura, "Nonlinear bending response of giant magnetostrictive
laminated actuators in magnetic fields", Journal of Mechanics of Materials and Structures, 4, 941-949
(2009).
[4] Y. Shindo, K. Mori, F. Narita, "Electromagneto-mechanical fields of giant magnetostrictive/piezoelectric
laminates", Acta Mechanica, 212, 253-261 (2010).
[5] K. Mori, Y. Shindo, F. Narita, "Dynamic electromagneto-mechanical behavior of clampedfree giant
magnetostrictive/piezoelectric laminates under AC electric fields", Smart Materials and Structures, 21,
115003 (2012).
[6] D.T. Peterson, J.D. Verhoeven, O.D. McMasters, W.A. Spitzig, "Strength of Terfenol-D", Journal of
Applied Physics, 65, 3712 (1989).
[7] F. Berto, P. Lazzarin, "A review of the volume-based strain energy density approach applied to V-notches
and welded structures", Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 52, 183-194 (2009).
[8] F. Berto, P. Lazzarin, “Recent developments in brittle and quasi-brittle failure assessment of engineering
materials by means of local approaches”, Materials Science and Engineering R, 75, 1-48 (2014).
[9] F. Berto, P. Lazzarin, M. R. Ayatollahi, "Brittle fracture of sharp and blunt V-notches in isostatic graphite
under torsion loading", Carbon, 50, 1942-1952 (2012).
[10] M. R. Ayatollahi, F. Berto, P. Lazzarin, "Mixed mode brittle fracture of sharp and blunt V-notches in
polycrystalline graphite", Carbon, 49, 2465-2474 (2011)
44° CONVEGNO NAZIONALE – MESSINA, 2-5 SETTEMBRE 2015
[11] A. A. Griffith, “The phenomena of rupture and flow in solids”, Philosophical Transactions of the Royal
Society of London A, 221, 163-198 (1921).
[12] G.R. Irwin, "Onset of Fast Crack Propagation in High Strength Steel and Aluminum Alloys", Sagamore
Research Conference Proceedings, 2, 289–305 (1956).
[13] P. Lazzarin, R. Zambardi, “A finite-volume-energy based approach to predict the static and fatigue
behavior of components with sharp V-shaped notches”, International J of Fracture, 112, 275-298 (2001).
[14] H. Neuber, "Zur Theorie der technischen Formzahl", Forsch Ing Wes, 7, 271-274 (1936).
[15] H. Neuber, Theory of Notch Stresses, Springer-Verlag (1958).
[16] G.C. Sih, “Strain-energy-density factor applied to mixed mode crack problems”, International Journal of
Fracture, 10, 305-321 (1974).
[17] G.C. Sih, J.W Ho, “Sharp notch fracture strength characterized by critical energy density”, Theoretical and
Applied Fracture Mechanics, 16, 179-214 (1991).
[18] J.R. Rice, "A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and
cracks", Journal of Applied Mechanics, 35, 379–86 (1968).
[19] M. Sabir, G.A. Maugin, "On the fracture of paramagnets and soft ferromagnets", International Journal of
Non-Linear Mechanics, 31, 425-440 (1996).
[20] E. Beltrami, "Sulle condizioni di resistenza dei corpi elastici", Rendiconti del R. Istituto Lombardo, XVIII,
704-714 (1885).
[21] Z. Yosibash, A. R. Bussiba, I. Gilad, “Failure criteria for brittle elastic materials”, International Journal of
Fracture, 125, 307-333 (2004).
[22] G.R. Irwin, "Analysis of Stresses and Strains near the End of a Crack Traversing a Plate", Journal of
Applied Mechanics, 24, 361–364 (1957).
[23] F. Berto, P. Lazzarin, “Relationships between J-integral and the strain energy evaluated in a finite volume
surrounding the tip of sharp and blunt V-notches”, International Journal of Solid and Structures, 44, 4621–
4645 (2007).
[24] Y. Wan, D. Fang, K. C. Hwang, "Non-linear constitutive relations for magnetostrictive materials",
International Journal of Non-Linear Mechanics, 38, 1053-1065 (2003).
[25] Z. Jia W. Liu, Y. Zhang, F. Wang , D. Guo, "A nonlinear magnetomechanical coupling model of giant
magnetostrictive thin films at low magnetic fields", Sensors and Actuators A, 128, 158-164 (2006).
[26] H. F. Tiersten, Linear piezoelectric plate vibrations: elements of the linear theory of piezoelectricity and
the vibrations of piezoelectric plates, Plenum, (1969).
APPENDICE A
La lega Terfenol-D è un materiale trasversalmente isotropo e le sue leggi costitutive sono:
in cui:
