I monomi Prof. Walter Pugliese I monomi Def.: Il monomio è un’espressione letterale in cui compaiono soltanto moltiplicazioni tra numeri e lettere. Gli esponenti delle lettere sono numeri naturali. Esempi: Sono monomi 2πππ3 , 1 6 π , 2 −ππ₯π 2 , −3π₯ 2 π¦ 5 π¦, 3 5 + 4 π. Non sono monomi π₯ 3 π¦ , 2 π + π , 4π3 − π 2 , π₯−π¦ , 2π 3ππ −2 Sono monomi particolari • • 0 è il monomio nullo qualunque numero può essere considerato un monomio, per esempio possiamo scrivere il numero 7 anche in tanti altri modi: 7π0 , 7π 0 , 7π0 π 0 π₯ 0, ecc. La riduzione di un monomio a forma normale Def.: Un monomio è ridotto a forma normale quando è scritto come prodotto fra un numero e una o più lettere, diverse fra loro, con eventuali esponenti. Esempi: 6π₯ 3 π¦ 6 π₯ non è ridotto a forma normale. 6π₯ 4 π¦ 6 è ridotto a forma normale. Sono monomi ridotti a forma normale: 4 2 π π, 3 −3π₯π§ 4 , π3 π 4 . Non sono ridotti a forma normale: 12π2 π 3 −2 π3 , 6π3ππ. Coefficiente e parte letterale Def.: In un monomio ridotto a forma normale, il fattore numerico è il coefficiente, le lettere sono la parte letterale. Esempio: Monomio Coefficiente Parte letterale 4 2 π π 3 π3 π2 4 3 1 π2 π 2 2 Qualunque lettera con esponente 0 −π₯π§ 4 −1 π₯π§ 4 π3 π2 Il grado di un monomio Def.: Il grado di un monomio è la somma di tutti gli esponenti delle lettere. L’esponente con cui compare ogni lettera è detto grado rispetto alla lettera. Esempio: Monomio Grado Grado rispetto ad a Grado rispetto a b 4 2 π π 3 −π4 3 2 1 4 4 0 π 1 0 1 10 0 0 0 0 nessuno nessuno nessuno Il significato di monomio Per capire meglio il significato di monomio possiamo pensare a ciascuna lettera che compone il monomio come un «oggetto» e che lettere diverse indicano oggetti diversi. • • Immaginiamo che in un ristorante abbiamo 2 sale; in ciascuna sala vi sono 10 tavoli e ciascun tavolo ha 8 posti a sedere; il numero totale dei posti nel ristorante è 2 β 10 β 8 = 160. In questo esempio abbiamo considerato il numero esatto di tavoli e posti e sedere. Usando i monomi invece possiamo esprimere l’oggetto «tavolo» con la lettera «a» e l’oggetto «posto a sedere» con la lettera «b». Abbiamo così generalizzato il nostro esempio e il numero totali di posti è 2ππ. Dati la base «b» e l’altezza «h» di un triangolo, l’area è uguale a πβ che è un monomio. 2 Monomi simili Def.: Monomi che hanno la stessa parte letterale si dicono simili Esempio: 3π5 3π5 b e e 1 2 1 − π4 π 2 − π5 sono simili 3π5 b e 1 2 − ππ5 sono simili non sono simili La somma o la differenza di due monomi è ancora un monomio solo se i monomi sono simili tra loro. Infatti la somma tra i monomi 2π e 3π, che non sono simili, è rappresentata dall’espressione 2π + 3π che non è un monomio e non può essere semplificata (cioè è come voler sommare 2 tavoli e 3 sedie). Somma di monomi simili Regola: La somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio simile a quelli dati, che ha per coefficiente la somma dei coefficienti. Esempio: • 4π 2 π + 3π 2 π − π 2 π = 4 + 3 − 1 π 2 π = 6π 2 π • 3π − π = 3 − 1 1 2 2 π= 6−1 2 5 a= π 2 Due monomi simili sono opposti se sono opposti i loro coefficienti. La somma di due monomi opposti è 0. Esempio: • • 5ππ + −5ππ = 5ππ − 5ππ = 5 − 5 ππ = 0 5π₯π¦ + −7π₯ + −π₯π¦π§ + −2π₯π¦ + π₯ = 5π₯π¦ − 7π₯ − π₯π¦π§ − 2π₯π¦ + π₯ = = 5 − 2 π₯π¦ + −7 + 1 π₯ + −1 π₯π¦π§ = 3 π₯π¦ + −6 π₯ + −1 π₯π¦π§ = 3π₯π¦ − 6π₯ − π₯π¦π§ Due monomi simili sono uguali se sono uguali i loro coefficienti. La moltiplicazione di monomi Regola: Il prodotto di monomi è un monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti e per parte letterale il prodotto delle parti letterali. Esempio: 3 2 3 2 3 3 5 4 2 3 2 3 3 2 − π π π β −2π π = − β −2 π π π ππ = + π π π 4 4 2 La potenza di un monomio Regola: La potenza di un monomio è un monomio che ha per coefficiente la potenza del coefficiente dato e per parte letterale la potenza della parte letterale. Esempio: 3 3 2 − π π 4 2 3 = − 4 2 3 2 2 π π 9 6 4 =+ π π 16 Divisibilità tra monomi Un monomio (dividendo) è divisibile per un altro monomio (divisore) quando in esso compaiono tutte le lettere del divisore, con gli esponenti maggiori o uguali. Esempio: 3 2 5π π 1 2 ππ è divisibile per − π ππ. 3 Il monomio divisore non può essere nullo. Quindi la divisione πππ: π non ha significato. Quoziente fra monomi Regola: Dati due monomi, il secondo non nullo e il primo divisibile per il secondo, il loro quoziente è un monomio che ha come coefficiente il quoziente dei coefficienti e come parte letterale il quoziente delle parti letterali. Esempio: 1 2 1 5π π ππ: − π ππ = 5: − 3 3 3 2 π3 : π2 π 2 : π π: π π: π 0 = −15πππ Massimo comune divisore tra monomi Regola: Il massimo comune divisore (M.C.D.) tra due o più monomi è un monomio che ha: • Per coefficiente οIl M.C.D. dei valori assoluti dei coefficienti, se sono tutti interi. ο1 se i coefficienti non sono tutti interi • Per parte letterale οIl prodotto delle sole lettere comuni a tutti i monomi, ognuna presa una sola volta e con l’esponente minimo. Esempio: Il M.C.D. tra i monomi −8π₯ 3 π¦ 2 π§ 8 7 Il M.C.D. tra i monomi − π₯ 3 π¦ 2 π§ e +10π₯ 2 π¦ è 2π₯ 2 π¦ e +10π₯ 2 π¦ è π₯ 2 π¦ minimo comune multiplo tra monomi Regola: Il minimo comune multiplo (m.c.m.) fra due o più monomi è un monomio che ha: • Per coefficiente οIl m.c.m. dei valori assoluti dei coefficienti, se sono tutti interi. ο1 se i coefficienti non sono tutti interi • Per parte letterale οIl prodotto di tutte le lettere dei monomi, ognuna presa una sola volta e con l’esponente massimo. Esempio: Il m.c.m. tra i monomi −8π₯ 3 π¦ 2 π§ 8 7 Il m.c.m. tra i monomi − π₯ 3 π¦ 2 π§ e +10π₯ 2 π¦ è 40π₯ 3 π¦ 2 π§ e +10π₯ 2 π¦ è π₯ 3 π¦ 2 z