B - Corsi di Laurea a Distanza

ESERCITAZIONE 7
•
•
FORNIRE GLI ELEMENTI ESSENZIALI PER IL DIMENSIONAMENTO DI UN
CIRCUITO MAGNETICO, CONSIDERANDO SIA IL CASO DI FLUSSO COSTANTE CHE
IL CASO DI FLUSSO VARIABILE NEL TEMPO
CIRCUITI MAGNETICI SERIE CON CARATTERISTICHE MAGNETICHE NON LINEARI
CIRCUITO MAGNETICO
SI DEFINISCE CIRCUITO MAGNETICO QUELLA PARTE DI UNA MACCHINA A
FUNZIONAMENTO ELETTROMAGNETICO, CHE COSTITUISCE IL
VOLUME
PREFERENZIALE DOVE SI STABILISCE IL FLUSSO DI INDUZIONE MAGNETICA
NECESSARIO AL SUO FUNZIONAMENTO. UN CIRCUITO MAGNETICO È SEDE DI
LINEE DI FLUSSO CHIUSE ED COSTITUITO DA TRATTI, POSTI IN SERIE, CHE
POSSONO ESSERE CONSIDERATI TUBI DI FLUSSO. ALCUNI DI QUESTI TRATTI
POSSONO ESSERE COSTITUITI DA MATERIALI NON FERROMAGNETICI E SONO
CHIAMATI TRAFERRI O INTERFERRI
Figura 7.1 - Circuito magnetico di un magnete con traferro
DIMENSIONAMENTO DI UN CIRCUITO MAGNETICO
SI POSSONO CONSIDERARE DUE CASI TIPICI:
• CIRCUITI MAGNETICI SOGGETTI A FLUSSO COSTANTE NEL TEMPO
• CIRCUITI MAGNETICI SOGGETTI A FLUSSI TEMPOVARIANTI (DI SOLITO
SINUSOIDALI)
•
•
•
•
SCOPI DEL PROGETTO DI UN CIRCUITO MAGNETICO
DETERMINARE LE SEZIONI E LE LUNGHEZZE DEI DIVERSI TRATTI IN SERIE.
DETERMINARE IL PESO DEL MATERIALE FERROMAGNETICO NECESSARIO
DETERMINARE LA f.m.m. NECESSARIA PER STABILIRE IL FLUSSO DI INDUZIONE
MAGNETICA RICHIESTO.
DETERMINARE IL FLUSSO DISPERSO
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• NEL CASO DI PRESENZA DI FLUSSO VARIABILE NEL TEMPO DETERMINARE LE
PERDITE NEL MATERIALE FERROMAGNETICO.
DIMENSIONI E PESO DEL CIRCUITO MAGNETICO
SE SI SUPPONE CHE IL CIRCUITO MAGNETICO SIA UN TUBO DI FLUSSO SI HA
FLUSSO COSTANTE IN TUTTI I TRATTI DEL CIRCUITO STESSO.
SI SUDDIVIDE IL CIRCUITO IN TRATTI NEI QUALI L’INDUZIONE POSSA ESSERE
CONSIDERATA COSTANTE O CON ANDAMENTO NOTO.
3
2
1
4
6
5
Figura 7.2 - Magnete con traferro
LUNGO I TRATTI 3, 4, 5, B, A PARTE LE DISPERSIONI, PUÒ ESSERE CONSIDERATA
COSTANTE, MENTRE VARIA LINEARMENTE LUNGO I TRATTI 2 E 6. NEL TRATTO 1
(TRAFERRO) SI HA UN ALLARGAMENTO DELLE LINEE DI FLUSSO NELLE ZONE
PERIFERICHE.
B1m = α B2
2
α<1
1
6
Figura 7.3 - Determinazione diBm al traferro
70
Sa
Ba
B m = B b = (B a + B c)/2
Sb
Bb
Sc
Bc
Figura 7.4 - Determinazione diBm in un tratto con sezione variabile linearmente
NEL CASO IN FIGURA IL DATO DI PARTENZA È IL VALORE DI B1 E DELLA SEZIONE
S1. SI PUÒ COSÌ OTTENERE IL FLUSSO NEL TRATTO 1.
F = ( B1 x S1) / a
SE SI TRASCURANO LE DISPERSIONI È QUINDI NOTO IL FLUSSO F UGUALE IN TUTTE
LE SEZIONI DEL CIRCUITO MAGNETICO. POICHÉ CI PROPONIAMO DI FORNIRE I
LINEAMENTI BASE DI DIMENSIONAMENTO, NEL SEGUITO TRASCUREREMO, PER
SEMPLICITÀ, IL FLUSSO DISPERSO DI CUI È SEMPRE NECESSARIO TENERE CONTO.
RINVIAMO AI CORSI DI PROGETTAZIONE DEI COMPONENTI ELETTROMECCANICI LA
VALUTAZIONE DELL’ENTITÀ DEI FENOMENI DI DISPERSIONE.
SI FISSA UNA B AMMISSIBILE NELLA SEZIONE MINORE (LA 3 NELL’ESEMPIO) SULLA
BASE DEL LIVELLO DI SATURAZIONE TOLLERATO ED IN FUNZIONE DELLO
SFRUTTAMENTO PREFISSATO DEL MATERIALE. TALE VALORE CORRISPONDE NEL
NOSTRO CASO A B3. SI HA QUINDI
S3 = F / B3
SE SI SUPPONE CHE LE PROPORZIONI FRA LE DIVERSE SEZIONI SIANO UN DATO DI
PROGETTO È POSSIBILE ALLORA DETERMINARE LE DIVERSE SEZIONI ED I
CORRISPONDENTI VALORI DI B ESSENDO F UGUALE IN OGNI SEZIONE. SI HA
INFATTI PER UNA GENERICA SEZIONE:
SN = F / BN
INFINE SI FISSANO LE LUNGHEZZE DEI DIVERSI TRATTI IN BASE ALLE ESIGENZE DI
PROGETTO ED ALLE DIMENSIONI DEI CIRCUITI ELETTRICI CHE DEVONO ESSERE
INSERITI NEL COMPONENTE DA DIMENSIONARE
71
Tabella 7.1 - Dimensioni ed induzioni in un circuito magnetico
INDUZION
E
B1
B2max
B2m
B2min
B3
B4
B5
B6max
B6m
B6min
SEZIONI LUNGHEZZ
E
S1
L1
S2max
L2
S2m
S2min
S3
L3
S4
L4
S5
L5
S6max
L6
S6m
S6min
NOTE LE SEZIONI E LE LUNGHEZZE SI TROVA FACILMENTE IL VOLUME V DEL
CIRCUITO MAGNETICO DA CUI, CON IL PESO SPECIFICO g DEL MATERIALE
FERROMAGNETICO, SI DETERMINA IL PESO DEL CIRCUITO MAGNETICO:
G=gV
DETERMINAZIONE DELLA f.m.m.
PER DIMENSIONARE IL CIRCUITO DI ECCITAZIONE DEL MAGNETE È NECESSARIO
CONOSCERE IL VALORE DELLA f.m.m. NECESSARIA PER STABILIRE NEL CIRCUITO
MAGNETICO IL FLUSSO RICHIESTO. PER DETERMINARE LA f.m.m. SI APPLICA LE
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE AD UNA LINEA DI FLUSSO NEL CIRCUITO
MAGNETICO DA DIMENSIONARE. SI HA INFATTI:
∫ Hdl = NI
l
POICHÉ' E' DI SOLITO MOLTO DIFFICILE CALCOLARE L’INTEGRALE SI PREFERISCE
SUDDIVIDERE IL CIRCUITO IN TRATTI NEI QUALI L’INDUZIONE POSSA ESSERE
CONSIDERATA COSTANTE O CON ANDAMENTO NOTO. SI TRASFORMA ALLORA
L’INTEGRALE IN UNA SOMMATORIA ESTESA A TALI TRATTI:
n
∑ Hnln = NI
1
PER DETERMINARE H ESSENDO NOTI I VALORI DI B SI RICORRE ALLA CURVA DI
MAGNETIZZAZIONE DEL MATERIALE. NEL CASO DI SEZIONE VARIABILE SI PUÒ
EFFETTUARE UNA MEDIA PESATA DEI TRE VALORI DI H CORRISPONDENTI AI TRE
VALORI DI B. SI PUÒ PORRE:
Hmedio = (Hmax + 4Hm + Hmin) / 6
72
B (T)
B
1,5
1
0,5
50 H
100
150
H (As/cm)
Figura 7.5 - Determinazione diH in funzione diB
PER IL TRAFERRO SI HA:
B1 = moH1
SI PUÒ QUINDI COSTRUIRE UNA TABELLACON I VALORI DI B, I CORRISPONDENTI
VALORI DI H E LE LUNGHEZZE DEI DIVERSI TRATTI PER CALCOLARE LA
SOMMATORIA.
Tabella 7.1 - Dimensioni ed induzioni in un circuito magnetico
INDUZION
E
B1
B2max
B2m
B2min
B3
B4
B5
B6max
B6m
B6min
FORZA MAGN.
LUNGHEZZE
H1
H2max
H2m
H2min
H3
H4
H5
H6max
H6m
H6min
L1
L2
L3
L4
L5
L6
DETERMINAZIONE DELLE PERDITE
NEL CASO DI CIRCUITI MAGNETICI SOGGETTI A FLUSSO VARIABILE SI PROCEDE
CON UN CALCOLO UGUALE A QUELLO DEI CIRCUITI CON FLUSSO COSTANTE. È
NECESSARIO TUTTAVIA DETERMINARE ANCHE LA POTENZA DISSIPATA NEL
MATERIALE FERROMAGNETICO, SIA PER VALUTAZIONI ENERGETICHE, CHE PER LA
DETERMINAZIONE DELLA TEMPERATURA DEL COMPONENTE DA PROGETTARE.
DETERMINATO IL PESO DEI SINGOLI TRATTI DI CIRCUITO MAGNETICO SI HA:
Pm = k pmG B2 (watt)
73
PERDITE Pm (W/kg)
O PIÙ CORRETTAMENTE SI RICORRE AD UN DIAGRAMMA CHE FORNISCE LE
PERDITE IN FUNZIONE DELL’INDUZIONE.
10
1
0
0,5
1
1,5
2
0,1
INDUZIONE B (T)
Figura 7.6 - Perdite in funzione diB in un materiale ferromagnetico
74
METODI DI SOLUZIONE DI CIRCUITI MAGNETICI NON LINEARI
La soluzione dei problemi magnetici non lineari può essere affrontata ricorrendo a metodi numerici
che consentono di risolvere sistemi di equazioni non-lineari. Esistono tuttavia dei casi in cui non è
necessario ricorrere a tali metodi ma è sufficiente utilizzare un metodo grafico o di interpolazione
lineare per risolvere questi problemi.
Dividiamo i circuiti magnetici in due famiglie:
- circuiti a più tronchi in serie;
- circuiti a più tronchi in parallelo.
Nel seguito verranno trattati solo i circuiti magnetici del primo tipo
CIRCUITI MAGNETICI A PIU' TRONCHI IN SERIE
Nel caso dei circuiti magnetici costituiti da tronchi in serie (fig. 7.7) il flusso magnetico si considera
uguale in tutti i tronchi del circuito. Questa ipotesi può essere fatta considerando che il materiale
ferromagnetico di cui è costituito il circuito magnetico ha una permeabilità relativa migliaia di volte
superiore a quella dell'aria ed è perciò attraversato dal flusso totale.
2
Φ
T
1
3
4
Figura 7.7 - Circuito magnetico costituito da più tronchi in serie
Esaminiamo ora tre possibili tipologie di problemi:
1. Dato il flusso magnetico e le caratteristiche fisiche (curve di saturazione) e geometriche
(lunghezze e sezioni) dei diversi tronchi: determinare la forza magneto-motrice che agisce nel
circuito.
2. Data la forza magneto-motrice che agisce sul circuito (o le caratteristiche del circuito di
eccitazione: numero di spire e corrente di alimentazione) e le caratteristiche fisiche e geometriche
dei diversi tronchi: determinare il flusso magnetico.
3. Determinare la sezione o la lunghezza di un tronco del circuito magnetico dati: il flusso
magnetico, la forza magneto-motrice che agisce sul circuito e tutte le restanti caratteristiche
geometriche e fisiche del circuito.
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Metodi per la soluzione dei circuiti magnetici a più tronchi in serie
1. Dato il flusso magnetico e le caratteristiche fisiche (curve di saturazione) e geometriche
(lunghezze e sezioni) dei diversi tronchi: determinare la forza magneto-motrice che agisce nel
circuito.
Consideriamo il circuito magnetico di figura 1 in cui sono presenti Quattro tronchi in serie aventi
caratteristiche fisiche e geometriche diverse; noto il flusso Φ è possibile determinare il valore
dell'induzioneBi nell'i-esimo tronco attraverso la relazione:
Bi =
Φ
Si
dove Si rappresenta la sezione dell'
i-esimo tronco.
Dalla caratteristica non-lineare che lega il campo H all'induzione B è possibile leggere il valore del
campo agente in ogni tronco del circuito magnetico e calcolare la fmm agente su quel tronco; per il
tronco i-esimo:
i
= Hi li
dove li rappresenta la lunghezza del troncoi-esimo. Infine la fmm totale:
Nt
T
=∑
Nt
i
i =1
= ∑ Hi li
i =1
dove N T rappresenta il numero di tronchi (nel caso di figura N
1t = 4)
2. Data la forza magneto-motrice che agisce sul circuito (o le caratteristiche del circuito di
eccitazione: numero di spire e corrente di alimentazione) e le caratteristiche fisiche e
geometriche dei diversi tronchi: determinare il flusso magnetico.
La soluzione di questo problema deve essere affrontata in modo grafico. Si fissa un valore di
induzione in uno dei tronchi del circuito (tronco i-esimo); quindi, grazie al fatto che il flusso Φ è
costante in tutti i tronchi è possibile ricavare il valore dell'induzione nel tronco j-esimo (con j ≠ i )
attraverso la relazione:
Bj =
Φ
S
= Bi i
Sj
Sj
Dalle caratteristiche non-lineari dei materiali si ricavano i valori del campo magnetico nei diversi
tronchi del circuito e quindi la fmm totale:
Nt
T
=∑
i =1
Nt
i
= ∑ Hi li
i =1
Ripetendo il procedimento per una serie di valori di induzioni, convenientemente distribuiti e scelti in
modo tale da ottenere una serie di valori di fmm totale che comprenda quella data dal problema, si
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può tracciare una curva che fornisce il flusso in funzione della fmm totale; a questo punto, entrando
nella curva con il valore di fmm totale data è possibile leggere il corrispondente valore di flusso (fig.
7.8).
Φ [Wb]
Φ (risultato)
(data)
[Asp]
Figura 7.8 - Caratteristica magnetica del circuito
3. Determinare la sezione o la lunghezza di un tronco del circuito magnetico dati: il flusso
magnetico, la forza magneto-motrice che agisce sul circuito e tutte le restanti caratteristiche
geometriche e fisiche del circuito.
Consideriamo prima il problema in cui una sezione di un tronco sia incognita, ad esempio la sezione
Si del tronco i-esimo. Dal flusso Φ possiamo determinare i valori dell'induzione in ogni tronco del
circuito, ad esempio per il troncoj-esimo (con j ≠ i ):
Bj =
Φ
Sj
Dalle caratteristiche non-lineari dei materiali si ricavano i valori del campo magnetico nei diversi
tronchi del circuito (escluso quello nel tronco incognito). Posso quindi determinare la fmm i del
tronco di sezione incognita attraverso la relazione:
 i −1
 j =1
Nt


Fi = FT −  ∑ H j l j + ∑ H j l j 
j =i +1
dove T rappresenta la fmm totale data dal problema. Il valore del campo magnetico Hi è quindi dato
dalla relazione:
Hi =
i
li
Infine, dalla caratteristica non-lineare del materiale si determina il valore Bi di induzione
corrispondente e quindi la sezione del tronco:
77
Φ
Bi
Si =
Nel caso in cui la lunghezza di un tronco, ad esempio la lunghezza li del tronco i-esimo, rappresenti
una incognita del problema si procede determinando i valori di induzione in ogni tronco del circuito
magnetico:
Bj =
Φ
( j = 1, N T )
Sj
quindi dalle caratteristiche non-lineari dei materiali magnetici dei diversi tronchi si leggono i valori di
campo magnetico H j . Posso quindi determinare la fmm i del tronco di lunghezza incognita
attraverso la relazione:
 i −1
 j =1
Nt


Fi = FT −  ∑ H j l j + ∑ H j l j 
j =i +1
La lunghezza del tronco incognito risulta quindi:
li =
i
Hi
Applicazione
Dato il circuito magnetico rappresentato in fig. 7.7, in cui:
sezione trasversale costante
lunghezza del percorso in ferro
induzione magnetica
numero di spire dell'avvolgimento
corrente di eccitazione
S=100 [cm2]
lf =140 [cm]
B=1.20 [T]
N=1250 [sp]
I=2.5 [A]
Per realizzare il circuito magnetico sono stati impiegati dei lamierini al silicio.
Determinare:
a) l'ampiezza del traferro;
b) il nuovo valore di induzione nel caso in cui il traferro venga dimezzato;
c) il nuovo valore di corrente di eccitazione che occorre fornire per portare l'induzione al valore di
1.7 [T] e con il traferro posto al valore iniziale.
Soluzione
Risposta a)
La prima domanda si identifica in un problema del terzo tipo. La fmm agente sul circuito risulta:
78
T
= N I = 1250 ⋅ 2.5 = 3125 [Asp]
In corrispondenza dell'induzione data e per il materiale impiegato è necessario un valore di intensità
di campo nel nucleo pari a:
H f = 7 [Asp / cm]
La corrispondente caduta magnetica risulta:
f
= H f l f = 7 ⋅ 140 = 980 [Asp]
Da cui si può ottenere il valore della caduta magnetica del traferro:
tr
=
T
−
f
= 3125 − 980 = 2145 [Asp]
Supponendo che il valore di induzione si mantenga costante nel traferro, il campo in esso risulta:
Htr = 9600 [Asp / cm]
A questo punto è possibile determinare lo spessore del traferro attraverso la relazione:
ltr =
tr
Htr
=
2145
= 0.223 [cm]
9600
Risposta b)
La seconda domanda si identifica con un problema del secondo tipo. Dai dati relativi alla
caratteristica magnetica dei lamierini al silicio è possibile compilare la tabella di seguito riportata:
B [T]
1.10
1.20
1.30
1.40
1.50
Hf [Asp/m]
500
700
1200
2300
4000
Htr [Asp/m]
875353
954930
1034508
1114086
1193663
Hf lf [Asp]
700
980
1680
3220
5600
Htr ltr/2 [Asp]
976
1065
1153
1242
1331
[Asp]
1676
2045
2833
4462
6931
T
Tracciando l'andamento che riporta l'induzione B in funzione della fmm totale si determina il nuovo
valore di B, in corrispondenza del nuovo traferro; entrando nella caratteristica con il valore di fmm
totale data e pari a 3125 [Asp].
79
Fmm= 3 1 2 5 [ A s p ] ; B = 1 . 3 2 [ T ]
7000,00
6000,00
Fmm [Asp]
5000,00
4000,00
3000,00
2000,00
1000,00
0,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
B [T]
Risposta c)
La terza domanda si identifica con un problema del primo tipo. Dalla curva di saturazione del
materiale, in corrispondenza del valore di induzione di 1.7 [T], si legge un valore di intensità di
campo magnetico pari a:
H f = 140 Asp/ cm
e, supponendo di considerare la stessa induzione anche nel traferro, si ha un campo al traferro pari a:
Htr =
B
1.7
=
= 13528 Asp/ cm
µ 0 4π10−7
La fmm totale risulterà perciò pari a:
T
= H f l f + Htr ltr = 140⋅ 140 + 13528⋅ 0.223 = 22617 Asp
ed infine la nuova corrente magnetizzante richiesta:
I=
T
N
=
22617
= 18.1 A
1250
80