Generare una lista di primi usando il teorema di Wilson e

Generare una lista di primi usando il teorema di Wilson e la
primalità con Fermat
Il teorema di Wilson afferma che:
Sia N un intero > 2. allora N è primo sse (N-1)! = -1 (mod N)
il simbolo = sta per congruente
Questo criterio di primalità non è molto efficiente perché comunque richiede una certa potenza di
calcolo. Per questo motivo proponiamo un programma scritto con il potente linguaggio di
programmazione Python che permette di gestire numeri interi molto grandi :
tramite la funzione Wilson() di generare una lista di primi
tramite la funzione testwilson(p) di effettuare un test di primalità
tramite la funzione fattore(p) vengono generati numeri pseudocasuali tra 2 la radine
quadrata del numero da fattorizzare fino a trovare una soluzione.
Tramite la funzione testprimo(p) si fa un test di primalità e nel caso il numero non sia
primo viene fornito un fattore
Nel codice sono presenti anche altre funzioni utili alla teoria dei numeri, alla fattorizzazione degli
interi e alla ricerca dei numeri primi
Ecco il codice in Python
import math
def mcd(a,b):
if b == 0:
return a
else:
return mcd(b, a%b)
def fattoriale(x):
if x < 2:
return 1
else:
return x*fattoriale(x-1)
Per il fattoriale c'è anche la funzione math.factorial(x) e per la potenza math.pow(x,y)
def divisore(num,den):
if den ==1:
return num
else:
return float(num)/den
def potenza(a,b):
if b == 0:
return 1
else:
return a*potenza(a,b-1)
def wilson():
n = 3;
while(n < 100):
if fattoriale(n-1)%n == -1%n:
print(n);
n = n+1;
return 1;
def testwilson(n):
if fattoriale(n-1)%n == -1%n:
print('è primo');
else:
print('non è primo');
return 1;
def fattore(p):
import random;
import math;
x = math.floor(random.random()*math.sqrt(p));
while(p/x != math.floor(p/x)):
x = math.floor(random.random()*math.sqrt(p));
print (x);
print (p/x);
return 1;
def testprimo(p):
i = 2;
while i < p:
if mcd(i,p) != 1:
print('non è primo');
print(mcd(i,p));
return 0;
i = i+1;
return 1;
Per rimanere nel tema della primalità, possiamo costruire un programma in Python che sfrutti il
piccolo teorema di Fermat ovvero se N è primo, per ogni intero a primo con N ho che
a^(N-1)= 1 mod N. Questo dal punto di vista logico equivale a dire che se esiste un a tale che
MCD(a,N) = 1 e a^(N-1) != 1 allora N non è primo. Quindi possiamo scrivere il seguente test di
primalità (supponiamo per semplicità che N sia dispari e che l’ultima cifra non sia 0 o 5):
def test2primo(N):
j = 2;
while j < N-1:
if mcd(j, N) == 1:
if (j** (N-1))%N != 1%N :
return 'non è primo';
j = j+1;
return 'è primo';
Ove ** è la funzione potenza che potevamo sostituire con potenza(a,b).
Nota:
Per generare numeri interi casuali che possono essere fattori di un numero intero p possiamo usare
anche il PARI/Gp secondo il codice
{fattor(p) = local(w);
w = 1+random(floor(sqrt(p)));
while( p/w != floor(p/w), w = 1+random(floor(sqrt(p))));
print(w);
print(p/w);
return(1);}