SOMME DI POTENZE DEGLI INTERI POSITIVI

SOMME DI POTENZE DEGLI INTERI
POSITIVI CONSECUTIVI
GUIDO CAROLLA1
Sunto. Si presenta un programma in QBasic ed alcuni esempi con input e output:
esso, fra l’altro ci mostra come sia possibile risolvere l’interessante problema di
calcolo numerico relativo alla somma delle potenze dei numeri positivi consecutivi,
SR,TR e (SR-TR),a partire dall’unità e rispettivamente fino ad N e ad M e loro
differenza, per mezzo di particolari algoritmi, fino alle potenze con esponente R<=4.
Esso utilizza anche la serie con i primi cinque numeri di Bernoulli per il medesimo
calcolo, nel caso di un qualunque R positivo. Inoltre il programma suddetto utilizza
un’altra serie con i coefficienti binomiali di Newton. Infine, i risultati di cui sopra
vengono raffrontati con quelli reali, ottenuti molto semplicemente con un ciclo FORNEXT.
Abstract. The Author presents a Qbasic programme and some examples with data
inputs and outputs: among other things, it shows how we can solve the calculus
problem about the sum of powers of positive consecutive numbers, SR, TR and (SRTR), from the unity and respectively to N and to M and to their difference, thanks to
special algorithms, to the powers with exponent R<=4. It makes also use of the series
with the first five Bernoulli numbers for this calculus, in the case of any positive R.
Moreover the afore-mentioned programme uses another series with Newton binomial
coefficients. Finally, the related outputs are put in comparison with the real ones,
easily calculated with a FOR-NEXT loop.
Algoritmi utilizzati nel listato
Si riportano alcuni casi particolari delle somme di potenze degli interi positivi, cioè di
r
r
r
r
1 + 2 + 3 + ... + n che, per i valori di r da 1 a 4, sono:
n(n + 1)
n(n + 1) 2n + 1
n(n + 1) n(n + 1)
; per r=2
⋅
; per r=3
⋅
;
2
2
3
2
2
n(n + 1) 2n + 1 3 n 2 + 3n − 1
per r=4
⋅
⋅
; la serie con i numeri di Bernoulli 2 utilizzata é
2
3
5
r +1
r −1
r− 3
n + 1 r + B1 r n − B2 r ( r − 1 )( r − 2 ) n + ... , nella quale la somma termina con 2
n
n
r+1 2
2!
4!
oppure con n, secondo che r sia pari o dispari e Bk sono i numeri di Bernoulli, i cui
per r=1
1
Docente di Matematica in ogni ordine di Scuola e Preside di Istituti superiori a r. Piazza Mazzini n. 24 73100 Lecce
tel. 0832/317045; cell. 3474632979; e-mail: [email protected]
2
I numeri di Bernoulli B 1 , B 2 , B 3 ,... sono definiti dalla serie:
1−
x
x
B 1 x 2 B 2 x4 B3 x6
cot =
+
+
+ ... con x < π
2
2
2!
4!
6!
2
4
6
x
x
= 1 − + B 1 x − B 2 x + B3 x − ... con x < 2π
2
2!
4!
6!
e −1
x
primi cinque sono riportati nel listato e nei quattro esempi in output; infine, si riporta
la serie con i coefficienti binomiali, (con r, n interi positivi) e quindi se
 r + 1
 r + 1
 r + 1
r
r
r
r
 S 1 + 
 S 2 + ... + 
 S r = (n + 1)r+ 1 − (n + 1) .
S r = 1 + 2 + 3 + ... + n , allora si ha 
 1 
 2 
 r 
Listato del programma in QBasic
CLS : PRINT "Il programma CALCOLA, con particolari algoritmi, SR che è la
SOMMA delle potenze R.sime dei numeri naturali consecutivi,fino ad N,di quelle
fino ad M (TR) e la loro differenza,cioè delle somme fino ad N diminuite di quelle
fino a M (SR-TR) (soltanto per R<=4); CALCOLA con la serie in cui figurano i
numeri di Bernoulli,con ottima approssimazione,le stesse somme e differenze (per il
valore digitato di R>4) e li raffronta con i valori reali,dando di essi anche le somme
parziali di dette potenze. Infine,mette in raffronto i valori ottenuti dalla serie in cui
figurano dei coefficienti binomiali di Newton con quelli,relativi alla stessa serie degli
SR,precedentemente calcolati con un algoritmo."
INPUT "DIGITA R,N,M(<N) "; R, N, M: CLS : PRINT "R="; R, "N="; N, "M="; M
IF R = 1 THEN S1 = N * (N + 1) / 2: PRINT "S1="; S1, : T1 = M * (M + 1) / 2:
PRINT "T1="; T1, : PRINT "S1 - T1="; S1 - T1
IF R = 2 THEN S2 = N * (N + 1) * (2 * N + 1) / 6: PRINT "S2="; S2; : T2 = M * (M
+ 1) * (2 * M + 1) / 6: PRINT "T2="; T2; : PRINT "S2-T2="; S2 - T2
IF R = 3 THEN S3 = (N * (N + 1) / 2) ^ 2: PRINT "S3="; S3; : T3 = (M * (M + 1) /
2) ^ 2: PRINT "T3="; T3; : PRINT "S3-T3="; S3 - T3
IF R = 4 THEN S4 = N * (N + 1) * (2 * N + 1) / 6 * (3 * N ^ 2 + 3 * N - 1) / 5:
PRINT "S4="; S4; : T4 = M * (M + 1) * (2 * M + 1) / 6 * (3 * M ^ 2 + 3 * M - 1) / 5:
PRINT "T4="; T4; : PRINT "S4-T4="; S4 - T4
A = (N + 1) ^ (R + 1) - (N + 1)
PRINT "Per un qualunque valore di R si ha: N^(R+1)/(R+1)+N^R/2+B1*R*N^(R1)/2!-B2*R*(R-1)*(R-2)*N^(R-3)/4!+B3*R*(R-1)*(R-2)*(R-3)*(R-4)*N^(R-5)/6!...(con B1,B2,B3,...che sono i numeri di Bernoulli,cioè
1/6,1/30,1/42,1/30,5/66,...),che per R="; R; "dà"
E = N ^ (R + 1) / (R + 1) + N ^ R / 2 + 1 / 6 * R * N ^ (R - 1) / 2 - 1 / 30 * R * (R - 1)
* (R - 2) * N ^ (R - 3) / (2 * 3 * 4) + 1 / 42 * R * (R - 1) * (R - 2) * (R - 3) * (R - 4) *
N ^ (R - 5) / (2 * 3 * 4 * 5 * 6)
F = -1 / 30 * R * (R - 1) * (R - 2) * (R - 3) * (R - 4) * (R - 5) * (R - 6) * N ^ (R - 7) /
40320
G = 5 / 66 * R * (R - 1) * (R - 2) * (R - 3) * (R - 4) * (R - 5) * (R - 6) * (R - 7) * (R 8) * N ^ (R - 9) / 3628800
SR = E + F + G: TR = M ^ (R + 1) / (R + 1) + M ^ R / 2 + 1 / 6 * R * M ^ (R - 1) / 2 1 / 30 * R * (R - 1) * (R - 2) * M ^ (R - 3) / 24 + 1 / 42 * R * (R - 1) * (R - 2) * (R 3) * (R - 4) * M ^ (R - 5) / 720 - 1 / 30 * R * (R - 1) * (R - 2) * (R - 3) * (R - 4) * (R 5) * (R - 6) * M ^ (R - 7) / 40320 + 5 / 66 * R * (R - 1) * (R - 2) * (R - 3) * (R - 4) *
(R - 5) * (R - 6) * (R - 7) * (R - 8) * M ^ (R - 9) / 3628800
PRINT "S"; R; "="; SR; " T"; R; "="; TR; ", soltanto con l'utilizzo di B1,B2,B3,B4 e
B5", "S"; R; "-T"; R; "="; SR - TR
PRINT "Infatti le somme parziali e la totale fino ad N="; N; "delle potenze di"; R;
"dei numeri naturali consecutivi sono:"
DIM Z(100)
FOR i = 1 TO N
Z(i) = Z(i - 1) + i ^ R: PRINT Z(i); : NEXT i: PRINT "ed il valore reale di S"; R; "Š
proprio"; Z(N); "."
S1 = N * (N + 1) / 2: S2 = N * (N + 1) * (2 * N + 1) / 6: S3 = S1 ^ 2: S4 = S2 * (3 *
N ^ 2 + 3 * N - 1) / 5
PRINT "I valori che seguono sono quelli di SR per R<=4 e di SR per R digitato:":
PRINT "S1 = "; S1, " S2 = "; S2, " S3 = "; S3, " S4 = "; S4, "S"; R; "="; SR
PRINT "Inoltre,se SR=1^R+2^R+...+N^R,dove R ed N sono interi positivi,si ha (R+1
ad 1 ad 1)*S1+(R+1 a 2 a 2)*S2+(R+1 a 3 a 3)*S3+...+(R+1 ad R ad
R)*SR=(N+1)^(R+1)-(N+1)="; : PRINT A; "la cui serie ha significato soltanto se nei
calcoli,ora predisposti rispettivamente per R=1,R=2,R=3,R=4,ci si ferma al termine
R.mo del relativo SR, es. se ci si ferma al primo,al secondo,al terzo ed al quarto
termine si avranno:": R = 1: PRINT (R + 1) * S1; : R = 2: PRINT (R + 1) * S1 + (R +
1) * R / 2 * S2; : R = 3: PRINT (R + 1) * S1 + (R + 1) * R / 2 * S2 + (R + 1) * R * (R
- 1) / (2 * 3) * S3; : R = 4: PRINT (R + 1) * S1 + (R + 1) * R / 2 * S2 + (R + 1) * R *
(R - 1) / (2 * 3) * S3 + (R + 1) * R * (R - 1) * (R - 2) / (2 * 3 * 4) * S4; "uno dei quali
ultimi valori è proprio uguale a quello ottenuto precedentemente per mezzo
dell'algoritmo sopra riportato,soltanto se si è digitato R<=4.":
REM!+...+(R+1)!/R!*SR= (N+1)^(R+1)-(N+1)=; A:PRINT
PRINT "Si noti che,per R=1,quest'ultimo algoritmo è equivalente a 2*S1"
END
Esempi con input output
Il programma CALCOLA, con particolari algoritmi, SR che è la SOMMA delle
potenze R.sime dei numeri naturali consecutivi,fino ad N,di quelle fino ad M (TR) e
la loro differenza,cioè delle somme fino ad N diminuite di quelle fino a M (SR-TR)
(soltanto per R<=4); CALCOLA con la serie in cui figurano i numeri di
Bernoulli,con ottima approssimazione, le stesse somme e differenze (per il valore
digitato anche di R>4) e li raffronta con i valori reali, dando di essi anche le somme
parziali di dette potenze. Infine, mette in raffronto i valori ottenuti dalla serie in cui
figurano dei coefficienti binomiali di Newton con quelli, relativi alla stessa serie degli
SR, bprecedentemente calcolati con un algoritmo.
DIGITA R,N,M(<N) ? 1,18,4
S1= 171,
T1= 10,
S1 - T1= 161
Per un qualunque valore di R si ha: N^(R+1)/(R+1)+N^R/2+B1*R*N^(R-1)/2!B2*R*(R-1)*(R-2)*N^(R-3)/4!+B3*R*(R-1)*(R-2)*(R-3)*(R-4)*N^(R-5)/6!-...(con
B1,B2,B3,... che sono i numeri di Bernoulli,cioè 1/6,1/30,1/42,1/30,5/66,...),che per
R= 1 dà
S 1 = 171.0833 T 1 = 10.08333 , soltanto con l'utilizzo di B1,B2,B3,B4 e B5
S 1 -T 1 = 161
Infatti le somme parziali e la totale fino ad N= 18 delle potenze di 1
dei numeri naturali consecutivi sono:
1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 136 153 171
ed il valore reale di S 1 è proprio 171 .
I valori che seguono sono quelli di SR per R<=4 e di SR per R digitato:
S1 = 171 S2 = 2109 S3 = 29241 S4 = 432345
S 1 = 171.0833
Inoltre,se SR=1^R+2^R+...+N^R,dove R ed N sono interi positivi,si ha (R+1 ad 1 a
d 1)*S1+(R+1 a 2 a 2)*S2+(R+1 a 3 a 3)*S3+...+(R+1 ad R ad R)*SR=(N+1)^(R+1)(N+1)= 342
la cui serie ha significato soltanto se nei calcoli,ora predisposti rispettivamente per
R=1,R=2,R=3,R=4,ci si ferma al termine R.mo del relativo SR, es. se ci si ferma al
primo,al secondo,al terzo ed al quarto termine si avranno:
342 6840 130302 2476080
uno dei quali ultimi valori è proprio uguale a quello ottenuto precedentemente per
mezzo dell'algoritmo sopra riportato,soltanto se si è digitato R<=4.
Si noti che,per R=1,quest'ultimo algoritmo è equivalente a 2*S1
Digita R,N,M(<N)?
R= 4
N= 6
M= 2
S4= 2275,
T4= 17,
S4-T4= 2258
Per un qualunque valore di R si ha: N^(R+1)/(R+1)+N^R/2+B1*R*N^(R-1)/2!B2*R*(R-1)*(R-2)*N^(R-3)/4!+B3*R*(R-1)*(R-2)*(R-3)*(R-4)*N^(R-5)/6!-...(con
B1,B2,B3,...che sono i numeri di Bernoulli,cioè 1/6,1/30,1/42,1/30,5/66,...),che per
R= 4 dà
S 4 = 2275 T 4 = 17 , soltanto con l'utilizzo di B1,B2,B3,B4 e B5
S 4 -T 4 = 2258
Infatti le somme parziali e la totale fino ad N= 6 delle potenze di 4
dei numeri naturali consecutivi sono:
1 17 98 354 979 2275 ed il valore reale di S 4 è proprio 2275 .
I valori che seguono sono quelli di SR per R<=4 e di SR per R digitato:
S1 = 21
S2 = 91 S3 = 441 S4 = 2275 S 4 = 2275
Inoltre,se SR=1^R+2^R+...+N^R,dove R ed N sono interi positivi,si ha (R+1 ad 1 a
d 1)*S1+(R+1 a 2 a 2)*S2+(R+1 a 3 a 3)*S3+...+(R+1 ad R ad R)*SR=(N+1)^(R+1)(N+1)= 16800
la cui serie ha significato soltanto se nei calcoli,ora predisposti rispettivamente per
R=1,R=2,R=3,R=4,ci si ferma al termine R.mo del relativo SR, es. se ci si ferma al
primo,al secondo,al terzo ed al quarto termine si avranno:
42 336 2394 16800
uno dei quali ultimi valori è proprio uguale a quello ottenuto precedentemente per
mezzo dell'algoritmo sopra riportato,soltanto se si è digitato R<=4.
Si noti che,per R=1,quest'ultimo algoritmo è equivalente a 2*S1
Digita R,N,M(<N)?
R= 7
N= 6
M= 1
Per un qualunque valore di R si ha: N^(R+1)/(R+1)+N^R/2+B1*R*N^(R-1)/2!B2*R*(R-1)*(R-2)*N^(R-3)/4!+B3*R*(R-1)*(R-2)*(R-3)*(R-4)*N^(R-5)/6!-...(con
B1,B2,B3,...che sono i numeri di Bernoulli,cioè 1/6,1/30,1/42,1/30,5/66,...),che per
R= 7 dà
S 7 = 376761 T 7 = .9958333 , soltanto con l'utilizzo di B1,B2,B3,B4 e B5
S 7 -T 7 = 376760
Infatti le somme parziali e la totale fino ad N= 6 delle potenze di 7
dei numeri naturali consecutivi sono:
1 129 2316 18700 96825 376761 ed il valore reale di S 7 è proprio 376761 .
I valori che seguono sono quelli di SR per R<=4 e di SR per R digitato:
S1 = 21
S2 = 91 S3 = 441 S4 = 2275 S 7 = 376761
Inoltre,se SR=1^R+2^R+...+N^R,dove R ed N sono interi positivi,si ha (R+1 ad 1 a
d 1)*S1+(R+1 a 2 a 2)*S2+(R+1 a 3 a 3)*S3+...+(R+1 ad R ad R)*SR=(N+1)^(R+1)(N+1)= 5764794
la cui serie ha significato soltanto se nei calcoli,ora predisposti rispettivamente per
R=1,R=2,R=3,R=4,ci si ferma al termine R.mo del relativo SR, es. se ci si ferma al
primo,al secondo,al terzo ed al quarto termine si avranno:
42 336 2394 16800
uno dei quali ultimi valori è proprio uguale a quello ottenuto precedentemente per
mezzo dell'algoritmo sopra riportato,soltanto se si è digitato R<=4.
Si noti che,per R=1,quest'ultimo algoritmo è equivalente a 2*S1
Digita R,N,M(<N)?
R= 5
N= 7
M= 4
Per un qualunque valore di R si ha: N^(R+1)/(R+1)+N^R/2+B1*R*N^(R-1)/2!B2*R*(R-1)*(R-2)*N^(R-3)/4!+B3*R*(R-1)*(R-2)*(R-3)*(R-4)*N^(R-5)/6!-...(con
B1,B2,B3,...che sono i numeri di Bernoulli,cioè 1/6,1/30,1/42,1/30,5/66,...),che per
R= 5 dà
S 5 = 29008 T 5 = 1300.004 , soltanto con l'utilizzo di B1,B2,B3,B4 e B5
S 5 -T 5 = 27708
Infatti le somme parziali e la totale fino ad N= 7 delle potenze di 5
dei numeri naturali consecutivi sono:
1 33 276 1300 4425 12201 29008 ed il valore reale di S 5 è proprio 29008
.I valori che seguono sono quelli di SR per R<=4 e di SR per R digitato:
S1 = 28
S2 = 140 S3 = 784 S4 = 4676 S 5 = 29008
Inoltre,se SR=1^R+2^R+...+N^R,dove R ed N sono interi positivi,si ha (R+1 ad 1 a
d 1)*S1+(R+1 a 2 a 2)*S2+(R+1 a 3 a 3)*S3+...+(R+1 ad R ad R)*SR=(N+1)^(R+1)(N+1)= 262136
la cui serie ha significato soltanto se nei calcoli,ora predisposti rispettivamente per
R=1,R=2,R=3,R=4,ci si ferma al termine R.mo del relativo SR, es. se ci si ferma al
primo,al secondo,al terzo ed al quarto termine si avranno:
56 504 4088 32760
uno dei quali ultimi valori è proprio uguale a quello ottenuto precedentemente per
mezzo dell'algoritmo sopra riportato,soltanto se si è digitato R<=4.
Si noti che,per R=1,quest'ultimo algoritmo è equivalente a 2*S1
Bibliografia
-Murray R. Spiegel, Manuale di Matematica, McGraw-Hill, 1994.
-Robert Arnson, Christy Gemmell, Harry Henderson, MS-DOS QBasic Guida del
Programmatore, McGraw-Hill Libri Italia srl, 1992.
Lecce, marzo 2004
Guido Carolla per www.matematicamente.it