DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
Un pendolo composto, montato su un carrello in quiete, presenta un periodo di oscillazione T0= 2 s.
Determinare il periodo di oscillazione se il pendolo oscilla sullo stesso carrello che scende
liberamente lungo un piano inclinato di alzo α= 30°.
T0
SOL.- T =
= 2,15 s.
cos α
ooooo
Due ruote ciascuna di massa m= 10 kg e raggio R= 10 cm sono connesse rigidamente da un asse
cilindrico di massa 5m e raggio r= 2 cm. Se il coefficiente di attrito statico col suolo è µs= 0,5
determinare la forza massima che può essere applicata al centro di massa parallelamente al suolo
affinché non si abbia slittamento.
& con
SOL.- Scrivendo le due equazioni cardinali per il sistema rigido si ha: F − A = 7 maC , AR = Iω
1
 1
& = aC / R , I = 2 mR 2  + 5mr 2 , A ≤ 7µ s mg .
ω
2
 2


R2
Dalle precedenti si ottiene: F ≤ 7µ s mg  7 m
+ 1 = 2526 N.
I


ooooo
Due sbarre sottili omogenee di uguale lunghezza e massa m= 0,5 kg ciascuna, sono connesse
rigidamente tra di loro a forma di T. Il sistema è libero di ruotare senza attriti intorno a un asse
orizzontale passante per il punto di giunzione O. Partendo dalla configurazione di equilibrio
instabile con velocità iniziale nulla si determini la reazione vincolare offerta dall’asse di rotazione
quando il sistema transita per la configurazione di equilibrio stabile.
SOL.- Nell’istante in cui il sistema transita per la configurazione di equilibrio stabile
l’accelerazione angolare è nulla, pertanto per il centro di massa esiste soltanto un’accelerazione
centripeta verticale diretta verso O: 2mg − R = −2mω2OC = −2mω2l / 4 .
La velocità angolare può ottenersi dal teorema del lavoro e dell’energia cinetica applicato tra la
1
5
configurazione di equilibrio instabile iniziale e quella finale: 2mg 2OC = I O ω2 =
ml 2ω2 →
2
24
22
24 g
ω2 =
, da cui si ottiene R =
mg = 21,6 N.
5
5 l
ooooo
Su un piano orizzontale liscio una scala a libretto, costituita da due sbarre omogenee di lunghezza
2l, è trattenuta in quiete da una fune orizzontale. Determinare il modulo della velocità dei centri di
massa delle rampe quando, dopo la rottura della fune, essi sono scesi di un tratto H= 1 m.
SOL.- Detto C il centro di massa di ciascuna rampa, applicando il teorema del lavoro e dell’energia
cinetica tenendo conto che solo la forza peso compie lavoro, si ha:
1
1
2mgH = 2 mvC2 + 2 I C ω 2
2
2
2
con I C = ml / 3 , ω = vC / l . Per la velocità richiesta si ha quindi vC = (3gH / 2)1 / 2 = 3,8 m/s.
ooooo
Un proiettile di massa m= 2 kg urta con velocità vi= 3 m/s tangenziale al bordo di un anello di
uguale massa e raggio R= 20 cm, inizialmente fermo su un piano orizzontale privo di attrito. Se
dopo l’urto l’anello e il proiettile restano attaccati determinare la velocità angolare del sistema dopo
l’urto.
SOL.- Nell’urto perfettamente anelastico si conserva oltre alla quantità di moto anche il momento
R
angolare del sistema. Rispetto a un asse passante per il centro di massa si ha: mv = I C ω con
2
2
2

R
R  3
 = mR 2 . Con i valori numerici del problema si ha ω= 5 rad/s.
IC = m
+  mR 2 + m
4 
4  2
ooooo
Su un’asta omogenea di massa M= 10 kg e lunghezza l= 1,5 m, sospesa verticalmente in quiete per
un suo estremo e ivi incernierata, viene sparato nel suo centro di massa un proiettile di massa m= 50
g con velocità orizzontale v0= 500 m/s. Se il proiettile resta conficcato determinare lo spostamento
angolare massimo dell’asta
SOL.- Si conserva il momento angolare rispetto all’estremo all’asse di rotazione:
 Ml 2 ml 2 
l
ω. Dopo l’urto tutta l’energia cinetica è convertita in energia potenziale
mv0 = Iω = 
+
2
4 
 3
1 2
l
m2 v02l
di gravità: Iω = (M + m )g (1 − cos θ) da cui si ottiene cos θ = 1 −
, θ= 46,75°.
2
2
4 I ( M + m) g
ooooo
Con riferimento alla fig. dove il cilindro di massa M= 2 kg può ruotare senza
attrito intorno al proprio asse fisso, se m= 100 g e k= 20 N/m, determinare il
M
periodo delle oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio.
·
SOL.- Possiamo scrivere l’equazione del moto applicando la conservazione
1
1
1
dell’energia meccanica E = T + U = mx& 2 + I C ω 2 + kx 2 − mgx = cost
2
2
2
k
2
I C = MR / 2 ) e che, derivata rispetto al tempo dà:
(con
M

 m +  &x& + kx = mg , la cui soluzione è un moto armonico di periodo
2 

1/ 2
m
M 

m+

2

 = 1,47 s.
T = 2π
 k 




ooooo
Una sfera omogenea di massa m= 1 kg e raggio R= 10 cm ruota intorno a un asse centrale con
velocità angolare ω0= 5 rad/s. Se si applica un momento assiale costante Ma frenante la sfera si
ferma dopo aver compiuto n= 40 giri, determinare Ma.
SOL.- Si può utilizzare il teorema del lavoro e dell’energia cinetica
1
12
Lattr = − M a n2π = T f − Ti = − I C ω02 = −
mR 2 ω02 ,
2
25
mR 2 ω 02
= 1,99 ⋅10-4 N⋅m.
da cui si ha : M a =
10nπ
ooooo
Con riferimento alla fig., dove il cilindro di massa M= 2 kg può rotolare senza
slittare lungo il filo di massa trascurabile, se k= 100 N/m, determinare la
pulsazione delle oscillazioni verticali attorno alla posizione di equilibrio.
k
SOL.- Poiché le forze agenti (il peso e la forza elastica) sono conservative,
ponendo nulla l’energia meccanica nella posizione di equilibrio, e facendo
attenzione che se il cilindro si abbassa di x la molla si allunga di 2x, per la
conservazione dell’energia meccanica si ha:
1
1
1 MR 2 x& 2
k (2 x) 2 + Mx& 2 +
− Mgx = 0
2
2
2 2 R2
M
che, derivata rispetto al tempo dà
3
M&x& + 4kx = Mg ,
2
la cui soluzione è un moto armonico di pulsazione ω =
8k
= 11,5 rad/s.
3M
ooooo
Al rocchetto di cui in fig. di massa m= 50,0 g, momento d’inerzia rispetto al
R
F
proprio asse di simmetria I= 5 10-6 kg⋅m2, raggi r= 2 cm e R= 3 cm, è
applicata la forza costante F= 0,1 N con α= 60°. Se il coefficiente di attrito
r
α
statico col piano è µ= 0,2 determinare il moto del rocchetto e l’accelerazione
del centro di massa.
SOL.- Il rocchetto slitterà se il coefficiente di attrito è piccolo, cioè inferiore
al valore critico che assicura il puro rotolamento. Tale valore critico può
determinarsi imponendo un moto di puro rotolamento. Per un osservatore inerziale il moto del
centro di massa e quello di rotazione attorno al centro di massa si esprimono:
a I F
& = I =  cos α − µ c g  ,
F cos α − µ c mg = ma , Fr − µ c mgR = Iω
R Rm

da cui si ricava µc=1,4<µ. Con tale risultato possiamo affermare che il rocchetto rotolerà senza
slittare. Per determinare l’accelerazione del centro di massa possiamo scrivere l’equazione dei
momenti rispetto all’asse istantaneo di rotazione passante per la generatrice di contatto col piano
a
& = ( I + mR 2 )
F (r − R cos α) = ( I + mR 2 )ω
R
2
da cui si ricava a= 0,3 m/s verso sinistra nella fig. del testo.
ooooo
Un telaio nella forma di un triangolo equilatero è costituito da tre sottili sbarre omogenee di
lunghezza l= 30 cm saldate tra loro e può oscillare senza attrito in un piano verticale attorno a un
asse orizzontale passante per uno dei vertici. Si determini il periodo delle oscillazioni di piccola
ampiezza.
SOL.- Detto O il vertice di sospensione, il centro di massa C è a distanza
OC = 2l cos 30° / 3 = l / 3 dal vertice. Se m è la massa della singola sbarra il momento d’inerzia
ml 2  ml 2
3
2
totale rispetto all’asse di oscillazione è I tot = 2
+
+ m(l cos 30°)  = ml 2 . Detto θ
3
 12
 2
2
l’angolo di deviazione dalla verticale l’equazione del moto è I tot &θ& = −3mg l cos 30° sin θ . La
3
 2 g
pulsazione angolare è ω = 

 3 l
ooooo
1/ 2
1/ 2
l 3

, da cui il periodo richiesto è T = 2π

 2g 
Un cilindro, la cui massa m= 150 g è tutta concentrata sul bordo, è
sollecitato da una molla di costante elastica k= 30 N/m e può soltanto
rotolare senza strisciare. Determinare il periodo delle oscillazioni di
piccola ampiezza con cui si muove l’asse del cilindro.
SOL.- Per un osservatore inerziale fisso l’equazione dei momenti rispetto
all’asse istantaneo di rotazione si scrive
&x&
& =I
− kxR = Iω
R
2m
= 0,628 s.
con I = I C + mR 2 = 2mR 2 , da cui si ha T = 2π
k
ooooo
= 1,02 s.
m
k
C
Due cilindri omogenei di masse m1= 6 kg e m2= 3 kg sono connessi
m1
m2
da una cinghia di massa trascurabile. Se al primo cilindro di raggio
T
1
R1
R1= 30 cm è applicato una coppia M e la differenza delle tensioni sui
due tratti rettilinei della cinghia vale T2-T1= 200 N, determinare il
T2
modulo del momento M applicato.
SOL.- Essendosi supposta la massa della cinghia trascurabile il
valore della tensione resta costante sui due tratti della cinghia, sicché per i due cilindri le equazioni
del moto si scrivono:
&1,
&2
M + (T1 − T2 ) R1 = I1ω
(T2 − T1 ) R2 = I 2 ω
& 1 R1 = ω
& 2 R2 , da cui si ottiene M = (T2 − T1 ) R2 (1 + m1 / m2 ) = 180 N⋅m.
con ω1 R1 = ω2 R2 , ω
ooooo
Una palla da biliardo omogenea, di raggio R= 5 cm, in quiete su un piano orizzontale liscio viene
colpita orizzontalmente dalla stecca alla distanza a= 2 cm aldisopra del centro. Determinare di quale
tipo è il moto conseguente.
SOL.- Le equazioni cardinali sono Fdt = mdvc , Fadt = I c dω ed eliminando Fdt ed integrando tra
I
l’istante iniziale e l’istante generico t si ha mvc (t ) = c ω(t ) da cui si ricava ω = vc / R , cioè il moto
a
è di puro rotolamento.
ooooo
Un cilindro di massa m e raggio R è in quiete sul piano orizzontale di un carrello fermo.
Determinare l’accelerazione del cilindro nel moto di puro rotolamento rispetto al carrello se
quest’ultimo trasla orizzontalmente con un’accelerazione costante at= 3 m/s2.
SOL.- Nel sistema di riferimento non inerziale solidale col carrello al cilindro (oltre all’attrito, al
peso e alla reazione normale) è applicata la forza orizzontale d’inerzia –mat applicata nel suo centro
di massa. L’equazione dei momenti rispetto alla generatrice di contatto fornisce:
a
3
2
& rel = mR 2 rel da cui si ottiene a rel = at = 2 m/s2.
mat R = ( I C + mR 2 )ω
2
R
3
ooooo
Una scala di massa m= 10 kg è appoggiata contro una parete verticale priva di attrito formando un
angolo α= 60° con il pavimento liscio. Se un uomo di massa M= 80 kg è salito per 2/3 della
lunghezza della scala, determinare la tensione di una fune orizzontale che connette la base della
scala alla parete verticale.
SOL.- Imponendo l’equilibrio di tutte le forze e dei momenti (per es. calcolati rispetto al contatto
 mg 2Mg  cosα
+
= 330,4 N.
col pavimento) si ottiene per la tensione T = 

3  sen α
 2
ooooo
Al centro di massa di un cilindro di massa m= 2,5 kg , inizialmente fermo su un piano orizzontale, è
applicata una forza orizzontale costante F= 7,5 N. Supponendo il moto di puro rotolamento si
determini lo spazio percorso in ∆t= 20 s.
a
& = I C C . Eliminando la forza
SOL.- Le equazioni cardinali si scrivono F − FA = maC , FA R = I C ω
R
2F
d’attrito FA si ottiene aC =
, cioè il moto è uniformemente accelerato. Lo spazio percorso è
3m
1
quindi s = aC (∆t ) 2 = 400 m.
2
ooooo
Una sottile asta omogenea di lunghezza l= 1 m ruota con velocità angolare costante ω= 5,425 rad/s
attorno a un asse verticale passante per un suo estremo. Determinare l’angolo formato dall’asta con
la verticale.
SOL.- Metodo 1.- Per l’equilibrio delle forze nel sistema di riferimento non inerziale la risultante
tra la forza centrifuga + il peso e la reazione vincolare nel punto di sospensione debbono avere la
stessa retta d’azione passante per la sbarra:
2
x: RV sin θ = Fc = mω2 l sin θ ,
3
y: RV cos θ = mg .
Dividendo membro a membro si ha
mg
3g
=
cos θ =
Fc 2ω2 l
θ = 60°.
Metodo 2.- Nel sistema di riferimento rotante con la sbarra per l’equilibrio il momento risultante
rispetto al punto fisso di sospensione deve essere nullo:
3 g
l
2
∫m dmω x sin θx cos θ − mg 2 sin θ = 0 , θ = ar cos 2 ω2l = 60°.
ooooo
Sul bordo di un cilindro omogeneo di massa m= 1,4 kg e raggio R= 23 cm, rotante alla frequenza
costante ν= 840 giri/min intorno al proprio asse di simmetria fisso, viene spinto in direzione radiale
un freno con una forza F= 130 N. Determinare il coefficiente di attrito dinamico tra freno e cilindro
se per fermarsi quest’ultimo compie N=2,8 giri.
SOL.- L’energia iniziale del cilindro viene dissipata totalmente nel lavoro
del momento della forza di attrito:
1
mRω
I C ω2 = µ d FR 2πN , µ d =
= 0,27.
8πNF
2
ooooo
Una sfera di raggio r= 2 cm e massa m= 0,1 kg è fissata all’estremo inferiore di una sottile sbarra
anch’essa di massa m e lunghezza l= 20 cm. L’intero sistema può oscillare intorno a un asse
orizzontale posto alla distanza l/4 dall’estremo inferiore della sbarra. Determinare il periodo delle
oscillazioni di piccola ampiezza.
SOL.- Il momento d’inerzia del sistema rispetto all’asse di sospensione è
2
2
2
 ml
l
l
+ m  = 0,0836 kg m2.
I O = 25 mr 2 + m + r  +
12

4
4
L’equazione dei momenti si scrive
l

l
I O &θ& + mg  + r  sen θ − mg sen θ = 0
4

4
da cui si ricava
I0
T = 2π
= 12,96 s.
mgr
ooooo