Espressione della potenza attiva nei circuiti trifasi dissimmetrici e

Sistemi trifasi
ESPRESSIONE DELLA POTENZA ATTIVA NEI CIRCUITI TRIFASI DISSIMMETRICI E
SQUILIBRATI
La potenza attiva in un circuito trifase è la somma delle potenze attive di ciascuna fase,
dove E1 , E2 , E3 sono le tre tensioni stellate riferite ad un opportuno centro stella ed
I1 , I2 , I3 le tre correnti di linea.
P = P1 + P2 + P3 = E1 ⋅ I1 ⋅ cos ϕ1 + E2 ⋅ I2 ⋅ cos ϕ2 + E3 ⋅ I3 ⋅ cos ϕ3
Se il sistema trifase è dissimmetrico e squilibrato le tensioni e le correnti saranno
rappresentate da terne spurie di vettori, per cui scomponendoli nei rispettivi componenti
simmetrici si ha:
S ( E ) = S 0 ( E 0 ) + S 1( E d ) + S 2 ( E i )
S( I ) = S 0 ( I0 ) + S1( Id ) + S 2 ( Ii )
La potenza attiva del sistema trifase sarà la somma delle potenze attive risultanti da
ciascun componente del sistema delle tensioni con ciascun componente del sistema delle
correnti. Però si dimostra che la potenza risultante da due componenti simmetrici di
sequenza diversa è nulla (dimostrazione riportata alla fine del paragrafo), per cui la
potenza sarà costituita solo da componenti simmetrici di eguale sequenza.
P = 3 ⋅ E0 ⋅ I0 ⋅ cos ϕ0 + 3 ⋅ Ed ⋅ Id ⋅ cos ϕd + 3 ⋅ Ei ⋅ Ii ⋅ cos ϕi = P0 + Pd + Pi
L’espressione completa di cui sopra vale per sistemi dissimmetrici e squilibrati nei quali il
sistema delle correnti è spurio ( I0 ≠ 0) .
Nei sistemi dissimmetrici e squilibrati nei quali il sistema delle correnti è puro ( I0 = 0) si ha:
P = Pd + Pi = 3 ⋅ Ed ⋅ Id ⋅ cos ϕd + 3 ⋅ Ei ⋅ Ii ⋅ cos ϕi
cioè la potenza P è indipendente dal punto rispetto al quale si misurano le tensioni di fase,
perché sappiamo che Ed ed Ei sono invariabili al variare di questo punto, per una stessa
sezione di un circuito trifase
Nei sistemi simmetrici e comunque squilibrati (Ei = 0 , E0 = 0) si ha:
P = 3 ⋅ E ⋅ Id ⋅ cos ϕd
cioè la potenza utile è dovuta esclusivamente al componente diretto delle correnti. Il
componente inverso non fa che squilibrare, ossia rendere diverse le tre potenze di fase,
ma non concorre alla potenza del sistema.
Nei sistemi simmetrici ed equilibrati
(E = E1 = E2 = E3
;
I = I1 = I2 = I3
1 di 2
;
ϕ = ϕ1 = ϕ2 = ϕ3 )
Sistemi trifasi
Si ha:
P = 3 ⋅ E ⋅ I ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ V ⋅ I ⋅ cos ϕ
Dimostrazione:
Supponendo diretto il sistema S(Ea ) delle tensioni ed inverso quello S( Ia ) delle correnti.
Allora le tre potenze per fase sono:
Pa = Ea ⋅ Ia ⋅ cos ϕa
⎛2
⎞
Pb = Eb ⋅ Ib ⋅ cos ϕb = Ea ⋅ Ia ⋅ cos ⎜ π + ϕa ⎟
⎝3
⎠
⎛4
⎞
Pc = Ec ⋅ Ic ⋅ cos ϕc = Ea ⋅ Ia ⋅ cos ⎜ π + ϕa ⎟
⎝3
⎠
Ea
Ia
φa
2
3
4
ϕc = π + ϕ a
3
ϕ b = π + ϕa
φc
Ib
φb
Eb
Ec
Ic
E la loro somma:
⎧
⎛2
⎞
⎛4
⎞⎫
P = Ea ⋅ Ia ⎨cos ϕa + cos ⎜ π + ϕa ⎟ + cos ⎜ π + ϕa ⎟ ⎬
⎝3
⎠
⎝3
⎠⎭
⎩
diviene nulla perché è nulla l’espressione fra parentesi.
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