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La curva del reddito
Cenni di Meccanica statistica
La curva della ricchezza
Giuseppe Toscani
Dipartimento di Matematica
Università di Pavia
12 giugno 2014
Econofisica e modelli collisionali
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La curva del reddito
Cenni di Meccanica statistica
Outline
1
La curva del reddito
Le code di Pareto
Meccanica statistica e comportamento umano
2
Cenni di Meccanica statistica
Sistemi di particelle
3
Econofisica e modelli collisionali
Cosa è l’econofisica
Strumenti matematici e fisici
Econofisica e modelli collisionali
Outlines
La curva del reddito
Il profilo tipico
Cenni di Meccanica statistica
Econofisica e modelli collisionali
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La curva del reddito
Cenni di Meccanica statistica
Econofisica e modelli collisionali
A proposito del grafico
Sia y = F (w ) ∼
= w −p per w ≥ a > 0.
Poniamo
x = log w ,
z = log y
Scala bi − logaritmica
Allora, per x ≥ log a
z = log y = log w −p = −p log w = −px.
Retta a coefficiente angolare negativo (pendenza −p).
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Cenni di Meccanica statistica
Econofisica e modelli collisionali
Le distribuzioni di Pareto
Fra i modelli di probabilità continui si introducono le
Distribuzioni di Pareto.
Sia a una costante positiva. La Funzione di distribuzione è
G (x) = 0
G (x) = 1 −
se x < a
a p
x
se x ≥ a
Per p ≤ 1 il valor medio è infinito. Per 1 < p ≤ 2 il valor
medio è finito, e la varianza infinita.
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Econofisica e modelli collisionali
Le code di Pareto
Le origini
Alla fine dell’ottocento, Vilfredo Pareto ha studiato la
distribuzione delle entrate fiscali di diversi paesi occidentali,
trovando per la curva del reddito una legge polinomiale
(inversa) [V.Pareto, Cours d’Economie Politique, (1897)].
Per la parte ricca della popolazione, la distribuzione risulta
essere del tipo appena descritto.
Rodolfo Benini
[Di alcune curve descritte da fenomeni economici (1897)],
negli stessi anni professore a Pavia, ha contribuito allo stesso
studio.
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Econofisica e modelli collisionali
Le code di Pareto
Una breve storia
L’intuizione di Pareto è nata dallo studio delle tavole di
distribuzione del reddito (Fitting).
Nel 1925, Amoroso presentò uno studio analitico rigoroso della
trottola sociale [Ricerche intorno alla curva dei redditi(1925)].
Nel 1932 D’Addario
[Intorno alla curva dei redditi di Amoroso (1932)] ritornò sul
problema, facendo conoscere il lavoro di Amoroso agli
economisti
Questi ed altri lavori del periodo non entrarono nel merito
della formazione della curva del reddito.
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Econofisica e modelli collisionali
Le code di Pareto
La storia recente
Pareto credette (erroneamente) che la legge di potenza si
applicasse all’intera distribuzione della ricchezza con un
esponente universale p circa uguale a 1.5.
Solo nel 1960 Mandelbrot propose una legge di Pareto per
curva del reddito che si applica solo ai grossi patrimoni
[B.Mandelbrot, International Economic Review (1960)].
Per l’esponente p, definito come indice di Pareto, si trovò
inizialmente un valore compreso fra 1 e 3 .
Massicci studi sui dati reali di economie occidentali hanno
permesso di rilevare come la curva del reddito segua la
descrizione di Mandelbrot, e che l’indice di Pareto varia fra 1 e
2.5 (USA ∼ 1.6, Giappone ∼ 1.8 − 2.2)
[A.Drǎgulescu, V.M.Yakovenko (2000-2001)]
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Econofisica e modelli collisionali
Le code di Pareto
Conseguenze
La conseguenza principale è che tipicamente meno del 10%
della popolazione in ogni paese possiede almeno il 40% della
ricchezza totale di quel paese, e segue tale legge.
Il resto della popolazione con medio e basso reddito, in effetti
la maggioranza (90% o più), segue una distribuzione
differente, che si ipotizza essere o di tipo esponenziale
(distribuzione di Gibbs)
[A.Drǎgulescu, V.M.Yakovenko (2000-2001)] o log-normale
[T. Di Matteo, T. Aste, S.T. Hyde (2004)].
Come riprodurre in un modello matematico l’evoluzione della
curva del reddito, e su quali basi?
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Econofisica e modelli collisionali
Meccanica statistica e comportamento umano
L’idea di Angle
Angle [J. Angle, The distribution of personal wealth (1986)]
ha ipotizzato che la curva della ricchezza si forma a seguito di
molti scambi dello stesso tipo in un mercato composto da
agenti.
Gli scambi di denaro sono intesi come un gioco fra due
giocatori interazione binaria in cui vincitore e perdente sono
scelti casualmente, e il perdente cede una parte del suo denaro
al vincente.
Dieci anni più tardi in
[A.Drǎgulescu, V.M.Yakovenko (2000-2001)] si sono stabilite
forti connessioni con la meccanica statistica.
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Econofisica e modelli collisionali
Sistemi di particelle
Sistemi di molte particelle
Se si considera un sistema con un numero molto elevato di
particelle libere, la classiche equazioni della meccanica sono
praticamente inutilizzabili.
Ad esempio, il sistema costituito dalle molecole di un gas in
un centimetro cubico è di circa 1020 molecole.
Sarebbe impossibile numerare anche una piccolissima parte
delle molecole nel corso di una vita umana, che dura meno di
1010 secondi!
D’altra parte, in generale di un gas ci interessa conoscere solo
le quantità medie densità, velocità del vento, temperatura . . . .
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Econofisica e modelli collisionali
Sistemi di particelle
Il punto di vista statistico
La Meccanica Statistica considera l’evoluzione non di un
sistema, ma di un insieme di sistemi identici.
Di questi sistemi, che differiscono solo per la configurazione
iniziale, cerca di ricavare risultati sul comportamento
statistico.
Ad esempio si cerca di valutare come varia la densità di un
gas per unità di volume considerando volumi abbastanza
piccoli (1 cm3 ) ma contenente moltissime molecole.
le variabili del problema risultano molto ridotte.
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Econofisica e modelli collisionali
Sistemi di particelle
La funzione densità
Si introduce la funzione (di sette variabili)
f = f (x, v , t)
x = posizione, v = velocità, t = tempo
che fornisce la densità nello spazio delle fasi (posizione e
velocità).
La quantità
f (x, v , t)∆x∆v
ci dà la probabilità che, al tempo t, ci siano molecole nel
volumetto ∆x, centrato in x, con velocità nel volumetto ∆v ,
centrato in v .
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Econofisica e modelli collisionali
Sistemi di particelle
In generale si studia l’evoluzione temporale della funzione
densità
d
f (x, v , t) = I (interazioni tra le particelle)
dt
Le quantità
Z
Φ(x, t) =
ϕ(v )f (x, v , t)∆v
ci forniscono i momenti (dipendenti da posizione e tempo).
Nel caso di un gas la densità (ϕ(v ) = 1), la velocità media
(ϕ(v ) = v ), l’energia (ϕ(v ) = v 2 /2), ecc.
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Econofisica e modelli collisionali
Sistemi di particelle
Problemi omogenei
Problema particolare molto interessante è lo studio dell’evoluzione
temporale della funzione densità, nel caso omogeneo (f non
dipende dalla posizione x)
d
f (v , t) = I (interazioni tra le particelle)
dt
Problema storico della teoria cinetica dei gas studiato nella seconda
metà dell’ottocento da Ludwig Boltzmann, James Clerk Maxwell
e J.W. Gibbs.
Le interazioni fra le particelle portano il gas all’equilibrio ( stato di
massima entropia)
v2
ρ
M(v ) = √
e 2T .
( 2πT )3
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Econofisica e modelli collisionali
Cosa è l’econofisica
L’econofisica
Il termine fu introdotto dal fisico teorico H.E. Stanley alla
conferenza Dynamics of Complex Systems nel 1995
È un campo di ricerca interdisciplinare. Applica tecniche e
metodi sviluppati in origine nell’ambito della meccanica
statistica e teorica per sistemi sociali con molti agenti.
Analizza e modellizza proprietà statistiche di sistemi
economici e finanziari complessi.
Le interazioni binarie fra particelle vengono sostituite da
interazioni binarie fra agenti.
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Econofisica e modelli collisionali
Cosa è l’econofisica
Definizione e caratteristiche
Lo schema utilizzato è del tipo
Molecole ≈ Agenti del mercato
Energia ≈ Ricchezza
Collisioni binarie ≈ Transazioni binarie fra agenti
Cambia il tipo di quantità conservate (Tipicamente si
conserva la ricchezza media)
In presenza di quantità conservate la funzione densità si
avvivina a un profilo stazionario (l’equivalente della curva
della ricchezza)
La configurazione stazionaria della distribuzione presenta una
coda di Pareto?
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Econofisica e modelli collisionali
Strumenti matematici e fisici
Il meccanismo di interazione
Si incontrano due agenti con ricchezze v e w .
Lo scambio genera per gli agenti le nuove ricchezze v ∗ e w ∗ .
La regola di scambio (uguale per tutti gli agenti) è del tipo
v ∗ = p1 v + q1 w ;
w ∗ = p2 w + q2 v
È importante che v ∗ + w ∗ = v + w , il che impone condizioni
sui coefficienti pi e qi .
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Econofisica e modelli collisionali
Strumenti matematici e fisici
Alcuni esempi
Il vincitore prende tutto. Si lancia una moneta. Vince l’agente
con ricchezza w . In questo caso
v ∗ = 0;
w∗ = v + w
Il gioco d’azzardo: La regola di scambio è del tipo
v ∗ = π(v + w );
w ∗ = (1 − π)(v + w )
con π numero casuale con valore fra zero e uno.
Se tutti gli agenti giocano allo stesso modo, come si
distribuisce la ricchezza totale (conservata) presente nel
sistema?
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Econofisica e modelli collisionali
Strumenti matematici e fisici
Lo stato dell’arte
Sappiamo oggi che i parametri importanti nello scambio sono
la salvaguardia (non si gioca tutto in una volta), e il rischio (il
desiderio di guadagnare).
La transazione tipo che produce le code di Pareto è del tipo
v ∗ = (1 − λ)v + λw + ηv ;
w ∗ = λv + (1 − λ)w + η̃w
λ è il coefficiente di salvaguardia. η ed η̃ sono i parametri
casuali di rischio.
Se gli agenti utilizzano due coefficienti di salvaguardia diversi,
si producono effetti sulla curva della ricchezza (effetto
Argentina).
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Econofisica e modelli collisionali
Strumenti matematici e fisici
La simulazione numerica
La simulazione numerica di un mercato è naturalmente
ottenuta da metodi Montecarlo.
I dettagli microscopici dell’interazione si riflettono sul
comportamento macroscopico della distribuzione del reddito.
Le code di Pareto si formano in presenza di aleatorietà
(rischio) nelle interazioni binarie.
Il modello cinetico è in grado di descrivere economie di
mercato in condizioni estreme (curve del reddito bimodali)
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Econofisica e modelli collisionali
Strumenti matematici e fisici
Il metodo Montecarlo
Si introduce la configurazione iniziale del sistema di N agenti
(tipicamente N = 5.000). Ad ogni agente è assegnata la
ricchezza (numero w > 0)
Si estraggono a caso due agenti, e le loro ricchezze (v , w )
vengono modificate in (v ∗ , w ∗ ) in accordo alle regole di
interazione.
Si ripete il procedimento fino a che la distribuzione si
stabilizza (non ci sono più cambiamenti significativi)
Si plottano i dati ottenuti.
Per evitare oscillazioni nelle figure si riparte e si conclude un
numero elevato di volte e si prende la media.
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Econofisica e modelli collisionali
Strumenti matematici e fisici
Cumulativa vari modelli
Cumulative probability of whealths
0
10
YD
Cumulative Probability
CPT
CPT Δ w < 1
−1
10
−2
10
−3
10
−4
10
0
10
1
10
2
10
w
3
10
4
10
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Econofisica e modelli collisionali
Strumenti matematici e fisici
Cumulativa vari modelli
0
10
Cumulative probability
Boltzmann − Gibbs
−1
10
wcrt = 0
Pareto
α = 1.9
wcrt = 1
wcrt = 3
−2
10
wcrt = 4
−3
10
−4
10
−1
10
0
1
10
10
w
2
10
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Econofisica e modelli collisionali
Strumenti matematici e fisici
Bimodale Argentina
Wealth distributions
1
0.9
CCM
0.8
0.4 < wm < 0.8
Nfrac = 2
0.7
P(w)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
w
2.5
3
3.5
4
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Econofisica e modelli collisionali
Strumenti matematici e fisici
Modelli più realistici
Il risultato dello scambio dipende dal grado di conoscenza
dell’agente. Due parametri significativi: Ricchezza w ;
Conoscenza x.
Ad ogni agente è associata la coppia (x, w ) di conoscenza e
ricchezza. Il meccanismo di interazione è del tipo
v ∗ = p1 (x)v + q1 (y )w ;
w ∗ = p2 (y )w + q2 (x)v
La conoscenza agisce sul migliorare il risultato della
transazione e diminuire il rischio.
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Strumenti matematici e fisici
Ricchezza e conoscenza (Test 1)
Solution at t=100
6
5
knowledge
4
3
2
1
0
0
1
2
3
wealth
4
5
6
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Econofisica e modelli collisionali
Strumenti matematici e fisici
Ricchezza e conoscenza (Test 2)
Solution at t=100
6
5
knowledge
4
3
2
1
0
0
1
2
3
wealth
4
5
6
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Econofisica e modelli collisionali
Strumenti matematici e fisici
Marginali
Knowledge marginal density at t =100
2
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
=
=
=
=
Wealth marginal density at t =100
2
1: Boltzmann regime
1: Fokker-Planck regime
Φ: Boltzmann regime
Φ: Fokker-Planck regime
1
0.5
0
=
=
=
=
1: Boltzmann regime
1: Fokker-Planck regime
Φ: Boltzmann regime
Φ: Fokker-Planck regime
1.5
G(v)
F (x)
1.5
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
1
0.5
0
1
2
x - knowledge
3
0
0
1
2
v - wealth
3
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Econofisica e modelli collisionali
Strumenti matematici e fisici
Marginali in scala log-log
Knowledge marginal tail distribution at t =100
Wealth marginal tail distribution at t =100
10 0
Ḡ(v)
F̄(x)
10 0
10 −2
10 −4
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
=
=
=
=
10 −2
1: Boltzmann regime
1: Fokker-Planck regime
Φ: Boltzmann regime
Φ: Fokker-Planck regime
10 0
10 1
x - knowledge
10 −4
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
=
=
=
=
1: Boltzmann regime
1: Fokker-Planck regime
Φ: Boltzmann regime
Φ: Fokker-Planck regime
10 0
10 1
v - wealth
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Econofisica e modelli collisionali
Strumenti matematici e fisici
Importanza della conoscenza
Wealth vs Mean Knowledge at t=100
Wealth vs Mean Knowledge at t=100
1
1
K(w)
1.5
K(w)
1.5
0.5
0
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
w−wealth
3
3.5
4
4.5
0
5
0
0.5
1
1.5
Knowledge vs Mean Wealth at t=100
2
2.5
w−wealth
3
3.5
4
4.5
5
Knowledge vs Mean Wealth at t=100
1
1
W(x)
1.5
W(x)
1.5
0.5
0
0.5
0
0.5
1
1.5
2
x−knowledge
2.5
3
3.5
0
0
0.5
1
1.5
2
x−knowledge
2.5
3
3.5
