La curva della ricchezza - Dipartimento di Matematica
annuncio pubblicitario
Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica La curva della ricchezza Giuseppe Toscani Dipartimento di Matematica Università di Pavia 12 giugno 2014 Econofisica e modelli collisionali Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Outline 1 La curva del reddito Le code di Pareto Meccanica statistica e comportamento umano 2 Cenni di Meccanica statistica Sistemi di particelle 3 Econofisica e modelli collisionali Cosa è l’econofisica Strumenti matematici e fisici Econofisica e modelli collisionali Outlines La curva del reddito Il profilo tipico Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali A proposito del grafico Sia y = F (w ) ∼ = w −p per w ≥ a > 0. Poniamo x = log w , z = log y Scala bi − logaritmica Allora, per x ≥ log a z = log y = log w −p = −p log w = −px. Retta a coefficiente angolare negativo (pendenza −p). Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Le distribuzioni di Pareto Fra i modelli di probabilità continui si introducono le Distribuzioni di Pareto. Sia a una costante positiva. La Funzione di distribuzione è G (x) = 0 G (x) = 1 − se x < a a p x se x ≥ a Per p ≤ 1 il valor medio è infinito. Per 1 < p ≤ 2 il valor medio è finito, e la varianza infinita. Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Le code di Pareto Le origini Alla fine dell’ottocento, Vilfredo Pareto ha studiato la distribuzione delle entrate fiscali di diversi paesi occidentali, trovando per la curva del reddito una legge polinomiale (inversa) [V.Pareto, Cours d’Economie Politique, (1897)]. Per la parte ricca della popolazione, la distribuzione risulta essere del tipo appena descritto. Rodolfo Benini [Di alcune curve descritte da fenomeni economici (1897)], negli stessi anni professore a Pavia, ha contribuito allo stesso studio. Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Le code di Pareto Una breve storia L’intuizione di Pareto è nata dallo studio delle tavole di distribuzione del reddito (Fitting). Nel 1925, Amoroso presentò uno studio analitico rigoroso della trottola sociale [Ricerche intorno alla curva dei redditi(1925)]. Nel 1932 D’Addario [Intorno alla curva dei redditi di Amoroso (1932)] ritornò sul problema, facendo conoscere il lavoro di Amoroso agli economisti Questi ed altri lavori del periodo non entrarono nel merito della formazione della curva del reddito. Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Le code di Pareto La storia recente Pareto credette (erroneamente) che la legge di potenza si applicasse all’intera distribuzione della ricchezza con un esponente universale p circa uguale a 1.5. Solo nel 1960 Mandelbrot propose una legge di Pareto per curva del reddito che si applica solo ai grossi patrimoni [B.Mandelbrot, International Economic Review (1960)]. Per l’esponente p, definito come indice di Pareto, si trovò inizialmente un valore compreso fra 1 e 3 . Massicci studi sui dati reali di economie occidentali hanno permesso di rilevare come la curva del reddito segua la descrizione di Mandelbrot, e che l’indice di Pareto varia fra 1 e 2.5 (USA ∼ 1.6, Giappone ∼ 1.8 − 2.2) [A.Drǎgulescu, V.M.Yakovenko (2000-2001)] Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Le code di Pareto Conseguenze La conseguenza principale è che tipicamente meno del 10% della popolazione in ogni paese possiede almeno il 40% della ricchezza totale di quel paese, e segue tale legge. Il resto della popolazione con medio e basso reddito, in effetti la maggioranza (90% o più), segue una distribuzione differente, che si ipotizza essere o di tipo esponenziale (distribuzione di Gibbs) [A.Drǎgulescu, V.M.Yakovenko (2000-2001)] o log-normale [T. Di Matteo, T. Aste, S.T. Hyde (2004)]. Come riprodurre in un modello matematico l’evoluzione della curva del reddito, e su quali basi? Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Meccanica statistica e comportamento umano L’idea di Angle Angle [J. Angle, The distribution of personal wealth (1986)] ha ipotizzato che la curva della ricchezza si forma a seguito di molti scambi dello stesso tipo in un mercato composto da agenti. Gli scambi di denaro sono intesi come un gioco fra due giocatori interazione binaria in cui vincitore e perdente sono scelti casualmente, e il perdente cede una parte del suo denaro al vincente. Dieci anni più tardi in [A.Drǎgulescu, V.M.Yakovenko (2000-2001)] si sono stabilite forti connessioni con la meccanica statistica. Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Sistemi di particelle Sistemi di molte particelle Se si considera un sistema con un numero molto elevato di particelle libere, la classiche equazioni della meccanica sono praticamente inutilizzabili. Ad esempio, il sistema costituito dalle molecole di un gas in un centimetro cubico è di circa 1020 molecole. Sarebbe impossibile numerare anche una piccolissima parte delle molecole nel corso di una vita umana, che dura meno di 1010 secondi! D’altra parte, in generale di un gas ci interessa conoscere solo le quantità medie densità, velocità del vento, temperatura . . . . Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Sistemi di particelle Il punto di vista statistico La Meccanica Statistica considera l’evoluzione non di un sistema, ma di un insieme di sistemi identici. Di questi sistemi, che differiscono solo per la configurazione iniziale, cerca di ricavare risultati sul comportamento statistico. Ad esempio si cerca di valutare come varia la densità di un gas per unità di volume considerando volumi abbastanza piccoli (1 cm3 ) ma contenente moltissime molecole. le variabili del problema risultano molto ridotte. Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Sistemi di particelle La funzione densità Si introduce la funzione (di sette variabili) f = f (x, v , t) x = posizione, v = velocità, t = tempo che fornisce la densità nello spazio delle fasi (posizione e velocità). La quantità f (x, v , t)∆x∆v ci dà la probabilità che, al tempo t, ci siano molecole nel volumetto ∆x, centrato in x, con velocità nel volumetto ∆v , centrato in v . Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Sistemi di particelle In generale si studia l’evoluzione temporale della funzione densità d f (x, v , t) = I (interazioni tra le particelle) dt Le quantità Z Φ(x, t) = ϕ(v )f (x, v , t)∆v ci forniscono i momenti (dipendenti da posizione e tempo). Nel caso di un gas la densità (ϕ(v ) = 1), la velocità media (ϕ(v ) = v ), l’energia (ϕ(v ) = v 2 /2), ecc. Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Sistemi di particelle Problemi omogenei Problema particolare molto interessante è lo studio dell’evoluzione temporale della funzione densità, nel caso omogeneo (f non dipende dalla posizione x) d f (v , t) = I (interazioni tra le particelle) dt Problema storico della teoria cinetica dei gas studiato nella seconda metà dell’ottocento da Ludwig Boltzmann, James Clerk Maxwell e J.W. Gibbs. Le interazioni fra le particelle portano il gas all’equilibrio ( stato di massima entropia) v2 ρ M(v ) = √ e 2T . ( 2πT )3 Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Cosa è l’econofisica L’econofisica Il termine fu introdotto dal fisico teorico H.E. Stanley alla conferenza Dynamics of Complex Systems nel 1995 È un campo di ricerca interdisciplinare. Applica tecniche e metodi sviluppati in origine nell’ambito della meccanica statistica e teorica per sistemi sociali con molti agenti. Analizza e modellizza proprietà statistiche di sistemi economici e finanziari complessi. Le interazioni binarie fra particelle vengono sostituite da interazioni binarie fra agenti. Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Cosa è l’econofisica Definizione e caratteristiche Lo schema utilizzato è del tipo Molecole ≈ Agenti del mercato Energia ≈ Ricchezza Collisioni binarie ≈ Transazioni binarie fra agenti Cambia il tipo di quantità conservate (Tipicamente si conserva la ricchezza media) In presenza di quantità conservate la funzione densità si avvivina a un profilo stazionario (l’equivalente della curva della ricchezza) La configurazione stazionaria della distribuzione presenta una coda di Pareto? Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Strumenti matematici e fisici Il meccanismo di interazione Si incontrano due agenti con ricchezze v e w . Lo scambio genera per gli agenti le nuove ricchezze v ∗ e w ∗ . La regola di scambio (uguale per tutti gli agenti) è del tipo v ∗ = p1 v + q1 w ; w ∗ = p2 w + q2 v È importante che v ∗ + w ∗ = v + w , il che impone condizioni sui coefficienti pi e qi . Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Strumenti matematici e fisici Alcuni esempi Il vincitore prende tutto. Si lancia una moneta. Vince l’agente con ricchezza w . In questo caso v ∗ = 0; w∗ = v + w Il gioco d’azzardo: La regola di scambio è del tipo v ∗ = π(v + w ); w ∗ = (1 − π)(v + w ) con π numero casuale con valore fra zero e uno. Se tutti gli agenti giocano allo stesso modo, come si distribuisce la ricchezza totale (conservata) presente nel sistema? Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Strumenti matematici e fisici Lo stato dell’arte Sappiamo oggi che i parametri importanti nello scambio sono la salvaguardia (non si gioca tutto in una volta), e il rischio (il desiderio di guadagnare). La transazione tipo che produce le code di Pareto è del tipo v ∗ = (1 − λ)v + λw + ηv ; w ∗ = λv + (1 − λ)w + η̃w λ è il coefficiente di salvaguardia. η ed η̃ sono i parametri casuali di rischio. Se gli agenti utilizzano due coefficienti di salvaguardia diversi, si producono effetti sulla curva della ricchezza (effetto Argentina). Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Strumenti matematici e fisici La simulazione numerica La simulazione numerica di un mercato è naturalmente ottenuta da metodi Montecarlo. I dettagli microscopici dell’interazione si riflettono sul comportamento macroscopico della distribuzione del reddito. Le code di Pareto si formano in presenza di aleatorietà (rischio) nelle interazioni binarie. Il modello cinetico è in grado di descrivere economie di mercato in condizioni estreme (curve del reddito bimodali) Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Strumenti matematici e fisici Il metodo Montecarlo Si introduce la configurazione iniziale del sistema di N agenti (tipicamente N = 5.000). Ad ogni agente è assegnata la ricchezza (numero w > 0) Si estraggono a caso due agenti, e le loro ricchezze (v , w ) vengono modificate in (v ∗ , w ∗ ) in accordo alle regole di interazione. Si ripete il procedimento fino a che la distribuzione si stabilizza (non ci sono più cambiamenti significativi) Si plottano i dati ottenuti. Per evitare oscillazioni nelle figure si riparte e si conclude un numero elevato di volte e si prende la media. Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Strumenti matematici e fisici Cumulativa vari modelli Cumulative probability of whealths 0 10 YD Cumulative Probability CPT CPT Δ w < 1 −1 10 −2 10 −3 10 −4 10 0 10 1 10 2 10 w 3 10 4 10 Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Strumenti matematici e fisici Cumulativa vari modelli 0 10 Cumulative probability Boltzmann − Gibbs −1 10 wcrt = 0 Pareto α = 1.9 wcrt = 1 wcrt = 3 −2 10 wcrt = 4 −3 10 −4 10 −1 10 0 1 10 10 w 2 10 Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Strumenti matematici e fisici Bimodale Argentina Wealth distributions 1 0.9 CCM 0.8 0.4 < wm < 0.8 Nfrac = 2 0.7 P(w) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 w 2.5 3 3.5 4 Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Strumenti matematici e fisici Modelli più realistici Il risultato dello scambio dipende dal grado di conoscenza dell’agente. Due parametri significativi: Ricchezza w ; Conoscenza x. Ad ogni agente è associata la coppia (x, w ) di conoscenza e ricchezza. Il meccanismo di interazione è del tipo v ∗ = p1 (x)v + q1 (y )w ; w ∗ = p2 (y )w + q2 (x)v La conoscenza agisce sul migliorare il risultato della transazione e diminuire il rischio. Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Strumenti matematici e fisici Ricchezza e conoscenza (Test 1) Solution at t=100 6 5 knowledge 4 3 2 1 0 0 1 2 3 wealth 4 5 6 Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Strumenti matematici e fisici Ricchezza e conoscenza (Test 2) Solution at t=100 6 5 knowledge 4 3 2 1 0 0 1 2 3 wealth 4 5 6 Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Strumenti matematici e fisici Marginali Knowledge marginal density at t =100 2 Ψ Ψ Ψ Ψ = = = = Wealth marginal density at t =100 2 1: Boltzmann regime 1: Fokker-Planck regime Φ: Boltzmann regime Φ: Fokker-Planck regime 1 0.5 0 = = = = 1: Boltzmann regime 1: Fokker-Planck regime Φ: Boltzmann regime Φ: Fokker-Planck regime 1.5 G(v) F (x) 1.5 Ψ Ψ Ψ Ψ 1 0.5 0 1 2 x - knowledge 3 0 0 1 2 v - wealth 3 Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Strumenti matematici e fisici Marginali in scala log-log Knowledge marginal tail distribution at t =100 Wealth marginal tail distribution at t =100 10 0 Ḡ(v) F̄(x) 10 0 10 −2 10 −4 Ψ Ψ Ψ Ψ = = = = 10 −2 1: Boltzmann regime 1: Fokker-Planck regime Φ: Boltzmann regime Φ: Fokker-Planck regime 10 0 10 1 x - knowledge 10 −4 Ψ Ψ Ψ Ψ = = = = 1: Boltzmann regime 1: Fokker-Planck regime Φ: Boltzmann regime Φ: Fokker-Planck regime 10 0 10 1 v - wealth Outlines La curva del reddito Cenni di Meccanica statistica Econofisica e modelli collisionali Strumenti matematici e fisici Importanza della conoscenza Wealth vs Mean Knowledge at t=100 Wealth vs Mean Knowledge at t=100 1 1 K(w) 1.5 K(w) 1.5 0.5 0 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 w−wealth 3 3.5 4 4.5 0 5 0 0.5 1 1.5 Knowledge vs Mean Wealth at t=100 2 2.5 w−wealth 3 3.5 4 4.5 5 Knowledge vs Mean Wealth at t=100 1 1 W(x) 1.5 W(x) 1.5 0.5 0 0.5 0 0.5 1 1.5 2 x−knowledge 2.5 3 3.5 0 0 0.5 1 1.5 2 x−knowledge 2.5 3 3.5
