Paper: MODELLI DINAMICI DI FENOMENI FISICI
Dott. Lotti Nevio
www.lvproject.com
MODELLI DINAMICI DI FENOMENI FISICI
Dott. Lotti Nevio
Nello sforzo che facciamo di rappresentare il mondo che ci circonda siamo come quel bambino
che curioso vuol capire come funziona l’orologio appeso alla parete … (Einstein)
Abstract: Proponiamo tre modelli dinamici, costruiti con Cabri Pus, di fenomeni
fisici che riteniamo particolarmente significativi. Nel primo ci occupiamo di attrito
su piano inclinato. L’attrito ha aspetti particolarmente importanti e sfuggenti che
cerchiamo di rendere evidenti. Un corpo che striscia su un piano inclinato è
soggetto ad una forza di attrito che in salita ha un verso e in discesa un altro. E
se in salita l’attrito può essere più forte della componente del peso parallela al
piano, non può esserlo in discesa. Nel secondo riproponiamo gli orologi di zio
Albert. Nel nostro modello vediamo due orologi: uno fermo e l’altro in moto
rispetto al primo con velocità confrontabili con la velocità della luce. Sul
secondo si riproducono gli effetti relativistici della dilatazione del tempo e della
contrazione dello spazio. Nel terzo proponiamo un confronto tra il moto di un
proiettile nel campo gravitazionale ed il moto dello stesso proiettile quando al
campo gravitazionale si sovrappone una forza viscosa
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Il piano inclinato e l’attrito
Il moto di un oggetto, A, lungo un piano inclinato, Q, è determinato dalla
componente Px del peso, P, di A parallela a Q e dalla forza di attrito tra Q ed A.
Nel caso in cui il piano sia liscio la risultante delle forze agenti su A è Px,
Figura 1. Px è la risultante se il piano è liscio
Il moto di A è regolato, sia in salita che in discesa, dall’accelerazione costante
a = g ⋅ sen(α ) , dove g è l’accelerazione di gravità ed α è l’angolo che Q forma
con l’orizzonte. Nel modello che proponiamo, costruito con Cabri Plus, è
possibile fissare i valori di: α , g , l , vo ed m e partendo da questi è possibile
calcolare il peso, le sue componenti Px e Py , rispettivamente parallela e
perpendicolare a Q, l’accelerazione e la posizione, x, di A su Q in funzione del
tempo. Supponendo di lanciare A su Q verso l’alto, calcoliamo la velocità
iniziale massima voMax conferibile ad A perché non fuoriesca dal piano. In tal
modo siamo sicuri del ritorno di A. Associato il valore del tempo con la
posizione di un punto t su un vettore T definito ad hoc, servendoci della legge
1
del moto x = v0 ⋅ t + a ⋅ t 2 , leghiamo la posizione di A a quella di t, in modo che
2
animando t vedremo scorrere A su Q, sia in salita che in discesa
Figura 2. Animando t su T vedremo scorrere A su Q
Questo moto di A è un perfetto moto uniformemente accelerato. Se lo
rappresentassimo in un piano XOT vedremmo una parabola caratterizzata
completamente dai parametri del moto. È possibile variare questi e vedere
come cambia la parabola rappresentativa del moto. Ma soprattutto è possibile,
rianimando t, vedere come cambiano il tempo di salita, che comunque è uguale
al tempo di discesa, la distanza percorsa lungo il piano. È possibile notare la
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dipendenza dei tempi e delle distanze dai valori di α , di vo e di g . È anche
possibile scoprire l’indipendenza del moto dalla massa di A.
Figura 3. Il moto lungo un piano inclinato liscio è uniformemente accelerato
Se il piano è scabro ed indichiamo con µ il coefficiente di attrito tra A e Q allora
la situazione diventa alquanto più interessante. Detta Fa la forza di attrito, risulta
Fa = µ ⋅ Py = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos(α ) e la risultante delle forze agenti su A è: Rs = − Px − Fa
se A sale,
Figura 4 . In salita l'attrito è concorde con Px
Se A scende lungo il piano Rd = − Px + Fa
Figura 5. In discesa Fa e Px sono discordi
Avendo due risultanti diverse, avremo due accelerazioni diverse, quindi due
moti non simmetrici uno dell’altro rispetto al tempo di arresto di A. Infatti, mentre
in salita il moto è regolato dall’accelerazione as = − g (sin (α ) + µ ⋅ cos(α )) , in
discesa risulta ad = − g (sin (α ) − µ ⋅ cos(α ))
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Figura 6. Il grafico del moto di A si compone di due archi di parabole diverse
Variando i parametri che caratterizzano il moto, cioè l’angolo, il coefficiente di
attrito, la velocità iniziale, la lunghezza del piano, la massa di A e perfino il
valore del campo gravitazionale, è possibile osservare come ciascuno di essi
influenzi il fenomeno oggetto di osservazione. In particolare, agendo su α o su
µ è possibile fare in modo che A, arrestatosi dopo la salita, non ritorni giù.
Questo capita quando il modulo di Fa in salita è maggiore o uguale al modulo di
Px. In tal caso, in discesa sarà Fa = − Px con conseguente risultante nulla ed il
corpo fermo resterà fermo, dovunque esso si trovi
Figura 7. In particolari condizioni A si ferma e non torna giù
Gli orologi
L’orologio Cabri
Sembra facile (ma non è difficile) costruire un modello che riproduca il
movimento delle lancette di un orologio. Così sarebbe se l’orologio avesse una
sola lancetta: costruita una circonferenza ed un vettore applicato nel centro e
con l’estremo libero sulla circonferenza, l’animazione dell’estremo libero
risolverebbe il problema
La cosa si complica se le lancette sono due. Perché per ogni giro della prima, la
seconda deve ruotare di sei gradi intorno al centro, in modo tale che quando la
prima lancetta avrà fatto sessanta giri, la piccola ne avrà fatto uno. Ho pensato
di risolvere così il problema:
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1) rettifico sessanta giri: moltiplicando per sessanta la lunghezza della
circonferenza, riportando il valore su una semiretta e disegnando il
vettore V con origine nell’origine della semiretta e fine nel valore riportato
2) fissando un punto mobile, P, sul vettore V, la distanza di P da O, origine
del vettore, rappresenta, opportunamente proporzionata, il tempo che
scorre, a partire da zero. La proporzione che consente questo passaggio
è la seguente:
γ : 60 = d : t ,
dove γ è la lunghezza di un giro, d la distanza percorsa da P su V e t il
tempo in secondi (ovviamente qui il secondo non ha niente a che vedere
con la corrispondente unità di misura del S.I.).
3) moltiplico t per 6 e col risultato ruoto l’apice dell’orologio (il punto più
alto) intorno al centro in senso orario. Ottengo così il punto Q sulla
circonferenza che la percorre all’unisono col moto del punto P su V
4) il vettore che lega il centro C
di γ a Q è la prima lancetta
12
1
11
10
2
C
9
3
Q
8
4
7
5
6
5) per la seconda lancetta fisso
un punto al di sotto del 12 e lo
ruoto in senso orario con una
rotazione
pari
ad
un
sessantesimo
della
precedente. Ottengo così il
punto M. Un secondo vettore
applicato in C e diretto in M si
muoverà come la seconda
lancetta
12
1
11
M
10
2
C
9
3
8
4
7
5
6
6) a questo punto l’orologio è pronto: l’animazione di P lo mette in funzione.
Se questo orologio rimane solo non è granché utile. Possiamo però
accompagnarlo con il suo gemello, che decide di volarsene via inseguendo
avventure astronomiche a velocità confrontabili con quella della luce.
L’orologio di zio Albert.
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A partire da C tracciamo una semiretta, s, parallela a V. Questa sarà la guida
lungo la quale si muoverà l’avventuriero. Su s fissiamo un punto C’ e col vettore
CC’ trasliamo tutto, tranne i punti Q, M e le lancette. Costruiamo l’espressione
v2
t ⋅ 1 − 2 , che ci consentirà di determinare il tempo, t’, visto da C su C’. Per
c
v
costruire il rapporto
possiamo fare così: internamente al vettore c costruiamo
c
il vettore v; il rapporto tra la lunghezza di v e quella di c ci fornirà il rapporto
cercato. Pertanto il calcolo di t’ potrà essere fatto applicando l’espressione
suddetta al valore di t per t, alla lunghezza di c per c ed alla lunghezza di v per
v. Ora non resta altro da fare che ripetere i passi compiuti, a partire dal terzo,
sul nuovo orologio.
Vien fuori il seguente:
Animando il punto P, come per magia, i due orologi segneranno tempi diversi:
in C si svolgerà il tempo proprio, mentre in C’ si svolgerà il tempo che
l’osservatore in C vede su C’. È possibile, muovendo l’estremo libero del vettore
v, modificare il rapporto
v
e vedere all’istante come cambia il tempo segnato
c
su C’. Interessanti sono i casi limite:
v=0
v=c
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Ma la storia non finisce qui! Perché una mattina, di buon ora, mentre me
n’andavo a spigolare, si presenta zio Albert e mi fa :”E la contrazione dello
spazio non ce la metti?” “Hai ragione, zio” gli rispondo :”Mo’ te la faccio, se ci
riesco!”
“Però mo’ non chiedermi come ho fatto. Forse te lo dirò la prossima volta, se ci
rivedremo”.
Moto di un proiettile in un mezzo viscoso
Descriviamo, ora, il modello relativo al moto di un corpo sottoposto ad una forza
ds
viscosa unidimensionale Fvis. = − k , dove k è il coefficiente di viscosità che
dt
dipende dal mezzo considerato e dalla forma del corpo in esame. La legge
oraria del moto di tale corpo si ottiene a partire dalla seconda legge della
dinamica
m
d 2s
ds
+k =0.
2
dt
dt
(4)
Fissate le condizioni iniziali (al tempo t = 0 )
s(0 ) = s 0
,
ds
= v0
dt
t =0
(5)
la soluzione dell’Eq.(4) assume la seguente forma
k
s( t ) = s 0 +
− t
m
m
v0 − v0e m .
k
k
(6)
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Il valore s(t ) della posizione del corpo all’istante t dipende dai valori di m , k ,
s 0 e v 0 . Si noti che al tendere di t all’infinito, la funzione data dall’Eq.(6) tende
m
asintoticamente al valore s(∞ ) = s 0 + v 0 . In Fig.8 rappresentiamo il grafico
k
spazio-tempo relativo all’Eq. (6), fissati i valori di s 0 , m , k , e v 0 .
Figura 8. grafico spazio-tempo di un moto viscoso unidimensionale
Vediamo quale sia l’evoluzione temporale della cinematica di un corpo,
sottoposto a forza viscosa in un campo gravitazionale, che viene lanciato verso
l’alto con velocità iniziale v 0 a partire dalla posizione iniziale s 0 . Rispetto al
caso precedente, nella seconda legge della dinamica, ora, compare anche la
forza peso
d 2s
ds
m 2 + k + mg = 0 .
dt
dt
(7)
Fissate le condizioni iniziali come in (5), soluzione dell’Eq.(7) è
k
m
m
m
m
m − t
s (t ) = s 0 + v 0 + g − g t − v 0 + g e m .
k
k
k
k
k
(8)
In Fig.9 rappresentiamo i grafici spazio-tempo e velocità-tempo del moto in
esame, per fissati valori di s 0 , v 0 e del rapporto m / k . Cambiando i valori di
queste grandezze è possibile vedere all’istante come cambiano i grafici e così
rendersi conto dell’influenza che ciascuno di essi ha sul moto.
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Figura 9. grafici: spazio-tempo e velocità-tempo di un corpo in moto in un campo gravitazionale e sottoposto
all'azione di una forza viscosa unidimensionale
Ora siamo pronti per un confronto tra due moti bidimensionali: il moto
parabolico, dato dalla composizione di un moto rettilineo uniforme e di un moto
uniformemente accelerato, ed il moto di un corpo sottoposto ad una forza
r
r
viscosa Fv = − kv in presenza del campo gravitazionale.
La legge oraria di un moto parabolico è dato dalle equazioni
x (t ) = x 0 + v 0 x t
.
1 2
y
(
t
)
=
−
gt
+
v
t
+
y
0y
0
2
(9)
Eliminando il tempo t dalle equazioni (9), si ottiene la traiettoria che è,
ovviamente, una parabola.
r
r
La legge oraria del moto di un corpo sottoposto ad forza viscosa Fvis. = − kv in
presenza del campo gravitazionale è data dalle equazioni
k
− t
m
m
m
(
)
x
t
=
x
+
v
−
v
e
0
0x
0x
k
k
.
k
− t
m
m
m
m
m
y(t ) = y + v + g − g t − v + g e m
0
0y
0y
k
k
k
k
k
(10)
Assegnate le espressioni per x e per y e fissato t ad un punto di un vettore T
costruito ad hoc, si trasportano i valori calcolati di x e di y in funzione di t sui
rispettivi assi. Si individua così un punto P nel piano rappresentativo della
posizione del corpo. L’animazione di t mette in moto P che così descrive la
traiettoria nel piano XOY soluzione delle (10).
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Figura 10. confronto tra moti di un corpo sottoposto solo al campo gravitazionale e sottoposto anche ad una
forza viscosa
Tale traiettoria, evidentemente, non è una parabola. La parabola è invece
ottenibile come traiettoria limite quando il rapporto m / k tende all’infinito.
