Problemi di instabilità non Euleriana

Laurea Magistrale – Ingegneria Meccanica
A.A. 2011 / 2012
Cenni ad aspetti non classici
per problemi di instabilit
à
instabilità
dell
’equilibrio
dell’equilibrio
G.
G. Vairo
Vairo -- Complementi
Complementi di
di Scienza
Scienza delle
delle Costruzioni
Costruzioni (Ing.
(Ing. Meccanica)
Meccanica)
1
Instabilità Euleriana dei pannelli
Il caso di pannelli semplicemente appoggiati sul contorno
l
F [N/m]
a
F
h
⎛1 1 ⎞
Fcr = Dπ 2 l 2 ⎜ 2 + 2 ⎟
a ⎠
⎝l
D
Fcr ≅ 4π 2 2
a
Eh 3
D=
12(1 − ν 2 )
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2
per l < a
per l ≥ a
Problemi di instabilità Euleriana
La linearità di comportamento in fase precritica implica che la configurazione
fondamentale si possa valutare in ipotesi di
piccoli spostamenti/deformazioni
• Biforcazione dei percorsi di equilibrio
• Le condizioni critiche di instabilità intese in
senso sia dinamico che statico coincidono
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità Euleriana
Euleriana
Instabilità per diramazione stabile
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità Euleriana
Euleriana
Instabilità per diramazione instabile
!
Maggiore sensibilità alle imperfezioni (P/P*<1)
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità Euleriana
Euleriana
Instabilità per diramazione instabile
!
Maggiore sensibilità alle imperfezioni (P/P*<1)
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5
Problemi di instabilità non Euleriana
Pur se comprende molte situazioni di notevole rilevanza ingegneristica, la
categoria dei problemi Euleriani non esaurisce tutti i casi di interesse
Problemi non Euleriani
• comportamento non elastico del materiale
• forze non conservative
• non linearità di comportamento anche per bassi carichi
• Non si hanno biforcazioni nei percorsi di equilibrio
• Instabilità in senso dinamico e statico possono non coincidere
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6
7
Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
Non-linearità anche per bassi carichi
F
l
1
k
α
2
EI
k
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
Non-linearità anche per bassi carichi
α
k
2
θ
1
F
1
(sin θ − sin α)
=
2kl tan θ
F
N1
k
N2
F
δ
δ
N2
F
N1 = N 2 =
2 cos θ
k
N2
N
F
sin θ = 1 sin θ =
tan θ
2k
k
k
δ = l(sin θ − sin α)
δ=
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θ
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
Non-linearità anche per bassi carichi
α
1
k
θ
N1 = N 2 =
F
2
F
2 cos θ
k
π 2 EI
β=
kl 3
F
1
=
(sin θ − sin α)
2kl tan θ
π 2 EI
FE = 2 cos θ 2
l
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⇒
FE
= β cos θ
2kl
12
Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
FE
(β = 0.3)
2kl
Snap-through (instabilità a scatto)
F
2kl
B
FE
(β = 0.15)
2kl
B’
A’
A
π
α
π 2 EI
FE = 2 cos θ 2
l
⇒
FE
= β cos θ
2kl
π 2 EI
β=
kl 3
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F
1
=
(sin θ − sin α)
2kl tan θ
Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
Non-linearità anche per bassi carichi
Snap-through (instabilità a scatto)
Tipica di archi e volte
Non esistono biforcazioni nei percorsi di equilibrio
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
Instabilità dinamica in presenza
di forze non conservative
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15
Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
sistema conservativo
sistema non conservativo
P
P
forza “follower”
2 gradi di libertà
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
sistema conservativo
Equilibrio a rotazione linearizzato a precedere e
seguire rispetto alla cerniera interna
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
sistema conservativo
Equilibrio dinamico
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
sistema conservativo
Equilibrio statico
ricerca soluzione non banale
p1 e p2 corrispondono a condizioni di biforcazione nei percorsi di equilibrio
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
sistema conservativo
Equilibrio dinamico
problema lineare agli autovalori (ω2)
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
sistema conservativo
det
=0
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20
21
Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
sistema conservativo
ω12 , ω22 > 0
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⇒ ω1 , ω2 reali
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
sistema conservativo
DIVERGENZA
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
sistema conservativo
ω12 , ω22 < 0
frequenze complesse a parte reale nulla
DIVERGENZA
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
sistema non conservativo
Non esistono punti di biforcazione
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
sistema non conservativo
Analisi statica (no inerzie)
Non esistono punti di biforcazione
secondo un’analisi statica il sistema non dovrebbe
soffrire instabilità per ogni valore del carico
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
sistema non conservativo
Analisi dinamica
problema lineare agli autovalori (ω2)
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
sistema non conservativo
det
=0
ω12 , ω22 > 0
p≤2
⇒ ω1 , ω2 reali
p
STABILITA’
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
sistema non conservativo
p≥4
ω12 , ω22 < 0
⇒ ω1 , ω2 complessi a parte reale nulla
DIVERGENZA
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
sistema non conservativo
2< p<4
autovalori complessi coniugati
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30
Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
sistema non conservativo
2< p<4
@
Eq. @
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
sistema non conservativo
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
Flutter
Tacoma Narrows Bridge (1940)
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
schematizzazione del ponte investito dal vento
Le forze del vento si
accoppiano con la
risposta della struttura
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
k = k1
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Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
Flutter 1 dof
dof flessionale
35
Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
Flutter 1 dof
dof torsionale
36
Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
Flutter 2 dof
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37
Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
Generazione della parturbazione
38
Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
Interazione fluido-struttura
39
Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
Interazione fluido-struttura
40
Problemi
Problemi di
di instabilità
instabilità non
non Euleriana
Euleriana
Interazione fluido-struttura
41