lo scrigno di prometeo

LO SCRIGNO DI PROMETEO
COLLANA DI DIDATTICA, DIVULGAZIONE E STORIA DELLA FISICA

Direttore
Ettore G
Università degli Studi di Milano
Piero Caldirola International Centre for the Promotion of Science
Comitato scientifico
Sigfrido B
Università degli Studi di Pavia
Giovanni F
Università degli Studi di Ferrara
Marco Alessandro Luigi G
Università degli Studi di Milano
LO SCRIGNO DI PROMETEO
COLLANA DI DIDATTICA, DIVULGAZIONE E STORIA DELLA FISICA
La conoscenza completa delle leggi fisiche è la meta più alta a cui possa aspirare un
fisico, sia che essa abbia uno scopo puramente utilitario. . . sia che egli vi cerchi la
soddisfazione di un profondo bisogno di sapere e la solida base per la sua intuizione
della natura.
Max P
La Fisica ha come scopo capire il rapporto tra l’uomo e la natura,
non solo da un punto di vista scientifico, ma anche filosofico, e ha
cambiato in modo irreversibile la nostra vita tramite le sue ricadute
tecnologiche.
La spiegazione e la divulgazione dei concetti che stanno alla sua base,
dati quasi per scontati, ma lungi dall’essere noti o compresi da molti,
e l’evoluzione delle tecniche sperimentali, che hanno permesso di
scoprire le leggi che regolano i fenomeni naturali e delle teorie via via
elaborate, sono perciò argomenti di studio e riflessione di rilevanza
primaria.
Questa collana si rivolge a chi abbia desiderio di approfondire o discutere questi temi ed è aperta a chi voglia collaborarvi con contributi
originali.
Marino Dobrowolny
Problemi aperti della Fisica
Copyright © MMXIV
ARACNE editrice S.r.l.
www.aracneeditrice.it
[email protected]
via Raffaele Garofalo, /A–B
 Roma
() 
 ----
I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,
di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopie
senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: luglio 
Indice

Introduzione

Capitolo I
Fondamenti della Meccanica quantistica
.. L’esperimento delle due fenditure,  – .. L’equazione di Schrödinger e il problema della misurazione,  – .. Indagini sul problema
fondazionale della meccanica quantistica,  – ... La teoria dell’onda
pilota,  – ... La decoerenza ambientale,  – ... L’equazione di Schrödinger modificata di Ghirardi Rimini e Weber (GRW),  – ... Un possibile
ruolo della gravità nella riduzione dello stato quantico,  – ... Meccanica
quantistica relazionale, .

Appendice 
I postulati della meccanica quantistica

Capitolo II
L’energia del vuoto quantistico
.. La nozione di campo quantistico,  – .. Modi normali dei campi e
vettori di stato,  – .. Energia di un campo nello stato di vuoto,  –
.. Calcoli della energia del vuoto,  – ... Stime della densità di energia
per il vuoto virtuale,  – ... Stima della densità di energia del vuoto dei
campi quantistici, .

Appendice 
Il principio di indeterminazione di Heisenberg

Appendice 
Il principio di esclusione di Pauli

Appendice 
Quantizzazione dell’oscillatore armonico

Indice


Appendice 
Quantizzazione del campo di Klein–Gordon

Appendice 
La lunghezza di Planck

Capitolo III
Il Modello Standard e il quadro attuale delle particelle elementari
.. Le forze fondamentali e il Modello Standard,  – .. L’Interazione
elettromagnetica,  – .. L’interazione forte,  – .. La forza debole, 
– .. Simmetrie di gauge,  – .. Rottura spontanea della simmetria, 
– .. Il campo di Higgs,  – .. L’assoluta necessità di un campo di
Higgs,  – .. Il campo di Higgs nella storia dell’Universo,  – .. Un
quadro riassuntivo delle particelle elementari, .

Appendice 
La costante di struttura fine

Appendice 
Invarianza di gauge della elettrodinamica quantistica

Capitolo IV
Oltre il Modello Standard
.. Problemi aperti del Modello Standard,  – .. I neutrini,  –
.. Il problema della gerarchia,  – .. Il problema della asimmetria
cosmica di materia e antimateria,  – .. La materia oscura,  –
.. Teorie oltre il Modello Standard,  – ... Teorie di Grande Unificazione (GUT’s),  – ... Teorie supersimmetriche,  – .. Alla caccia
della materia oscura, .

Capitolo V
L’espansione dell’Universo e le cosmologie della relatività generale
.. La scoperta di Hubble,  – .. L’espansione dell’Universo nella
meccanica newtoniana,  – .. Le cosmologie della relatività generale,  – .. La costante cosmologica,  – .. Soluzione cosmologica
con materia e costante cosmologica, .

Appendice 
Energia dello stato di vuoto dei campi quantistici
Indice


Capitolo VI
Cosmologia osservativa
.. Breve storia dell’Universo,  – .. L’Universo prima della rottura
della simmetria elettrodebole,  – .. Osservazioni della radiazione
cosmica di fondo,  – .. Misure dello spettro delle fluttuazioni di
temperatura,  – .. La scoperta della accelerazione dell’ Universo
attuale, .

Capitolo VII
L’ipotesi inflazionaria
.. Problemi con la teoria standard del Big Bang e l’ipotesi inflazionaria,  – .. Meccanismo fisico della inflazione,  – .. Il modello
ΛCDM, .

Capitolo VIII
Problemi aperti della Cosmologia
.. La costante cosmologica,  – ... Il problema della energia del
vuoto quantistico,  – ... Il problema della costante cosmologica,  –
.. L’evoluzione dell’entropia nell’Universo,  – .. Problemi connessi
con l’inflazione, .

Capitolo IX
Verso la quantizzazione della gravità: i buchi neri
.. Le singolarità delle equazioni di Einstein,  – .. Le stelle oscure di
Mitchell e Laplace,  – .. La soluzione di Schwarzschild alle equazioni
di Einstein,  – .. Evidenze osservative di buchi neri,  – .. Buchi
neri e natura dello spazio tempo,  – .. Buchi neri e termodinamica
,  – .. Radiazione di Hawking, .

Appendice 
Cenni sulla evoluzione stellare

Capitolo X
Gravità quantistica
.. Incompatibilità della meccanica quantistica con la relatività generale,  – .. Teorie delle stringhe,  – .. Gravità quantistica a
loop,  – .. La quantizzazione della geometria,  – .. Altri risultati della gravità quantistica a loop ,  – .. Verifiche sperimentali, 
Indice

– .. Il problema del tempo,  – .. Verso una teoria di tutte le
interazioni, .

Bibliografia
Introduzione
Il secolo scorso è stato caratterizzato da due grandi rivoluzioni
scientifiche che hanno ridefinito i fondamenti della fisica. Si tratta, naturalmente, della meccanica quantistica e della relatività di
Einstein.
La meccanica quantistica si può dire iniziata nel  con l’ipotesi che l’energia della radiazione si presenti in pacchetti discreti e
l’introduzione della costante di Planck.
Nel  Einstein introduceva la relatività speciale, rivoluzionando
lo spazio e il tempo newtoniani, e, circa venti anni dopo, la relatività
generale che è una teoria anche essa rivoluzionaria, della gravità,
che sostituiva la gravitazione di Newton.
Nel seguito, partendo da Dirac, la meccanica quantistica viene
combinata con la relatività speciale. Si scoprono nuove particelle
come il neutrone, il neutrino e centinaia di altre particelle elementari.
Si capisce che la totalità dei fenomeni naturali è imputabile a  forze:
l’elettromagnetismo, la gravità, la forza nucleare forte (che tiene
insieme i nuclei atomici) e la forza nucleare debole (responsabile dei
fenomeni radioattivi).
Neli anni ‘, si era arrivati a una complessa teoria, denominata
il Modello Standard delle particelle elementari, capace di spiegare
tutti gli esperimenti sulle particelle effettuati con gli acceleratori.
L’ultima scoperta sperimentale che convalida il Modello Standard,
è in effetti, quella del bosone di Higgs, rivelato nel  nel Large
Hadron Collider di Ginevra.
In maniera simile, la relatività generale di Einstein ha avuto numerose conferme sperimentali, dalla anomalia del perielio di Mercurio,
all’incurvamento dei raggi luminosi in un campo gravitazionale, alla
conferma della dilatazione del tempo (gravitational red shift). Infine
una conferma indiretta, ma molto precisa, delle onde gravitazionali
predette dalla teoria, si è ottenuta dalla osservazione della radiazione
emessa da un sistema di pulsar binarie. In conclusione, si può dire


Introduzione
che, per la prima volta nella storia della fisica, il Modello Standard
della fisica delle particelle e la relatività generale di Einstein, ci hanno
dato un background teorico in accordo, senza eccezioni, con i risultati
degli esperimenti.
A questo bisogna aggiungere che la relatività generale, applicata
da Einstein stesso all’intero Universo, prevedeva la sua espansione,
poi confermata dalle osservazioni di Hubble sull’allontanamento delle
galassie. Queste, e altre osservazioni astronomiche, sempre nel secolo
scorso, hanno consolidato la cosmologia in una scienza sperimentale.
In questo campo ha preso corpo l’ipotesi di un Big Bang iniziale e,
anche qui, è stata sviluppata quella che possiamo chiamare una teoria
standard dell’Universo primordiale.
Questo grande progresso, con le conseguenti ricadute tecnologiche, ha però lasciato alcuni problemi fondamentali aperti e, nonostante
molto lavoro, non si può dire che si sia fatto, negli anni dal  ad
oggi, un sostanziale progresso, intendendosi per sostanziale progresso
una chiarificazione definitiva dei problemi stessi.
L’opinione è, in effetti, che, per superare tali problemi, occorra introdurre dei nuovi principi fondamentali, come fu fatto per la relatività
generale e la meccanica quantistica.
Ricordo adesso brevemente quali sono questi problemi che verranno poi meglio inquadrati e discussi nel resto del libro.
Il primo problema riguarda i fondamenti della meccanica quantistica. La teoria divide sostanzialmente la natura in due parti. Da una
parte c’è il sistema che vogliamo osservare, dall’altra c’è l’osservatore
con, eventualmente, le sue apparecchiature sperimentali.
Conosciamo lo stato del sistema solo quando interagisce con l’osservatore, cioè quando è misurato, mentre non possiamo dire niente
su questo stato prima della misura, o in assenza di osservatori.
Questo contrasta con una visione realistica del mondo, secondo la
quale, la maniera in cui la scienza descrive la realtà non deve involvere,
in alcun modo, un procedimento di misura. Il ché è un altro modo
per dire che il mondo reale deve esistere indipendentemente da noi.
Se si accetta questa visione realistica del mondo, c’è dunque un
problema con la meccanica quantistica quale è attualmente presentata.
Questo si chiama il problema fondazionale della meccanica quantistica
ed è il primo grande problema aperto.
Introduzione

Problema n. : Il problema fondazionale della meccanica quantistica
Aggiungo che, su questo problema, si dibatte da circa un secolo, dai
primi scontri tra la concezione di Bohr e Heisenberg da un lato, e le
opinioni di Einstein e Schrödinger che ritenevano che la teoria dei
quanti fosse una descrizione incompleta della natura.
Veniamo adesso al Modello Standard delle particelle elementari
che si è gradualmente sviluppato a partire da un adeguamento alla
relatività speciale della meccanica quantistica. Il Modello Standard,
nonostante il suo straordinario accordo con tutti i risultati sperimentali
ad oggi, ha un grosso problema che è quello di avere una lunga lista
di costanti da aggiustare. Queste costanti specificano proprietà delle
particelle, come la massa dei leptoni e dei quark , o l’intensità delle
forze. Per ottenere lo straordinario accordo con gli esperimenti che
abbiamo menzionato, i valori usati nel Modello Standard sono quelli
ottenuti da misure sperimentali. Tuttavia, la teoria continuerebbe
a essere consistente (ma non in accordo con gli esperimenti), per
qualunque altro valore di queste costanti.
Ci sono in tutto circa  costanti da aggiustare il ché è evidentemente in contrasto col fatto che si vorrebbe avere a che fare con una
teoria fondamentale. La distanza da una teoria fondamentale appare
chiaramente quando si confronti il Modello Standard con la teoria della relatività generale che contiene una sola costante e cioè la costante
di gravitazione.
Il secondo Problema aperto à dunque il seguente:
Problema n. : Spiegare come i valri delle costanti libere nel Modello
Standard delle particelle elementari siano scelte in natura
Questo naturalmente indica la necessità di una teoria, oltre il Modello
Standard, e di cui il Modello Standard sia una approssimazione. Questa
teoria viene cercata, come diremo, nella unificazione delle forze e,
una volta trovata, dovrebbe anche rispondere al Problema n. .
Un terzo problema, sempre di natura fondamentale, viene dalla
considerazione del fatto che le due teorie fondamentali del ◦
secolo, la teoria dei quanti e la relatività generale, soffrono della
presenza di singolarità o, in maniera equivalente, portano a valori
infiniti per certe quantità.

Introduzione
Nella teoria dei campi quantistici, alla base del Modello Standard, le
infinità derivano appunto dal fatto che si usa la teoria per descrivere
dei campi. Il problema è che un campo ha valori in ogni punto dello
spazio, il che conduce a un numero infinito di variabili. Per di più, nella
teoria quantistica, queste variabili fluttuano in maniera incontrollata.
È questo che conduce a un risultato infinito per certe quantità. Questi
infiniti sono, per così dire, controllati, nella teoria dei quanti, con una
procedura detta di rinormalizzazione. La procedura è tuttavia molto
artificiosa e il problema di fondo rimane.
D’altra parte, la relatività generale ha problemi con gli infiniti quando si considera l’interno di un buco nero, dove la densità della materia
e la curvatura dello spazio diventano infinite. E lo stesso succede
quando ci avviciniamo al Big Bang, usando la relatività generale per
descrivere l’Universo primordiale.
In aggiunta al problema degli infiniti, c’è il fatto, che discuteremo
più avanti, che la meccanica quantistica e la relatività generale sono incompatibili fra loro. Esse sono sopravvissute in maniera indipendente
fino ad ora, perché abbiamo scelto di dividere la nostra descrizione
del mondo in due parti. In una parte, il mondo atomico e sub atomico
segue la teoria dei quanti e la gravità si può ignorare perché la forza
corrispondente è trascurabile rispetto alle altre forze. In un’altra parte,
quella della gravitazione e della cosmologia, dove le dimensioni sono grandi, si può usare la relatività generale e si possono ignorare i
fenomeni quantistici.
È chiaro che questa situazione va superata e questo conduce al
problema fondamentale n. :
Problema n. : Combinare la relatività generale con la teoria dei quanti
in un’unica teoria che si possa eventualmente identificare come la teoria
completa della natura
Questo è il problema della gravità quantistica sul quale, come vedremo, si sono fatti molti passi avanti negli ultimi anni, anche se
rimangono questioni irrisolte.
Veniamo adesso a quei problemi aperti che vengono, in particolare,
dalla astrofisica e dalla cosmologia.
Con diverse osservazioni, e nell’arco di decenni, gli astronomi
si sono resi conto che il moto delle stelle nelle galassie richiede la
Introduzione

presenza di una massa molto maggiore, anche  volte superiore, a
quella che si desume dalle osservazioni dirette del contenuto della
galassia.
Questo eccesso di massa viene indicato come materia oscura.
È infatti materia che noi non vediamo in quanto non emette né
riflette la luce. Si tratta quindi di materia che non è presente nel
Modello Standard delle particelle elementari. Questo dà luogo a un
altro problema della fisica moderna:
Problema n. : Cosa è la materia oscura
La sua soluzione, a meno che non si voglia mettere in discussione
le leggi di Newton, e quindi la relatività generale, va cercata oltre il
Modello Standard.
Andando a scale più grandi, quelle della cosmologia, dai dati della
radiazione di fondo si è ottenuta una alta uniformità della materia e,
inoltre, che l’Universo, tra le possibili geometrie, è piatto.
Per spiegare questi fatti, è stata introdotta, nel , l’idea della
inflazione, cioè di un periodo brevissimo di espansione accelerata
dell’Universo. Questa idea sembrava risolvere semplicemente tutti i
problemi e adesso è accettata da gran parte degli astrofisici.
Vedremo tuttavia che ci sono numerose critiche a questa idea, non
ultimo il numero dei parametri che bisogna fissare per farla funzionare.
Anche l’inflazione si può quindi considerare un problema aperto:
Problema n. : Necessità reale di una inflazione e sua natura
Inoltre, sempre dalla piattezza dell’Universo, e dalle percentuali di
materia visibile e materia oscura, si deriva che manca ancora una
grande quantità di massa (o energia). Questa viene denominata energia oscura. Più precisamente, il % della densità di materia appare
nella forma di energia oscura, il % nella forma di materia oscura
e solo il % è materia ordinaria. Dunque, abbiamo osservato sperimentalmente solo  parte su  del contenuto dell’Universo, mentre il
restante % è sconosciuto.
Questa energia oscura, vedremo, è associata a una forza repulsiva
nelle equazioni cosmologiche (il termine della costante cosmologica)
e questa forza è stata in effetti confermata da osservazioni astrofisiche

Introduzione
su delle supernovae che indicano una accelerazione della espansione
dell’Universo al tempo attuale.
Abbiamo dunque un ulteriore problema aperto nella nostra lista:
Problema n. : Spiegare l’energia oscura e, quindi, il valore osservato della
costante cosmologica
Siccome un termine di costante cosmologica viene, come vedremo,
dalla energia del vuoto, e le possibili stime di questa energia, dalla teoria dei campi quantistici, sono enormemente più grandi rispetto al valore della costante cosmologica dedotto dalle osservazioni, possiamo
dire di avere un ulteriore problema aperto, di natura fondamentale:
Problema n. : La natura della energia del vuoto e un suo calcolo appropriato
Avendo dunque fatto un elenco, per così dire, di alcuni problemi aperti
fondamentali della fisica attuale, procederò, nel resto del libro, a inquadrare meglio questi problemi (e altri ancora) e, inoltre, a descrivere
cosa si è fatto, o si sta facendo, per cercare di risolverli.
Capitolo I
Fondamenti della Meccanica quantistica
Al contrario della relatività generale (come vedremo), la meccanica
quantistica venne sviluppata, ad opera di diversi scienziati e nel giro di
diversi anni, sulla base di ottimi dati sperimentali che non si potevano
spiegare con la fisica pre–esistente (la fisica classica). La teoria che
ne è seguita rappresenta una rivoluzione, rispetto alla meccanica di
Newton, ancora più grande di quella intervenuta con le teorie della
relatività di Einstein.
Nel seguito cercherò di accennare ai fondamentali della meccanica
quantistica e la sua strana visione del mondo. Come vedremo ne
consegue, per lo meno agli occhi di molti, un problema, che abbiamo
ricordato nella introduzione e che possiamo chiamare “il problema
fondazionale della meccanica quantistica”. Per quanto se ne discuta
sin dagli inizi della teoria, cioè da circa un secolo, il problema si deve
considerare ancora aperto.
.. L’esperimento delle due fenditure
Secondo Feymann, tutte le caratteristiche essenziali della meccanica
quantistica sono contenute nell’esperimento delle due fenditure.
Nello stesso tempo, i risultati di questo esperimento, indicano anche
chiaramente il formalismo che si deve usare per spiegare quanto
osservato. Questo formalismo (e, in effetti, la base di postulati della
meccanica quantistica), è estremamente semplice mentre le sue
conseguenze, rispetto alla descrizione classica del mondo, sono
straordinarie.
Vediamo dunque l’esperimento delle due fenditure (ancorché in
una versione ideale), e riferiamoci agli elettroni, ricordando però
che questo esperimento, e altri simili con particelle diverse dagli
elettroni, è stato effettivamente realizzato.


Problemi aperti della Fisica
La figura . è uno schema dell’esperimento.
Figura .. Schema dell’esperimento delle due fenditure.
A sinistra abbiamo un cannone di elettroni. Gli elettroni (mono–
energetici), sono diretti verso una parete con due fenditure, indicate
con  e . A destra di questa parete, c’è una piastra dove vanno a
urtare gli elettroni e, su questa piastra, possiamo pensare di mettere
un rivelatore connesso con un altoparlante.
La prima cosa da notare è che, corrispondentemente alla rivelazione degli elettroni, sentiamo dei click, sempre dello stesso tipo.
La loro frequenza si può variare, se muoviamo il rilevatore nella
direzione x, ma i click restano inalterati. Questo è consistente con
l’idea che vengano rilevate singole particelle.
Muovendo il rilevatore, possiamo determinare la probabilità di
rivelare un elettrone a un certo x. Questa curva di probabilità è
quella indicata con P alla estrema destra della figura, e rappresenta,
chiaramente, un effetto di interferenza.
Come la possiamo interpretare? I click corrispondono ai singoli
elettroni e un elettrone, diremmo, o è passato attraverso la fenditura
 o attraverso la fenditura . Assumendo questo, gli elettroni che
sentiremo sulla piastra terminale si dividono dunque in due classi,
quelli che sono passati attraverso  e quelli che sono passati attraverso . Perciò la curva di probabilità (funzione di x) che misuriamo
dovrebbe corrispondere alla somma degli effetti degli elettroni che
passano da  e di quelli che passano da .
. Fondamenti della Meccanica quantistica

Ma questo lo possiamo verificare sperimentalmente. Prima guardiamo
gli elettroni che vengono dalla fenditura  e, per questo, chiudiamo la
fenditura . Contiamo i click del rivelatore (in funzione di x) e otteniamo la curva di probabilità indicata con P (questa, con un massimo
corrispondente alla fenditura , sembra perfettamente ragionevole).
Facciamo la stessa cosa per ottenere la distribuzione di probabilità degli elettroni che passano dalla fenditura  (cioè questa volta chiudiamo
la ) e otteniamo la curva P che ha un massimo corrispondente alla
fenditura .
Ora, come si vede dalla figura ., il risultato ottenuto con tutte e
due le fenditure aperte (P ), non è sicuramente la somma di P e P ,
cioè delle probabilità relative a ciascuna fenditura
P 6= P + P
Possiamo cercare di immaginare ogni sorta di possibili complicazioni
per le traiettorie degli elettroni che potrebbero passare da , per tornare
indietro e quindi passare da  ecc., ma, per quante complicazioni
consideriamo, non riusciremo mai a ottenere P . Il risultato P , che
mostra una interferenza, come ci si aspetterebbe da onde e non da
particelle, è dunque essenzialmente un mistero.
Tuttavia, possiamo legare P con P e P con una matematica
estremamente semplice. Quello che accade nella parete finale del
nostro esperimento si può spiegare attraverso due numeri complessi
φ e φ (che sono, naturalmente, funzioni di x). Il valore assoluto al
quadrato di φ (funzione di x), dà il risultato che vediamo quando solo
la fenditura  è aperta, cioè
P =| φ | 
Analogamente, quando è aperta solo la fenditura , quello che vediamo è
P =| φ | 
Quando tutte e due le fenditure sono aperte, d’altra parte, si ottiene
P da
P =| φ + φ | 

Problemi aperti della Fisica
Questa è però evidentemente la matematica con cui si rappresentano
le onde.
In conclusione, i click ci dicono che gli elettroni arrivano come particelle, ma la loro distribuzione probabile sulla piastra finale corrisponde
alla distribuzione di intensità di un’onda. In questo senso potremmo
dire che si comportano, in parte come particelle, e in parte come onde.
Possiamo sintetizzare quanto sopra nel modo seguente:
a) La probabilità P di un evento è data dal quadrato del valore assoluto di un numero complesso φ che viene chiamato ampiezza
di probabilità o funzione d’onda
P = probabilità
φ = ampiezza di probabilità
P = | φ| 
b) Quando un evento si può verificare in diversi modi alternativi, ll’ampiezza di probabilità è la somma delle ampiezze di
probabilità
φ = φ + φ
e la probabilità è data da
P=| φ + φ | 
cioè si ha interferenza. In altre parole, se associamo l’ampiezza
di probabilità con lo stato dell’elettrone, dobbiamo dire che
l’elettrone è in una sovrapposizione di stati.
c) Se invece nell’esperimento si scieglie l’alternativa, la probabilità
dell’evento diventa la somma delle probabilità per ciascuna
alternativa.
Cosa succede se si hanno  fenditure? Si hanno tre ampiezze di probabilità φ , φ , φ e l’ampiezza di probabilità totale è data dalla somma
delle tre ampiezze
φ = φ + φ + φ
La figura che si ottiene sullo schermo finale corrisponde allora a una
probabilità
P=| φ + φ + φ | 