ANALISI MATEMATICA T-1 (C.d.L. Ing. Edile - Polo di Ravenna)
A.A.2009-2010 - Prof. G.Cupini
Esercizi sui numeri complessi
Esercizio 1.
Scrivere in forma algebrica e trigonometrica:
√
(3i − 3)(2 − 2i)2
iπ
4
[Sol.: 24 + 24i; 24 2e
]
√
3i
2
+
(2 − i)2 (3 − i)2
[Sugg.:
3i
(2−i)2
√
[Sol.: −12+2
25
2
3i(3+4i)
(3−4i)(3+4i)
=
3i
3−4i
+
√
18+3 2
i;
50
=
−12+9i
. Ragionare in modo
25
“
“
”
”
√
√
√
18+3 2
950−84 2 i arctan 2(−12+2√2) +π
e
]
50
=
analogo per l’altro addendo]
1
(1 − 2i)3
[Sugg.: 1 − 2i = 1 + 2i. Allora
1
(1−2i)3
=
(1+2i)3
|1+2i|6
=
(1+2i)3
]
53
Esercizio 2.
Determinare le radici n-esime, con n indicato:
[Sol.: zk =
√
8
1+i
i
2ei(
7
2kπ
16 π+ 4
) , k = 0, 1, 2, 3]
√
−2 + 2 3i
[Sol.: z = ±2e
iπ
3
(n = 2)
]
−i
[Sol.: zk = e
(n = 4)
3
i( 10
π+ 2kπ
5 )
(n = 5)
, k = 0, 1, 2, 3, 4]
1+i
1 − 2i
(n = 2)
q
arctan(−3)+π
)]
2
[Sol.: z = ± 4 25 ei(
i
1−i
2
(n = 2)
q
3
[Sol.: z = ± 12 ei 4 π ]
[Sol.: z = ±e
i 32
√
3
cos
√
√ 3
3 + i sin 3
(n = 2)
]
(2 − i)2
(2 + i)3
(n = 2)
q
−5
1
[Sol.: z = ± 4 15 ei( 2 arctan 2 ) ]
(− sin 12 + i cos 12)2
2
2
(n = 3)
2
[Sugg.: (− sin 12 + i cos 12) = i (cos 12 + i sin 12) ]
[Sol.: zk = ei(8+ 3 +
π
2kπ
3
) , k = 0, 1, 2]
Esercizio 3.
Risolvere le seguenti equazioni. Della soluzione fornire sia l’espressione algebrica che quella tigonometrica.
iz = 3
[Sugg.: z =
3
i
=
3(−i)
i(−i)
= ...]
1 − 2iz
=i
2 − 3i
[Sugg.:
1−2iz
2−3i
=i⇒
(1−2iz)(2+3i)
13
= i ⇒ (6 − 4i)z = 13i − (2 + 3i) ⇒ z =
Grazie agli studenti del corso che comunicheranno eventuali errori
−2+10i
6−4i
⇒z=
(−2+10i)(6+4i)
60
ecc.]
