Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”
Macroarea di Ingegneria
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
a.a. 2013-2014
Lezione n. 30 del 23.01.2014
ECONOMIA APPLICATA ALL’INGEGNERIA
(Docente: Prof. Ing. Donato Morea)
Microeconomia
Esercitazione n. 3 - LA PRODUZIONE, I COSTI DI PRODUZIONE
E LA CONCORRENZA PERFETTA
ESERCIZIO n. 1 - La produzione ed i costi di produzione (1°)
Un’impresa utilizza una tecnologia descritta dalla seguente funzione di produzione:
I prezzi dei fattori lavoro e capitale sono, rispettivamente,
dotazione di capitale è fissa e pari a
.
e
. Nel breve periodo, la
a) Determinare l’espressione delle curve di costo totale, medio e marginale di breve periodo.
b) Determinare la domanda di lavoro nel breve periodo.
c) Determinare la combinazione ottima di fattori nel caso in cui si voglia produrre una quantità
pari a 100.
d) Dimostrare che la stessa scelta ottimale dei fattori può essere ottenuta risolvendo il problema
duale di massimizzazione dell’output sotto un vincolo di costo, imponendo che l’impresa possa
sostenere una spesa massima per l’acquisto dei fattori pari a 1200.
e) Determinare l’espressione delle curve di costo totale, medio e marginale di lungo periodo.
Soluzione
a) Determiniamo, tramite la funzione di produzione, l’impiego del fattore lavoro in funzione della
quantità prodotta, tenendo presente che, nel breve periodo, il capitale è fisso:
Quindi, il costo totale di breve periodo è:
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ECONOMIA APPLICATA ALL’INGEGNERIA
(Docente: Prof. Ing. Donato Morea)
Microeconomia
Esercitazione n. 3 - LA PRODUZIONE, I COSTI DI PRODUZIONE
E LA CONCORRENZA PERFETTA
Il costo medio e marginale di breve periodo sono, rispettivamente:
b) Per determinare la domanda ottimale di lavoro di breve periodo, occorre impostare la
massimizzazione del profitto:
Dalla massimizzazione del profitto rispetto al lavoro, si ottiene:
Questa è, appunto, la funzione di domanda di lavoro in funzione del prezzo.
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(Docente: Prof. Ing. Donato Morea)
Microeconomia
Esercitazione n. 3 - LA PRODUZIONE, I COSTI DI PRODUZIONE
E LA CONCORRENZA PERFETTA
c) La scelta ottimale dell’impresa si determina individuando l’isocosto più vicino all’origine
tangente all’isoquanto che corrisponde ad una quantità pari a 100. Quindi , occorre risolvere il
seguente sistema:
in cui, la prima equazione esprime l’uguaglianza tra saggio marginale di sostituzione tecnica
ed il rapporto tra i prezzi dei fattori e la seconda impone che il
livello di produzione sia pari a 100.
Dalla prima equazione si ottiene
, che, sostituita nella seconda, dà:
da cui si ottiene
e
.
I costi totali sostenuti dall’impresa sono pari a:
d) La stessa scelta ottimale dei fattori può essere ottenuta risolvendo il problema duale di
massimizzazione dell’output sotto un vincolo di costo, imponendo che l’impresa possa
sostenere una spesa massima per l’acquisto dei fattori pari a 1200. Il sistema da risolvere, in
questo caso, è:
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Esercitazione n. 3 - LA PRODUZIONE, I COSTI DI PRODUZIONE
E LA CONCORRENZA PERFETTA
da cui si ottiene
e
.
e) Per determinare le curve di costo di lungo periodo, occorre, innanzitutto, determinare come si
modifica la domanda ottimale di lavoro e capitale (che nel lungo periodo non è più un input
fisso) in funzione del livello di produzione. Riscriviamo, quindi, il sistema utilizzato nel punto c)
lasciando, però, indicato come q un generico livello di output.
da cui ricaviamo le domande ottimali di K e L in funzione di q:
La curva di costo totale di lungo periodo è, quindi:
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Esercitazione n. 3 - LA PRODUZIONE, I COSTI DI PRODUZIONE
E LA CONCORRENZA PERFETTA
Nel lungo periodo,
.
ESERCIZIO n. 2 - I costi di produzione (2°)
Si consideri un’impresa con la seguente funzione di produzione:
I prezzi di mercato dei fattori sono
ed
ed il saggio marginale di sostituzione
tecnica, calcolato come rapporto tra la produttività marginale del capitale e la produttività
marginale del lavoro, è:
a) Determinare le funzioni di costo totale, marginale e medio di breve periodo, supponendo che
nel breve periodo l’impresa sia vincolata ad utilizzare una quantità di lavoro
.
b) Determinare le funzioni di costo totale, marginale e medio di lungo periodo.
Soluzione
a) Se il fattore di produzione lavoro è fisso nel breve periodo, la funzione di produzione
diventa:
Quindi, la domanda dell’input variabile K in funzione dell’output è :
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Esercitazione n. 3 - LA PRODUZIONE, I COSTI DI PRODUZIONE
E LA CONCORRENZA PERFETTA
Il costo totale di breve periodo è, quindi:
Questo è il costo economico per l’impresa, ovvero il costo per l’acquisto dei fattori variabili
nel breve periodo (in questo caso il capitale). La spesa totale nei fattori comprende invece
anche il costo per il fattore che nel breve periodo è fisso per l’impresa (il lavoro), ma che
non rientra nei costi economici in quanto il fattore fisso non ha un impiego alternativo (e
quindi un costo opportunità) nel breve periodo.
Il costo marginale ed il costo medio di breve periodo sono:
b) Nel lungo periodo, tutti gli input sono variabili, quindi, per ricavare la funzione di costo di
lungo periodo, occorre determinare prima le funzioni di domanda di entrambi i fattori in
funzione dell’output:
Quindi, dato che
, il sistema diventa:
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E LA CONCORRENZA PERFETTA
da cui si ricava che le funzioni di domanda dei due fattori in funzione del livello di
produzione sono:
Quindi, la funzione di costo di lungo periodo è:
I costi marginali e medi associati a questa funzione di costo di lungo periodo sono:
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Esercitazione n. 3 - LA PRODUZIONE, I COSTI DI PRODUZIONE
E LA CONCORRENZA PERFETTA
Il fatto che i costi medi di lungo periodo sono costanti indica che la funzione di produzione
in oggetto ha rendimenti di scala costanti.
ESERCIZIO n. 3 - Rendimenti di scala
Determinare i rendimenti di scala delle seguenti funzioni di produzione:
a)
b)
c)
Soluzione
I rendimenti di scala indicano come varia il livello di produzione a seguito di una variazione
equiproporzionale di tutti gli input. Vediamo, quindi, come varia q se facciamo variare entrambi i
fattori nella proporzione .
a)
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Esercitazione n. 3 - LA PRODUZIONE, I COSTI DI PRODUZIONE
E LA CONCORRENZA PERFETTA
Quindi questa funzione ha rendimenti di scala costanti, perché moltiplicando entrambi i fattori per
si ottiene esattamente volte il livello di produzione iniziale.
b)
Poiché
è inferiore a 1, la funzione presenta rendimenti di scala decrescenti: ad un aumento
equiproporzionale degli input, corrisponde un aumento meno che proporzionale dell’output.
c)
Questa funzione di produzione ha rendimenti costanti.
ESERCIZIO n. 4 - La combinazione efficiente dei fattori produttivi (minimizzazione del costo di
produzione)
La tecnologia di un’impresa è caratterizzata dalla seguente funzione di produzione:
a) Calcolare i rendimenti di scala.
b) Dati i prezzi dei fattori ω1= 3 e ω2=4, calcolare la combinazione dei fattori che consente di
ottenere un livello di produzione q=6 al minimo costo di produzione.
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Esercitazione n. 3 - LA PRODUZIONE, I COSTI DI PRODUZIONE
E LA CONCORRENZA PERFETTA
c) Determinare come cambia la combinazione efficiente dei fattori quando il prezzo del fattore x1
raddoppia.
d) Determinare come cambia la combinazione ottimale dei fattori se l’impresa vuole raddoppiare
la produzione (ai prezzi dei fattori iniziali).
e) Determinare la domanda di ciascun fattore in funzione dell’output.
f) Determinare la curva dei costi totali di lungo periodo.
g) Determinare la curva dei costi totali di breve periodo, quando la disponibilità fissa del fattore
x2 è pari a 1.
Soluzione
a) Per calcolare i rendimenti di scala, moltiplichiamo ciascun fattore produttivo per λ nella
funzione di produzione:
Quindi questa funzione ha rendimenti di scala crescenti.
b) La combinazione ottimale dei fattori che consente di produrre una quantità di output pari a 6 è
determinata nel punto di tangenza tra l’isoquanto corrispondente alla quantità di 6 e la retta di
isocosto più bassa possibile (corrispondente alla spesa per i fattori più bassa possibile). Quindi,
occorre porre a sistema un’equazione che impone la tangenza tra isoquanto e isocosto e
un’altra equazione che assicura che tale tangenza avvenga in corrispondenza dell’isoquanto
:
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E LA CONCORRENZA PERFETTA
La prima equazione impone l’uguaglianza tra la pendenza dell’isoquanto (rappresentata dal saggio
marginale di sostituzione tecnica) e la pendenza dell’isocosto (pari al rapporto tra i prezzi di
mercato dei fattori).
Il saggio marginale di sostituzione tecnica tra i fattori è dato dal rapporto tra la produttività
marginale del fattore x1 e la produttività marginale del fattore x2, ovvero:
Il sistema diviene, quindi:
Sostituendo la prima equazione nella seconda, si ottiene che la combinazione economicamente
efficiente dei fattori è:
c) Se il prezzo del fattore x1 raddoppia, il sistema da impostare è il seguente:
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E LA CONCORRENZA PERFETTA
da cui si ottiene che la nuova combinazione efficiente dei fattori è:
d) Per determinare la combinazione ottimale dei fattori che consente di ottenere la quantità di
produzione pari a 12 ai prezzi dei fattori iniziali, occorre impostare il sistema seguente:
che dà soluzione:
e) Per determinare la domanda dei fattori al variare della quantità di produzione che l’impresa
desidera ottenere, occorre impostare il sistema iniziale senza specificare un determinato livello
di produzione, ma indicando la quantità prodotta con un generico q, ovvero:
da cui si ottengono le domande dei fattori in funzione della quantità prodotta:
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f) Per ricavare la curva dei costi totali di lungo periodo, utilizziamo le funzioni di domanda degli
input in funzione dell’output, e, quindi, la funzione di costo di lungo periodo per questa
impresa è:
A questa funzione di costo totale, corrisponde una funzione di costo medio pari a:
ed una funzione di costo marginale pari a:
Si noti che la funzione di costo medio di lungo periodo è decrescente (infatti la derivata prima del
costo medio rispetto alla quantità prodotta è
), infatti la funzione di
produzione presenta rendimenti di scala crescenti.
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g) Quando la quantità dell’input x2 è fissa e pari a 1 (breve periodo), la funzione di produzione per
l’impresa è:
per cui, la domanda per il fattore
in funzione del livello di produzione è:
Quindi, la funzione di costo di breve periodo per l’impresa è:
Si noti che questa espressione rappresenta il costo economico per l’impresa, mentre in realtà
l’impresa sostiene anche un costo contabile per il fattore fisso, che non rientra tuttavia nel novero
dei costi economici in quanto, poiché il fattore fisso non ha un utilizzo alternativo nel breve
periodo, non rappresenta un costo opportunità per l’impresa.
ESERCIZIO n. 5 - Concorrenza perfetta
In un mercato perfettamente concorrenziale, operano, nel breve periodo, 50 imprese identiche
caratterizzate dalla seguente funzione di produzione:
con
e il prezzo dei fattori K e L dato da
e
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, rispettivamente.
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La funzione di domanda di mercato è:
.
Determinare:
a) l’offerta di breve periodo dell’impresa e del mercato;
b) il prezzo e la quantità di equilibrio del mercato, nonché la quantità prodotta e il profitto realizzato
dalla singola impresa nel breve periodo;
c) il prezzo e la quantità di equilibrio e il numero delle imprese operanti nel mercato nel lungo
periodo.
Soluzione
a) Per ricavare la funzione di offerta della singola impresa occorre innanzitutto determinare la
curva di costo di breve periodo di ciascuna impresa. Per fare ciò, sostituiamo il valore fisso di K
nella funzione di produzione:
Quindi, la funzione di domanda dell’input lavoro in funzione della quantità prodotta è:
La funzione di costo di breve periodo è:
Si noti che tale funzione non include il costo per il capitale, poiché nel breve periodo tale
costo, essendo appunto fisso, non entra nel novero dei costi “economici”, ma piuttosto dei
costi contabili.
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Quindi, la funzione di costo marginale di breve periodo è:
La condizione di massimizzazione dei profitti richiede nel breve periodo che
, ovvero:
Quindi, la curva di offerta di breve periodo dell’impresa i è:
Moltiplicando per il numero delle imprese presenti sul mercato nel breve periodo, otteniamo
la curva di offerta aggregata:
b) Per trovare l’equilibrio di mercato, uguagliamo domanda e offerta di breve periodo:
da cui si ottiene
e
ed i relativi profitti sono:
, mentre la quantità prodotta da ciascuna impresa è
.8
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c) Poiché nel breve periodo le imprese presenti sul mercato hanno un profitto positivo, nel lungo
periodo nuove imprese decideranno di entrare sul mercato finché i profitti non si
annulleranno, ovvero finché il prezzo non sarà uguale al costo medio minimo di lungo periodo
(questo perché deve valere anche la condizione che il prezzo sia uguale al costo marginale, ma
implica che il prezzo sia uguale al costo medio minimo, poiché il costo marginale interseca la curva
di costo medio nel suo punto di minimo).
Supponiamo che la funzione di costo di lungo periodo sia uguale a quella di breve periodo,
ovvero:
Quindi, la funzione di costo medio è:
Per trovare il punto di minimo di tale curva di costo medio, uguagliamo a zero la derivata
prima rispetto a q:
da cui si ottiene
.
a cui corrisponde, sostituendo nella funzione di offerta
,
Per ricavare il numero delle imprese presenti sul mercato nel lungo periodo, determiniamo la
quantità della domanda:
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E LA CONCORRENZA PERFETTA
In equilibrio, deve valere l’uguaglianza tra quantità domandata e quantità offerta, ovvero:
dove
è il numero di imprese che vogliamo determinare.
Sostituiamo, quindi, il valore di
:
da cui si ottiene che:
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