Esercitazioni di Meccanica Razionale - VUK Elena
annuncio pubblicitario
Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 Cinematica del corpo rigido Maria Grazia Naso [email protected] Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Brescia c Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Cinematica del corpo rigido - 2003 M.G. Naso – p.1 Teorema di Mozzi e asse di Mozzi Formula fondamentale della cinematica dei sistemi rigidi: ~ (t) × (P − O 0 ) . ~vP (t) = ~vO0 (t) + ω (1) Teorema di Mozzi. In ogni istante l’atto di moto più generale di un sistema rigido è rototraslatorio o elicoidale, i.e. esiste un punto O00 tale che ~vP (t) = ~vO00 (t) + ω ~ (t) × (P − O 00 ) , (2) ~ . In particolare potrà risultare traslatorio (~ω (t) = ~0) o con ~vO00 k ω rotatorio (~vO00 (t) = ~0). I Asse di Mozzi: la retta passante per O 00 e parallela ad ω ~. c Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Cinematica del corpo rigido - 2003 M.G. Naso – p.2 Esercizio 1. Si determini l’equazione dell’asse di Mozzi. Risoluzione. Sia O 00 ∈ asse di Mozzi: ~vO00 k ω ~ o ~vO00 = ~0. Da (1), con P ≡ O 00 , risulta ~vO00 = ~vO0 + ω ~ × (O00 − O0 ) ~vO00 × ω ~ = ~vO0 | {z } =~0 ~vO0 ⇓ 00 0 ×ω ~+ ω ~ × (O − O ) × ω ~ ⇓ 00 0 ×ω ~ + (~ω · ω ~ ) (O − O ) − ω ~ · (O − O ) ω ~ = ~0 00 0 ⇓ ~ (O00 − O0 ) · ω ω ~ × ~vO0 ω ~+ . (O − O ) = 2 2 ω ω 00 0 c Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Cinematica del corpo rigido - 2003 M.G. Naso – p.3 Quindi si trova ω ~ × ~vO0 (O − O ) = λ(O ) ω ~+ ω2 00 0 00 0 − O )·ω ~ (O 00 dove λ(O ) := ∈ R. 2 ω 00 2 c Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Cinematica del corpo rigido - 2003 M.G. Naso – p.4 I Invariante scalare: I := ~vO · ω ~ (non dipende dal punto O). Consideriamo l’atto di moto di un corpo rigido in un istante t: ~ (t) × (P − O) . ~vP (t) = ~vO (t) + ω (3) I Se ω ~ (t) = ~0, allora ~vP (t) = ~vO (t) e l’atto di moto è traslatorio (~vO (t) 6= ~0) o nullo (~vO (t) = ~0). I Se ω ~ (t) 6= ~0, applicando in (3) l’identità ~vO = ~ ~) ~vO · ω ω ~ × (~vO × ω ω ~ + , 2 2 ω ω si trova ~ I ~vO × ω ~ +ω ~ × (P − O) + ~vP = 2 ω ω ω2 . (4) c Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Cinematica del corpo rigido - 2003 M.G. Naso – p.5 Si introduca il punto C tale che (C − O) := diventa e ~vC = ω ~ × ~vO . Quindi (4) 2 ω I ~vP = 2 ω ~ +ω ~ × (P − C) , ω I ω2 (5) ω ~ , C ∈ asse di Mozzi (N.B. deve essere ω ~ 6= ~0). I Se I 6= 0, l’atto di moto è elicolidale. I Se I = 0, ω ~ 6= ~0, l’atto di moto è rotatorio (l’asse di Mozzi è l’asse di istantanea rotazione). I Se I = 0, ω ~ = ~0, ~vO 6= ~0, l’atto di moto è traslatorio. I Se I = 0, ω ~ = ~0, ~vO = ~0, l’atto di moto è nullo. c Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Cinematica del corpo rigido - 2003 M.G. Naso – p.6
