Esercitazioni
di Meccanica Razionale
a.a. 2002/2003
Cinematica del corpo rigido
Maria Grazia Naso
[email protected]
Dipartimento di Matematica
Università degli Studi di Brescia
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Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Cinematica del corpo rigido - 2003
M.G. Naso – p.1
Teorema di Mozzi e asse di Mozzi
Formula fondamentale della cinematica dei sistemi rigidi:
~ (t) × (P − O 0 ) .
~vP (t) = ~vO0 (t) + ω
(1)
Teorema di Mozzi. In ogni istante l’atto di moto più generale di
un sistema rigido è rototraslatorio o elicoidale, i.e. esiste un punto
O00 tale che
~vP (t) = ~vO00 (t) + ω
~ (t) × (P − O 00 ) ,
(2)
~ . In particolare potrà risultare traslatorio (~ω (t) = ~0) o
con ~vO00 k ω
rotatorio (~vO00 (t) = ~0).
I Asse di Mozzi: la retta passante per O 00 e parallela ad ω
~.
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Esercizio 1. Si determini l’equazione dell’asse di Mozzi.
Risoluzione. Sia O 00 ∈ asse di Mozzi: ~vO00 k ω
~ o ~vO00 = ~0. Da (1),
con P ≡ O 00 , risulta
~vO00 = ~vO0 + ω
~ × (O00 − O0 )
~vO00 × ω
~ = ~vO0
| {z }
=~0
~vO0
⇓
00
0
×ω
~+ ω
~ × (O − O ) × ω
~
⇓
00
0
×ω
~ + (~ω · ω
~ ) (O − O ) − ω
~ · (O − O ) ω
~ = ~0
00
0
⇓
~
(O00 − O0 ) · ω
ω
~ × ~vO0
ω
~+
.
(O − O ) =
2
2
ω
ω
00
0
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Quindi si trova
ω
~ × ~vO0
(O − O ) = λ(O ) ω
~+
ω2
00
0
00
0
−
O
)·ω
~
(O
00
dove λ(O ) :=
∈ R.
2
ω
00
2
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I Invariante scalare: I := ~vO · ω
~
(non dipende dal punto O).
Consideriamo l’atto di moto di un corpo rigido in un istante t:
~ (t) × (P − O) .
~vP (t) = ~vO (t) + ω
(3)
I Se ω
~ (t) = ~0, allora ~vP (t) = ~vO (t) e l’atto di moto è
traslatorio (~vO (t) 6= ~0) o nullo (~vO (t) = ~0).
I Se ω
~ (t) 6= ~0, applicando in (3) l’identità
~vO =
~
~)
~vO · ω
ω
~ × (~vO × ω
ω
~
+
,
2
2
ω
ω
si trova
~
I
~vO × ω
~ +ω
~ × (P − O) +
~vP = 2 ω
ω
ω2
.
(4)
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Si introduca il punto C tale che (C − O) :=
diventa
e ~vC =
ω
~ × ~vO
. Quindi (4)
2
ω
I
~vP = 2 ω
~ +ω
~ × (P − C) ,
ω
I
ω2
(5)
ω
~ , C ∈ asse di Mozzi (N.B. deve essere ω
~ 6= ~0).
I Se I 6= 0, l’atto di moto è elicolidale.
I Se I = 0, ω
~ 6= ~0, l’atto di moto è rotatorio
(l’asse di Mozzi è l’asse di istantanea rotazione).
I Se I = 0, ω
~ = ~0, ~vO 6= ~0, l’atto di moto è traslatorio.
I Se I = 0, ω
~ = ~0, ~vO = ~0, l’atto di moto è nullo.
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