ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6

ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU)
Nome e cognome:
Matricola:
Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame:
• Rispondere in maniera più chiara e concisa possibile. Evidenziare la risposta finale.
• La soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali. Possono essere
tolti punti, se non riesco a capire come siete arrivati alla risposta finale (anche se la
risposta finale è corretta).
• Il test dura 2 ore e 1/2. Per superarlo occorre prendere almeno 15/30. Il voto massimo
che darò allo scritto è 26/30. Per prendere più di 26 bisogna sostenere un buon orale.
Esercizio 1
Si consideri il sistema di equazioni lineari:


x1 − x3 = −1

λx1 + x2 + 2x3 = 3


x2 + 3x3 = 3
a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile.
b) Per i valori di λ trovati al punto a), risolvere il sistema.
Esercizio 2
Nello spazio vettoriale R4 si considerino i seguenti sottospazi:
V := L (1, 3, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (−4, 0, 2, 6), (3, 1, 2, −7) ,
W := (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 + 3x2 + x4 = x2 − x3 = 0 .
a) Si determini, se esiste, una base per ciascuno dei sottospazi: V , W , V + W .
b) Detta f : R4 → R2 l’applicazione f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( 2x1 + x3 + x4 , 3x1 + 4x2 + 2x4 ),
si determini la dimensione di f (W ).
Esercizio 3
Si consideri la matrice:


3 5 4
A = −2 1 −7 
−2 0 −6
a) Stabilire se la matrice A è diagonalizzabile.
b) Stabilire se il vettore v = t (1, 1, 1) è nell’immagine dell’applicazione LA .
Data: 27/06/2011 — Tema #1.
ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU)
Nome e cognome:
Matricola:
Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame:
• Rispondere in maniera più chiara e concisa possibile. Evidenziare la risposta finale.
• La soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali. Possono essere
tolti punti, se non riesco a capire come siete arrivati alla risposta finale (anche se la
risposta finale è corretta).
• Il test dura 2 ore e 1/2. Per superarlo occorre prendere almeno 15/30. Il voto massimo
che darò allo scritto è 26/30. Per prendere più di 26 bisogna sostenere un buon orale.
Esercizio 1
Si dica per quali valori del parametro λ ∈ R il sistema di equazioni lineari:


x1 + x3 = 0

x1 + λx2 + 2λx3 = 1


(λ + 1)x1 − x3 = 2
ammette un’unica soluzione. In tale caso, trovare la soluzione.
Esercizio 2
Nello spazio vettoriale R4 si considerino i seguenti sottospazi:
V := L (3, 1, −6, −2), (−4, 2, 5, 4), (−1, 13, −10, 6), (3, 11, −15, 2) ,
W := (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 + x2 − x4 = x2 + x3 − x4 = 0 .
Si determini, se esiste, una base per ciascuno dei sottospazi: V , W , V ∩ W , V + W .
Esercizio 3
Si considerino le matrici:


4 −6 3
A=0 2 1
0 0 λ


λ 0 0
B=0 4 0
0 0 λ
a) Stabilire per quali valori di λ ∈ R la matrice A è diagonalizzabile.
b) Dire se esistono valori di λ ∈ R per i quali le matrici A e B sono simili.
Data: 27/06/2011 — Tema #2.
ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU)
Nome e cognome:
Matricola:
Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame:
• Rispondere in maniera più chiara e concisa possibile.
• La soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali. Possono essere
tolti punti, se non riesco a capire come siete arrivati alla risposta finale (anche se la
risposta finale è corretta).
• Il test dura 2 ore e 1/2. Per superarlo occorre prendere almeno 15/30. Il voto massimo
che darò allo scritto è 26/30. Per prendere più di 26 bisogna sostenere un buon orale.
Esercizio 1
Si consideri la matrice:


3 0 0
A=0 3 0
5 4 1
Determinare, se possibile, una base di R3 formata da autovettori di A.
Esercizio 2
Sia V il seguente sottospazio di R4 :
V := L (0, 1, 5, −1), (1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 0), (3, 3, 5, 0) .
a) Si determini, se esiste, una base di V .
b) Dire se il vettore w = (1, −2, 0, 1) appartiene al complemento ortogonale di V .
Esercizio 3
Si consideri il sistema di equazioni lineari:

2x2 − (2λ − 6)x3 + 2λx4




x2 + (λ − 3)x3 + λx4
 3x1 + 3x3 + (2λ + 4)x4



x1 + (λ − 2)x3
=1
=0
=3
=1
a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile.
b) Per i valori di λ trovati al punto a), determinare la soluzione generale del sistema.
b∗) Risolvere il sistema per λ = 2.
Data: 04/07/2011 — Tema #1.
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Nome e cognome:
Matricola:
Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame:
• Rispondere in maniera più chiara e concisa possibile.
• La soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali. Possono essere
tolti punti, se non riesco a capire come siete arrivati alla risposta finale (anche se la
risposta finale è corretta).
• Il test dura 2 ore e 1/2. Per superarlo occorre prendere almeno 15/30. Il voto massimo
che darò allo scritto è 26/30. Per prendere più di 26 bisogna sostenere un buon orale.
Esercizio 1
Si consideri la matrice:


1 0 0
A=2 3 0
3 1 4
Determinare, se possibile, una base di R3 formata da autovettori di A.
Esercizio 2
Sia V il seguente sottospazio di R4 :
V := L (1, 0, 1, 3), (2, 2, 1, 2), (3, 6, 0, 5), (0, 2, −1, 0) .
a) Si determini, se esiste, una base di V .
b) Dire se il vettore w = (−2, 1, 2, 0) appartiene al complemento ortogonale di V .
Esercizio 3
Si consideri il sistema di equazioni lineari:

3x1 + (λ + 6)x2



 2x + (λ + 5)x + x + (λ − 2)x
1
2
3
4

x1 + x2 + (λ − 3)x4



x1 + x2 + x3 + x4
=1
=2
=1
=0
a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile.
b) Per i valori di λ trovati al punto a), determinare la soluzione generale del sistema.
b∗) Risolvere il sistema per λ = 2.
Data: 04/07/2011 — Tema #2.
ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU)
Nome e cognome:
Matricola:
Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame:
• Rispondere in maniera più chiara e concisa possibile.
• La soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali. Possono essere
tolti punti, se non riesco a capire come siete arrivati alla risposta finale (anche se la
risposta finale è corretta).
• Il test dura 2 ore e 1/2. Per superarlo occorre prendere almeno 15/30. Il voto massimo
che darò allo scritto è 26/30. Per prendere più di 26 bisogna sostenere un buon orale.
Esercizio 1
Si consideri la matrice:


3 0 0
A=1 7 0
5 4 1
Determinare, se possibile, una base di R3 formata da autovettori di A.
Esercizio 2
Sia V il seguente sottospazio di R4 :
V := L (6, −2, −4, 2), (0, 1, 2, 0), (9, −3, −6, 3), (3, 0, 0, 1) .
a) Si determini, se esiste, una base di V .
b) Dire quali fra i vettori w1 = (1, 0, 0, 1) e w2 = (1, 2, −1, −3) appartengono a V ⊥ .
Esercizio 3
Si consideri il sistema di equazioni lineari:

2x1 + 2x2 + (λ − 1)x3




2x1 + (λ + 1)x3
 x1 + x2 + (λ − 1)x3 + (2λ − 4)x4



4x1 + 4(2λ − 1)x3 + 4(λ − 2)x4
=2
=1
=1
=7
a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile.
b) Per i valori di λ trovati al punto a), determinare la soluzione generale del sistema.
b∗) Risolvere il sistema per λ = 0.
Data: 04/07/2011 — Tema #3.
ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU)
Nome e cognome:
Matricola:
Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame:
• Rispondere in maniera più chiara e concisa possibile.
• La soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali. Possono essere
tolti punti, se non riesco a capire come siete arrivati alla risposta finale (anche se la
risposta finale è corretta).
• Il test dura 2 ore e 1/2. Per superarlo occorre prendere almeno 15/30. Il voto massimo
che darò allo scritto è 26/30. Per prendere più di 26 bisogna sostenere un buon orale.
Esercizio 1
Si consideri la matrice:


3 5 1
A= 0 1 0
−9 4 −3
Dire se la matrice A è diagonalizzabile e, in caso affermativo, determinare una matrice
diagonalizzante.
Esercizio 2
Nello spazio vettoriale R4 si considerino i seguenti sottospazi:
V := L (0, 3, 2, 1), (1, 2, 3, 0), (3, −1, −1, 1), (2, −1, 0, 0) ,
W := (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 + 2x2 − 3x3 = x3 − 2x4 = 0 .
Si determini, se esiste, una base di V ed una di V ∩ W .
Esercizio 3
Si consideri il sistema di equazioni lineari:

x2 + (λ + 2)x3 + (λ + 3)x4




x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4
 (λ − 1)x1 + 2x2 + λx3 + 2x4



x2 + x4
=2
=3
=5
=2
a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile.
b) Per i valori di λ trovati al punto a), determinare la soluzione generale del sistema.
b∗) Risolvere il sistema per λ = 1.
Data: 04/07/2011 — Tema #4.
ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU)
Nome e cognome:
Matricola:
Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame:
• Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola.
• La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La
soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali.
• Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il seguente sistema lineare dipendente da un parametro λ ∈ R:

λx1 + x2 = 0

(λ − 1)x1 + (λ − 1)x2 + (2λ − 2)x3 = 0

λx1 + (2 − λ)x2 = 0
a) dire per quali valori di λ il sistema ammette infinite soluzioni;
b) per i valori di λ trovati al punto a), determinare una base per lo spazio delle soluzioni.
Esercizio 2
In R4 , si considerino i vettori v1 = (1, 1, 1, 1) e v2 = (1, −1, 3, 1). Determinare:
a) un vettore non nullo ortogonale a v2 (uno a piacere);
b) un vettore non nullo (a piacere) che formi con v1 un angolo di 30◦ ;
c) una base ortonormale per L(v1 , v2 ).
Esercizio 3
Detta A la matrice:


1 0 0
A=1 3 0
0 1 1
a) stabilire se A è diagonalizzabile;
b) stabilire se A è invertibile e, in caso affermativo, determinare l’inversa di A;
c) detta f l’applicazione lineare rappresentata (nella base canonica di R3 ) dalla matrice
A, determinare l’immagine tramite f del vettore v = t (1, 1, 1);
e) detto X = t (x1 , x2 , x3 ), quante soluzioni ammette il sistema lineare AX = 0?
f) risolvere il sistema lineare AX = B, con B = t (1, 1, 1).
Data: 18/07/2011.
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Nome e cognome:
Matricola:
Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame:
• Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola.
• La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La
soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali.
• Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il seguente sistema lineare omogeneo dipendente da un parametro λ ∈ R:

x1 + 2x3 = 0

λx1 + λx3 = 0

2x1 + (λ − 4)x2 + x3 = 0
a) dire per quali valori di λ il sistema ammette infinite soluzioni;
b) per i valori di λ trovati al punto a), determinare una base per lo spazio delle soluzioni.
Esercizio 2
In R4 , si considerino i vettori v1 = (3, 4, 0, 0) e v2 = (2, 1, 1, 2). Determinare:
a) un vettore non nullo ortogonale a v2 (uno a piacere);
b) un vettore non nullo (a piacere) che formi con v1 un angolo di 60◦ ;
c) una base ortonormale per L(v1 , v2 ).
Esercizio 3
Detta f : R3 → R3 l’applicazione lineare
f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 , x1 − x3 , x1 + 2x2 + 3x3 )
determinare:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
la matrice rappresentativa nella base canonica di R3 ;
il nucleo di f e, se esiste, una sua base;
l’immagine di f e, se esiste, una sua base;
una base per il sottospazio ortogonale ad f (R3 );
gli autovalori di f e le relative molteplicità;
gli autospazi di f ed una base di ognuno di essi;
dire se f è semplice;
una base ortogonale di R3 , se esiste, formata da autovettori di f .
Data: 18/07/2011.
ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU)
Nome e cognome:
Matricola:
Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame:
• Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola.
• La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La
soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali.
• Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il seguente sistema lineare dipendente da un parametro λ ∈ R:

x1 + 3x3 = 0

−2x1 + (8λ + 8)x2 + (8 + 2λ)x3 = 0

(λ − 1)x1 + (λ − 1)x3 = 0
a) dire per quali valori di λ il sistema ammette infinite soluzioni;
b) per i valori di λ trovati al punto a), determinare una base per lo spazio delle soluzioni.
Esercizio 2
In R4 , si considerino i vettori v1 = (1, −1, −1, 1) e v2 = (1, −3, 1, 1). Determinare:
a) un vettore non nullo ortogonale a v2 (uno a piacere);
b) un vettore non nullo (a piacere) che formi con v1 un angolo di 30◦ ;
c) una base ortonormale per L(v1 , v2 ).
Esercizio 3
Detta A la matrice:


2 3 5
A=0 1 0
0 0 1
a) stabilire se A è diagonalizzabile;
b) stabilire se A è invertibile e, in caso affermativo, determinare l’inversa di A;
c) detta f l’applicazione lineare rappresentata (nella base canonica di R3 ) dalla matrice
A, determinare l’immagine tramite f del vettore v = t (3, 0, 1);
e) detto X = t (x1 , x2 , x3 ), quante soluzioni ammette il sistema lineare AX = 0?
f) risolvere il sistema lineare AX = B, con B = t (3, 0, 1).
Data: 18/07/2011.
ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU)
Nome e cognome:
Matricola:
Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame:
• Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola.
• La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La
soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali.
• Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il seguente sistema lineare omogeneo dipendente da un parametro λ ∈ R:

x1 + 2x2 = 0

2x1 + 2x2 = 0

λx1 + 3λx3 = 0
a) dire per quali valori di λ il sistema ammette infinite soluzioni;
b) per i valori di λ trovati al punto a), determinare una base per lo spazio delle soluzioni.
Esercizio 2
In R4 , si considerino i vettori v1 = (3, 0, 0, 3) e v2 = (1, 1, 1, 1). Determinare:
a) un vettore non nullo ortogonale a v2 (uno a piacere);
b) un vettore non nullo (a piacere) che formi con v1 un angolo di 60◦ ;
c) una base ortonormale per L(v1 , v2 ).
Esercizio 3
Detta f : R3 → R3 l’applicazione lineare
f (x1 , x2 , x3 ) = (−5x1 + 2x2 + x3 , 2x1 − 2x2 + 2x3 , x1 + 2x2 − 5x3 )
determinare:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
la matrice rappresentativa nella base canonica di R3 ;
il nucleo di f e, se esiste, una sua base;
l’immagine di f e, se esiste, una sua base;
una base per il sottospazio ortogonale ad f (R3 );
gli autovalori di f e le relative molteplicità;
gli autospazi di f ed una base di ognuno di essi;
dire se f è semplice;
una base ortogonale di R3 , se esiste, formata da autovettori di f .
Data: 18/07/2011.
ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU)
Nome e cognome:
Matricola:
Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame:
• Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola.
• La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La
soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali.
• Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il seguente sistema lineare dipendente da un parametro λ ∈ R:

2x1 + λx2 = 0

7x1 + λx2 + (λ + 1)x3 = 0

(λ + 2)x1 − 2x2 = 0
a) dire per quali valori di λ il sistema ammette infinite soluzioni;
b) per i valori di λ trovati al punto a), determinare una base per lo spazio delle soluzioni.
Esercizio 2
In R4 , si considerino i vettori v1 = (0, 4, 0, 3) e v2 = (0, 7, 0, −1). Determinare:
a) un vettore non nullo ortogonale a v2 (uno a piacere);
b) un vettore non nullo (a piacere) che formi con v1 un angolo di 30◦ ;
c) una base ortonormale per L(v1 , v2 ).
Esercizio 3
Detta A la matrice:


1 0 0
A=4 1 0
5 1 3
a) stabilire se A è diagonalizzabile;
b) stabilire se A è invertibile e, in caso affermativo, determinare l’inversa di A;
c) detta f l’applicazione lineare rappresentata (nella base canonica di R3 ) dalla matrice
A, determinare l’immagine tramite f del vettore v = t (1, 1, 2);
e) detto X = t (x1 , x2 , x3 ), quante soluzioni ammette il sistema lineare AX = 0?
f) risolvere il sistema lineare AX = B, con B = t (1, 1, 2).
Data: 18/07/2011.
ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU)
Nome e cognome:
Matricola:
Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame:
• Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola.
• La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La
soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali.
• Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il seguente sistema lineare omogeneo dipendente da un parametro λ ∈ R:

3x1 + λx3 = 0

x1 + (λ − 3)x2 + x3 = 0

λx1 + 3x3 = 0
a) dire per quali valori di λ il sistema ammette infinite soluzioni;
b) per i valori di λ trovati al punto a), determinare una base per lo spazio delle soluzioni.
Esercizio 2
In R4 , si considerino i vettori v1 = (0, 6, 8, 0) e v2 = (2, 2, 2, 2). Determinare:
a) un vettore non nullo ortogonale a v2 (uno a piacere);
b) un vettore non nullo (a piacere) che formi con v1 un angolo di 60◦ ;
c) una base ortonormale per L(v1 , v2 ).
Esercizio 3
Detta f : R3 → R3 l’applicazione lineare
f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 , −x1 − 2x2 , −3x1 − 9x2 + x3 )
determinare:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
la matrice rappresentativa nella base canonica di R3 ;
il nucleo di f e, se esiste, una sua base;
l’immagine di f e, se esiste, una sua base;
una base per il sottospazio ortogonale ad f (R3 );
gli autovalori di f e le relative molteplicità;
gli autospazi di f ed una base di ognuno di essi;
dire se f è semplice;
una base ortogonale di R3 , se esiste, formata da autovettori di f .
Data: 18/07/2011.
ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU)
Nome e cognome:
Matricola:
Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame:
•
•
•
•
Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola.
La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente.
La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali.
Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari omogeneo:

x1 + 2x2 + x4 = 0




2x1 + x3 = 0
Σ:

−x1 + 2x2 − x3 + x4 = 0



2x1 − x3 − x4 = 0
a) Determinare la soluzione generale SΣ del sistema.
b) Determinare la dimensione dello spazio SΣ .
c∗) Scrivere, se esiste, una base per il complemento ortogonale (SΣ )⊥ .
Esercizio 2
Sia Vλ il sottospazio di R4 , dipendente da parametro λ ∈ R, generato dai vettori:
v1 = (3, 0, λ + 1, 0) ,
v2 = (2, 2, λ, 2) ,
v3 = (3, 0, 2λ − 1, λ − 6) ,
v4 = (1, 1, λ − 1, 2λ − 11) .
a) Determinare, in funzione del parametro λ, la dimensione di Vλ .
b∗) Determinare, al variare di λ, una base di Vλ⊥ .
Esercizio 3
Detta A la matrice:
a)
b)
c)
d)
e∗)
f ∗)


2 0 −1
A= 0 2 0
−1 0 2
Scrivere il polinomio caratteristico di A.
Determinare gli autovalori di A.
Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A.
La matrice A è diagonalizzabile?
La matrice A è invertibile?
Determinare l’inversa di A.
Data: 20/09/2011.
ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU)
Nome e cognome:
Matricola:
Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame:
•
•
•
•
Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola.
La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente.
La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali.
Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari omogeneo:

−x1 + 2x2 − 4x3 − x4 = 0




x1 + 3x3 + x4 = 0
Σ:

4x1 + 4x2 + 10x3 + 4x4 = 0



x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 0
a) Determinare la soluzione generale SΣ del sistema.
b) Determinare la dimensione dello spazio SΣ .
c∗) Scrivere, se esiste, una base per il complemento ortogonale (SΣ )⊥ .
Esercizio 2
Sia Vλ il sottospazio di R4 , dipendente da parametro λ ∈ R, generato dai vettori:
v1 = (0, 2, 2λ − 4, 2λ) ,
v2 = (3, 0, 3, 2λ + 10) ,
v3 = (0, 1, 3λ − 8, λ) ,
v4 = (1, 0, λ − 2, 2) .
a) Determinare, in funzione del parametro λ, la dimensione di Vλ .
b∗) Determinare, al variare di λ, una base di Vλ⊥ .
Esercizio 3
Detta A la matrice:
a)
b)
c)
d)
e∗)
f ∗)


1 0 4
A=0 1 0
4 0 7
Scrivere il polinomio caratteristico di A.
Determinare gli autovalori di A.
Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A.
La matrice A è diagonalizzabile?
La matrice A è invertibile?
Determinare l’inversa di A.
Data: 20/09/2011.
ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU)
Nome e cognome:
Matricola:
Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame:
•
•
•
•
Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola.
La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente.
La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali.
Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari omogeneo:

x1 + 2x2 + x4 = 0




2x1 + x3 = 0
Σ:

−x1 + 2x2 − x3 + x4 = 0



−3x1 − 2x2 − x3 − x4 = 0
a) Determinare la soluzione generale SΣ del sistema.
b) Determinare la dimensione dello spazio SΣ .
c∗) Scrivere, se esiste, una base per il complemento ortogonale (SΣ )⊥ .
Esercizio 2
Sia Vλ il sottospazio di R4 , dipendente da parametro λ ∈ R, generato dai vettori:
v2 = (2, 0, λ − 1, λ + 3) ,
v1 = (1, 1, λ, 1) ,
v3 = (1, 0, 0, 1) ,
v4 = (1, 1, 1, λ + 2) .
a) Determinare, in funzione del parametro λ, la dimensione di Vλ .
b∗) Determinare, al variare di λ, una base di Vλ⊥ .
Esercizio 3
Detta A la matrice:
a)
b)
c)
d)
e∗)
f ∗)


3 0 3
A=0 4 0
3 0 −5
Scrivere il polinomio caratteristico di A.
Determinare gli autovalori di A.
Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A.
La matrice A è diagonalizzabile?
La matrice A è invertibile?
Determinare l’inversa di A.
Data: 20/09/2011.
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La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente.
La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali.
Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari omogeneo:

x2 + x4 = 0




x1 + x2 + 2x3 + x4 = 0
Σ:

x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 0



−3x1 + 2x2 − 2x3 + 2x4 = 0
a) Determinare la soluzione generale SΣ del sistema.
b) Determinare la dimensione dello spazio SΣ .
c∗) Scrivere, se esiste, una base per il complemento ortogonale (SΣ )⊥ .
Esercizio 2
Sia Vλ il sottospazio di R4 , dipendente da parametro λ ∈ R, generato dai vettori:
v1 = (1, 2, 0, −3) ,
v2 = (3λ + 5, 0, λ, 1) ,
v3 = (2, −1, 0, 2) ,
v4 = (3λ, −5, λ, 8) .
a) Determinare, in funzione del parametro λ, la dimensione di Vλ .
b∗) Determinare, al variare di λ, una base di Vλ⊥ .
Esercizio 3
Detta A la matrice:
a)
b)
c)
d)
e∗)
f ∗)


−3 0 1
A= 0 2 0
1 0 −3
Scrivere il polinomio caratteristico di A.
Determinare gli autovalori di A.
Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A.
La matrice A è diagonalizzabile?
La matrice A è invertibile?
Determinare l’inversa di A.
Data: 20/09/2011.
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La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente.
La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali.
Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari omogeneo:

3x1 − 9x2 − 4x3 − x4 = 0




x 3 + x4 = 0
Σ:

x1 + 3x2 + 2x3 + 2x4 = 0



−6x1 + x3 − 2x4 = 0
a) Determinare la soluzione generale SΣ del sistema.
b) Determinare la dimensione dello spazio SΣ .
c∗) Scrivere, se esiste, una base per il complemento ortogonale (SΣ )⊥ .
Esercizio 2
Sia Vλ il sottospazio di R4 , dipendente da parametro λ ∈ R, generato dai vettori:
v1 = (1, −1, 4, λ − 2) ,
v2 = (1, 1, 2λ + 6, −λ + 4) ,
v3 = (−1, 0, λ + 1, −1) ,
v4 = (1, 1, 3λ + 9, λ) .
a) Determinare, in funzione del parametro λ, la dimensione di Vλ .
b∗) Determinare, al variare di λ, una base di Vλ⊥ .
Esercizio 3
Detta A la matrice:
a)
b)
c)
d)
e∗)
f ∗)


3 0 −2
A =  0 −1 0 
−2 0 6
Scrivere il polinomio caratteristico di A.
Determinare gli autovalori di A.
Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A.
La matrice A è diagonalizzabile?
La matrice A è invertibile?
Determinare l’inversa di A.
Data: 20/09/2011.
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La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente.
La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali.
Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari omogeneo:

−x1 + 2x2 − 4x3 − x4 = 0




x1 + 3x3 + x4 = 0
Σ:

4x1 + 2x2 + 10x3 + 4x4 = 0



x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 0
a) Determinare la soluzione generale SΣ del sistema.
b) Determinare la dimensione dello spazio SΣ .
c∗) Scrivere, se esiste, una base per il complemento ortogonale (SΣ )⊥ .
Esercizio 2
Sia Vλ il sottospazio di R4 , dipendente da parametro λ ∈ R, generato dai vettori:
v1 = (4, 0, −1, 2) ,
v2 = (0, λ + 1, 5, 4) ,
v3 = (10, 1, 2λ − 2, λ + 6) ,
v4 = (−2, 1, 3, 1) .
a) Determinare, in funzione del parametro λ, la dimensione di Vλ .
b∗) Determinare, al variare di λ, una base di Vλ⊥ .
Esercizio 3
Detta A la matrice:
a)
b)
c)
d)
e∗)
f ∗)


1 0 3
A =  0 −2 0 
3 0 1
Scrivere il polinomio caratteristico di A.
Determinare gli autovalori di A.
Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A.
La matrice A è diagonalizzabile?
La matrice A è invertibile?
Determinare l’inversa di A.
Data: 20/09/2011.
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La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente.
La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali.
Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari omogeneo:

3x1 − 9x2 − 4x3 − x4 = 0




x 3 + x4 = 0
Σ:

x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 0



−6x1 + x3 − 5x4 = 0
a) Determinare la soluzione generale SΣ del sistema.
b) Determinare la dimensione dello spazio SΣ .
c∗) Scrivere, se esiste, una base per il complemento ortogonale (SΣ )⊥ .
Esercizio 2
Sia Vλ il sottospazio di R4 , dipendente da parametro λ ∈ R, generato dai vettori:
v1 = (0, 1, −2, 2λ + 5) ,
v2 = (0, 0, 3, λ + 7) ,
v3 = (0, 2, −λ + 6, 6) ,
v4 = (2, 0, λ − 8, 4) .
a) Determinare, in funzione del parametro λ, la dimensione di Vλ .
b∗) Determinare, al variare di λ, una base di Vλ⊥ .
Esercizio 3
Detta A la matrice:
a)
b)
c)
d)
e∗)
f ∗)


1 0 −5
A= 0 2 0
−5 0 1
Scrivere il polinomio caratteristico di A.
Determinare gli autovalori di A.
Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A.
La matrice A è diagonalizzabile?
La matrice A è invertibile?
Determinare l’inversa di A.
Data: 20/09/2011.
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La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente.
La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali.
Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari omogeneo:

x2 + x4 = 0




x1 + x2 + 2x3 + x4 = 0
Σ:

x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 0



−x1 + 2x2 − 2x3 + 2x4 = 0
a) Determinare la soluzione generale SΣ del sistema.
b) Determinare la dimensione dello spazio SΣ .
c∗) Scrivere, se esiste, una base per il complemento ortogonale (SΣ )⊥ .
Esercizio 2
Sia Vλ il sottospazio di R4 , dipendente da parametro λ ∈ R, generato dai vettori:
v1 = (3, 0, 2λ − 1, λ − 2) ,
v2 = (2, 2, λ, 2) ,
v4 = (1, 1, λ − 1, 2λ − 3) .
v3 = (3, 0, λ + 1, 0) ,
a) Determinare, in funzione del parametro λ, la dimensione di Vλ .
b∗) Determinare, al variare di λ, una base di Vλ⊥ .
Esercizio 3
Detta A la matrice:
a)
b)
c)
d)
e∗)
f ∗)


1 0 −2
A= 0 3 0
−2 0 −2
Scrivere il polinomio caratteristico di A.
Determinare gli autovalori di A.
Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A.
La matrice A è diagonalizzabile?
La matrice A è invertibile?
Determinare l’inversa di A.
Data: 20/09/2011.
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•
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Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola.
La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente.
La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali.
Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il sistema di equazioni lineari dipendente da un parametro λ:


 (λ + 1)x1 − λx2 + x3 = λ
(2λ − 4)x1 − (λ − 2)x2 = 0


x1 − λx2 + x3 = 1
a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile.
b) Nei casi in cui il sistema è compatibile, determinare la soluzione generale.
Esercizio 2
Detta A la matrice:
a)
b)
c)
d)


6 0 8
A=0 5 0
8 0 −6
Scrivere il polinomio caratteristico di A.
Determinare gli autovalori di A.
Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A.
Dire se la matrice A è diagonalizzabile e/o invertibile.
Esercizio 3
Siano B e C le due matrici seguenti:


−1
3 −2
0 7
B= 5
3 −4 5
a)
b)
c)
d)


−1 −3 0
C =  1 0 −1 
0 4 −2
Calcolare la somma B + C.
Scrivere una base per lo spazio generato dalle colonne di B.
Scrivere una base per lo spazio generato dalle righe di C.
Quando vale il rango delle matrici B, C e B + C?
Data: 19/12/2011.
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La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente.
La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali.
Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il sistema di equazioni lineari dipendente da un parametro λ:


 x1 + 2x2 + 3x3 = 4
λx1 − 2x2 − 3x3 = −4


x1 − 2λx2 + 3x3 = 4
a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile.
b) Nei casi in cui il sistema è compatibile, determinare la soluzione generale.
Esercizio 2
Detta A la matrice:
a)
b)
c)
d)


4 0 2
A=0 5 0
2 0 1
Scrivere il polinomio caratteristico di A.
Determinare gli autovalori di A.
Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A.
Dire se la matrice A è diagonalizzabile e/o invertibile.
Esercizio 3
Siano B e C le due matrici seguenti:


8 −3 5
B =  −1 0 −1 
1 4 1
a)
b)
c)
d)


−2
3 −1
0 5
C= 7
5 −4 3
Calcolare la somma B + C.
Scrivere una base per lo spazio generato dalle colonne di B.
Scrivere una base per lo spazio generato dalle righe di C.
Quando vale il rango delle matrici B, C e B + C?
Data: 19/12/2011.
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•
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Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola.
La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente.
La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali.
Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il sistema di equazioni lineari dipendente


x1 +
2x2 + x3 + x4



 λx +
2x2 + λx3 + x4
1

x1 +
2x2 − λx3 − λx4



 x + (λ + 1)x + x + λx
1
2
3
4
da un parametro λ:
=0
= 2(λ − 1)
=0
=1−λ
a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile.
b) In tutti i casi in cui il sistema è compatibile, determinare la soluzione generale.
Esercizio 2
Si consideri l’applicazione lineare f : R3 → R3 data da:
f (x1 , x2 , x3 ) := ( x1 − 3x3 , x1 + 2x2 + x3 , x2 + 2x3 )
a) Determinare una base, se esiste, del nucleo di f .
b) Determinare una base, se esiste, dell’immagine di f .
c) Il vettore v = (0, 0, 1) è nel nucleo di f ? E’ nell’immagine?
Esercizio 3
Siano B e C le matrici seguenti:


5 −2 1
B = −2 1 0 
1 0 1


5 −2 1
C = −2 1 0 
1 0 2
a) Determinare gli autovalori di B e le relative molteplicità algebriche.
b) Dire se C è invertibile e, in caso affermativo, determinare l’inversa.
Data: 30/01/2012.
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La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente.
La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali.
Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il sistema di equazioni lineari dipendente da


x1 − x2 + 2x3 + x4




x1 − x2 − 2λx3 − λx4

(λ + 1)x1 − x2 + 2x3 + x4




x + λx + 2x − λx
1
2
3
4
un parametro λ:
=
0
=
1
=
0
= −1
a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile.
b) In tutti i casi in cui il sistema è compatibile, determinare la soluzione generale.
Esercizio 2
Si consideri l’applicazione lineare f : R3 → R3 data da:
f (x1 , x2 , x3 ) := ( 5x1 − x2 − 2x3 , −2x1 + x2 , x1 + x3 )
a) Determinare una base, se esiste, del nucleo di f .
b) Determinare una base, se esiste, dell’immagine di f .
c) Il vettore v = (0, 1, 2) è nel nucleo di f ? E’ nell’immagine?
Esercizio 3
Siano B e C le matrici seguenti:


1 1 0
B =1 1 1
0 1 1


0 0 1
C =0 1 0
1 0 0
a) Determinare gli autovalori di B e le relative molteplicità algebriche.
b) Dire se C è invertibile e, in caso affermativo, determinare l’inversa.
Data: 30/01/2012.
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La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente.
La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali.
Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il sistema di equazioni lineari dipendente da un parametro λ:


x1 +
2x2 + x3 + x4 = 0



 λx +
2x2 + λx3 + x4 = 1
1

x1 +
2x2 − λx3 − λx4 = 0



 x + (λ + 1)x + x + λx = −1
1
2
3
4
a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile.
b) In tutti i casi in cui il sistema è compatibile, determinare la soluzione generale.
Esercizio 2
Si consideri l’applicazione lineare f : R3 → R3 data da:
f (x1 , x2 , x3 ) := ( x1 + x2 , x1 + x3 , x2 − x3 )
a) Determinare una base, se esiste, del nucleo di f .
b) Determinare una base, se esiste, dell’immagine di f .
c) Il vettore v = (−3, 3, 3) è nel nucleo di f ? E’ nell’immagine?
Esercizio 3
Siano B e C le matrici seguenti:


1 1 0
B =1 2 1
0 1 1


1 1 0
C =1 1 1
0 1 1
a) Determinare gli autovalori di B e le relative molteplicità algebriche.
b) Dire se C è invertibile e, in caso affermativo, determinare l’inversa.
Data: 30/01/2012.
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Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame:
•
•
•
•
Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola.
La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente.
La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali.
Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti.
Esercizio 1
Si consideri il sistema di equazioni lineari dipendente da un parametro λ:


x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0




x1 − x2 − 2λx3 − λx4 = −λ − 1

(λ + 1)x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0




x + λx + 2x − λx = 0
1
2
3
4
a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile.
b) In tutti i casi in cui il sistema è compatibile, determinare la soluzione generale.
Esercizio 2
Si consideri l’applicazione lineare f : R3 → R3 data da:
f (x1 , x2 , x3 ) := ( x1 + x2 , x1 + 2x2 + x3 , x2 + x3 )
a) Determinare una base, se esiste, del nucleo di f .
b) Determinare una base, se esiste, dell’immagine di f .
c) Il vettore v = (5, 2, −3) è nel nucleo di f ? E’ nell’immagine?
Esercizio 3
Siano B e C le matrici seguenti:


1 1 0
B =1 0 1
0 1 −1


0 1 0
C =  0 0 −1 
1 0 0
a) Determinare gli autovalori di B e le relative molteplicità algebriche.
b) Dire se C è invertibile e, in caso affermativo, determinare l’inversa.
Data: 30/01/2012.