ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6
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ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • Rispondere in maniera più chiara e concisa possibile. Evidenziare la risposta finale. • La soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali. Possono essere tolti punti, se non riesco a capire come siete arrivati alla risposta finale (anche se la risposta finale è corretta). • Il test dura 2 ore e 1/2. Per superarlo occorre prendere almeno 15/30. Il voto massimo che darò allo scritto è 26/30. Per prendere più di 26 bisogna sostenere un buon orale. Esercizio 1 Si consideri il sistema di equazioni lineari: x1 − x3 = −1 λx1 + x2 + 2x3 = 3 x2 + 3x3 = 3 a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile. b) Per i valori di λ trovati al punto a), risolvere il sistema. Esercizio 2 Nello spazio vettoriale R4 si considerino i seguenti sottospazi: V := L (1, 3, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (−4, 0, 2, 6), (3, 1, 2, −7) , W := (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 + 3x2 + x4 = x2 − x3 = 0 . a) Si determini, se esiste, una base per ciascuno dei sottospazi: V , W , V + W . b) Detta f : R4 → R2 l’applicazione f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( 2x1 + x3 + x4 , 3x1 + 4x2 + 2x4 ), si determini la dimensione di f (W ). Esercizio 3 Si consideri la matrice: 3 5 4 A = −2 1 −7 −2 0 −6 a) Stabilire se la matrice A è diagonalizzabile. b) Stabilire se il vettore v = t (1, 1, 1) è nell’immagine dell’applicazione LA . Data: 27/06/2011 — Tema #1. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • Rispondere in maniera più chiara e concisa possibile. Evidenziare la risposta finale. • La soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali. Possono essere tolti punti, se non riesco a capire come siete arrivati alla risposta finale (anche se la risposta finale è corretta). • Il test dura 2 ore e 1/2. Per superarlo occorre prendere almeno 15/30. Il voto massimo che darò allo scritto è 26/30. Per prendere più di 26 bisogna sostenere un buon orale. Esercizio 1 Si dica per quali valori del parametro λ ∈ R il sistema di equazioni lineari: x1 + x3 = 0 x1 + λx2 + 2λx3 = 1 (λ + 1)x1 − x3 = 2 ammette un’unica soluzione. In tale caso, trovare la soluzione. Esercizio 2 Nello spazio vettoriale R4 si considerino i seguenti sottospazi: V := L (3, 1, −6, −2), (−4, 2, 5, 4), (−1, 13, −10, 6), (3, 11, −15, 2) , W := (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 + x2 − x4 = x2 + x3 − x4 = 0 . Si determini, se esiste, una base per ciascuno dei sottospazi: V , W , V ∩ W , V + W . Esercizio 3 Si considerino le matrici: 4 −6 3 A=0 2 1 0 0 λ λ 0 0 B=0 4 0 0 0 λ a) Stabilire per quali valori di λ ∈ R la matrice A è diagonalizzabile. b) Dire se esistono valori di λ ∈ R per i quali le matrici A e B sono simili. Data: 27/06/2011 — Tema #2. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • Rispondere in maniera più chiara e concisa possibile. • La soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali. Possono essere tolti punti, se non riesco a capire come siete arrivati alla risposta finale (anche se la risposta finale è corretta). • Il test dura 2 ore e 1/2. Per superarlo occorre prendere almeno 15/30. Il voto massimo che darò allo scritto è 26/30. Per prendere più di 26 bisogna sostenere un buon orale. Esercizio 1 Si consideri la matrice: 3 0 0 A=0 3 0 5 4 1 Determinare, se possibile, una base di R3 formata da autovettori di A. Esercizio 2 Sia V il seguente sottospazio di R4 : V := L (0, 1, 5, −1), (1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 0), (3, 3, 5, 0) . a) Si determini, se esiste, una base di V . b) Dire se il vettore w = (1, −2, 0, 1) appartiene al complemento ortogonale di V . Esercizio 3 Si consideri il sistema di equazioni lineari: 2x2 − (2λ − 6)x3 + 2λx4 x2 + (λ − 3)x3 + λx4 3x1 + 3x3 + (2λ + 4)x4 x1 + (λ − 2)x3 =1 =0 =3 =1 a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile. b) Per i valori di λ trovati al punto a), determinare la soluzione generale del sistema. b∗) Risolvere il sistema per λ = 2. Data: 04/07/2011 — Tema #1. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • Rispondere in maniera più chiara e concisa possibile. • La soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali. Possono essere tolti punti, se non riesco a capire come siete arrivati alla risposta finale (anche se la risposta finale è corretta). • Il test dura 2 ore e 1/2. Per superarlo occorre prendere almeno 15/30. Il voto massimo che darò allo scritto è 26/30. Per prendere più di 26 bisogna sostenere un buon orale. Esercizio 1 Si consideri la matrice: 1 0 0 A=2 3 0 3 1 4 Determinare, se possibile, una base di R3 formata da autovettori di A. Esercizio 2 Sia V il seguente sottospazio di R4 : V := L (1, 0, 1, 3), (2, 2, 1, 2), (3, 6, 0, 5), (0, 2, −1, 0) . a) Si determini, se esiste, una base di V . b) Dire se il vettore w = (−2, 1, 2, 0) appartiene al complemento ortogonale di V . Esercizio 3 Si consideri il sistema di equazioni lineari: 3x1 + (λ + 6)x2 2x + (λ + 5)x + x + (λ − 2)x 1 2 3 4 x1 + x2 + (λ − 3)x4 x1 + x2 + x3 + x4 =1 =2 =1 =0 a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile. b) Per i valori di λ trovati al punto a), determinare la soluzione generale del sistema. b∗) Risolvere il sistema per λ = 2. Data: 04/07/2011 — Tema #2. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • Rispondere in maniera più chiara e concisa possibile. • La soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali. Possono essere tolti punti, se non riesco a capire come siete arrivati alla risposta finale (anche se la risposta finale è corretta). • Il test dura 2 ore e 1/2. Per superarlo occorre prendere almeno 15/30. Il voto massimo che darò allo scritto è 26/30. Per prendere più di 26 bisogna sostenere un buon orale. Esercizio 1 Si consideri la matrice: 3 0 0 A=1 7 0 5 4 1 Determinare, se possibile, una base di R3 formata da autovettori di A. Esercizio 2 Sia V il seguente sottospazio di R4 : V := L (6, −2, −4, 2), (0, 1, 2, 0), (9, −3, −6, 3), (3, 0, 0, 1) . a) Si determini, se esiste, una base di V . b) Dire quali fra i vettori w1 = (1, 0, 0, 1) e w2 = (1, 2, −1, −3) appartengono a V ⊥ . Esercizio 3 Si consideri il sistema di equazioni lineari: 2x1 + 2x2 + (λ − 1)x3 2x1 + (λ + 1)x3 x1 + x2 + (λ − 1)x3 + (2λ − 4)x4 4x1 + 4(2λ − 1)x3 + 4(λ − 2)x4 =2 =1 =1 =7 a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile. b) Per i valori di λ trovati al punto a), determinare la soluzione generale del sistema. b∗) Risolvere il sistema per λ = 0. Data: 04/07/2011 — Tema #3. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • Rispondere in maniera più chiara e concisa possibile. • La soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali. Possono essere tolti punti, se non riesco a capire come siete arrivati alla risposta finale (anche se la risposta finale è corretta). • Il test dura 2 ore e 1/2. Per superarlo occorre prendere almeno 15/30. Il voto massimo che darò allo scritto è 26/30. Per prendere più di 26 bisogna sostenere un buon orale. Esercizio 1 Si consideri la matrice: 3 5 1 A= 0 1 0 −9 4 −3 Dire se la matrice A è diagonalizzabile e, in caso affermativo, determinare una matrice diagonalizzante. Esercizio 2 Nello spazio vettoriale R4 si considerino i seguenti sottospazi: V := L (0, 3, 2, 1), (1, 2, 3, 0), (3, −1, −1, 1), (2, −1, 0, 0) , W := (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 + 2x2 − 3x3 = x3 − 2x4 = 0 . Si determini, se esiste, una base di V ed una di V ∩ W . Esercizio 3 Si consideri il sistema di equazioni lineari: x2 + (λ + 2)x3 + (λ + 3)x4 x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 (λ − 1)x1 + 2x2 + λx3 + 2x4 x2 + x4 =2 =3 =5 =2 a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile. b) Per i valori di λ trovati al punto a), determinare la soluzione generale del sistema. b∗) Risolvere il sistema per λ = 1. Data: 04/07/2011 — Tema #4. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. • La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali. • Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il seguente sistema lineare dipendente da un parametro λ ∈ R: λx1 + x2 = 0 (λ − 1)x1 + (λ − 1)x2 + (2λ − 2)x3 = 0 λx1 + (2 − λ)x2 = 0 a) dire per quali valori di λ il sistema ammette infinite soluzioni; b) per i valori di λ trovati al punto a), determinare una base per lo spazio delle soluzioni. Esercizio 2 In R4 , si considerino i vettori v1 = (1, 1, 1, 1) e v2 = (1, −1, 3, 1). Determinare: a) un vettore non nullo ortogonale a v2 (uno a piacere); b) un vettore non nullo (a piacere) che formi con v1 un angolo di 30◦ ; c) una base ortonormale per L(v1 , v2 ). Esercizio 3 Detta A la matrice: 1 0 0 A=1 3 0 0 1 1 a) stabilire se A è diagonalizzabile; b) stabilire se A è invertibile e, in caso affermativo, determinare l’inversa di A; c) detta f l’applicazione lineare rappresentata (nella base canonica di R3 ) dalla matrice A, determinare l’immagine tramite f del vettore v = t (1, 1, 1); e) detto X = t (x1 , x2 , x3 ), quante soluzioni ammette il sistema lineare AX = 0? f) risolvere il sistema lineare AX = B, con B = t (1, 1, 1). Data: 18/07/2011. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. • La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali. • Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il seguente sistema lineare omogeneo dipendente da un parametro λ ∈ R: x1 + 2x3 = 0 λx1 + λx3 = 0 2x1 + (λ − 4)x2 + x3 = 0 a) dire per quali valori di λ il sistema ammette infinite soluzioni; b) per i valori di λ trovati al punto a), determinare una base per lo spazio delle soluzioni. Esercizio 2 In R4 , si considerino i vettori v1 = (3, 4, 0, 0) e v2 = (2, 1, 1, 2). Determinare: a) un vettore non nullo ortogonale a v2 (uno a piacere); b) un vettore non nullo (a piacere) che formi con v1 un angolo di 60◦ ; c) una base ortonormale per L(v1 , v2 ). Esercizio 3 Detta f : R3 → R3 l’applicazione lineare f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 , x1 − x3 , x1 + 2x2 + 3x3 ) determinare: a) b) c) d) e) f) g) h) la matrice rappresentativa nella base canonica di R3 ; il nucleo di f e, se esiste, una sua base; l’immagine di f e, se esiste, una sua base; una base per il sottospazio ortogonale ad f (R3 ); gli autovalori di f e le relative molteplicità; gli autospazi di f ed una base di ognuno di essi; dire se f è semplice; una base ortogonale di R3 , se esiste, formata da autovettori di f . Data: 18/07/2011. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. • La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali. • Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il seguente sistema lineare dipendente da un parametro λ ∈ R: x1 + 3x3 = 0 −2x1 + (8λ + 8)x2 + (8 + 2λ)x3 = 0 (λ − 1)x1 + (λ − 1)x3 = 0 a) dire per quali valori di λ il sistema ammette infinite soluzioni; b) per i valori di λ trovati al punto a), determinare una base per lo spazio delle soluzioni. Esercizio 2 In R4 , si considerino i vettori v1 = (1, −1, −1, 1) e v2 = (1, −3, 1, 1). Determinare: a) un vettore non nullo ortogonale a v2 (uno a piacere); b) un vettore non nullo (a piacere) che formi con v1 un angolo di 30◦ ; c) una base ortonormale per L(v1 , v2 ). Esercizio 3 Detta A la matrice: 2 3 5 A=0 1 0 0 0 1 a) stabilire se A è diagonalizzabile; b) stabilire se A è invertibile e, in caso affermativo, determinare l’inversa di A; c) detta f l’applicazione lineare rappresentata (nella base canonica di R3 ) dalla matrice A, determinare l’immagine tramite f del vettore v = t (3, 0, 1); e) detto X = t (x1 , x2 , x3 ), quante soluzioni ammette il sistema lineare AX = 0? f) risolvere il sistema lineare AX = B, con B = t (3, 0, 1). Data: 18/07/2011. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. • La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali. • Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il seguente sistema lineare omogeneo dipendente da un parametro λ ∈ R: x1 + 2x2 = 0 2x1 + 2x2 = 0 λx1 + 3λx3 = 0 a) dire per quali valori di λ il sistema ammette infinite soluzioni; b) per i valori di λ trovati al punto a), determinare una base per lo spazio delle soluzioni. Esercizio 2 In R4 , si considerino i vettori v1 = (3, 0, 0, 3) e v2 = (1, 1, 1, 1). Determinare: a) un vettore non nullo ortogonale a v2 (uno a piacere); b) un vettore non nullo (a piacere) che formi con v1 un angolo di 60◦ ; c) una base ortonormale per L(v1 , v2 ). Esercizio 3 Detta f : R3 → R3 l’applicazione lineare f (x1 , x2 , x3 ) = (−5x1 + 2x2 + x3 , 2x1 − 2x2 + 2x3 , x1 + 2x2 − 5x3 ) determinare: a) b) c) d) e) f) g) h) la matrice rappresentativa nella base canonica di R3 ; il nucleo di f e, se esiste, una sua base; l’immagine di f e, se esiste, una sua base; una base per il sottospazio ortogonale ad f (R3 ); gli autovalori di f e le relative molteplicità; gli autospazi di f ed una base di ognuno di essi; dire se f è semplice; una base ortogonale di R3 , se esiste, formata da autovettori di f . Data: 18/07/2011. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. • La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali. • Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il seguente sistema lineare dipendente da un parametro λ ∈ R: 2x1 + λx2 = 0 7x1 + λx2 + (λ + 1)x3 = 0 (λ + 2)x1 − 2x2 = 0 a) dire per quali valori di λ il sistema ammette infinite soluzioni; b) per i valori di λ trovati al punto a), determinare una base per lo spazio delle soluzioni. Esercizio 2 In R4 , si considerino i vettori v1 = (0, 4, 0, 3) e v2 = (0, 7, 0, −1). Determinare: a) un vettore non nullo ortogonale a v2 (uno a piacere); b) un vettore non nullo (a piacere) che formi con v1 un angolo di 30◦ ; c) una base ortonormale per L(v1 , v2 ). Esercizio 3 Detta A la matrice: 1 0 0 A=4 1 0 5 1 3 a) stabilire se A è diagonalizzabile; b) stabilire se A è invertibile e, in caso affermativo, determinare l’inversa di A; c) detta f l’applicazione lineare rappresentata (nella base canonica di R3 ) dalla matrice A, determinare l’immagine tramite f del vettore v = t (1, 1, 2); e) detto X = t (x1 , x2 , x3 ), quante soluzioni ammette il sistema lineare AX = 0? f) risolvere il sistema lineare AX = B, con B = t (1, 1, 2). Data: 18/07/2011. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. • La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione all’esercizio deve contenere tutti i passaggi essenziali. • Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il seguente sistema lineare omogeneo dipendente da un parametro λ ∈ R: 3x1 + λx3 = 0 x1 + (λ − 3)x2 + x3 = 0 λx1 + 3x3 = 0 a) dire per quali valori di λ il sistema ammette infinite soluzioni; b) per i valori di λ trovati al punto a), determinare una base per lo spazio delle soluzioni. Esercizio 2 In R4 , si considerino i vettori v1 = (0, 6, 8, 0) e v2 = (2, 2, 2, 2). Determinare: a) un vettore non nullo ortogonale a v2 (uno a piacere); b) un vettore non nullo (a piacere) che formi con v1 un angolo di 60◦ ; c) una base ortonormale per L(v1 , v2 ). Esercizio 3 Detta f : R3 → R3 l’applicazione lineare f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 , −x1 − 2x2 , −3x1 − 9x2 + x3 ) determinare: a) b) c) d) e) f) g) h) la matrice rappresentativa nella base canonica di R3 ; il nucleo di f e, se esiste, una sua base; l’immagine di f e, se esiste, una sua base; una base per il sottospazio ortogonale ad f (R3 ); gli autovalori di f e le relative molteplicità; gli autospazi di f ed una base di ognuno di essi; dire se f è semplice; una base ortogonale di R3 , se esiste, formata da autovettori di f . Data: 18/07/2011. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • • • • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali. Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari omogeneo: x1 + 2x2 + x4 = 0 2x1 + x3 = 0 Σ: −x1 + 2x2 − x3 + x4 = 0 2x1 − x3 − x4 = 0 a) Determinare la soluzione generale SΣ del sistema. b) Determinare la dimensione dello spazio SΣ . c∗) Scrivere, se esiste, una base per il complemento ortogonale (SΣ )⊥ . Esercizio 2 Sia Vλ il sottospazio di R4 , dipendente da parametro λ ∈ R, generato dai vettori: v1 = (3, 0, λ + 1, 0) , v2 = (2, 2, λ, 2) , v3 = (3, 0, 2λ − 1, λ − 6) , v4 = (1, 1, λ − 1, 2λ − 11) . a) Determinare, in funzione del parametro λ, la dimensione di Vλ . b∗) Determinare, al variare di λ, una base di Vλ⊥ . Esercizio 3 Detta A la matrice: a) b) c) d) e∗) f ∗) 2 0 −1 A= 0 2 0 −1 0 2 Scrivere il polinomio caratteristico di A. Determinare gli autovalori di A. Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A. La matrice A è diagonalizzabile? La matrice A è invertibile? Determinare l’inversa di A. Data: 20/09/2011. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • • • • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali. Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari omogeneo: −x1 + 2x2 − 4x3 − x4 = 0 x1 + 3x3 + x4 = 0 Σ: 4x1 + 4x2 + 10x3 + 4x4 = 0 x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 0 a) Determinare la soluzione generale SΣ del sistema. b) Determinare la dimensione dello spazio SΣ . c∗) Scrivere, se esiste, una base per il complemento ortogonale (SΣ )⊥ . Esercizio 2 Sia Vλ il sottospazio di R4 , dipendente da parametro λ ∈ R, generato dai vettori: v1 = (0, 2, 2λ − 4, 2λ) , v2 = (3, 0, 3, 2λ + 10) , v3 = (0, 1, 3λ − 8, λ) , v4 = (1, 0, λ − 2, 2) . a) Determinare, in funzione del parametro λ, la dimensione di Vλ . b∗) Determinare, al variare di λ, una base di Vλ⊥ . Esercizio 3 Detta A la matrice: a) b) c) d) e∗) f ∗) 1 0 4 A=0 1 0 4 0 7 Scrivere il polinomio caratteristico di A. Determinare gli autovalori di A. Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A. La matrice A è diagonalizzabile? La matrice A è invertibile? Determinare l’inversa di A. Data: 20/09/2011. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • • • • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali. Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari omogeneo: x1 + 2x2 + x4 = 0 2x1 + x3 = 0 Σ: −x1 + 2x2 − x3 + x4 = 0 −3x1 − 2x2 − x3 − x4 = 0 a) Determinare la soluzione generale SΣ del sistema. b) Determinare la dimensione dello spazio SΣ . c∗) Scrivere, se esiste, una base per il complemento ortogonale (SΣ )⊥ . Esercizio 2 Sia Vλ il sottospazio di R4 , dipendente da parametro λ ∈ R, generato dai vettori: v2 = (2, 0, λ − 1, λ + 3) , v1 = (1, 1, λ, 1) , v3 = (1, 0, 0, 1) , v4 = (1, 1, 1, λ + 2) . a) Determinare, in funzione del parametro λ, la dimensione di Vλ . b∗) Determinare, al variare di λ, una base di Vλ⊥ . Esercizio 3 Detta A la matrice: a) b) c) d) e∗) f ∗) 3 0 3 A=0 4 0 3 0 −5 Scrivere il polinomio caratteristico di A. Determinare gli autovalori di A. Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A. La matrice A è diagonalizzabile? La matrice A è invertibile? Determinare l’inversa di A. Data: 20/09/2011. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • • • • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali. Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari omogeneo: x2 + x4 = 0 x1 + x2 + 2x3 + x4 = 0 Σ: x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 0 −3x1 + 2x2 − 2x3 + 2x4 = 0 a) Determinare la soluzione generale SΣ del sistema. b) Determinare la dimensione dello spazio SΣ . c∗) Scrivere, se esiste, una base per il complemento ortogonale (SΣ )⊥ . Esercizio 2 Sia Vλ il sottospazio di R4 , dipendente da parametro λ ∈ R, generato dai vettori: v1 = (1, 2, 0, −3) , v2 = (3λ + 5, 0, λ, 1) , v3 = (2, −1, 0, 2) , v4 = (3λ, −5, λ, 8) . a) Determinare, in funzione del parametro λ, la dimensione di Vλ . b∗) Determinare, al variare di λ, una base di Vλ⊥ . Esercizio 3 Detta A la matrice: a) b) c) d) e∗) f ∗) −3 0 1 A= 0 2 0 1 0 −3 Scrivere il polinomio caratteristico di A. Determinare gli autovalori di A. Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A. La matrice A è diagonalizzabile? La matrice A è invertibile? Determinare l’inversa di A. Data: 20/09/2011. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • • • • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali. Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari omogeneo: 3x1 − 9x2 − 4x3 − x4 = 0 x 3 + x4 = 0 Σ: x1 + 3x2 + 2x3 + 2x4 = 0 −6x1 + x3 − 2x4 = 0 a) Determinare la soluzione generale SΣ del sistema. b) Determinare la dimensione dello spazio SΣ . c∗) Scrivere, se esiste, una base per il complemento ortogonale (SΣ )⊥ . Esercizio 2 Sia Vλ il sottospazio di R4 , dipendente da parametro λ ∈ R, generato dai vettori: v1 = (1, −1, 4, λ − 2) , v2 = (1, 1, 2λ + 6, −λ + 4) , v3 = (−1, 0, λ + 1, −1) , v4 = (1, 1, 3λ + 9, λ) . a) Determinare, in funzione del parametro λ, la dimensione di Vλ . b∗) Determinare, al variare di λ, una base di Vλ⊥ . Esercizio 3 Detta A la matrice: a) b) c) d) e∗) f ∗) 3 0 −2 A = 0 −1 0 −2 0 6 Scrivere il polinomio caratteristico di A. Determinare gli autovalori di A. Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A. La matrice A è diagonalizzabile? La matrice A è invertibile? Determinare l’inversa di A. Data: 20/09/2011. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • • • • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali. Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari omogeneo: −x1 + 2x2 − 4x3 − x4 = 0 x1 + 3x3 + x4 = 0 Σ: 4x1 + 2x2 + 10x3 + 4x4 = 0 x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 0 a) Determinare la soluzione generale SΣ del sistema. b) Determinare la dimensione dello spazio SΣ . c∗) Scrivere, se esiste, una base per il complemento ortogonale (SΣ )⊥ . Esercizio 2 Sia Vλ il sottospazio di R4 , dipendente da parametro λ ∈ R, generato dai vettori: v1 = (4, 0, −1, 2) , v2 = (0, λ + 1, 5, 4) , v3 = (10, 1, 2λ − 2, λ + 6) , v4 = (−2, 1, 3, 1) . a) Determinare, in funzione del parametro λ, la dimensione di Vλ . b∗) Determinare, al variare di λ, una base di Vλ⊥ . Esercizio 3 Detta A la matrice: a) b) c) d) e∗) f ∗) 1 0 3 A = 0 −2 0 3 0 1 Scrivere il polinomio caratteristico di A. Determinare gli autovalori di A. Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A. La matrice A è diagonalizzabile? La matrice A è invertibile? Determinare l’inversa di A. Data: 20/09/2011. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • • • • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali. Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari omogeneo: 3x1 − 9x2 − 4x3 − x4 = 0 x 3 + x4 = 0 Σ: x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 0 −6x1 + x3 − 5x4 = 0 a) Determinare la soluzione generale SΣ del sistema. b) Determinare la dimensione dello spazio SΣ . c∗) Scrivere, se esiste, una base per il complemento ortogonale (SΣ )⊥ . Esercizio 2 Sia Vλ il sottospazio di R4 , dipendente da parametro λ ∈ R, generato dai vettori: v1 = (0, 1, −2, 2λ + 5) , v2 = (0, 0, 3, λ + 7) , v3 = (0, 2, −λ + 6, 6) , v4 = (2, 0, λ − 8, 4) . a) Determinare, in funzione del parametro λ, la dimensione di Vλ . b∗) Determinare, al variare di λ, una base di Vλ⊥ . Esercizio 3 Detta A la matrice: a) b) c) d) e∗) f ∗) 1 0 −5 A= 0 2 0 −5 0 1 Scrivere il polinomio caratteristico di A. Determinare gli autovalori di A. Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A. La matrice A è diagonalizzabile? La matrice A è invertibile? Determinare l’inversa di A. Data: 20/09/2011. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • • • • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali. Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari omogeneo: x2 + x4 = 0 x1 + x2 + 2x3 + x4 = 0 Σ: x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 0 −x1 + 2x2 − 2x3 + 2x4 = 0 a) Determinare la soluzione generale SΣ del sistema. b) Determinare la dimensione dello spazio SΣ . c∗) Scrivere, se esiste, una base per il complemento ortogonale (SΣ )⊥ . Esercizio 2 Sia Vλ il sottospazio di R4 , dipendente da parametro λ ∈ R, generato dai vettori: v1 = (3, 0, 2λ − 1, λ − 2) , v2 = (2, 2, λ, 2) , v4 = (1, 1, λ − 1, 2λ − 3) . v3 = (3, 0, λ + 1, 0) , a) Determinare, in funzione del parametro λ, la dimensione di Vλ . b∗) Determinare, al variare di λ, una base di Vλ⊥ . Esercizio 3 Detta A la matrice: a) b) c) d) e∗) f ∗) 1 0 −2 A= 0 3 0 −2 0 −2 Scrivere il polinomio caratteristico di A. Determinare gli autovalori di A. Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A. La matrice A è diagonalizzabile? La matrice A è invertibile? Determinare l’inversa di A. Data: 20/09/2011. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • • • • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali. Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il sistema di equazioni lineari dipendente da un parametro λ: (λ + 1)x1 − λx2 + x3 = λ (2λ − 4)x1 − (λ − 2)x2 = 0 x1 − λx2 + x3 = 1 a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile. b) Nei casi in cui il sistema è compatibile, determinare la soluzione generale. Esercizio 2 Detta A la matrice: a) b) c) d) 6 0 8 A=0 5 0 8 0 −6 Scrivere il polinomio caratteristico di A. Determinare gli autovalori di A. Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A. Dire se la matrice A è diagonalizzabile e/o invertibile. Esercizio 3 Siano B e C le due matrici seguenti: −1 3 −2 0 7 B= 5 3 −4 5 a) b) c) d) −1 −3 0 C = 1 0 −1 0 4 −2 Calcolare la somma B + C. Scrivere una base per lo spazio generato dalle colonne di B. Scrivere una base per lo spazio generato dalle righe di C. Quando vale il rango delle matrici B, C e B + C? Data: 19/12/2011. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • • • • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali. Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il sistema di equazioni lineari dipendente da un parametro λ: x1 + 2x2 + 3x3 = 4 λx1 − 2x2 − 3x3 = −4 x1 − 2λx2 + 3x3 = 4 a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile. b) Nei casi in cui il sistema è compatibile, determinare la soluzione generale. Esercizio 2 Detta A la matrice: a) b) c) d) 4 0 2 A=0 5 0 2 0 1 Scrivere il polinomio caratteristico di A. Determinare gli autovalori di A. Scrivere, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A. Dire se la matrice A è diagonalizzabile e/o invertibile. Esercizio 3 Siano B e C le due matrici seguenti: 8 −3 5 B = −1 0 −1 1 4 1 a) b) c) d) −2 3 −1 0 5 C= 7 5 −4 3 Calcolare la somma B + C. Scrivere una base per lo spazio generato dalle colonne di B. Scrivere una base per lo spazio generato dalle righe di C. Quando vale il rango delle matrici B, C e B + C? Data: 19/12/2011. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • • • • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali. Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il sistema di equazioni lineari dipendente x1 + 2x2 + x3 + x4 λx + 2x2 + λx3 + x4 1 x1 + 2x2 − λx3 − λx4 x + (λ + 1)x + x + λx 1 2 3 4 da un parametro λ: =0 = 2(λ − 1) =0 =1−λ a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile. b) In tutti i casi in cui il sistema è compatibile, determinare la soluzione generale. Esercizio 2 Si consideri l’applicazione lineare f : R3 → R3 data da: f (x1 , x2 , x3 ) := ( x1 − 3x3 , x1 + 2x2 + x3 , x2 + 2x3 ) a) Determinare una base, se esiste, del nucleo di f . b) Determinare una base, se esiste, dell’immagine di f . c) Il vettore v = (0, 0, 1) è nel nucleo di f ? E’ nell’immagine? Esercizio 3 Siano B e C le matrici seguenti: 5 −2 1 B = −2 1 0 1 0 1 5 −2 1 C = −2 1 0 1 0 2 a) Determinare gli autovalori di B e le relative molteplicità algebriche. b) Dire se C è invertibile e, in caso affermativo, determinare l’inversa. Data: 30/01/2012. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • • • • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali. Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il sistema di equazioni lineari dipendente da x1 − x2 + 2x3 + x4 x1 − x2 − 2λx3 − λx4 (λ + 1)x1 − x2 + 2x3 + x4 x + λx + 2x − λx 1 2 3 4 un parametro λ: = 0 = 1 = 0 = −1 a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile. b) In tutti i casi in cui il sistema è compatibile, determinare la soluzione generale. Esercizio 2 Si consideri l’applicazione lineare f : R3 → R3 data da: f (x1 , x2 , x3 ) := ( 5x1 − x2 − 2x3 , −2x1 + x2 , x1 + x3 ) a) Determinare una base, se esiste, del nucleo di f . b) Determinare una base, se esiste, dell’immagine di f . c) Il vettore v = (0, 1, 2) è nel nucleo di f ? E’ nell’immagine? Esercizio 3 Siano B e C le matrici seguenti: 1 1 0 B =1 1 1 0 1 1 0 0 1 C =0 1 0 1 0 0 a) Determinare gli autovalori di B e le relative molteplicità algebriche. b) Dire se C è invertibile e, in caso affermativo, determinare l’inversa. Data: 30/01/2012. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • • • • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali. Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il sistema di equazioni lineari dipendente da un parametro λ: x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0 λx + 2x2 + λx3 + x4 = 1 1 x1 + 2x2 − λx3 − λx4 = 0 x + (λ + 1)x + x + λx = −1 1 2 3 4 a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile. b) In tutti i casi in cui il sistema è compatibile, determinare la soluzione generale. Esercizio 2 Si consideri l’applicazione lineare f : R3 → R3 data da: f (x1 , x2 , x3 ) := ( x1 + x2 , x1 + x3 , x2 − x3 ) a) Determinare una base, se esiste, del nucleo di f . b) Determinare una base, se esiste, dell’immagine di f . c) Il vettore v = (−3, 3, 3) è nel nucleo di f ? E’ nell’immagine? Esercizio 3 Siano B e C le matrici seguenti: 1 1 0 B =1 2 1 0 1 1 1 1 0 C =1 1 1 0 1 1 a) Determinare gli autovalori di B e le relative molteplicità algebriche. b) Dire se C è invertibile e, in caso affermativo, determinare l’inversa. Data: 30/01/2012. ESAME SCRITTO DI GEOMETRIA E ALGEBRA (6 CFU) Nome e cognome: Matricola: Leggere le informazioni prima di iniziare l’esame: • • • • Questo foglio va riconsegnato completo di nome, cognome e numero di matricola. La risposta finale alle domande degli esercizi deve essere indicata chiaramente. La soluzione degli esercizi deve contenere tutti i passaggi essenziali. Il test dura 2 ore e 1/2 e vale 26 punti. Esercizio 1 Si consideri il sistema di equazioni lineari dipendente da un parametro λ: x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0 x1 − x2 − 2λx3 − λx4 = −λ − 1 (λ + 1)x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0 x + λx + 2x − λx = 0 1 2 3 4 a) Stabilire per quali λ ∈ R il sistema è compatibile. b) In tutti i casi in cui il sistema è compatibile, determinare la soluzione generale. Esercizio 2 Si consideri l’applicazione lineare f : R3 → R3 data da: f (x1 , x2 , x3 ) := ( x1 + x2 , x1 + 2x2 + x3 , x2 + x3 ) a) Determinare una base, se esiste, del nucleo di f . b) Determinare una base, se esiste, dell’immagine di f . c) Il vettore v = (5, 2, −3) è nel nucleo di f ? E’ nell’immagine? Esercizio 3 Siano B e C le matrici seguenti: 1 1 0 B =1 0 1 0 1 −1 0 1 0 C = 0 0 −1 1 0 0 a) Determinare gli autovalori di B e le relative molteplicità algebriche. b) Dire se C è invertibile e, in caso affermativo, determinare l’inversa. Data: 30/01/2012.
