Cinematica - Colonia San Giuseppe

Lo studio dei moti
Appunti di Cinematica
Prof.ssa Tiziana Superchi
Dobbiamo conoscere
Alcune definizioni
Sistema di riferimento
Traiettoria
Punto materiale e punto mobile
Alcune grandezze
Tempo
Spazio
Velocità
Accelerazione
Dobbiamo saper descrivere
Il moto
rettilineo
Uniforme
Uniformemente
accelerato
I moti nel piano
Circolare
uniforme
Parabolico
Armonico
Sistemi di Riferimento
Il moto è relativo
Ogni moto va studiato dopo avere
fissato un sistema di riferimento, cioè
un punto di vista da cui osservare il
fenomeno
Un sistema di riferimento è
rappresentato da una terna di assi
cartesiani
In genere noi studiamo i fenomeni prendendo come sistema
di riferimento la Terra
L’insieme di tutti i corpi rispetto ai quali valutiamo se un
oggetto è fermo o in movimento è detto Sistema di
riferimento.
La traiettoria descritta da
un corpo in movimento è
l’insieme delle successive
posizioni da esso occupate
Si parla di punto
materiale quando il corpo
in questione è dotato di
dimensioni così piccole
da poter essere
considerato un punto.
In generale un corpo in
movimento si può trattare come
punto materiale quando gli
spostamenti che esso effettua
sono di gran lunga superiori
rispetto alle sue dimensioni.
Un corpo puntiforme in movimento
si definisce punto mobile.
La Velocità
La velocità è una grandezza vettoriale definita
come rapporto tra spazio percorso e tempo
impiegato a percorrerlo
v = ∆s/∆t = (s – s0)/(t – t0)
Dove s0 è lo spazio percorso all’istante t0 ed s lo
spazio percorso all’istante t.
L’unità di misura nel S.I. è il m/s
Il moto Rettilineo
Uniforme
Un moto si dice rettilineo uniforme quando il corpo percorre spazi uguali in uguali
intervalli di tempo, muovendosi in linea retta.
In questo caso la velocità è costante.
L’equazione oraria di questo tipo di moto, cioè la relazione esistente tra spazio e
tempo, è del tipo:
s = so +vt
è stata ottenuta dalla:
v = ∆s/∆t = (s – s0)/(t – t0)
ricavando:
(s-s0)=v(t- t0)
e quindi:
s= s0+v(t-t0)
e ponendo infine:
t0=0
Se in particolare poniamo anche s0 =0, cioè la posizione iniziale del
punto materiale coincide con l’origine del sistema di riferimento, otteniamo:
s = vt
Il grafico spazio-tempo è, quindi, una retta.
Dalla pendenza del grafico si può risalire al valore
della velocità, basta infatti determinare il
coefficiente angolare della retta.
Moto vario
Un moto è vario se la velocità non è costante.
In questo caso parliamo di velocità media come rapporto tra lo
spazio percorso e l’intervallo di tempo impiegato a percorrerlo:
vm = ∆ s/∆ t
Il diagramma s-t non sarà chiaramente una retta ma una curva.
Considerando la pendenza della secante la curva nei vari
intervalli di tempo potremo determinare la velocità media.
Se consideriamo un intervallo di tempo tendente a zero potremo
determinare la velocità istantanea come:
v = lim
∆t →0
∆s
∆t
La pendenza della tangente alla curva nel punto (P)
corrispondente all’istante considerato (tP) ci darà il valore
della velocità istantanea, vi
s
La pendenza della tangente in P fornisce la
sB
velocità istantanea in P, vi
B
P
La pendenza della secante passante per A e B
fornisce la velocità media tra A e B, vm
sA
A
tA
tP
tB
t
Accelerazione
L’accelerazione è una grandezza vettoriale definita
come la variazione di velocità in un certo intervallo di
tempo:
a = ∆ v/∆ t
(1)
L’unità di misura nel S.I. è il m/s2
Ricorda che: spostamento, velocità ed accelerazione
hanno solo nel moto rettilineo la stessa direzione:
s
v
a
Dalla relazione (1) ricaviamo:
v = vo + at
(dove abbiamo posto t0=0)
se la velocità anziché aumentare diminuisce, l’accelerazione
sarà negativa e quindi:
v = vo – at
Un’applicazione è il moto di
caduta dei gravi ad esempio
quello di una mela che cade da un albero, con v0=0:
a=g=9,8 m/s2
È l’accelerazione
di gravità
Moto Uniformemente Accelerato
Un moto si dice uniformemente accelerato se
l’accelerazione è costante
La velocità è direttamente proporzionale al
tempo
Il grafico velocità-tempo sarà una retta :
v
v0
t
L’equazione oraria del moto uniformemente accelerato è:
s =so +vo t + ½a t 2
se poniamo s0 e v0 uguali a zero si ottiene:
s = ½a t 2
Il grafico spazio-tempo sarà rappresentato da un arco di parabola
Un esempio……un treno che si muove di moto uniformemente accelerato:
Caduta libera
La caduta libera di un grave, cioè in assenza di
attrito, come già detto, è un esempio particolare
di moto uniformemente accelerato in cui
l’accelerazione è quella di gravità:
g = 9,81 m/s2
Le equazioni di tale moto sono:
v = gt
;
s = ½g t 2
Nel caso di un corpo lanciato verso l’alto:
v = vo- gt
;
s = vo t – ½gt 2
Moto Circolare Uniforme
Il vettore velocità nel
moto circolare uniforme è
costante in modulo;
v
La sua direzione è
tangente alla traiettoria;
ac
v
v
v
Il suo modulo è dato da:
2π r
v=
T
Dove T è il periodo, ed r è il raggio della traiettoria.
Si può anche scrivere:
v =2πrf
Dove f è la frequenza, che si misura in Hertz, Hz ed è
data da:
f = 1/T
La velocità angolare è definita come:
ω=
α
t
Dove α è l’angolo spazzato dal raggio
vettore nel tempo t.
Quindi possiamo scrivere:
2π
ω=
= 2π f
T
r
α
O
r
La velocità angolare è un vettore
perpendicolare al piano della traiettoria e
verso testa-punta di una vite destrorsa che si
avvita nel verso del moto
v=ωr
ω
v
ac
L’accelerazione
centripeta è diretta
verso il centro del
moto ed è data da:
ac = ω2r =v2/r
Moto Parabolico
v0
E’ la composizione di un
moto rettilineo uniforme
orizzontale e di un moto
uniformemente accelerato
verticale;
La sua equazione oraria è
g 2
y=
x
2
2v0
v0y
v0
v0x
v0x
Se il lancio avviene con
una velocità iniziale
obliqua , il moto
orizzontale sarà rettilineo
uniforme con velocità v0x
costante e quello
verticale sarà
uniformemente
decelerato con
v0x
accelerazione -g
costante
e
velocità
v0y
iniziale v0y
Se vx e vy sono le componenti della velocità in un generico
istante t:
v x = v0 x

 v y = v 0 y − gt
Le componenti dello spazio lungo
gli assi saranno:
 x = v0 xt


1
 y = v 0 y t − 2 gt
2
Ricavando t dalla prima e sostituendo nella seconda si ottiene
l’equazione oraria del moto :
y=
v0 y
v0 x
x−
g 2
x
2v02x
Che rappresenta l’equazione di una parabola; ponendo y = 0 si ottiene la
distanza tra il punto di lancio e quello di arrivo, cioè la gittata:
G=
2v0 x v0 y
g