Lezione 02 (bozza)

Ugo Solitro
“No, no, you're not thinking; you're just being logical.”
Attributed to Niels Bohr
“Pure logic is the ruin of the spirit.”
Antoine de Saint-Exupéry
Logica, Ugo Solitro – Verona, 10 febbraio 2017 (bozza)
Dipartimento di Informatica Università degli Studi di Verona
TANDEM A. A. 2016/17
RAGIONAMENTO,
ARGOMENTAZIONE E LOGICA
ultimo aggiornamento 10/02/17
AVVERTENZA
I materiali che seguono sono progettati come supporto alla lezione e alle attività che si svolgono in aula.
Gli argomenti non sono in generale trattati in maniera del
tutto rigorosa ed esauriente.
Non costituiscono un materiale adatto allo studio.
Possono contenere imprecisioni ed errori di battitura.
Le citazioni non riportano sempre affermazioni veritiere!
Logica, Ugo Solitro – Verona, febbraio 2017 (bozza)
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MATERIALI E ATTRIBUZIONI
Salvo diverso avviso vale quanto detto nella prima lezione …
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SOMMARIO
Un po’ di Storia
Sviluppi recenti
La Crisi dei Fondamenti
La Logica delle Proposizioni
Asserzioni e Connettivi
Regole di Inferenza
Tabelle di Verità
Logica, Ugo Solitro – Verona, febbraio 2017 (bozza)
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VERSO UNA LOGICA MODERNA:
ALCUNI ESEMPI
“Roughly speaking: to say of two things that they are identical is nonsense,
and to say of one thing that it is identical with itself is to say nothing.”
Ludwig Wittgenstein
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LOGICA IN MATEMATICA
Affermazione: “I numeri primi sono infiniti!”
Dimostrazione:
Supponiamo che i numeri primi siano in numero finito e precisamente p1, p2, … , pn
Consideriamo p=p1p2 … pn +1
Evidentemente è più grande di tutti i primi.
Inoltre la divisione di p per un qualsiasi pk (k = 1, … , n)
dà come resto 1.
Si deve pertanto concludere che …
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I NUMERI PRIMI SONO INFINITI?
Conclusione: “I numeri primi sono infiniti!”
Infatti l’assunzione che ce ne siano solo un numero finito
porta a contraddizione e non può essere accettata.
Un esposizione dettagliata della dimostrazione è sorprendentemente complessa e coinvolge sostanzialmente tutti i principi logici noti.
Purtroppo non abbiamo il tempo di esaminarla …
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DIALOGO TRA UN PROFESSORE
E UNO STUDENTE
Gabriele Lolli in una conferenza tenuta a Pisa nel 2008
cita il logico Keith Devlin …
Lolli, Gabriele “Dimostrazioni e Derivazioni formali”, Pisa, 19 febbraio 2008
Devlin, Keith, et al. “Computers and Mathematics” Notices of the American Mathematical Society 41.7 (1994):
772-789.
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IL PROFESSORE
“Naturalmente, per rendere più facile per voi seguire la dimostrazione, non sono stato a mettere giù ogni passaggio. Ma si può fare. I logici hanno chiarito tutto ciò verso l’inizio del secolo XX.
Hanno sviluppato un linguaggio formale per esprimere le
dimostrazioni, “calcolo dei predicati” lo chiamano, hanno individuato gli assiomi di base della logica, hanno specificato le regole di deduzione . . . e così si ottiene una nozione totalmente rigorosa di dimostrazione.”
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LO STUDENTE
“Allora lei sostiene che una qualsiasi delle dimostrazioni ordinarie, di ogni giorno, con cui i matematici hanno a che fare nel loro lavoro può essere riscritta in un modo formale che si inserisce in questo quadro che i logici hanno assiomatizzato.”
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IL PROFESSORE
“Certo …
In linea di principio, potrebbe essere fatto. Qualsiasi dimostrazione valida potrebbe essere scritta tutta per esteso nella logica formale, e allora soddisferebbe la definizione di dimostrazione dei logici.”
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LO STUDENTE
“Solo che sarebbe così lunga che nessuno sarebbe in grado di leggerla e di controllare che è giusta.”
…
“Ma come fa uno a sapere che la sua dimostrazione, quella che scrive alla lavagna, potrebbe essere espansa a una dimostrazione formale se nessuno lo fa mai?”
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IL PROFESSORE
… (discussione)
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VERSO UNA LOGICA MODERNA:
CENNI (SCARNI) DI STORIA
“It is by logic that we prove, but by intuition that we discover.
To know how to criticize is good, to know how to create is better.”
Henri Poincaré, Science and Method (1908)
Part II. Ch. 2 : Mathematical Definitions and Education, p. 129
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A PARTIRE LOGICA ANTICA
La logica moderna si fa risalire ad Aristotele, IV secolo a.c.
ma studi sulle inferenze, la verità sono stati sviluppati molto
prima, non solo in Grecia.
Alle opere di Aristotele hanno fatto seguito gli sviluppi dei pensatori medio-orientali
I quali hanno influenzato la logica medioevale in Europa.
A Leibnitz (fine XVII secolo) si attribuiscono i primi sviluppi
di una “logica moderna”.
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I PRINCIPI DELLA MATEMATICA
A partire dal XVII secolo la Matematica comincia ad adoperare efficacemente alcuni potenti principi.
Segue uno sviluppo precedentemente impensabile.
Ma alcuni dubbi serpeggiano …
La Geometria di Euclide
non è necessariamente quella giusta …
Si possono concepire diversi “tipi” di infinito …
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NUOVI LINGUAGGI
Si sente il bisogno di dar “metter ordine” nella Matematica!
Boole, George. “The mathematical analysis of logic.” Philosophical Library, 1847.
Cantor, Georg. “On a property of the collection of all real algebraic numbers.”
Journal fur die reine und angewandte Mathematik 77 (1874):
258-262.
… e altri!
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I PARADOSSI
Tra XIX e XX secolo sono individuati alcuni paradossi.
Antinomia di Russel (1901) sulla Teoria degli Insiemi di Cantor.
Versione informale: il paradosso del barbiere.
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LA CRISI DEI FONDAMENTI
La Crisi dei Fondamenti della Matematica
segue alla scoperta dei paradossi.
Tentativi di risolvere la Crisi:
Formalismo
Intuizionismo
Logicismo
…
Sviluppo dello studio della Logica
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SVILUPPO DI SISTEMI LOGICI
Le Algebra della Logica:
Algebre di Boole, Algebre di Heyting, Quantales, …
I Sistemi Deduttivi
Sistemi assiomatici (Hilbert, …)
Calcolo dei Sequenti (G. Gentzen)
Deduzione Naturale (G. Gentzen, D. Prawitz, …)
La Teoria dei Modelli
La Teoria dei Tipi
La Teoria delle Categorie
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LA LOGICA DELLE PROPOSIZIONI
“From a drop of water, a logician could infer the possibility of an Atlantic or a Niagara without having seen or heard of one or the other.”
Arthur Conan Doyle, A Study in Scarlet, Chapter 2, "The Science of Deduction".
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L’IDEA
Oggi è una bella giornata.
In questo momento mi trovo a Veronetta.
Il sole splende e la temperatura è gradevole.
I numeri interi sono infiniti, ma quelli che si possono scrivere
con sole due cifre sono finiti.
Se inciampo e cado mi faccio male
Studio o mi riposo.
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PROPOSIZIONI
Una proposizione è un’asserzione della quale possiamo o vogliamo valutare la verità.
Le proposizioni più semplici sono dette atomiche
e possono essere valutate per sé.
Le proposizioni più complesse posso esser ottenute
combinando quelle più semplici.
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PROPOSIZIONI ATOMICHE
Oggi è una bella giornata.
In questo momento mi trovo a Veronetta.
Il sole splende e la temperatura è gradevole.
I numeri interi sono infiniti, ma quelli che si possono scrivere
con sole due cifre sono finiti.
Se inciampo e cado mi faccio male
Studio o mi riposo.
Logica, Ugo Solitro – Verona, febbraio 2017 (bozza)
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OPERATORI LOGICI
Le proposizioni complesse si costruiscono mettendo assieme quelle più semplici.
Si individuano alcuni “costruzioni” fondamentali.
Si definiscono gli operatori logici,
rappresentati dai connettivi.
Verso un linguaggio (formalizzato) della logica …
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OPERAZIONI LOGICHE E INFERENZE
“From a drop of water, a logician could infer the possibility of an Atlantic or a Niagara without having seen or heard of one or the other.”
Arthur Conan Doyle, A Study in Scarlet, Chapter 2, "The Science of Deduction".
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ESEMPI SCHEMATICI DI RAGIONAMENTO
Inferenze semplici e complesse
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RAPPRESENTARE LE INFERENZE
Per evidenziare i procedimenti deduttivi adoperiamo una semplice rappresentazione.
Esempio:
Piove e se piove prendo l’ombrello.
Allora prendo l’ombrello.
Rappresentazione dell’inferenza:
Piove
Se piove prendo l’ombrello
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Prendo l’ombrello
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ESEMPI DI INFERENZA - 1
Passeggio
Piove
––––––––––––––––––––––
Passeggio E Piove
Ascolto la lezione
Mi annoio
––––––––––––––––––––––––––––––––
Ascolto la lezione E Mi annoio
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ESEMPI DI INFERENZA - 2
Piove –––––––––––––––––––––––––––– Piove O Soleggia
Piove O Soleggia
NON Piove
––––––––––––––––––––––––––––––––
Soleggia
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ESEMPI DI INFERENZA - 2
Piove –––––––––––––––––––––––––––– Piove O Soleggia
Ascolto la lezione
Mi annoio
––––––––––––––––––––––––––––––––
Ascolto la lezione E Mi annoio
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ESEMPI INSOLITI
Piove NON Piove
–––––––––––––––––––––––––––– Il mondo è quadrato
La regina è ricca O Gli asini volano
La regina NON è ricca
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Gli asini volano
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UNA STRANA DEDUZIONE
La regina è ricca
––––––––––––––––––––––––––
La regina è ricca O Gli asini volano
La regina NON è ricca
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Gli asini volano
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IL LINGUAGGIO
DELLE PROPOSIZIONI
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ELEMENTI FONDAMENTALI
Proposizioni atomiche
Costrutti
Congiunzione
Negazione
Disgiunzione
Implicazione
Quantificazione
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UNA DEFINIZIONE
INDUTTIVA
Abbiamo a disposizione alcune proposizioni che consideriamo atomiche.
Sono individuati un numero finito di connettivi.
Le proposizioni logiche sono dunque tutte e sole
le proposizioni atomiche
e le proposizioni ottenute per mezzo dei connettivi
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PROPOSIZIONI LOGICHE
“Logic is one thing and commonsense another.”
Elbert Hubbard (1927), The Note Book
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PROPOSIZIONI LOGICHE
Le proposizioni logiche sono asserzioni delle quali possiamo verificare la veridicità.
Sono proposizioni logiche:
“oggi è il giorno 5 aprile” (falsa);
“5+2 = 7” (vera);
“ieri è stato un giorno di vacanza” (falsa);
“per due punti passa una e una sola retta” (dipende …)
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PROPOSIZIONI LOGICHE?
NON sono proposizioni logiche:
“Oggi è una bella giornata”;
“Albert Einstein era simpatico”;
“M’illumino di immenso (G. Ungaretti)”;
“Alan Turing è un grande!”.
“M’illumino di meno”. (Caterpillar, Radio 2)
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PROPOSIZIONI LOGICHE?
Le frasi che seguono potrebbero esser considerate proposizioni logiche, ma non sono completamente determinate.
“x+3 = y” (il contesto non è ben definito);
“Gli italiani sono un popolo di poeti” (secondo quale criterio?);
“Bach è il musicista più grande di tutti i tempi ”;
“Il dipinto dei Girasoli è bello”;
“La Matematica è una scienza”.
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AFFERMAZIONI DA ANALIZZARE
Una frase che esprime un’affermazione da verificare deve essere costruita in modo chiaro, rigoroso e non ambiguo.
Il contesto deve essere altrettanto chiaro.
Se devo verificare la validità di un’affermazione costruita utilizzando il linguaggio in modo informale devo tentare cercare di renderla rigorosa, chiara e non ambigua.
Ci sono tecniche matematiche e computazionali sofisticate
per fare questo, ma il più delle volte basta un po’ di attenzione.
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VALORI DI VERITÀ
Se un’asserzione è “verificabile” è possibile attribuire ad essa un “valore di verità”.
Tradizionalmente i valori di verità sono solo due:
vero
e falso
Ma – attenzione! – le cose non sono sempre semplici …
Ci sono sistemi logici per i quali la verità è più complessa!
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COSTRUZIONI LOGICHE
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COSTRUIRE
PROPOSIZIONI LOGICHE
Una proposizione logica può essere formata a partire da affermazioni elementari facilmente verificabili
facendo uso di poche rigorose regole di costruzione.
Se devo analizzare e verificare una affermazione
espressa in un linguaggio naturale (ad esempio in italiano)
posso cercare di riformularla rigorosamente seguendo precise regole e
conservando il significato originale.
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COSTRUZIONI LOGICHE
Asserzioni logiche elementari possono essere combinate tra loro in molti modi, ma fortunatamente possiamo limitarci a pochi costrutti fondamentali:
congiunzione e disgiunzione,
negazione,
implicazione,
quantificazioni.
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CONGIUNZIONE (&)
Date A e B proposizioni logiche lo è anche la loro congiunzione A&B.
Esempio.
“Oggi c’è il sole e la temperatura è superiore a 10 gradi”.
La congiunzione di due asserzioni è
vera se entrambe le asserzioni sono vere;
falsa se almeno una delle due asserzioni è falsa.
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CONGIUNZIONE:
REGOLE DI INFERENZA
A B
––––––––––––––––
A&B
A&B
––––
A
Logica, Ugo Solitro – Verona, febbraio 2017 (bozza)
A&B
––––
B
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CONGIUNZIONE
TABELLA DI VERITÀ
A
B
A&B
vero
vero
vero
vero
falso
falso
falso
vero
falso
falso
falso
falso
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48
CONGIUNZIONE
UN ESEMPIO
“La neve fresca in una giornata di sole è l’ideale per sciare piacevolmente. La notte scorsa ha nevicato e ora il cielo è sereno, quindi oggi dovrebbe essere il giorno ideale per sciare.”
[domanda n.7, test 2015/16]
Possiamo riformulare il testo in modo rigoroso evidenziando
in particolare il ruolo della congiunzione?
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CONGIUNZIONE: L’ESEMPIO RIFORMULATO
neve fresca E giornata di sole IMPLICA sciare piacevolmente.
“La notte scorsa ha nevicato” e dunque la oggi neve è fresca;
“ora il cielo è sereno” e dunque oggi c’è il sole.
Le premesse sono soddisfatte,
quindi posso concludere che oggi si può sciare piacevolmente,
ovvero “oggi dovrebbe essere il giorno ideale per sciare.”
Osservazioni … ?
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ATTENZIONE! ANOMALIE DI CONGIUNZIONE
La congiunzione di affermazioni è nel linguaggio logico commutativa:
A&B equivale a B&A.
Nel linguaggio naturale si incontrano alcune anomalie.
“Camminavo sul ghiaccio e sono scivolato a terra.”
“Sono scivolato a terra e camminavo sul ghiaccio.”
La seconda affermazione non dice la stessa cosa della prima!
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CONGIUNZIONE: ESERCIZIO
Verificare la validità della frase che segue
“Se Carlo avesse sei anni e frequentasse la prima elementare, e se tutti gli altri bambini di quella classe fossero biondi, Carlo sarebbe biondo.”
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CONGIUNZIONE: ESERCIZIO
(CONTINUAZIONE)
Riformulazione.
A. Carlo ha sei anni E
B. Carlo frequenta la prima elementare E
C. Tutti gli altri bambini della prima classe sono biondi.
D. Allora Carlo sarebbe biondo.
Analisi
• La premessa dell’inferenza è A&B&C (congiunzione)
• L’affermazione C può esser riformulata così:
• SE X frequenta la prima classe E X non è Carlo
ALLORA è biondo.
• Per concludere osserviamo che …
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CONGIUNZIONE: ESERCIZIO
(CONTINUAZIONE)
A. Carlo ha sei anni E (superflua)
B. Carlo frequenta la prima elementare E
C. Tutti gli altri bambini della prima classe sono biondi.
D. Allora Carlo sarebbe biondo. (errata!)
Analisi
•
•
La premessa dell’inferenza è A&B&C (congiunzione)
L’affermazione C può esser riformulata così:
•
•
SE X frequenta la prima classe E X non è Carlo ALLORA è biondo.
A è irrilevante e C non può esser applicata a Carlo!
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DISGIUNZIONE (⋁)
Date A e B proposizioni logiche lo è anche la loro disgiunzione A⋁B.
Esempio.
“Oggi c’è il sole o la temperatura è superiore a 10 gradi”.
La disgiunzione di due asserzioni è
falsa se entrambe le asserzioni sono false;
vera se almeno una delle due asserzioni è vera.
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DISGIUNZIONE:
REGOLE DI INFERENZA
A
––––
A⋁B
B
––––
A⋁B
A
B
|
|
C
C
A⋁B –––––––––––––––––––
A&B
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56
DISGIUNZIONE
TABELLA DI VERITÀ
A
B
A⋁B
vero
vero
vero
vero
falso
vero
falso
vero
vero
falso
falso
falso
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57
DISGIUNZIONE:
UN ESEMPIO
“Il dolore è una esperienza sensoriale evocata da stimoli che danneggiano o tentano di distruggere i tessuti …”
[domanda n.5, test 2011/12]
Come possiamo riformulare la frase in modo da evidenziare l’aspetto disgiuntivo?
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58
DISGIUNZIONE:
UN ESEMPIO RIFORMULATO
“Il dolore è una esperienza sensoriale evocata da stimoli che
danneggiano o tentano di distruggere i tessuti. …”
“Il dolore è una esperienza sensoriale evocata da stimoli”;
“gli stimoli danneggiano i tessuti”
oppure “gli stimoli tentano di distruggere i tessuti.”
Osservazione.
La riformulazione semplifica la struttura logica,
ma risulta ostica dal punto di vista del linguaggio naturale.
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ATTENZIONE! DISGIUNZIONE DEBOLE E FORTE
Ci sono due tipi di disgiunzione: una debole e una forte.
La disgiunzione debole è quella appena vista ed è la più comune.
Poi c’è la disgiunzione forte (detta anche esclusiva)
come nella frase che segue:
“O vado a casa in autobus, o rimango in università”.
Spesso viene introdotta dal “doppio o”, ma non è sempre così:
…
Il contesto può indicare quale disgiunzione è da considerasi.
In caso di dubbio si considera quella debole.
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NEGAZIONE (¬)
Data la proporzione logica A anche la sua negazione ¬A è una proposizione logica.
Esempio.
“Oggi non c’è il sole”.
La negazione di un’asserzione è
falsa se l’asserzione originale è vera;
vera se l’asserzione originale è falsa.
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61
NEGAZIONE (¬):
REGOLE DI INFERENZA
A
¬A
–––––––––
⊥
⊥
––––
P
¬A
|
⊥
–––––
A
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62
NEGAZIONE
TABELLA DI VERITÀ
A
¬A
vero
falso
vero
falso
falso
vero
falso
vero
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63
IMPLICAZIONE (→)
Date A e B proposizioni logiche lo è anche la loro implicazione A→B.
Esempio.
“Se cammino sotto la pioggia allora mi bagno la testa”.
L’implicazione rappresenta intuitivamente un legame di causalità tra la prima asserzione (l’antecedente)
e la seconda (il conseguente), ma …
ATTENZIONE! Le cose non sono sempre intuitive.
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64
IMPLICAZIONE:
REGOLE DI INFERENZA
A
|
B
–––––
A→B
A
A→B
––––––––––––
B
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65
IMPLICAZIONE (SEMPLICE)
TABELLA DI VERITÀ
A
vero
vero
falso
falso
B
vero
falso
vero
falso
A→B
vero
falso
vero
vero
L’implicazione è
falsa se l’antecedente (A) è vero e il conseguente (B) è falso;
vera in tutti gli altri casi!
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OSSERVAZIONE SULLA VERIFICA DELL’IMPLICAZIONE (PARTE I)
“Se cammino più di un’ora, mi si gonfiano i piedi.”
Una conferma materiale che l’asserzione è vera si ha quando:
dopo aver camminato più di un’ora posso constatare che mi si sono gonfiati i piedi,
ma anche quando (sic!)
i piedi mi si gonfiano senza aver camminato,
oppure non ho camminato e i piedi non si sono gonfiati!
L’affermazione invece risulta falsa se ho camminato più di un’ora e i piedi non si sono gonfiati.
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67
OSSERVAZIONE SULLA VERIFICA DELL’IMPLICAZIONE (PARTE II)
Come mai l’implicazione mi appare così strana?
Perché nel linguaggio naturale l’implicazione è spesso più forte di quella elementare.
Il contesto o la particolare forma della frase aiutano normalmente di solito la situazione.
Esempio: …
Comprendere come funziona l’implicazione semplice è comunque utile per l’analisi le asserzioni
che possiamo incontrare.
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68
FORME EQUIVALENTI DELL’IMPLICAZIONE
NEL LINGUAGGIO NATURALE
Nel linguaggio naturale l’implicazione A→B può venire espressa in molti modi:
se A allora B oppure se A, B
quando A, B oppure quando A allora B
A è condizione sufficiente per B
B è condizione necessaria affinché A
A solo se B
Strategia di analisi:
individuare antecedente e conseguente
riformulare l’affermazione
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CONDIZIONI NECESSARIA E SUFFICIENTE
l’implicazione A→B
Esempio:
A = “n≠2 è un numero pari”;
B = “n è divisibile per 2”.
A è condizione sufficiente per B
B è condizione necessaria affinché A
A solo se B
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FORME LOGICAMENTE EQUIVALENTI DELL’IMPLICAZIONE
In un linguaggio rigorosamente formale …
L’implicazione A→B (si legge “A implica B”) è equivalente a
non A oppure B (¬A⋁B)
non B implica non A (¬B→¬A)
La negazione dell’implicazione A→B (ossia ¬(A→B) è equivalente a
A e non B (A&¬B)
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L’IMPLICAZIONE IN BREVE
L’implicazione A→B (“A implica B”) è VERA quando …
(costruttivamente)
dalla validità di A posso dedurre la validità di B,
ma anche quando (materialmente, poco intuitivo, ma funziona!)
A è FALSA oppure B è VERA.
L’implicazione A→B (“A implica B”) è falsa quando …
A è VERA e B è FALSA.
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IMPLICAZIONE,
IMPORTANZA DE LA …
Perché l’implicazione è così importante?
Permette di rappresentare in modo sintetico una deduzione.
Ad esempio, se dall’assunzione A posso, anche attraverso numerosi passaggi, dedurre B,
concludo la validità dell’implicazione
A→B
Logica, Ugo Solitro – Verona, febbraio 2017 (bozza)
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