Approximate reasoning
• Necessità di prendere decisioni in casi di informazione (conoscenza)
parziale è comune in A.I.
– Conoscenza incompleta (qualification problem)
Esempi
• ignoranza teorica: modelli per evoluzione malattia per diagnosi medica
• ignoranza “pratica”: modelli non sarebbero utilizzabili (ad esempio per
impossibilità di misurazione)
• problemi di complessità dei modelli
– Conoscenza imprecisa
Esempi
• modelli approssimati (o qualitativi)
– per necessità (troppo complicati)
– per utilità (mancherebbero dati per quelli precisi)
• imprecisione nella misurazione
• Agente deve poter operare con conoscenza incompleta e imprecisa
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Ragionamento approssimato
1
Ragionamento approssimato
2
• Teoria delle decisioni
oltre alle informazioni imprecise su teoria e dati:
– utilità delle decisioni (azioni)
– costo/rischio delle decisioni (azioni)
– preferenze
• Metodi di ragionamento approssimato
varie tecniche proposte in A.I. a partire dagli anni ‘70
– approcci qualitativi (logici o linguistici)
• logiche non monotone
– approcci quantitativi (numerici)
• approcci basati su teorie matematiche
– probabilistici
– fuzzy logic
– Dempster-Shaefer
• approcci euristici
– es. Certainty factors di Mycin
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1
Ragionamento probabilistico
Richiami di calcolo delle probabilità
• Variabile casuale X con dominio D
– discreto: {x1, x2, …, xn}
– continuo
• Distribuzione di probabilità a priori P(X) per X
– discreto: P(X) = {v1,v2, …, vn} con Σvi=1
– continuo: funzione con integrale che vale 1
nel seguito analisi del caso discreto
– distribuzioni a priori anche di eventi complessi
• P(X, Y) ossia P(X ∧ Y)
• Probabilità condizionali
– date due variabili X e Y
P(X | Y) = “probabilità di X dato Y”
P(X=xi | Y=yj)
matrice bidimensionale
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Ragionamento approssimato
3
– Definizione a partire da probabilità a priori
P( X | Y ) =
P(X ∧ Y)
P(Y)
• Assiomi del calcolo delle probabilità
– 0 ≤ P(x) ≤ 1
– P(true)=1, P(false)=0
– P(X ∨ Y) = P(X) + P(Y) - P(X ∧ Y)
• Distribuzione di probabilità congiunta (Joint)
– dato un insieme X1, X2, …, Xm di variabili
– evento atomico è assegnazione di un valore ad ognuna delle variabili
– P(X1, X2, …, Xm ) assegna un valore ad ogni possibile evento atomico
matrice m-dimensionale (con somma 1)
– se ci sono molte variabili con domini con molti valori si ha un numero
molto grande di probabilità che devono essere specificate
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Ragionamento approssimato
4
2
– Esempio X=malDiDenti
Y=carie
malDiDenti
¬ malDiDenti
carie
0.04
0.06
¬carie
0.01
0.89
– A partire da Joint si possono calcolare probabilità a priori di vari eventi
Esempi
• P(carie) = 0.06 + 0.04 = 0.1
• P(carie ∨ malDiDenti) = 0.1 + 0.05 - 0.04 = 0.11
• P(carie ∧ malDiDenti) = 0.04
P(carie ∧ malDiDenti)
• P(carie | malDiDenti) =
• P(malDiDenti| carie) =
P(malDiDenti)
P(carie ∧ malDiDenti)
P(carie)
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0.04
=
=
0.05
0.04
0.1
= 0.8
= 0.4
Ragionamento approssimato
5
Il Teorema di Bayes
da P(X ∧ Y) = P(X | Y)*P(Y) = P(Y | X)* P(X), si ha:
P(Y | X) =
P(X | Y)*P(Y)
P(X)
intuizione:
date probabilità a priori di causa (Y) ed effetto (X) e la probabilità
condizionale dell’effetto data la causa P(X | Y), possiamo calcolare la
probabilità della causa dato l’effetto
Esempio
P(carie | malDiDenti) =
P(malDiDenti | carie)*P(carie)
P(malDiDenti)
= 0.8
uso “diagnostico” della teoria delle probabilità
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Ragionamento approssimato
6
3
• Update di belief usando il teorema di Bayes
– grado di belief in un evento
– aumentato (diminuito) man mano che arrivano osservazioni
Esempio
• eventi carie, malDiDenti e denteBucato
• belief iniziale in carie (prior), aumentato dalle altre osservazioni
– Regola di bayes in forma di update
P(carie | malDiDenti) = P(carie) *
P(malDiDenti | carie)
P(malDiDenti)
consente aggiornamento di belief su evento “carie”
– con più osservazioni diventa:
P(carie | malDiDenti ∧ denteBucato) = P(carie) *
*
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P(malDiDenti | carie)
P(malDiDenti)
*
P(denteBucato | malDiDenti ∧ carie)
P(denteBucato | malDiDenti)
Ragionamento approssimato
7
– Problemi
• c’è bisogno di probabilità condizionali P(denteBucato | malDiDenti ∧ carie)
• il numero di queste probabilità condizionali aumenta enormemente quando si
devono tenere in considerazione più osservazioni
• oppure si deve disporre della Joint
– Questo ha portato negli anni ‘70 ad abbandonare l’approccio
probabilistico per la gestione dell’incertezza nei sistemi esperti
– In realtà esiste una via di uscita: le indipendenze condizionali
• Conditional independence
– su esempio
• carie è la causa diretta sia di malDiDenti che di denteBucato
• se paziente ha la carie, la probabilità di denteBucato non dipende da quella di
malDiDenti
• anche: dato denteBucato, questo non modifica la probabilità che carie causi
malDiDenti
in altri termini: malDiDenti e denteBucato sono condizionalmente
indipendenti dato carie
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Ragionamento approssimato
8
4
In termini matematici:
• P(denteBucato | carie ∧ malDiDenti) = P(denteBucato | carie)
• P(malDiDenti | carie ∧ denteBucato) = P(malDiDenti | carie)
– In questo modo si elimina la necessità di disporre delle varie probabilità
condizionali
– In generale, dato evento Z e dati X e Y che sono condizionalmente
indipendenti dato Z, si ha la seguente regola di update:
P(Z | X, Y ) = αP(Z) * P(X | Z) * P(Y | Z)
dove α è un fattore di normalizzazione
– vedremo reti Bayesiane che sfruttano queste proprietà
• Osservazione
rimane ancora un problema: da dove arrivano le probabilità (prior e
condizionali) che servono?
– varie possibilità
• soggettive (da esperto)
• oggettive (da esperimenti)
• basate su analisi di frequenze
– Critica dei sostenitori di approccio euristico (e altri, es. fuzzy)
– Sensitivity analysis: quanto risultati dipendono dai numeri?
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Ragionamento approssimato
9
Reti Bayesiane (o belief network)
•
•
•
•
Proposte da Pearl verso la metà degli anni ‘80 [Pearl, 88]
Rappresentazione esplicita delle indipipendenze condizionali
Rappresentazione compatta della Joint, date le indipendenze
Rete = grafo aciclico
– nodi: variabili aleatorie
– archi: influenza (dipendenza) tra variabili
Esempio [Pearl]
rapina
terremoto
allarme
JohnTelefona
MaryTelefona
archi mancanti: indipendenza condizionale: es maryTelefona e terremoto
sono condizionalmente indipendenti dato allarme
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Ragionamento approssimato
10
5
Ad ogni nodo è associata tabella delle probablità condizionali dai suoi
predecessori (ai nodi iniziali sono probabilità incondizionali, ossia a priori)
P(rapina)
0.01
rapina
allarme
JohnTelefona
allarme
F
T
P(terrem)
0.02
terremoto
P(JohnTelefona | allarme)
0.05
0.90
rapina terrem
F
F
T
T
P(allarme | rapina, terrem)
F
T
F
T
0.001
0.29
0.94
0.95
MaryTelefona
allarme
F
T
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P(MaryTelefona | allarme)
0.01
0.70
Ragionamento approssimato
11
• Rete è una rappresentazione compatta della Joint
dati nodi X1, … Xn, si ha che
P(X1=x1, .., Xn=xn) = Π P(xi | predecessori(Xi))
i=1,…,n
Esempio
P(JohnTelefona, MaryTelefona, allarme, ¬rapina, ¬ terremoto) =
P(JohnTelefona | allarme) * P(MaryTelefona | allarme) *
P(allarme | ¬rapina, ¬ terremoto) * P(¬rapina) * P(¬ terremoto) = 0.00062
• Costruzione di una rete Bayesiana
– individuare le variabili
– ordinarle
– fino a che ci sono variabili
• selezionare una variabile Xi
• predecessori(Xi) = minimo insieme delle variabili già selezionate per cui
P(Xi | X1, .., Xn) = P(Xi | predecessori(Xi))
• definire tabella probabilità condizionali per Xi
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Ragionamento approssimato
12
6
Inferenza nelle reti Bayesiane
• Inferenza di base:
– dati valori per alcune variabili: evidence variables
– trovare la distribuzione di probabilità per altre variabili: query variables
• Quattro forme di inferenza
– Inferenza diagnostica
• evidence variables: effetti
• query variables: cause
• Esempio: P(rapina | JohnTelefona) = 0.016
– Inferenza causale
• evidence variables: cause
• query variables: effetti
• Esempio: P(MaryTelefona | rapina) = 0.67
– Inferenza intra-cause
• evidence variables su effetti e su altre cause
• Esempio
– P(rapina | allarme) = 0.376
– P(rapina | allarme ∧ terremoto) = 0.003
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Ragionamento approssimato
13
– Inferenze miste
• varie combinazioni di quelle sopra
• Esempi
– P(allarme | JohnTelefona ∧ ¬terremoto) = 0.03
– P(rapina | JohnTelefona ∧ ¬terremoto) = 0.017
• Altre forme di inferenza
– sensitivity analysis: analizzare effetto di piccole modifiche alle probabilità
condizionali
– decidere quale nuova osservazione fare per definire probabilità di un
insieme di nodi (o per discriminare)
• Algoritmi
– algoritmi di propagazione
• molto efficienti su reti singly-connected o poly-trees (ogni coppia di nodi ha
un solo cammino che le collega)
• più complesso in altre reti
• descrizione in dettaglio su [Russel & Norvig]
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Ragionamento approssimato
14
7
Applicazioni delle reti Bayesiane
• Molte applicazioni
– modelli causali o modelli di sistemi fisici
• simulazione
• diagnostica
• ...
– modelli di processi
– grafi di decisione
• Strumenti per operare con reti Bayesiane
– tools per
• progettare una rete
• algoritmi di inferenza
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Ragionamento approssimato
15
Esempio
cold
cold
p1
pneumonia
pneumonia
p2
sneezing
sneezing
p3
fever
fever
• Se osservo fever allora calcolo probabilità di cold e pneumonia come
spiegazioni di fever (aggiorno le prior delle due malattie)
• se osservo fever e sneezing avrò probabilità di cold che sale e quella di
pneumonia che scende
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Ragionamento approssimato
16
8
Altre forme di approximate reasoning
• Critiche all’approccio probabilistico
– troppe informazioni richieste (prior e condizionali) con vincoli matematici
forti sui loro valori
– un numero rappresenta solo alcuni aspetti dell’incertezza
– si hanno probabilità ma su eventi definiti in modo crisp e non vago
Es. P(influenza | febbre(alta)), ma febbre(alta) è evento che osservo in modo
assolutamente preciso?
• Altri approcci numerici per rispondere a queste critiche
• rappresentare ignoranza: la teoria di Dempster-Shafer
• rappresentare vaghezza: la logica fuzzy
• approcci euristici
• Approcci non-numerici:
– non monotonic-reasoning
– teoria degli endorsement: tenere traccia delle informazioni a supporto o
contro un certo evento
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Ragionamento approssimato
17
La teoria di Dempster-Shafer
• Probabilità è un numero e non si può rappresentare ignoranza su evento
– diverso dire
• P(A)=0.5
• P(A)=0.5
Sicuramente
a meno di un errore del 30%
– Esempio
• 3 situazioni A, B e C a priori equiprobabili per cui non ho nessuna informazione
a supporto o contro
– stima P(A) = P(B) = P(C) = 0.33
0.33 in se però non dice molto a questo punto
• dopo aver raccolto osservazioni pro e contro A, concludo che
– P(A) =0.33
• stesso numero, ma
– prima non avevo nessuna informazione, ignoranza completa
– ora numero basato su informazione
• Serve un meccanismo per misurare l’informazione (ignoranza) su eventi
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Ragionamento approssimato
18
9
• Teoria DS associa ad ogni evento un intervallo che misura sia la
probabilità dell’evento che l’ignoranza su tale probabilità
• Definizione
– Dato un evento (proposizione) A
– si associa ad A un intervallo
[Belief, Plausibility]
in cui
• Belief misura evidenza a favore dell’evento, compresa tra 0 e 1
• Plausibility(A) = 1- Belief(¬A)
– Si può vedere che in questo modo l’intervallo misura l’ignoranza, ossia
tanto più l’intervallo è largo, tanto più sono ignorante su A
– Casi estremi
• A evento certo: Belief(A)=1, Belief(¬A)=0
⇒ [1, 1]
• A evento certamente falso: Belief(A)=0, Belief(¬A)=1
⇒ [0, 0]
• ignoranza completa su A: Belief(A)=0, Belief(¬A)=0
⇒ [0, 1]
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Ragionamento approssimato
19
– Intervallo definisce il range in cui il il grado di evidenza a favore di A
deve cadere
– Esempio
• 3 situazioni A, B e C a priori equiprobabili per cui non ho nessuna
informazione a supporto o contro
– stima iniziale DS(A) = DS(B) =DS(C) = [0, 1]
ignoranza completa sul mondo
• dopo aver raccolto osservazioni pro e contro A, concludo che
– DS(A) = [0.33, 0.33] DS(B)=[0.1, 0.9] DS(C)=[0.4, 0.5]
• Teoria di Dempster-Shafer complessa
– permette di associare grado di belief non solo a eventi ma anche ad
insiemi di eventi
– computazionalmente molto complessa da gestire
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Ragionamento approssimato
20
10
La logica fuzzy
• Probabilità e DS basati su teoria matematica degli insiemi e su logica
classica
– appartenenza di evento a insieme è definita in modo crisp, senza
possibilità di interpretazione vaga
– Esempio
P(influenza)=0.1 P(influenza | febbre(alta)) =0.6
ma poi frebbre(alta) è vero o falso in modo preciso
– limitativo in molti casi, specie con descrizioni linguistiche
• Fuzzy logic
– modificare i concetti di insieme con definizioni vaghe (fuzzy set)
– modificare il concetto di appartenenza (membership) ad un insieme, non
solo vero o falso, ma grado di appartenenza
– definire una nuova logica che gestisca questi gradi di appartenenza
numerici (fuzzy logic)
– fare in modo che la nuova logica sia estensione consistente di quella
classica
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Ragionamento approssimato
21
Fuzzy set
• Insiemi (in teoria degli insiemi) definiti in modo preciso
• Per ogni insieme S e individuo i, si ha che i∈ S è vero o falso
• Supponiamo di definire insieme “persone alte”
– è facile definirlo in modo non vago?
• Ossia se John è alto 1.80, è o no nell’insieme
– problematico
• termini linguistici sono vaghi
• in ogni caso ci serve poter dare un grado di appartenenza di individui agli
insiemi
– Insieme definito a partire da caratteristica (valore dell’altezza); definizione
logica deve essere del tipo
vero
falso
1
0
1.80
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altezza
Ragionamento approssimato
22
11
• Possibilità di definire questi insiemi in modo “vago”
vero
falso
1
0
altezza
1.80
la curva intera definisce l’insieme fuzzy “alto”
quella tratteggiata l’insieme fuzzy “moltoAlto”
• Gradi di appartenenza (membership) in insieme fuzzy
– John alto 1.80
µ(alto(John)) = 0.9
µ(moltoAlto(John)) = 0.8
• Fuzzy set “normali” (importanti in molte applicazioni)
• Es.
febbre(alta)
febbre(altissima)
vero
falso
1
0
37
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38
39
40
Ragionamento approssimato
23
• Membership permette di assegnare valore di verità tra 0 e 1 a
proposizioni semplici (esattamente come appartenenza a insieme
assegna valore vero o falso agli atomi in logica classica)
• Logica per combinare valori di verità fuzzy (corrispondente alla tabelle
di verità della logica classica)
• Varie definizioni possibili
– insieme di condizioni che devono essere rispettate
– estensione consistente della logica classica (ossia deve ridursi a logica
classica se i valori di membership si riducono a 0 e 1)
– deve rispettare insieme di proprietà (es. distributiva, DeMorgan, …)
• Connettivi Logici
– Negazione
• T(¬A) = 1-T(A)
– Congiunzione
Una qualunque T-norm
• 1 elemento neutro
• 0 elemento di annullamento
• T(A ∧ B) ≤ T(A) ≤ T(B)
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Ragionamento approssimato
24
12
Ad esempio
• T(A ∧ B) = T(A) * T(B)
• T(A ∧ B) = min(T(A), T(B))
– Disgiunzione
una t-co-norm, duale di quella scelta per la congiunzione
Ad esempio
• T(A ∨ B) = T(A) + T(B) - T(A) * T(B)
• T(A ∨ B) = max(T(A), T(B))
– A partire da questi si possono definire i vari connettivi
– Attenzione: non per tutte le definizioni si ha una estensione consistente
della logica classica
• Applicazioni
– domini in cui è necessario gestire variabili linguistiche
• classificazione, diagnosi, interpretazione, information retrieval,…
molti sistemi basati sulla conoscenza usano la logica fuzzy come
meccanismo di gestione della incertezza
• Fuzzy controllers
– in molti elettrodomestici e sistemi di uso corrente
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Ragionamento approssimato
25
Approcci euristici
• Probabilità richiedono
– molte stime da fornire in fase di costruzione di una K.B. (e stime che
rispettassero gli assiomi del calcolo delle probabilità)
– complessità computazionale nella gestione
• Anni ‘70 costruzione di sistemi esperti
– necessità di ragionamento approssimato
– proposta di approcci euristici come compromesso tra
• semplificare la costruzione di K.B. e la gestione rispetto agli approcci
probabilistici
• mancanza di un fondamento teorico per i risultati
• vari approcci
vedremo approccio basato su Certainty Factors proposto nel sistema
Mycin [Shortliffe 76]
• Conoscenza rappresentata mediante regole di produzione del tipo
if <precondizione> then <conclusione> (o <azione>)
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Ragionamento approssimato
26
13
• Tre caratteristiche (assunzioni) che sono fondamentali nel definire il
meccanismo di gestione incertezza
– località
ogni regola è un pezzo di conoscenza indipendente dalle altre e permette
inferenza indipendentemente dalla altre
– detachment
una volta concluso un fatto F con una regola, F può essere usato in altre
inferenze indipendentemente da come si è arrivati alla sua deduzione
Oss: si noti che questo non è vero in generale nel calcolo delle
probabilità
– truth-functionality
la verità di una frase complessa può essere determinata usando solamente la
verità delle sue componenti
Oss: si noti che anche questo nel caso delle probabilità non è vero
(è vero solo con forti assunzioni di indipendenza)
regole sono conoscenza modulare
• Sfruttare queste assunzioni nel definire meccanismo di gestione incertezza
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Ragionamento approssimato
27
• Tre concetti nel definire il meccanismo dei certainty factors
dato fatto H
– MB(H, E) misura di belief in H apportata da E, in [0,1]
– MD(H , E) misura di disbelief in H apportata da E, in [0,1]
– CF(H, E) = MB(H, E) - MD(H, E)
Si ha quindi
– H sicuramente vero MB(H, E)=1, MD(H, E) = 0, CF(H,E)=1
– H sicuramente falso MB(H, E)=0, MD(H, E) = 1, CF(H,E)=-1
– CF(H, E) = 0 incertezza assoluta su H
• Certainty factor associato alle regole
if <antecedente> then (CF) <conclusione>
grado con cui si può incrementare belief in <conclusione> se
<antecendente> è vero
Esempio [Mycin]
if the organism is gram-positive AND the morphology of the organism is
coccus AND the growth of the conformation of the organism is chains
then there is a suggestive evidence (0.7) that the identity of the organism
is streptococcus
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Ragionamento approssimato
28
14
Regole di combinazione evidenza
• Tre situazioni
– Condizioni logiche in antecedente di una regola
• CF(A ∧ B, E)
• CF(A ∨ B, E)
– Regola di combinazione evidenze
• CF( A, E1 ∧ E2)
E1
A
E2
– Chaining rule
come calcolare grado di certezza su conseguente dati i gradi di certezza su
antecedente e su regola
E
B
C
y
CF(C,B) a partire da CF(B,E) e y
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Ragionamento approssimato
29
• Condizioni logiche: sfruttare truth functionality
– CF(A ∧ B, E) = min[CF(A,E), CF(B,E)]
– CF(A ∨ B, E) = max[CF(A,E), CF(B,E)]
• Combinazione di evidenze multiple
E1
E2
A
siano X= CF(A, E1) e Y=CF(A,E2)
intuizione:
– approccio additivo, si aggiunge (toglie) a X quanto manca a 1 (-1) in
proporzione a Y
X + (1-X)*Y se X>0 e Y> 0
CF( A, E1 ∧ E2) =
X + (1+X)*Y se X<0 e Y< 0
(X + Y) / (1 - min[|X|, |Y|])
{
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Ragionamento approssimato
30
15
• Chaining rule
E
B
y
C
CF(C, B) = y* max [0, CF(B, E)]
– intuizione: si interpreta fattore di certezza y della regola come l’apporto al
grado di certezza di C dato da B, se B vero
– quindi l’apporto sarà in proporzione al grado di certezza di B
– max [0, CF(B, E)] in quanto le regole sono regole “a favore” della
conclusione e non regole “contro” (altro tipo di conoscenza) e quindi non
portano evidenza contro C
• Queste regole definiscono un meccanismo completo di gestione
dell’incertezza
– facile da gestire computazionalmente
– richiede
• gradi di certezza alle regole: in Mycin (ed altri) soggettivi da esperti
• MB e MD sui fatti
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Ragionamento approssimato
31
Ragionamento approssimato
32
• Esempio1
– fatti
• A con CF(A)=1
• B con CF(B)=1
– regole
• r1: if A then (0.8) C
• r2: if B then (0.6) C
• r3: if C then (0.5) D
– usando r1 concludo C con CF(C)=0.8
(chaining rule)
– usando r2 concludo C con CF(C)=0.6
(chaining rule)
• quindi CF(C) = 0.8 + (1-0.8)*0.6 = 0.92
(combinazione di evidenze)
– usando r3 concludo D con CF(D) = 0.46
(chaining rule)
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16
• Esempio2
– fatti
• A con CF(A) = 0.7
• B con CF(B) = 0.8
• C con CF(C) = 0.9
– regole
•
•
•
•
r1: if A∧ B then (0.8) W
r2: if B∨ C then (0.6) Z
r3: if W then (0.5) K
r4 if Z then (1) K
– r1: CF(A∧ B) = min [CF(A), CF(B)] = 0.7
quindi concludo W con CF(W)=0.56
– r2: CF(B ∨ C ) = max [CF(B), CF(C)] = 0.9
quindi concluso Z con CF(Z)=0.54
– usando r3 concludo K con CF(K)=0.28
– usando r4 concludo K con CF(K)=0.54
• quindi CF(K) = 0.28 +(1-0.28)*0.54 = 0.6688
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Ragionamento approssimato
33
• Osservazioni
– approccio usato con successo in molti sistemi
• Mycin
• da Emycin a varie applicazioni
– i numeri associati alle regole derivano da valutazione soggettiva degli
esperti
• problemi nel determinare i numeri
• risultati sorprendenti nel caso di Mycin da prove di sensitivity analysis: i
risultati non cambiavano troppo anche cambiando i CF delle regole in modo
significativo
– mancanza di base teorica, ma
tentativo di ricostruzione teorica del metodo da parte di Shortliffe
• relazione tra certainty factors e probabilità (vedi prossima slide)
– modularità di esecuzione basata su assunzioni di indipendenza
• grande differenza dal calcolo delle probabilità
• problemi quando le regole sono scritte in modo tale che le assunzioni non sono
vere
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Ragionamento approssimato
34
17
• Ricostruzione probabilistica
{
1 se P(H)=1
MB(H, E)
max[P(H|E), P(H)] - P(H)
1 - P(H)
{
1 se P(H)=0
MD(H, E)
min[P(H|E), P(H)] - P(H)
0 - P(H)
CF(H,E) = MB(H,E) - MD(H,E) ≈ P(H | E)
• Differenze fondamentali da approccio probabilistico
– detachment
– locality
– modularity
Console, Botta - Dip Informatica, Univ. Torino
Ragionamento approssimato
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