Dai numeri periodici alle frazioni attraverso le equazioni

Attività 2 – Dai numeri periodici alle frazioni attraverso le equazioni
La regola dice che:
Per costruire la frazione generatrice di un numero decimale periodico si scrive:
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al numeratore, il numero dato senza la virgola e senza il segno di periodo, meno
(sottrazione) tutto ciò che sta prima del periodo;
al denominatore, tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le
cifre dell’antiperiodo.
Dopo aver fatto queste operazioni dobbiamo ridurre la frazione ai minimi termini.
La spiegazione
Ma come si spiega questa regola?
Si può spiegare con la tecnica delle equazioni sottratte.
1° caso: prendiamo un numero decimale periodico semplice, con il periodo da 1 cifra. Chiamiamolo
x e moltiplichiamolo per 10:
Sottraiamo membro a membro le due equazioni:
Applichiamo la proprietà invariantiva al secondo membro:
2° caso: prendiamo un numero decimale periodico semplice, con il periodo da 2 cifre. Chiamiamolo
x e moltiplichiamolo per 100:
Sottraiamo membro a membro le due equazioni:
Applichiamo la proprietà invariantiva al secondo membro:
3° caso: prendiamo un numero decimale periodico misto, con il periodo e l'antiperiodo da 1 cifra.
Chiamiamolo x e moltiplichiamolo per 10 e per 100:
Sottraiamo membro a membro le ultime due equazioni:
Applichiamo la proprietà invariantiva al secondo membro:
4° caso: prendiamo un numero decimale periodico misto, con l'antiperiodo da 2 cifre e il periodo da
3 cifre. Chiamiamolo x e moltiplichiamolo per 102 e per 103:
Sottraiamo membro a membro le ultime due equazioni:
Applichiamo la proprietà invariantiva al secondo membro:
Più in generale, prendiamo un numero decimale periodico misto, con l'antiperiodo da n cifre e il
periodo da m cifre. Chiamiamolo x e moltiplichiamolo per 10n e per 10m.
Sottraendo, come nei casi precedenti, le due equazioni membro a membro, otterremo la frazione
generatrice del numero.
Dobbiamo ridurla ai minimi termini, se non lo è già