Indice
Introduzione
1 Per cominciare...
1.1 Gli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Operazioni con gli insiemi . . . . . . . . . .
1.2 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Prodotto cartesiano d’insiemi. Relazioni e funzioni
1.3.1 Relazioni di equivalenza . . . . . . . . . . .
1.3.2 Relazioni d’ordine . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Ed inoltre... Un po’ di Logica . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Dagli assiomi alla dimostrazione . . . . . . .
1.5.2 Che cos’è una dimostrazione . . . . . . . . .
XIII
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2 Gli insiemi numerici
2.1 I numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 I numeri interi ed i numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Manca qualcosa... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Maggioranti, minoranti, estremo superiore ed estremo inferiore
2.4 Da Q a R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Intervalli di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Conseguenze della completezza di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Classi separate e contigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Famiglie di intervalli incapsulati . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Conseguenze su Q, Z, N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Esistenza della radice n-sima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Potenze ad esponente reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Ed inoltre... I numeri cardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Contare gli elementi di un insieme . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
5
8
9
9
10
11
15
18
19
19
24
25
25
27
29
30
31
32
34
36
36
36
37
38
40
40
42
46
47
47
VIII
Indice
2.7.2
Un unico infinito? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Funzioni reali
3.1 Proprietà generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Operazioni con le funzioni . . . . . . . . .
3.1.2 Funzioni limitate . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Funzioni monotòne . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Funzioni pari e dispari . . . . . . . . . . .
3.1.5 Funzioni periodiche . . . . . . . . . . . . .
3.2 Alcune classi di funzioni elementari . . . . . . . .
3.2.1 Valore assoluto, segno e parte intera . . .
3.2.2 Polinomi e funzioni razionali . . . . . . .
3.2.3 Funzioni trigonometriche e loro inverse .
3.2.4 Esponenziali e logaritmi . . . . . . . . . .
3.2.5 Funzioni iperboliche e loro inverse . . . .
3.3 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 5 . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Ed inoltre... I numeri complessi . . . . . . . . . . .
3.4.1 Perché introdurre i numeri complessi . .
3.4.2 Definizioni e principali proprietà . . . . .
3.5 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 6 . . . . . . . . . . . . . . . .
51
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70
75
76
76
76
82
84
4 Topologia, Continuità e Limiti
4.1 La topologia di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Intorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Insiemi aperti e chiusi . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Punti di aderenza e punti di accumulazione
4.2 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Funzioni continue e limiti . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Definizione ed esempi . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Proprietà dei limiti e delle funzioni continue
4.3.3 L’algebra dei limiti e delle funzioni continue
4.3.4
Continuità globale . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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108
5 Estensioni del concetto di limite
5.1 Limiti infiniti e limiti all’infinito . . . . . . . .
5.1.1 Limiti infiniti . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Ampliamento di R. Limiti a ˙1 . . .
5.1.3 Punti di discontinuità di una funzione
5.2 I limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Indice
Foglio di lavoro n. 9 . . . . . . . . . . . . .
Confronto locale di funzioni . . . . . . . . .
5.4.1 o-piccoli ed equivalenze locali . . . .
5.4.2 Confronto locale e calcolo dei limiti
5.4.3 Infinitesimi ed infiniti . . . . . . . . .
Applicazioni a problemi di approssimazione
Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 10 . . . . . . . . . . . .
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147
6 Successioni di numeri reali
6.1 Successioni e sottosuccessioni . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Successioni convergenti, divergenti, indeterminate
6.1.2 Successioni monotòne . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Successioni e continuità di una funzione . . . . . .
6.1.4 Calcolo dei limiti di successioni . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Sottosuccessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Ancora sulla teoria dei numeri reali . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Teorema di Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Successioni di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4
Successioni definite per ricorrenza . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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compatti
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5.4
5.5
5.6
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7 Funzioni continue su intervalli
7.1 Esistenza degli zeri e proprietà di Darboux . . . . .
7.2 Continuità della funzione inversa . . . . . . . . . . .
7.3 Teorema di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Funzioni uniformemente continue . . . . . . . . . .
7.4.1 Teorema di Heine - Cantor . . . . . . . . . . .
7.4.2 Funzioni lipschitziane . . . . . . . . . . . . .
7.4.3
Ancora sull’uniforme continuità . . . . . . .
7.5 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 12 . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Ed inoltre... Insiemi compatti e funzioni continue sui
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IX
8 Calcolo differenziale
8.1 La derivata di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Il problema della tangente . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 La definizione di velocità istantanea . . . . . . . . . .
8.1.3 La derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.4 Il differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.5 Punti di non derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.6 L’algebra delle derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.7 Derivate di funzioni composte e di funzioni inverse
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X
Indice
8.2
8.1.8 Derivate d’ordine superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Foglio di lavoro n. 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9 Funzioni derivabili in un intervallo
9.1 Estremi relativi e Teorema di Fermat . . . . . . . . .
9.2 I teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy . . . . .
9.3 Conseguenze del Teorema di Lagrange . . . . . . . .
9.4 Problemi di massimo e minimo: alcune applicazioni
9.5
Proprietà della funzione derivata . . . . . . . . . . .
9.6 Il teorema di de l’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 14 . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8 Studio del grafico di una funzione . . . . . . . . . . .
9.9 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 15 . . . . . . . . . . . . . . . . .
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205
206
208
210
212
213
216
220
221
223
229
10 La formula di Taylor
10.1 Approssimazioni con polinomi . . . . . . . . . . .
10.2 Formula di Taylor con il resto di Peano . . . . . .
10.3 Polinomi di Taylor di alcune funzioni elementari
10.4 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 16 . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Formula di Taylor con il resto di Lagrange . . . .
10.6 Applicazioni a problemi di approssimazione . . .
10.7 Funzioni convesse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8 Studio locale dei massimi e minimi . . . . . . . .
10.9 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 17 . . . . . . . . . . . . . . .
10.10 Ed inoltre... Funzioni convesse in un intervallo . .
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253
257
258
11 Integrazione
11.1 Il problema dell’area . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 L’integrale di Riemann . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Costruzione dell’integrale di Riemann
11.2.2 Una definizione alternativa . . . . . .
11.3 Integrabilità di alcune classi di funzioni . . . .
11.4 Proprietà dell’integrale . . . . . . . . . . . . . .
11.4.1 Integrale orientato . . . . . . . . . . . .
11.5 Primitive di una funzione . . . . . . . . . . . .
11.6 Il Teorema fondamentale del calcolo integrale
11.6.1 Media integrale . . . . . . . . . . . . .
11.6.2 Il Teorema fondamentale . . . . . . . .
11.7 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 18 . . . . . . . . . . . . .
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Indice
11.8 Determinazione delle primitive di una funzione .
11.8.1 Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . .
11.8.2 Integrazione per sostituzione . . . . . . . .
11.8.3 Primitive di alcune classi di funzioni . . . .
11.9 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 19 . . . . . . . . . . . . . . . .
11.9.1 Calcolo degli integrali definiti . . . . . . . .
11.9.2 Qualche applicazione del calcolo integrale
11.10 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 20 . . . . . . . . . . . . . . . .
11.11 Ed inoltre... Il teorema di Vitali - Lebesgue . . . . .
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311
12 Integrali impropri
12.1 Integrali impropri su intervalli non limitati . . . . . . . . .
12.1.1 Funzioni a segno costante . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.2 Funzioni di segno qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Integrali impropri di funzioni non limitate in un intervallo
12.3 Altri tipi di integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5 Ed inoltre... Funzioni in forma integrale . . . . . . . . . . . .
12.6 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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limitato
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337
13 Serie numeriche
13.1 Definizioni e proprietà elementari . . . .
13.2 Criteri di convergenza . . . . . . . . . . .
13.2.1 Serie a termini non negativi . . .
13.2.2 Serie a termini di segno qualsiasi
13.3 Integrali e serie . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foglio di lavoro n. 23 . . . . . . . . . .
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XI
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A Alcuni problemi numerici
369
A.1 Zeri di una funzione: Metodo di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
A.2 Un cenno al calcolo approssimato di integrali . . . . . . . . . . . . . . 371
B Soluzioni di alcuni esercizi dei fogli di lavoro
373
C Grafici di alcune funzioni proposte nei fogli di lavoro
379
Indice analitico
381
