Fenomeni di Trasporto Biologico. Indice - Centro Piaggio

Dispensa Fenomeni di Trasporto Biologico, Università di Pisa, Ingegneria Biomedica
Fenomeni di Trasporto Biologico.
Dispensa del corso della professoressa Arti Ahluwalia
Università di Pisa, Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica
Pagina del corso:
http://www.centropiaggio.unipi.it/course/fenomeni-di-trasporto-biologico.html
A cura di Alessandro Velletri, sotto la supervisione del docente.
(CC BY-NC-SA)
(puo’ essere copiato e adattato riconoscendo gli autori, non per scopi di lucro)
Indice
1.
Introduzione .................................................................................................................................... 3
Concetti Base .......................................................................................................................... 4
1.1.1
Flux, Flow e Flusso........................................................................................................... 4
1.1.2
Euler e Lagrange .............................................................................................................. 5
Nozioni fondamentali: vettori, tensori, divergenza e gradente ............................................. 5
2
1.2.1
Vettori e Tensori ............................................................................................................. 5
1.2.2
Gradiente e divergenza ................................................................................................... 6
1.2.3
Il Laplaciano,  2 (in Inglese del squared) ...................................................................... 7
1.2.4
Velocità, accelerazione e flusso volumetrico .................................................................. 8
1.2.5
Material Derivative ......................................................................................................... 9
Equazione di conservazione di massa, continuità .......................................................................... 9
Stazionarietà: equilibrio – conservazione. .............................................................................. 9
3
2.1.1
Equazione di conservazione: ......................................................................................... 10
2.1.2
Il sistema vascolare rispetta la legge di continuità. ...................................................... 12
Fluidi: Fluidodinamica e reologia .................................................................................................. 13
Idrostatica ............................................................................................................................. 13
3.1.1
Pressione sanguina........................................................................................................ 14
Viscosità ................................................................................................................................ 15
3.2.1
Introduzione .................................................................................................................. 15
3.2.2
Piatti paralleli ................................................................................................................ 16
1
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Accenno alla reologia ............................................................................................................ 17
3.3.1
Unita’ di misura della viscosità ..................................................................................... 19
Linee di Flusso ....................................................................................................................... 20
Derivazione legge di Poiseuille.............................................................................................. 20
Numero di Reynolds (Re). ..................................................................................................... 24
3.6.1
Lo strato limite .............................................................................................................. 26
Equazione di Bernoulli .......................................................................................................... 27
3.7.1
Pressione statica e cinetica ........................................................................................... 28
3.7.2
Stenosi, separazione del flusso e aneurisma ................................................................ 29
Il volo, la scia e flusso vorticoso ............................................................................................ 31
3.8.1
Flusso sviluppato ........................................................................................................... 32
Equazione di Navier Stokes. .................................................................................................. 33
4
3.9.1
Equazione di Bernoulli e di idrostatica da Navier-Stokes. ............................................ 36
3.9.2
Equazione di Poiseuille con Navier Stokes. ................................................................... 36
3.9.3
Derivazione dell’equazione di Couette. ........................................................................ 37
3.9.4
Flusso in un canale rettangolare ................................................................................... 39
Tensione superficiale. ................................................................................................................... 41
Angolo di contatto e bilancio della tensione superficiale. .................................................... 42
Capillarità e gocce da una pipetta......................................................................................... 43
Legge di Laplace per le gocce ................................................................................................ 45
5
Flusso di massa ............................................................................................................................. 46
Introduzione e 1° legge di Fick .............................................................................................. 46
Seconda legge di Fick ............................................................................................................ 47
5.2.1
La forma integrale della legge di Fick............................................................................ 48
Ordine di reazione................................................................................................................. 49
Tempo di diffusione e Stokes-Einstein.................................................................................. 50
5.4.1
Concentrazioni soluto e solvente.................................................................................. 51
5.4.2
Concentrazione del sale del mare e mare nel sale ....................................................... 51
Diffusione e convezione ........................................................................................................ 52
Trasporto attraverso la membrana cellulare ........................................................................ 53
5.6.1
Coefficiente di Partizione .............................................................................................. 54
Esempi di trasporto di massa ................................................................................................ 56
5.7.1
Applicazione della forma integrale della Legge di Fick: il modello quasi-stazionario... 56
5.7.2
Punto sorgente.............................................................................................................. 58
5.7.3
Consumo di ossigeno .................................................................................................... 59
2
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1. Introduzione
I processi che studieremo in questo corso saranno tutti in condizioni di quasi equilibrio (vedremo
che ciò ci permetterà di semplificare parecchi problemi). Inoltre consideriamo i sistemi come fluidi o
soldi continui (non fatte di particelle o quanta discreti), per cui siamo in regime della meccanica del
continuo.
In questo corso ci soffermeremo in particolar modo sul trasporto di: Moto – Massa – Energia.
Moto: osserveremo il trasporto di fluidi, materiale dovuto ad una spinta di moto, massa×velocita’
(vasi, circolazione e fiumi). Sarà il primo che tratteremo.
Massa: ad esempio come diffonderà il profumo in una stanza, la concentrazione iniziale verrà
distribuita tramite trasporto in tutta la stanza fino a raggiungere un equilibrio nella concentrazione.
Energia: parleremo fondamentalmente del trasporto di calore, poiché le altre energie non vengono
trasportate direttamente ma convertite in altre forme (l’energia potenziale si trasforma in energia
cinetica).
Suddivideremo inoltre il trasporto di massa in due tipi:
Trasporto passivo (detto anche Moto diffusivo) e Trasporto forzato (detto anche Moto forzato,
convettivo o advezione).
Un esempio di moto passivo è quello del profumo descritto precedentemente, dove le molecole di
profumo ognuna con una propria energia intrinseca K×T1 si muovono nell’aria secondo un moto
Browniano. Maggiore sarà la temperatura più velocemente diffonderanno, si diffondono in maniera
casuale e grazie a Einstein e Brown sappiamo che si diffondono secondo la legge:
∆
∝
∆ ∝√
FIGURA 1.1: MOTO BROWNIANO
La distanza percorsa è proporzionale al tempo di osservazione, più tempo passa più vi è possibilità di
spostamento. Invece nel caso di moto convettivo, ovvero avrò una velocità ̅ di spinta.
1
K e’ la costante di Boltzmann. K=1.38e-23 J/.Kelvin. Il prodotto K×T e’ l’energia per molecola. Da notare che
la costante di gas, R=K/no. Avogadro ed e’ espressa in J/(mole.Kelvin)
3
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Concetti Base
1.1.1 Flux, Flow e Flusso
Ogni tipo di trasferimento (o moto) genererà un FLUSSO.
In italiano utilizziamo un unico termine per indicare quello che in inglese viene distinto tra FLUX e
FLOW.
Flux verrà usato per descrivere qualcosa che si muove in un’area superficiale in
un tempo t, con Φ che indica massa, energia o quantità di moto a seconda del
caso.
Flux 

m2 s
Flow verrà usato per intendere il flusso volumetrico (inteso come l’acqua in un
condotto o il sangue nelle arterie) è espresso in molti come:
Flow 
m3
s
FIGURA 1.2 - FLUX
Per esempio, il flusso volumetrico del sangue nell’aorta e 5 L/min o 8.5.10-5 m3/s..
Il trasporto è causato da delle differenze che si creano nello spazio, identificate come GRADIENTI. In
particolare, i trasporti che studiamo sono dovute a una variazione di concentrazione, velocità o
temperatura tra due punti. Maggiore è la quantità di quello che si trasporta, maggiore sarà il flusso.
Avremo quindi per il trasporto di:
Massa: dovuto a differenza di concentrazione (C).
Energia: dovuto a differenza di temperatura (T).
Moto: dovuto a differenza di velocità (V).
Quindi il flusso di queste 3 entita’, inteso come flux, sarà:
Φ= entità trasportata
FLUSSO
MASSA: M
M
m2 s
Joule
m2 s
Mv
m2 s
ENERGIA:
MOTO: M*v
GRADIENTE
−
−
−
Equazione
costitutiva
c
x
T
Q  k
x
v
  
x
J  D
NomeEq.
costitutiva
FICK
FOURIER
NEWTON
4
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1.1.2 Euler e Lagrange
Per osservare questi sistemi useremo due metodi:
Euleriano: osserviamo un sistema da fermi mentre il
sistema scorre.
E’ come se un uomo guardasse un porzione di fiume da
fermo mentre scorre ed osserva cosa vi entra ed esce.
Prendendo quindi un blocchetto infinitesimo osserviamo il
trasporto da fuori a dentro; regime costante e volume costante.
FIGURA 1-3: VOLUME OSSERVATO SECONDO UN SISTEMA
EULERIANO
Useremo questo sistema nei nostri studi in questo corso.
Lagrangiano: come se invece di fissare la stessa porzione di fiume da fermi, rincorressimo lo stesso
punto seguendo il torrente. Si tratta quindi di seguire il sistema nel suo “percorso”, fissare una
molecola. Computazionalmente più difficile.
Nozioni fondamentali: vettori, tensori, divergenza e gradente
1.2.1 Vettori e Tensori
Video lezione consigliata di Dan Fleisch “What's a Tensor?”
https://www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw
Uno scalare non ha direzione, ma solo ampiezza. Un vettore ci posiziona nello spazio, è
caratterizzato da ampiezza, direzione e verso. Il tensore invece è un’entità matematica che
generalizza il concetto di vettore, funzioni e prodotti scalari.; il tensore indica anche il piano di
riferimento. Ad esempio un tensore di 2° grado sarà Fyy, il primo pedice indica la direzione
perpendicolare al piano di riferimento mentre il secondo la direzione di F.
FIGURA 1-4: TENSORI APPLICATI AD UN CUBO
Ipotizzando di avere un cubo in 3 (Fig. 1.4), osserviamo quali forze agiscono su tutte le facce del
  xx  xy  xz 


cubo, riassumibili nella matrice dei tensori   yx  yy  yz  .
  zx  zy  zz 


Nello studio del trasporto, utilizziamo la matrice dei tensori per gli sforzi. I tensori sulla diagonale
principale [  xx ,  yy ,  zz ] sono pressioni e sforzi di tensione o compressione, mentre i restanti sono
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sforzi di taglio. Da notare che la pressione e’ uno sforzo che agisce perpendicolare a un piano con
direzione verso il piano (coie’ la pressione e’ sempre compressivo).
Sia lo sforzo che la pressione presentano le stesse dimensioni di una forza per unità di area,
solitamente espressa in [
]=
[ ]
[ ]
La pressione è una forza applicata
perpendicolarmente all’area di interesse ed e’
sempre diretta verso il piano. Siccome la
direzione e il piano sono definite, puo’ essere
considerato uno scalare.
Gli sforzi sono classificabili come:
Sforzo di taglio:
Avviene lungo una superficie e lo troveremo
spesso scritto come
=
Sforzo di trazione perpendicolare alla
superficie. La forza è diretta verso l’esterno.
Sforzo di compressione perpendicolare alla
superficie. La forza è diretta verso l’interno.
1.2.2 Gradiente e divergenza
Gradiente (GRAD) di uno scalare:
Il gradiente di una funzione scalare e’ la sua derivata nello spazio. E’ un vettore che e rappresenta
l’ampiezza e direzione in cui la funzione ha la massima derivata.
Usiamo l’operatore nabla (in inglese Del) per il gradiente.


 
f  i  j  k  f
x
x 
 x
Per esempio, il gradiente di pressione e’
p  i
p
p
p  p p p 
 j k
 , , 
x
y
z  x y z 
Divergenza (DIV) di un vettore
La divergenza e’ la somma delle derivate nello spazio di un vettore. La divergenza di un vettore e’ un
campo scalare e rappresenta la uscita del campo dal punto (es. campo di velocita’). In altre parole, e’
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una misura della quantita’ di qualcosa che esce (divergenza positiva+) o entra (divergenza negativa-)
da un punto per unita’ di tempo.
v 
vx vy vz


x y z
1.2.3 Il Laplaciano,  2 (in Inglese del squared)
La  2 puo’ essere definita come e’ la divergenza del gradiente. Piu’ difficile da speigare in termini
fisici, e’ una misura di quanto e’ diversa la funzione tra un punto e l’altro (cioe’ la seconda derivata!)
2 p 2 p 2 p
 s  .s  2  2  2
x
y
z
2
Per un vettore invece la  2 deve essere definita in ogni direzione, quindi e’ piu’ complicato.
 2 v    v 
x
x
 2 v    v 
y
y
 2 v    v 
z
z
 2vx  2vx  2 vx


x 2 y 2 z 2
 2v y
x 2

 2v y
y 2

 2vy
z 2
 2 vz  2 vz  2 vz


x 2 y 2 z 2
Infine il prodotto scalare tra un vettore e il gradiente e’ scritto:
v.s  vx
s
s
s
 vy
 vz
x
y
z
Il Laplaciano, ovvero  2 , ha delle diverse espressioni per i vari sistemi di riferimento.
Analizzeremo  2  , con  scalare.
 2  2   2
In un sistema cartesiano:


x 2 y 2 z 2
In coordinate sferiche:
1   2  
1
 
 
1  2
r

sin






r 2 r  r  r 2 sin   
  r 2 sin   2
In questo caso consideriamo solitamente variazioni lungo il raggio, è importante ricordare solo
2 
1   2  
r
 poiché la parte restante non varia quasi mai
r 2 r  r 
In coordinate cilindriche:
1     1  2  2 

r

r r  r  r 2  2 z 2
In coordinate cilindriche raramente consideriamo variazioni in θ.
7
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1.2.4 Velocità, accelerazione e flusso volumetrico
Definizione formale di velocità.
La velocità è un vettore che dipende da spazio e tempo V  ( x, y,z, t) .
I vettori rossi in Figura 1.5 rappresentano la velocità di ogni punto,
quello nero è il vettore normale alla superficie.
La velocità media è l’integrale di tutte le velocità.
FIGURA 1- 5: VETTORE DI VELOCITA’
Vmedia 
1
v  ndA
A A
Esprimiamo il flusso volumetrico in funzione della velocità media
Q flussoVolumetrico  Vmedia A   v  ndA così che
A
Q  VA 
m3
m
 m2
s
s
Il flusso di massa verrà espresso come J 
massa
   v  ndA  Vmedia 
area *tempo
A
Accelerazione.
La velocita’ e’ funzione di spazio e tempo.
y
z 
 x
v  v ( x, y , z , t ) , v   i  j  k 
t
t 
 t
La differenziale della velocita’ e’:
dv 
v
v
v
v
dx  dy  dz  dt
x
y
z
t
(1)
L’accelerazione e’ la variazione di velocità sia nello spazio che nel tempo. In regime Euleriano non
noto la variazione nello spazio ma nel Lagrangiano si. Esprimeremo l’accelerazione dividendo l’Eq. 1
per dt
d v  v dx  v dy  v dz  v




dt x dt y dt z dt t
d v v
v
v
v
 vx  v y  vz 
dt x
y
z
t
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Rappresentabile secondo quella che è conosciuta come “Formula di Newton”
a
dv v
v

 v v dove
è un termine di accelerazione locale di tipo newtoniano e v v è
dt t
t
un’accelerazione che avviene nello spazio, ad esempio quando cambiano le sezioni e le forme.
1.2.5 Material Derivative
Il material derivative e’ la derivata in tempo di una funzione mentre viene seguita una particella.
Cioe’, bisogna fare conto che la funzione cambia sia nello spazio che nel tempo. Il material derivative
collega la descrizione Lagrangiana con quella Euleriana.
L
E
Dy y
  v  y
Dt t
Per cui l’accelerazione e’ la derivata materiale della velocita’.
2 Equazione di conservazione di massa, continuità
Stazionarietà: equilibrio – conservazione.
Un sistema stazionario rimane invariante nel tempo pur non essendo completamente fermo. Un
movimento non stazionario è caratterizzato da un’accelerazione mentre i sistemi stazionari sono
chiusi e conservativi.
Analizziamo il concetto di conservazione, sistemi cosiddetti conservativi.
Osservando il blocchetto infinitesimale (Fig.2.1), prestiamo attenzione a ciò che entra e ciò che esce.
Se notiamo un aumento della massa nel tempo vuol dire che è entrato qualcosa e nulla (o non
abbastanza) è uscito.
Lo stesso vale per la diminuzione, poco o nulla sarà entrato e qualcosa sarà uscito. Potremmo
immaginare che dentro a questo “black box” ci sia un topo che mangia o un sistema chimico che
“ipoteticamente” producono massa o la consumano (sarebbe più corretto parlare di trasformazioni
piuttosto che di produzioni). Terremo conto di questi eventuali fattori aggiungendo un termine
.
≡
−
Questa è di per se un’equazione di conservazione, dimensionalmente avremo:
La variazione di flusso è [
l’area [ ] ottenendo
[
[
[ ]
]
] [ ]
]
=
[
]
[ ]
quindi per avere un riscontro dimensionale moltiplicheremo per
, ovvero flusso per superficie in ingresso e in uscita.
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2.1.1 Equazione di conservazione:
=
|
−
|
=
|
−
|
Provando a scriverlo per l’energia avremo:
=
Consideriamo ora che =
siamo in regime Euleriano.
|
−
|
=
|
−
|
dove ρ indica la densità ed il volume sarà costante poiché
∗
Osserviamo quel che entra ed esce dalla faccia Δx-Δy
avremo:
=
(
)
=
ΔxΔyΔz
Sapendo che ΔxΔyΔz = Volume diremo che
=
Volume
FIGURA 2-1: VOLUMETTO FISSO
Considerando quanto detto precedentemente, che
ingresso ed uscita avremo
=
e che considerando le facce di
∗
| −
|
Questo bilancio deve corrispondere alla variazione di massa nel tempo espressa precedentemente,
quindi:
ΔxΔyΔz =
| −
|
→ Δx
=− (
)
Nel limite di piccole variazioni le ∆ diventano d, per cui:
( )
=−
Quanto detto è estendibile in tutte le dimensioni, perciò l’equazione di continuità o equazione di
conservazione di massa verrà espressa tramite l’operatore nabla come:
= −∇ ∙ (
)
Essendo il liquido incomprimibile e trovandoci in un sistema euleriano la densità non varia. Quindi
per =
potremo estrapolarlo dalla parentesi a destra ed ovviamente dire che la derivata di una
costante è zero
d
 0 e quindi che la divergenza della velocità è zero   V  0 .
dt
Ciò significa che la somma delle velocità che entrano o escono in un punto devono essere uguali a 0.
Ciò perché non possiamo avere né sorgenti di massa, visto che non si crea dal nulla, né consumi di
massa dal nulla (“buchi neri”).
Per esempio, considerando un sistema bidimensionale per semplicita’, l’equazione di continuita’ per
un fluido incomprimibile.
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v 
v y
y
vx v y

0
x y

vz
z
La derivata di velocita’ lungo x deve essere compensata dalla derivata lungo y.
Osserviamo ora un esempio di sistema chiuso, il sistema vascolare. Presenta un flusso ed è
caratterizzato da un volume costante, poiché quel che entra corrisponde a quel che esce a meno di
condizioni patologiche (es. emorragia), è importante anche che non ci siano accumuli.
Flusso di massa che entra = Flusso di massa che esce
massa
massa

Converrà sempre esprimere la
s in
s out
FIGURA 2-2 - SEZIONE VASO
massa come densità×volume così che

m3
s

in
m3
s
Vol
s

in
Vol
s
out
out
e scomponendolo così da evidenziare un termine di velocità  m 2
m
m
  m2
potremo
s in
s out
scrivere:
 Area Velocità in   Area  Velocità out
Per le considerazioni successive prenderemo in caso un tratto di vaso come quello in Figura 2.3.
Abbiamo 2 ingressi con Vin , Vout , A’ e A’’ . Se ρe’ costante, i flussi in ingresso ed in uscita dovranno
eguagliarsi così che: J in  J out e Qin  Qout . Ciò significa che Vin Ain  Vout Aout e che A’<A’’ e di
conseguenza V’>V’’ .
FIGURA 2-3: CONTINUITÀ DEL FLUSSO PER UN SISTEMA
INCOMPRIMIBILE
11
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2.1.2 Il sistema vascolare rispetta la legge di continuità.
Il percorso della circolazione segue uno schema come in Figura 2.4, le arterie si diramano formando
arteriole e infine i capillari. I 5L in uscita dall’aorta rientreranno tramite la vena cava, non vero in
caso di emorragie o aneurismi. Possiamo dire che il flusso in uscita dall’aorta corrisponde alla
sommatoria del flusso nei capillari.
Qaorta 
n

capillare 1
Qcapillare
Da questa relazione possiamo ricavare una stima del numero di capillari. Sapendo infatti che il
diametro dei globuli rossi è di circa 8µm e che nei capillari essi procederanno in fila strisciando
contro le pareti, anche i capillari avranno un diametro di 8  m  8  10 m . La lunghezza
media di un capillare è di 1mm, per percorrerlo un globulo rosso ci impiega 1 secondo.
6
V
1mm
m
 103
s
s
Qaorta 
n

capillare 1
Qcapillare
L
 VAnc
min
5 103 m3
m
 nc 103   (4 106 )2
60s
s
9
ncapillari  10
5
FIGURA 2-4: SISTEMA VASCOLARE
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3 Fluidi: Fluidodinamica e reologia
Idrostatica
In questo ambito della fisica i fluidi si trovano in condizioni di staticità
dV
mV
 0 perciò
0
dt
As
Osserveremo qui il trasporto di moto, che è il più complesso poiché la velocità, come detto
precedentemente, è un vettore, mentre le altre grandezze considerate negli altri trasporti sono
scalari. Il trasporto di moto è quindi rappresentato da un tensore.
Osserveremo come esempio un liquido in un bicchiere. Non si muove, condizione di stazionarietà.
Abbiamo un semplice bilancio di forze. Il liquido ha
densità  .
Quali forze agiscono?
Forza di gravità: mg
Forza di pressione: P e P+dP
Ricordarsi di moltiplicare le pressioni per l’area
superficiale su cui agiscono e di sostituire per
praticità m  V , o anche meglio m   Adz .
FIGURA 3.1: PRESSIONE IDROSTATICA
Scriviamo l’equazione per il bilancio di forze in direzione verticale.
mg  ( P  dP ) A  PA →  Adzg  PA  dPA  PA →  dzg   dP Integrando avremo
z2
P2
 g  dz   dP → P1  P2   g ( z2  z1 ) Potremo concludere che P1  P2 .
z1
P1
N.B. P1 è la pressione agente in basso e P2 quella più in alto, rispettivamente in z1 e z2.
Proviamo a calcolare la pressione in un bicchiere d’acqua usando la formula P   gh . Ragionare in
m*k*s e ricordare che
 H O  1000
2
Kg
m3
m
s2
h  10cm  10 2 m
g  9.8
Kg
m
*9.8 2 *102 m 
Moltiplico e divido per m
3
m
s
Kg m
1N  1Kg * m / s 2
 98 2 * 
ms m
N
 98 2  Pa
m
P  1000
13
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3.1.1 Pressione sanguina
Spesso in campo medico, si utilizza come unità di misura per la pressione i millimetri di mercurio
mmHg. La pressione sanguigna in un uomo standard è mediamente definita da:
Pressione sistolica 120 mmHg
Pressione diastolica 80 mmHg
La pressione atmosferica è quella che abbiamo in una colonna alta quanto l’atmosfera (Km). Non
possiamo stimarla con la nostra formula perché la densità dell’aria cambia.
La pressione a livello del mare è 760mmHg, che è analoga alla pressione in una colonna di 760mm
con del mercurio; è stato scelto il mercurio perché è un elemento molto denso:
Kg
 13.6 volte più denso dell’acqua. Per sapere quanti Pascal sarà sfrutteremo la
m3
Kg
m
5
formula P   gh . P  13600 3 *9.8 2 *0.760m  101292 Pa  10 Pa
m
s
 mercurio  13600
760 mmHg=105 Pa→ 1 mmHg=131 Pa
Osserviamo la pressione nel cuore.
FIGURA 3.2: PRESSIONE NEL CUORE
La pressione nell’aorta, che sta alla nostra sinistra, oscilla fra 120 e 80, considereremo quella media
di 100 mmHg (pressione arteriosa). La pressione nella vena cava, alla nostra destra, è di circa 0
mmHg (pressione venosa).
Calcolare la pressione nella testa e nei piedi di un uomo standard.
Altezza uomo standard: 170 cm, Altezza donna standard: 164 cm
Ipotizzeremo che l’uomo sia in piedi poiché fosse supino non potremmo utilizzare la formula
P   gh essendo l’altezza dei punti del sistema di nostro interessa circa la stessa.
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Sappiamo che la densità del sangue è simile a quella dell’acqua
blood  1021
kg
è più alta perché contiene del ferro nei globuli
m3
rossi, approssimiamo comunque a 1000 kg.m3. Quello che dovremo
fare sarà schematizzare l’uomo come un tubo alto 170cm pieno di
sangue.
Pressione testa
Considero il cuore come elemento 1, quindi:
P1=100 mmHg; z1=0 m , trasformandolo in Pascal P1=13100 Pa.
FIGURA 3.3: UOMO STANDARD
P2=Ptesta=?; z2=50c m; 13100  P2  1000*9.8*(0.5  0)
P2  Ptesta  8200 Pa  63 mmHg
Pressione piedi
Considero il cuore come elemento 1, quindi:
P1=100 mmHg; z1=1,2 m ;
P2=Ppiedi=?; z2=0 cm; 13100  P2  1000*9.8*(0  1.20)
P2  Ppiedi  24860 Pa  189.77 mmHg
I risultati corrispondono a quanto ci saremmo aspettati. La pressione ai piedi è maggiore perché è
più lontana dal cuore e il sangue deve risalire lungo il corpo. Quando si ha la pressione bassa gira la
testa perché non vi è una spinta sufficiente per far fluire il corrente ammontare di sangue verso le
parti alte del corpo.
Viscosità
3.2.1 Introduzione
La viscosità è la resistenza di un fluido a muoversi/fluire. Solo i fluidi
hanno viscosità, la esprimiamo con (miu) µ.
Supponiamo di avere un cilindro vuoto (Fig. 3.4) al cui interno è posto un
altro cilindro pieno collegato ad una manovella. Se pongo un solido
nell’intercapedine tra i due cilindri, la forza da applicare per muovere il
cilindro interno è proporzionale all’angolo
∝ .
Se invece di un solido utilizzassi un liquido, le molecole si appoggiano
alla parete, perché le molecole nei liquidi tendono ad appiccicarsi alle
superfici. Se ora provo a ruotare il cilindro interno noto che la forza
non è proporzionale all’angolo ma alla velocità, quindi nei fluidi
avremo una relazione del tipo
FIGURA 3.4: CILINDRO
∝ /
15
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Quindi la differenza tra solido e liquido è non solo nella dispersione delle molecole, ma anche dovuta
ai diversi attriti.
Possiamo brevemente riassumere le proprieta’ e le differenze tra liquidi, solidi, gas e tra solidi e
fluidi.
Un solido resiste a deformazione, mentre un fluido resiste a scorrimento. Dall’esempio in Fig. 3.4
infatti possiamo dedurre che i liquidi resistano alla velocita’ di deformazione mentre i soldi alla
quantita’ di deformazione. Altra differenza: i fluidi non hanno di una forma propria.
Un’altra differenza è che le molecole dei fluidi si attaccano alle superfici e non scivolano. Questa
proprietà’ e’ nota come “no-slip”.
I fluidi che dividiamo tra liquidi e gas presentano ulteriori differenze.
Nei gas le molecole sono abbastanza distanti da non interagire troppo tra loro, mentre in liquidi
come l’acqua ho una forte interazione data dai legami a idrogeno, anche nei polisaccaridi vi è un
fenomeno analogo tra le lunghe catene intrecciate.
La differenza tra un liquido e un gas e’ che il primo prenda la forma del contenitore ma non il
volume, cioe’ In condizioni di “quasi” equilibrio il liquido è incomprimibile e inespandibile.
3.2.2 Piatti paralleli
Osserviamo ora il caso di due superfici (due piatti) parallele
tra loro, separate da un liquido (Fig. 3.5). Il piatto superiore
è fermo, mentre il piatto inferiore si muoverà con velocità
V.
Data la condizione di no-slip, le molecole vicino al piatto
inferiore saranno attaccate allo stesso e come lui si
muoveranno con una velocità V, mentre quelle vicino al FIGURA 3.5: EVOLUZIONE DEL PROFILO DI VELOCITÀ
piatto superiore avranno velocità nulla.
In regime stazionario, mantenendo il movimento del piatto inferiore costante V=cost, vedremo che
le molecole in movimento interagiranno con quelle accanto sul piano superiore e trasmetteranno il
moto con piccole perdite.
All’equilibrio avremo un profilo di velocità lineare (Fig. 3.6), dove appunto
sopra sarà nullo e sotto costante.
FIGURA 3.6
Analiticamente si ha:
Siccome il fluido e’ appiccicoso, perché’ il piatto si muove con una
velocità V, dobbiamo applicare una forza per vincere l’attrito. La
forza applicata per unità di area del piatto è proporzionale al
gradiente di velocità corrispondente anche alla pendenza della
retta.
∝ . La forza che applico mi dice quanto veloce scorre il fluido. Anche
l’area è importante, perché maggiore e’ l’area di contatto con le molecole, maggiore e’ la forza
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necessaria. La Y è l’altezza del piatto, è inversamente proporzionale alla forza perché’ più lontano e’
il piatto fermo meno sento le molecole ferme.
Entra in gioco la costante di proporzionalità, i.e. la viscosità:
= μ da cui trarremo la conclusione
che per una viscosità maggiore necessiteremo di una forza maggiore. È importante notare che la
velocità nel caso da noi analizzato sviluppa lungo x, sarà più corretto quindi scrivere:
=μ
Inoltre la relazione precedente ∝ μ
potrà essere riscritta come: = μ
Ragionando in termini infinitesimali avremo l’equazione costitutiva: = −μ
Si noti che è stato inserito il segno meno poiché il trasporto è opposto alla differenza, ovvero il
trasporto di moto va verso dove la V è minore.
Ricordiamo che è lo sforzo di taglio, μ è la viscosità e
il gradiente.
Se invertissimo i due piatti, ponendo quindi in movimento quello superiore mentre quello inferiore
rimane fermo, avremmo pur sempre un meno perché ho che la differenza di velocità e il flusso della
quantità di moto sono diretti in modo opposto. Il gradiente sarà sempre negativo anche nei casi di
trasporto di energia e massa che vedremo in seguito.
A regime abbiamo una distribuzione come in
Figura 3.7 (frecce rosse), dovuta anche alla
condizione di NO-SLIP che è il fenomeno per cui
le molecole del fluido sono appiccicate alla
parete così che Vliquido alla parete =Vparete.
Lo stesso vale tra uno strato e un altro di
molecole, in questo caso però è più corretto
dire che quel che viene trasferito è il moto e
non la velocità.
FIGURA 3.7: FLUSSO LAMINARE
Accenno alla reologia
La reologia e’ quel ramo della scienza che studia la meccanica dei fluidi non-ideali.
Iniziamo definendo i fluidi ideali: come i gas ideali, non esistano ma possiamo considerare i fluidi
ideali quelli che non sentono attriti e quindi muovono insieme alla stessa velocità. Un fluido ideale è:
i) incomprimibile, ii) irrotazionale, iii) inviscido.
Rivediamo il caso delle superfici parallele, una ferma ed una con velocità V, con dentro un liquido
(Fig. 3.7). Avevamo osservato la formazione di strati detti lamine che hanno tra loro velocità diverse,
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ma all’interno forma dunque uno strato che ha la stessa velocità. Definito lo sforzo di taglio in
questo caso come    
dVx
, con il concetto di tensore è possibile esprimere questa formula
dy
dVx
. Dove i pedici yx indicano la direzione di applicazione e il piano perpendicolare
dy
dV
su cui è applicato. Volessimo lo sforzo lungo x perpendicolare al piano z scriveremmo  xz    z .
dx
come  yx  
Facendo il grafico del gradiente di velocità con lo sforzo di taglio avremo una retta. La pendenza è
negativa e ci dice quanto è viscoso il liquido, ovvero quanto
attrito vi è tra le molecole dello stesso. Dal grafico accanto
possiamo notare che
1  2  3 . A parità di sforzo  yx , il
liquido meno viscoso ha un gradiente maggiore perché è più
facile da “spingere”. Mentre quello con attrito maggiore ha
un gradiente inferiore, è più appiccicoso.
Annoteremo il gradiente di velocità come  .
 
dV
così che per semplicità avremo     .
dy
I fluidi la cui viscosità non varia con la velocità (meglio, il
gradiente di velocità) vengono detti fluidi Newtoniani.
FIGURA 3.8: GRAFICO SFORZO DI TAGLIO E GRADIENTE DI
VELOCITÀ
I fluidi dove aumenta la resistenza allo scorrimento al diminuire dello sforzo di taglio, ovvero
aumentando lo sforzo il fluido scorre meglio vengono definiti come tixotropici, pseudoplastici o
shear thinning. Un fluido tipicamente tixotropico, oltre al sangue di cui parleremo dopo, è la pittura.
Inizialmente resistente, sottoposta all’effetto delle setole dei pennelli diventa più facile da muovere
così che possa essere stesa sulle superfici dove poi asciugherà velocemente. A livello molecolare
succede che le catene inizialmente intrigate, iniziano a districarsi una volta iniziato a mescolare.
Altro esempio sono le sabbie mobili.
Il comportamento opposto è tipico dei fluidi dilatanti o shear thickening. Aumentando lo sforzo di
taglio (più lo muovo), più difficile diventa muoverlo. Tipico esempio è l’amido.
Ci sono poi materiali fluidi come la maionese, che iniziano a muoversi dopo uno sforzo di taglio
critico, vengono così definiti i fluidi di tipo Bingham, che seguono la legge    critico   .
Mentre ognuno dei fluidi presenta un’equazione diversa, potremmo scrivere un’equazione generale:
   n dove n varrà:
Tipo fluido
Fluidi ideali
Fluidi newtoniani
Esponente associato a μ (n)
0
1
Thinning
n<1
Thickening
n>1
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Il sangue è un fluido di tipo Cassoniano, è una via di mezzo tra un Bingham e un Tixotropico. Infatti
presenta un  critico e poi si comporta come un tixotropico. L’equazione costitutiva per un fluido di
1
Casson è    critico   e per un tixotropico    2 (si tratta di equazioni empiriche).
Riepilogo equazioni costitutive:
Fluidi newtoniani   
1
Fluidi Tixotropici o Shear Thinning    2
Fluidi Dilatanti o Shear Thickening   
2
Fluidi di Bingham    critico  
Fluidi di Casson    critico  
FIGURA 3.9: GRAFICI SFORZO, GRADIENTE DI VELOCITÀ PER LE VARIE CATEGORIE DI FLUIDO
Nel corpo umano i fluidi di nostro interesse sono non-lineari, cioe’ non-Newtoniani. Per esempio:
Liquido sinoviale, Lacrime, Sangue, Succhi gastrici, Saliva, Muco, Linfa…ecc.
3.3.1 Unita’ di misura della viscosità
Poniamo momentaneamente la nostra attenzione sui fluidi Newtoniani. Essi rispondono alla legge
  
dV
in maniera lineare, non hanno comportamenti anomali e sono liquidi con basso peso
dx
molecolare, non si presentano shear thinning or thickening.
Dimensionalmente  
[F ]
m2
 [ Pa] mentre il gradiente di velocità
, da queste due informazioni
[ P]
s
ricaviamo che   Pa * s valido nel sistema MKS. Viene spesso misurata anche in Poise, o meglio
centiPoise (cp).
3
Considerando che H 2O  10 Pa  s e H2O  1cp 1cp  10 Pa  s
3
 Air  106 Pa  s
Dati utili:  Blood  4 cp  4 103 Pa  s
Glicerolo  1 Pa  s
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Linee di Flusso
Riprendiamo ora il modello dei piatti mobili, ricordiamo che ci troviamo in condizione di No-slip e
che vi è la creazione di un flusso laminare. Ogni particella segue il suo percorso e non interseca
quello delle molecole adiacenti. Possiamo realizzare dei diagrammi dove vengono rappresentate le
linee di flusso, linee tangenti alla velocità delle particelle. Per definizione le particelle non possono
attraversare le linee di flusso e le linee non possono intersecare (altrimenti una particella avrebbe 2
velocita’). Non siamo in presenza di un flusso turbolento2, è rispettata la legge di continuità, quindi
ciò che entra corrisponde a quel che esce dal sistema.

    V  Nel caso di un fluido incomprimibile Qin=Qout, che come abbiamo visto ci permette
t
di concludere che VinAin= VoutAout.
In un vaso in cui la sezione si riduce potremo
affermare che Vin<Vout. Questo perché le
particelle non possono attraversare le linee.
Quindi nei tratti in cui le linee sono più strette la
velocità aumenta.
FIGURA 3.10: VIN<VOUT
Derivazione legge di Poiseuille.
Deriviamo l’equazione di Poiseuille.
Ci permetterà di ricavare facilmente il flusso in un
cilindro fatte delle dovute premesse.
Flusso stazionario, la velocità non cambia nel tempo
ma può cambiare nello spazio.
Considerando il sistema in coordinate cilindriche vi è
una simmetria in  , quindi le variabili sono z e r.
Simmetria radiale, cioe’ simmetria, intorno a r=0.
Condizione di No-Slip, la velocità alle pareti è 0.
FIGURA 3.11- FLUSSO IN UN CILINDRO
Il tubo è infinitamente lungo e le ipotesi vengono fatte lontane dai bordi.
La stazionarietà implica che il flusso è di tipo laminare.
2
Non tratteremmo flussi turbolenti, ma è importante definirli: Sono flussi caotici, non laminari e non-steady
(anche se non c’e un accelerazione, il flusso puo’ essere turbolente). Cioè, le particelle cambiano velocità a
caso, non sono vincolate all’attrito con le particelle adiacente.
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  cost     
dV
. Cioe, fluidio Newtoniano.
dr
Tenendo conto di queste informazioni, notiamo che non c’è un’accelerazione. Possiamo fare un
bilancio di forze.
Consideriamo un cilindretto al centro di un cilindro (Fig.3.11), le cui dimensioni saranno dz e dr.
Tenendo conto solo delle forze agenti lungo l’asse z, ignoriamo la forza di gravità. Avremo da un
lato P e dall’altro P+dP, con verso opposto. La terza forza da considerare è l’attrito, supponendo
che il cilindretto muova verso destra esso sentirà le altre molecole ai lati che devono scivolare fra di
loro.
 forze  forze 
P r 2  ( P  dP ) r 2   dz 2 r
Le pressioni vanno moltiplicate per l’area del cilindro (faccia piana). L’attrito è uno sforzo di taglio
agente sulla superficie del cilindro.
P r 2  P r 2  dP  r
dPr   dz 2
dP r
 
dz 2
2
  dz 2  r
Abbiamo definito l’equazione di Stokes, che esprime un bilancio di forze di un fluido che si muove in
condizioni stazionarie.
Considerando il fluido come Newtoniano, come premesso    

dVz
dr
dVz
dP r

dr
dz 2
dV dP r
dP

Il valore
è una variazione di pressione lungo z, è costante. La pressione varia,
dr dz 2
dz
non può essere uguale nei due punti, ma varia in maniera costante. Ciò è dovuto all’ipotesi di
stazionarietà, altrimenti sarebbe presente un’accelerazione. Basti pensare ad un rubinetto da cui
scorre dell’acqua, se ruotiamo la manopola varierà la pressione e il flusso oscillerà. Perché
cambiando la pressione varia anche la velocità. Considerando quindi questo valore come costante
potrò separare le variabili ed integrare. Serviranno le condizioni al contorno, per il No-Slip la velocità
alle pareti in r=R è v=0.
r
dP r
dr , @r  R, v  0
dz
2

0
 dV  
dP 1 r 2
V
c
dz 2  2
21
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dP 1 R 2
0
c
dz 2 2
V (r ) 
dP 1 R 2
c
dz 2 2
dP 1 2
(r  R2 ) Questa è l’equazione generale base della fluidodinamica che ci permette
dz 4
di capire come varia la velocità lungo il raggio.
Possiamo scriverla anche come V (r )  
dP 1
( R 2  r 2 ) , non è negativa poiché la derivata della
dz 4
pressione lungo z è negativa. Infatti se volessimo spingere un fluido dovremmo applicare più
pressione iniziale e quindi la variazione risulterebbe negativa, poiché la pressione diminuirà
all’aumentare di z.
Vogliamo individuare come varia la velocità rispetto ad r, plottiamo quindi V(r):
L’andamento è di tipo parabolico,
nella parete è 0, al centro la
velocità è massima.
Vmax  
dP 1 2
R
dz 4
FIGURA 3.12: PROFILO PARABOLICO
Il profilo di velocità avrà un andamento parabolico come in Figura 3.12-13.
Ricaviamo il flusso volumetrico Q.
Q flussoVolumetrico  Vmedia A   nVdA Non considereremo il vettore normale,
A
poiché l’area è già normale al vettore flusso.
dP 1
dP 2
( r 2  R 2 )2 rdr 
( r 3  R 2 r ) dr 


dz 4  0
dz 4  0
R
Q

R
dP  R 4 R 4
dP  4
(  )
R
dz 2 4
2
dz 8
Q
FIGURA 3.13 - PROFILO VELOCITÀ IN UN
CILINDRO RIGIDO
dP  4
R Equazione di Poiseuille.
dz 8
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L’equazione di Poiseuille Q  
dP  4
R esprime il flusso in un condotto cilindrico con le
dz 8
suddette condizioni iniziali. L’unità di misura è Volume/Tempo.
La viscosità è al denominatore perché esprime la resistenza o difficoltà a scorrere del fluido, infatti
se  è grande Q sarà piccolo. Il raggio influisce con un fattore elevato alla quarta.
Dipenderà anche dal gradiente di pressione applicato, maggiore è la spinta, maggiore è il volume in
uscita.
dP
È difficilmente misurabile, combinando l’equazione di Stokes e quella di Poiseuille possiamo
dz
ricavare un’espressione dello sforzo di taglio alla parete di un tubo.
Eq. Poiseuille Q  
dP  4
R
dz 8
Eq. Stokes   
dP r
dz 2
Basterà sostituire la generica r con R del tubo per ricavare  wall e sostituire
dP
.
dz
dP R
dz 2
dP
Q8

dz
 R4
4Q
 wall 
 R3
 wall  
Questa formula serve per stimare il comportamento del sangue nei vasi. Si sottolinea stimare poiché
le formule ricavate sono state trovate grazie a delle ipotesi sul fluido e sul vaso che non sono
rispettate dal sangue:
Il sangue non è un fluido Newtoniano, ma di tipo Casson. Inoltre, il flusso non è stazionario perché
oscilla rispetto al tipo di vaso percorso. Può però essere semplificato come stazionario per tempi di
osservazione lunghi, poiché vi è uniformità nel tempo.
Il flusso nei vasi, ad esempio l’aorta, non è laminare e i vasi non sono rigidi né infinitamente lunghi.
Però l’equazione di Poiseuille e’ una buona prima approssimazione.
Proviamo a stimare lo sforzo di taglio alla parete dell’aorta:
Q5
L
5*103 m3
3

;  Blood  4cp  4 10 Pa  s ; Raorta=1.5cm; Diametro=3cm;
min
60 s
 wall 
4Q 5*103 4*4*103
80
106


Pa
 R3
60  (1.5*102 )3 60  3.375* 106
 wall  0.1257 Pa  0.13Pa
La velocità media sarà: Vmedia 
1
Q
vdA  

AA
A

dP  4
R
dP R 2
dz 8


 R2
dz 8
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Numero di Reynolds (Re).
Il numero di Reynolds è un valore adimensionale che esprime il rapporto fra le diverse forze in gioco
in un sistema, nello specifico le suddette forze sono le forze inerziali e quelle viscose.
Re 
Forze Inerziali  Unità di Volume
Forze Viscose  Unità di Volume
Esprime dunque quanto prevale l’inerzia sull’attrito, ovvero esprimere la difficoltà di fermare
l’oggetto rispetto a farlo scorrere.
La forza inerziale si esprime come F=m×a che moltiplicata per l’unità di volume diventa:
m a
V
v2
m
  è la densità ed esprimendo a come
Sappiamo che
(velocità al quadrato fratto lunghezza)
V
L
v2
otteniamo Finerziali 
.
L
La forza viscosa invece è  A che moltiplicata per unità di volume diventa 
Sapendo che    
Fvis cos e  
L2
.
L3
dV
dV
v
ed esprimendo
come
ovvero l’espressione generale, otterremo
dx
dx
L
v
.
L2
Essendo il numero di Reynolds il rapporto fra le due, sarà vero che:
Re 
 vL

La velocità dell’oggetto è v,  è la densità del fluido,  la viscosità dello stesso e L è la lunghezza
caratteristica. Per convenzione, in caso quando studiamo il flusso all’interno di un tubo la L è il
diametro e per un solido che muove in un fluido, L e’ la lunghezza dell’oggetto lungo la direzione di
flusso.
Il numero di Re ci permette di capire quale delle due forze è predominante in un sistema, inoltre
serve per capire se si avrà un flusso laminare, in cui le forse viscose sono importanti, oppure un
flusso turbolento in cui l’attrito è trascurabile. Più grande è il numero di Reynolds maggiore è
l’inerzia, più è piccolo Reynolds minore è l’inerzia. Non e’ necessario il valore preciso de Re, ma solo
l’ordine di grandezza.
Re<2000 siamo abbastanza sicuri di avere un flusso laminare; vi è la predominanza degli effetti
viscosi.
Re>5000 flusso turbolento, l’attrito è quasi trascurabile si muove tutto più o meno alla stessa
velocità, è difficile prevedere il comportamento “in between” nel mezzo; vi è la predominanza degli
effetti inerziali
2000<Re<5000 siamo in una zona di transizione in cui sono presenti entrambi i fenomeni.
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Dispensa Fenomeni di Trasporto Biologico, Università di Pisa, Ingegneria Biomedica
Questo parametro ci permette di determinare se è possibile applicare le leggi viste prima; così da
capire in che modo si muove un sistema conoscendone densità, viscosità, lunghezza e velocità. Se la
fluidodinamica di 2 sistemi e uguale hanno lo stesso numero di Reynolds. Vice versa, se due sistemi
hanno lo stesso Re, il carattere del flusso (es. linee di flusso hanno lo stesso andamento) dei due
sistemi e’ uguale. Sapendo questo ci permette di costruire dei modelli di areoplani e testarli nelle
gallerie, tenendo fermo l’aeroplano e muovendo l’aria intorno. In inglese si dice che i due sistemi
hanno ‘dynamic similarity’.
Questo numero è importante perché
permette anche di capire che andamento
avrà un corpo quando si muove in un
determinato mezzo. Ad esempio è più
facile nuotare in una piscina con acqua
rispetto a una con olio.
Consideriamo ad esempio un pesce che
FIGURA 3.14: - EFFETTI DI PRESSURE DRAG E FRICTION DRAG SU UN
nuota, dovrà spostare e quindi spingere
PESCE CHE NUOTA.
l’acqua davanti a se; deve quindi superare
la densità dell’acqua che è la forza d’inerzia detta in questo caso pressure drag. L’altro fenomeno
che si presenta è quello dell’attrito, poiché vi è un rallentamento dovuto all’attrito del pesce con
l’acqua, detto friction drag.
Il numero di Reynolds è ovviamente una stima, anche perché spesso la lunghezza caratteristica non
tiene conto della geometria dell’oggetto.
Infatti se abbiamo due oggetti con la stessa lunghezza,
con uno che si muove come in Fig.3.16, esso avrà
un’inerzia maggiore (dovrà spostare più fluido) e meno
attrito.
Mentre nel caso in Fig.3.17 ci sarà maggiore attrito e
minore inerzia.
FIGURA 3.15
FIGURA 3.16
Spesso il numero di Reynolds sarà espresso come Re 
corrisponde a  
VL

, dove  è la viscosità cinematica che

. Se la viscosità dinamica  nel sistema (c.g.s.) è misurata in Poise e descrive

l’attrito, la viscosità cinematica  nel sistema (c.g.s.) è misurata in Stokes. La viscosita’ dinamica
definisce il grado di attrito interno del fluido, mentre quella cinematica puo’ essere considerato
come “l’appiccicosità” e la resistenza al moto del fluido.
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Possiamo confrontare il Re per diversi sistemi biologici. Da notare che animali grandi hanno Re alto
mentre quelli piccoli hanno Re basso.
Re
300 000 000
1 730 000
1 125 000
30
0.00001
Balena nuota a 10 m/s
Uomo 70 kg nuota a 1 m/s
Falco vola a 30 m/s
Ape vola a 6 m/s
Batterio nuota a 0.01 m/s
3.6.1 Lo strato limite
Quando parliamo dell’effetto di attrito di un fluido, parliamo dello strato limite. Lo stato limite e’
uno strato vicino all’oggetto che muove grazie al No-Slip. Ad esempio nel caso di un pesce che
muove nel mare, le particelle si muovono come il pesce a cui sono attaccate. Il moto viene trasferito
laminarmente, man mano diminuisce finché si arriva in una zona di mare in cui non è più percepibile
l’effetto del pesce.
FIGURA 3.17 :STRATO LIMITE
In un condotto dove scorre un fluido lo strato limite è la zona adiacente alla parete; se il condotto è
stretto l’attrito si sentirà ovunque, se è largo si sentirà solo ai bordi e non al centro.
Per calcolarlo bisogna prima definirlo, è quella zona in cui la velocità è il 99% di quella dell’oggetto;
questa definizione risulta però confusa, perciò utilizzeremo Reynolds.
Il numero di Reynolds esprimerà la zona in cui vi è una maggioranza di forze viscose, mentre al
centro vi è una maggioranza di forze inerziali.
Ricordiamo che le forze viscose sono Fvis cos e
v2
v
  2 e quelle inerziali Finerziali 
.
L
L
Indichiamo allora con  la zona limite e consideriamo che le forze viscose sono una percentuale
delle forze inerziali, esprimendo ciò con il parametro k .

v
2
k
v2
L
.
2
Esprimiamo  in funzione di Reynolds:    v
L
k v 2
Occorrerà moltiplicare e dividere per L, così che:  2   v
L L
L2

k  v 2 L k Re
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Potremo dire quindi che  
L
, perciò quando Re diminuisce, lo strato limite (  ) aumenta.
Re
Equazione di Bernoulli
Per analizzare le zone dove l’attrito non è importante, come in grandi masse di fluidi (es. il mare) o
lontani dalle pareti (condotti grandi), parliamo di fluidi ideali detti meglio fluidi inviscidi, dove non vi
sono effetti viscosi, ogni singola particella non influisce sul comportamento delle altre.
Il comportamento fluidodinamico di un fluido inviscido, che sia anche stazionario, è rappresentato
dall’equazione di Bernoulli.
Tracciamo le linee di flusso che indicano il moto, come già visto le particelle sono tangenti e non
possono attraversare le altre linee.
Dal momento che consideriamo un
fluido stazionario non vi saranno
variazioni di velocità rispetto al
tempo, ma vi saranno componenti di
accelerazione nello spazio:
a
dv
dv
 vx
dt
dx
L’equazione di Bernoulli esprime un
bilancio di forze in questo sistema,
riconducibili a F=ma.
FIGURA 3.18: LINEE DI FLUSSO IN CONDOTTO LARGO CON FLUIDO INVISCIDO
Consideriamo un sistema con un flusso in una certa direzione, esprimiamo il bilancio di forze su un
volumetto di fluido così come in Figura 3.20A. Per scomporre le forze sarà utile considerare i vettori
come in Figura 3.20B.
Il
forze sarà:
FIGURA 3.19: A) VOLUMETTO DI FLUIDO, B) COMPONENTI ORIZZONTALI E VERTICALI DI S
dv
 F  ma  mv ds
bilancio di
vedremo variazioni di velocità lungo s,
l’effetto della gravità e delle pressioni che agiscono sui lati del volume.
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La forza risultante della pressione è [ P  ( P  dP )] A , dunque dPA . Il componente della gravità
lungo s sarà invece  mg sin  (vedi Fig.3.20B).
mv
dv
  dPA  mg sin 
ds
Essendo il volume costante potremo esprimere m    Volume   Ads , inoltre sin  
dy
ds
(Fig.30B).
 A ds v
dv
dy
 dP A   A ds g
ds
ds
 vdv   dP   gdy Presentata come segue  vdv  dP   gdy  0 sarà l’equazione differenziale
di Bernoulli.
  vdv   dP    gdy  0 Integrandola otterremo che:
v2
  P   gy  costante Equazione di Bernoulli.
2
Considerato che rho è una costante, può essere assimilata nel termine costante al secondo membro,
l’equazione sarà:
v2 P
  gy  costante .
2 
3.7.1 Pressione statica e cinetica
Sappiamo che il primo membro è una Forza per Area (F/A), moltiplicando e dividendo per L avremo:
F
L Energia
 
sarà allora corretto vedere l’equazione di Bernoulli come segue:
Area L Volume
E.Cinetica E.Pressione E.Potenziale


 costante ciò ci permette di evincere che in un fluido
Volume
Volume
Volume
inviscido non si hanno perdite dovute all’attrito. Esso è visto in termini di energia.
Possiamo osservare la formula anche in termini di Pressione:
Pressione Cinetica+Pressione Statica+Pressione Idrostatica=costante
Se ho un fluido in un condotto e metto un sensore di pressione otterrò dei risultati diversi a seconda
del punto in cui è posizionato il sensore, osserveremo i casi 1 e 2 come in Figura 3.21. Nel caso 1
viene misurata sia la pressione P sia la pressione cinetica 
v2
, poiché per come è posizionato esso
2
“cattura” anche lo scorrere del fluido. Nel caso 2 esso misura solo la pressione statica del fluido P. f
Osservando l’altezza del fluido nelle colonne nei rispettivi casi possiamo affermare che la pressione
misurata in 1 è maggiore di quella in 2.
28
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FIGURA 3.20: - A. TUBO CON SENSORI DI PRESSIONE, B. TUBO DI PITOT
Questo principio viene sfruttato nel tubo di Pitot, che ci permette di conoscere la velocità del fluido
conoscendo la differenza dell’altezza.
Nella configurazione 1 abbiamo che
1 2
(P  P )
 v  P2  P1 ; v  2 2 1
2

Nel caso di idrostatica ritroveremo la legge trovata in precedenza, poiché l’equazione di Bernoulli si
trasforma con v=0 in P   gy  costante .
3.7.2 Stenosi, separazione del flusso e aneurisma
Dall’equazione di Bernoulli possiamo trarre tutta una serie di considerazioni notevoli. Considerando
un tubo soggetto a restringimento come in Figura 3.22, potremo dire che:
La parte centrale on risente di particolari fenomeni.
Le considerazioni in nero in figura, dove viene specificato che la velocità, al centro della sezione dove
il tubo si restringe, è maggiore che nella parte 1 e 3 dove si ha una sezione più ampia, deriva dalla
legge di continuità e da quella di Bernoulli. Trascuriamo il contributo  gh perché non vi sono
variazioni in altezza.
Per Bernoulli avremo:
1
1
1
 v12  P1   v2 2  P2   v32  P3
2
2
2
Osserviamo i primi due termini (area 1 e 2), per la legge di conservazione si ha che:
Av
1 1  A2v2 Sostituiamo v2
1 2
1
A
 v1  P1   (v1 1 )2  P2
2
2
A2
1
A
P2  P1  [v12  (v1 1 )2 ] P2 dipende dal rapporto tra A1 e A2.
2
A2
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Possiamo quindi dire che è la parete che crea problemi, poiché le considerazioni fatte sono per i
fluidi inviscidi che sono ideali. Al centro si possono considerare ideali perché non vi è un disturbo
causato dall’attrito e il gradiente di pressione spinge le molecole.
Nel caso fra area 2 e 3 la P3>P2, perciò vi è un inversione di flusso, questo fenomeno di separazione
del flusso crea dei vortici in uscita dalla sezione 2 (in Figura 3.22). La separazione del flusso avviene
ogni talvolta che il gradiente di pressione si forma in opposizione al flusso. Nel caso di una stenosi,
questo puo’ solo portare ad un peggioramento in quanto la zona luminale a valle della stenosi viene
soggetta a bassi sforzi e ulteriore deposizione di lipidi. Questa tendenza all’ulteriore restringimento
che può portare all’occlusione del vaso.
FIGURA 3.21: VELOCITÀ IN UN TUBO CON
STROZZAMENTO
Soffermandoci sulla sezione 2 e 3 notiamo che vi è un allargamento e non un restringimento come
nel caso 1-2. Questa situazione corrisponde a quel che accade in presenza di un Aneurisma, quando
la parete è debole tende a cedere allargandosi. Notiamo che la velocità si riduce e la pressione
aumenta, quindi questo aumento di pressione può portare il vaso a scoppiare perché vi è un limite di
rottura. Tale limite è ricavabile dal rapporto
A1
, se A2  A1
A2
il rapporto tende a 0 e avremo una pressione così alta da far scoppiare il vaso.
Questo principio delle sezioni viene sfruttato nel tubo di Venturi.
Inseriamo tre manometri in un vaso
come quello in Figura 3.23,
registreremo tre altezze e quindi tre
pressioni diverse. In corrispondenza
di 1 e 3 saranno più alte rispetto a 2
poiché P1>P2 e P3>P2, quindi h1>h2
e h2<h3.
FIGURA 3.22 - 3 MANOMETRI IN UN TUBO CON SEZIONE VARIABILE
Questo fenomeno, grazie alla differenza di pressione, viene sfruttato per creare il vuoto (cioe’ una
pressione negativa) in un condotto.
30
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Il volo, la scia e flusso vorticoso
Quando un corpo solido si muove in un fluido, spinge il fluido in avanti creando una zona di
pressione elevata (relativa alle altre aree), mentre dietro lascia una zona di pressione bassa (Fig.
3.24). Nel caso di un solido che ha la forma di un’ala, è molto marcata la diminuzione di pressione
nella parte superiore, che dà luogo ad una netta spinta in su (detto la ‘portanza’). Questa
diminuzione è dovuta al fatto che le linee di flusso sono costrette a avvicinarsi per cui la velocità
aumenta e, grazie al Bernoulli, la pressione, rispetto alla zona sotto l’oggetto, diminuisce.
FIGURA 3.23: PORTANZA. PER DYNAMIC SIMILARITY LE PRESSIONI SVILUPPATE SONO LE STESSE SIA CHE SI MUOVE IL FLUIDO CHE IL
SOLIDO
La scia invece e’ causata quando un oggetto con forma aperta dietro, come in Fig. 3.25, si muove in
un fluido con una certa velocità (elevata). Qui la sfera nella zona anteriore spinge il fluido
aumentando la pressione mentre dietro si crea una zona con pressione più basso grazie al ‘vuoto’
lasciato dall’oggetto. La pressione più bassa viene sfruttata in natura da gruppi di animali in volo,
nuoto o in bici per ridurre il lavoro.
FIGURA 3.24: VORTICI DIETRO UNA SFERA IN CUI IL FLUSSO SI MUOVE DA SINISTRA A DESTRA
31
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Inoltre, risulta in una separazione del flusso (le molecole del fluido che sentono l’attrito con il solido
tendono a tornare indietro), effetto che diventa sempre più marcato con aumento di Re. Infatti, se la
velocità e’ molto elevata questo effetto causa l’apparenza di vortici, che rallentano il moto del
oggetto solido (per questo le macchine veloci hanno gli alettoni posteriori).
3.8.1 Flusso sviluppato
Nell’aorta il flusso è turbolento e non laminare. Inoltre è un flusso non sviluppato, ovvero che non
riesce ad avere un andamento Poiseuilliano perché le particelle vicino alla parete non sono ancora
rallentate dall’attrito con essa.
Nell’apertura dell’aorta il sangue esce alla stessa velocità, man mano che il fluido avanza le particelle
centrali avanzano per inerzia poiché non sentono la forza viscosa che percepiscono quelle vicine alla
parete e che rallentano (per la condizione No-Slip).
FIGURA 3.25: ANDAMENTO SVILUPPO DI UN FLUSSO
Questo fenomeno aumenta sempre più e iniziano a rallentare anche gli altri strati. Man mano
aumenta lo spessore dello strato limite (linea rossa in figura, che rappresenta la zona in cui le forze
viscose sono significative), quando corrisponderà al diametro del tubo il fluido sarà completamente
sviluppato, cioè parabolico. La lunghezza, misurata dall’imbocco, in cui il fluido risulta
completamente sviluppato è detta lunghezza di imbocco. Se il Re<5000, parliamo di flusso
sviluppato completamente Poiseuilliano. Possiamo ricavare la lunghezza di imbocco facendo un
bilancio fra le forze inerziali centrali e le forze viscose alla parete.
v2
v
F

;
. Consideriamo come già fatto in precedenza le forze viscose come
inerziali
L2
L
v
v2
una percentuale di quelle inerziali,  2  k
. Sappiamo che la lunghezza di imbocco sarà dove

L
R2
  R quindi L  k  v . Sarà proporzionale al numero di Reynolds a meno di una costante K
Fvis cos e  

L  K Re R . Per un flusso non turbolente usiamo L  0.01Re r . Nell’aorta L è circa 1m, ciò
significa che il flusso non è mai sviluppato poiché l’aorta è lunga 20-30 cm. Se il flusso e’ turbolente
la lunghezza d’imbocco diminuisce.
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Equazione di Navier Stokes.
L’equazione di Navier Stokes e’ la ”mother equation” per il trasporto di moto. Da questa equazione
possiamo da essa derivare tutto le altre equazioni che abbiamo gia’ visto. Esprime la conservazione
di moto. A parole:
 d ( mv) 
accumulo di moto per unita' di tempo 
 =flusso di moto  A in  flusso di moto  A out   F
 dt 
Consideriamo un fluido in moto che sia incomprimibile. Essendo il fluido incomprimibile la
divergenza della velocità sarà pari a 0.
L’equazione di conservazione della massa o di continuità per un fluido incomprimibile è

     v   0    v  0
t
Sappiamo che l’accelerazione è: a 
a
v
v
v
v
 vx
 vy
 vz
t
x
y
z
dv v
Dv

 v v 
dt t
Dt
L’aumento di moto sarà rispetto all’unità di tempo e quindi l’espressione sarà
 (mv )
 F analoga a
t
F=ma. Se la forza in ingresso è uguale a quella in uscita non avrò un’accelerazione, altrimenti avrò un
aumento di moto.
Descriviamo un sistema bidimensionale per ricavare l’equazione di Navier-Stokes. Le forze che
agiscono sul fluido sono pressioni e sforzi di taglio. Aggiungiamo anche una forza esterna (body
force) per completezza. Un esempio e’ gravità, o spinta da esterno.
x 
 Area
y 
x * yVolume
Forze:
Sforzi (di taglio o altri)×Area
Pressioni× Area
Body Force (forze esterne, es. gravità)
FIGURA 3.26: VOLUME (2D) SOGGETTO A
SFORZI
Conviene analizzare i contributi singolarmente, partiamo dalle pressioni, sempre Pin-Pout, nelle 2
direzioni.
ma x 
d (mv )
 [ P |x ( P  dP |x x )]y
dt x
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ma y 
d (mv )
 [ P | y ( P  dP | y y )]x
dt y
Abbiamo espresso la risultante delle pressioni, che abbiamo moltiplicato per le aree per ottenere le
forze. Sappiamo che la massa è m  x y con xy il volume.
ma x  xy
Dv
Dt
x
ma y  xy
Dv
Dt
y
Otteniamo dunque:
  dP |x x y
  dP | y y x
Dividendo per x e y e ponendo x e y  0 perché infinitesimi, otterremo:

Py
P
Dv
 i
 j x  P Gradiente di pressione.
Dt
y
x
Consideriamo ora un contributo della body Fg  mg  xyg
Aggiungendola all’espressione precedente dovremmo indicarla con  g y  che per convenzione
indicheremo con g  3. Dovremo anche tenere conto di eventuali forze esterne, perciò
aggiungeremo un termine di forza generico F (body Force). La gravità spesso viene incorporato nella
F.
Avremo quindi: 
Dv
 P  g   F
Dt
Studiamo adeso gli sforzi:
Si hanno quattro sforzi lungo le pareti, i tensori bidimensionali saranno due lungo y e due lungo x. In
un fluido  xy   yx , gli sforzi di direzioni diverse sono uguali perché si dice che un fluido laminare
non riesca a ruotare (altrimenti e’ in accelerazione). Quindi i tensori sono simmetrici.
Consideriamo sempre l’accumulo di moto nel sistema e dunque per ottenere la forza moltiplichiamo
gli sforzi per l’area.
Forze lungo y e lungo x:
 Fy
out
 ( xy |x  xy |x x ) y  ( yy | y  yy | y y )x
Fx  Fx in  Fx
out
 ( yx | y  yx | y y )x  ( xx |x  xx |x x )y
Fy  Fy
in
Danno luogo ad un’accelerazione
3
Per convenzione il segno di
g viene messo dopo che si decide il sistema di riferimento.
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 x y

Dv
Dt

Dv
Dt
 ( yx | y  yx | y y ) x  ( xx |x  xx |x x ) y
x
( yx | y  yx | y y )
y
x
 x y

Dv
Dt
Dv
Dt


( xx |x  xx |x x )
x
 ( xy |x  xy |x x )y  ( yy | y  yy | y y ) x
y
( yy | y  yy | y y )
y
y

( xy |x  xy |x x )
x
Con x e y  0 perché infinitesimi, otterremo:



Dv
Dv
  yx  xx , 
Dt x
y
x
Dt

y
 xy
x

 yy
y
Cioe’

Dv
  
Dt
Abbiamo ottenuto la divergenza di un tensore, che è ben diversa dalla divergenza di un vettore
perché è (in questo caso 2D) un vettore a due elementi4. Unendo tutti i bilanci di forze avremo che:

Dv
 P  g      F
Dt
Sappiamo che i nostri sistemi sono Newtoniani    
Vedendo il tutto in termini più generici  yx  
dv
con  tensore e v vettore.
dx
dVx
applicato perpendicolarmente a y ma verso x.
dy
Quindi dato che nella formula abbiamo   facciamo delle derivate, sarà come se facessimo la
derivata seconda della velocità, cioè:

  v 
   
x
x  x 
Per cui in generale, per un fluido Newtoniano5:
  2v
L’equazione di Navier-Stokes sarà: 
 yx
DV
 P  g    2V
Dt
 xy  yy
 xx
,   y 

x
x
y
4
  x 
5
Mancano alcuni passaggi, per gli interessati una descrizione piu’ completa e’ in Bird &Lightfoot.
y

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Si tratta di un’espressione di bilancio di tutte le forze in un fluido Newtoniano. Insieme con
l’equazione di continuità fornisce una descrizione completa del moto di un fluido nello spazio e nel
tempo con ρ e μ noto, le uniche variabili sono la velocita’ e la pressione (2 equazioni, 2 variabili).
3.9.1 Equazione di Bernoulli e di idrostatica da Navier-Stokes.
Bernoulli
L’equazione di Euler e’ un caso speciale del Navier Stokes, per un fluido inviscido.

DV
 P  g 
Dt
Per ridurre l’equazione di Euler all’equazione di Bernoulli si considera che il flusso ha una sola
direzione e accelerazione e’ solo nello spazio.
 vx
dv
dP

 g
dx
dx
Moltiplicando per dx, cambiando il segno di g e integrando otterremo l’equazione di Bernoulli:
VdV   dP  g  dx
Equazione di idrostatica da Navier-Stokes:
Abbiamo un’unica direzione e V=0, g e’ sempre negativo.
 P  g   0  
dP
 g z   0   g z  dz  dP
dz
3.9.2 Equazione di Poiseuille con Navier Stokes.
Eseguiamo un bilancio di forze in condizioni stazionarie in un
tubo cilindrico, orizzontale e in coordinate cilindriche con
simmetria radiale. Il fluido e’ Newtoniano:
P2 r 2  P1 r 2   2 dz    
dVz
dr
DV

 0  P  g   
Dt
FIGURA 3.27: - VOLUME INFINITESIMALE DI
FLUIDO IN UN CILINDRO
P  2V
Utilizziamo coordinate cilindriche e sappiamo anche che l’unica componente della velocita’ e’ Vz per
cui possiamo scrivere:
1   Vz  1  2Vz  2Vz
 Vz 
 2
r

r r  r  r 2  2
z
2
non ci sono variazioni in θ.
36
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La pressione varierà soltanto lungo z, perciò l’unica componente sarà
P
che è costante, così che:
z
dP
1 d  dVz 

r
 della velocità consideriamo le variazioni lungo r con componente z.
dz
r dr  dr 
Integreremo sfruttando le condizioni a contorno di no-slip e simmetria.
1) r=R  Vz  0
2) V | r  V | r cioè
Vz
r
0
r 0
Il sistema è simmetrico intorno a r=0, non posso dunque
avere una differenza di V intorno a r=0.
dP r
Integrando:
FIGURA 3.28: CILINDRO
 dVz 

dr 
 dz  dr   d  r
dVz
dP r 2
 r
 c1
dz 2
dr
C1=0 per la condizione di simmetria. Integriamo ancora per dr:
dP 1 r 2
 Vz  c2
dz 2 2
dP r 2
dP R 2
 Vz  c2  c2 
dz 4
dz 4
Vz 
dP 1 2
(r  R 2 ) Equazione già trovata precedentemente con il bilancio delle forze.
dz 4
3.9.3 Derivazione dell’equazione di Couette.
FIGURA 3.29: COUETTE, FLUSSO TRA DUE PIATTI DI CUI UNO E’
MOBILE
Consideriamo due piatti paralleli con area infinita, uno dei quali in movimento, e una differenza di
pressione fra P1 e P2. Il fluido tra i patti e’ Newtoniano e il sistema e’ stazionario con flusso laminare.
Non avremo accelerazione, dell’equazione generica: 
DV
 P  g    2V
Dt
rimarrà soltanto: 0  P   V
2
37
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P  2V
Scriviamo le 3 equazioni che rappresentano i componenti del gradiente di pressione nelle tre
direzioni:
  2V  2V  2V 
P
   2x  2x  2x 
x
y
z 
 x
  2Vy  2Vy  2Vy 
P
  2  2  2 
 x
y
y
z 

  2V  2V  2V 
P
   2z  2z  2z 
z
y
z 
 x
Dato che non abbiamo variazioni lungo y e z, non consideriamo le ultime due equazioni.
Osserviamo la prima equazione: anche le derivative di Vx lungo x e z sono nulle perche Vx varia solo
lungo y.
  2Vx  2Vx  2Vx
P
 
 2 
 x 2
x
y
z 2





 2V
P
  2x
x
y
Dato che siamo in condizioni di stazionarietà, il gradiente di pressione lungo x è costante, ciò vuol
dire che da P1 a P2 ho una variazione lineare, una spinta uniforme che varia linearmente nello spazio.
Per questo motivo, le derivate parziali possono adesso essere scritte come derivate assolute, es.
dP
dx
1 dP d 2Vx

 dx dy 2
1) y=0 ; V=0
1 dP d  dVx 
Per
risolvere
sfrutteremo
le
condizioni
a
contorno:
 
2) y=h ; V=Vp
 dx dy  dy 
dP y 2
Vx  c2  c1 y 
dx 2 
Per la prima condizione c2  0 .
2
Vp  P  h
 dP  h
 c2  c2 

  
h  x  2
 dx   2
Per la seconda condizione: V p  
2
 P  h
Vx ( x )  c1   
 x   2
Con dovute sostituzioni avremo: Vx ( x ) 
1  P  2
y
   y  hy   Vp .
2   x 
h
38
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Potremmo esprimere il profilo di velocita’ in modo adimensionale.
Vx ( x)
1  dP  2
y

   y  hy  
Vp
2 Vp  dx 
h
3.9.4 Flusso in un canale rettangolare
Procederemo ora con la derivazione classica dell’equazione di flusso in un canale rettangolare
orizzontale infinitamente lungo tramite Navier-Stokes.
Le condizioni di partenza sono che il flusso deve essere stazionario, laminare e Newtoniano. Il
condotto deve essere rigido affinché si verifichino le condizioni di No-Slip e infinitamente lungo. Non
abbiamo forze di gravità e forze esterne, supponiamo anche che h<<w, quindi canale stretto. Per
questo motivo possiamo trascurare le variazioni di velocita’ in direzione x.
Dall’equazione generale di Navier-Stokes:

DV
 P  g    2V per le condizioni imposte
Dt
inizialmente rimarrà P   V . Le tre componenti del
gradiente saranno:
2
  2V  2V  2V 
P
   2x  2x  2x 
x
y
z 
 x
 V  V  V
P
   2y  2y  2y
 x
y
y
z

2
2
2



FIGURA 3.30: CANALE RETTANGOLARE INFINITAMENTE LUNGO E
MOLTO STRETTO
  2V  2V  2V 
P
   2z  2z  2z 
z
y
z 
 x
Il flusso procederà in direzione z, la faccia xy è la sezione; avremo quindi componenti in Vz e non in x
e y. La pressione agisce solo sulle facce aperte, perciò le prime due equazioni saranno uguali a 0.
Dal momento che abbiamo assunto h<<w la variazione Vz sarà maggiore lungo y rispetto a x infatti la
variazione è molto più repentina lungo y, perciò:
Vz
V
 z
y
x
FIGURA 3.31: IN ROSSO VARIAZIONE LUNGO Y, IN NERO VARIAZIONE LUNGO X
39
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Tale assunzione è valida nel caso in cui H è almeno 10 volte più piccolo di W. Quindi potremo
affermare che:
 2V
dP
  2z
dz
y
Ricordiamo che il gradiente di pressione è costante perché la spinta è costante essendo in regime
stazionario. Per ricavare Vz(y) e Q dobbiamo sfruttare le condizioni al contorno. Per semplificare i
calcoli poniamo il nostro sistema di riferimento ad
ad y  
H
.
2
H
dV
 v=0 e ad y=0 
0
2
dy
dP
d  dV 
  z 
dz
dy  dy 
dP
dV
y   z  c1 Per la condizione di simmetria c1=0
dz
dy
dP y 2
dP H 2
 Vz  c2  c2 
dz 2
dz 8
2
1 dP  2 H 
Vz 
y 
2 dz 
4 
FIGURA 3.32: - SEZIONE RETTANGOLARE DI ALTEZZA H
La velocità ha sempre un andamento parabolico che dipende da y, per come abbiamo schematizzato
il sistema sarà massima al centro quando y=0. Vz sembra essere negativa, ma in realtà ricordiamo
che
dP
è negativa altrimenti il fluido non si muoverebbe in quella direzione. Ricaviamo adesso il
dz

flusso Q  VdA
A
H
W 2
Q

0 H
2

H
W 2
Vz dxdy  

0 H
2
H
2
1 dP  2 H 
1 dP  2 H 2 
y

dxdy

H 2 dz W  y  4  dy 
2 dz 
4 

2
2
W dP  H
H  W dP  H  3H 
W dP 3



H




2 dz  12
4  2 dz 
12
12 dz

3
2
3
2
Il flusso sarà fortemente dipendente da Q  H W nel caso di geometria rettangolare, così come in
3
un condotto cilindrico sarà Q  R . In questo caso potremo dire che è l’altezza che domina le forze
di attrito.
4
40
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4
Tensione superficiale.
La tensione superficiale è quella forza che rende la superficie di un liquido come una pellicola
elastica tesa. La tensione agisce tangenzialmente alla superficie. Le forze che tengono unite le
molecole simili tra di loro sono le forze coesive, in inglese “like likes like” ovvero che a chi si somiglia
piace stare insieme. Ad esempio nel caso dell’acqua le molecole sono fortemente attratte fra loro e
tendono a non separarsi grazie ai legami ad idrogeno fra le molecole.
Dimensionalmente esprimeremo la tensione superficiale come una forza su lunghezza o un’energia
N 
 J 
per area:       2 
 m  m 
Le due unità di misura sono uguali, infatti moltiplicando e dividendo per metro si ottiene
F  m  lavoro[ J ] e al denominatore m  m  m 2 . Queste due unità sono entrambe valide perché
si hanno due definizioni di tensione superficiale:
Forza di un liquido per unità di lunghezza =Energia o lavoro necessario per creare un’unità d’area del
liquido.
Il liquido con maggior tensione superficiale è il mercurio infatti   487
metro), segue l’acqua pura con un valore di   72
mN
(milliNewton su
m
mN
. Ricordiamo che, anche se non viene
m
sempre specificato la tensione superficiale è riferita ad uno specifico mezzo. Questo perché ad
esempio se ho aria secca o aria umida la tensione superficiale risulta diversa, nello specifico
maggiore con l’aria umida perché è ricca di particelle di acqua. I due valori di γ sopra citati si
riferiscono alle tensioni superficiali rispetto ad aria secca.
Come già detto, si dice tensione superficiale perché si manifesta solo in superficie e non all’interno.
Poiché all’interno le varie forze si bilanciano, mentre fuori vi è uno sbilanciamento di forze che attrae
le molecole verso l’interno creando una tensione. Questo è il motivo per cui, in assenza di altre forze
dominanti, le gocce sono sferiche, poiché questa è la forma che ha minore superficie rispetto
all’area.
Le forze di tensione superficiale sono importanti in sistemi in cui le dimensioni caratteristiche sono
piccole, e le forze di tensione superficiale predominano sulle forze di gravita’. Per mettere in
relazione l’entita’ delle due forze si utilizza un numero adimensionale detto numero di Bond.
Forza di gravità
m  g   L3  g
  L2  g
lunghezza
L
Bond=
 L 

Forza di tensione superficiale



lunghezza
Se il numero di Bond è maggiore di 1 allora la forza di gravità è maggiore della tensione superficiale e
le gocce tendono a essere meno sferiche e piu’ allungate.
L’inverso del numero di Bond è il numero di Jesus. Perché ad esempio gli insetti che riescono a
camminare sull’acqua hanno un valore della forza di gravità (dovuto ad una massa molto piccola)
41
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inferiori a quelli della tensione superficiale, che in termini matematici si traduce con Bo<1 e Jesus>1
poiché Jesus 
1
.
Bond
La tensione superficiale può essere calcolata sperimentalmente nel seguente modo:
Prendo un filo metallico immerso in acqua
cui collego un trasduttore di forza. Tirando
il filo di pochissimo le molecole d’acqua
rimarranno attaccate creando un velo
d’acqua che verrà a creare una nuova area
d’acqua: E  F x con x spessore in
mm.
Sappiamo che la forza sarà proporzionale
alla lunghezza del filo e la costante di
proporzionalità sarà la nostra tensione
superficiale.
FIGURA 4.1: TRASDUTTORE CON ELEMENTO
METALLICO PARZIALMENTE IMMERSO IN ACQUA
 : F  L  F= L
E= Lx   A
Angolo di contatto e bilancio della tensione superficiale.
L’angolo di contatto descrive appunto l’angolo che si forma tra una superficie e un liquido (Fig. 4.3).
E’ sempre misurato nel liquido o tangenziale alla superfice del liquido
Quando una goccia di acqua viene posta su una superficie di teflon
adotta una forma rotonda, mentre su una superficie di vetro pulito
la forma e’ piu’ piatta. Il vetro e’ idrofilico, cioe’ attrae le molecole
di acqua (c’e un’adesione tra le molecole di vetro e acqua), mentre
il teflon e’ idrofobico.
Se invece il vetro e’ sporco, ad esempio di residui di grasso l’area di
adesione sarebbe notevolmente ridotta rendendola poco aderente
(idrofobicità). Nei due casi quel che cambia è l’angolo di contatto 
FIGURA 4.2: GOCCIA DI ACQUA SU
VETRO (NON MOLTO PULITO)
L’angolo e’ definito come l’angolo tra la superficie e la linea tangente
FIGURA 4.3: ANGOLO DI CONTATTO PER UNA GOCCIA DI ACQUA SU UN MATERIALE IDROFOBICO E IDROFILICO
42
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Le forze tra due materiali diversi sono dette di adesione.
Quando parliamo di tensione superficiale ci riferiamo alla relazione tra fluido e ambiente. A volte si
sfrutta l’esperimento di un materiale immerso in acqua sotto cui viene soffiata una bollicina d’aria.
FIGURA 4.4 - MATERIALI IMMERSI IN ACQUA E BOLLA D’ARIA
Anche qui abbiamo delle tensioni superficiali ma l’ambiente è diverso. Se osservo una goccia su 2
materiali diversi, come teflon (idrofobico) e vetro pulito (idrofilo) noto che la goccia assume forme
diverse.
FIGURA 4.5 - MATERIALI IDROFILI E IDROFOBI CON GOCCIA D'ACQUA
Rifacendo l’esperimento in acqua come spiegato precedentemente noteremo delle forme diverse.
Nel caso del vetro, che è molto affine all’acqua, la bolla si compatterà per permettere un maggior
contatto di acqua con il vetro.
Preferiamo misurare in acqua perché sul materiale la goccia tende ad evaporare. Prendendo il caso
della goccia su vetro di prima facciamo il bilancio di forze di tensione superficiale ottenendo:
Equazione di Young-Dupree.
 GA   WG   WA cos
 WG   GA   WA cos
FIGURA 4.6 - BILANCIO DI FORZE DI TENSIONE SUPERFICIALE
L’angolo di contatto viene utilizzato per caratterizzare la bagnabilità di materiali. È importante usare
gocce piccole, in cui le forze predominanti sono quelle di tensione superficiale.
Capillarità e gocce da una pipetta
Quando un capillare viene inserito in acqua, l’acqua sale nel tubicino per tensione superficiale
soprattutto se il tubo è idrofilo poiché l’acqua preferisce stare a contatto con il tubo che con l’aria.
Quindi sono le forze adesive tra vetro e acqua che fanno salire il liquido.
Ciò succede finché la forza peso d’acqua dentro il tubicino è uguale alla forza di tensione superficiale
43
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Nel caso del mercurio, che non aderisce ai superfici avremo un comportamento inverso perché
molto elevata. Osserviamo l’equilibrio del caso con l’acqua:
è
FIGURA 4.7: -A CAPILLARE PARZIALMENTE IMMERSO IN ACQUA, B) - CAPILLARE PARZIALMENTE IMMERSO IN MERCURIO
Se vogliamo ricavare la pressione sfruttiamo l’equazione di idrostatica.
Fg : mg  h
d2
g
4
F :  Lcos    dcos 
d2
g     d cos 
4
4 cos  4 DL cos 
h

dg 
N .Bond
4 cos  4
P   gh   g

cos 
d
d g
h
Di solito viene considerato un angolo θ pari a zero, per cui: P 
4
d
Si evince che l’altezza è inversamente proporzionale al diametro perciò è influente
quantità di fluido e’ piccola.
 poiché la
Esercizio:
Consideriamo un capillare e facciamo i calcoli riportati sopra nel caso in cui
d=300μm; γ=72
mN
Kg
;  =1000 3
m
m
4  72 103
 0.098m  9.8cm
300 106  9.8 1000
4  72 103
P
 960 Pa  7.33mmHg
300 106
h
Osserviamo il fenomeno di una goccia che esce dal contagocce di una pipetta, ad esempio per le
medicine. Infatti alcune medicine vengono dosate a gocce proprio perché la grandezza non è casuale
ma è sempre la stessa poiché dipende dalla tensione superficiale. Nel momento in cui si forma la
goccia essa rimane coesa alla pipetta finché la forza di gravità bilancia la tensione superficiale. Poi
cadde.
44
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3
Forza gravità: mgoccia g   goccia gV   g
4  

    g  3
3 2
6
Forza tensione superficiale:  L cos    d cos  Il parametro L indica il
contatto ovvero la circonferenza del tubo  d .
Nel momento in cui la goccia si stacca  =0
g

3   d
6
36
d
g
FIGURA 4.8: GOCCIA DA UNA
PIPETTA
Nella realtà la goccia è leggermente più piccola del valore teorico perché quando cade rimangono
alcune molecole attaccate al tubo, aggiungeremo quindi un fattore di correzione anche detto Fudge
Factor:
 reale  80%teorica
Legge di Laplace per le gocce
Nel caso delle gocce la tensione superficiale è bilanciata dalla pressione interna, questo accade solo
per piccolissime quantità di fluido. Ipotizziamo di sezionare a metà una goccia ed effettuiamo il
bilancio di forze:
APe  γL  Pi A
 r 2 Pe  γ2  r  Pi  r
Pi  Pe 
P 
FIGURA 4.9 – SEZIONE DI UN
GOCCIA
2
2γ
r
2γ
r
L’equazione di Laplace mette in relazione la pressione interna e il raggio di
una goccia. Più piccolo è il raggio, maggiore sarà la pressione interna.
Inoltre, per formare una sfera piu’ piccola ci vuole una maggiore pressione
(Pi).
Ciò è di rilevante importanza negli alveoli, poiché quando si espandono aumentano il volume e la
pressione si riduce. Più piccolo è l’alveolo più forza sarà necessaria perché dipende da r. Questo
processo è regolato da un surfattante a base di fosfolipidi, che riduce la tensione superficiale per
rendere possibile la respirazione. La concentrazione di surfattante presente e’ inversamente
proporzionale alla grandezza del singolo alveolo, cosi il basso valore di γ e’ compensato dal raggio
piccolo. I neonati prematuri necessitano di ausilio esterno per respirare poiché soffrono di mancanza
di surfattante e non hanno una forza sufficiente per fare espandere gli alveoli (sindrome di stress
respiratorio neonatale).
45
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5 Flusso di massa
Introduzione e 1° legge di Fick
Le considerazioni sul trasporto di massa derivano dall’equazione di continuità. Essenzialmente, la
conservazione di massa si riferisce alla massa totale di un sistema, mentre i fenomeni di trasporto di
massa considerano una specie particolare. Quelli che trattiamo noi sono solo validi per specie diluite.
Il flusso di massa è un vettore già definito in termine della velocità’ e la densità (Sezione 1.2.4). Per
quanto riguarda una specie molecolare, il flusso totale della specie B sarà la somma di massa di ogni
molecola B × velocità diviso per volume, cioè:.
JB 
massa
1 N
  B  v  ndA  Vmedia B 
 mBvi
area * tempo
vol i
A
La velocità della molecola dipende dal suo moto, e’ la somma della velocità ‘libera’ (Browninano) ed
eventualmente anche quella forzata, dovuto per esempio a un gradiente di pressione (moto
convettivo). Aggiungeremmo un termine specifico per la parte convettiva nella sezione 5.5.
La velocita’ media e’ la somma vettoriale di tutte le velocita’ diviso il numero di molecole B.
VBmedia 
1
N
N
v
i
 J B   BVBmedia
i
A questo punto possiamo scrivere il flusso massico totale di un sistema che contiene piu’ specie.
J  J A  J B  J C  ...   AVAmedia  CVCmedia  BVBmedia  ...
Il flusso di massa ‘libero’ è un fenomeno di traporto regolato dalla legge di Fick, nello specifico dalla
prima legge di Fick, che esprime l’equazione costitutiva per una specie diluita, con concentrazione C.
J  D
C
  DC
x
Con J indichiamo il flusso, D è una costante di diffusione e C è il gradiente di concentrazione della
specie in considerazione. Il flusso è di massa (della specie), ma spesso faremo riferimento a molecole
o moli. Il segno negativo della formula fa riferimento al gradiente, poiché il flusso sarà da zone con
maggiore concentrazione a zone con minore concentrazione.
C c1  c2

x x1  x2
Il moto delle molecole è di tipo Browniano, ovvero avremo una diffusione non forzata di tipo
randomico. In presenza di una differenza di concentrazione nello spazio le molecole si diffondono
per massimizzare l’entropia, che è sinonimo di disordine. All’inizio le molecole sono tutte
concentrate in una zona, e poi diffondono massimizzando l’entropia mescolandosi.
46
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Seconda legge di Fick
 massa 
Solitamente si fa riferimento a flusso di massa  2
, ma spesso lo esprimeremo in moli
 m  s 
 moli 
 m 2  s  . Da cosa sono legate queste due dimensioni?
Flusso di massa=   Flusso di massa molecolare   moli=
massa
Peso molecolare
Sarà quindi sufficiente dividere per il peso molecolare per ottenere la conversione.
Massa Molecolare=  n° moli    Peso molecolare 
Immaginiamo adesso un sistema con volume fisso in condizioni stazionarie, in cui vale la legge di
conservazione di massa, ma la concentrazione della specie C varia. Significa che la massa è costante,
ma la concentrazione di C in alcune zone del sistema varia (cambia il numero di molecole).
FIGURA 5.1: VOLUME FISSO SOTTOPOSTO A FLUSSO DI
MOLECOLE.
 Aumento di molecole C


  J in A  J out A
 per unità di volume nel tempo 
Dal momento che, dal punto di vista molecolare, potremmo avere una reazione chimica in cui C
viene trasformato così che la concentrazione di quella data molecola vari, si ammette una variabile
di produzione (+P) ed una di riduzione dovuto a reazioni di consumo (-R).
Molecole prodotte (o ridotte)
, e lo aggiungeremo all’espressione sopra.
s
Ricordiamo però che vi deve essere un bilancio di massa totale, la concentrazione è definita come:
n°molecole
. Noi vogliamo osservare l’aumento di concentrazione nel tempo.
xA
n°molecole J in  A  J out  A
Aumento Concentrazione nel tempo=

.
x  A  t
x  A
Concentrazione=
Dividendo per x  A esprimeremo l’equilibrio non più come un aumento o diminuzione di molecole
ma di concentrazione. In questo caso stiamo trascurando le eventuali +P e –R.
dC J x  J xx

dt
x
Per x  0 ovvero volume e distanza infinitesima, otterremo la seconda legge di Fick:
dC
J

dt
x
47
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Ricordiamo ancora una volta che la legge di conservazione vale solo per la massa, per le moli è una
futile restrizione. Combinando la 1° legge di Fick si ottiene la 2° legge di Fick per una specie con D
constante.
C
 
C 
 2C
   D
D 2
t
x 
x 
x
C
 D2C
t
Implicito in questa equazione: Se siamo in condizioni stazionarie il Laplaciano della concentrazione
e’ zero e sia il flusso che il gradiente sono costanti.
C
 
C 
 2C
C
   D

D
 0  D
 J  costante

2
t
x 
x 
x
x
Generalizzando e introducendo i termini di consumo e produzione:
C
 D 2C  P  R
t
5.2.1 La forma integrale della legge di Fick
Per esprimere la forma integrale, viene integrata C t    J sul volume.
La seconda legge di Fick :
Integriamo sul volume
    dV    dA
V
C
 D2C    J
t
C
dVolume      JdVolume e ricordando la legge di Gauss che dice che

t
Vol
Vol

esprimeremo il nostro integrale sul volume chiuso come uno di superficie:
A
    JdVolume    J  dA .
Il flusso è perpendicolare alla superficie
Se consideriamo un flusso costante, anche
C
 t dV
olume
è costante:
V
C
dVolume    JdA ,
t
Vol

J 
per cui
C
Volume   JA
t
C Volume
t A
Quindi un flusso costante che esce da un volume chiuso comporta una velocita di diminuzione
costante di concentrazione nel volume. Non avremmo potuto fare questa assunzione senza l’ipotesi
che J fosse costante nell’area.
48
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Quest’espressione viene ad esempio usata in ambito fisiologico, per calcolare la variazione in un
dato ambiente di concentrazioni.
FIGURA 5.2: CONCETTO DI FLUSSO COSTANTE DA
UN VOLUME FISSO
Ordine di reazione
Come abbiamo già osservato la concentrazione scalare, dipende dalle due leggi di Fick e crea un
gradiente di flusso (un vettore) in un volume Euleriano. Teniamo ora in considerazione i termini che
indicano le reazioni chimiche di produzione e reazione.
C
 D 2C  P  R
t
Se consideriamo solo la parte di reazione (o consumo):
dC
 R
dt
Se ho una reazione A  B la velocità della reazione è
Perciò
dc concentrazione

.
dt
s
conc.B
conc.A

; Velocità con cui aumenta B = Velocità con cui diminuisce A .
s
s
Quando la velocità della reazione e’ costante nel tempo e indipendente dalla concentrazione, allora
si tratterà di una reazione di ordine 0 
dA dB
 moli 

R  3 
dt dt
m s 
Ciò vuol dire che la concentrazione sarà lineare: B  Kt  
 è una costante di integrazione. Ipotizzando che a t=0, B=0,
avremo che la costante di integrazione   0 .
FIGURA 5.3: REAZIONE DI ORDINE ZERO
49
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1
Quando la velocità dipende dalla concentrazione di una delle specie, dA dt  KA  K  s  ,
allora si è in presenza di una reazione di primo ordine
Questa reazione dipende da quanto reagente abbiamo a disposizione, la concentrazione aumenta in
maniera esponenziale.
dA
dA
1
 A;
 A con = costante
dt
dt
t
dA
 dt integro  ln A  t  A  e t
dt
FIGURA 5.4: REAZIONE DI 1° ORDINE
Una reazione di secondo ordine dipenderà da due concentrazioni:
dA
 K  A B 
dt
Esistono anche reazioni di ordine superiore. La maggior parte delle reazioni biomediche segue però
la legge di Michaelis-Menten.
Tempo di diffusione e Stokes-Einstein
Osserviamo D, il costante di diffusione: ricordiamo intanto che per passare da moli a molecole
2
bisogna dividere per il numero di Avogadro, però conviene sempre ragionare in moli. D(m s) .
Il coefficiente di diffusione è specificato per ogni mezzo:
DO2 in aria  16 mm2 s  16 106 m2 s
Se un materiale diffonde in un mezzo diverso, la D sarà ovviamente diversa.
Ad esempio l’acqua è più densa dell’aria:
DO2 in acqua  3 109 m 2 s 1000 volte più piccolo
Indichiamo anche il tempo caratteristico di diffusione: t 
distanza 2 L2

D
D
La D può essere stimata dall’equazione di Stokes Einstein che considera la diffusione di una molecola
sferica con raggio r.
K= costante di Boltzmann 1.38054×10-23
23
KT= energia termica= 3.8 10
J
; T= temperatura in Kelvin;
K
J
,  = viscosità del mezzo.
K  mol
Ad esempio, ossigeno nell’acqua a 37° C ha un Stokes radius di circa 121 pm,
50
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D
KT
1.38 1023  310

6 r  6 1211012  0.69 103
5.4.1 Concentrazioni soluto e solvente
In un bicchiere di acqua con un cucchiaio di sale in un lato, anche senza mescolare, avremmo un
flusso di acqua verso il sale e’ un flusso di sale nel resto del bicchiere, per cui il flusso massico totale
sarà zero. Pero’ di solito ci riferiamo al flusso di una specie sola (sempre quella meno concentrata),
che ovviamente non e’ nullo.
Consideriamo un becker d’acqua e inseriamo un colorante o
inchiostro, le molecole muoveranno finché tutta la bacinella
sarà colorata.
dC
 D2C =0
dt
Il flusso in acqua sarà: J1  DH2 O/colore
C
x
FIGURA 5.5: FLUSSO DI INCHIOSTRO E DI ACQUA
D è la costante di diffusione dell’acqua nell’inchiostro, è uguale per le due specie poiché “la costante
di diffusione di A in B è uguale a quella di B in A”. Infatti avremo un flusso d’acqua in inchiostro che
bilancia J1. J 2   Dcolore/H2 O
C
C
 DH2O/colore
x
x
5.4.2 Concentrazione del sale del mare e mare nel sale
Calcoliamo la concentrazione d’acqua in un litro d’acqua in moli.
1L di H2O  1Kg Il peso molecolare dell’acqua è: PM H2O  18
1000  M 
 moli 
 55.5 


18  L 
 L 
 moli 
 55.5 103  3 
 m 
CH2O 
CH2O
Calcoliamo la concentrazione di sale nel mare sapendo che Csalt  0.6M . Quindi in un becker
C
x
del sale va da 0.6 a 0, nel caso dell’acqua da 55.5 a 55.5-0.6=54.9. Per questo ci interessa la
variazione di concentrazione del soluto, perché è più facile da calcolare. Quando parliamo di
trasporto di massa è sempre riferito a flusso del soluto, anche se abbiamo anche il flusso del
solvente.
51
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Diffusione e convezione
Quando le molecole si muovono in maniera randomica esse sono regolate dal fenomeno della
diffusione. La diffusione libera massimizza l’entropia, possiamo però forzare il moto di alcune
molecole imponendo una forza esterna come un campo di moto, è questo il caso della convezione.
Consideriamo un modello con entrambi i fenomeni. Intanto ricordiamo che il flusso di massa in
generale e’ dato da:
J B   BVBmedia
Puo’ essere diviso in due parti:
1) Flusso diffusivo J D   D
2) Flusso convettivo J C 
C
x
 Velocità (lungo )    concentrazione  = V  C 
moli 
3
 m s 
Ricaviamo la seconda legge di Fick considerando entrambi i flussi:
C
C 

   J  D 2C    J C  J D     V  C  D

t
x 

C
 V C+D 2C
t
Analizziamo ora il profilo di concentrazione in condizioni stazionarie in coordinate cartesiane
unidirezionale
C
0
t
e
C
 2C
Vx
D 2
x
x
Questo tipo di equazione ha la forma generale:
2

A
0;
2
x
x
La soluzione generale di questa equazione e’ espressa usando le costanti a e b, che dipendono dalle
condizioni al contorno:
( x)  ae Ax  b ;
Consideriamo un sistema in cui il flusso diffusivo e convettivo si oppongono. Il flusso convettivo e’ in
direzione x.
@ x=0; C=0;
@ x=L; C=C L ;
FIGURA 5.6: CONVEZIONE E DIFFUSIONE
52
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 2C Vx C
V
V 
V


 0   2  x   0      x   0    0;   x ;
2
x
D x
D
D
D

Verifichiamo:
Vx
x
C(x)  Ae D  B
 A  B  0  A=-B
Vx

L
D
C L  Ae  B
C L =A( e
Vx
x
D
 1)
C
A
(e
L
Vx
x
D
 1)
CL
C ( x) 
(e
Vx
x
D
e
Vx
x
D
 1)
 VDx x 
 Vx
 Vx
 e  1
x
x

D
D
( e  1) ( e  1) 
CL
CL
L’equazione si può scrivere in una forma adimensionale e più compatta indicando il numero di
Peclet:
Pe 
t diffusione
Vx
L
D
tconvezione
Pe
L2
x
L
C
(
x
)
e
1
D
così che
 Pe
.

L
CL
e 1
Vx
Il numero di Peclet indica quale dei due tipi di moto prevale:
Se Pe  0 abbiamo un andamento lineare perché c’è solo la diffusione.
Se Pe<1 il tempo di diffusione è minore del tempo di convezione,
perciò prevale il moto diffusivo, e le molecole tendono a spostarsi
verso L.
Mano a mano che aumenta Pe, la diffusione diventa sempre meno
importante. Nel limite del Pe   abbiamo una discontinuità
perché’, data l’elevata velocità, tutte le molecole sono spinte verso
x=L.
FIGURA 5.7 - NUMERO DI PECLET
Trasporto attraverso la membrana cellulare
La membrana cellulare à composta da un doppio strato di lipidi (fosfolipidi) con teste idrofile e code
idrofobe intervallato da proteine di membrana tra cui le acquaporine, i recettori a canale e le pompe
ioniche. Possiamo distinguere diverse modalità di trasporto.
i.
ii.
Trasporto passivo. Il passaggio di sostanze attraverso la membrana cellulare è
essenzialmente regolato dalla diffusione attraverso la parete lipidica grazie a gradienti di
concentrazione. Riescono a passare con facilità solo molecole piccole piuttosto
idrofobiche come ossigeno, anidride carbonica e steroidi.
Trasporto facilitato. Le sostanze idrofili che non possono passare la parete doppio
lipidica perché tendono ad essere insolubili nella zona centrale della membrana. Per
53
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iii.
facilitare il trasporto di molecole idrofiliche esistono vari tipi di proteine di membrana.
Ad esempio le acquaporine modulano il passaggio di acqua. La famiglia di trasportatori
di glucosio molecole sono le GLUT, di cui quello sensibile a insulina è il GLUT4.
Trasporto attivo. Alcune specie, tra cui i più noti - Na+ e K+ -vengono trasportate contro
un gradiente di concentrazione. La cellula utilizza le sue risorse energetiche (ATP) per
mantenere una concentrazione di K citoplasmica maggiore di quello extra-cellulare.
FIGURA 5.8: MEMBRANA CELLULARE
5.6.1 Coefficiente di Partizione
Come accennato, anche il livello di solubilità di una molecola condiziona la
facilità di trasporto. Se ad esempio versiamo del sale in olio e in acqua,
sappiamo che il sale è molto solubile in acqua perché è polare, perciò la
concentrazione di sale sarà diversa nei due ambienti e quindi in Fig. 5.4
C1   C2  . Analogo discorso può essere fatto in aria e in acqua
per quanto riguarda l’ossigeno.
FIGURA 5.9: BECKER CON UNA FASE
D'ACQUA E UNA D'OLIO.
La differenza di concentrazione fra due ambienti può essere determinata tramite il coefficiente di
partizione:
 AB 
C A 
CB 
Ipotizziamo ora di voler misurare la concentrazione all’interno della membrana fosfolipidica, ma
possiamo misurare solo la concentrazione dentro e fuori. Inoltre, consideriamo che lo spessore della
membrana sia molto piccolo, per cui i rispettivi volumi citoplasmici e extracellulari siano molto
grandi con concentrazione costante nello spazio. In condizioni stazionarie la differenza di
concentrazione attraverso la membrana e’ costante per cui il gradiente è lineare.
54
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FIGURA 5.10 - ANDAMENTO DELLA
CONCENTRAZIONE IN UNA MEMBRANA
La membrana cellulare confinerà con acqua perciò la concentrazione nella membrana nelle zone
adiacente al liquido saranno:
CM 1  MAC1
CM 2  MAC2
C1  CM  C2 Poiché c’è il passaggio da diversi ambienti.
dC
 2C
 D 2  0 , per cui il gradiente è una retta.
Condizione di stazionarietà
dt
x
CM 1   AM C1 ; CM 2   AM C2 ; J   D
Anche 
C
x
J
dC
dC
J
 .
è costante visto che
è costante 
D
dx
dx
D
Dovendo ricavare C ( x)  f ( ,C1 , C2 ) significa che e’ possibile ricavare la concentrazione in ogni
punto della membrana sapendo la concentrazione fuori e dentro la membrana e il coefficiente di
partizione, ovvero l’andamento di CM in funzione della lunghezza della membrana.
C ( x)  
x=0  C=  AM C1
J
x  K (costante di integrazione)
Condizioni al contorno
x  L  C=  AM C2
D
K  C1 AM  C ( x)  
Dato J   D
J
x  C1 AM
D
C
x
J
x  C1 AM
D
J C  AM (C2  C1 )
 

D x
L
 (C  C1 )
 (C  C2 )
C ( x)  AM 2
 C1 AM  C1 AM  AM 1
L
L
C ( x)  
J
 C1  C2  D   D  C
L


 L 
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 D 
 è la permeabilità della membrana e vale la seguente regola:
 L 
Dove 
 D  DMA


L
  AM L 
La permeabilità e’ misurata in m/s. Cambia tantissimo da molecola a molecola e da cellula a cellula.
Esempi di trasporto di massa
5.7.1 Applicazione della forma integrale della Legge di Fick: il modello quasi-stazionario
Consideriamo l’esempio di due compartimenti separati da una membrana cellulare, con C1> C2. Dato
che la membrana e’ molto sottile, non e’ possibile misurare la concentrazione nella membrana.
Vorremmo sapere come varia la concentrazione nei due compartimenti, considerando che nella
membrana il gradiente di concentrazione (e’ quindi il flusso) rimanga costante. Possiamo fare questa
assunzione di quasi-stazionarietà perché essendo molto sottile, il tempo di diffusione nella
membrana e’ molto minore del tempo di variazione delle concentrazioni nei volumi. Ciò significa che
posso considerare condizioni stazionarie nella membrana con un flusso costante pari a:
J=
D
L
 C1 (t )  C2 (t ) 
FIGURA 5.11: VARIAZIONE DI CONCENTRAZIONE IN
UN SISTEMA DI 2 VOLUMI SEPARATI DA UNA
MEMBRANA SOTTILE
Facciamo delle assunzioni, i 2 volumi sono uguali V1=V2 e sapendo che il sistema è chiuso potremo
dire che il numero di molecole è costante.
N t  V1C1  V2C2  Vm Cm
Per la sottigliezza della membrana l’ultimo termine è trascurabile.
@ t=0, C 2  0, C1  C01
Le condizioni al contorno sono: N t  V1C1 (t )  V2C2 (t )  C01V1 (t. iniziale)
C 2 (t )  C01  C1 (t )
56
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Essendo
C (t )
C (t ) 6
C
C
=costante, V1 1  V2 2
Volume e
sfruttando la forma integrale JA  
t
t
t
t
ricombinando tutti i risultati in funzione di C1(t):
C1 (t ) Volume  D

 C1 (t )  C01  C1 (t ) 
t
A
L
C (t ) Volume  D
 1

 2C1 (t )  C01 
t
A
L

C1 (t )
D A

t
L Volume
 2C1 (t )  C01 
C1 (t )
D A
Integrando 
 
t
2C1 (t )  C01  0 L Volume
C0 
C
t
D 2 A

t 
C0 
L Volume
C1 (t ) 
1  e


2 

Il rapporto
A
Volume
non si divide per non confonderlo con la lunghezza caratteristica dei volumi. L è la
lunghezza della membrana.
Il modello e’ valido solo se il tempo di diffusione nella membrana e’ molto minore del tempo
caratteristico del sistema (esponente dell’equazione sopra).
V L
V
L2
 olume  L  olume
D
 D2 A
2A
Ovvero, la lunghezza della membrana e’ molto minore della lunghezza dei volumi (le aree sono
uguali).
FIGURA 5.102: ANDAMENTO DELLE CONCENTRAZIONI
6
Verrebbe anche da
dN t
dC (t )
dC (t )
 V1 1  V2 2  0
dt
dt
dt
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5.7.2 Punto sorgente
Uno dei modelli classici del trasporto di massa e’ la diffusione da un punto sorgente; riguarda infatti
l’andamento della concentrazione di una molecola nello spazio e nel tempo quando in un
determinato punto a t=0 viene deposto una determinata quantità di moli Mo della molecola. Viene
applicata la conservazione di massa (o numero di moli).
Consideriamo un sistema adimensionale, in cui le variazioni sono solo in x e t. La concentrazione e’ in
mol/m.
Le condizioni al contorno e di conservazione sono:
@ t  0, x  0  C ( x, 0)  0
@ t  0, x  , C (, t )  0

 C ( x, t )dx  M

0

 2  C ( x, t )dx
0
L’equazione e’ la solita…
C
 2C
D 2
t
x
La soluzione e’ riportato nell’appendice:
C ( x, t ) 
Mo
4 Dt
e

x2
4 Dt
In coordinate sferiche, in condizione di simmetria, lo stesso ragionamento ci da:
2
r

Mo
4 Dt
C (r , t ) 
e
8( Dt )3/ 2
In figura viene riportato l’andamento del profilo di concentrazione lungo x in funzione del tempo. Via
via che passa il tempo la sostanza diluisce nello spazio. Modelli di questo tipo vengono utilizzati per
predire la concentrazione di inquinanti e traccianti.
FIGURA 5.11 ANDAMENTO DELLA CONCENTRAZIONE PER PUNTO SORGENTE IN COORDINATE CARTESIANE (X).
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5.7.3 Consumo di ossigeno
Consideriamo come esempio di diffusione e reazione il consumo di ossigeno all’interno di uno
sferoide cellulare.
Per un sistema sferico il Laplaciano è
 2C 
1   2 C 
1
 
C 
1  2C
r

sin






r 2 r  r  r 2 sin   
  r 2 sin   2
Non considereremo gli ultimi due termini perche’ il sistema e’ simmetrico, e ci poniamo in condizioni
stazionarie. Infine, supponiamo un consumo di zero ordine.
C D   2 C 
dC
 2 r
0
  K siccome
t r r  r 
dt
K
D   2 C 
r
 Le condizioni al contorno sono:
r 2 r  r 
r  R e C=C0 condizioni di simmetria
r  0 avremo
FIGURA 5.14 - SFEROIDE
CELLULARE
dC
 0 al centro non abbiamo gradiente
dr
La condizione di simmetria è molto importante poiché non avendo
considerato variazioni in  ed in  l’ossigeno deve diffondere
simmetricamente ovunque, per questo al centro il gradiente è nullo.
 C  K 2
  r2
  r r
 r  D
C K r 3
r2

 l1 , l1  0 per simmetria
r D 3
Kr 2
K 2
C=
 l2  l2  C0 
(r  R 2 )
6D
6D
59