CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO –
CALCOLO – A.A. 2011/2012
U 08 – Trasmissione del calore
U.08
Trasmissione del calore
H
As = L × H
L
U.08 – Trasmissione del calore
1/28
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
TRASMISSIONE DEL CALORE
PER CONDUZIONE
U.08 – Trasmissione del calore
2/28
1
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
MODALITA’ DI TRASMISSIONE DEL CALORE
La trasmissione del calore può avvenire secondo tre modalità:
-
Conduzione
-
Convezione
-
Irraggiamento
La conduzione e la convezione richiedono la presenza di un mezzo.
Soprattutto in associazione alla convezione, le modalità di scambio termico sono
strettamente legate alla fluidodinamica processo; da qui nasce il concetto di
“termofluidodinamica”.
L’irraggiamento termico ricade nella categoria dei fenomeni elettromagnetici, e
come tale
t l non richiede
i hi d la
l presenza di un mezzo.
L’ipotesi di stazionarietà (fenomeni indipendenti dal tempo perché riferiti
condizioni medie o a condizioni limite) permette di studiare la trasmissione del
calore senza eccessivo ricorso all’analisi matematica complessa.
U.08 – Trasmissione del calore
3/28
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
TRASMISSIONE DEL CALORE PER CONDUZIONE
Ts1
Q&
As
As
Δx
Q&t
H
Ts2
Nomenclatura
As = L × H
t
As = area [m2]
L
Δx = spessore [m]
T = temperatura
p
[ºC]
[ ]
ΔT = Ts2 –Ts1 = differenza di temperatura superficiale [ºC]
Q&t = potenza termica trasmessa (costante) [W]
t = tempo [s]
Δt = intervallo temporale [s]
Qt = Q&t × Δt = calore trasmesso [J]
U.08 – Trasmissione del calore
4/28
2
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
CONDUTTIVITA’ TERMICA
Osservazione sperimentale 1
La potenza termica Q&t trasmessa attraverso uno strato di materiale di spessore
uniforme Δx è proporzionale:
- direttamente, alla differenza di temperatura ΔT tra le superfici delimitanti lo
strato
- direttamente, all’area As della superficie normale alla direzione di trasmissione
- inversamente, allo spessore Δx dello strato
Q&t ∝ As ⋅
ΔT
Δx
Introducendo una costante di proporzionalità che permetta di rispettare le
dimensioni fisiche delle grandezze in gioco, si ottiene la formula:
Q&t = λ ⋅ As ⋅
ΔT
Δx
La costante di proporzionalità λ è detta (coefficiente di) conducibilità termica del
materiale ed è un proprietà fisica del materiale stesso. Deve necessariamente
essere espressa in W/(m⋅ºC) oppure in W/(m⋅K).
U.08 – Trasmissione del calore
5/28
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
(ÇENGEL, Termodinamica e
trasmissione del calore)
U.08 – Trasmissione del calore
6/28
3
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
TRASMISSIONE DEL CALORE
PER CONVEZIONE
U.08 – Trasmissione del calore
7/28
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
TRASMISSIONE DEL CALORE PER CONVEZIONE
Convezione:
trasmissione del calore fra un solido ed un
fluido (liquido o gas) in moto relativo tra loro.
Convezione forzata:
f
trasmissione per convezione in cui il moto del
fluido è causato da forze esterne (macchine
quali pompe, ventilatori, ecc.)
Convezione naturale:
trasmissione per convezione in cui il moto del
fluido è indotto da forze interne al fluido stesso
((spinte
p
di ga
d
galleggiamento,
gg a
o, d
densità
à d
diverse
all’interno del dominio, ecc.)
Convezione mista:
trasmissione per convezione in cui il moto del
fluido è indotto da forze esterne ed interne che
hanno pesi circa equivalenti
U.08 – Trasmissione del calore
8/28
4
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
COEFFICIENTE DI CONVEZIONE
Osservazione sperimentale 2
La potenza termica Q&c ’trasmessa fra una parete solida a temperatura Ts ed un
fluido che la lambisce a temperatura Tf è proporzionale:
p
fra p
parete solida e fluido
- direttamente, alla differenza di temperatura
- direttamente, all’area As della superficie di parete lambita dal fluido
Q&c ∝ As ⋅ (T s − T f )
Introducendo una costante di proporzionalità che permetta di rispettare le
dimensioni fisiche delle grandezze in gioco, si ottiene la legge di Newton per la
convezione:
Q&c = hc ⋅ As ⋅ (T s − T f )
La costante di proporzionalità hc è detta coefficiente di (trasmissione del calore
per) convezione, e NON è una proprietà fisica. Deve essere necessariamente
espressa in W/(m2ºC) oppure in W/(m2K).
U.08 – Trasmissione del calore
9/28
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
COEFFICIENTE DI CONVEZIONE
Enorme problema della convezione:
non essendo il coefficiente convettivo hc una proprietà fisica,
non è reperibile tabulato per un dato fluido o coppia materiale/fluido.
P effettuare
Per
ff tt
un calcolo
l l analitico
liti di hc bisognerebbe:
bi
bb
- conoscere le condizioni fluidodinamiche caso per caso
- risolvere il corrispondente sistema di equazioni differenziali di governo
- utilizzare complessi modelli matematici in caso di regime turbolento
Viene in soccorso (si fa per dire…) l’analisi dimensionale, che permette di
ricondurre a raggruppamenti adimensionali, e quindi non collegati al singolo
problema, le variabili che governano i fenomeni in gioco.
h ⋅L
Nu = c
= f (Re a , Pr b , Gr
G c)= f
λ
⎡ ⎛ ρ ⋅ W ⋅ L ⎞ a ⎛ ν ⎞ b ⎛ g ⋅ β ⋅ δ 3 ⋅ ΔT
⎢⎜⎜
⎟⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜⎜
μ
ν2
⎢⎣⎝
⎠ ⎝α ⎠ ⎝
⎞
⎟⎟
⎠
c
⎤
⎥
⎥⎦
Il valore del numero di Nusselt (Nu), espressione adimensionale del coefficiente di
convezione (hc), può essere calcolato, tramite relazioni di derivazione empirica, a
partire dal valore assunto nel problema in esame dai gruppi adimensionali
costituiti dai numeri di Reynolds (Re), Grashof (Gr) e Prandtl (Pr).
U.08 – Trasmissione del calore
10/28
5
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
COEFFICIENTE DI CONVEZIONE
Fortunatamente, molti problemi sono talmente ripetitivi da garantire che il
corrispondente coefficiente di convezione hc possa essere assunto come noto
sperimentalmente, con una precisione accettabile per la maggior parte delle
applicazioni.
Coefficienti di convezione su superfici di edifici
Coefficiente di convezione sulle superfici interne delle pareti edili (hc = hci):
- per flusso di calore ascendente hci = 5.0 W/(m2K)
- per flusso di calore orizzontale hci = 2.5 W/(m2K)
- per flusso di calore discendente hci = 0.7 W/(m2K)
Coefficiente di convezione sulle superfici esterne delle pareti edili (hc = hce):
- hce = 4+4⋅v [W/(m2K)]
ove
v velocità del vento [m/s]
U.08 – Trasmissione del calore
11/28
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
COEFFICIENTE DI CONVEZIONE
…
U.08 – Trasmissione del calore
12/28
6
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
TRASMISSIONE DEL CALORE
PER IRRAGGIAMENTO
U.08 – Trasmissione del calore
13/28
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
TRASMISSIONE DEL CALORE PER IRRAGGIAMENTO
Tra due superfici reciprocamente in vista può essere
scambiata energia sotto forma di radiazione
elettromagnetica, che si trasmette attraverso il mezzo
interposto purché trasparente alla radiazione (come,
ad esempio,
esempio l’aria e la maggior parte gas),
gas) oppure
anche attraverso il vuoto.
Lunghezza d’onda e frequenza della radiazione
elettromagnetica sono tra loro collegate dalla
relazione:
λ=
c
f
ove
λ lunghezza d’onda [m]
f frequenza [Hz]
c velocità della luce nel mezzo [m/s]
U.08 – Trasmissione del calore
14/28
7
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
TRASMISSIONE DEL CALORE PER IRRAGGIAMENTO
Si assume un termine di riferimento ideale, il corpo nero:
- perfetto emettitore: emette la massima potenza termica per una data
temperatura e lunghezza d’onda
- perfetto assorbitore: assorbe tutta la radiazione
che lo investe
- emettitore diffuso
Legge di Stefan-Boltzmann (per il corpo nero):
E n = σ ⋅T
ove
(ÇENGEL, Termodinamica
e trasmissione del calore)
4
En potere emissivo di corpo nero [W/m2]
T temperatura termodinamica assoluta [K]
σ costante di Stefan-Boltzmann [5.67⋅10-8 W/(m2⋅K4)]
U.08 – Trasmissione del calore
15/28
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
TRASMISSIONE DEL CALORE PER IRRAGGIAMENTO
Legge della distribuzione di Planck
(per il corpo nero):
E n, λ =
ove
En,λ
[W/(m2μm)]
C1
⎡
⎛ C ⎞ ⎤
λ5 ⋅ ⎢exp ⎜ 2 ⎟ − 1⎥
⎝ λ ⋅T ⎠ ⎦
⎣
En,λ
potere emissivo monocromatico
di corpo nero [W/(m2μm)]
λ
lunghezza d’onda [μm]
T
temperatura [K]
C1, C2 costanti
Legge dello spostamento di Wien
(per il corpo nero):
(λ ⋅T )E
n, λ,max
= 2897.8 μm ⋅ K
U.08 – Trasmissione del calore
λ [μm]
16/28
8
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
PROPRIETA’ RADIATIVE SUPERFICIALI
Emissività
ε (T ) =
E (T ) E (T )
=
E n (T ) σ ⋅T 4
ove
E(T) potere emissivo della superficie considerata [W/m2]
Coefficienti di assorbimento (α ), riflessione (ρ ) e trasmissione (τ )
α=
ove
G
Ga
Gr
Gt
Ga
G
G
ρ= r τ = t
G
G
G
radiazione totale incidente (irradiazione) [W/m2]
parte assorbita dell’irradiazione [W/m2]
parte riflessa dell’irradiazione [W/m2]
parte trasmessa dell’irradiazione
d ll’i di i
[W/m
[W/ 2]
con
α + ρ +τ = 1
Per i corpi neri:
Per i corpi opachi:
α = 1, ρ = 0 , τ = 0
τ = 0, α + ρ = 1 ⇔ ρ = 1 − α
U.08 – Trasmissione del calore
17/28
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
PROPRIETA’ RADIATIVE SUPERFICIALI
G assorbita (T ) = α ⋅ σ ⋅T
E emessa (T ) = ε ⋅ σ ⋅T
4
4
A ⋅ α ⋅ σ ⋅T 4 = A ⋅ ε ⋅ σ ⋅T
4
Legge di Kirchhoff
ε (T ) = α (T
U.08 – Trasmissione del calore
)
18/28
9
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
TRASMISSIONE DEL CALORE PER IRRAGGIAMENTO
Un corpo opaco con temperatura superficiale Ts, area superficiale As ed emissività
ε, inserito all’interno di ambiente molto più grande e delimitato da superfici poste
a temperatura uniforme Ta, scambia con dette superfici una potenza termica per
irraggiamento valutabile tramite secondo la relazione:
Q&r = As ⋅ ε ⋅ σ ⋅ (T s4 − T a4 )
Similmente accade per la potenza termica scambiata tra una porzione della
superficie interna della cavità e le restanti superfici, oppure tra un corpo e
l’atmosfera.
La relazione può essere linearizzata considerando che (a 2 – b 2)=(a + b)⋅(a – b):
Q&r = As ⋅ ε ⋅ σ ⋅ (T s2 + T a2 ) ⋅ (T s + T a ) ⋅ (T s − T a ) ≅ As ⋅ ε ⋅ σ ⋅ 4 ⋅T m3 ⋅ (T s − T a )
ove Tm è la temperatura media aritmetica della superficie e del contorno:
T m = (T s + T a ) / 2
U.08 – Trasmissione del calore
19/28
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
COEFFICIENTE DI SCAMBIO TERMICO PER IRRAGGIAMENTO
Q&r = As ⋅ ε ⋅ σ ⋅ (T s4 − T a4 ) ≅ As ⋅ hr ⋅ (T s − T a )
Nella relazione si è introdotto un coefficiente di scambio termico per
irraggiamento hr, dimensionalmente omogeneo al coefficiente di scambio termico
per convezione:
hr = ε ⋅ hr,max = ε ⋅ σ ⋅ 4 ⋅T m3
ove
hr,max coefficiente di scambio termico per un corpo nero [W/(m2K)]
ε
emissività della superficie (≈0.9 per superfici non metalliche)
Tm [°C]
hr,max [W/(m2K)]
-10
10
4 13
4.13
3 72
3.72
0
4.62
4.16
10
5.15
4.63
20
5.71
5.14
30
6.32
5.69
U.08 – Trasmissione del calore
0.9⋅hr,max [W/(m2K)]
20/28
10
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
TRASMISSIONE PER CONVEZIONE E IRRAGGIAMENTO
Potenza scambiata per irraggiamento termico tra una superficie e l’ambiente
circostante:
Q&r = hr ⋅ As ⋅ (T s − T a )
Potenza termica scambiata per convezione tra una superficie e ll’aria
aria ambiente
circostante (Tf ≈Ta):
Q&c = hc ⋅ As ⋅ (T s − T a )
Potenza termica complessivamente scambiata per convezione e irraggiamento:
Q& = Q&r + Q&c = hr ⋅ As ⋅ (T s − T a ) + hc ⋅ As ⋅ (T s − T a ) =
= h ⋅ As ⋅ (T s − T a )
Il coefficiente h (in norme e manuali indicato anche con il simbolo α) è detto
coefficiente di adduzione (o liminare).
liminare)
Con tale coefficiente, oppure con il suo inverso Rs, detto resistenza superficiale (in
norme e manuali indicata anche con il simbolo Rs”), si tiene conto degli incrementi
di hc dovuti alle interazioni per irraggiamento termico fra superficie solida
considerata ed ambiente circostante.
h = hc + hr =
1
Rs
U.08 – Trasmissione del calore
21/28
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
RESISTENZE SUPERFICIALI IN EDILIZIA
Rsi [m2K/W]
αi [W/(m2K)]
0.10
10
0.13
7.69
0.17
5.88
Rse [m2K/W]
αe [W/(m2K)]
0.04
25
Superfici verso l’esterno
l esterno (v > 4 m/s)
Rse [m2K/W]
αe [W/(m2K)]
tutte le superfici
(lato esterno soffitto, pavimento, muro)
1/(8.16+4⋅v)
8.16+4⋅v
Superfici in aria calma (all’interno di locali)
sup. orizzontale, flusso termico ascendente
(soffitto, lato interno)
sup verticale
sup.
verticale, flusso termico orizzontale
(muro, lato interno)
sup. orizzontale, flusso termico discendente
(pavimento, lato interno)
Superfici verso l’esterno (v ≤ 4 m/s)
tutte le superfici
(lato esterno soffitto, pavimento, muro)
Ai fini del calcolo di Rs (o di α), si assume:
εi ≈ 0.9, Tmi = 20°C, εe ≈ 0.9, Tme = 0°C, v = 4 m/s
U.08 – Trasmissione del calore
22/28
11
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
ANALOGIA
ELETTROTERMICA
U.08 – Trasmissione del calore
23/28
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
ANALOGIA ELETTROTERMICA
Come in elettrotecnica
I =
così in trasmissione del calore
Q& =
ΔV
(legge di Ohm),
Re
ΔT
Conduzione (attraverso una parete piana):
Rt
Q&t = λ ⋅ As ⋅
(T s1 − T s2 ) = T s1 − T s 2
Δx
Rt
da cui l’espressione della resistenza termica conduttiva per parete piana:
Rt =
Δx
λ ⋅ As
Adduzione (su una superficie solida):
[°c/w]
Q&c + r = h ⋅ As ⋅ (T s − T a ) =
T s −T a
Rs
da cui l’espressione della resistenza termica superficiale (totale):
Rs =
U.08 – Trasmissione del calore
1
h ⋅ As
[°c/w]
24/28
12
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
ANALOGIA ELETTROTERMICA: RESISTENZE IN SERIE
Seguendo l’analogia elettrotermica, le
resistenze termiche possono essere disposte
in serie e/o in parallelo, andando così a
costituire una resistenza totale equivalente.
Parete A
ΔT
Q& =
Parete B
Ts1
R tot
Ts2
As
Per una parete piana a due strati:
R tot =
Δx A
Δx B
+
λA ⋅ As λB ⋅ As
ΔxA
Ts3
ΔxB
ΔT = T s1 − T s3
In generale, per una parete multistrato:
R tot =
∑ R.
tj
=
j = A,B,..
Ts1
Δx j
j = A,B,... λ j ⋅ As
∑
Ts3
Ts2
R tA =
Δx A
Δx B
R tB =
λA ⋅ As
λB ⋅ As
U.08 – Trasmissione del calore
25/28
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
ANALOGIA ELETTROTERMICA: RESISTENZE IN SERIE
Seguendo l’analogia elettrotermica, le
resistenze termiche possono essere disposte
in serie e/o in parallelo, andando così a
costituire una resistenza totale equivalente.
Q& =
ΔT
Ta1
R tot
parete
Ts1
Per una parete piana monostrato con
adduzione
(convezione
irraggiamento) su entrambi i lati:
R tot = Rs1 + R t + Rs2 =
1
1
Δx
+
=
+
h1 ⋅ As λ ⋅ As h2 ⋅ As
ΔT = T a1 − T a2
U.08 – Trasmissione del calore
e
λ
Ts2
Ta2
Q&
Ta1
Rs1
Ts1
Rt
Ts2
Rs2
Ta2
26/28
13
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
ANALOGIA ELETTROTERMICA: RESISTENZE IN PARALLELO
Per una parete piana a due strati orizzontali (superficie di separazione adiabatica):
ΔT
Q& =
ove
1
⇒ R tot
=
isolante
R tot
1
+
1
R tot R tA R tB
R tA ⋅ R tB
Δx
=
=
R tA + R tB λA ⋅ AsA + λB ⋅ AsB
AsA
Ts1
λA
AsB
λB
ΔT = T s1 − T s2
Δx
Infatti, si può verificare che:
T − T s2 T s1 − T s2
Q& = Q&tA + Q&tB = s1
+
R tA
Ts2
R tB
Q&
Ts1
Q&tA
Q&tB
RtA
Q&
Ts2
RtB
U.08 – Trasmissione del calore
27/28
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
ANALOGIA ELETTROTERMICA: GEOMETRIA CILINDRICA
Per una parete cilindrica monostrato con adduzione (con lunghezza L):
Q& =
ove
ΔT
R tot
= Rs1 + R t + Rs2
R tot
ΔT = T a1 − T a2
Resistenza termica per conduzione
attraverso uno strato cilindrico:
Rt =
ln(r2 r1 )
2 ⋅π ⋅ λ ⋅L
r2
[°c/w]
Resistenze termiche per adduzione
su una superficie cilindrica
Rs1 =
R s2 =
1
h1 ⋅ As1
=
1
h1 ⋅ (2 ⋅ π ⋅ r1 ⋅ L )
r1
Ts1
λ
Ts2
[°c/w]
1
1
=
[°c/w]
h2 ⋅ As2 h2 ⋅ (2 ⋅ π ⋅ r2 ⋅ L )
U.08 – Trasmissione del calore
28/28
14
