L`EFFETTO DOPPLER E` noto dalla fisica classica (Trasformazioni
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L’EFFETTO DOPPLER E’ noto dalla fisica classica (Trasformazioni Galileiane, leggi di Newton) che: • Se una sorgente fissa (Trasmettitore) emette onde sinusoidali di frequenza fT (frequenza di Trasmissione) che si propagano in un c mezzo con velocità c, e quindi con lunghezza d’onda λ0 = , un fT Ricevitore che si muove rispetto alla sorgente con velocità radiale (pedice r) in modulo pari a vr (per convenzione vr = − vr r se il ricevitore si avvicina e vr = + vr r se si allontana, r indica il versore della direzione radiale) osserva onde di cui misura una diversa frequenza f R (frequenza di Ricezione). L10/1 L’EFFETTO DOPPLER (Cont.) • Si suppone che sia costante la velocità radiale (almeno nel tempo di osservazione). • Il Ricevitore, causa il suo moto, riceverà, nell’unità di tempo, un ( f R > fT ) se si avvicina minor numero di fronti d’onda ( f R < fT ) se si allontana. maggior numero di fronti d’onda e un L10/2 L’EFFETTO DOPPLER (Cont.) λ = λ0 v r Δt S R R Effetto Doppler col ricevitore R in moto (Sorgente S fissa). L10/3 L’EFFETTO DOPPLER (Cont.) Se si suppone una velocità radiale vr << c , allora nel tempo Δt : • Se il Ricevitore si avvicina alla sorgente il numero di fronti d’onda vr Δt è eguale a quelli che riceverebbe se fosse fermo più . λ0 • Se il Ricevitore si allontana dalla sorgente il numero di fronti d’onda è eguale a quelli che riceverebbe se fosse fermo, meno vr Δt . λ0 L10/4 L’EFFETTO DOPPLER (Cont.) La frequenza ricevuta è pertanto: f R = fT + Δf D dove Δf D è lo “shift Doppler” di entità: ⎧ −vr r ⋅ r ( −vr ) vr =− =+ avvicinamento Δf D > 0 ⎪− λ λ0 λ0 vr ⋅ r ⎪ 0 Δf D = − =⎨ λ0 ⎪ +vr r ⋅ r ( +vr ) vr − =− =− allontanamento Δf D < 0 ⎪⎩ λ0 λ0 λ0 L10/5 L’EFFETTO DOPPLER (Cont.) Sostituendo l’espressione prescedente: vr fT = f R = fT + Δf D = fT ± = fT ± vr c λ0 ⎧ ⎪ fT ⎛ vr ⎞ ⎪ = fT ⎜ 1 ± ⎟ = ⎨ c⎠ ⎪ ⎝ f ⎪ T ⎩ ⎡ ( −vr ) ⎤ ⎢1 − c ⎥ avvicinamento ⎣ ⎦ ⎡ ( +vr ) ⎤ ⎢1 − c ⎥ allontanamento ⎣ ⎦ con vr , componente radiale della velocità del Ricevitore, cioè lungo la direzione Ricevitore - Sorgente. NB: vr indica il modulo di vr . Ovviamente la lunghezza d’onda λ resta eguale a λ0 perché la sorgente è fissa. L10/6 EFFETTO DOPPLER CON SORGENTE IN MOVIMENTO vr s s’’ s’ R Effetto Doppler relativo ad una sorgente S in moto e ad un ricevitore R fisso. L10/7 EFFETTO DOPPLER CON SORGENTE IN MOVIMENTO (Cont.) Si esamina ora l’effetto Doppler da un altro punto di vista: Sorgente in moto Se la sorgente si avvicina (allontana) ad un ricevitore fisso con velocità radiale vr , quest’ ultimo misura (“percepisce”) una lunghezza d’onda diminuita (aumentata) dello spazio percorso dalla sorgente in un ciclo. Si ha quindi: ⎧ c − vr avvicinamento ⎪ vr c ∓ vr ⎪ fT λR = λ0 ∓ = =⎨ fT fT ⎪ c + vr allontanamento ⎪⎩ fT L10/8 EFFETTO DOPPLER (Cont.) La frequenza ricevuta è: ⎧ fT ⎪ vr 1− ⎪ c c ⋅ fT ⎪ c fR = = =⎨ λR c ∓ vr ⎪ fT ⎪ vr ⎪⎩1 + c avvicinamento allontanamento Nelle deduzioni dell’effetto Doppler si sono trascurate le correzioni vr2 relativistiche 1 − 2 , e si è supposto vr << c . c L10/9 EFFETTO DOPPLER (Cont.) Sorgente fissa Ricevitore in movimento ⎧ ⎛ vr ⎞ Avvicinamento ⎪ fT ⎜ 1 + c ⎟ ⎠ ⎪ ⎝ fR = ⎨ ⎪ ⎛ vr ⎞ Allontanamento ⎪ fT ⎜ 1 − c ⎟ ⎠ ⎩ ⎝ Sorgente in movimento Ricevitore fisso ⎧ fT ⎪ vr ⎪1 − ⎪ c fR = ⎨ ⎪ fT ⎪ vr ⎪⎩1 + c L10/10 EFFETTO DOPPLER NEL RADAR Se una sorgente fissa emette onde sinusoidali (frequenza fT ) su un oggetto in moto con velocità relativa radiale vr (negativa in avvicinamento) il quale retrodiffonde le onde che sono captate da un ricevitore fisso situato nella stessa posizione della sorgente si ha la combinazione dei due effetti visti, in quanto una volta irradiato l’oggetto è a sua volta una sorgente in movimento. Sia allora: • f R1 la frequenza riferita all’oggetto in movimento • fT 1 la frequenza riferita all’onda da esso reirradiata • f R2 la frequenza ricevuta dal radar. Per quanto prima visto si ha: L10/11 EFFETTO DOPPLER NEL RADAR (Cont.) ⎛ vr ⎞ f R1 = fT ⎜ 1 ± ⎟ c⎠ ⎝ 1 f R2 = fT 1 fT 1 = f R1 vr 1∓ c In definitiva il radar riceve un segnale di frequenza: 2 ⎛ vr ⎞ vr 1± ⎜1 ± c ⎟ ⎠ c =f ⎝ f R2 = fT T 2 vr v ⎛ r⎞ 1∓ 1− ⎜ ⎟ c ⎝c⎠ ⎧ ⎪ ⎪ fT ⎪ ⎪ ⎪ =⎨ ⎪ ⎪ ⎪ fT ⎪ ⎪⎩ 2 ⎛ vr ⎞ ⎜1 + c ⎟ ⎝ ⎠ avvicinamento 2 v ⎛ ⎞ 1− ⎜ r ⎟ ⎝c⎠ 2 ⎛ vr ⎞ ⎜1 − c ⎟ ⎝ ⎠ allontanamento 2 ⎛ vr ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠ L10/12 EFFETTO DOPPLER NEL RADAR (Cont.) Nelle pratiche applicazioni radar si ha: c = 3 ⋅ 10 8 m ⋅ sec −1 vr < 10 4 m ⋅ sec −1 (limite superiore alle velocità di satelliti in orbita bassa e missili balistici) Quindi: vr < 10 −4 c 2 ⎛ vr ⎞ Pertanto si può trascurare ⎜ ⎟ rispetto all’unità e scrivere: ⎝ c⎠ 2vr ⎞ ⎛ f R 2 ≅ fT ⎜ 1 ± ⎟ c ⎝ ⎠ o altrimenti: 2vr 2vr f R2 ≅ fT ± = fT + f D con f D = ± shift Doppler a due vie λ0 λ L10/13 ESEMPIO: Ecografo Con: c = 1500 m ⋅ sec −1 fT = 10 Hz 5 ⇒ c 1500 λ= = = 15 ⋅ 10 −3 m fT 100000 vr = 0.015 m ⋅ sec −1 si ha: f R2 2vr − fT = = λ ( 2 ⋅ 15 ⋅ 10 −3 15 ⋅ 10 −3 ) = 2 Hz Rilevabile se il tempo d’osservazione supera 0.5 secondo. L10/14 LE TECNICHE ULTRASONICHE Produzione di immagini dell’interno del corpo umano (Tecnica Eco-pulsata). Misurazione del flusso sanguigno nelle arterie (“Effetto Doppler”). Pregi: Basse potenze in gioco (≈ 10 mW cm-2 ), a differenza di altre tecniche, le rendono innocue. Ottima risoluzione temporale e spaziale. Complementarietà con altre tecniche diagnostiche. L10/15 GLI ULTRASUONI Sono segnali con frequenza superiore alla percezione dell’uomo (20 Hz ÷ 20 kHz). Frequenze usate in medicina: 1 ÷ 10 MHz. Le particelle del mezzo perturbate da un’onda ultrasonica oscillano intorno alla posizione di equilibrio. Caratteristiche importanti del mezzo sono: • la velocità di propagazione c nel mezzo • l’impedenza acustica Z • l’attenuazione A L10/16 VELOCITA’ DI PROPAGAZIONE La velocità c di propagazione dipende dalla natura del mezzo (E = modulo di elasticità o di Young, ρ densità). c= E ρ c=λ⋅ f Nei mezzi biologici c ~ 1500 m/s (simile a quella dell’acqua). Fa eccezione l’osso con c = 4000 m/s ed il polmone c = 900 m/s. L’esigenza di avere risoluzioni dell’ordine di 1 mm impone c 1500 = 1.5 mm frequenze superiori a 1 MHz: λ = = f 1000000 La limitata velocità delle onde acustiche consente di misurarne i tempi di propagazione. L10/17 IMPEDENZA ACUSTICA L’impedenza acustica è definita come il rapporto tra la pressione esercitata dall’onda acustica in un punto del mezzo e la velocità della particella corrispondente. In generale l’impedenza acustica è una grandezza complessa. Nel caso di onde piane l’impedenza è reale: Z = ρ ⋅c ρ densità del mezzo L10/18 ATTENUAZIONE L10/19 Tabella Riassuntiva: Densità, Velocità, Impedenza Acustica e Attenuazione per diversi mezzi (tessuti/organi) ρ ( Kg m −3 ) c ( m ⋅ s −1 ) Z ( Kg m −2 s −1 ) Aria Attenuazione ( dB cm −1 MHz −1 ) 1.3 330 429 >10 Acqua 1000 1480 1.5x106 0.002 Grasso 900 1450 1.3x106 0.6 Muscolo 1080 1585 1.7x106 1.5 Polmone 220 900 0.2x106 30 Sangue 1030 1570 1.6x106 0.18 Osso 1850 4000 7.4x106 8 L10/20 Generazione di ultrasuoni Un trasduttore converte energia elettrica in energia meccanica sotto forma di vibrazioni (onda ultrasonore). Effetto piezoelettrico: proprietà di alcuni materiali di generare una tensione elettrica in seguito ad una pressione e viceversa. Il trasduttore è costituito da una piastrina ceramica eccitata da due elettrodi posti su due facce parallele. Elemento posteriore di backing per smorzare le oscillazioni. Il trasduttore funziona sia da generatore che da ricevitore. L10/21 Trasduttore Piezoelettrico • Alle frequenze usate per la diagnosi medica, il materiale utilizzato è il Piombo Titanio Zirconato (PZT). • La velocità nel PZT è 4000 m/s, frequenza di risonanza quando lo spessore è λ/2. Per f = 1 MHz, si ottiene uno spessore di 2 mm. L10/22 Forma del fascio di ultrasuoni Zona di Fresnel: d < r2 λ (campo vicino) Zona di Fraunhofer: d> r2 λ (campo lontano) L10/23 Propagazione degli ultrasuoni Processi di: Assorbimento, Diffusione, Riflessione, Rifrazione Assorbimento: l’intensità dell’onda decresce con la distanza (energia dissipata in calore). Diffusione: l’onda incontra particelle di dimensioni simili a λ (parte dell’energia diffusa torna al trasduttore). Nella maggioranza dei mezzi biologici (non in acqua) nel range 1 - 10 MHz il coefficiente di attenuazione, dovuto a diffusione ed assorbimento, è proporzionale alla frequenza. L10/24 Riflessione e Rifrazione In un mezzo omogeneo un’onda ultra sonica si propaga in linea retta. Gel tra trasduttore e pelle (adattamento dell’impedenza acustica). Quando il fronte d’onda incontra una interfaccia (discontinuità di impedenza acustica) parte dell’energia viene trasmessa e parte riflessa. Riflessione: l’angolo di incidenza è uguale all’angolo di riflessione. Rifrazione: l’angolo di trasmissione è diverso dall’angolo di incidenza. L10/25 Legge di Snell L10/26 Legge di Snell La rifrazione dell’onda ad una interfaccia è una funzione della differenza di velocità nei due mezzi. sin θi v1 = sin θt v2 La riflessione è una funzione della differenza di impedenza acustica dei due mezzi. Per incidenza normale: γ riflessione γ trasmissione ⎛ Z1 − Z 2 ⎞ =⎜ ⎟ Z Z + ⎝ 1 2 ⎠ 2 ⎛ Z1 − Z 2 ⎞ =⎜ ⎟ + Z Z ⎝ 1 2 ⎠ 2 L10/27 Impedenza, Frequenza, Profondità Se Z2 >> Z1 come nel caso di muscolo/osso tutta l’energia incidente viene riflessa. Si tende ad usare frequenze alte (lunghezza d’onda piccola) per distinguere interfacce vicine. L’attenuazione aumenta con la frequenza e quindi diminuisce la profondità esplorabile. Coefficiente tipico: 1 dB/cm/MHz per f = 10 MHz: 200 dB (a due vie) per 10 cm di profondità 2.5 - 5 MHz in cardiologia (12 - 6 cm) L10/28 Forma e durata dell’ impulso Impulso trasmesso è: ⎛ t2 ⎞ x ( t ) = A0 exp ⎜ − 2 ⎟ ⋅ cos (ω0 t ) ⎝ 2τ ⎠ La risoluzione a metà altezza è pari a 2.36τ. Indicando con ω0 la frequenza di risonanza del cristallo: ⎛ ω 2τ 2 ⎞ X (ω ) = A0τ 2π exp ⎜ − ⊗ π [δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )] ⎟ 2 ⎠ ⎝ • Se τ decresce migliora la risoluzione (lo spettro si allarga). • Se il trasduttore è poco attenuato dallo smorzatore, l’impulso è troppo lungo e si rischia di sovrapporre le oscillazioni della trasmissione con i primi ritorni di segnale provenienti dai tessuti. L10/29 Risoluzioni spaziali: Assiale, Laterale o azimutale, Elevazione L10/30 Tecnica ad eco-impulsi L10/31 Tecnica ad eco-impulsi Il cristallo emette un impulso e poi si pone in ricezione per acquisire gli echi. Il tempo intercorso tra emissione e ricezione misura la profondità dell’interfaccia. L’ampiezza dell’eco corretta per l’attenuazione misura la differenza di impedenza acustica dell’interfaccia. L10/32 Scansione meccanica e phased array • Trasduttore singolo con movimento meccanico • Trasduttore multiplo attivati in rapida successione temporale (trasduttore ad array): scansione di tipo parallelo o settoriale L10/33 Scansione lineare e settoriale Scansione lineare usata in ostetricia e vascolare. Scansione settoriale da finestre acustiche usata in cardiologia L10/34 Display • A Mode: il segnale di un trasduttore è inviato ad uno oscilloscopio, posizione ed ampiezza sullo schermo sono profondità e intensità dell’eco. • B Mode: il segnale è inviato ad un monitor a formare una immagine 2D, posizione e livello di grigio sono localizzazione e intensità dell’eco. • M Mode: il segnale di una sola linea è inviato ad un monitor, il livello di grigio è l’intensità dell’eco, l’asse y è la profondità e l’asse x è il tempo. L10/35 A Mode L10/36 B Mode L10/37 M Mode L10/38 Risoluzione temporale • Alla frequenza di 3 MHz se la durata dell’impulso è uguale a 3 periodi il tempo per trasmetterlo è di 1 μs. • La durata dell’impulso è trascurabile rispetto al tempo di andata e ritorno dell’impulso (200 μs) dalla profondità di 15 cm con una velocità media di 1500 m/s • Si possono inviare 5000 impulsi/s • se ogni immagine e’ di 120 linee possiamo acquisire 40 immagini/s L10/39 Artefatti L10/40 Artefatti L10/41 Artefatti L10/42 Flussimetria con Doppler pulsato L10/43 EFFETTO DOPPLER NELL’ECOGRAFO scansione Fascetto di ultrasuoni V Sonda Arteria R Tessuti Segnale trasmesso Gel di accoppiamento 0 ΔΔϕ ϕ= = 2ππ ffDDTT == 2v = 2π 2vr T r = 2π λ λ T 2T t Segnale ricevuto I T 0 2R t C Segnale ricevuto Q 0 t L10/44 EFFETTO DOPPLER NELL’ECOGRAFO Prelevando N campioni dell’eco alle distanze (porte in distanza) della zona di interesse (arteria) si può stimare lo spettro con la FFT. Frequenze positive (blu) corrispondono ad avvicinamento, negative (rosse) ad allontanamento. Uno spettro largo corrisponde a turbolenza del flusso liquido. H(f) − 1 2T Z(f) Δf = 1 NT f 1 2T f L10/45
