L’EFFETTO DOPPLER
E’ noto dalla fisica classica (Trasformazioni Galileiane, leggi di
Newton) che:
• Se una sorgente fissa (Trasmettitore) emette onde sinusoidali di
frequenza fT (frequenza di Trasmissione) che si propagano in un
c
mezzo con velocità c, e quindi con lunghezza d’onda λ0 = , un
fT
Ricevitore che si muove rispetto alla sorgente con velocità radiale
(pedice r) in modulo pari a vr (per convenzione vr = − vr r se il
ricevitore si avvicina e vr = + vr r se si allontana, r indica il versore
della direzione radiale) osserva onde di cui misura una diversa
frequenza f R (frequenza di Ricezione).
L10/1
L’EFFETTO DOPPLER (Cont.)
• Si suppone che sia costante la velocità radiale (almeno nel tempo
di osservazione).
• Il Ricevitore, causa il suo moto, riceverà, nell’unità di tempo, un
( f R > fT ) se si avvicina
minor numero di fronti d’onda ( f R < fT ) se si allontana.
maggior numero di fronti d’onda
e un
L10/2
L’EFFETTO DOPPLER (Cont.)
λ = λ0
v r Δt
S
R
R
Effetto Doppler col ricevitore R in moto (Sorgente S fissa).
L10/3
L’EFFETTO DOPPLER (Cont.)
Se si suppone una velocità radiale vr << c , allora nel tempo Δt :
• Se il Ricevitore si avvicina alla sorgente il numero di fronti d’onda
vr Δt
è eguale a quelli che riceverebbe se fosse fermo più
.
λ0
• Se il Ricevitore si allontana dalla sorgente il numero di fronti
d’onda è eguale a quelli che riceverebbe se fosse fermo, meno
vr Δt
.
λ0
L10/4
L’EFFETTO DOPPLER (Cont.)
La frequenza ricevuta è pertanto:
f R = fT + Δf D
dove Δf D è lo “shift Doppler” di entità:
⎧ −vr r ⋅ r
( −vr ) vr
=−
=+
avvicinamento Δf D > 0
⎪− λ
λ0
λ0
vr ⋅ r ⎪
0
Δf D = −
=⎨
λ0 ⎪ +vr r ⋅ r
( +vr ) vr
−
=−
=−
allontanamento Δf D < 0
⎪⎩
λ0
λ0
λ0
L10/5
L’EFFETTO DOPPLER (Cont.)
Sostituendo l’espressione prescedente:
vr
fT
=
f R = fT + Δf D = fT ± = fT ± vr
c
λ0
⎧
⎪ fT
⎛ vr ⎞ ⎪
= fT ⎜ 1 ± ⎟ = ⎨
c⎠ ⎪
⎝
f
⎪ T
⎩
⎡ ( −vr ) ⎤
⎢1 − c ⎥ avvicinamento
⎣
⎦
⎡ ( +vr ) ⎤
⎢1 − c ⎥ allontanamento
⎣
⎦
con vr , componente radiale della velocità del Ricevitore, cioè lungo la
direzione Ricevitore - Sorgente.
NB: vr indica il modulo di vr .
Ovviamente la lunghezza d’onda λ resta eguale a λ0 perché la
sorgente è fissa.
L10/6
EFFETTO DOPPLER CON SORGENTE IN MOVIMENTO
vr
s s’’
s’
R
Effetto Doppler relativo ad una sorgente S in moto
e ad un ricevitore R fisso.
L10/7
EFFETTO DOPPLER CON SORGENTE IN MOVIMENTO (Cont.)
Si esamina ora l’effetto Doppler da un altro punto di vista:
Sorgente in moto
Se la sorgente si avvicina (allontana) ad un ricevitore fisso con
velocità radiale vr , quest’ ultimo misura (“percepisce”) una lunghezza
d’onda diminuita (aumentata) dello spazio percorso dalla sorgente in
un ciclo.
Si ha quindi:
⎧ c − vr
avvicinamento
⎪
vr c ∓ vr ⎪ fT
λR = λ0 ∓ =
=⎨
fT
fT
⎪ c + vr allontanamento
⎪⎩ fT
L10/8
EFFETTO DOPPLER (Cont.)
La frequenza ricevuta è:
⎧ fT
⎪ vr
1−
⎪
c c ⋅ fT ⎪
c
fR = =
=⎨
λR c ∓ vr ⎪ fT
⎪ vr
⎪⎩1 + c
avvicinamento
allontanamento
Nelle deduzioni dell’effetto Doppler si sono trascurate le correzioni
vr2
relativistiche 1 − 2 , e si è supposto vr << c .
c
L10/9
EFFETTO DOPPLER (Cont.)
Sorgente fissa
Ricevitore in
movimento
⎧ ⎛ vr ⎞
Avvicinamento
⎪ fT ⎜ 1 + c ⎟
⎠
⎪ ⎝
fR = ⎨
⎪ ⎛ vr ⎞
Allontanamento
⎪ fT ⎜ 1 − c ⎟
⎠
⎩ ⎝
Sorgente in movimento
Ricevitore fisso
⎧ fT
⎪ vr
⎪1 −
⎪ c
fR = ⎨
⎪ fT
⎪ vr
⎪⎩1 + c
L10/10
EFFETTO DOPPLER NEL RADAR
Se una sorgente fissa emette onde sinusoidali (frequenza fT ) su un
oggetto in moto con velocità relativa radiale vr (negativa in
avvicinamento) il quale retrodiffonde le onde che sono captate da un
ricevitore fisso situato nella stessa posizione della sorgente si ha la
combinazione dei due effetti visti, in quanto una volta irradiato
l’oggetto è a sua volta una sorgente in movimento. Sia allora:
• f R1 la frequenza riferita all’oggetto in movimento
• fT 1 la frequenza riferita all’onda da esso reirradiata
• f R2 la frequenza ricevuta dal radar.
Per quanto prima visto si ha:
L10/11
EFFETTO DOPPLER NEL RADAR (Cont.)
⎛ vr ⎞
f R1 = fT ⎜ 1 ± ⎟
c⎠
⎝
1
f R2 = fT 1
fT 1 = f R1
vr
1∓
c
In definitiva il radar riceve un segnale di frequenza:
2
⎛ vr ⎞
vr
1±
⎜1 ± c ⎟
⎠
c =f ⎝
f R2 = fT
T
2
vr
v
⎛ r⎞
1∓
1− ⎜ ⎟
c
⎝c⎠
⎧
⎪
⎪ fT
⎪
⎪
⎪
=⎨
⎪
⎪
⎪ fT
⎪
⎪⎩
2
⎛ vr ⎞
⎜1 + c ⎟
⎝
⎠ avvicinamento
2
v
⎛ ⎞
1− ⎜ r ⎟
⎝c⎠
2
⎛ vr ⎞
⎜1 − c ⎟
⎝
⎠ allontanamento
2
⎛ vr ⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
L10/12
EFFETTO DOPPLER NEL RADAR (Cont.)
Nelle pratiche applicazioni radar si ha:
c = 3 ⋅ 10 8 m ⋅ sec −1
vr < 10 4 m ⋅ sec −1 (limite superiore alle velocità di satelliti in orbita
bassa e missili balistici)
Quindi:
vr
< 10 −4
c
2
⎛ vr ⎞
Pertanto si può trascurare ⎜ ⎟ rispetto all’unità e scrivere:
⎝ c⎠
2vr ⎞
⎛
f R 2 ≅ fT ⎜ 1 ±
⎟
c
⎝
⎠
o altrimenti:
2vr
2vr
f R2 ≅ fT ±
= fT + f D con f D = ±
shift Doppler a due vie
λ0
λ
L10/13
ESEMPIO: Ecografo
Con: c = 1500 m ⋅ sec −1
fT = 10 Hz
5
⇒
c
1500
λ=
=
= 15 ⋅ 10 −3 m
fT 100000
vr = 0.015 m ⋅ sec −1
si ha:
f R2
2vr
− fT =
=
λ
(
2 ⋅ 15 ⋅ 10 −3
15 ⋅ 10 −3
) = 2 Hz
Rilevabile se il tempo d’osservazione supera 0.5 secondo.
L10/14
LE TECNICHE ULTRASONICHE
Produzione di immagini dell’interno del corpo umano (Tecnica
Eco-pulsata).
Misurazione del flusso sanguigno nelle arterie (“Effetto Doppler”).
Pregi:
Basse potenze in gioco (≈ 10 mW cm-2 ), a differenza di altre
tecniche, le rendono innocue.
Ottima risoluzione temporale e spaziale.
Complementarietà con altre tecniche diagnostiche.
L10/15
GLI ULTRASUONI
Sono segnali con frequenza superiore alla percezione dell’uomo
(20 Hz ÷ 20 kHz).
Frequenze usate in medicina: 1 ÷ 10 MHz.
Le particelle del mezzo perturbate da un’onda ultrasonica
oscillano intorno alla posizione di equilibrio.
Caratteristiche importanti del mezzo sono:
•
la velocità di propagazione c nel mezzo
•
l’impedenza acustica Z
•
l’attenuazione A
L10/16
VELOCITA’ DI PROPAGAZIONE
La
velocità c di propagazione dipende dalla natura del mezzo
(E = modulo di elasticità o di Young, ρ densità).
c=
E
ρ
c=λ⋅ f
Nei
mezzi biologici c ~ 1500 m/s (simile a quella dell’acqua).
Fa eccezione l’osso con c = 4000 m/s ed il polmone c = 900 m/s.
L’esigenza
di avere risoluzioni dell’ordine di 1 mm impone
c
1500
= 1.5 mm
frequenze superiori a 1 MHz: λ = =
f 1000000
La
limitata velocità delle onde acustiche consente di misurarne i
tempi di propagazione.
L10/17
IMPEDENZA ACUSTICA
L’impedenza acustica è definita come il rapporto tra la pressione
esercitata dall’onda acustica in un punto del mezzo e la velocità
della particella corrispondente.
In generale l’impedenza acustica è una grandezza complessa.
Nel caso di onde piane l’impedenza è reale:
Z = ρ ⋅c
ρ densità del mezzo
L10/18
ATTENUAZIONE
L10/19
Tabella Riassuntiva:
Densità, Velocità, Impedenza Acustica e Attenuazione
per diversi mezzi (tessuti/organi)
ρ ( Kg m −3 ) c ( m ⋅ s −1 ) Z ( Kg m −2 s −1 )
Aria
Attenuazione
( dB cm
−1
MHz −1 )
1.3
330
429
>10
Acqua
1000
1480
1.5x106
0.002
Grasso
900
1450
1.3x106
0.6
Muscolo
1080
1585
1.7x106
1.5
Polmone
220
900
0.2x106
30
Sangue
1030
1570
1.6x106
0.18
Osso
1850
4000
7.4x106
8
L10/20
Generazione di ultrasuoni
Un trasduttore converte energia elettrica in energia meccanica
sotto forma di vibrazioni (onda ultrasonore).
Effetto piezoelettrico: proprietà di alcuni materiali di generare
una tensione elettrica in seguito ad una pressione e viceversa.
Il trasduttore è costituito da una piastrina ceramica eccitata da
due elettrodi posti su due facce parallele.
Elemento posteriore di backing per smorzare le oscillazioni.
Il trasduttore funziona sia da generatore che da ricevitore.
L10/21
Trasduttore Piezoelettrico
•
Alle frequenze usate per la diagnosi medica, il materiale utilizzato è
il Piombo Titanio Zirconato (PZT).
•
La velocità nel PZT è 4000 m/s, frequenza di risonanza quando lo
spessore è λ/2. Per f = 1 MHz, si ottiene uno spessore di 2 mm.
L10/22
Forma del fascio di ultrasuoni
Zona di Fresnel: d <
r2
λ
(campo vicino)
Zona di Fraunhofer:
d>
r2
λ
(campo lontano)
L10/23
Propagazione degli ultrasuoni
Processi di: Assorbimento, Diffusione, Riflessione, Rifrazione
Assorbimento: l’intensità dell’onda decresce con la distanza
(energia dissipata in calore).
Diffusione: l’onda incontra particelle di dimensioni simili a λ
(parte dell’energia diffusa torna al trasduttore).
Nella maggioranza dei mezzi biologici (non in acqua) nel range
1 - 10 MHz il coefficiente di attenuazione, dovuto a diffusione ed
assorbimento, è proporzionale alla frequenza.
L10/24
Riflessione e Rifrazione
In un mezzo omogeneo un’onda ultra sonica si propaga in linea
retta.
Gel tra trasduttore e pelle (adattamento dell’impedenza acustica).
Quando il fronte d’onda incontra una interfaccia (discontinuità di
impedenza acustica) parte dell’energia viene trasmessa e parte
riflessa.
Riflessione: l’angolo di incidenza è uguale all’angolo di
riflessione.
Rifrazione: l’angolo di trasmissione è diverso dall’angolo di
incidenza.
L10/25
Legge di Snell
L10/26
Legge di Snell
La rifrazione dell’onda ad una interfaccia è una funzione della
differenza di velocità nei due mezzi.
sin θi v1
=
sin θt v2
La riflessione è una funzione della differenza di impedenza
acustica dei due mezzi. Per incidenza normale:
γ riflessione
γ trasmissione
⎛ Z1 − Z 2 ⎞
=⎜
⎟
Z
Z
+
⎝ 1
2 ⎠
2
⎛ Z1 − Z 2 ⎞
=⎜
⎟
+
Z
Z
⎝ 1
2 ⎠
2
L10/27
Impedenza, Frequenza, Profondità
Se Z2 >> Z1 come nel caso di muscolo/osso tutta l’energia
incidente viene riflessa.
Si tende ad usare frequenze alte (lunghezza d’onda piccola) per
distinguere interfacce vicine.
L’attenuazione aumenta con la frequenza e quindi diminuisce la
profondità esplorabile. Coefficiente tipico:
1 dB/cm/MHz
per f = 10 MHz: 200 dB (a due vie) per 10 cm di profondità
2.5 - 5 MHz in cardiologia (12 - 6 cm)
L10/28
Forma e durata dell’ impulso
Impulso trasmesso è:
⎛ t2 ⎞
x ( t ) = A0 exp ⎜ − 2 ⎟ ⋅ cos (ω0 t )
⎝ 2τ ⎠
La risoluzione a metà altezza è pari a 2.36τ.
Indicando con ω0 la frequenza di risonanza del cristallo:
⎛ ω 2τ 2 ⎞
X (ω ) = A0τ 2π exp ⎜ −
⊗ π [δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )]
⎟
2 ⎠
⎝
•
Se τ decresce migliora la risoluzione (lo spettro si allarga).
•
Se il trasduttore è poco attenuato dallo smorzatore, l’impulso è
troppo lungo e si rischia di sovrapporre le oscillazioni della
trasmissione con i primi ritorni di segnale provenienti dai tessuti.
L10/29
Risoluzioni spaziali:
Assiale, Laterale o azimutale, Elevazione
L10/30
Tecnica ad eco-impulsi
L10/31
Tecnica ad eco-impulsi
Il cristallo emette un impulso e poi si pone in ricezione per
acquisire gli echi.
Il tempo intercorso tra emissione e ricezione misura la profondità
dell’interfaccia.
L’ampiezza dell’eco corretta per l’attenuazione misura la
differenza di impedenza acustica dell’interfaccia.
L10/32
Scansione meccanica e phased array
• Trasduttore singolo con movimento meccanico
• Trasduttore multiplo attivati in rapida successione temporale
(trasduttore ad array): scansione di tipo parallelo o settoriale
L10/33
Scansione lineare e settoriale
Scansione lineare usata
in ostetricia e vascolare.
Scansione
settoriale da
finestre acustiche
usata in cardiologia
L10/34
Display
• A Mode: il segnale di un trasduttore è inviato ad uno
oscilloscopio, posizione ed ampiezza sullo schermo sono
profondità e intensità dell’eco.
• B Mode: il segnale è inviato ad un monitor a formare una
immagine 2D, posizione e livello di grigio sono localizzazione e
intensità dell’eco.
• M Mode: il segnale di una sola linea è inviato ad un monitor, il
livello di grigio è l’intensità dell’eco, l’asse y è la profondità e
l’asse x è il tempo.
L10/35
A Mode
L10/36
B Mode
L10/37
M Mode
L10/38
Risoluzione temporale
• Alla frequenza di 3 MHz se la durata dell’impulso è uguale a 3
periodi il tempo per trasmetterlo è di 1 μs.
• La durata dell’impulso è trascurabile rispetto al tempo di andata
e ritorno dell’impulso (200 μs) dalla profondità di 15 cm con una
velocità media di 1500 m/s
• Si possono inviare 5000 impulsi/s
• se ogni immagine e’ di 120 linee possiamo acquisire 40
immagini/s
L10/39
Artefatti
L10/40
Artefatti
L10/41
Artefatti
L10/42
Flussimetria con Doppler pulsato
L10/43
EFFETTO DOPPLER NELL’ECOGRAFO
scansione
Fascetto di ultrasuoni
V
Sonda
Arteria
R
Tessuti
Segnale trasmesso
Gel di
accoppiamento
0
ΔΔϕ
ϕ=
= 2ππ ffDDTT ==
2v
= 2π 2vr T
r
= 2π λ
λ
T
2T
t
Segnale
ricevuto
I
T
0
2R
t
C
Segnale
ricevuto
Q
0
t
L10/44
EFFETTO DOPPLER NELL’ECOGRAFO
Prelevando N campioni dell’eco alle distanze (porte in distanza) della
zona di interesse (arteria) si può stimare lo spettro con la FFT.
Frequenze positive (blu) corrispondono ad avvicinamento, negative
(rosse) ad allontanamento. Uno spettro largo corrisponde a
turbolenza del flusso liquido.
H(f)
−
1
2T
Z(f)
Δf =
1
NT
f
1
2T
f
L10/45
