LE STATISTICHE QUANTISTICHE

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Le statistiche quantistiche sono applicate alla analisi di quei fenomeni macroscopici influenzati dal
comportamento quantistico degli atomi. Tra questi fenomeni ricordiamo: il comportamento
anomalo dei gas rarefatti a basse temperature (da cui il nome “gas degenere”), la superfluidità, la
superconduttività (esempio tipico di ciò è il comportamento dell’elio al di sotto di due gradi kelvin),
il paradosso di Gibbs ossia la non additività dell’entropia.
Agli inizi del novecento diverse ricerche hanno avuto come oggetto la comprensione del
campo di radiazione, la sua struttura corpuscolare o ondulatoria, nonché lo studio dell’andamento
dell’entropia di un gas e dei calori specifici a temperature bassissime. Questa ricerca portò a
rivedere la questione dei conteggi statistici. D’altra parte, già Planck nel 1900 aveva suddiviso
l’energia degli oscillatori in quanti discreti, che aveva trattato come indistinguibili tra loro. Tuttavia
il conteggio che aveva introdotto rimase alquanto misterioso per un quarto di secolo finchè nel 1924
Einstein non ricevette un lavoro di un fisico indiano, S. K. Bose e capì che conteneva un’idea molto
importante: nasceva così la statistica di Bose-Einstein. L’anno seguente Fermi e Dirac
indipendentemente l’uno dall’altro introdussero un diverso conteggio noto come statistica di FermiDirac. Questi concetti trovarono poi una loro appropriata collocazione nell’ambito della statistica
quantistica che in quel periodo riceveva una sua definitiva sistemazione. Il comportamento dei gas
degeneri veniva spiegato nell’ambito delle statistiche quantistiche. Si comprese allora che le due
statistiche spiegavano il comportamento di due classi di particelle distinte in natura: i bosoni e i
fermioni.
Per ulteriori approfondimenti si rimanda all’Appendice.
Nei materiali allegati vi è proposto un documento nel quale vengono messe in evidenza le
influenze del principio di indistinguibilità delle particelle, del principio di indeterminazione di
Heisenberg e del principio di esclusione di Pauli sui conteggi statistici. Inoltre, nel documento è
contenuto anche un confronto tra le statistiche ed in appendice, per finire, si trovano alcuni esempi
di sistemi di bosoni e di fermioni.
Tale documento, senza dubbio, non costituisce una trattazione esaustiva della statistica quantistica,
ma ha solo lo scopo di evidenziarne gli aspetti rilevanti ai fini di una trattazione didattica. Esistono
in commercio numerosi testi che trattano la statistica quantistica, ve ne suggeriamo alcuni per
ulteriori approfondimenti:
F. Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw-Hill, New York, 1965
P. M. Morse, Thermal Physics, New York: Benjamin, inc., 1965
K. Huang, Statistical Mechanics, John Willey & Sons, New York, 1963
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APPENDICE
E’ stato il fisico indiano S. N. Bose ad applicare per primo la nuova statistica in un suo lavoro del
1924 sulla radiazione del corpo nero: S. N. Bose, “Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese”, in
Zeitschrift fur Physik, 26 (1924), pp.178-181.
Nella derivazione della legge di Planck, Bose introduce delle innovazioni delle quali lui
stesso non si rese conto:
i quanti di luce sono considerati indistinguibili
il conteggio dei possibili microstati è pertanto diverso da quello di Boltzmann. Il numero
di stati microscopici è dato dal numero delle permutazioni possibili tra As elementi (le
celle), tenendo conto della presenza di p 0s , p1s … elementi ripetuti (le celle con lo stesso
numero di quanti), mentre nell’ipotesi di particelle distinguibili si sarebbe dovuto
calcolare il numero delle disposizioni possibili.
il concetto di particella con due stati di polarizzazione (quando Bose introdusse il
numero due per la polarizzazione, annotò che “sembrava necessario”)
il numero dei quanti non si conserva.
Bose non si rese conto a quel tempo della rottura con la tradizione della meccanica classica, tanto
che anni dopo scriverà:
Non mi rendevo conto di aver fatto qualcosa di veramente nuovo (…). Non ero abbastanza esperto di statistica
per capire che stavo facendo qualcosa di molto diverso da ciò che avrebbe fatto Boltzmann, dalla statistica di
Boltzmann. Invece di pensare al quanto di luce come a una particella, parlavo di questi stati. In un certo senso, fu questa
stessa domanda che mi pose Einstein quando lo conobbi: come ero arrivato a quel metodo di derivazione della formula
di Planck?
Einstein, invece, si rese conto dell’importanza del lavoro e applicò il conteggio di Bose alle
molecole di gas. Il 10 luglio 1924, durante una seduta dell’Accademia delle Scienze di Berlino,
espose la generalizzazione della nuova statistica della materia (A. Einstein, “Quantentheorie des
einatomigen idealen Gases”, in Berl. Ber. (1924), pp. 261-267 ). Einstein in questo lavoro non fa
ipotesi particolari, applica la nuova statistica e riesce a ricavare
la legge dei gas perfetti
la nota formula di Sackur-Tetrode per l’entropia
l’espressione additiva dell’entropia
l’accordo con il teorema di Nernst, ossia che l’entropia di un qualunque sistema si
annulla allo zero assoluto
Tuttavia Einstein rimane ancora alla ricerca di una spiegazione fisica del nuovo conteggio, in
una lettera a Ehrenfest scriverà a proposito della derivazione della legge di Plank derivata da Bose:
“è elegante ma l’essenza resta oscura”.
Nel 1926, in due maniere indipendenti Fermi e Dirac giungono alla formulazione dell’altra
statistica quantica. Fermi, infatti, introduce il nuovo conteggio in un lavoro nel quale riprende la
dimostrazione della formula di Sackur e Tetrode (problema già affrontato da Fermi in due lavori
precedenti del 1923 - 1924) quantizzando il gas perfetto monoatomico e usando il principio di
esclusione di Pauli del quale è intanto venuto a conoscenza (E. Fermi, “On Quantizing an Ideal
Monoatomic Gas”, in Zeitschrift fur Physik, 36, 902 (1926)). Nell’introduzione della versione
tedesca dell’articolo sulla statistica quantica , Fermi così riassume la propria ricerca:
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Se si deve ritenere valido il teorema di Nerst anche per il gas perfetto, si deve ammettere che la legge per il gas
perfetto si discosti da quella classica per basse temperature. La causa di questa degenerazione è da ricercarsi in una
quantizzazione del movimento molecolare. In tutte le teorie della degenerazione vengono sempre fatte ipotesi più o
meno arbitrarie sul comportamento statistico delle molecole, o sulla loro quantizzazione. Nel presente lavoro si
utilizzerà solamente l’ipotesi, formulata per la prima volta da Pauli e convalidata da numerosi fatti spettroscopici, che in
un sistema non possono mai esserci due elementi equivalenti i cui numeri quantici concordino completamente. Con
questa ipotesi varranno dedotte l’equazione di stato e l’energia interna del gas perfetto; il valore dell’entropia per grandi
temperature coincide con il valore di Stern e Tetrode.
Dirac, qualche mese dopo, pubblica, sui Proceedings of the Royal Society of London, un
lavoro dal titolo “On the theory of quantum Mechanics”. In questo lavoro egli utilizza i nuovi
formalismi della meccanica quantistica. Nella nuova meccanica quantistica un sistema composto da
una particella è rappresentato da una funzione d’onda di una variabile (x) mentre un sistema
composto da due particelle era rappresentato da una funzione d’onda di due variabili (x,y). Dirac
nota che se si considerano come ammissibili solo le funzioni d’onda simmetriche ( (x,y)= (y,x))
le particelle soddisfano la statistica di Bose-Einstein, mentre al contrario se si considerano come
ammissibili solo le funzioni d’onda antisimmetriche ( (x,y)= - (y,x)) si ottiene il principio di
esclusione di Pauli e la conseguente statistica di Fermi.
Ci volle ancora qualche anno prima che le due statistiche, inizialmente viste come
contrapposte, potessero, grazie soprattutto agli interventi di Dirac e di Heisenberg, convivere in
maniera pacifica. In particolare fu una fulgida intuizione del fisico tedesco che lasciò intravedere gli
stretti rapporti che intercorrono tra lo spin e la statistica.
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