Avviso
Istituzioni di matematiche 2
La prima prova intermedia si svolgerà: martedı̀ 20
aprile 2009, dalle 16.30 alle 18.30
Diego Noja ([email protected])
Cognomi dalla A alla L: aula U6-06
Cognomi dalla M alla Z: aula U6-08
6 aprile 2009
CDL Scienze della Formazione Primaria
Istituzioni di matematiche 2 – pagina 1
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Istituzioni di matematiche 2 – pagina 2
Figure simili
Definizione – Due figure del piano si dicono simili
se è possibile costruire una similitudine del piano che
manda la prima figura nella seconda.
Figure simili
Uno dei problemi che dovremo affrontare è quello di
capire quando due figure sono simili.
Avendo dato una definizione “astratta” di cosa sia
una similitudine, dobbiamo costruire gli strumenti.
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Rettangoli
Rettangoli
Questi rettangoli sono simili?
D
C
A
B
D′
C′
A′
B′
C′
D′
C
D
A′ = A
In verde abbiamo costruito una omotetia di centro A′ e k = 2.
(NOTA: in questo esempio le lettere sono fuorvianti!!)
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Rettangoli
B′
B ′C ′
D′C ′
La condizione
=
è una condizione sufficiente.
BC
DC
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Triangoli
Due rettangoli sono simili se è possibile rigirarli in modo che
detta b la base del primo rettangolo e b′ la base del secondo
rettangolo; analogamente detta h l’altezza del primo rettangolo
e h′ l’altezza del secondo rettangolo, valga la proporzione
h′
b′
=
b
h
Anche per i triangoli abbiamo delle scorciatoie
Il rapporto b′ /b = h′ /h coincide con la costante k associata alla
similitudine.
[Dispense “Misura, proporzionalità, similitudine”, p. 50]
CONSEGUENZA: due quadrati sono sempre simili.
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B
La chiave della
costruzione di questa
omotetia sta nel fatto
che
B ′C ′
D′C ′
=
BC
DC
Questo fatto mi
garantisce di poter
effettivamente costruire
l’omotetia
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due triangoli sono simili se esiste una
corrispondenza tra gli angoli del primo triangolo e
gli angoli del secondo tale che gli angoli
corrispondenti sono uguali
due triangoli sono simili se esite una
corrispondenza tra i lati del primo triangolo e i lati
del secondo triangolo tale che i lati corrispondenti
sono in proporzione
due triangoli sono simili se un angolo del primo è
uguale ad un angolo del secondo e i lati adiacenti
a questi due angoli sono in proporzione
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Bibliografia
Triangoli rettangoli
M. Cazzola, Per non perdere la bussola,
Decibel-Zanichelli, 2001.
Dati due triangoli rettangoli
C′
C
γ
b
α
A
γ′
a′
b′
a
β
c
B A′
α′
β′
c
′
B′
come possiamo stabilire se sono simili?
È utile ricordare il teorema di Pitagora: a2 = b2 + c2
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Triangoli rettangoli
Osserviamo che le condizioni di tipo
c′ /c = b′ /b
possono essere scritte invece
β = β′
γ = γ′
b′ /b = a′ /a
c′ /c = a′ /a
c′ /c = b′ /b
...
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Triangoli rettangoli
Per verificare se due triangoli rettangoli sono simili
(una volta poste le “lettere” come nel lucido
precedente) è sufficiente verificare una (una soltanto!)
delle condizioni seguenti
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b/c = b′ /c′
Questo significa che possiamo attaccare al primo
triangolo il numero b/c e possiamo attaccare al
secondo triangolo il numero b′ /c′ (questi sono infatti
due numeri che dipendono dal singolo triangolo)
e concludere che due triangoli rettangoli sono simili se
e solo se il numero che gli attacco è uguale.
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Esercizio
Triangoli rettangoli
I seguenti triangoli sono simili?
B′
k=
A′ B ′
AB
=
√
La similitudine di triangoli rettangoli permette di
determinare l’eguaglianza di angoli
5
1
C′
C
γ
b
α
A
A′
A
B
Che rapporto c’è tra le
aree dei due triangoli?
Il numero “attaccato” ad entrambi i triangoli è 1/3
Qual è il rapporto di similitudine k?
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Similitudine di triangoli rettangoli
I seguenti rombi sono simili?
γ′
a
c
b′
β
B
A′
a′
α′
β′
c′
B′
Se so che b/c = b′ /c′ allora posso dedurre che β = β ′ ,
e cosı̀ via. . .
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Similitudine di triangoli rettangoli
Conseguenze
la similitudine di triangoli rettangoli mi permette
di stabilire se due segmenti sono o meno allineati
C
B
La similitudine dei triangoli evidenziati garantisce la
similitudine dei rombi.
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A
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Similitudine di triangoli rettangoli
La similitudine di triangoli rettangoli mi permette di
costruire angoli retti “storti”
Gli angoli sulla sinistra sono la metà di un angolo
retto.
Angoli retti
Osserviamo ora i due segmenti
α
β
Accostandone due otteniamo perciò un angolo retto
β
α
Non conosciamo le misure degli angoli acuti dei triangoli, le
indichiamo perciò con α e β. Tutto quello che sappiamo è che la
somma delle misure α e β è di 90 gradi.
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Angoli retti
Esempio
In altre parole noi sappiamo che α + β = 90◦
e vogliamo valutare la misura dell’angolo contrassegnato dal
punto di domanda
Costruiamo un segmento perpendicolare al segmento
β ? α
Operando sulle misure si ha 180◦ − (α + β) = 180◦ − 90◦ = 90◦
Si tratta cioè di un angolo retto.
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Utilizziamo i due triangoli
uguali!)
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e
che sono simili (sono
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Angoli retti
Poligoni in posizioni “non standard”
Si tratta di disegnare i due triangolini l’uno vicino
all’altro in modo formino un angolo retto
Il saper costruire angoli retti “storti” ci permette di
sfruttare appeno le potenzialità della carta a quadretti
e disegniare esempi di poligoni “storti”
Triangoli rettangoli
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Poligoni in posizioni “non standard”
Triangoli isosceli
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Poligoni in posizioni “non standard”
Trapezi rettangoli
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Poligoni in posizioni “non standard”
Rombi
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Rettangoli
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Poligoni in posizioni “non standard”
Quadrati
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Poligoni in posizioni “non standard”
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