Risoluzione Problemi proposti nei video visti in classe: 1. Problema del Colpevole e Innocente e della prova biologica Positiva o Negativa: 1 2 p (C ) = ; p ( I ) = 3 3 p ( P C ) = 1; p ( N C ) = 0 p(P I ) = Colp. 13 ↗ 1 15 ; p( N I ) = 16 16 1 Positiva 0 Negativa ← Innoc. 2 3 ↘ 1 16 Positiva ← 15 16 Negativa p ( P ) = p (C ) ⋅ p ( P C ) + p ( I ) ⋅ p ( P I ) 1 ⋅1 p (C ) ⋅ p ( P C ) 8 3 p (C P ) = = = ... = 1 2 1 p(P) 9 ⋅1+ ⋅ 3 3 16 Inizialmente la probabilità che fosse colpevole era 1/3 (circa 33%) e dopo lo svolgimento della prova biologica si trova che è 8/9 (circa 88%) !!! 2. Problema Monty Hall Sia: A=”l’auto è nella 1^ porta”; B=”l’auto è nella 2^ porta” C=”l’auto è nella 3^ porta” Sono tre eventi equiprobabili: p(A)=p(B)=p(C)=1/3. Supponiamo che il concorrente scelga la porta n. 2. Si ha: p(B)=1/3 e p(A∨C)=2/3 perché A e C sono incompatibili. Il presentatore (che sa dove si trova l’auto) apre, supponiamo, la porta n.3 (dove c’è la capra). Si ha: p(C)=0 e p(A∨C)=p(A)+p(C)=p(A)=2/3 Segue che resta p(B)=1/3 e P(A)=2/3 e quindi il concorrente se cambia la sua scelta ha una probabilità maggiore di vincere l’auto: 2/3>1/3. Chi dice che è indifferente cambiare perché ha probabilità al 50% (perché è 1/2) di vincere l’auto scegliendo fra due possibilità di porte rimaste, si sbaglia perché in questo problema c’è da considerare che il presentatore sa dove si trova l’auto e questa informazione aggiuntiva altera il valore della probabilità.