ORDINE DEGLI INGEGNERI DELLA PROVINCIA DI CAGLIARI
Commissione Energia e Impianti tecnologici
Corso di aggiornamento EFFICIENZA ENERGETICA DEL SISTEMA EDIFICIO‐IMPIANTI.
L’INVOLUCRO E GLI IMPIANTI TECNOLOGICI IN EDILIZIA
Cagliari 19 febbraio 2009
Termodinamica
Trasmissione del calore
Psicrometria
Prof. ing. Carlo Bernardini
UNITA’ DI MISURA
Grandezze fondamentali del sistema SI
Prefissi e loro simboli per multipli e sottomultipli decimali
Forza
F=m a
N = kg m / s2
Pressione
P= F/S
Pa = N / m2
Energia
L= F s
J=N m
P= E/ t
W=J/s
( lavoro,calore)
Potenza
Potenza( W ) = Energia ( J ) / tempo ( s )
Quando si parla di energia elettrica, l'unità di misura utilizzata convenzionalmente è il
Wattora (Wh). Il Wattora corrisponde a 3.600 Joule.
La potenza si misura in Watt
potenza tempo = W s =
W h = (J / s)
(J / s) s = J = Energia
s 3600 = 3600J = Energia
1° Principio della Termodinamica
Per ogni sistema in equilibrio termodinamico è definibile una proprietà interna funzione di stato detta ENERGIA INTERNA
Per un sistema termodinamico chiuso e in quiete
le variazioni di energia interna U sono date dalle relazioni
∆U = Uf – U i = Q + W
dU = δ Q + δ W
U = Energia Interna Q= Calore W = Lavoro
In seguito a qualsiasi trasformazione Per un sistema isolato
( che non scambia né energia ne materia con
l’ambiente circostante )
l’energia totale rimane costante
Ec = ENERGIA CINETICA
E = EC + EP + U
Per un sistema in quiete
∆ESIS ISOL = 0
quindi
∆USIS ISOL = 0
Ep = ENERGIA POTENZIALE
U = ENERGIA INTERNA
Enunciati del secondo principio
•Enunciato di Clausius
•Il calore fluisce spontaneamente da una sorgente a temperatura più elevata verso una a temperatura più bassa;
•Enunciato di Kelvin
•Non è possibile ottenere lavoro ciclicamente avendo a disposizione solo una sorgente di calore;
•Enunciato di Carnot
•Non é possibile costruire una macchina avente un rendimento di trasformazione
maggiore della macchina di Carnot che evolve reversibilmente fra due sorgenti di calore a temperatura T1 e T2 mediante due trasformazioni isoterme e due adiabatiche. Si ricordi che per rendimento di trasformazione (h) si intende il rapporto fra il lavoro netto (Ln) ottenuto da un ciclo e il calore ceduto (Q) al fluido: cioè si ha: η = Ln/Q.
•Enunciato di Duhem
•Una trasformazione reversibile più la sua inversa non lasciano traccia nell’ambiente.
Enunciato di Carnot
•Le trasformazioni termodinamiche che compongono questo ciclo sono: due isotermiche e due adiabatiche reversibili. Con un semplice bilancio al sistema termodinamico indicato in figura si ottiene il lavoro che la macchina fornisce e che risulta :
•
L=Q1 ‐ Q2
•Il rendimento di trasformazione del ciclo vale, in generale:
L Q1 − Q2
Q2
η= =
= 1−
Q1
Q1
Q1
•
•e si dimostra che solo per la macchina di Carnot si ha anche:
Q2
T2
η =1−
=1−
Q1
T1
•L'enunciato di Carnot afferma che è sempre :
•
η = 1−
Q2
T
≤ 1− 2
Q1
T1
Exergia ‐ Anergia
•Se consideriamo la macchina di Carnot (che, ricordiamo, é quella che ha rendimento termodinamico massimo rispetto a tutte le macchine reali che l'uomo può costruire) si ha:
•
⎛
T ⎞
L max = Q1 ⎜ 1 − 2 ⎟
T1 ⎠
⎝
•ove con Lmax si intende il lavoro massimo (detto anche exergia) che si può ottenere dalla quantità di calore Q1 e il fattore in parentesi tonda é, com’è facile riconoscere, il rendimento di Carnot (che é il massimo possibile!). •La differenza rispetto a Q1 é il lavoro perduto cioè quella parte di energia termica che non si può più trasformare in lavoro qualunque sia il ciclo o la trasformazione che immaginiamo. Tale quantità é detta anergia , indicata con A, e vale:
A = Q1
T2
T1
•
•Ora l’anergia si può scrivere anche in diverso modo utile alla comprensione del concetto di entropia:
•
•essendo DS=Q1/T1 la variazione di entropia del serbatoio caldo. T2
A = Q1 = T2ΔS
T1
Entropia nei processi naturali •Assumiamo che la una quantità di calore Q1 passi dal serbatoio a Temperatura T1 al serbatoio a temperatura T2
.
•Si ha una perdita di lavoro (e quindi perdita di exergia
o produzione di anergia) pari a:
⎛1 1⎞
ΔL = L1 − L2 = QT
− ⎟
1 0⎜
⎝ T2 T1 ⎠
Δ
L
=
Δ
A
=
T
0
Δ
s
i
r
r
Tipico andamento indicativo dell’ energia totale e dell’ exergia di un sistema isolato (il quale comprenda anche l’ambiente di riferimento)
Energia Totale
(sempre, quantitativamente costante)
Exergia Totale
(mai in aumento)
ANERGIA
Exergia Utilizzabile
EXERGIA TOTALE
Tempo
Studio del processo exergia-entropia
Cessione di energia
T2
T2 < T1
T1
Cessione di calore
Energia
Cessione di vibrazione
degli atomi
Entropia
Exergia
Exergia consumata = Te x entropia generata
Studio del processo exergia-entropia
Edificio convenzionale Italiano (dati ENEA)
200 m² di superficie abitabile
Edificio a basso consumo energetico
185 m² di superficie abitabile
Edificio Passivo
185 m² di superficie abitabile
Edificio passivo
Consumo energetico per il riscaldamento
106 kWh/m²a
68% Consumo energetico per produzione acqua calda 20 kWh/m²a
12%
Consumo energetico per l'illuminazione e cucina
31 kWh/m²a 20%
Consumo energetico complessivo
157 kWh/m²a
100%
Consumo energetico per il riscaldamento
69,5 kWh/m²a
69% Consumo energetico per produzione acqua calda
11 kWh/m²a
12%
Consumo energetico per l'illuminazione
16 kWh/m²a
19%
Consumo energetico complessivo
86,5 kWh/m²a
100%
Consumo energetico per il riscaldamento e ventilazione 15 kWh/m²a
36%
Consumo energetico per produzione acqua calda 11 kWh/m²a
26%
Consumo energetico per l'illuminazione
16 kWh/m²a
38%
Consumo energetico complessivo
42 kWh/m²a
100%
15 kWh/(m2a)
42 kWh/(m2a)
Studio del processo exergia-entropia
Efficienza exergetica e coefficiente di utilizzazione
E*in= E*out+I*
Efficienza exergetica con exergia di passaggio
TRASMISSIONE DEL CALORE
I principi della termodinamica governano la trasmissione del calore:
A= in assenza di flussi di lavoro la quantità di calore trasferito in ( o da ) un sistema
uguaglia l’entità dell’incremento ( o decremento ) di energia del sistema;
B= il calore si propaga nella direzione delle temperature decrescenti da una regione
ad alta temperatura a un’altra regione a temperatura inferiore.
Requisito essenziale della trasmissione del calore è l’esistenza
di una differenza di temperatura:
•essa costituisce per la trasmissione del calore la forza motrice, così come la
differenza di tensione lo è per un flusso di corrente elettrica e la differenza di
pressione per una corrente fluida.
•Infatti, come è noto dalla termodinamica, posti a contatto due corpi a temperature
diverse, si assiste ad un processo irreversibile di scambio di energia: sostanzialmente
il corpo a temperatura maggiore cede calore a quello più freddo, fino al
raggiungimento di uno stato finale, in cui la sua temperatura, ora intermedia fra le
due temperature di partenza, uguaglia quella del corpo ricevente.
Meccanismi di scambio termico
Tali fenomeni, tra loro indipendenti, si possono sovrapporre. Concentrandosi
sull’aspetto energetico della questione, si definisce la grandezza primaria che
rappresenta la velocità dello scambio termico, cioè la densità di flusso di calore
(energia per unità di tempo e di superficie) misurata in W/m2.
Obiettivo del nostro studio è la determinazione della potenza termica scambiata per
unità di superficie in varie situazioni.
In generale esistono forme relativamente semplici che legano lo scambio termico e le
temperature in gioco, secondo delle relazioni di tipo causa effetto:
E’ la differenza di temperatura a causare il flusso di calore .
Meccanismi di scambio termico
TRASMISSIONE DEL CALORE PER CONDUTTIVITA’ INTERNA.
Supponiamo di considerare un corpo, il calore si trasmette al suo interno, solo tra due
punti aventi diversa temperatura, e quindi in generale si avrà trasmissione di calore
se la temperatura non è uniforme. Si considerino l’insieme dei punti del corpo aventi
la stessa temperatura, ossia si considerino delle superfici isoterme. È chiaro che tra
due punti che si trovano sulla medesima superficie isoterma, non si avrà trasmissione
di calore.
Si noti che la conoscenza delle superfici isoterme descrive perfettamente il campo
termico all’interno del corpo. Le traiettorie lungo le quali si trasmette il calore
all’interno del corpo prendono il nome di linee di flusso termico o anche linee di
trasmissione, e sono in ogni punto ortogonali alle superfici isoterme.
Quindi il flusso di calore avverrà in direzione normale (perpendicolare) alla superficie
isoterma.
Sezione Parete
T1
T1 > T2
Superfici isoterme
T2
POSTULATO DI FOURIER
∂T
dQn = − λ ⋅ dA ⋅ d τ ⋅
∂n
Il fattore di proporzionalità che abbiamo indicato con “λ”, rappresenta la conduttività
termica interna.
Si definisce invece potenza termica il rapporto:
dQ
dq =
dτ
La conduttività termica interna “λ“ può essere definita come il flusso di calore che si
trasmette attraverso superfici unitarie con gradiente unitario nell’unità di tempo .
Passando alla definizione dimensionale e alla unità di misura nel Sistema
Internazionale, possiamo quindi dire che conduttività termica interna rappresenta la
potenza termica scambiata (W) tra due superfici unitarie alla distanza di un metro con
una differenza di temperatura di 1 K.
Si tratta di un fattore che rappresenta le caratteristiche fisiche di un materiale, e per un corpo omogeneo ha un valore costante.
Si definisce λ:
“λ“= [ joule / ( secondo x metro x grado ) ]
Tenendo conto che 1 Watt = 1 joule / secondo si ha:
λ= [ W / ( m K ) ]
Sulla base del valore di λ si definisce :
Conduttore
λ~100 W m‐1 K‐1
Materiale con caratteristiche intermedie
λ~10 W m‐1 K‐1
Isolante
λ~ 0.01 ÷ 0.02 W m‐1 K‐1
EQUAZIONE DI FOURIER O DEL CALORE
Possiamo introdurre la diffusività termica a, ovvero costante di diffusione termica che
rappresenta una costante fisica caratteristica del materiale.
DIFFUSIVITA’ TERMICA
In base a tale parametro possiamo scrivere l’equazione di Fourier nel modo seguente:
∂T
a ⋅∇ T =
∂τ
2
Il nostro scopo è quello di trovare una funzione che descrive il campo termico, ossia T = T (x, y , z,τ )
Questa funzione può essere ottenuta integrando l’equazione
differenziale di Fourier e tenendo conto delle opportune condizioni
al contorno.
Se supponiamo che il regime sia stazionario, ossia la distribuzione delle temperature
e il flusso termico trasmesso sono indipendenti dal tempo, si ha:
∂T
=0
∂τ
L’equazione di Fourier diventa pertanto:
∇ 2T = 0
Si tenga però presente che la quantità di calore trasmessa dipende non solo dalle
temperature, ma anche dalla conduttività termica “λ” Pertanto anche nel caso di
regime stazionario non possiamo dire che il fenomeno della trasmissione del calore
sia indipendente dalle proprietà fisiche del corpo.
Lastra piana in regime stazionario
Si consideri una lastra piana, di spessore costante S, di un materiale con
conducibilità termica λ costante, infinita, che ha quindi una dipendenza spaziale
unidimensionale, e le cui due pareti perimetrali sono forzate rispettivamente alle
temperature T1 e T2; si determini il profilo della temperatura dentro il materiale e la
densità di flusso di calore complessivamente scambiato da una parete all’altra
attraverso il corpo
T1
T2
S
x
Si noti come, secondo quanto già preannunciato, l’andamento della temperatura
nella lastra infinita di spessore S sia lineare, così come lineare è anche il legame tra la
variazione di temperatura e il flusso di calore conseguente.
A
= λ ⋅ ⋅ (TA − TB )
s
τ
q
Questa è l’espressione normalmente usata ma bisogna sempre ricordare il suo campo
di validità :
La relazione è valida in regime di temperatura
In regime di temperatura
STAZIONARIO
NON STAZIONARIO
flusso di calore trasmesso è funzione della Diffusività
invece il
Termica “ a”
Divisorio piano multistrato in regime stazionario
Supponiamo il flusso Q unidirezionale normale alla parete, e la parete abbastanza
grande per evitare effetti di bordo
Tutte le superfici parallele alle facce limite sono isoterme perché il flusso di calore
avviene ortogonalmente a queste. Sia T1 la temperatura della superficie 1 e T2 la
temperatura della superficie 2. Con T’ e T” indichiamo le temperature incognite
delle superfici isoterme a e b che separano tra loro lo strato 1 dal 2 e lo strato 2
dal 3
Vogliamo conoscere il flusso di calore che si trasmette attraverso il divisorio.
Scriviamo la relazione supponendo che la superficie sia piana ed unitaria
(A=1mq). Il flusso di calore nell’unità di tempo sarà uguale alla potenza termica
emessa pari a:
Analogamente:
In regime stazionario il flusso che passa attraverso i vari strati è lo stesso:
q1 = q2 = q3 = q
1)
q⋅
s1
λ1
= T1 − T I
TI
T1
TII
T2
q1
2)
q⋅
s2
λ2
λ1
λ2
= T I − T II
λ3
q2
q3
3)
q⋅
s3
λ3
q
= T − T2
II
S1
S2
S3
Sommando e mettendo in evidenza:
T1 − T2
q=
s1 s2 s3
+ +
λ1
λ2
λ3
Nel caso più generale, per una parete con “n” strati , in regime stazionario
si avrebbe:
T1 − T2
q= n
si
∑
i =1
λi
In questa relazione si definisce: s
λ
λ
s
RESISTENZA TERMICA DELLO STRATO CONDUTTANZA DELLO STRATO
Se abbiamo un parete in cui sia nota la conduttività termica, gli spessori e le
temperature delle facce estreme, possiamo sapere il flusso di calore che fluisce
attraverso la parete.
Noto q posso ricavare dalla 1) il valore T’ e dalla 2) il valore T”;
cioè posso ricavare il profilo termico della parete o meglio l’andamento dei valori
delle temperature nelle facce estreme dei rispettivi strati.
Regime variabile Regime variabile (non stazionario) si ha per esempio nel caso di una variazione
repentina della temperatura di una delle due facce limite di una parete, osserviamo
che il regime di temperatura nella parete si può raggiungere a profondità più o meno
elevate, a seconda di come varia a ( diffusività termica ).
In sintesi, un repentino crollo di temperatura può essere avvertito, attraverso le
diverse sezioni trasversali della parete dopo un tempo estremamente variabile, in
funzione del parametro a .
Conducibilità termica = attitudine di un materiale a condurre il calore.
Capacità termica (densità x calore specifico a calore costante) = quantità di
energia che un materiale è in grado di accumulare per unità di volume.
Diffusività termica = rapporto del calore trasmesso per conduzione rispetto al
calore accumulato per unità di volume.
Un materiale con elevata conducibilità termica oppure con bassa capacità termica,
ovviamente avrà una grande diffusività termica. Un alto valore della diffusività
termica indica una veloce propagazione del calore, mentre un basso valore di
diffusività termica indica che il calore è prevalentemente accumulato nel materiale.
Se la scelta della diffusività termica della parete a, è avvenuta in maniera
opportuna, le oscillazioni di temperatura che rilevo all’esterno (innalzamenti o
abbassamenti della temperatura limite della faccia esterna di una parete muraria)
potrebbero non essere rilevati sulla faccia interna della parete.
Se abbiamo progettato pareti con un certo valore di a, nel caso, per esempio, di una
gelata notturna, i tempi in cui all’interno ci si accorge dell’evento esterno sono
talmente lunghi che si possono ritenere trascurabili (all’interno non ne risentiamo).
La parete muraria di un edificio funziona come una “spugna”, nel senso che il calore
assorbito durante il giorno, viene ceduto, progressivamente, all’abbassarsi della
temperatura esterna, verso l’interno, senza che le persone all’interno se ne
accorgano.
CONDUZIONE TERMICA IN REGIME VARIABILE E CONDUZIONE IN CAMPO TERMICO MONODIMENSIONALE
Equazione generale della conduzione termica
Dall'equazione generale della conduzione termica
Dove:
a = Diffusività termica
Operatore di Laplace
Un esempio di trasmissione per conduzione in
regime variabile
è quello che riguarda il comportamento termico di una parete supposta
seminfinita
sottoposta, sulla faccia libera, a un'oscillazione di
temperatura T in funzione del tempo τ di tipo sinusoidale attorno a un
valore medio Tm
In questo caso l’equazione generale deve essere risolta con le seguenti condizioni al contorno:
θ rappresentala semiampiezza di oscillazione della temperatura, e quindi risulta:
La grandezza ω è detta pulsazione ed è legata al periodo di oscillazione τ0 dalla
relazione:
Se il regime periodico risulta completamente instaurato, si parlerà di regime
periodico stabilizzato,
L'integrale particolare dell'equazione di Fourier che
rappresenta il regime periodico stabilizzato indica
che la temperatura del generico piano isotermico
interno al mezzo seminfinito considerato, a una
distanza x dalla faccia limite, risulta pari a:
L'analisi della espressione precedente mostra che all'interno della parete un
qualsiasi punto a distanza x dalla faccia limite ammette un'oscillazione di
temperatura ancora di tipo periodico, con periodo pari a quello che
caratterizzava la faccia limite stessa; rispetto a quella iniziale, tale
oscillazione risulta essere ancora intorno allo stesso valore
medio Tm, ma di ampiezza ridotta e ritardata nel tempo.
l'ampiezza della semiescursione di temperatura alla profondità
x è legata a quella iniziale dalla relazione che definisce lo
smorzamento µ dell'oscillazione di temperatura:
il tempo di ritardo o sfasamento, cioè il tempo necessario
affinché si risentano i massimi e i minimi di temperatura rispetto
all'istante in cui essi si verificarono sulla faccia limite, si calcola
in corrispondenza dell'annullamento della funzione seno:
Sia lo smorzamento sia il tempo di ritardo dipendono dal
prodotto (βx): all'aumentare di quest'ultimo essi
aumentano, e quindi sono correlati alla profondità x e al
fattore fisico β che, come si può notare, ha le dimensioni
dell'inverso di una lunghezza.
Il fattore β a sua volta dipende dalle caratteristiche del
materiale, in particolare da quelle che nel regime variabile
sono ben rappresentate dal valore della diffusività termica
a:
Dalle relazioni precedenti e ricordando la definizione di diffusività a, si nota che:
•Una diminuzione della diffusività è un indice di elevata inerzia termica
rispetto alla capacità che il materiale ha di trasferire calore per
conduzione.
•Un aumentare della diffusività è un indice di bassa inerzia termica
REGIME PERIODICO STABILIZZATO
Un metodo semplificato per risolvere il problema è quello del cosiddetto
regime periodico stabilizzato: si suppone cioè che mentre la temperatura
interna rimane costante (a mezzo di un impianto) quella esterna vari con
legge periodica sulle 24 ore.
In tale ipotesi il flusso termico specifico che attraversa la parete
(supposta omogenea) può essere espresso mediante la:
dove:
• µ smorzamento,
• φ il ritardo di fase,
• θ la semiampiezza di oscillazione, = Tmax ‐ Tm
• hj il coefficiente di adduzione interno,max m
• Ti la temperatura (costante) dell'ambiente interno,
• Tm la temperatura media esterna attorno alla quale oscilla, con periodo
fissato, la temperatura dell’aria esterna
INERZIA TERMICA “estate”
Attenuazione “A” e Sfasamento “Φ” dell’onda termica per effetto
dell’inerzia di una parete
T
Esterno
Interno
A’max
Amax
t’max tmax
h
Φ
Φ = T’max – Tmax
L’inerzia termica agisce con un effetto di smorzamento
dell’ampiezza dell’onda termica esterna che si ripercuote dalla
parte opposta della parete attenuata e sfasata.
Come è già stato anticipato la descrizione del comportamento
dinamico di una parete composta da più strati, è un problema
matematico complesso che comporta la soluzione di equazioni
differenziali alle derivate parziali.
La soluzione può essere ricercata con tecniche diverse tra le
quali si ricordano:
•il metodo delle funzioni di trasferimento fondato sulla trasformata Z;
•il metodo dell'analisi armonica fondato sulle trasformate di Fourier;
•Le differenze finite;
•gli elementi finiti;
•la costante di tempo termica TTC;
•Il metodo a parametri concentrati o "lumped parameters”.
TRASMISSIONE DI CALORE PER CONVEZIONE
La trasmissione del calore per convezione si verifica
ogni volta che un corpo viene posto in un fluido che si
trovi a una temperatura diversa da quella del corpo
stesso.
Se un fluido generico a temperatura T1
Tp
T2
Lambisce la superficie di una parete a temperatura Tp
Scambio di energia T1
Il fluido acquista calore e raggiunge una nuova temperatura T2
In questo caso il gas asporta energia sotto forma di temperatura, pertanto,
dal punto di vista del bilancio energetico, l’acquisto o la cessione di calore è
accompagnato da una variazione di entalpia del fluido che arriva con una
bassa entalpia e se ne va via ad una entalpia più alta.
Si può dire che un flusso di calore “q” che si trasmette per convezione è
proporzionale alla differenza di temperatura che c’è tra la parete ed il fluido
indisturbato (T1‐T2), all’area della parete A, attraverso un coefficiente di
proporzionalità “hc” che chiamiamo COEFFICIENTE DI CONVEZIONE.
q = hc ⋅ A ⋅ (T1 − T2 )
In questo modo si è determinata una relazione matematica che ci permette di
calcolare il flusso di calore che avviene per convezione tra la parete ed il fluido.
Il problema è che hc non è nota e la sua determinazione è complicatissima.
Dall’esperienza si sa che maggiore è la differenza di temperatura e l’area “A”,
maggiore è il flusso di calore; ma non si conosce il coefficiente di proporzionalità hc
Per questo tutti gli studi hanno mirato e mirano a conoscere e definire l’espressione
del coefficiente di convezione hc
L’esperienza ha mostrato che esso è funzione delle seguenti grandezze:
CONVEZIONE FORZATA (A)
hc = funz (λ , μ , L, ρ , c p , u )
CONVEZIONE NATURALE (B)
hc = funz (λ , μ , L, ρ , c p , a , g , θ )
Coefficiente di Convezione
La convezione può essere quantificata usando un coefficiente di convezione h definito dalla relazione empirica
Q = hc ( Tp ‐ T∞ )
Q
Tp
Flusso di calore
T∞
Temperatura del fluido in un punto lontano dalla superficie
Temperatura della superficie solida
N.B.: questa definizione non è corretta in quanto hc è definito come “coefficiente”
pur non essendo una grandezza adimensionale.
hc = W / m2 K
Il coefficiente di convezione non è una quantità costante ma dipende dalla
geometria della superficie, dalla velocità, dalle proprietà fisiche del fluido e spesso
anche dalle differenze di temperatura.
Tuttavia, volendo conoscere la potenza complessiva scambiata, risulta più comodo
introdurre il suo valore medio che prende il nome di coefficiente di convezione
medio (o valore integrale del coefficiente di convezione).
Risolvere un problema di convezione
significa ricavare il valore di hc
h = f (λ, ρ, μ, L, t, w, g, β )
Immaginiamo di cercare la soluzione del problema convettivo più complesso possibile
che è quello in condizioni di convezione mista e moto turbolento (che è il caso più
generico in cui compaiono convezione mista e convezione forzata) e di voler calcolare
locale (infatti la scelta del valor medio abbasserebbe di uno il numero di variabili
adimensionali introducendo una nuova equazione). Il teorema ci viene in aiuto
dicendo che i numeri primi indipendenti (gruppi adimensionali) sono quattro.
Se prendiamo un numero superiore di variabili quelle in eccesso saranno esprimibili
in funzione delle prime quattro.
Tradizionalmente si predilige prendere
x
Nu,
Re,
Gr,
Pr,
come variabili indipendenti i numeri puri:
L
Nu (Numero di Nusselt)
Nu= f Re, Gr , Pr,
x
L
Coefficiente di convezione adimensionato
*Nu =
hcL
λ fluido
L
= lunghezza caratteristica del problema
= il coefficiente di convezione locale
hc
λ fluido = conducibilità del fluido
A questo punto per ricavare il coefficiente di convezione basta trovare il legame x
funzionale e sostituirlo nella (*) al posto di Nu
f Re, Gr , Pr,
L
Nu = C ReaPrbGrc x
La formula generica delle
funzioni tabellate nei libri è
d
L
da determinare in base alla
particolare situazione geometrica,
termica e dinamica.
C, a, b, c, d
x
La variabile adimensionale indipendente L si chiama ascissa asimensionale ed è
un parametro addizionale in cui figurano la coordinata x e la lunghezza
caratteristica L; esso mi dice in che punto della mia geometria mi trovo.
La scelta di L è estremamente importante. Potremmo dare diverse definizioni di L
a seconda del problema in cui ci troviamo; ad esempio, per un fluido che scorre in
un tubo, la lunghezza caratteristica potrebbe essere il diametro del tubo, ma ci
sono casi in cui potrebbe essere anche il diametro del tubo. Quindi L non è
sempre la stessa e per lo stesso problema si potrebbe attribuirne significati diversi.
Numeri puri e significato fisico
Coefficiente di convezione adimensionato
Numero di Nusselt: Nu = hc L / λ
L = lunghezza caratteristica del problema.
hc = coefficiente di convenzione
λ = conduttività termica interna
qconvezione = hc ΔT
qconduzione = λ ΔT / L
qconvezione / qconduzione = hc ΔT / ( λ ΔT / L ) = Nu
Numero di Reynolds: Re = L ρ w /μ = L w / ν
L = grandezza geometrica caratterizzante lo scambio di calore
w = velocità media del fluido
m =viscosità dinamica del fluido
r = densità del fluido
n = μ / ρ = viscosità cinematica del fluido
Numero di Reynolds = (forze di inerzia) / (forze di attrito viscoso)
Numero di Grashof:
Gr = g β L3 ( Tp ‐ T∞ ) / n2
n = μ / ρ = viscosità cinematica del fluido
g = accelerazione di gravità
b = coefficiente di dilatazione cubica
Numero di Grashof = (forze di galleggiamento) / (forze di attrito viscoso)
Il “coefficiente” β indica la variazione di volume specifico in rapporto alla variazione
di tempo a pressione costante
V = volume T = temperatura per un gas perfetto pV=RT
dV
1
.
β =
ricavando V = (RT)/p si ha β = R/(Vp)= 1/T
dT
V
ρ= cost
con [β] = 1/ °K
Numero di Prandtl:
Pr = cp μ / λ
Pr = ν / D D = λ / ρ cp
dove D rappresenta la diffusività termica
con c chiamiamo il calore specifico ed in particolare useremo cp (calore specifico a pressione costante) per i gas.
In sostanza Pr indica la tendenza di un fluido a trasportare quantità di moto piuttosto che calore.
TRASMISSIONE DI CALORE PER IRRAGGIAMEMNTO
In generale un qualsiasi corpo è soggetto simultaneamente ad un
flusso di energia entrante in esso e ad uno uscente da esso, che
sono gli effetti dell’interazione termica con l’ambiente in cui si trova.
Se si considerano due corpi, ognuno di essi emetterà energia verso
l’ambiente circostante, quindi ognuno di essi riceverà energia
dall’altro corpo. Ovviamente queste energie saranno nel caso più
generale diverse; se, infatti, fossero uguali non si vedrebbe alcuna
variazione nello stato dei corpi, che recupererebbero la stessa
energia persa.
E
1
A
E
1
B
E2
Scambio di energia tra due corpi
E
2
Energia emessa da un corpo reale in funzione della lunghezza d’onda
Assorbimento di energia
Potere emissivo specifico del corpo nero alle varie temperature
Esempio di corpo nero
Legge di Rayleigh‐Jeans e Planck: la curva sperimentale
coincide con quella di Planck
Corpo nero e grigio a confronto
Angolo solido
Esempio di solido fotometrico
Solido fotometrico del corpo nero
Solido fotometrico uniforme di un corpo non nero
Sono poche le sorgenti di radiazione elettromagnetica che emettono Questo tipo di radiazioni, una
delle Quali è la lampada laser.
Gli altri corpi emettono simultaneamente su un ampio spettro di freQuenze, compiendo una
cosiddetta emissione in banda larga.
Nell’ambito della emissione di radiazioni luminose raramente lo spettro è continuo, è in banda
larga ma presenta delle discontinuità.
Se andiamo ad analizzare l’energia totale emessa dal corpo in funzione della lunghezza d’onda,
scopriamo che la stessa non è distribuita uniformemente, ma presenta un andamento irregolare
nel Quale si susseguono avvallamenti e cuspidi, anche molto selettive (fianchi stretti e ripidi).
Questo si vede bene per i gas, che sono molecole semplici, con atomi costituiti da pochi elettroni
che presentano pochi stati eccitabili.
Quindi ammettono un'emissione di energia significativa solo per un ridotto numero di righe
spettrali.
L’idrogeno, per esempio, presenta un solo elettrone che può assumere un numero ridotto di stati
eccitati
Proprio per il ridotto numero di combinazioni le righe spettrali di Questo gas sono 5.
Spettro di emissione dell’idrogeno nelle frequenze del visibile
Per sostanze più complesse, che presentano più atomi e magari con un
elevato numero di elettroni l’analisi spettrale dell’energia emessa ha un
aspetto quasi continuo e non più Quello di un oscillatore che ha frequenze
ben precise.
Siamo di fronte ad un fenomeno simmetrico: l’elettrone che da uno stato
eccitato si porta in una condizione di minore energia emette un fotone ad
una determinata lunghezza d’onda, ma nel momento in cui sotto l’azione di
una luce bianca è eccitato assorbe un fotone alla stessa frequenza,
caratteristica della particolare transizione.
Il campo di frequenze delle onde elettromagnetiche occupa un ampio
spettro che si estende dai raggi gamma alle onde lunghe, la cui suddivisione
interna è rappresentata nello schema sotto.
Si noti che le scale utilizzate nella rappresentazione sono di tipo logaritmico
Si può definire operativamente la luce visibile come Quella radiazione
elettromagnetica a cui l’occhio è sensibile. La sensibilità di osservatori
individuali può variare, ma tipicamente l’uomo è in grado di vedere la
radiazione nell’intervallo di frequenze d’onda che va da 400nm a 700nm
(che corrisponde all’intervallo di frequenze che va da 7x1014 a 4x1014 Hz).
All’interno di Questo intervallo la sensibilità a differenti lunghezze non è
affatto costante. La figura riporta una rappresentazione della variazione
della sensibilità di un osservatore standard a radiazioni di differente
lunghezza d’onda ma di uguale intensità sulla regione visibile dello spettro
La massima sensibilità si ha nei dintorni di 555nm, che corrisponde ad una lunghezza di colore giallo‐verde
Sotto l’aspetto del trasporto energetico
nessuna frequenza è trascurabile, ma per
applicazioni terrestri, il campo di frequenze
che interessano il nostro studio si estende
dall’estremo superiore della radiazione solare
(ultra violetto) fino alle onde radio (da 0,4 nm
a qualche millimetro delle microonde). Dal
punto di vista tecnico il settore che ci interessa
di più è quello degli infrarossi poiché in esso
spontaneamente i corpi emettono la maggior
parte dell’energia.
J ( W/m2 )
ε(λ,T) = dJ/dλ
emittanza monocromatica
J = ∫ ε (λ,T) dλ
∞
0
Coefficienti di assorbimento (a) riflessione (r) trasmissione (t)
α(λ,T) = r (λ,)assorbito / r (λ,)
ρ(λ,T) = r (λ,)riflesso / r (λ,)
τ(λ,T) = r (λ,)trasmesso / r (λ,)
dove
r (λ) = radiazione incidente alla lunghezza d’onda λ
r (λ)assorbito =
radiazione assorbita
r (λ)riflesso =
radiazione riflessa
r (λ)trasmesso = radiazione trasmessa
con
r (λ) = r(λ)ass + r(λ)rif + r(λ)tr
per cui per tutti i corpi:
a(λ,T) + r(λ,T) + t(λ,T) = 1
Si definiscono Corpi neri i corpi per i quali per tutte le lunghezze d’onda incidente si verifica
r(λ,T) = 0, t(λ,T) = 0, a(λ,T) = 1
per cui
r(T) = 0, t(T) = 0, a(T) = 1
Si definiscono Corpi grigi i corpi per i quali per tutte le lunghezze d’onda incidente si verifica
a(λ,T) = costante <1
Si definiscono Corpi opachi i corpi per i quali per tutte le lunghezze d’onda incidente si verifica
t (λ,T) = 0, a (λ,T) + r (λ,T) = 1
Radiazione di corpo nero
Legge di Stefan‐Boltzmann
Jo = σ T4
dove
Jo potere emissivo del corpo nero (W/m2)
σ costante di Stefan-Boltzmann = 5.67 x 10-8 W/(m2K4)
Dove:
Legge della distribuzione di Planck
εo (λ,T) = C1 λ‐5 / exp ( C2/λT ) ‐1
εo (λ,T) = emittanza monocromatico del corpo nero [W/m2.mm)]
C1 = 3.741 x 10‐16 W/m2
C2 = 0,01439 m K
confronto del potere emissivo del corpo nero e di un corpo grigio con una superficie qualsiasi
Legge dello spostamento di Wien
λmassimo = A / T
con A = 2,9878 x 10-3
Km
Potere emissivo totale di corpo nero:
Potenza radiante emessa da un
corpo nero per unità di area nella
banda di lunghezze d’onda fra 0 e l:
Funzione di radiazione di corpo nero:
Radiazione emessa da un corpo nero alla temperatura T in una
banda finita di lunghezze d’onda da λ1 a λ 2:
Legge di Kirchhoff
ε1 (λ,T) / a1(λ,T) = f (λ,T)
per tutti i corpi
ε1 (λ,T) / a1(λ,T) = ε2 (λ,T) / a2(λ,T) =εo (λ,T) / 1)
ε(λ,T) = a (λ,T) x εo (λ,T)
ε (λ,T) / εo (λ,T) = a (λ,T)
ε(λ,T) / εo (λ,T) = η (λ,T)
emissività specifica
η(λ,T) = a (λ,T)
se a (λ,T) è costante per tutte le lunghezze d’onda ( corpi grigi ) si avrà
η (T) = a (T)
PERTANTO PER I CORPI GRIGI SI AVRA’:
MENTRE PER I CORPI GENERICI SI AVRA’:
MENTRE PER I CORPI NERI SI AVRA’:
NEL CASO DI DUE PARETI PIANE PARALLELE UNA ALLA TEMPERATURA T1 E
L’ALTRA ALLA TEMPERATURA T2 ( TUTTA LA ENERGIA IRRADIATA DA UNA
SUPERFICIE VIENE INTERCETTATA ED ASSORBITA DALL’ALTRA ) SE LE PARETI
SONO DEI CORPI NERI SI AVRA’ PER UNITA’ DI SUPERFICIE
LA QUANTITA’ DI ENERGIA REALMENTE SCABIATA PER UNITA’ DI SUPERFICIE TRA LE DUE PARETI SARA’
NEL CASO DI DUE PARETI PIANE DI AREA A1 ED A2 COMUNQUE DISPOSTE
(RISPETTIVAMENTE ALLA TEMPERATURA T1 E T2 ) SE LE PARETI SONO DEI CORPI NERI
SI AVRA’ :
ENERGIA EMESSA DA A1 CHE CADE SU A2
ENERGIA EMESSA DA A2 CHE CADE SU A1
LA QUANTITA’ DI ENERGIA REALMENTE SCABIATA TRA LE DUE PARETI SARA’:
NEL CASO LE DUE PARETI SIANO ALLA STESSA TEMPERATURA DEVE ESSERE Q=0 E PERTANTO
E PERTANTO
NEL CASO DI SUPERFICI GRIGIE
ENERGIA EMESSA DALLA SUPERFICE A1
σ α1 A1 F1 T1 4 α2
σ α1 A1 F1 T1 4 ( 1‐ α2 )
σ α1 A1 F1 T1 4 ( 1‐ α2 ) F2 ( 1‐ α1 )
σ α1 A1 F1 T1 4 ( 1‐ α2 ) F2 ( 1‐ α1 ) F1 α2
SE CHIAMIAMO R = ( 1‐ α2 ) ( 1‐ α1 ) F1F2
Q1‐2 = σ α1 α2 A1 F1 T1 4 ( 1+ R + R2 + R3…….)
LA SOMMA
1+ R + R2 + R3……. = 1/ ( 1‐R )
PERTANTO CHIAMANDO Q1-2 LA ENERGIA EMESSA DALLA
SUPERFICIE A1 ED ASSORBITA DALLA SUPERFICIE A2 SI AVRA’:
Q1‐2 = σ α1 α2 A1 F1 T1 4 / [ 1 – ( 1‐ α2 ) ( 1‐ α1 ) F1F2 ]
ANALOGO RAGIONAMENTO SI PUO’ FARE PER Q2‐1
Q2‐1 = σ α1 α2 A2 F2 T2 4 / [ 1 – ( 1‐ α2 ) ( 1‐ α1 ) F1F2 ]
LA ENERGIA NETTA SCAMBIATA ( CALORE ) SARA’
Qg= σ α1 α2 A1F1( T1 4 –T2 4 ) / [ 1 – ( 1‐ α2 )( 1‐ α1 ) F1F2 ]
NEL CASO DI CORPI NERI (α = 1 ) SI RITROVA :
Q0 = σ A1 F1 ( T1 4 –T2 4 )
RITORNANDO ALLA FORMULA VALIDA PER I CORPI GRIGI
Qg= σ α1 α2 A1F1( T1 4 –T2 4 ) / [ 1 – ( 1‐ α2 )( 1‐ α1 )F2F1 ]
Qg= σα1α2A1F1(T1 4 –T2 4)/[ 1–( 1‐ α2 )( 1‐ α1 )F1F1 A1/A2]
CHIAMIAMO ir
ir = σα1α21F1/[ 1–( 1‐ α2 )( 1‐ α1 )F1F1 A1/A2]
SI AVRA’
MA
T1 4 –T2 4 = (T1 2 –T2 2) (T1 2 +T2 2) = (T1 2 +T2 2) (T1 +T2) (T1 ‐ T2)
CHIAMIAMO hr
hr = ir (T1 2 +T2 2) (T1 +T2) =
=(T1 2 +T2 2)(T1 +T2)σα1α21F1/[1–(1‐ α2)(1‐ α1) F1F1A1/A2]
SI AVRA’:
FORMULA MOLTO SIMILE A QUELLA OTTENUTA PER LA TRASMISSIONE DI CALORE PER CONDUTTIVITA’ REMICA INTERNA IN REGIME STAZIONARIO
Jg= a (T) ∫ εo (λ,T) dλ = a σ T4 = η σ T4
Per un corpo in equilibrio termico
Energia assorbita = Energia emessa
Se su di una superficie unitaria di un corpo opaco incide per
irraggiamento una potenza raggiante P, questa energia viene in
parte viene assorbita ed in parte riflessa. La energia assorbita,
nell’ipotesi di considerare nulle la emissione di energia per
conduzione e convezione, raggiunto l’ equilibrio termico T, viene
emessa per irraggiamento.
Nel caso di corpi neri o grigi
Se P è la potenza incidente
Se α è il coefficiente di assorbimento del corpo Se T è la temperatura della superficie all’equilibrio
Si avrà:
Nel caso di superfici selettive ( calde o fredde ) si definisce grado di selettività il rapporto tra
Nel caso di irraggiamento solare su superfici selettive ( calde o fredde)
Se P è la potenza incidente
Se α c è il coefficiente di assorbimento alle corte lunghezze
d’onda dove, in prima approssimazione si può ipotizzare cada tutta
la energia solare incidente
Se α l è il coefficiente di assorbimento alle lunghe lunghezze
d’onda dove, in prima approssimazione si può ipotizzare cada tutta
la energia emessa dalla superficie
Se T è la temperatura raggiunta dalla superficie all’equilibrio
Nel caso di superfici selettive calde caso C
S = 0,9 / 0,1 = 9
Nel caso di superfici selettive fredde caso D
S = 0,1 / 0,9 = 0,1111
Meccanismi di scambio termico
Trasmissione del calore per adduzione.
Finora abbiamo ricavato 3 espressioni fondamentali:
Q
λ
⎡
⎤
(
)
=
=
⋅
⋅
−
q
A
T
T
i
1
2
⎢⎣
⎥⎦
S
τ
[qC
= A ⋅ hC ⋅ (Ta − Tb )]
qr = A ⋅ hr ⋅ (T '−T ' ')
CONDUZIONE
CONVEZIONE
IRRAGGIAMENTO
Abbiamo anche detto che queste espressioni hanno delle limitazioni, ma essendo molto semplici, sono molto comode da utilizzare.
Meccanismi di scambio termico
In molti problemi di trasmissione del calore, la trasmissione del calore per
convezione e per irraggiamento coesistono. In questi casi si è soliti parlare di
trasmissione del calore per adduzione.
In tal caso la quantità di calore trasmessa nel tempo unitario può essere espressa
come:
q A = α ⋅ A ⋅ (T1 − T2 )
ESPRESSIONE SIMILE ALLE PRECEDENTI
dove “α” è chiamato fattore di adduzione. Se supponiamo che i fenomeni della
convezione e dell’irraggiamento siano regolati dalle stesse temperature si ottiene:
α = hc + hr
ossia il fattore di adduzione è dato dalla somma del fattore di convezione hc e di
quello per irraggiamento hr.
Meccanismi di scambio termico
Parete piana omogenea posta tra due fluidi in regime stazionario
Immaginiamo di considerare due fluidi, tenuti a temperature diverse ma costanti
nel tempo, separati da una parete piana di spessore “s” infinitamente estesa:
T1>T2
T1 T’ T’’ T2
Le due superfici della parete (T’ e T’’) saranno
delle superfici isotermiche come pure tutti i
piani ad essa parallela ed interni al divisorio.
T1
S
T’
T’’
T2
S
Meccanismi di scambio termico
Il flusso di calore compie il seguente percorso:
PASSAGGIO PER ADDUZIONE (αe) dal fluido 1 (a temperatura T1 ) alla prima faccia del divisorio (a temperatura TI) avente area A: (
)
⎤
⎡Q
q A1 = ⎢ = α e ⋅ A ⋅ T1 − T ' ⎥
⎦
⎣τ
PASSAGGIO PER CONDUTTIVITA’ TERMICA INTERNA attraverso il divisorio:
q A2
(
)
A
⎡Q
⎤
= ⎢ = λ ⋅ ⋅ T ' − T '' ⎥
s
⎣τ
⎦
PASSAGGIO PER ADDUZIONE (αi) dalla seconda faccia del divisorio (a temperatura
TII) al fluido 2 ( a temperatura T2):
(
)
⎡Q
⎤
qi = ⎢ = α i ⋅ A ⋅ T '' − T2 ⎥
⎣τ
⎦
I due fluidi potrebbero essere ad esempio l’aria esterna e l’aria interna di un certo ambiente, separati da una parete di tamponamento. Meccanismi di scambio termico
Il flusso di calore passa dal fluido 1 alla prima faccia della parete, e dalla seconda
faccia della parete al fluido 2 per convezione e irraggiamento.
[q
V
(
= A ⋅ hC ⋅ T1 − T '
)]
qr = A ⋅ hr ⋅ (T1 − T ')
CONVEZIONE
IRRAGGIAMENTO
Il calore trasmesso tra il fluido 1 e la faccia a temperatura T’ della
parete è dato dalla somma di questi due contributi.
q A = qV + q r = A ⋅ (hV + hr ) ⋅ (T1 − T ')
Meccanismi di scambio termico
Stiamo supponendo che la trasmissione di calore per convezione e irraggiamento
avvenga tra uguali differenze di temperatura. Abbiamo già detto che a = hv + hr
rappresenta il coefficiente di adduzione.
ADDUZIONE = convezione + irraggiamento se avvengono tra uguali ΔT.
Si noti che espressioni di questo tipo sono molto comode da utilizzare, infatti il
valore di a si trova nelle tabelle UNI.
In regime stazionario, la quantità di calore che passa dal primo fluido al divisorio,
deve essere uguale a quella che attraversa il divisorio e a quella che è ceduta al
fluido 2. Pertanto
q A = q A1 = qi
sono uguali.
Meccanismi di scambio termico
Per trovare il calore che ha attraversato la parete, basta esplicitare le espressioni
trovate rispetto alle differenze di temperatura:
q
T1 − T ' =
A ⋅αe
q s
T '−T ' ' = ⋅
A λ
T ' '−T2 =
q
A ⋅αi
Sommando membro a membro otteniamo:
dove αi è il coefficiente di adduzione interna e αe il coefficiente di adduzione
esterna.
La quantità:
viene chiamata trasmittanza della parete, e si misura in:
Meccanismi di scambio termico
Ponendo A = 1 e ΔT = 1 si ottiene U= q ossia
il calore che fluisce attraverso una superficie unitaria in un
tempo unitario quando la differenza di temperatura tra esterno
e interno è di un grado.
Meccanismi di scambio termico
Parete piana non omogenea tra due fluidi in regime stazionario
parete piana non omogenea = composta da più strati di materiali diversi
Eseguendo i calcoli analogamente al caso precedente:
FLUIDO 1
(esterno)
Τ
T1
λ1
λ2
λ3
λ4
S1
S2
S3
S4
T2
FLUIDO 2
(interno)
T1
T2
S
Meccanismi di scambio termico
Parete con camera d’aria.
Parete molto diffusa in edilizia costituita da due strati di materiale separati da
un’intercapedine d’aria.
È molto complicato stabilire che cosa avviene nella camera d’aria, infatti attraverso
l’intercapedine il calore si trasmette sia per convezione che per conduttività termica
interna attraverso il fluido che per irraggiamento fra le due facce limite interne.
FLUIDO 1
(esterno)
Τ
T1
λ1
λ2
S1
S2
T2
FLUIDO 2
(interno)
ΔΤ
T1
T2
S
Indichiamo con ΔT la differenza di temperatura tra le pareti dell’intercapedine.
Possiamo anche in tal caso scrivere:
q = A⋅
1
⋅ ΔT
Ra
FLUSSO ATTRAVERSO LA CAMERA D’ARIA
Meccanismi di scambio termico
dove Ra è la resistenza termica dell’intercapedine.
Calcolare tale resistenza è molto complicato.
I valori delle resistenze termiche delle camere d’aria sono tabellati secondo le norme
UNI.
Parete complessa.
Trasmissione del calore attraverso una parete contenente n strati ed m intercapedini:
Meccanismi di scambio termico
Parete opaca esposta a irraggiamento solare
Consideriamo una parete opaca esposta al sole. Gli scambi di calore per convezione e
irraggiamento avvengono tra differenze di temperatura diverse. Inoltre la differenza
di temperatura tra la parete e il sole è molto elevata e quindi non possiamo utilizzare
le formule viste.
Immaginiamo che sulla parete incida una potenza raggiante per unità di area Wi
T''
T'
q2
q1
T1
Wa = a s w i
T2
Wi
Wr = rs wi
S
Di tale energia una parte verrà riflessa e l’altra assorbita. Di quest’ultima una quota
parte, all’equilibrio, viene trasmessa nell’ambiente 1 e una quota parte nell’ambiente
2. Indicando con q1 e q2 questi flussi si ha:
Wa = q1 + q2
Meccanismi di scambio termico
La temperatura fittizia dipende oltre che dalla temperatura dell’ambiente esterno (a
cui è superiore), anche dal rapporto tra il coefficiente di assorbimento della parete
esposta a radiazione solare moltiplicato per il valore dell’energia raggiante incidente ,
rispetto al fattore di adduzione esterno.
Pertanto, il concetto di temperatura fittizia, consente di ricondurre formalmente lo
studio di trasmissione della trasmissione di calore attraverso una superficie opaca
(t=0) esposta alla radiazione solare, al caso più semplice nel quale si applica il
concetto di adduzione. Pertanto il flusso termico che attraversa la parete sarà:
cioè può calcolarsi semplicemente come nel caso della parete che separa i due fluidi a
temperature differenti purché si prenda in luogo della temperatura reale esterna T1,
la temperatura Tf , i cui valori si trovano tabbellati in letteratura a seconda delle
situazioni e in cui k è la trasmittanza della parete.
Flusso di calore: Energia fluita attraverso la parete considerata nell’unità di tempo
Joule/tempo in altre parole potenza istantanea dispersa Watt.
Dove:
Q = energia dispersa o fluita attraverso la parete [J];
τ = tempo in secondi;
q = potenza istantanea dispersa attraverso la parete;
A = area della parete considerata [m2];
U = trasmittanza della parete considerata [W/m2K];
T1 = Temperatura maggiore;
T2 = Temperatura minore;
Richiami seconda lezione
In regime stazionario il flusso che passa attraverso i vari strati è lo stesso:
q1 = q2 = q3 = q
TI
T1
TII
T2
q1
λ1
λ2
1)
λ3
q2
q3
2)
3)
q
S1
S2
S3
Sulla base di questa uguaglianza possiamo anche scrivere:
I
II
q1 = q2 = q3 = q
1)
2)
3)
q⋅
q⋅
q⋅
s1
λ1
s2
λ2
s3
λ3
= T1 − T
I
T1
T
T
q1
λ1
λ2
λ3
q2
= T I − T II
q3
q
= T − T2
II
S1
S2
S3
T2
PROFILO DELLE TEMPERATURE Flusso disperso dai singoli strati
qi
q1
T1
Strato liminare interno
Ti
λ1
TI
λ2
q2
λ3
Strato liminare esterno
Flusso totale disperso dalla parete
T2
TII
qe
q
S1
Ti > Te
Te
q3
S2
S3
TRACCIAMO IL PROFILO DELLE TEMPERATURE
Uguagliando e risolvendo
T1
l’equazioni precedenti
I
T
TII
T2
Te
qi
q1
Strato liminare interno
Ti
λ1
λ2
q2
q3 qe
q
Per Verifica λ3
S1
Ti > Te
Strato liminare esterno
Essendo i Flussi dei singoli strati uguali a flusso totale scriviamo:
S2
S3
C2
Ti
λ3
C4
λ5
S4
S5
q
T1
T2
T3
T4
T5
T6
Strato liminare interno
λ1= 1,4W/mK
S1= 2 cm
C2= 5,0W/m2K S2= 8 cm
λ3= 0,05W/mK
S3= 4 cm
C4= 3,2W/m2K S4= 12 cm
λ5= 1,4W/mK
S5= 2 cm
Ti=20°C
Te=2°C αi=7,5W/m2K
αe=25W/m2K
λ1
Strato liminare esterno
Prova di calcolo
Dati:
S1
S2
S3
Ti > Te
INERZIA TERMICA
Interno
Esterno
ΔTe
20
2
2
8
8
14 20
Tmi
14
Tme
ΔTi
Sfasamento
qe
qi
Riscaldatore/Raffrescatore d’aria
Superficie Disperdente
L’inerzia termica agisce con un effetto di smorzamento
dell’ampiezza dell’onda termica esterna che si ripercuote dalla
parte opposta della parete attenuata e sfasata.
ARIA SECCA
• Componenti e percentuale in volume •
•
•
•
ossigeno(20,99%) azoto(78,03% )
argon( 0,94 %)
anidride carbonica ( 0,03 %)
idrogeno ( 0,01 % )
• vas = Ras T / pas
• Ras = 29,27 m/K
VAPOR d’ACQUA
• vv = Rv T / pv
• Rv = 47,1 m/K
• p = pas + pv
• pas = p ‐ pv
• se riferiamo le formule seguenti ad 1 kg di aria secca
• pas v = Ras T
ARIA UMIDA
ARIA UMIDA = ARIA SECCA + VAPOR D’ACQUA
φ = umidità relativa φ = pv / pvs
x = umidità specifica x = mv / mas
Diagramma PV Coordinate termodinamiche
• H = entalpia
• p = pressione
• T = temperatura
• x = umidità specifica
• φ = umidità relativa
VARIANZA DI UN SISTEMA
• Regola di Gibbs: V = C ‐ F + 2
• V = varianza ( COORDINATE INDIPENDENTI )
• C =componenti
• F = fasi.
•
• Pertanto la varianza del sistema termodinamico aria umida è 3 ( quattro coordinate legate tra loro da una equazione di stato )
COORDINATE TERMODINAMICHE
• Scegliamo queste quattro coordinate termodinamiche
T p x H
TRASFORMAZIONI A PRESSIONE COSTANTE
•
Se ipotizziamo che le trasformazioni dell’aria avvengano a pressione costante ( pressione atmosferica )
•
H = U + pv
•
dU = δQ + ΔW dW = – pdv
dH = dU + pdv + vdp
dU = δQ – pdv
dH = δQ – pdv + pdv + vdp
dH = δQ + vdp
• se p = costante
dH = δQ
EQUAZIONE DI STATO
• supponiamo di avere una di massa unitaria di aria secca mas alla temperatura di 0°C e una massa mv di acqua alla stessa temperatura
• Il sistema costituito da questi due componenti avrà una entalpia H0
• quando la massa mv dell’acqua evapora e diventa vapore e si miscela alla massa dell’aria secca mas si ha aria umida.
EQUAZIONE DI STATO
• Alla temperatura t l’aria umida ha una entalpia Ht
• La variazione di entalpia
∆H = Ht – H0 = H = Q
• H = Q = cpas mas ( t – 0 ) + r mv + cpv mv(t – 0)
• se mas = 1 x = mv
H = Q = cpas t + r x + cpv x t Abaco di Mollier
Abaco ASHRAE
Miscela di due correnti di aria
•Se supponiamo di avere due canali coibentati che trasportano ciascuno due flussi d’aria avente condizioni termoigrometriche indicate dai punti 1 e 2, rispettivamente.
Corrente 1: ( m1,ϕ1, t1, x1 )
Corrente 2:
( m2 ,ϕ2 , t2 , x2 )
•Allora la miscelazione (supposta per semplicità adiabatica, cioè in assenza di scambio di calore con l’esterno) porta a scrivere tre equazioni di bilancio: una per la massa di aria secca, una per l’entalpia e una per la massa specifica di vapore acqueo.
•Si hanno, quindi, le equazioni:
m1 + m2 = m0
m1x1 + m2 x2 = m0 x0
•Da queste è immediato ricavare:
m1h1 + m2h2 = m0h0
m t + m2t2
m1x1 + m2 x2
m h + m2h2
t0 = 1 1
h0 = 1 1
m1 + m2
m1 + m2
m1 + m2
•Quindi le condizione di miscelazione si calcolano facendo la media baricentrica delle grandezze desiderate pesate secondo le portate di aria secca
x0 =
Riscaldamento di un flusso di aria umida
•Se si riscalda una quantità di aria umida l’umidità associata x rimane costante e la trasformazione è una retta ad x = costante a temperatura m1h1 + Q = m2h2
crescente passante per il punto rappresentativo delle condizioni iniziali. In termini di bilancio energetico si può scrivere:
(
)
Q = m(h2 − h1 ) = m ⎡⎣cpa ( t2 − t1 ) + cpv ( t2 − t1 ) ⎤⎦ = m cpa + cpv ( t2 − t1 )
•
•dalla quale si ricava:
Raffreddamento di un flusso di aria umida
•La quantità di condensa si può facilmente calcolare dalla relazione di bilancio:
macqua = m ( x2 − x3 )
•
•Il bilancio energetico vale, supposto di essere in regime stazionario:
m h −Q − m h
= mh
1 1
13
acqua acqua
3
•ovvero anche:
Q13 = m ⎡⎣( h1 − h3 ) − ( x3 − x1 ) hacqua ⎤⎦
•
•Se nella precedente equazione trascuriamo l’entalpia dell’acqua di condensa, hacqua, allora si può semplificare la relazione nella forma:
Q13 = m ( h1 − h3 )
•
•
Temperatura di rugiada
•Si supponga di trovarsi in um ambiente chiuso avente una data temperatura, ta, ed una umidità relativa, ja, e di individuare questo punto, A, nel diagramma di Mollier (o, in modo equivalente, dell’ASHRAE). •Se si opera un raffreddamento a umidità specifica costante (o anche un raffreddamento senza deumidificazione) si perviene all’intersezione della curva j=100 % che è la curva limite inferiore raggiungibili in condizioni normali di raffreddamento. •La temperatura corrispondente a questo punto è detta temperatura di rugiada ed è intuibile, in base a quanto precedentemente detto, che al di sotto di questo valore un ulteriore raffreddamento produce una condensazione dell’umidità assoluta in eccesso rispetto alle condizioni di saturazione. a = (ta 20°C; φa 55%)
A
tR
tA
x = mv / ma [kgv /kga]
Temperatura di rugiada
a = (ta 10°C; φa 100%)
Saturazione adiabatica
•La saturazione adiabatica si studia impostando le equazioni di bilancio dell’entalpia e dell’umidità specifica della corrente d’aria umida prima e dopo l’operazione di lavaggio con acqua fredda ottenendo le seguenti relazioni:
m1 = m2
•
x1
x
+ mw = m2 2
1000
1000
m1h1 + mwhw = m2h2
m1
•ove si è tenuto presente che le quantità di umidità specifica associata ad 1 kg di aria secca sono molto piccole e pertanto per riportare le x in kg occorre dividerle per 1000. Si ha il simbolismo precedente e si è indicata con hw l’entalpia dell’acqua introdotta con portata mw (kg/s). Con semplici passaggi si ottiene:
mwcpw
h2 − h1
hw
R=
=
=
x2 − x1 1000 1000
C
A
B
Rappresentazione della saturazione adiabatica dell’aria umida
Misura dell’Umidità relativa
•La temperatura di saturazione adiabatica coincide (con grande approssimazione) con la temperatura dell’aria in moto turbolento attorno ad un bulbo bagnato di un termometro sul quale si faccia evaporare l’acqua. •Questa temperatura viene detta a bulbo umido. Per contro la temperatura misurata mediante un termometro con bulbo senza garza bagnata viene detta temperatura a bulbo secco. •Per la misura dell’umidità specifica si utilizza un particolare strumento detto psicrometro costituito da due termometri al mercurio posti all’interno di due canne cromate. Uno dei termometri viene ricoperto da una garza di cotone mentre l’altro resta con bulbo libero.
Psicrometro a Ventolina
•La procedura di calcolo è schematizzata nel piano di Mollier mentre lo schema dello psicrometro a ventolina è in figura sottostante.
Condizionamento estivo •La portata termodinamica di aria necessaria per il condizionamento è ricavabile da una qualunque delle equazioni di bilancio & I + QT = mh
& A
⎧mh
⎪
⎨ xI
xA
&
&
m
+
a
=
m
⎪⎩ 1000
1000
Bilancio di energia
Bilancio di umidità
•Ad esempio dalla prima di esse si ottiene:
m& =
QT
hA − hI
•Per ridurre la portata di aria è bene avere i punti A ed I lontani uno dall’altro. Per A=I si avrebbe una portata infinita.
•
Condizionamento estivo con ricircolo –
•Spesso si può recuperare in parte l’aria che viene espulsa all’esterno mediante un ricircolo parziale in funzione del ricambio fisiologico necessario per gli occupanti all’interno dell’ambiente.
•La situazione è quella di accanto: parte della portata d’aria viene espulsa (pari alla portata fisiologica che poi si richiama come aria fresca dall’esterno). •La portata rimanente (detta di ricircolo) viene mandata al condizionatore dove si miscela con l’aria fresca richiamata dall’esterno (punto M). Condizionamento invernale •Anche per gli impianti di condizionamento invernale si può avere il ricircolo parziale dell’aria ambiente. In alcune zone climatiche la L. 10/91 e, più recentemente il D.Lgs 192/95, prevede che ci sia obbligatoriamente il recupero di calore fra l’aria espulsa e quella immessa negli ambienti e pertanto questa tipologia di impianto risulta particolarmente conveniente. •La portata di ricircolo è data dalla differenza fra portata termodinamica dell’aria e l’aria di ricambio fisiologico (circa 25 m³/h per persona). Le trasformazioni teoriche da attuare nella centrale di trattamento dell’aria sono riportate nella figura. Esso ricalcano quelle già viste per il caso senza ricircolo. Il punto di partenza in centrale di trattamento è ora M e non più E e ciò comporta un notevole risparmio di energia.
Condizionamento invernale Condizionamento invernale •La batteria fredda avrà una potenzialità pari a:
m& ( hE − hS )
•mentre la batteria di riscaldamento avrà potenzialità:
m& ( hI − hS )
•In figura si ha un esempio di centrale di trattamento dell’aria con ricircolo parziale e recupero di calore nel quale sono evidenziati gli organi di controllo elettronico necessari per il corretto funzionamento degli impianti termici. Diagramma Psicrometrico
DIAGRAMMA PSICROMETRICO ASHRAE
Umidità relativa U.R. (%)
30%
50%
70%
100%
R
14°C
A
B
20°C 25°C
C
35°C
isotitolo = umidità specifica costante
Isoentelpiche = entalpia costante
E t=3°C φ=50%
I t=20°C φ=65%
H≈44 kJ /kg I
x=9,2 gv /kga
H≈9 kJ /kg E
x=2,2 gv /kga
a = (ta 15°C; φa 75%)
b = (tb 20°C; φb 55%) 50% φc 40%) c = (tφc 25°C;
d = (td 30°C; φd 30%) Umidità specifica costante
xa= xb= xc= xd
= 8 gv/kgas
ta
tb
tc
d
a = (xa 20; φa 75%)
b = (xb 16; φb 55%) c = (xφc 50% 12; φc 40%) d = (xd 8; φd 30%) ta= tb= tc= td
= 8 gv/kgas
Temperatura costante
ta
tb
tc
td
t
Temperatura bulbo secco
a = (ta 20°C; φa 65%)
a = (ta 10°C; φa 100%)
Temperatura bulbo umido
A
tbu
tbs
x = mv / ma [kgv /kga]
a = (ta 10°C; φa 100%)
Calore sensibile = Ha – Hb
Riscaldamento
φ 50% Hb
Ha
ta
tb
Calore latente = Ha – Hb
Umidificazione
φ 50% Ha
ta
Hb
tb
t
Calore totale = Ha – He
Riscaldamento e umidificazione
Q sensibile + Q latente
Calore sensibile H1 – He
Calore latente Ha – H1
Ha
H1
A
He
1
te
ta
2
Raffreddamento e deumidificazione
He
H1
E
Ha
H2
A
1
ta
2
te
Il problema della condensa nelle pareti
¾L’umidità dell’aria può dar luogo alla formazione della condensa e facilitare così la formazione delle muffe. ¾La maggior parte dei materiali da costruzione presenta una grande affinità con le molecole dell’acqua la quale, di norma, si deposita sulla superficie delle pareti formando film di liquido. ¾Il fenomeno più visibile e pericoloso della penetrazione di vapore e di film liquido nei materiali da costruzione è la condensazione che si verifica quando la temperatura superficiale della parete scende al di sotto del punto di rugiada dell’aria nelle condizioni di temperatura e pressione in cui si essa si trova. Ciò consiglia di aumentare la temperatura superficiale
ad esempio utilizzando un adeguato isolamento termico o mediante il riscaldamento con un flusso di aria calda o deumidificando l’ambiente.
¾Quanto detto spiega la tolleranza di ± 2 °C data dall’attuale L. 10/91 sul limite di 20 °C della temperatura interna degli ambienti. ¾Più che consentire un maggior confort ambientale questa tolleranza serve a ridurre la pericolosità della formazione della condensa nelle zone termiche dove la temperatura esterna scendo sotto lo 0 °C.
La condensazione interna alle pareti
•La condensazione interna alle pareti spesso non è visibile e quindi può agire indisturbata nella produzione del danno.
•I metodi consigliati contro la condensazione interna sono:
Sistemazione di una barriera a vapore nella zona a temperatura maggiore della parete. La barriera a vapore è costituita da uno strato di materiale impermeabile che oppone uno sbarramento alla migrazione del vapore verso gli strati interni.
Ventilazione dei locali con aria esterna avente minore umidità specifica dell’aria interna.
Formazioni di intercapedine interne aerate nella pareti più soggette alla condensa (esempio: bocca da lupo).
Diagrammi di Glaser
•Nel caso di formazione di condensa occorre verificare che la quantità di condensa sia inferiore a quella ammissibile per il materiale dello strato ove avviene l’intersezione delle rette o che questa eguagli la quantità evaporabile durante il periodo estivo. Se questa condizione non risulta verificata occorre intervenire sulla stratigrafia della parete fino a quando si trova una configurazione con verifica positiva. Si può, ad esempio, porre verso l’esterno i materiali con maggiore resistenza termica (in modo da innalzare la temperatura superficiale) e sul lato interno i materiali con maggiore resistenza alla trasmissione del vapore, cercando anche di evitare l’utilizzo della barriera al vapore.
•La normativa richiede che la verifica di Glaser sia effettuata mese per mese ma la verifica per il mese più freddo o nelle condizioni di progetto può essere sufficiente. •
Algoritmo risolutivo per la verifica Glaser
• La verifica Glaser è articolata sulla sequenza di operazioni seguenti.
1. Calcolo della trasmittanza e del flusso termico attraverso la parete usando le relazioni:
−1
N
⎛1
sn 1 ⎞
K =⎜ +∑ + ⎟
⎝ he n =1 λn hi ⎠
Q = K ΔT = K ( ti − te )
2. Calcolo della temperatura superficiale di ogni strato (con N strati si hanno N+1 superfici) mediante le relazioni:
−1
⎡ 1 N si ⎤
t n = t e − K Δt ⎢ + ∑ ⎥
⎣ he n =1 λi ⎦
⎛s ⎞
tn +1 = tn − K Δt ⎜ n ⎟
⎝ λn ⎠
3. Calcolo della pressione di vapore di saturazione in ogni superficie di separazione alle temperature superficiali prima calcolate.
4. Calcolo delle temperature medie assolute di ogni strato:
tn + tn +1
Tn =
+ 273
2
5. Calcolo del coefficiente di diffusione del vapore d’acqua nell’aria e della resistenza alla diffusione per ogni strato:
1.81
2.306 ⎛ T ⎞
Dv
s
n
D=
δn =
⎜
⎟
r
=
n
p
273
μ r RT
⎝
⎠
t
δ
n
Algoritmo risolutivo per la verifica Glaser
6 Calcolo della permeanza totale della parete con la relazione:
π=
1
N
∑r
n =1
n
7 Calcolo delle pressioni parziali del vapore acque nei due fluidi e ed i separati dalla parete:
pe = φe ps ( te )
pi = φi ps ( ti )
8 Calcolo delle pressioni parziali di ogni superficie di separazione utilizzando la relazione:
Δp
g= N
∑ rn
n =1
9 Per la superficie n.ma ed n+1.ma si hanno le relazioni:
pn = pe − π ( pe − pi )
i −n −1
si
∑δ
i =1
pn +1 = pn − π ( pe − pi )
i
sn
δn
10 Controllo per verificare che le pressioni parziali calcolate siano inferiori alle pressione di saturazione corrispondenti prima calcolate. Esempio di stratigrafia di una parete
•Quasi tutti i programmi di calcolo per la verifica della L. 10/91 hanno un modulo di calcolo per la verifica Glaser, come sopra indicato. Ad esempio per la parete indicata in figura con stratigrafia indicata in tabella si ha l’andamento delle pressioni di vapore per la verifica Glaser indicato in figura.
