Analisi delle serie storiche
parte IV Metodi di regressione
a.a. 2016/2017
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Metodo della regressione
• La componente di fondo, Trend o Ciclo-Trend,
della serie osservata Yt è una funzione
deterministica nota e costante del tempo:
Tt = f(t) o TCt = f(t);
• Determinare il trend significa quindi stimare la
funzione f(t)
• Forme funzionali f(t): funzioni lineari o
linearizzabili nei parametri; funzioni non
lineari nei parametri
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Principali forme funzionali per la f(t)
Funzioni lineari/linearizzabili nei parametri:
• lineare: f(t) = α + βt
• quadratica: f(t) = α + βt + γt2
• .......
• polinomio di grado q: f(t) = α0 + α1t + α2t2 + ... +
αqtq
• esponenziale: f(t) = α · eβt adatta a rappresentare
il trend di quelle serie storiche che aumentano o
diminuiscono
secondo
una
progressione
geometrica (modelli a crescita costante).
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Rappresentazione grafica funzioni
lineari/linearizzabili
120
100
80
Trend lineare
60
Trend quadratico
Trend esponenziale
40
20
0
0
10
20
30
40
50
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60
70
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Interpretazione dei coefficienti
• Trend lineare: f(t) = α + βt
α: valore del trend nell’anno base;
β: aumento/decremento (annuo/trimestrale/..) in livelli
• Trend quadratico: f(t) = α + βt + γ t2
α: valore del trend nell’anno base;
β: effetto lineare stimato;
γ : effetto non lineare stimato
• Trend esponenziale: f(t) = α · eβt, ovvero: ln(f(t)) = lnα + βt
α: valore del trend nell’anno base;
β : stima del tasso di crescita, costante nel tempo;
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Variazioni assolute e tassi di crescita
Variazione assoluta tra il tempo t − 1 ed il
tempo t:
∆Yt = Yt − Yt−1;
Variazione relativa della variabile Y al tempo t:
rt = ∆Yt/Yt−1 = (Yt − Yt−1 )/Yt−1
solitamente questi valori sono moltiplicati per
100, ottenendo una variazione percentuale
(tasso di crescita)
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Proprietà dei logaritmi
• il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei
logaritmi: ln(ab) = ln(a) + ln(b);
• il logaritmo di un rapporto è uguale alla differenza
dei logaritmi: ln(a/b) = ln(a) - ln(b);
• il logaritmo di una quantità elevata ad un esponente
è uguale al prodotto tra l’esponente e il logaritmo
della quantità: ln(ab) = bln(a);
• per un numero z abbastanza piccolo vale la seguente
proprietà: ln(1 + z) ≃ z
ad esempio, ln(1,05) = 0,049.
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Calcolo del tasso di crescita
Applicando le proprietà si trova che:
∆ln(Yt) = ln(Yt) − ln(Yt−1) = ln(Yt/Yt−1) =
= ln[(Yt−1 + ∆Yt)/Yt−1] =
≃ ∆Yt/Yt−1
Quindi, il tasso di una crescita di una variabile tra
due periodi ∆Yt/Yt−1 è approssimativamente uguale
alla differenza dei logaritmi naturali dei livelli
iniziale ln(Yt−1) e finale ln(Yt), purché tale differenza
non sia grande rispetto al livello iniziale (condizione
in genere rispettata dagli aggregati economici, quali
il PIL).
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Principali forme funzionali per la f(t)
Funzioni non lineari/linearizzabili nei parametri:
• logistica: f(t) = α/[1 + βe−γt], β > 0 (per
fenomeni caratterizzati da un livello di
saturazione).
• Curva di Gompertz: f(t) = α ∗ exp[−βe −γt], β > 0
(ha una forma ad S allungata simile alla
logistica).
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Rappresentazione grafica funzioni non lineari
Logistica
Curva di Gompertz
100
100
90
90
80
80
70
70
60
gamma=0,1
60
gamma=0,1
50
gamma=0,2
gamma=0,2
40
50
30
40
20
30
10
20
0
0
20
40
60
80
0
20
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40
60
80
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Interpretazione dei coefficienti
• Trend logistico: f(t) = α/[1 + βe−γt], β > 0.
α: valore limite per t −→ ∞ (livello di saturazione);
β: se 0 < β < 1 punto di flesso (ln β /γ; α/2) si trova su
un valore negativo di t; se β = 1 punto di flesso si
trova sull’asse delle ordinate; se β > 1 punto di flesso
si trova su un valore positivo di t.
γ : indica quanto velocemente si raggiunge
l’asintoto.
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Scelta della forma funzionale
Criterio delle differenze
• Differenze prime: se ∆Yt ≈ costante =⇒ f(t)
lineare
• Differenze seconde: se ∆2Yt ≈ costante =⇒ f(t)
quadratica
• Differenze percentuali: se ∆Yt /Yt−1 ≈ costante
=⇒ f(t) esponenziale, ovvero lineare nei
logaritmi
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Stima della forma funzionale: funzione lineare
Il modello di scomposizione può essere
rappresentato nel modo seguente:
Yt = a + bt+ ut, dove ut ≈ NID(0, σu2).
Obiettivo:
1. stimare i parametri incogniti del modello (i coeff.
a, b e σu2),
2. fare inferenza sulle stime ottenute,
3. verificare che il modello costituisca una valida
interpretazione della realtà,
4. prevedere le osservazioni future.
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Metodo dei minimi quadrati (OLS, Ordinary
Least Squares)
Assunzione di base: gli stimatori migliori sono
quelli che rendono minima la somma dei
quadrati degli scarti tra i valori osservati ed i
valori stimati della serie
valori stimati
ˆ
ˆ
Yt = aˆ + bt
residui
et = Yt - Yˆt
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Stima dei parametri
La funzione da minimizzare è
n
n
2
ˆ
ˆ
ˆ
(
Y
t
−
Y
t
)
=
(
Y
t
−
a
−
b
t
)
∑
∑
2
t =0
t =0
derivando rispetto ad â e a bˆ
espressioni dei parametri
si trovano le
aˆ = Y − bˆt
∑ (Yt − Y )(t − t )
bˆ =
t
n
2
(
t
−
t
)
∑
t =0
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• errore standard delle stime
n
∑
s u2 =
n
∑ (Y t − Yˆt ) 2
e t2
t=0
n −1
=
t=0
n −1
La bontà dell’adattamento della funzione stimata ai dati
viene misurata dal coefficiente di determinazione
(quota della devianza totale spiegata dalla regressione)
n
∑
2
R =
(Yˆt − Y ) 2
t=0
n
∑
(Y t − Y ) 2
t=0
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