Formulario di Onde

Formulario di Onde
O.1
Proprietà elastiche dei solidi (per piccole deformazioni)
Legge di Hooke: F = k|∆l|
Energia potenziale elastica:
U=
1
k(∆l)2
2
Carico specifico o sforzo:
σ=
F
,
A
la forza F è applicata perpendicolarmente alla superficie A
Allungamento lineare o deformazione specifica: ε =
Modulo di Young o modulo di elasticità:
∆l = εl0 =
l = l0 + ∆l = l0
σ
l0
Y
σ
1+
Y
Y =
∆l
l0
l0
σ
=k
ε
A
l0 = lunghezza a riposo
∆l = allungamento sotto l’effetto di σ
Un solido che, sottoposto alla forza F , subisce una deformazione longitudinale ∆l, subisce
anche una deformazione trasversale ∆r tale che: ∆r/r = −ν(∆l/l), dove ν è il coefficiente
di Poisson (0 < ν < 0.5, caratteristico di ogni materiale).
Modulo di rigidità o di taglio:
G=
Y
2(1 + ν)
Deformazione per scorrimento:
F
= Gθ
A
σ=
F è applicata tangenzialmente alla superficie A
θ = angolo di deformazione
Deformazione (di una sbarra cilindrica) per torsione:
M = kθ
k=
M = momento torcente
θ = angolo di torsione
r, l = raggio e lunghezza della sbarra
π r4
G
2 l
Modulo di compressibilità isoterma:
βT =
Y
3(1 − 2ν)
Compressione uniforme (a temperatura costante):
O.2
∆V
∆p
=−
V
βT
Equazione delle onde (equazione di d’Alembert) in tre dimensioni
∂2ξ
∂2ξ
∂2ξ
1 ∂2ξ
+
+
=
∂x2
∂y 2
∂z 2
v 2 ∂t2
v è la velocità di propagazione.
Vale il principio di sovrapposizione: una qualsiasi combinazione lineare di soluzioni è, a sua
volta, una soluzione dell’equazione delle onde.
Soluzione generale in una dimensione:
ξ(x, t) = ξ1 (x − vt) + ξ2 (x + vt)
1
ξ1 = onda progressiva
ξ2 = onda regressiva
O.3
Propagazione delle onde nei mezzi materiali
Onde elastiche longitudinali in una sbarra solida sottile
s
Y
Y = Modulo di Young
velocità di propagazione:
v=
ρ = densità di massa
ρ
Onde elastiche trasversali/torsionali in una sbarra solida
s
G
G = Modulo di rigidità
velocità di propagazione:
v=
ρ = densità di massa
ρ
Onde elastiche in una corda tesa
velocità di propagazione:
v=
s
T
ρl
Onde elastiche in una membrana tesa
s
T
velocità di propagazione:
v=
ρΣ
T = Tensione
ρl = densità lineare di massa
T = Tensione superficiale (forza per
unità di lunghezza)
ρΣ = densità superficiale di massa
Onde in un gas
p0 = pressione media
T = temperatura assoluta
R = costante dei gas
γ = costante adiabatica
ρ0 = densità di massa media
V = volume
A = massa molare
n = numero di moli
Modulo di compressibilità:
β = −V
dp
dp
=ρ
dV
dρ
Per un gas ideale (pV = nRT ):
Modulo di compressibilità
isoterma: βT = p
adiabatica: βS = γp
velocità di propagazione dell’onda:
v=
s
β
ρ0
Nelle situazioni più comuni la propagazione di un’onda in un gas avviene in condizioni
adiabatiche, quindi β → βS :
s
r
r
βS
γp0
γRT
=
=
v=
ρ0
ρ0
A
Onde sulla superficie di un liquido
velocità di propagazione:
v=
s
gλ 2πτ
+
2π
ρλ
tanh
λ = lunghezza d’onda
ρ = densità del liquido
h = profondità del liquido
τ = tensione superficiale
g = accelerazione di gravità
2πh
λ
2
O.4
Onde armoniche
Onda piana armonica progressiva
ξ(x, t) = ξ0 sin k(x − vt) + φ = ξ0 sin(kx − ωt + φ)
ξ0 = ampiezza (costante)
k = numero d’onda [unità di mis.: rad/m]
ω = pulsazione [unità di mis.: rad/s]
kx − ωt + φ = fase (φ = costante arbitraria)
ω = kv
λ=
2π
k
T =
2π
ω
ω = 2πν
λ = vT =
v
ν
v=
λ
= λν
T
Altre espressioni equivalenti:
ξ(x, t)
=
=
x
t
ξ0 sin(kx − ωt + φ) = ξ0 sin 2π
+φ =
−
λ T
2π x
2π
(x − vt) + φ = ξ0 sin
−t +φ
ξ0 sin
λ
T v
Le espressioni per un’onda armonica regressiva si ottengono dalle precedenti con la sostituzione (x − vt) → (x + vt)
Onda armonica piana in tre dimensioni
ξ(~r, t) = ξ0 sin(~k · ~r − ωt)
~k · ~r = kx x + ky y + kz z
λ=
2π
|~k|
Potenza di un’onda armonica
In una corda tesa:
spostamento: s = A sin(kx − ωt)
∂s ∂s
= T A2 ωk cos2 (kx − ωt)
∂x ∂t
1
dUmecc
= ρl ω 2 A2
densità lineare di energia meccanica: wl =
dx
2
1
1
1
potenza media: Pm = T ωkA2 = v 2 ρl ωkA2 = ρl ω 2 A2 v = wl v
2
2
2
Intensità: I = Pm = wl v
[unità di mis.: W]
potenza istantanea (T = tensione) :
P = −T
In una sbarra solida o in un gas (Σ = sezione della sbarra o del tubo di gas)
spostamento: s = A sin(kx − ωt)
P = ρω 2 A2 vΣ cos2 (kx − ωt)
1
densità (volumica) di energia meccanica: wτ = ρω 2 A2
2
1 2 2
potenza media: Pm = ρω A vΣ = wτ vΣ
2
1 dUmecc
Pm
Intensità: I =
=
= wτ v
Σ
dt
Σ
m
potenza istantanea:
[unità di mis.:
W
]
m2
Su una superficie (membrana elastica o superficie di un liquido)
potenza media: Pm = wΣ vl (wΣ = densità superficiale di energia meccanica, l = sezione
lineare dell’onda)
Pm
W
1 dUmecc
=
= wΣ v
[unità di mis.:
]
Intensità: I =
l
dt
l
m
m
3
Onda sonora in un gas
Onda di spostamento: s = A sin(kx − ωt)
1
1
potenza media: Pm = βωkA2 Σ = ρ0 ω 2 A2 vΣ = wτ vΣ
2
2
Onda di pressione:
π
∂s
= −ρ0 vωA cos(kx − ωt)
= ρ0 vωA sin kx − ωt −
∆p = −β
∂x
2
(∆p)max = ρ0 vωA = 2πρ0 νvA
1
(∆p)2max
ρ0 ω 2 A2 v =
2
2ρ0 v
I
I0 = soglia di udibilità
livello sonoro: B = 10 log
log = logaritmo decimale.
I0
Velocità del suono in aria (p = 1 atm, T = 20◦ C): cs = 343 m/s
Intensità:
I = wτ v =
Onde sferiche (armoniche)
ξ0
sin(kr − ωt)
r
ξ(r, t) =
(onda progressiva)
Potenza media: Pm = I(r)Σ(r) = 4πCξ02
Intensità:
C = costante, dipende
dalla natura dell’onda
Pm
I0
Pm
= 2
=
2
Σ(r)
4πr
r
I(r) =
Onda sferica sonora:
ρ0 vωA
cos(kr − ωt)
∆p =
r
I(r) =
Pm
4π
I0 =
1 2 A2
ρω 2 v
2
r
Onde cilindriche (armoniche)
ξ0
ξ(r, t) = √ sin(kr − ωt)
r
(onda progressiva)
Potenza media: Pm = I(r)Σ(r) = Cξ02 2πh
Intensità:
O.5
C = costante, dipende
dalla natura dell’onda
Pm
I0
=
Σ(r)
r
I(r) =
Analisi di Fourier
Funzione di una variabile f (u) periodica con periodo U : f (u + U ) = f (u).
f (u) = a0 +
∞ X
m=1
a0 =
1
U
am cos(mwu) + bm sin(mwu)
U
Z
f (u)du
am =
0
2
=
U
Z
f (u) =
Z
bm
Funzione non periodica:
U
a(w) =
1
π
Z
2π
U
U
f (u) cos(mwu)du
0
f (u) sin(mwu)du
0
0
Z
2
U
w=
∞
h
i
a(w) cos(wu) + b(w) sin(wu) dw
∞
f (u) cos(wu)du
b(w) =
−∞
4
1
π
Z
∞
−∞
f (u) sin(wu)du
O.6
Battimenti:
Sovrapposizione di due onde armoniche con diversa frequenza (stessa ampiezza)
s1 = A sin(ω1 t)
s2 = A sin(ω2 t)
ω1 − ω2
ω1 + ω2
s = s1 + s2 = 2A cos
t sin
t = 2A cos(Ωt) sin(ωt)
2
2
Frequenza di battimento (modulazione di ampiezza percepita da un osservatore quando le
frequenze sono molto simili tra loro):
νb = ν1 − ν2 =
O.7
ω1 − ω2
2π
Effetto Doppler
cs : velocità del suono nel mezzo
vT velocità del trasmettitore (sorgente), diretta verso destra
vR velocità del ricevitore (osservatore), diretta verso destra
Per vT < cs , vR < cs :
cs − vR
~vT
~vR
Tr - Rr cs − vT
cs + vR
~vR
~vT
Se il trasmettitore precede il ricevitore: νR = νT
Rr - Tr cs + vT
Per velocità dirette verso sinistra basta cambiare il segno nelle formule precedenti.
Se le velocità ~vR e ~vT non sono dirette lungo la congiungente trasmettitore-ricevitore, nelle
formule precedenti bisogna usare le componenti delle velocità lungo la congiungente stessa.
Se il ricevitore precede il trasmettitore:
O.8
νR = νT
Onda d’urto
Per vT > cs , angolo di semiapertura del cono sonico:
numero di Mach =
O.9
vT
cs
sin θ =
cs
vT
Pacchetti d’onda
∆k∆x ≥ 2π
∆ω∆t ≥ 2π
∆ν∆t ≥ 1
Si definisce la relazione di dispersione (relazione tra la frequenza angolare e la lunghezza
d’onda: ω(k) = vf (k)k
Velocita’ di fase: vf = ω/k.
Se vf è costante (cioè indipendente da k), il mezzo è non dispersivo: tutte le onde,
indipendentemente da λ, hanno la stessa velocità di propagazione.
Se vf dipende da k il mezzo è dispersivo. Il pacchetto si deforma e avanza con la velocità
di gruppo:
dω
dvf
dvf
dvf
vg =
= vf + k
= vf − λ
= vf + ν
dk
dk
dλ
dν
In un mezzo non dispersivo vg = vf .
O.10
Interferenza
Nel punto P giungono due onde emesse (stessa frequenza e lunghezza d’onda), rispettivamente, da una sorgente a distanza x1 e da un’altra a distanza x2 da P ,
ξ1 (P, t) = A1 cos(ωt − kx1 − φ1 ) = A1 cos(ωt + α1 )
ξ2 (P, t) = A2 cos(ωt − kx2 − φ2 ) = A2 cos(ωt + α2 )
ξ(P, t) = ξ1 (P, t) + ξ2 (P, t) = A cos(ωt + α)
5
A=
q
q
A21 + A22 + 2A1 A2 cos(α1 − α2 ) = A21 + A12 + 2A1 A2 cos δ
tan α =
Interferenza costruttiva:
Interferenza distruttiva:
A1 sin α1 + A2 sin α2
A1 cos α1 + A2 cos α2
δ = α1 − α2 = 2nπ
δ = α1 − α2 = (2n + 1)π
Intensità:
I(P ) = I1 + I2 + 2
n = 0, ±1, ±2, . . .
n = 0, ±1, ±2, . . .
p
I1 I2 cos δ
Nel caso particolare di due onde di uguale ampiezza A1 = A2 = A0 :
A = 2A0 cos
O.11
δ
2
α=
α1 + α2
2
I = 4I0 cos2
δ
2
Onde stazionarie
Onde stazionarie unidimensionali
s(x, t) = A sin kx cos ωt
Corda tesa di lunghezza L con gli estremi entrambi fissi, colonna di gas chiusa ad
entrambe le estremità (o aperta ad entrambe le estremità):
2L
π
v
= mν1 , λm =
, km = m
m = 1, 2, . . .
Serie armonica: νm = m
2L
m
L
Se la corda (o colonna di gas) ha gli estremi in x = 0 e x = L:

π 
λ

′
posizione dei ventri: x = (2m + 1) = (2m + 1)
4
2k
λ
π


posizione dei nodi: x = m′ = m′
2
k
′
m′ = 0, 1, 2, . . .
Corda tesa di lunghezza L con un’estremità libera ed una fissa, colonna di gas con
un’estremità chiusa ed una aperta:
Serie armonica:
4L
v
= (2m + 1)ν1 ,
λm =
,
m = 0, 1, 2, . . .
νm = (2m + 1)
4L
2m + 1
Onde stazionarie in due dimensioni
Membrana rettangolare tesa, tensione T (forza per unità di lunghezza, [N/m]), densità
superficiale di massa σ. All’equilibrio la membrana è ferma sul piano xy (z = 0), investita
da un’onda vibra in direzione z. p
La velocità di propagazione è v = T /σ
Onde stazionarie:
z(x, y, t) = A sin(kx x) sin(ky y) sin(ωt)
π
π
, ky = ny
Lx
Ly
nx , ny = 1, 2, 3 . . .
kx = nx
(Lx e Ly sono le lunghezze della membrana in direzione x e y)
s
q
n2y
2π
n2x
+ 2 =
Vettori d’onda: knx ,ny = kx2 + ky2 = π
2
Lx
Ly
λnx ,ny
s
n2y
v
v n2x
Frequenze di vibrazione: νnx ,ny =
+
knx ,ny =
2π
2 L2x
L2y
6