PLS – Matematica e statistica
Laboratorio di Storia della Matematica
Dal metodo delle tangenti
al calcolo differenziale
Laboratorio di
Storia della Matematica
a cura di
Veronica Gavagna
(Università di Salerno)
Emilio Polverino – Marco Nicastro
(Liceo Scientifico “G. Da Procida”)
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Dalle curve dei Greci
alla tangente di Apollonio
Luisa Valeria Coccorullo
Marco Gaeta
Maria Maiellaro
Ernesto Santomauro
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Dalle curve dei greci alle rette tangenti
Le nostre attività di laboratorio hanno avuto inizio
con lo studio delle curve così come le intendevano i Greci.
Per i Greci una curva era nota quando
era possibile una procedura per la sua costruzione.
Con considerazioni geometriche, poi,
risalivano alle proprietà che descrivevano quelle curve.
Le prime curve studiate sono state le coniche,
introducendo il cono secondo Euclide e poi secondo Apollonio.
Quest’ultimo, ne descrive le caratteristiche, definite
“Sintomo”
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Il sintomo delle parabola
Per esempio, il “sintomo” della parabola,
guardando la figura è
KL² = FG x FL
che è una equazione analoga a quella che
conosciamo nel piano cartesiano
y = a x2
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La tangente nella matematica greca
Passiamo ora al problema delle rette tangenti.
La tangente è legata all’incontro tra retta e curva
Euclide così definisce la tangente alla circonferenza
Si dice che una retta è tangente ad una circonferenza
quando incontra la circonferenza e, prolungata, non la taglia
Poi dimostra
1. La perpendicolare al diametro condotta per un suo estremo
è una tangente alla circonferenza
2. È unica, cioè non esiste un’altra retta che passi per lo stesso
punto e che sia tutta esterna alla circonferenza.
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La tangente per Apollonio
Per Apollonio, se si traccia una retta passante per l’estremo del
diametro di una qualsiasi conica, parallela alle ordinate relative a quel
diametro, allora:
1. La retta sarà tangente alla conica (cadrà tutta fuori)
2. Nessuna altra retta potrà essere inserita nello spazio fra la tangente e
la conica.
E lo dimostra
Ma come determinare tale retta tangente?
Apollonio ricorre alla sottotangente
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Esaminiamo il caso della Parabola
Se si considera la parabola
nel piano cartesiano
preso un punto P su di essa
la sottotangente QT
è divisa in due parti uguali
dal vertice V
Q
P
V
T
Nota questa proprietà, allora è possibile costruire
la tangente alla Parabola. Basta costruire la sottotangente
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Esempio con Geogebra
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Il metodo della tangente
di René Descartes
Annachiara Graziano
Filomena Grimaldi
Luigi Pisano
Debora Pisaturo
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Cartesio nel 1637 pubblica il
Discorso sul metodo per un retto uso
della propria ragione e per la ricerca
della verità nelle scienze,
seguito da tre importanti trattati,
Dioptrique - Météores - Géométrie.
La Géométrie è divisa in tre libri
dedicati rispettivamente
all’analisi dei problemi piani
(che si possono risolvere con riga e compasso),
alle curve geometriche e meccaniche
e alla costruzione geometrica delle curve.
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Algebra dei segmenti
Il primo dei tre libri
è dedicato alla costruzione di un’algebra di segmenti
cioè a stabilire una corrispondenza fra
operazioni aritmetiche e operazioni geometriche
con il solo uso di riga e compasso
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Il metodo delle tangenti
Nel secondo libro
Retta tangente
Descartes affronta il problema
delle rette tangenti ad una curva.
Problema che egli risolve
Retta normale
con la determinazione
della retta normale alla curva.
Tra le infinite circonferenze
egli considera quella il cui centro giace sull’asse X
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Risolvendo il sistema tra la parabola e la circonferenza
y = mx²
y² + (x – v)² = r²
Eliminando la variabile y si ottiene un polinomio
Q(x) di grado 2n = 4
Q(x) = m²x⁴ + x² - 2vx + v² - r²
che Cartesio risolve col metodo delle radici doppie.
Vediamo
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Consideriamo una circonferenza
secante la curva in due punti A e B.
L’equazione risolvente
ammette due radici distinte.
Man mano che la circonferenza scende
al di sotto della curva, i due punti si
avvicinano fino a sovrapporsi nel punto
di tangenza, dove le radici coincidono.
B
A
In quel punto si ha una radice doppia
Allora, il polinomio Q(x) si può scrivere
Q(x) = (x – x₀)² R(x)
Cioè:
Q(x) = (x – x₀)²(ax²+ bx + c)
P
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Sviluppando, uguagliando e applicando il principio di identità dei
polinomi si ottengono le coordinate del centro della circonferenza
C (x₀ + 2 m²x₀³; 0)
Considerando la retta normale che passa
per il centro della circonferenza e per il punto P,
si trova l’equazione della retta tangente in P alla parabola:
y = 2 mx₀(x - x₀) + y₀
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I metodi di
De Beaune e Hudde
Biagio De Simone
Marco Citro
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Il metodo di De Beaune
Mentre Descartes studia l’intersezione della curva con la
circonferenza, duplicando il grado dell’equazione, De Beaune
(Notae Breves del 1649) studia l’intersezione conica -retta
In questo modo De Beaune mantiene il grado dell’equazione
della conica e il polinomio ausiliario R(x) è di grado zero.
Come esempio, consideriamo l’iperbole
equilatera xy=1 e la retta y = mx + q
Risolvendo il sistema:
{
xy=1
y=mx+q
P(x0,y0)
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Si ottiene:
mx2 + qx - 1= 0
che avrà radice doppia in x0.
Quindi possiamo scrivere:
Q(x) = a(x-x0)2
Sviluppando i calcoli, per il principio di identità dei polinomi,
uguagliando i coefficienti di x2, x e i termini noti, si ottengono i
valori di m e q e quindi l’equazione della retta tangente:
y= -y02x + 2y0
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Il metodo di Jan Hudde
Jan Hudde, nell’edizione della Géométrie del 1659,
propone un metodo che evita l’introduzione del polinomio
ausiliare R(x). Utilizza per questo una
PROGRESSIONE ARITMETICA
e la seguente proprietà:
Se i termini di un equazione polinomiale
(che ammette due radici Xo uguali)
vengono moltiplicati per i termini
di una Progressione Aritmetica qualsiasi,
allora tale prodotto sarà ancora un’equazione
che ammette la stessa radice Xo.
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Consideriamo il caso della parabola
y = ax2
Facciamo l’intersezione con la retta per P
P
y = ax2
{ y = y0+ m(x-x0)
Risolvendo, si ottiene il polinomio
Q(x0) = x02 - pmx0 + p(mx0-y0) = 0
(con p = 1/a)
che è uguale a zero poiché ha radice doppia in x0
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Se ora moltiplichiamo i termini del polinomio precedente
Q(x0)= p(mx0-y0) - pmx0 + x02 = 0
per la P.A. di ragione 1 dei numeri interi positivi
(0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.)
Otteniamo Q*(x) che ammette ancora radice x0
Quindi:
Q*(x0) = 2x02- pmx0 = 0
Da cui ricaviamo m:
m = 2ax0
L’equazione della retta tangente alla parabola in P è, allora:
y = 2ax0(x-x0) + y0
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Dal metodo dei massimi e dei
minimi al metodo della tangente
di Pierre de Fermat
Andrea Colletto
Alessandro De Martino
Giancarlo Savino
Carol Natasha Spinelli
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Il (secondo) metodo dei massimi e minimi
Nel 1637, in un suo manoscritto
”Methodus ad disquierendam maximam et minimam”
Fermat propone un metodo per calcolare i massimi e minimi.
In termini moderni, il metodo si esprime così:
Immaginiamo di rappresentare la relazione da massimizzare
come una funzione della variabile X,
f(X) = BX – X2
e supponiamo che f assuma il valore massimo M quando
X=A
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Se incrementiamo il valore di A di una quantità E allora:
f(A + E) – f(A) ≈ 0
Poiché E ≠ 0, si ha:
f(A + E) – f(A) ≈ 0
E
Semplificando quest'ultima espressione
successivamente ponendo il rapporto uguale a zero,
si ottiene un'equazione nell'incognita A
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Esempio del metodo
Dato un rettangolo ABCD di cui è noto il semiperimetro p,
determiniamo i lati AB e BC che rendono massima l'area del
rettangolo.
Per fare questo, applichiamo il metodo dei massimi e minimi di
Fermat al rettangolo in figura
D
C
p-x
B
A
x
Se x è la lunghezza di AB, l’altro lato AD sarà uguale a (p-x)
Allora l’area da massimizzare sarà:
A(x) = x(p – x)
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Cioè:
A(x+E)-A(x)
E
≈ 0
Con opportuni calcoli e considerando, poi, E = 0,
si ottiene :
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Metodo delle tangenti di Fermat
Nel manoscritto “De tangentibus linearum curvarum”,
Fermat propone un'applicazione del suo metodo
per determinare la tangente a una linea curva in un punto P
Egli determina la sottotangente
t = EX (vedi figura)
a una parabola x = y2
e ritrova il risultato che ci si
aspettava:
la sottotangente è doppia
del piede della parabola.
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Infatti, dalla similitudine dei triangoli CAE e PXE si può scrivere
CA = (AE*PX)/ EX
Osservando che:
e
CA = CD + AD
AD = f(x+e); CD = g(x+e)
Sostituendo e dividendo per e, si ha
Con opportuni calcoli si determina:
t = 2x
Ritrovando, così, il valore della sottotangente.
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Nova methodus
pro maximis et minimis
di Gottfried Wilhelm Leibniz
Amendola Pietro
Apicella Enrica
Franco Elettra
Lo Schiavo Marco
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Il metodo di Leibniz sfrutta
la tangente per definire i differenziali
o differenze infinitesime.
Per trovare la tangente
occorre condurre una retta
che congiunga due punti
a distanza infinitamente piccola,
chiamata differenziale.
Poiché una curva
è un poligono di infiniti lati,
la tangente può essere intesa come
il prolungamento di uno di questi lati.
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La tangente a una curva
Sia un punto appartenente alla curva.
Incrementando le coordinate di
quantità infinitesime dx e dy,
si ha un triangolo rettangolo simile
al triangolo ADP.
Allora:
DA : PA = dx : dy
t : y = dx : dy,
E la sottotangente
t = y (dx/dy)
(segmento AD)
Come si vede, la sottotangente perde il ruolo di protagonista e
diventa un parametro geometrico dipendente dal rapporto
dx/dy
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Le regole di calcolo
Per calcolare il rapporto dx/dy,
Leibniz stabilisce regole di differenziazione.
• Il differenziale di una costante è zero: da = 0
• Il differenziale di una somma è la somma dei differenziali.
• Il differenziale di un prodotto è
d(xv)= xdv + vdx
• Il prodotto tra due differenziale è trascurabile,
poiché quantità infinitesime.
ecc. ecc.
Tali regole non furono dimostrate da Leibniz,
il quale non voleva svelare la natura infinitesimale dei differenziali
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Esempio: la parabola
Applichiamo il metodo alla parabola
y = x2
Differenziando: y + dy = (x+dx)2
dy = (x+dx)2 – y
P(x,y)
Calcolando si ha:
dy = 2xdx
t
da cui:
dy/dx = 2x
che è il coeff. angolare della tangente in P
Allora
Sull’asse y:
t = y (dx/dy) = y/2x = x/2
t = 2y (e si ritrova la sottotangente di Apollonio)
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Legge della rifrazione
Nella “Nova Methodus” Leibniz propone
alcuni esempi di applicazione, tra cui
il problema della rifrazione della luce.
Leibniz vuole determinare il punto F sulla retta
SS tale che la via da C ad E per F sia la
più facile per tutte le vie possibili.
E
h
Applicando il suo metodo di minimizzazione,
egli ottiene la legge della rifrazione
r : h = sinar : sin ai
Dove ar e ai sono gli angoli di rifrazione e di incidenza.
F r P
C
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Abbiamo intitolato
Nova methodus pro maximis et minimis
ma il titolo è ancora più lungo. Continua, infatti, in italiano:
“… come anche per le tangenti,
che non si arresta davanti a quantità frazionarie e irrazionali
e modo unico di calcolo per i suddetti”.
Scrive Leibniz:
“Grazie alla conoscenza di questo calcolo differenziale, tutte le altre
equazioni possono essere trovate con il calcolo comune e possono
ottenersi i massimi e i minimi, come pure le tangenti, senza che sia
necessario eliminare le frazioni, gli irrazionali o altri vincoli,
come invece si doveva fare con i metodi pubblicati finora”
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“Grazie per l’attenzione”
“La matematica
onora lo spirito umano”
