Applicazioni del concetto di derivata
Giulia Simi (Università di Siena)
Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica
Siena 2015-2016
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A: Significato geometrico di derivata
Dato il grafico di f , utilizzare il significato geometrico di derivata
per:
I
determinare il dominio della derivata f 0 ;
I
riconoscere i punti di non derivabilità di f ;
I
valutare la derivata di f in un punto, quando esiste;
I
confrontare tra loro le derivate in diversi punti del dominio di f e
ordinare tali valori numerici.
Disegnare il grafico di una funzione che soddisfi condizioni che
coinvolgono il concetto di derivata;
Noto il grafico di f , disegnare il grafico della funzione derivata f 0 ;
Noto il grafico di f 0 , ricavare informazioni sul grafico di f .
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A: Significato geometrico di derivata
Dato il grafico di f , utilizzare il significato geometrico di derivata
per:
I
determinare il dominio della derivata f 0 ;
I
riconoscere i punti di non derivabilità di f ;
I
valutare la derivata di f in un punto, quando esiste;
I
confrontare tra loro le derivate in diversi punti del dominio di f e
ordinare tali valori numerici.
Disegnare il grafico di una funzione che soddisfi condizioni che
coinvolgono il concetto di derivata;
Noto il grafico di f , disegnare il grafico della funzione derivata f 0 ;
Noto il grafico di f 0 , ricavare informazioni sul grafico di f .
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A: Significato geometrico di derivata
Dato il grafico di f , utilizzare il significato geometrico di derivata
per:
I
determinare il dominio della derivata f 0 ;
I
riconoscere i punti di non derivabilità di f ;
I
valutare la derivata di f in un punto, quando esiste;
I
confrontare tra loro le derivate in diversi punti del dominio di f e
ordinare tali valori numerici.
Disegnare il grafico di una funzione che soddisfi condizioni che
coinvolgono il concetto di derivata;
Noto il grafico di f , disegnare il grafico della funzione derivata f 0 ;
Noto il grafico di f 0 , ricavare informazioni sul grafico di f .
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A: Significato geometrico di derivata
Dato il grafico di f , utilizzare il significato geometrico di derivata
per:
I
determinare il dominio della derivata f 0 ;
I
riconoscere i punti di non derivabilità di f ;
I
valutare la derivata di f in un punto, quando esiste;
I
confrontare tra loro le derivate in diversi punti del dominio di f e
ordinare tali valori numerici.
Disegnare il grafico di una funzione che soddisfi condizioni che
coinvolgono il concetto di derivata;
Noto il grafico di f , disegnare il grafico della funzione derivata f 0 ;
Noto il grafico di f 0 , ricavare informazioni sul grafico di f .
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A: Significato geometrico di derivata
Dato il grafico di f , utilizzare il significato geometrico di derivata
per:
I
determinare il dominio della derivata f 0 ;
I
riconoscere i punti di non derivabilità di f ;
I
valutare la derivata di f in un punto, quando esiste;
I
confrontare tra loro le derivate in diversi punti del dominio di f e
ordinare tali valori numerici.
Disegnare il grafico di una funzione che soddisfi condizioni che
coinvolgono il concetto di derivata;
Noto il grafico di f , disegnare il grafico della funzione derivata f 0 ;
Noto il grafico di f 0 , ricavare informazioni sul grafico di f .
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A: Significato geometrico di derivata
Dato il grafico di f , utilizzare il significato geometrico di derivata
per:
I
determinare il dominio della derivata f 0 ;
I
riconoscere i punti di non derivabilità di f ;
I
valutare la derivata di f in un punto, quando esiste;
I
confrontare tra loro le derivate in diversi punti del dominio di f e
ordinare tali valori numerici.
Disegnare il grafico di una funzione che soddisfi condizioni che
coinvolgono il concetto di derivata;
Noto il grafico di f , disegnare il grafico della funzione derivata f 0 ;
Noto il grafico di f 0 , ricavare informazioni sul grafico di f .
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A: Significato geometrico di derivata
Dato il grafico di f , utilizzare il significato geometrico di derivata
per:
I
determinare il dominio della derivata f 0 ;
I
riconoscere i punti di non derivabilità di f ;
I
valutare la derivata di f in un punto, quando esiste;
I
confrontare tra loro le derivate in diversi punti del dominio di f e
ordinare tali valori numerici.
Disegnare il grafico di una funzione che soddisfi condizioni che
coinvolgono il concetto di derivata;
Noto il grafico di f , disegnare il grafico della funzione derivata f 0 ;
Noto il grafico di f 0 , ricavare informazioni sul grafico di f .
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A: Significato geometrico di derivata
Dato il grafico di f , utilizzare il significato geometrico di derivata
per:
I
determinare il dominio della derivata f 0 ;
I
riconoscere i punti di non derivabilità di f ;
I
valutare la derivata di f in un punto, quando esiste;
I
confrontare tra loro le derivate in diversi punti del dominio di f e
ordinare tali valori numerici.
Disegnare il grafico di una funzione che soddisfi condizioni che
coinvolgono il concetto di derivata;
Noto il grafico di f , disegnare il grafico della funzione derivata f 0 ;
Noto il grafico di f 0 , ricavare informazioni sul grafico di f .
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B: Calcolo della derivata
1
Data una funzione f ed un punto x0 del suo dominio, scrivere il
rapporto incrementale della funzione e la derivata in x0 come
limite di tale rapporto;
2
Data una funzione f espressa attraverso una formula matematica,
determinare la formula matematica della funzione derivata f 0 ,
usando la tabella delle derivate fondamentali e le regole di
derivazione.
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B: Calcolo della derivata
1
Data una funzione f ed un punto x0 del suo dominio, scrivere il
rapporto incrementale della funzione e la derivata in x0 come
limite di tale rapporto;
2
Data una funzione f espressa attraverso una formula matematica,
determinare la formula matematica della funzione derivata f 0 ,
usando la tabella delle derivate fondamentali e le regole di
derivazione.
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C: Applicazioni del concetto di derivata
1
Interpretazione, in vari contesti, della derivata in un punto come
rapidità di variazione della funzione in un punto e del rapporto
incrementale come rapidità di variazione media della funzione in
un intervallo;
2
A partire dalla formula che definisce una funzione f , determinare
l’equazione della retta tangente alla curva, grafico di f , in un suo
punto;
3
Risoluzione di semplici problemi di ottimizzazione;
4
Studio di funzione: disegnare con buona approssimazione il
grafico di una funzione a partire dalla formula matematica che la
definisce, in particolare studio di funzioni che nascono dalla
modellizzazione matematica di un certo fenomeno.
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C: Applicazioni del concetto di derivata
1
Interpretazione, in vari contesti, della derivata in un punto come
rapidità di variazione della funzione in un punto e del rapporto
incrementale come rapidità di variazione media della funzione in
un intervallo;
2
A partire dalla formula che definisce una funzione f , determinare
l’equazione della retta tangente alla curva, grafico di f , in un suo
punto;
3
Risoluzione di semplici problemi di ottimizzazione;
4
Studio di funzione: disegnare con buona approssimazione il
grafico di una funzione a partire dalla formula matematica che la
definisce, in particolare studio di funzioni che nascono dalla
modellizzazione matematica di un certo fenomeno.
Giulia Simi (Università di Siena)
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C: Applicazioni del concetto di derivata
1
Interpretazione, in vari contesti, della derivata in un punto come
rapidità di variazione della funzione in un punto e del rapporto
incrementale come rapidità di variazione media della funzione in
un intervallo;
2
A partire dalla formula che definisce una funzione f , determinare
l’equazione della retta tangente alla curva, grafico di f , in un suo
punto;
3
Risoluzione di semplici problemi di ottimizzazione;
4
Studio di funzione: disegnare con buona approssimazione il
grafico di una funzione a partire dalla formula matematica che la
definisce, in particolare studio di funzioni che nascono dalla
modellizzazione matematica di un certo fenomeno.
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C: Applicazioni del concetto di derivata
1
Interpretazione, in vari contesti, della derivata in un punto come
rapidità di variazione della funzione in un punto e del rapporto
incrementale come rapidità di variazione media della funzione in
un intervallo;
2
A partire dalla formula che definisce una funzione f , determinare
l’equazione della retta tangente alla curva, grafico di f , in un suo
punto;
3
Risoluzione di semplici problemi di ottimizzazione;
4
Studio di funzione: disegnare con buona approssimazione il
grafico di una funzione a partire dalla formula matematica che la
definisce, in particolare studio di funzioni che nascono dalla
modellizzazione matematica di un certo fenomeno.
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Lettura delle derivate in grafici di funzioni
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Esempio
La funzione f è derivabile in (−∞, −2) ∪ (−2, 0) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞),
poiché dove f non è continua allora f non è derivabile, perché
dalla teoria si sa che derivabiltà implica continuità, ma non
viceversa. Oltre i punti di discontinuità dal dominio della derivata
prima, a volte indicato Dom f 0 , vanno tolti anche i punti angolosi,
punti di cuspide e punti di flessi a tangente verticale che qui non
troviamo.
f 0 (x) > 0 in (−∞, −2) ∪ (−2, 0), in quanto la funzione f è
crescente;
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Esempio
La funzione f è derivabile in (−∞, −2) ∪ (−2, 0) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞),
poiché dove f non è continua allora f non è derivabile, perché
dalla teoria si sa che derivabiltà implica continuità, ma non
viceversa. Oltre i punti di discontinuità dal dominio della derivata
prima, a volte indicato Dom f 0 , vanno tolti anche i punti angolosi,
punti di cuspide e punti di flessi a tangente verticale che qui non
troviamo.
f 0 (x) > 0 in (−∞, −2) ∪ (−2, 0), in quanto la funzione f è
crescente;
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6 / 28
Esempio
La funzione f è derivabile in (−∞, −2) ∪ (−2, 0) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞),
poiché dove f non è continua allora f non è derivabile, perché
dalla teoria si sa che derivabiltà implica continuità, ma non
viceversa. Oltre i punti di discontinuità dal dominio della derivata
prima, a volte indicato Dom f 0 , vanno tolti anche i punti angolosi,
punti di cuspide e punti di flessi a tangente verticale che qui non
troviamo.
f 0 (x) > 0 in (−∞, −2) ∪ (−2, 0), in quanto la funzione f è
crescente;
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6 / 28
Esempio
f 0 (x) < 0 in (0, 2) ∪ (2, +∞), in quanto la funzione f è decresente;
f 00 (x) > 0 in (−∞, −2) ∪ (2, +∞), in quanto la funzione f è
convessa;
f 00 (x) < 0 in (−2, 0) ∪ (0, 2), in quanto la funzione f è concava;
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7 / 28
Esempio
f 0 (x) < 0 in (0, 2) ∪ (2, +∞), in quanto la funzione f è decresente;
f 00 (x) > 0 in (−∞, −2) ∪ (2, +∞), in quanto la funzione f è
convessa;
f 00 (x) < 0 in (−2, 0) ∪ (0, 2), in quanto la funzione f è concava;
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7 / 28
Esempio
f 0 (x) < 0 in (0, 2) ∪ (2, +∞), in quanto la funzione f è decresente;
f 00 (x) > 0 in (−∞, −2) ∪ (2, +∞), in quanto la funzione f è
convessa;
f 00 (x) < 0 in (−2, 0) ∪ (0, 2), in quanto la funzione f è concava;
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7 / 28
Esempio
f è continua in (−∞, 3) ∪ (3, +∞), x = 3 discontinuità di salto;
Dom f 0 = (−∞, 0) ∪ (0, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, +∞), in quanto in x = 3 la
funzione non è continua e in x = 0 e x = 2 la funzione presenta
punto angoloso;
f 0 (x) < 0 in (0, 2);
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8 / 28
Esempio
f è continua in (−∞, 3) ∪ (3, +∞), x = 3 discontinuità di salto;
Dom f 0 = (−∞, 0) ∪ (0, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, +∞), in quanto in x = 3 la
funzione non è continua e in x = 0 e x = 2 la funzione presenta
punto angoloso;
f 0 (x) < 0 in (0, 2);
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8 / 28
Esempio
f è continua in (−∞, 3) ∪ (3, +∞), x = 3 discontinuità di salto;
Dom f 0 = (−∞, 0) ∪ (0, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, +∞), in quanto in x = 3 la
funzione non è continua e in x = 0 e x = 2 la funzione presenta
punto angoloso;
f 0 (x) < 0 in (0, 2);
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8 / 28
Esempio
f 0 (x) = 0 in (3, +∞);
f 0 (x) > 0 in (−∞, 0) ∪ (2, 3);
f 0 (x) = k in (0, 2), in (2, 3) e in (3, +∞). La costante k nei tre
intervalli non è la stessa. f 00 (x) < 0 in (−∞, 0) e f 00 (x) = 0 in
(0, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, +∞).
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9 / 28
Esempio
f 0 (x) = 0 in (3, +∞);
f 0 (x) > 0 in (−∞, 0) ∪ (2, 3);
f 0 (x) = k in (0, 2), in (2, 3) e in (3, +∞). La costante k nei tre
intervalli non è la stessa. f 00 (x) < 0 in (−∞, 0) e f 00 (x) = 0 in
(0, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, +∞).
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9 / 28
Esempio
f 0 (x) = 0 in (3, +∞);
f 0 (x) > 0 in (−∞, 0) ∪ (2, 3);
f 0 (x) = k in (0, 2), in (2, 3) e in (3, +∞). La costante k nei tre
intervalli non è la stessa. f 00 (x) < 0 in (−∞, 0) e f 00 (x) = 0 in
(0, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, +∞).
Giulia Simi (Università di Siena)
Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica
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9 / 28
Esempio
Dom f 0 (x) = (−∞, −2) ∪ (−2, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞);
f 0 (x) > 0 in (−2, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, 1);
f 0 (x) < 0 in (−∞, −2) ∪ (1, +∞);
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10 / 28
Esempio
Dom f 0 (x) = (−∞, −2) ∪ (−2, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞);
f 0 (x) > 0 in (−2, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, 1);
f 0 (x) < 0 in (−∞, −2) ∪ (1, +∞);
Giulia Simi (Università di Siena)
Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016
10 / 28
Esempio
Dom f 0 (x) = (−∞, −2) ∪ (−2, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞);
f 0 (x) > 0 in (−2, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, 1);
f 0 (x) < 0 in (−∞, −2) ∪ (1, +∞);
Giulia Simi (Università di Siena)
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10 / 28
Esempio
f 0 (x) = 0 in x = 0 in quanto flesso a tangente orizzontale;
f 00 (x) < 0 in (−∞, −2) ∪ (−2, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (1, +∞);
f 00 (x) > 0 in (0, 1);
f 00 (x) = 0 in x = 0 in quanto punto di flesso a tangente orizzontale
e non a tangente verticale.
Giulia Simi (Università di Siena)
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11 / 28
Esempio
f 0 (x) = 0 in x = 0 in quanto flesso a tangente orizzontale;
f 00 (x) < 0 in (−∞, −2) ∪ (−2, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (1, +∞);
f 00 (x) > 0 in (0, 1);
f 00 (x) = 0 in x = 0 in quanto punto di flesso a tangente orizzontale
e non a tangente verticale.
Giulia Simi (Università di Siena)
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11 / 28
Esempio
f 0 (x) = 0 in x = 0 in quanto flesso a tangente orizzontale;
f 00 (x) < 0 in (−∞, −2) ∪ (−2, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (1, +∞);
f 00 (x) > 0 in (0, 1);
f 00 (x) = 0 in x = 0 in quanto punto di flesso a tangente orizzontale
e non a tangente verticale.
Giulia Simi (Università di Siena)
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11 / 28
Esempio
f 0 (x) = 0 in x = 0 in quanto flesso a tangente orizzontale;
f 00 (x) < 0 in (−∞, −2) ∪ (−2, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (1, +∞);
f 00 (x) > 0 in (0, 1);
f 00 (x) = 0 in x = 0 in quanto punto di flesso a tangente orizzontale
e non a tangente verticale.
Giulia Simi (Università di Siena)
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11 / 28
Dal grafico di una funzione a quella della sua derivata
Giulia Simi (Università di Siena)
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12 / 28
Esempio
Giulia Simi (Università di Siena)
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13 / 28
Esempio
Giulia Simi (Università di Siena)
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14 / 28
Esempio
Giulia Simi (Università di Siena)
Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016
15 / 28
Esempio
Giulia Simi (Università di Siena)
Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016
16 / 28
Esempio
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17 / 28
Esempio
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18 / 28
Funzioni che modellizzano fenomeni reali
Esempio
Ipotesi biologiche sulla crescita di una popolazione di batteri
suggeriscono che il numero N(t) di individui nella popolazione al
tempo t segua un andamento dato dalla seguente legge:
N(t) =
2et
.
t +1
Studiare la funzione N (anche per t < 0) e disegnarne il grafico.
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19 / 28
Funzioni che modellizzano fenomeni reali
Esempio
Ipotesi biologiche sulla crescita di una popolazione di batteri
suggeriscono che il numero N(t) di individui nella popolazione al
tempo t segua un andamento dato dalla seguente legge:
N(t) =
2et
.
t +1
Studiare la funzione N (anche per t < 0) e disegnarne il grafico.
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19 / 28
Funzioni che modellizzano fenomeni reali
Esempio
Ipotesi biologiche sulla crescita di una popolazione di batteri
suggeriscono che il numero N(t) di individui nella popolazione al
tempo t segua un andamento dato dalla seguente legge:
N(t) =
2et
.
t +1
Studiare la funzione N (anche per t < 0) e disegnarne il grafico.
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19 / 28
Esempio
Una popolazione di laboratorio di Drosophila varia nel tempo, misurato
in giorni, secondo la seguente legge:
N(t) =
3000
.
1 + e−2t
Studiare la funzione e disegnarne il grafico in modo approssimato.
In particolare rispondere alle seguenti richieste:
a) calcolare la numerosità iniziale, cioè per t = 0, della
popolazione e mostrare che la funzione N è crescente;
b) determinare
lim N(t);
t→+∞
c) è possibile che la numerosità della popolazione diventi tre
volte quella iniziale? Perché?
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20 / 28
Esempio
Una popolazione di laboratorio di Drosophila varia nel tempo, misurato
in giorni, secondo la seguente legge:
N(t) =
3000
.
1 + e−2t
Studiare la funzione e disegnarne il grafico in modo approssimato.
In particolare rispondere alle seguenti richieste:
a) calcolare la numerosità iniziale, cioè per t = 0, della
popolazione e mostrare che la funzione N è crescente;
b) determinare
lim N(t);
t→+∞
c) è possibile che la numerosità della popolazione diventi tre
volte quella iniziale? Perché?
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20 / 28
Esempio
Una popolazione di laboratorio di Drosophila varia nel tempo, misurato
in giorni, secondo la seguente legge:
N(t) =
3000
.
1 + e−2t
Studiare la funzione e disegnarne il grafico in modo approssimato.
In particolare rispondere alle seguenti richieste:
a) calcolare la numerosità iniziale, cioè per t = 0, della
popolazione e mostrare che la funzione N è crescente;
b) determinare
lim N(t);
t→+∞
c) è possibile che la numerosità della popolazione diventi tre
volte quella iniziale? Perché?
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20 / 28
Esempio
Una popolazione di laboratorio di Drosophila varia nel tempo, misurato
in giorni, secondo la seguente legge:
N(t) =
3000
.
1 + e−2t
Studiare la funzione e disegnarne il grafico in modo approssimato.
In particolare rispondere alle seguenti richieste:
a) calcolare la numerosità iniziale, cioè per t = 0, della
popolazione e mostrare che la funzione N è crescente;
b) determinare
lim N(t);
t→+∞
c) è possibile che la numerosità della popolazione diventi tre
volte quella iniziale? Perché?
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20 / 28
Esempio
Una popolazione di laboratorio di Drosophila varia nel tempo, misurato
in giorni, secondo la seguente legge:
N(t) =
3000
.
1 + e−2t
Studiare la funzione e disegnarne il grafico in modo approssimato.
In particolare rispondere alle seguenti richieste:
a) calcolare la numerosità iniziale, cioè per t = 0, della
popolazione e mostrare che la funzione N è crescente;
b) determinare
lim N(t);
t→+∞
c) è possibile che la numerosità della popolazione diventi tre
volte quella iniziale? Perché?
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20 / 28
Esempio
Una popolazione di laboratorio di Drosophila varia nel tempo, misurato
in giorni, secondo la seguente legge:
N(t) =
3000
.
1 + e−2t
Studiare la funzione e disegnarne il grafico in modo approssimato.
In particolare rispondere alle seguenti richieste:
a) calcolare la numerosità iniziale, cioè per t = 0, della
popolazione e mostrare che la funzione N è crescente;
b) determinare
lim N(t);
t→+∞
c) è possibile che la numerosità della popolazione diventi tre
volte quella iniziale? Perché?
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20 / 28
Determinazione della retta tangente
Equazione della curva a un punto x0 .
Definizione
Data una funzione di variabile reale f , consideriamo un punto
(x0 , f (x0 )) del suo grafico.
Se f è derivabile in x0 la retta tangente al grafico di f in (x0 , y0 ) dove
y0 = f (x0 ) è la retta che passa per tale punto con coefficiente angolare
f 0 (x0 ). Quindi la retta tangente è
y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ).
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21 / 28
Determinazione della retta tangente
Equazione della curva a un punto x0 .
Definizione
Data una funzione di variabile reale f , consideriamo un punto
(x0 , f (x0 )) del suo grafico.
Se f è derivabile in x0 la retta tangente al grafico di f in (x0 , y0 ) dove
y0 = f (x0 ) è la retta che passa per tale punto con coefficiente angolare
f 0 (x0 ). Quindi la retta tangente è
y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ).
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21 / 28
Esempio
Trovare l’equazione della retta tangente alla parabola f (x) = x 2 − 2x
nel punto di ascissa x0 = 1.
Si applica la formula precedente e si ha
y − f (1) = f 0 (1)(x − 1).
Si calcola f (1) = 12 − 2 · 1 = −1.
Per calcolare f 0 (1) si calcola prima la derivata f 0 (x);
f 0 (x) = 2x − 2. Quindi f 0 (1) = 0.
Quindi l’equazione della retta tangente è
y − (−1) = 0(x − 1)
ovvero
y = −1.
Quindi la retta tangente è una retta orizzontale e quindi x0 = 1 è un
punto stazionario.
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22 / 28
Esempio
Trovare l’equazione della retta tangente alla parabola f (x) = x 2 − 2x
nel punto di ascissa x0 = 1.
Si applica la formula precedente e si ha
y − f (1) = f 0 (1)(x − 1).
Si calcola f (1) = 12 − 2 · 1 = −1.
Per calcolare f 0 (1) si calcola prima la derivata f 0 (x);
f 0 (x) = 2x − 2. Quindi f 0 (1) = 0.
Quindi l’equazione della retta tangente è
y − (−1) = 0(x − 1)
ovvero
y = −1.
Quindi la retta tangente è una retta orizzontale e quindi x0 = 1 è un
punto stazionario.
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22 / 28
Esempio
Trovare l’equazione della retta tangente alla parabola f (x) = x 2 − 2x
nel punto di ascissa x0 = 1.
Si applica la formula precedente e si ha
y − f (1) = f 0 (1)(x − 1).
Si calcola f (1) = 12 − 2 · 1 = −1.
Per calcolare f 0 (1) si calcola prima la derivata f 0 (x);
f 0 (x) = 2x − 2. Quindi f 0 (1) = 0.
Quindi l’equazione della retta tangente è
y − (−1) = 0(x − 1)
ovvero
y = −1.
Quindi la retta tangente è una retta orizzontale e quindi x0 = 1 è un
punto stazionario.
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22 / 28
Esempio
Trovare l’equazione della retta tangente alla parabola f (x) = x 2 − 2x
nel punto di ascissa x0 = 1.
Si applica la formula precedente e si ha
y − f (1) = f 0 (1)(x − 1).
Si calcola f (1) = 12 − 2 · 1 = −1.
Per calcolare f 0 (1) si calcola prima la derivata f 0 (x);
f 0 (x) = 2x − 2. Quindi f 0 (1) = 0.
Quindi l’equazione della retta tangente è
y − (−1) = 0(x − 1)
ovvero
y = −1.
Quindi la retta tangente è una retta orizzontale e quindi x0 = 1 è un
punto stazionario.
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22 / 28
Esempio
Trovare l’equazione della retta tangente alla parabola f (x) = x 2 − 2x
nel punto di ascissa x0 = 1.
Si applica la formula precedente e si ha
y − f (1) = f 0 (1)(x − 1).
Si calcola f (1) = 12 − 2 · 1 = −1.
Per calcolare f 0 (1) si calcola prima la derivata f 0 (x);
f 0 (x) = 2x − 2. Quindi f 0 (1) = 0.
Quindi l’equazione della retta tangente è
y − (−1) = 0(x − 1)
ovvero
y = −1.
Quindi la retta tangente è una retta orizzontale e quindi x0 = 1 è un
punto stazionario.
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22 / 28
Esempio
Trovare l’equazione della retta tangente alla parabola f (x) = x 2 − 2x
nel punto di ascissa x0 = 1.
Si applica la formula precedente e si ha
y − f (1) = f 0 (1)(x − 1).
Si calcola f (1) = 12 − 2 · 1 = −1.
Per calcolare f 0 (1) si calcola prima la derivata f 0 (x);
f 0 (x) = 2x − 2. Quindi f 0 (1) = 0.
Quindi l’equazione della retta tangente è
y − (−1) = 0(x − 1)
ovvero
y = −1.
Quindi la retta tangente è una retta orizzontale e quindi x0 = 1 è un
punto stazionario.
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22 / 28
Esempio
Trovare se esiste un punto x0 ∈ R, nel quale la funzione f (x) = ex + x
abbia tangente parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione f nel
punto di ascissa x0 è f 0 (x0 ); due rette parallele hanno lo stesso
coefficiente angolare.
Esiste un punto x0 ∈ R tale che f 0 (x0 ) = ex0 + 1 = 1, dove m = 1 è
il coefficiente angolare della bisettrice del primo e terzo
quadrante?
La risposta è no; poiché ex > 0.
Il punto in qustione non esiste.
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23 / 28
Esempio
Trovare se esiste un punto x0 ∈ R, nel quale la funzione f (x) = ex + x
abbia tangente parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione f nel
punto di ascissa x0 è f 0 (x0 ); due rette parallele hanno lo stesso
coefficiente angolare.
Esiste un punto x0 ∈ R tale che f 0 (x0 ) = ex0 + 1 = 1, dove m = 1 è
il coefficiente angolare della bisettrice del primo e terzo
quadrante?
La risposta è no; poiché ex > 0.
Il punto in qustione non esiste.
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23 / 28
Esempio
Trovare se esiste un punto x0 ∈ R, nel quale la funzione f (x) = ex + x
abbia tangente parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione f nel
punto di ascissa x0 è f 0 (x0 ); due rette parallele hanno lo stesso
coefficiente angolare.
Esiste un punto x0 ∈ R tale che f 0 (x0 ) = ex0 + 1 = 1, dove m = 1 è
il coefficiente angolare della bisettrice del primo e terzo
quadrante?
La risposta è no; poiché ex > 0.
Il punto in qustione non esiste.
Giulia Simi (Università di Siena)
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23 / 28
Esempio
Trovare se esiste un punto x0 ∈ R, nel quale la funzione f (x) = ex + x
abbia tangente parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione f nel
punto di ascissa x0 è f 0 (x0 ); due rette parallele hanno lo stesso
coefficiente angolare.
Esiste un punto x0 ∈ R tale che f 0 (x0 ) = ex0 + 1 = 1, dove m = 1 è
il coefficiente angolare della bisettrice del primo e terzo
quadrante?
La risposta è no; poiché ex > 0.
Il punto in qustione non esiste.
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23 / 28
Esempio
Trovare se esiste un punto x0 ∈ R, nel quale la funzione f (x) = ex + x
abbia tangente parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione f nel
punto di ascissa x0 è f 0 (x0 ); due rette parallele hanno lo stesso
coefficiente angolare.
Esiste un punto x0 ∈ R tale che f 0 (x0 ) = ex0 + 1 = 1, dove m = 1 è
il coefficiente angolare della bisettrice del primo e terzo
quadrante?
La risposta è no; poiché ex > 0.
Il punto in qustione non esiste.
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23 / 28
Esempio
3
Sia f (x) = x3 − x. Dire se esiste un punto x0 ∈ R nel quale la tangente
a f è perpendicolare alla bisettrice del primo e terzo quadrante. In
caso affermativo trovare l’equazione di tale retta tangente.
Due rette sono perpendiclari quando il prodotto dei loro
coefficienti angolari è −1; poiché il coefficiente angolare della
bisettrice del primo e terzo quadrante è m = 1;
Allora il coefficiente angolare della retta tangente deve essere
m0 = −1; quindi bisogna rislovere l’equazione:
f 0 (x) = x 2 − 1 = −1;
Per cui x = 0. Il punto esiste e l’equazione della retta tangente è:
y − f (0) = −1(x − 0),
cioè
y = −x,
che è la bisettrice del secondo e quarto quadrante.
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24 / 28
Esempio
3
Sia f (x) = x3 − x. Dire se esiste un punto x0 ∈ R nel quale la tangente
a f è perpendicolare alla bisettrice del primo e terzo quadrante. In
caso affermativo trovare l’equazione di tale retta tangente.
Due rette sono perpendiclari quando il prodotto dei loro
coefficienti angolari è −1; poiché il coefficiente angolare della
bisettrice del primo e terzo quadrante è m = 1;
Allora il coefficiente angolare della retta tangente deve essere
m0 = −1; quindi bisogna rislovere l’equazione:
f 0 (x) = x 2 − 1 = −1;
Per cui x = 0. Il punto esiste e l’equazione della retta tangente è:
y − f (0) = −1(x − 0),
cioè
y = −x,
che è la bisettrice del secondo e quarto quadrante.
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24 / 28
Esempio
3
Sia f (x) = x3 − x. Dire se esiste un punto x0 ∈ R nel quale la tangente
a f è perpendicolare alla bisettrice del primo e terzo quadrante. In
caso affermativo trovare l’equazione di tale retta tangente.
Due rette sono perpendiclari quando il prodotto dei loro
coefficienti angolari è −1; poiché il coefficiente angolare della
bisettrice del primo e terzo quadrante è m = 1;
Allora il coefficiente angolare della retta tangente deve essere
m0 = −1; quindi bisogna rislovere l’equazione:
f 0 (x) = x 2 − 1 = −1;
Per cui x = 0. Il punto esiste e l’equazione della retta tangente è:
y − f (0) = −1(x − 0),
cioè
y = −x,
che è la bisettrice del secondo e quarto quadrante.
Giulia Simi (Università di Siena)
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24 / 28
Esempio
3
Sia f (x) = x3 − x. Dire se esiste un punto x0 ∈ R nel quale la tangente
a f è perpendicolare alla bisettrice del primo e terzo quadrante. In
caso affermativo trovare l’equazione di tale retta tangente.
Due rette sono perpendiclari quando il prodotto dei loro
coefficienti angolari è −1; poiché il coefficiente angolare della
bisettrice del primo e terzo quadrante è m = 1;
Allora il coefficiente angolare della retta tangente deve essere
m0 = −1; quindi bisogna rislovere l’equazione:
f 0 (x) = x 2 − 1 = −1;
Per cui x = 0. Il punto esiste e l’equazione della retta tangente è:
y − f (0) = −1(x − 0),
cioè
y = −x,
che è la bisettrice del secondo e quarto quadrante.
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24 / 28
Esercizi
1
2
La funzione f : R → R data da f (x) = 10x 5 − x è crescente?
Giustificare la risposta.
Trascurando l’attrito dell’aria, la distanza d percorsa da un corpo
lasciato cadere al tempo t = 0 è legata al tempo t di caduta dalla
formula d(t) = − 12 gt 2 dove g è l’accelerazione di gravità.
Calcolare:
I
I
I
la velocità media di caduta tra t0 = 2s e t1 = 6s;
la velocità media di caduta tra t0 = 2s e t1 = 1s;
la velocità istantanea di caduta a t0 = 2s, trovata come limite del
rapporto incrementale.
Giulia Simi (Università di Siena)
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25 / 28
Esercizi
1
2
La funzione f : R → R data da f (x) = 10x 5 − x è crescente?
Giustificare la risposta.
Trascurando l’attrito dell’aria, la distanza d percorsa da un corpo
lasciato cadere al tempo t = 0 è legata al tempo t di caduta dalla
formula d(t) = − 12 gt 2 dove g è l’accelerazione di gravità.
Calcolare:
I
I
I
la velocità media di caduta tra t0 = 2s e t1 = 6s;
la velocità media di caduta tra t0 = 2s e t1 = 1s;
la velocità istantanea di caduta a t0 = 2s, trovata come limite del
rapporto incrementale.
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25 / 28
Esercizi
1
2
La funzione f : R → R data da f (x) = 10x 5 − x è crescente?
Giustificare la risposta.
Trascurando l’attrito dell’aria, la distanza d percorsa da un corpo
lasciato cadere al tempo t = 0 è legata al tempo t di caduta dalla
formula d(t) = − 12 gt 2 dove g è l’accelerazione di gravità.
Calcolare:
I
I
I
la velocità media di caduta tra t0 = 2s e t1 = 6s;
la velocità media di caduta tra t0 = 2s e t1 = 1s;
la velocità istantanea di caduta a t0 = 2s, trovata come limite del
rapporto incrementale.
Giulia Simi (Università di Siena)
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25 / 28
Esercizi
1
2
La funzione f : R → R data da f (x) = 10x 5 − x è crescente?
Giustificare la risposta.
Trascurando l’attrito dell’aria, la distanza d percorsa da un corpo
lasciato cadere al tempo t = 0 è legata al tempo t di caduta dalla
formula d(t) = − 12 gt 2 dove g è l’accelerazione di gravità.
Calcolare:
I
I
I
la velocità media di caduta tra t0 = 2s e t1 = 6s;
la velocità media di caduta tra t0 = 2s e t1 = 1s;
la velocità istantanea di caduta a t0 = 2s, trovata come limite del
rapporto incrementale.
Giulia Simi (Università di Siena)
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25 / 28
Esercizi
1
2
La funzione f : R → R data da f (x) = 10x 5 − x è crescente?
Giustificare la risposta.
Trascurando l’attrito dell’aria, la distanza d percorsa da un corpo
lasciato cadere al tempo t = 0 è legata al tempo t di caduta dalla
formula d(t) = − 12 gt 2 dove g è l’accelerazione di gravità.
Calcolare:
I
I
I
la velocità media di caduta tra t0 = 2s e t1 = 6s;
la velocità media di caduta tra t0 = 2s e t1 = 1s;
la velocità istantanea di caduta a t0 = 2s, trovata come limite del
rapporto incrementale.
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25 / 28
Esercizi
1
Studiare la crescenza e decrescenza e trovare gli eventuali punti
di massimo e minimo locali delle seguenti funzioni:
f (x) = x 2 + 125x −1 ,
2
g(x) = x 2 ln x 2 .
La percentuale p di mortalità dei batteri di una colonia a seconda
della concentrazione c dell’antibiotico somministrato è espressa
dalla seguente funzione:
p(c) =
100
.
1 + 20, 1e−0,2c
Determinare a quale concentrazione l’antibiotico è più efficace,
cioè p0 è massima.
Giulia Simi (Università di Siena)
Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016
26 / 28
Esercizi
1
Studiare la crescenza e decrescenza e trovare gli eventuali punti
di massimo e minimo locali delle seguenti funzioni:
f (x) = x 2 + 125x −1 ,
2
g(x) = x 2 ln x 2 .
La percentuale p di mortalità dei batteri di una colonia a seconda
della concentrazione c dell’antibiotico somministrato è espressa
dalla seguente funzione:
p(c) =
100
.
1 + 20, 1e−0,2c
Determinare a quale concentrazione l’antibiotico è più efficace,
cioè p0 è massima.
Giulia Simi (Università di Siena)
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26 / 28
Esercizi
1
Studiare la crescenza e decrescenza e trovare gli eventuali punti
di massimo e minimo locali delle seguenti funzioni:
f (x) = x 2 + 125x −1 ,
2
g(x) = x 2 ln x 2 .
La percentuale p di mortalità dei batteri di una colonia a seconda
della concentrazione c dell’antibiotico somministrato è espressa
dalla seguente funzione:
p(c) =
100
.
1 + 20, 1e−0,2c
Determinare a quale concentrazione l’antibiotico è più efficace,
cioè p0 è massima.
Giulia Simi (Università di Siena)
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26 / 28
Esercizi
1
Studiare la crescenza e decrescenza e trovare gli eventuali punti
di massimo e minimo locali delle seguenti funzioni:
f (x) = x 2 + 125x −1 ,
2
g(x) = x 2 ln x 2 .
La percentuale p di mortalità dei batteri di una colonia a seconda
della concentrazione c dell’antibiotico somministrato è espressa
dalla seguente funzione:
p(c) =
100
.
1 + 20, 1e−0,2c
Determinare a quale concentrazione l’antibiotico è più efficace,
cioè p0 è massima.
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26 / 28
Esercizi
1
2
Data la funzione f (x) = x 3 − 3x 2 + 5x, determinare, in funzione di
x, l’espressone della pendenza della tangente alla curva nel
generico punto di ascissa x. Per quale valore di x è minimo il
valore di tale pendenza?
Sia f (x) = (3 − x) ln x. Determinare:
f (3 + h) − f (3),
3[f (2)]2 .
Calcolare la derivata prima e seconda della funzione f e poi
determinare f 0 (1) e f 00 (2).
Giulia Simi (Università di Siena)
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27 / 28
Esercizi
1
2
Data la funzione f (x) = x 3 − 3x 2 + 5x, determinare, in funzione di
x, l’espressone della pendenza della tangente alla curva nel
generico punto di ascissa x. Per quale valore di x è minimo il
valore di tale pendenza?
Sia f (x) = (3 − x) ln x. Determinare:
f (3 + h) − f (3),
3[f (2)]2 .
Calcolare la derivata prima e seconda della funzione f e poi
determinare f 0 (1) e f 00 (2).
Giulia Simi (Università di Siena)
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27 / 28
Esercizi
1
2
Data la funzione f (x) = x 3 − 3x 2 + 5x, determinare, in funzione di
x, l’espressone della pendenza della tangente alla curva nel
generico punto di ascissa x. Per quale valore di x è minimo il
valore di tale pendenza?
Sia f (x) = (3 − x) ln x. Determinare:
f (3 + h) − f (3),
3[f (2)]2 .
Calcolare la derivata prima e seconda della funzione f e poi
determinare f 0 (1) e f 00 (2).
Giulia Simi (Università di Siena)
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27 / 28
Esercizi
1
2
Data la funzione f (x) = x 3 − 3x 2 + 5x, determinare, in funzione di
x, l’espressone della pendenza della tangente alla curva nel
generico punto di ascissa x. Per quale valore di x è minimo il
valore di tale pendenza?
Sia f (x) = (3 − x) ln x. Determinare:
f (3 + h) − f (3),
3[f (2)]2 .
Calcolare la derivata prima e seconda della funzione f e poi
determinare f 0 (1) e f 00 (2).
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27 / 28
Esercizi
a) Disegnare il grafico di una funzione g, continua per ogni x
reale, che soddisfi alle seguenti condizioni:
g(2) = 4,
g 0 (2) = 0,
g 0 (x) < 0 per x < 2 e per x > 2.
b) Disegnare il grafico di una funzione h, continua per ogni x
reale, che soddisfi alle seguenti condizioni:
h(2) = 4,
Giulia Simi (Università di Siena)
e
h0 (x) = 3, per ogni x reale .
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28 / 28
Esercizi
a) Disegnare il grafico di una funzione g, continua per ogni x
reale, che soddisfi alle seguenti condizioni:
g(2) = 4,
g 0 (2) = 0,
g 0 (x) < 0 per x < 2 e per x > 2.
b) Disegnare il grafico di una funzione h, continua per ogni x
reale, che soddisfi alle seguenti condizioni:
h(2) = 4,
Giulia Simi (Università di Siena)
e
h0 (x) = 3, per ogni x reale .
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28 / 28
Esercizi
a) Disegnare il grafico di una funzione g, continua per ogni x
reale, che soddisfi alle seguenti condizioni:
g(2) = 4,
g 0 (2) = 0,
g 0 (x) < 0 per x < 2 e per x > 2.
b) Disegnare il grafico di una funzione h, continua per ogni x
reale, che soddisfi alle seguenti condizioni:
h(2) = 4,
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e
h0 (x) = 3, per ogni x reale .
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28 / 28
Esercizi
a) Disegnare il grafico di una funzione g, continua per ogni x
reale, che soddisfi alle seguenti condizioni:
g(2) = 4,
g 0 (2) = 0,
g 0 (x) < 0 per x < 2 e per x > 2.
b) Disegnare il grafico di una funzione h, continua per ogni x
reale, che soddisfi alle seguenti condizioni:
h(2) = 4,
Giulia Simi (Università di Siena)
e
h0 (x) = 3, per ogni x reale .
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