Programma del corso di Meccanica Razionale a.a.2008-2009
Vettori. Vettori e loro proprietà : somma, prodotto per uno scalare, prodotto scalare, prodotto
vettoriale, prodotto misto. Rappresentazione cartesiana dei vettori, vettori variabili e loro derivazione.
Cinematica del punto. Traiettoria, legge oraria, versore tangente, rappresentazione intrinseca e
cartesiana della velocità e accelerazione, terna intrinseca, piano oscuratore. Moto circolare e armonico.
Cinematica Rigida. Corpo rigido, grado di libertà del corpo rigido libero e vincolato, angoli
di Eulero. Formule di Poisson, formula fondamentale della cinematica rigida. Stati cinetici rigidi:
traslatorio, rotatorio elicoidale) e classificazione. Asse di rotazione e asse di Mozzi. Invariante scalare
Teorema di Mozzi. Composizione di stati cinetici. Accelerazione dei punti del corpo rigido.
Cinematica relativa. Cambiamento di sistema di riferimento, teoremi di composizione delle
velocità e delle accelerazioni.
Moto rigido piano. Centro di istantanea rotazione, base e rulletta, metodi geometrici per
determinare il centro di istantanea rotazione. Calcolo analitico di base e rulletta. Accelerazione.
Moto di puro rotolamento: esempio della ruota.
Vincoli. Vincoli olonomi, esempi, grado di libertà , parametri lagrangiani, vincoli reonomi e
scleronomi. Vincoli interni ed esterni, vincoli unilaterali e bilaterali. Moto nello spazio delle configurazioni. Velocità nella rappresentazione lagrangiana, velocità generalizzate. Velocità reale e velocità
virtuali, caso del vincolo scleronomo e reonomo. Spostamenti virtuali e reali. Spostamenti invertibili,
configurazioni interne e di confine. Spostamenti parzialmente e totalmente proibiti.
Statica e dinamica del punto. Massa e Forza. Principi fondamentali della meccanica, le leggi
di Newton. Sistemi di riferimento inerziali. Equazione del moto e problema di Cauchy. Equilibrio.
Equazione del moto e dell’equilibrio di un punto variamente vincolato. Relazioni di Coulomb per
l’attrito statico e dinamico. Quantità di moto del punto. Forze conservative. Teorema delle forze
vive. Energia meccanica totale, teorema di conservazione dell’energia. Integrali primi del moto.
Pendolo semplice, piccole oscillazioni. Dinamica e statica relativa del punto, forza centrifuga, forza
peso.
Sistemi di Forze. Sistemi di forze interne. Sistemi di forze parallele, centro delle forze parallele,
forza peso, baricentro. Reazioni vincolari, postulato delle reazioni vincolari. Vincoli lisci. Vincoli
ideali. Forze attive. Lavoro infinitesimo reale e virtuale. Lavoro finito reale. Lavoro infinitesimo
su un corpo rigido. Forze generalizzate di Lagrange. Forze posizionali. Forza conservativa e lavoro di una forza conservativa. Condizione necessaria affinché un sistema di forze sia conservativo e
condizione sufficiente. Esempi di forze conservative: forza peso, forza gravitazionale, forza elastica
interna ed esterna, coppia di forze elastiche interne. Determinazione del potenziale di un sistema di
forze conservative.
Geometria delle masse. Baricentro. Momento d’inerzia, ellissoide d’inerzia, momenti principali,
teorema di Huyghens-Steiner.
Statica e dinamica dei sistemi di punti. Configurazione di equilibrio di un sistema di forze,
principio dei lavori virtuali. Equilibrio del corpo rigido libero. Equazioni dell’equilibrio di un sistema olonomo, caso delle forze conservative. Equilibrio stabile, instabile e indifferente. Stabilità nel
caso di forze conservative. Teorema di Torricelli. Equazioni Cardinali della Statica, caso del corpo
rigido. Problemi staticamente determinati. Equazioni Cardinali della Statica per un sistema articolato. Quantità di moto di un sistema, quantità di moto rispetto al baricentro. Momento della quantità
di moto. Energia cinetica di un sistema, teorema delle forze vive, teorema di conservazione dell’energia
meccanica per sistemi di punti. Teorema di Konig, energia cinetica del corpo rigido con asse fisso.
Equazioni Cardinali della Dinamica, caso del corpo rigido e del sistema articolato. Equazioni di
Lagrange.
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